Содержание к диссертации
Введение
1.Обзор литературы 12
1.1. Предварительные замечания 12
1.2. Об аппроксимации нелинейных свойств материалов 13
1.3. Основные сведения о нелинейных теориях расчета тонкостенных пространственных систем на прочность, устойчивость и колебания 19
1.4. Основные выводы по первой главе 33
2. Основные дифферренциальные статического расчета пластинчатых систем из нелинейно-упругих материалов при больших перемещениях 36
2.1. Дифференциальные уравнения равновесия 36
2.2. Формулировка граничных условий в общем случае 45
2.3. Дифференциальные уравнения пластинчатой системы в упругой среде 46
2.4. Об алгоритме решения нелинейных задач 49
2.5. О решении задачи методом малого параметра 51
2.6. Выводы по второй главе 52
3. Статический расчет пластинчатых систем из нелинейно-упругих материалов при больших перемещениях 53
3.1. О выборе обобщенных перемещений и координатных функций 53
3.2. Дифференциальные уравнения пластинчатой системы при кручении 56
3.3. Постановка граничных условий з
3.4. Исследование взаимного влияния физической и геометрической не линейности на напряженно-деформированное состояние пластинчатых систем 60
3.5. Расчет многосвязной пластинчатой системы 78
3.6. Расчет П-образной пластинчатой системы в упругой среде 84
3.7. Выводы по третьей главе 90
4. Свободные систем при больших перемещеііиях 92
4.1. Основные гипотезы, положенные в основу динамического расчета 92
4.2. Дифференциальные уравнения свободных колебаний
4.3. Гармонические колебания пластинчатой системы 97
4.4. Основные уравнения свободных колебаний при больших перемещениях 99
4.5. Основные уравнения колебаний нелинейно-упругой оболочки .. 102
4.6. Об алгоритме решения задачи нелинейных свободных колебаний 103
4.7. Об одном варианте составления дифференциальных уравнений движения 104
4.8. Свободные колебания пластинчатых систем замкнутого контура при больших перемещениях 107
4.9. Частоты и формы свободных колебаний 110
4.10. Свободные колебания П-образной пластинчатой системы 119
4.11. Свободные колебания нелинейно-упругой пластинчатой системы замкнутого контура при больших перемещениях 129
4.12. Выводы по четвертой главе 135
4 5. Вынужденные колебания нелинейных пластинчатых систем 137
5.1 .Характер нелинейных вынужденных колебаний 137
5.2. Дифференциальные уравнения при вынужденных колебаниях дважды нелинейных оболочек 138
5.3. Второй вариант дифференциальных уравнений вынужденных колебаний 141
5.4. Вынужденные колебания П-образной пластинчатой системы 143
5.5. Вынужденные колебания пластинчатой системы замкнутого контура 148
5.6. Выводы по пятой главе 151
6. Устойчивость нелинейных пластичатых систем 152
6.1. Дифференциальные уравнения устойчивости 152
6.2. Алгоритм решения задачи на устойчивость 156
6.3. Пространственная устойчивость пластинчатой системы односвязного контура 157
6.4. Устойчивость пространственной пластинчатой системы при центральном сжатии 163
6.5. Выводы по шестой главе 171
7. Расчет нелинейных пластинчатых систем на основе обобщенных уравнений МКР 172
7.1. Дифференциальные уравнения пластин в геометрически нелинейной постановке 172
7.2. Уравнения в форме обобщенного метода МКР 175
7.3. Уравнения на линии пересечения двух пластин 177
7.4.Уравнения в точке стыка трех пластин 182
7.5.Расчет экспериментальной модели помещения АЭС 187
7.6. Численная реализация задачи. Результаты расчета 189
7.7. Выводы по седьмой главе 192
Заключение 194
Список литературы
- Об аппроксимации нелинейных свойств материалов
- Формулировка граничных условий в общем случае
- Дифференциальные уравнения пластинчатой системы при кручении
- Основные уравнения колебаний нелинейно-упругой оболочки
Об аппроксимации нелинейных свойств материалов
Исследования гибких пространственных пластинчатых систем в той или иной мере связаны с исследованиями гибких пластин. Расчетами пластин в геометрически нелинейной постановке занимались в начале 20-го века И.Г.Бубнов [19, 20], А.Феппел [207], Т.Карман [212]. Дальнейшее развитие эта теория получила в трудах В.В.Новожилова [138, 139], А.С.Вольмира [29, 30, 31], В.И.Феодосьева [190] и др. Монографии А.С.Вольмира целиком посвящены исследованию гибких пластин и цилиндрических оболочек на прочность и устойчивость.
Незначительное количество работ связано с гибкими призматическими системами. В связи с проектированием большепролетных складчатых тонкостенных пространственных систем появились работы с учетом конечных перемещений. В работах И.Н.Слезингера [165 - 170] рассматривались гибкие складки и цилиндрические оболочки. В основу исследований положены уравнения равновесия гибкой пластины. Напряженно-деформированное состояние каждой пластины, составляющей складку, описывается системой нелинейных дифференциальных уравнений Кармана. При выводе используются гипотезы полубезмоментной теории В.З.Власова. Учитывается совместная работа пластин в месте их контакта. Решение конечных уравнений проводится методом последовательных приближений. В [166] используется способ "заменяющей" складки для расчета гибких цилиндрических оболочек. В статье [170] исследуется несущая способность цилиндрических оболочек.
Ряд работ, с учетом геометрической нелинейности, посвящен тонкостенным стержням открытого профиля. В связи с тем, что тонкостенный стержень открытого профиля обладает малой жесткостью, особенно в последнее десятилетие появилось множество работ у нас и за рубежом, посвященных нелинейным исследованиям. Так, в работах Л.А.Кобеца [92, 93] рассматривается изгибное кручение тонкостенных стержней открытого профиля при больших упругих перемещениях. Учитываются гипотезы о недеформируемости контура поперечного сечения и отсутствия сдвигов.
В.Д.Райзером [156] представлен пространственный расчет тонкостенных гибких стержней-оболочек, точки поперечных сечений которых получают большие перемещения при действии внешних нагрузок. Здесь уравнения равновесия получены на основе уравнений Кирхгофа-Клебша. При этом учитываются различия между кривизнами отдельных волокон стержня. Деформации определяются из соотношений нелинейной теории упругости. В другой его работе [157] исследуется тонкостенный стержень при сильном закручивании. Полученные уравнения равновесия отличаются от уравнений В.З.Власова наличием нелинейных членов. Как правило, редкие нелинейные уравнения имеют решения в замкнутом виде. Так, автор указывает, что при действии по торцам только бимоментной нагрузки, последнее - четвертое уравнение системы для углов закручивания решается точно.
Деформационный расчет тонкостенных стержней открытого профиля рассматривался в работах Ф.П.Лукьянова [117], Л.Н.Воробьева [33], С.П.Вязьменского [36], Б.Ф.Шорра [200], П.А.Лукаша [114], Г.Ш.Подольского [152],Б.А.Бейлина[12].
В работе П.А.Лукаша рассмотрены общие условия потери устойчивости тонкостенных стержней при внецентренном сжатии и растяжении.
Также, как и в работе Л. А.Кобеца, т.е. с учетом аналогичных гипотез исследуется тонкостенный стержень при больших углах закручивания И.И.Тряниным [189]. Вследствие того, что полученные уравнения описывают равновесие между внешними и внутренними силами, то ими можно пользоваться и при расчете стержней из материалов, не подчиняющихся закону Гука. Аналогичное исследование проводилось и в работе [206]. Вопросы определения несущей способности и устойчивости тонкостенных стержней за пределами упругости материала по видимому впервые были рассмотрены А.Р.Ржаницыным [159, 160]. В основу работ положена диаграмма Прандтля. Подробно рассмотрена несущая способность тонкостенных стержней двутаврового и швеллерного сечений. Получены уравнения пространственной устойчивости стержня, состоящего из стрингеров, связанных бесконечно тонкими стенками. Анализ показывает, что форма поперечного сечения несущественно влияет на коэффициент продольного изгиба, а на зависимость между деформациями и напряжениями - существенно.
При больших углах закручивания и прогибах в статье [208] исследовались тонкостенные стержни открытого профиля. На основе минимума потенциальной энергии получены нелинейные уравнения равновесия.
Изгибно-крутильное выпучивание тонкостенных балок открытого сечения на сплошном упругом основании типа Винклера рассматривались в работе [126]. Здесь на базе энергетического подхода, исходя из условий стационарности потенциальной энергии в формулировке Эйлера, выводится основное нелинейное дифференциальное уравнение упругого равновесия. Решение задачи осуществляется методом Бубнова-Галеркина. Рассматривается закритическое поведение после изгибно-крутильного выпучивания.
Теория тонкостенных стержней в форме В.З.Власова [222] обобщена на геометрически нелинейные задачи. Разрешающие уравнения получены вариационным методом. Указывается возможность приложения построенной теории к нелинейным задачам кручения, устойчивости и закритического деформирования тонкостенных стержней с открытым контуром.
П.А.Лукашем [109, 114] исследовались тонкостенные стержни из нелинейно-упругого материала. В [109] рассмотрены общие условия потери устойчивости и динамики тонкостенных стержней. В работе [114] им отмечается, что для тонкостенного стержня из нелинейно-упругого материала центр изгиба и центр кручения не совпадают. При общем случае нелинейной зависимости между напряжениями и деформациями положения центров зависят от величины прикладываемой нагрузки. При кубической зависимости между напряжениями и деформациями положения центров изменяются незначительно, а при зависимости в виде закона Г.Бюлфингера они остаются инвариантными по отношению к прикладываемой нагрузке.
Тонкостенные стержни открытого профиля при наличии физической и геометрической нелинейности рассматривались в работах [34, 35]. В первой работе они разбивали стержни на конечные элементы с четырнадцатью степенями свободы. Перемещения аппроксимировались на основе "балочных функций". Уточненная теория расчета напряженно-деформированного состояния при двойной нелинейности стержней открытого контура представлена в [35]. Теория основана на гипотезах В.З.Власова и теореме об активной деформации А.А.Ильюшина. Составлена система дифференциальных уравнений, описывающих изгибно-крутильные деформации.
Нелинейный анализ изгибной прочности балок проводится в [223]. Исследуется изгибная прочность тонкостенных холоднокатанных балок с открытым поперечным сечением из высокопрочной легированной стали. Рассматриваются вопросы статической прочности и устойчивости плоской формы упругого равновесия. Учитывается как геометрическая нелинейность, так и физическая нелинейность материала, находящегося в условиях упругопластическо-го деформирования. Из не вполне полного обзора работ можно отметить, что достаточно большое число статей посвящены исследованию нелинейных тонкостенных стержней открытого контура.
Формулировка граничных условий в общем случае
Уравнения (2.1.17) позволяют рассчитывать пластинчатые системы с учетом двойной нелинейности. Причем уравнения позволяют учитывать изгибающие моменты Мх, Ms соответственно в продольном и поперечном направлениях и крутящие моменты Mxs
В пластинчатых системах средней длины (когда отношение длины к большей стороне составляет три и более) можно пренебречь влиянием изги 44
бающего момента Мх и принять коэффициент е = 0. Если положить коэффициент Е О в (2.1.21), то из уравнения (2.1.17) следуют уравнения для расчета только геометрически нелинейных систем . При малых перемещениях (е = Єд = е =0) с помощью (2.1.17) можно получить уравнения только для физически нелинейных пластинчатых систем. Рассмотрим постановку граничных условий на краях при различных видах опираний.
Граничные условия для физически и геометрически нелинейной задачи будут несколько отличаться от линейной задачи. Рассмотрим случаи наиболее распространенные в практике.
1. Для пластинчатой системы с торцами, заделанными в абсолютно же сткий неподвижный массив, граничные условия записываются также, как и для линейной задачи: прих=0 их=1: Щх)=0; Vk(x) = 0. (2.2.1)
2. При опираний краев ППС на тонкие диафрагмы, принимаемые абсо лютно жесткими в своей плоскости и абсолютно гибкими из плоскости, гра ничные условия можно сформулировать так: при х = 0 и х = I:
Первое условие в (2.2.2) выражает равенство нулю работы продольной силы Nx на возможных перемещениях ср,-; второе - отсутствие поперечных перемещений Vk(x), а третье - равенство нулю работы продольного изгибающего момента Мх в месте стыка оболочки с диафрагмой.
Для геометрически нелинейной 1111С эти условия (2.2.2) запишутся в следующей форме: при х = 0 и дг = /: При свободных, не загруженных никакими усилиями краях можно воспользоваться "естественными" граничными условиями при х=0; х=1 [174]: dU f dVk" 8V k dx dVk где F -подынтегральная функция в (2.1.14). Раскрывая уравнения (2.2.4), получим, что первые два условия совпадут с первым и третьим условием (2.2.2), а третье - принимает следующий вид В геометрически нелинейной постановке два первых условия совпадают с условиями (2.2.3), а третье условие принимает следующий вид: к к 1+v 1_v
Если к свободным краям прикладываются внешние силы, то в уравнениях (2.2.5) и (2.2.6) в правой части следует записать работу этих сил на возможных перемещениях (рр фи, fh. При пренебрежении изгибающими моментами, действующими в продольном направлении, принимаем коэффициент % = 0 и уравнения (2.2.3), (2.2.5), (2.2.6) упростятся.
Упругую среду будем учитывать в виде однослойного основания. Разрешающие уравнения ГШС при отсутствии упругой среды имеют вид (2.1.17). Пусть ППС полностью плотно контактирует с упругой средой. Работу реактивных давлений упругой среды в продольном х и поперечном 5 направлениях можно записать [26]:
В уравнениях приняты следующие обозначения: Е0, Vo - соответствуют модулю деформации и коэффициенту Пуасссона упругой среды; Н, b - соответственно высота и толщина упругой среды.
Для модели однослойного основания координатные функции принимаем по высоте слоя в следующем виде (рис. 2.3.2) [26]
В основном для решения нелинейных задач используются классические методы линейной теории — вариационный метод, метод конечных элементов, метод конечных разностей, метод малого параметра, метод упругих решений, метод последовательных нагружений и т. д.
Правильность решения вариационным методом зависит от выбора аппроксимирующих функций, даже при малом числе которых удается с достаточной точностью для практики решить задачу.
При решении задач методами конечных элементов и конечных разностей отпадает надобность в подборе аппроксимирущих функций.
Метод упругих решений и метод последовательных нагружений позволяют нелинейные уравнения заменять последовательностью линейных уравнений. Аналогичный подход осуществляется и в методе малого параметра.
Некоторые из названных выше методов даны или использованы в [24, 97, 103, 118, 162,171, 199]. При расчете большинства конструкций приходится решать краевые задачи. Основная трудность при решении таких задач возникает1 при поиске недостающих начальных условий, когда краевая задача сводится к задачам Коши с начальными условиями. При определении недостающих начальных условий приходится решать линейные или нелинейные алгебраические уравнения.
Большинство исследователей применяют к решению краевых задач метод ортогональной прогонки Годунова [42]. При решении этим методом нелинейные дифференциальные уравнения приводятся к линейным, например, методом малого параметра. В данном алгоритме такая линеаризация не проводится. Рассмотрим метод на примере нелинейной пластинчатой системы с защемленными торцами. Разрешающие дифференциальные уравнения (2.1.17) при ehk = 0 имеют следующий вид: а граничные условия на краях запишутся так: при х=0; ЩО) = 0; Vk(0) = 0; (2.4.2) = /; U,(l)=0; Vk(l)=0. (2.4.3) Вместо краевой задачи (2.4.1) решаем задачу Коши для системы уравнений (2.4.1) с начальными условиями (2.4.2) и дополнительными условиями для производных: и, (0)=гй Vk (0)=rk. (2.4.4)
Неизвестные величины производных г І и Гк должны быть подобраны так, чтобы были выполнены условия (2.4.3). На начальном этапе неизвестными величинами можно задаться из решения линейной задачи. Далее решаем задачу Коши (2.4.1), (2.4.2) численно и получаем на противоположном краю U,(l) и Vk(l), которые сравниваем с условиями (2.4.3). Если невязки Ы превышают допустимую ошибку є, то подправляем начальные значения производных в условиях (2.4.4) и снова продолжаем решать задачу Коши до выполнения заданной точности. Ошибка при задании величин г, и г в линейной задаче даже на порядок позволяет итерационному процессу сходиться, а после этого можно уже приступать к решению нелинейной задачи. Уточнение значений г, и г осуществляем используя итерационнный метод типа Ньютона [51]. Для реализации этого метода составлена фортран -программа. Используются подпрограмма метода Рунге Кутта для интегрирования системы п дифференциальных уравнений первого порядка и подпрограмма решения системы алгебраических уравнений. Общая блок-схема составленной программы представлена в приложении
Для контроля правильности работы вышеизложенного алгоритма решались нелинейные дифференциальные уравнения вида (2.3.5), соответствующие П-образной физически нелинейной оболочке в упругой среде (3.7.4). Проводили предварительную линеаризацию уравнений методом малого параметра [85]. В правую часть уравнений (3.7.4) вводили малый параметр а. Обобщенные перемещения раскладывали в ряд:
Дифференциальные уравнения пластинчатой системы при кручении
В связи с трудностями, возникающими при решении нелинейных задач динамики, вводятся различные гипотезы и допущения. В данной теории расчета пластинчатых систем принимается материал со слабой физической нелинейностью, т.е. для материалов, описанных в параграфе 1.2. В основу заложена гипотеза о нелинейно-упругом теле, с одинаковой диаграммой работы материала на растяжение и сжатие [11], [78-82].
Нелинейную зависимость интенсивности напряжений СУ,- ОТ интенсивности деформаций е1 принимаем по формуле (2.1.1). Полагаем, что направляющие тензоров напряжений и деформаций совпадают. Учитываем гипотезы Кирхгоффа-Лява и гипотезы теории расчета пластинчатых систем В.З.Власова [26].
Рассмотрим пластинчатую систему, представленную во второй главе на рисунке 2.1.1. В поперечных сечениях системы действуют внутренние силы Nx, Ns, Nxs, Qx, Qs, Mx, Ms, Mxs. Кроме этого учитываем действующие силы инерции массы оболочки. Для получения основных дифференциальных уравнений движения при наличии двойной нелинейности используем уравнения (4.1.1) и известные зависимости деформаций при больших перемещениях (2.1.2). Далее, выполнив аналогичные преобразования (2.1.3 - 2.1.12), как и во второй главе, получим энергию А, приходящуюся на единицу площади поверхности пластинчатой системы..
Компоненты вектора перемещений точки срединной поверхности оболочки (рис. 2.1.1) в продольном х , поперечном s и нормальном z направлениях представим в виде разложений [26]:
Координатные функции tyi(s),\yk(s),fd(s) подбираются как и в (2.1.13). Обобщенные перемещения Ui(x,t),Vk(x,t),Wd(x,t) являются искомыми функциями, в отличие от (2.1.13), зависят от двух переменных хи t ( t — время). Полная энергия L системы, состоящая из потенциальной
В (4.2.3) введены следующие обозначения постоянных: р - объемный вес материала; 8 - толщина элемента пластинчатой системы; g - ускорение свободного падения. Из условий совместности деформаций можно принять при d = к Wd(x,t) = Vk(x,t). (4.2.5) Потери энергии в материале учитываем по Давиденкову Н.Н. [48]. аи=Ь.Е. (4.2.6) со dt Здесь он - номинальное напряжение, со - частота квазипоперечных колебаний, є - деформация, у2 - коэффициент неупругого сопротивления материала.
Исследования, проведенные В.Н.Пастушихиным [142] показывают, что зависимость (4.2.6) достаточно хорошо учитывает демпфирование при колебаниях систем из нелинейно-упругих материалов, где сила сопротивления зависит от частоты со свободных колебаний. Коэффициент уо для строительных материалов может быть принят как постоянное число.
Если рассматривать свободные колебания с учетом демпфирования, то диссипативную энергию можно учесть по Релею [142, 226]. д2 dF d dF dF д dF 8R dx2 dVkiXX + dx dVLx dVk + dt dVkJ + 8VkJ (4.2.8) где F - подынтегральная функция выражения (4.2.4), а индексы после запятой показывают частные производные от обобщенных перемещений по соответствующим переменным. Определив производные от подынтегральной функции (4.2.4), получим систему нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных: - Yi X ? ,«« +1 [rM + —У— (mhk - - - ahk )] Vkxx - (4.2.9)
В (4.2.9) индексы после запятой указывают на частные производные по указанным переменным. Все коэффициенты уравнений определяются по формулам (2.1.18) кроме dhk [158] dhk = \bVk(s)4 h(s)b + fk(s)fh(s)№. (4.2.10)
Интегралы берутся по всем контурам поперечного сечения пластинчатой системы. Как и в уравнениях В.З.Власова [26] коэффициенты линейной части обладают свойствами взаимности. На основании формул (2.1.8) и (4.2.10) можно вычислить коэффициенты уравнений (4.2.9) для призматической системы произвольного очертания в поперечном сечении.
Правые части уравнений (4.2.9) учитывают физическую и геометрическую нелинейность пластинчатой системы. Выражения Фу и Ф/, имеют следующий вид: фі = -i(Nlx Pj + N2yjtS )ds; Уравнения (4.2.9) характеризуют свободные затухающие колебания пластинчатых систем из нелинейно-упругого материала при больших пере 97 мещениях. При рассмотрении свободных незатухающих колебаний в уравнениях следует принять коэффициент У2=0.
Если отбросить правые части уравнений (4.2.9) и (4.3.3), то получим уравнения свободных колебаний линейной пластинчатой системы. Данные уравнения позволяют установить напряженно-деформированное состояние оболочки при определенной частоте со и интервале времени At. Дальнейшие исследования показывают, что частота свободных колебаний незначительно зависит от сил сопротивления. Поэтому для установления зависимости частоты со от амплитуды свободных колебаний используем уравнения (4.3.3). Ортогонализируем уравнения (4.3.3), перемножив правые и левые части уравнений на Cos со/ и проинтегрировав полученные выражения в пределах периода колебаний Т = 2л/со. Учитывая, что
Таким образом, получены нелинейные обыкновенные дифференциальные уравнения, относительно двух групп обобщенных перемещений UJ и Vk .
Используя уравнения (4.3.5), можно построить амплитудно-частотные кривые при свободных гармонических колебаниях нелинейно-упругих пластинчатых систем с учетом геометрической нелинейности.
В частности можно использовать уравнения (4.3.5) для расчета физически или геометрически нелинейных задач, если в уравнениях соответственно учитывать или не учитывать соотношения (2.1.1), (2.1.2).
Основные уравнения колебаний нелинейно-упругой оболочки
В данной главе выводятся дифференциальные уравнения устойчивости при наличии нелинейной диаграммы деформирования материала. Кроме физической нелинейности учитывается и геометрическая нелинейность. Даются примеры расчетов пластинчатых систем на устойчивость. Оценивается влияние нелинейностей на их устойчивость. С учетом нелинейностей строится кривая равновесных состояний при ведущем параметре — нагрузки. За критерий устойчивости принимается условие расхождения итерационного процесса [179].
Также как и в предыдущих главах предполагается, что материал обладает слабой физической нелинейностью. Зависимость между интенсивностями напряжений о; и деформаций et ( как и во второй главе, принимается в виде кубической параболы. Соотношения между деформациями и перемещениями принимаются по формулам (2.1.2). Учитываем гипотезы Кирхгофа-Лява (az = 0, єх2 = 0, ssz = 0). Считаем справедливым условие совпадения направляющих тензоров напряжений и деформаций.
В общем виде пластинчатая система представлена на рис. 6.2.1. Перемещения в продольном х, поперечном s и нормальном направлениях (рис. 6.1.1) представим в виде ранее указанных разложений по В.З.Власову [26]:
Для вывода уравнений также используем энергетический метод. Составим уравнения устойчивости, используя ранее полученные дифференциальные уравнения во второй главе (2.1.17):
Считаем, что обобщенные перемещения С/, и V в (6.1.2) описывают деформированное состояние пространственной системы в момент потери устойчивости. Под свободными членами QJf Qju понимаем те обобщенные продольные и поперечные силы, к которым может быть приведено напряженное состояние пластинчатой системы при переходе в деформированное состояние, характеризуемое нелинейными дифференциальными уравнениями (6.1.2).
В точках поперечного сечения системы все обобщенные поперечные нагрузки QM второй группы уравнений (6.1.2) выразим через параметр продольной силы Р и кривизну образующей срединной поверхности пространственной пластинчатой системы [26, 27]
Здесь F/jjt = JV/jVy /Safr, а ул и ці к являются координатными функциями. Под ПІ понимаем нормальное напряжение, вызванное в поперечном сечении пространственной системы действием приращения АР продольной нагрузки Р (рис. 6.2.1). где у і, Zi — координаты точки і контура поперечного сечения в главных центральных осях Оу и Oz ; ус, zc — координаты точки С, в которой приложена сила Р; А - площадь поперечного сечения; Jy, J2, - главные моменты инерции площади поперечного сечения относительно осей Оу и Oz; произведения
Это и есть система дифференциальных уравнений устойчивости для физически и геометрически нелинейной пространственной пластинчатой системы произвольного очертания поперечного сечения. Система (6.1.6) состоит из (m+n) уравнений. Первая группа m уравнений соответствует m степеням свободы деформаций пластинчатой системы в продольном направлении х, вторая группа п уравнений - п степеням свободы деформаций в плоскости поперечного сечения. Обобщенные продольные Ut и поперечные Vk перемещения характеризуют деформированное состояние пространственной системы в момент потери устойчивости.
Это очевидно, что при действии нагрузоки qh, qz в пластинчатой системе возникнут перемещения, соответствующие начальным.
Величина Р во второй группе уравнений является параметром критической нагрузки. Если в уравнениях (6.1.6) отбросим правые нелинейные части и примем Q\ = 0, то получим уравнения для линейной пластинчатой системы, которые полностью совпадают с уравнениями
Рассмотрим метод решения на примере нелинейной пластинчатой системы с защемленными краями. Пусть для нее нелинейные дифференциальные уравнения устойчивости имеют вид (6.2.6), а граничные условия на краях: прих = 0; /,{0) = 0; К (0) = 0; (6.2.1) прих = / ОД) = 0; W) = 0. (6.2.2) Вместо краевой задачи (6.2.6), (6.2.1) будем решать для каждого значения АР задачу Коши для системы уравнений (6.2.6) с начальными условиями (6.2.1) и дополнительными условиями на производных: и, (0) = гг, Vk (0) = rk. (6.2.3)
Величины ГІ и гк должны быть подобраны так, чтобы были выполнены условия (6.2.2). Задаваясь значениями неизвестных величин (допустим из решения линейной задачи), решаем задачу Коши (6.2.6), (6.2.1), (6.2.3) численно и получаем значения 17,(1) и V/JJ). Если невязки z при сравнении с условиями (6.2.8) по модулю превышают допустимую ошибку є, то подправляем начальные значения производных (6.2.3) и продолжаем решать задачу Коши. При решении задачи задаем начальное несовершенство в пластинчатой системе. Для этого вводим бесконечно малую величину нагрузки QM\ Параметр критической нагрузки Р разбиваем на АР.
Итак для каждой ступени нагрузки АР решаем задачу Коши с начальными условиями. Для каждой последующей нагрузки Р принимается решение, полученное от предыдущего нагружения.
Нелинейные дифференциальные уравнения интегрируются численно методом Рунге-Кутта. Для уточнения значений г, и гк используем итерационный метод типа Ньютона. При приближении нагрузки Р к критическому значению итерационный процесс начинает расходиться. Уменьшая шаг нагрузки АР с достаточной точностью можно определить величину критической нагрузки Р.
Пространственная устойчивость пластинчатой системы односвязного контура По вышеизложенной теории исследуем устойчивость нелинейно-упругих пространственных пластинчатых систем с односвязным контуром поперечного сечения (рис. 3.3.1).
