Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Расчет составных стержней на статические нагрузки
1.1. Обобщение теории А.Р. Ржаницына по расчету составных стержней на случай больших перемещений 27
1.2. Определение напряжений в сечениях составляющих стержней и поперечных связях 31
1.3. Численный алгоритм расчета составных балок по обобщенной теории 33
1.4. Решение тестовых задач по расчету составных балок с использованием численного алгоритма 38
1.5. Расчет составных балок по обобщенной теории 45
1.6. Выводы по главе 1 50
Глава 2. Расчет составных балок: неразрезных, на упругом основании, с переменными значениями коэффициента жесткости шва и многослойных
2.1. Расчет неразрезных составных балок 51
2.2. Расчет составных балок на упругом основании 53
2.3. Расчет составных стержней с переменными значениями коэффициента жесткости шва 63
2.4. Расчет многослойных составных балок по обобщенной теории 71
2.5. Приближенная теория расчета многослойных составных балок 75
2.6. Выводы по главе 2 81
Глава 3. Расчет составных балок на устойчивость, продольно- поперечный изгиб и на динамические воздействия
3.1. Численный алгоритм расчета многослойных составных
балок на продольно-поперечный изгиб и устойчивость 82
3.2. Решение тестовых задач по расчету составных балок на устойчивость . 83
3.3. Расчет составных балок на продольно-поперечный изгиб 88
3.4. Определение собственных частот и форм колебаний
составной балки 93
3.5. Численный алгоритм расчета многослойных составных балок на вынужденные колебания 96
3.6. Выводы по главе 3 102
Глава 4. Расчет составных пластин на действие статических нагрузок
4.1. Формулы для главных кривизн изогнутой поверхности пластин 104
4.2. Учет уточненных значений кривизн в теории составных пластин А.Р. Ржаницына 106
4.3. Численный алгоритм расчета многослойных составных пластин на статические нагрузки 111
4.4. Уравнения для составной пластины из двух одинаковых слоев 120
4.5. Уравнения для составной пластины из четырех симметричных слоев 124
4.6. Выводы по главе 4 127
Шарнирно опертая по контуру двухслойная пластина со свободными на сдвиг торцами и с жесткими закреплениями против сдвигов 128
Двухслойная пластина с жестко заделанными сторонами и с одной свободной от закреплений стороной 136
Шарнирно опертая четырехслойная пластина 140
Влияние уточненных значений кривизны 144
Определение напряжений в сечениях составляющих пластин 146
Выводы по главе 5 148
Глава 6. Расчет составных пластин: неразрезных, на упругом основании, с переменными значениями коэффициента жесткости швов, многослойных и с учетом основании. Учет трещинообразования
6.1. Расчет неразрезных составных пластин
6.2. Расчет составных пластин на упругом значениями податливости поперечных связей
6.3. Расчет составных пластин с переменными коэффициента жесткости швов
6.4. Упрощенная теория расчета многослойных составных пластин
6.5. Расчет трехслойных пластин. Учет трещинообразования
6.6. Выводы по главе 6
Глава 7. Расчет составных пластин изгиб и устойчивость
7.1. Дифференциальные уравнения составных пластин при учете влияния продольных сил на изгибные деформации
7.2. Частные случаи расчета составных пластин на устойчивость 05=0, а=у)
7.3. Частные случаи расчета составных пластин на устойчивость (/3=0, афу)
7.4. Расчет на устойчивость трехслойных панелей с легким заполнителем. Сравнение с экспериментальными результатами
7.5. Пример расчета составной пластины на продольно-поперечный изгиб
7.6. Выводы по главе 7
Глава 8. Расчет составных пластин на динамические нагрузки
8.1. Дифференциальные уравнения составных пластин по теории А.Р. Ржаницына при расчете на динамические нагрузки 201
8.2. Определение частоты основного тона собственных колебаний двухслойной составной пластинки с нулевой толщиной шва 202
8.3. Частота основного тона собственных колебаний двухслойной составной пластинки при ненулевой толщиной шва 205
8.4. Расчет составных пластин на вынужденные колебания 208
8.5. Выводы по главе 8 212
Глава 9. Расчет составных
9.1. Расчет плоских двухветвевых
9.2. Приближенная методика расчета переменного сечения 9.3. Приближенный способ расчета переменной жесткости 9.4. Выводы по главе 9
Общие выводы по диссертации
Список литературы
- Численный алгоритм расчета составных балок по обобщенной теории
- Расчет составных стержней с переменными значениями коэффициента жесткости шва
- Решение тестовых задач по расчету составных балок на устойчивость
- Учет уточненных значений кривизн в теории составных пластин А.Р. Ржаницына
Численный алгоритм расчета составных балок по обобщенной теории
Построим численный алгоритм решения дифференциальных уравнений (1.3.8), (1.3.9), (1.3.4), привлекая разработанный в [49] метод последовательных аппроксимаций (МПА). Этот метод обладает высокой точностью, позволяет учитывать конечные разрывы искомой функции, ее первых двух производных, а также разрывы правых частей дифференциальных уравнений, не прибегая к использованию обобщенных функций. МПА успешно применялся к расчету пластин и оболочек на упругом основании и без основания, а также сжато-изогнутых монолитных балок в линейной и нелинейной постановке на действие статических, динамических нагрузок и на устойчивость [49]. Вполне естественна попытка построения численного решения рассматриваемой нами нелинейной задачи на базе разностных уравнений МПА. Это оправдано и тем обстоятельством, что для расчета составных балок по теории А.Р. Ржаницына (при /=1) численные методы не применялись. Поэтому в [174] автор ограничился аналитическим решением относительно простых задач. которые ниже будут использованы нами в качестве тестовых.
Из сопоставления (1.3.11) с (1.3.8) следует, что для аппроксимации последнего по МПА достаточно в (1.3.12) w заменить на т . Запишем это уравнение, опуская для упрощения правый верхний индекс при т, но по-прежнему понимая под т суммарный безразмерный изгибающий момент в сечении составной балки:
Для аппроксимации (1.3.9) во внутренней точке равномерной сетки достаточно в (1.3.12) - р заменить на правую часть (1.3.9). При записи этого уравнения будем полагать, что ползуны и врезанные шарниры в сечении составной балки отсутствуют; тогда AWj = Aw/ = Асо] = А со- =
Аппроксимация (1.3.15) с водится к замене в (1.3.12): w на t (i) и р - на правую часть (1.3.15). При записи этого уравнения будем считать разрывы t, Ґ , О), Ш и /, / равны нулю. Следует также иметь в виду, что индекс і означает номер шва, а индекс j - номер расчетной точки на безразмерной оси балки у/ . В результате получим следующее разностное уравнение:
Для расчета составной балки по обобщенной теории необходимо совместное решение алгебраических уравнений (1.3.13), (1.3.14), (1.3.17), записанных для каждой внутренней точки сетки, с привлечением (1.3.6) для вычисления СО и уравнений типа (1.3.19) - (1.3.21), применяемых в краевых точках j сетки в соответствии с заданными граничными условиями. Для точки правого края балки (1.3.19) - (1.3.21) записываются в «зеркальном отображении», при этом входящие в эти уравнения первые производные функций в точке j меняют знак на обратный.
Заметим, что если составная балка внешне статически определима, то выражения типа (1.3.13) образуют независимую систему алгебраических уравнений. То же самое справедливо для системы уравнений типа (1.3.17), если задачу решать в линейной постановке, т.е. при / = 1. После определения т, t и СО решается система уравнений типа (1.3.14).
Решение задачи при / = 1 имеет самостоятельное значение, поскольку соответствует теории А.Р.Ржаницына. Алгоритм решения задачи в геометрически нелинейной постановке (/Ф1) построим методом последовательных приближений. На первом этапе решается задача при / = 1 по указанной выше схеме. В случае малых перемещений этот этап оказывается и завершающим. На втором этапе численно определяются w по найденным на первом этапе w , и вычисляются по (1.3.7) / для каждой расчетной точки j . С учетом найденных fj решается указанная выше система разностных уравнений; определяются новые значения т , t , w . Процесс повторяется до исчерпания итераций с некоторой наперед заданной точностью.
Рассмотрим частный случай балки, состоящей из двух симметричных брусьев, причем жесткости каждого из них EI , EF . Мы здесь преследуем цель: показать на конкретных задачах изложенный в 1.3 алгоритм в развернутом виде и сопоставить полученные результаты численного решения при f = 1 с аналитическим решением [174].
В рассматриваемом случае уравнения (1.3.13), (1.3.19) остаются без измененений. По (1.3.6), поскольку шов один и п = 1, C0 = t1-C1; или опуская индекс 1, можно записать
В качестве первого примера решаем задачу [174]: по торцам шарнирно опертой двухслойной составной балки пролетом 2/ действуют опорные моменты т-1. Краевые условия: со = = 0 . Балка при минимальном числе разбиений изображена на рис. 1.4.1 (сосредоточенная сила, показанная пунктиром, относится ко второму примеру). m = 1
Видно, что сдвигающие силы из численного решения определяются также с высокой точностью. В качестве третьего примера рассмотрим расчет двухслойной балки на рис. 1.4.1, загруженной по всему пролету равномерно распределенной безразмерной нагрузкой/7=1. Краевые условия и параметры балки те же, что и в первых двух примерах. Для точки j = \ записываем уравнение (1.3.13)
Рассмотрим случай, когда на торцах балки имеются жесткие препятствия для сдвига. Согласно [174] вместо условия 70 = 0 имеем t0 = 0 .
Возвращаясь к первому примеру при условии 70 = 0 , поскольку другие краевые условия и параметры составной балки не меняются, имеем применительно к разбиению на рис. 1.4.1: т0 = т1 = т2 = 1. Для определения и % записываем при Т = 7] = f =1 соответственно уравнения (1.4.5), (1.4.6) с учетом краевых условий, симметрии и уже известных значений т и т =0:
Расчет составных стержней с переменными значениями коэффициента жесткости шва
В главе 2 показано, что разработанная в 1.3 численная методика может быть применена без каких-либо изменений к расчету неразрезных составных балок. В 2.2 эта методика распространяется на расчет составных балок на упругом основании. Рассмотрены балки на основании типа Винклера и с двумя коэффициентами постели.
В главе 2 проиллюстрировано, как разностные уравнения МПА могут быть использованы для решения дифференциальных уравнений с разрывными коэффициентами, что является развитием МПА, поскольку в [49] дифференциальные уравнения с разрывными коэффициентами не рассматривались, а учитывались разрывы искомой функции, производных этой функции и разрывы правых частей дифференциальных уравнений.
В этой же главе дается расчет четырехслойной составной балки, и разрабатывается приближенная теория многослойных составных балок, что резко упрощает исследование их НДС Расчет составных балок на устойчивость, продольно-поперечный изгиб и действие динамических нагрузок
Численный алгоритм расчета многослойных составных балок на продольно-поперечный изгиб и устойчивость
Аналогично [211] (стр.422) запишем дифференциальное уравнение (2.2.3) с учетом влияния сжимающих сил N на изгибные деформации: Аппроксимацию (3.1.4) по МПА для внутренней точки j равномерной сетки с шагом т и для точки j левого края запишем при непрерывных w , v/ и Amj=0:
Уравнения типа (3.1.5), записанные для каждой внутренней точки сетки, совместно с уравнениями (1.3.6), (1.3.14), (1.3.17), записанными при / = 1 для тех же точек, с привлечением уравнений (3.1.6), (1.3.20), (1.3.21) в зависимости от вида граничных условий для краевых точек образуют замкнутую систему линейных алгебраических уравнений для определения с учетом влияния продольных сил на изгибные деформации при заданных п, Am , р . Если положить в этих уравнениях Am = р = 0 , следовательно, и р = Ар = Ар = 0, получим однородную систему алгебраических уравнений относительно тех же неизвестных т , w , & ( i = 1,2...n; п - число швов). Приравнивая нулю главный определитель системы, в этом случае получим уравнение для определения пкр, что позволит по (3.1.3) при произвольных
Решение тестовых задач по расчету составных балок на устойчивость. Отметим, что под сжимающей силой N понимаем суммарную силу, каждая составляющая которой прикладывается к центру тяжести поперечного сечения отдельной ветви. Рассмотрим балку, составленную из двух одинаковых брусьев с размерами прямоугольного поперечного сечения ЬхН и с нулевой толщиной шва. В этом случае № в (1.1.17) взаимно уничтожаются. Дифференциальное уравнение (1.3.9) при т0 = т , co = t = и ai=a = 2 запишется так:
Такая подстановка позволяет решать внешне статически определимые задачи только относительно т и 7 . Если не требуется и вычисление w , прогибы могут быть найдены отдельно после определения т и 7 . Для той же точки 1 записываем уравнение (1.4.5) с соблюдением краевых условий при т = ] = f = 1 ; Атх = Ат{ = 0 : 0,625 тх - 2,833 \ = 0 . Приравнивая главный определитель системы этих двух уравнений нулю, получим Я = 0,2566. Тогда по (3.2.5) пкр = 6,16 . При т = пп = 6,26 . По аналитическому решению [174] (формула (4.5.8) на стр.158) при т] = .п =6,30 . Численное решение при = отличается от аналитического меньше чем на 1 % в сторону запаса.
Рассматривая симметричную форму потери устойчивости, уравнения можно записать лишь для точек 0, 1, 2 при т = с учетом краевых условий: w0 = WQ = t0 = 0 Уравнения (3.2.3), (1.4.5) для точек 1, 2 запишутся при Am = Am = р = 0; / = т] = 1 с учетом (3.2.5) так:
Алгоритм расчета многослойных составных балок с учетом влияния продольных сил на изгибные деформации изложен в 3.1. На базе этого алгоритма составлена общая программа для ЭВМ, которая позволяет рассчитать составную балку с произвольным числом слоев на произвольную нагрузку с учетом разных комбинаций краевых условий. При этом можно учитывать любое разумное число разбиений. Единственным ограничением является равномерная сетка. Но при необходимости программа может быть расширена на случай сетки с произвольными значениями шагов с использованием соответствующих разностных уравнений [49]. Следует однако иметь в виду, что, как известно из литературы по численным методам и по [49], надежные результаты численные методы дают в том случае, когда сетка равномерная или по возможности близка к равномерной.
Здесь мы на примере двухслойной балки с размерами ветвей bx Н и с нулевой толщиной шва покажем на задачах, для которых нетрудно получить точные решения, возможности, сходимость и точность разработанного выше численного алгоритма.
Решение тестовых задач по расчету составных балок на устойчивость
Уравнение (3.5.8), записанное для каждой расчетной точки j, решается совместно с уравнениями (1.3.14), (1.3.6), (1.3.17) (при /=1), также записанными для каждой внутренней точки j на fc -ом временном слое, т.е. все меняющиеся во времени величины в этих уравнениях должны быть снабжены верхним левым индексом {к). В зависимости от краевых условий задачи к системе перечисленных выше уравнений должны быть отнесены разностные уравнения (1.3.20), (1.3.21), также записанные для к -го временного слоя. Величина m в точке j левого края балки может быть определена по формуле (1.5.1), которая записывается с заменой w на m на к -ом временном слое. Для правого края балки это выражение формируется в «зеркально отображении», при этом т) меняет знак на обратный.
Алгоритм решения задачи следующий. При к=\ названные выше уравнения решаются относительно (1)га, (1)w, (1)7/ при заданных (в частности, нулевых) начальных значениях (0)w , ()w , т.е. при заданных начальных смещениях и скоростях. По (3.5.7) для каждой точки j пространственной сетки вычисляются скорости (1V. При найденных значениях решается относительно т , w, t ; по (3.5.7) вычисляются vv7 и так далее. Счет ведется до необходимого значения безразмерного времени t с некоторым выбранным временным шагом г .
Для иллюстрации алгоритма рассмотрим расчет двухслойной составной балки под действием равномерно распределенной по длине балки гармонической нагрузки (рис.3.5.1), где в- заданная частота внешней нагрузки.
Краевые условия задачи: m = w = 7 = 0 ; начальные условия: ()w=(0)vt/ = 0. Если задачу решать при числе разбиений по рис.3.5.1, то
Выберем временной шаг Г = Разумеется, при таких грубых значениях шагов: по пространственной координате (т = 1) и временной рассчитывать на получение удовлетворительных результатов не приходится. Здесь мы имеем целью только иллюстрацию описанного выше алгоритма. Запишем (3.5.8), задавшись Д = 2 ; = 0 , при j = \ (точка 1) и к=\ (первый временной слой) с учетом краевых и начальных условий. При этом {1)Р = sin 0,8 — ] = sin (о,2 )« 0,2 ; учтем также Ami = Арі = Арі = 0 ; получим: -2 ( 1Ц--42-10-( 1Ц = 12-0,2. (І) Далее для той же точки j = 1 при к = 1; TJ = f =1, полагая, что ветви составной балки прямоугольного сечения с размерами Ь х Н и с = Н , записываем уравнения (1.4.2), (1.4.5) с соблюдением краевых условий:
Исключая из приведенных выше уравнений (I), (II), (III) (1) и (1Ц , получим (1Vj = 0,00305 . С учетом найденного значения 1 w1и приведенных выше начальных условий по (3.5.7) при f = j получим {l)w[ = 0,00244 . Далее записываем уравнение (3.5.8) с учетом вычисленных значений 1 w1 и w[ вычисляется w1 , и в описанном порядке расчет ведется до некоторого наперед заданного значения t . Для проверки достоверности разработанного алгоритма обратимся к дифференциальным уравнениям движения составной балки, предложенным (при z = 0) А.Р.Ржаницыным в [174] (стр.213). Для рассмотренного выше случая двухслойной балки эти дифференциальные уравнения (IV порядка) запишем в безразмерных величинах:
Далее формируются разностные аналоги дифференциальных уравнений (3.5.11) - (3.5.14) по МПА для внутренней точки j пространственной сетки на к -ом временном слое. Здесь мы приводим эти разностные уравнения записанными для точки 1 рассмотренной выше задачи (рис.3.5.1) с учетом
Полученный результат подтверждает справедливость первого алгоритма, по которому для каждой расчетной точки сетки следует записывать лишь три типа разностных уравнений, а не четыре. Другими словами, можно было не повышать порядок дифференциальных уравнений, как это сделано в [174].
По разработанному алгоритму (1-му) составлена программа для ЭВМ [255]. Решение рассмотренной выше задачи по составленной программе дается ниже в виде табл.3.5.1 и рис.3.5.2. В табл. 3.5.1 даются значения wс, тс, Тс для середины балки, полученные на разных сетках в момент времени
Меньше внимания уделено определению собственных форм и частот составных балок, поскольку для решения задачи о вынужденных колебаниях используется метод прямого интегрирования уравнений движения, который, как показано в [14], не нуждается в предварительном определении собственных форм колебаний. Здесь же показано, что учет геометрической нелинейности играет существенную роль при расчете составных балок на продольно-поперечный изгиб.
Учет уточненных значений кривизн в теории составных пластин А.Р. Ржаницына
Что касается аппроксимации по МПА полученных дифференциальных уравнений, разностное уравнение (4.3.11) очевидно остается в силе. Из сопоставления (4.3.6) с (6.5.9а) следует, что для аппроксимации последнего во всех разностных уравнениях 4.3, аппроксимирующих (4.3.6), следует со заменить на 7 . Из сравнения (4.3.7) с (6.5.8а) можно заключить, что для аппроксимации (6.5.8а) уравнения (4.3.14), (4.3.17) следует записать при а -=0 с заменой t l , kt, ct, v соответственно на 7 , к\,\, к2 -7 . По экспериментальным данным [287]: Е\=2,\ МПа; //i=0,3 (сталь); ІІ=1,02 МПа; //=0,15 (керамзитобетон марки В10); =2,05 106 кН/м3 (вариант 1); =4x107 кН/м3 (вариант 2); согласно рис.6.5.1 /гі=0,001 м; /2=0,128 м.
На рис. 6.5.2 показана длина стороны квадратной трехслойной плиты ЙГ=1,14м: размеры участка загружения локальной равномерно распределенной нагрузкой 0,17x0,17 м. По [287] краевые условия: т = 7 = w = 0 . По (6.5.4), (6.5.5), (6.5.10), (6.5.11) соответственно: с = 0,0645 м; D0 = 1,824 -10 кНхм; для первого варианта &j =107,4; к2 = 0,9499 ; с =0,1132; =12,16 ; к2 = 1,95 .
Расчет на ЭВМ выполнен нами с учетом полученных выше значений коэффициентов и указанных краевых условий на квадратной сетке 14х14. При этом было принято: а=1,12 м, размеры грузовой площадки 0,160,16; равнодействующая внешней нагрузки Р=100 kH. При этом Wmax=5,710-4 м. По эксперименту [287] при той же нагрузке Wmax=7,510-4 м. Отличие результатов объясняется тем, что в нашем расчете не учитывалось трещинообразование.
Для учета возникающих трещин в керамзитобетоне (средний слой) в первую очередь следует найти нагрузку, при которой образуется первая трещина.
Выполнить это можно так. Как видно из рис.6.5.3, сдвигающие напряжения т , возникающие в нижнем и верхнем швах, определяемые дифференцированием функции Т [174] и приложенные к среднему слою, уравновешивают друг друга. Таким образом, сечение керамзитобетона работает только на поперечный изгиб. Изгибающие моменты на рис.6.5.3 не
Далее приближенную методику расчета рассматриваемой составной пластинки с учетом трещинообразования построим следующим образом. Будем считать, что в сечении среднего слоя, в котором о р = Rp, вследствие быстрого разрушения сжатой части бетона образуется сквозная по высоте сечения трещина (рис.6.5.4).
Тогда в этой расчетной точке, как и на торцах пластины, не будет препятствий сдвигам, и можно положить Т = « 0 . Но оставшиеся бетонные столбики будут служить жесткими поперечными связями (рис.6.5.5), и всё сечение пластины в области образования трещин будет работать с цилиндрической жесткостью D0, которую можно вычислить согласно рис.6.5.6 по известным формулам [31]: следует положить = Если полученный выше результат Р1=17 ,75кН с соответствующим прогибом центра пластины Wnn = Wmax = 1,01 -10" м. рассматривать как первый этап расчета, ко второму этапу перейдем, пересчитав пластину при пп = 0 . Найдем Мх , Му в точке п,п-1. Из условия ор = Rp найдем Р2 и соответствующее значение wnn = wmax .
При переходе к следующему этапу следует уже положить наибольшие значения, из условия сгр = Rp в точках п — 1,п — 1 или п,п — 2 найти Р3 и т.д. По этим результатам можно построить теоретическую кривую Р - Wmax . На рис.6.5.7 показана эта кривая, соответствующая варианту I. Звездочками показаны экспериментальные результаты [287].
В главе 6 изложена методика расчета неразрезных составных пластин. Показано, что каких-либо дополнительных уравнений в этом случае не требуется. Полученные ранее разностные уравнения следует лишь грамотно использовать.
При расчете составных пластин на винклеровском основании меняется лишь разностное уравнение (4.3.11). Методика расчета иллюстрируется на конкретном примере.
Уделено внимание расчету составных пластин с переменными значениями коэффициента жесткости швов . Изложена методика численного решения задачи по МПА в предположении, что в пределах одного шва меняется по кусочно-постоянному закону.
В 6.4 кратко изложена приближенная теория расчета составных пластин симметричной структуры. Показано, что допущение о том, что функция T во всех швах одна и та же, приводит к удовлетворительным результатам. В этом убеждаемся, сравнивая результаты приближенной теории с результатами точной теории А.Р. Ржаницына [174].
В последнем параграфе этой главы излагается расчет трехслойных пластин по [174]. Нами предлагается приближенная методика учета образования трещин в среднем слое. Сравнение результатов этой методики с экспериментальными данными [287] иллюстрирует их удовлетворительную сходимость.
