Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Обзор исследований по теории и численным методам расчета нелинейно-деформируемых тонкостенных конструкций на динамические воздействия 8
1.1. Построение теории однослойных и многослойных пластин и оболочек 8
1.2. Методы решения краевых и вариационных задач в теории пластин и оболочек 13
1.3. Методы и алгоритмы решения нелинейных задач с параметром продолжения 19
1.4. Методы и алгоритмы численного решения нелинейных динамических задач.. 24
Глава 2. Общие зависимости нелинейной теории однослойных и многослойных оболочек 29
2.1. Исходные нелинейные зависимости трехмерной теории и их упрощение 29
2.2. Техническая теория оболочек с учетом деформаций поперечного сдвига и теория оболочек с учетом деформаций поперечного сдвига и изменения прогиба по толщине 34
2.3. Геометрические соотношения нелинейно деформируемых оболочек в приращениях 39
2.4. Физические соотношения для однослойных и многослойных оболочек 44
2.5. Применение принципа Гамильтона-Остроградского для построения разрешающих уравнений нелинейной задачи динамики 52
Глава 3. Построение численных методик решения нелинейных задач динамики и устойчивости 54
3.1. Разностно-квадратурная аппроксимация функционала 54
3.2. Итерационные методы и методы дифференцирования по параметру 61
3.3. Вычисление коэффициентов матрицы Гессе и вектора невязки 73
3.4. Вычисление коэффициентов матриц масс и демпфирования 75
3.5. Прямые методы интегрирования уравнений движения 78
3.6. Анализ тестовых задач 83
Глава 4. Расчет многослойных оболочек и пластин из композиционных анизотропных материалов 85
4.1. Исследование свободных колебаний пластинки в линейной и нелинейной постановках при различных амплитудах 85
4.2. Исследование свободных колебаний удлиненной цилиндрической панели при различных кривизнах и амплитудах 88
4.3. Исследование зависимости частоты вьшужденных колебаний удлиненной пологой цилиндрической панели от частоты внешнего гармонического воздействия 92
4.4. Динамический анализ пологих оболочек из изотропных материалов. Оценка сходимости 96
4.5. Динамический и статический анализ пологих оболочек из изотропных материалов. Динамическая устойчивость 101
4.6. Динамический анализ пологих оболочек композиционных материалов. Динамическая устойчивость 103
4.7. Исследование напряженно-деформированного состояния многослойных замкнутых круговых цилиндрических оболочек 113
4.8 Воздействие ударной волны на замкнутую цилиндрическую оболочку из изотропного и многослойного ортотропного композиционного материалов 119
Заключение 138
Литература 140
Приложение 155
- Методы решения краевых и вариационных задач в теории пластин и оболочек
- Техническая теория оболочек с учетом деформаций поперечного сдвига и теория оболочек с учетом деформаций поперечного сдвига и изменения прогиба по толщине
- Итерационные методы и методы дифференцирования по параметру
- Исследование свободных колебаний удлиненной цилиндрической панели при различных кривизнах и амплитудах
Введение к работе
Тонкостенные конструкции, обладая высокой степенью экономичности и большим разнообразием форм, находят широкое применение в различных областях техники: машиностроении, приборостроении, авиации и космонавтике, кораблестроении, промышленном и гражданском строительстве. Весьма широк диапазон внешних воздействий, испытываемых оболочками, и видов применяемых в них материалов. В связи с этим анализ прочности и устойчивости тонкостенных конструкций при больших перемещениях приводит к необходимости решения краевых задач, описываемых нелинейными дифференциальными соотношениями (уравнениями равновесия или функционалами), которые в большинстве случаев могут быть успешно решены лишь с помощью численных методов.
Расчет и проектирование тонкостенных конструкций с использованием компьютерной техники составляет в настоящее время один из наиболее важных разделов строительной механики. При этом в общей схеме расчета оболочечных конструкций на прочность и устойчивость отправной точкой является формулировка соответствующей краевой задачи, включающей в себя построение исходных геометрических и физических соотношений, дифференциальных уравнений или вариационного функционала, а также формулировку граничных условий.
Наибольшее распространение в практике расчетов получили различные варианты теории оболочек, основанные на гипотезах Кирхгофа-Лява. Однако, при расчете тонкостенных конструкций средней толщины и конструкций, выполненных из композиционных анизотропных материалов, в контактных задачах эта теория дает значительную погрешность. В последнее время получили распространение различные уточненные технические теории, учитывающие деформации поперечного сдвига. Учет этих деформаций хотя и приводит к увеличению количества искомых функций перемещений, тем не менее позволяет строить более алгоритмичные вычислительные схемы при реализации решения задачи на ЭВМ.
При анализе стержневых и тонкостенных пространственных конструкций линейный расчет продолжает оставаться наиболее распространенным средством оценки прочности и устойчивости сооружений. Однако, как известно, он является лишь первым приближением, справедливым в ближайшей окрестности начального состояния. Использование новых высокопрочных конструкционных материалов, строительство большепролетных сооружений, стремление максимально использовать несущую способность материала приводят к необходимости учета как нелинейных характеристик материала, так и больших перемещений конструкции в процессе деформирования. В силу условий работы и предъявляемых эксплуатационных требований тонкостенные конструкции составляют, в первую очередь, тот класс задач, для которого нелинейный расчет с учетом геометрической нелинейности имеет определяющее значение.
Основными направлениями нелинейного анализа конструкций является в настоящее время разработка и совершенствование адекватных расчетных моделей и создание эффективных и экономичных алгоритмов численного решения краевых задач на ЭВМ. Среди методов решения задач строительной механики, получивших наибольшее распространение, следует отметить метод конечных элементов (МКЭ), вариационно-разностный метод (ВРМ), метод конечных разностей (МКР), метод граничных интегральных уравнений (МГИУ). Методы типа МКЭ или ВРМ отличает широкая область применимости, инвариантность по отношению к геометрии конструкции и физическим характеристикам материалов, относительная простота учета взаимодействия конструкций с окружающей средой (механические, температурные, коррозионные воздействия, граничные условия и т. д.), высокая степень приспособляемости к автоматизации всех этапов расчета. В ходе численной реализации этих методов весьма существенную роль играет тот факт, что вариационная постановка задачи приводит к снижению порядка производных по сравнению с формулировкой задачи в виде дифференциальных уравнений равновесия. Кроме того, матрица системы алгебраических уравнений имеет редко заполненную квазидиагональную структуру, что ускоряет численное решение задачи и сокращает требуемый объем машинной памяти. Использование ВРМ при решении краевой задачи дает возможность построить эффективный и гибкий алгоритм, позволяющий легко переходить от одной задачи к другой, внося в программу расчета, организованной в виде пакета прикладных программ, небольшие изменения, связанные в основном лишь с записью конкретного функционала и аппроксимирующих функций.
При исследовании устойчивости нелинейно деформируемых тонкостенных конструкций возникает необходимость построения кривых равновесных состояний, определения предельных и бифуркационных нагрузок и исследования
6 устойчивости форм равновесия при малых возмущениях параметров системы. Для построения кривых равновесных состояний и исследования устойчивости форм равновесия оболочечных конструкций весьма эффективным является класс методов, основная идея которого сводится к построению последовательности решений на основе имеющегося начального решения при шаговом изменении ведущего параметра. В качестве такого параметра продолжения решения может быть выбран параметр нагрузки, перемещение в некоторой заданной точке или длина дуги кривой равновесных состояний.
Целью диссертационной работы является:
1. Создание численных методик решения краевой нелинейной задач динамики оболочек, построения кривых равновесных состояний.
Разработка программного обеспечения для научно-исследовательских и инженерных расчетов тонкостенных конструкций, имеющего пакетную структуру и позволяющего дополнять и модифицировать программные модули при изменении постановки задачи.
Сравнение результатов расчета с известными аналитическими и численными решениями.
Научную новизну работы составляют:
1. Разработанные численные методики и алгоритмы решения задач динамики применительно к нелинейно деформируемым тонкостенным конструкциям (оболочкам).
2. Разработанные алгоритмы и полученные результаты решения динамических нелинейных задач устойчивости.
Практическая ценность диссертации состоит в разработке программного обеспечения, построенного в виде пакета прикладных программ по расчету различного типа однослойных и многослойных оболочечных конструкций при статическом и динамическом нагружениях.
Обоснованность и достоверность научных положений, выводов и рекомендаций определяется построением корректных математических моделей, выбором хорошо апробированных методов решения краевых задач, тщательной проработкой численных процедур реализации предложенных алгоритмов для ЭВМ. Решение ряда тестовых задач дает хорошее совпадение полученных численных результатов с расчетными данными других авторов и экспериментальными исследованиями пластин и оболочек.
По теме диссертации имеется 5 публикаций, в том числе 2 статьи.
Диссертация состоит из введения,' четырех глав, заключения и списка литературы.
В первой главе приведен краткий обзор работ по построению теории однослойных и многослойных пластин и оболочек, численным методам решения динамических и нелинейных задач прочности и устойчивости тонкостенных конструкций. Обоснован выбор математической модели.
Во второй главе построены геометрические соотношения нелинейно деформируемых тонкостенных конструкций с учетом деформаций поперечного сдвига относительно полных значений перемещений и относительно их приращений, приведены физические соотношения для различных материалов в рамках линейной теории упругости. Рассмотрены анизотропные однослойные и многослойные композиционные материалы. Описан вариационный подход к решению нелинейных задач расчета тонкостенных конструкций.
В третьей главе рассматриваются вопросы численного решения нелинейных динамических задач. Приведены разностно-квадратурные аппроксимации исходного функционала для расчета нелинейно деформируемых оболочек и формулы для вычисления коэффициентов разрешающей системы алгебраических уравнений. Описаны методики, базирующиеся на дискретном и непрерывном продолжении решения по параметру. Работоспособность предложенных алгоритмов анализируется на основе тестовых задач.
В четвертой главе исследуется напряженно-деформированное состояние и устойчивость многослойных тонкостенных конструкций, выполненных из композиционных анизотропных материалов под действием динамических нагрузок. Приведены результаты расчетов цилиндрических оболочек, находящихся под действием внутреннего давления, внешней волны давления. Рассмотрены задачи устойчивости цилиндрических, сферических и конических оболочек. Приведены результаты расчетов пластинок и оболочек, выполненных из материалов с низкой сдвиговой жесткостью.
Методы решения краевых и вариационных задач в теории пластин и оболочек
Расчет гибких тонкостенных конструкций типа пластин и оболочек приводит к решению задач, описываемых нелинейными дифференциальными выражениями в частных производных (уравнения равновесия или функционалы). Получение точных аналитических решений подобных задач в подавляющем большинстве случаев не представляется возможным. Поэтому большое теоретическое и практическое значение приобретает разработка и исследование численных методов и алгоритмов применительно к ЭВМ.
Используемые в строительной механике, в том числе в теории оболочек, методы решения задач могут быть условно разделены на три вида: 1. Методы решения краевой задачи, используемые для нахождения решения дифференциальных уравнений в совокупности с граничными условиями: метод Бубнова-Галеркина, метод В.З.Власова, метод конечных разностей. 2. Методы минимизации энергетических функционалов, используемые для нахождения экстремального (минимального) значения полной потенциальной энергии деформируемой системы: метод Ритца, вариационно-разностный метод (ВРМ), метод конечных элементов (МКЭ). 3. Методы линеаризации, сводящие нелинейную задачу к решению последовательности линейных задач: метод последовательных нагружений, метод упругих решений, метод малого параметра, метод Ньютона-Рафсона и другие.
Большое количество задач с различными типами граничных условий решено в тригонометрических рядах, методом Бубнова-Галеркина [30,32,63], В.З.Власова [80,109], малого параметра [78] в основном в невысоких (одном-двух) приближениях.
Эффективность методов Бубнова-Галеркина и Ритца во многом зависит от удачного подбора аппроксимирующих функций и числа варьируемых параметров. Увеличение числа варьируемых параметров приводит к высокому порядку системы нелинейных алгебраических уравнений, для решения которой необходимо использование ЭВМ. Все отмеченные выше методы, как правило, не позволяют получить решение задачи для областей, имеющих сложную геометрию и состоящих из различных типов материалов.
Среди численных методов важное место занимает метод конечных разностей (метод сеток). Применение этого метода к расчету пластин дано в работе П.М.Варвака, Л.П.Варвака [24]. Исследование пластин и оболочек в геометрически нелинейной постановке с помощью МКР приведено в монографии А.С.Вольмира [34]. Для решения задач изгиба прямоугольных и круглых пластин и пологих куполов М.С.Корнишиным был предложен вариант МКР повышенной точности [74]. Жестко защемленные и шарнирно-неподвижно опертые по контуру пологие цилиндрические оболочки рассматривались в работе М.С.Корнишина и Н.Н.Столярова [76]. Исследование гибких пластин и оболочек, имеющих в плане сложную конфигурацию, составленную из прямоугольников, выполнено Н.П.Петуховым [ПО], при этом использовался МКР в сочетании с методом блочной итерации по Гауссу, что позволило свести решение исходной системы алгебраических уравнений высокого порядка к последовательности решений систем более низкого порядка. Решение задачи о равновесии прямоугольной мембраны в пределах и за пределом упругости методом конечных разностей представлено в работе А.С.Григорьева [55]. При формулировке задачи предполагалось, что прогибы мембраны являются большими в сравнении с толщиной.
В результате сравнения трудоемкости вычислений по методам Ритца, Бубнова-Галеркина и конечных разностей М.С.Корнишиным показано, что для пластинок и пологих оболочек МКР является наиболее экономичным [74]. Однако метод конечных разностей имеет ряд определенных недостатков, связанных, в частности, с трудностями при решении задач на областях сложной формы, отличной от прямоугольной. Кроме того матрица системы линейных алгебраических уравнений в общем случае не обладает симметричной ленточной структурой, как это имеет место в методе конечных элементов, что приводит к необходимости хранить большие массивы в памяти ЭВМ.
Одним из наиболее эффективных современных методов численного решения инженерных задач с применением ЭВМ является метод конечных элементов. Идея представления сплошной среды в виде системы элементов конечных размеров восходит еще к Пуассону. Развитие МКЭ шло по двум направлениям. С одной стороны, он разрабатывался на основе методов строительной механики стержневых систем, и в частности, метода перемещений. С другой стороны, МКЭ развивался как некоторая разновидность вариационно-разностного метода решения задач математической физики. Начала этих направлений заложены в работах Хренникова [155], Мак Генри [157], Р.Куранта [149], Тернера, Клафа, Мартина, Топпа [169], Аргириса [142], а термин "конечный элемент" впервые появился в работе Клафа [148]. Постепенно оба эти направления стали объединяться друг с другом. В настоящее время общее количество публикаций по МКЭ насчитывает тысячи названий. Обширная библиография работ по этому методу, включающая свыше 8 тысяч источников, представлена в книге Д.Норри, Ж. де Фриза [161]. Описание основ МКЭ и его применение к задачам теории упругости, теории пластин и оболочек, гидро- и аэродинамики, теплопроводности, расчету стержневых систем, мембранных конструкций и многим другим задачам дано в монографиях О.Зенкевича [58], Д.Одена [106], Г.Стренга, Д.Фикса [122], Л.Сегерлинда [119], Р.Галлагера [44], К.-Ю.Бате, Е.Вилсона [15], Д.Норри, Ж. де Фриза [101], ВАПостнова, И.Я.Хархурима [112], Л.А.Розина [118], А.В.Александрова, Б.Я.Лащеникова, Н.Н.Шапошникова [4], Р.А.Хечумова, Х.Кепплера, В.И.Прокопьева [137].
Техническая теория оболочек с учетом деформаций поперечного сдвига и теория оболочек с учетом деформаций поперечного сдвига и изменения прогиба по толщине
Очередным шагом в последовательности преобразований трехмерных соотношений геометрически нелинейной теории упругости является переход к двумерным соотношениям теории оболочек. Он осуществляется путем введения следующих допущений: 1. Тангенциальные перемещения U и V изменяются вдоль оси z по линейному закону, а нормальные перемещения W постоянны по толщине оболочки (рис. 2.2.1): 2. Линейная деформация єзз = 0. Функции фи,аг), v(ai,oc2). w(ai,a2) характеризуют тангенциальные и нормальное перемещения точек срединной поверхности оболочки, а в си.аг), 8г(аі,а2) представляют собой углы поворота поперечных сечений оболочки. Подставим соотношения (2.2.1) в формулы для параметров деформаций (2.1.5) и (2.1.8). Учитывая принятое допущение (2.1.4) и пренебрегая слагаемыми, содержащими z2 , преобразуем формулы (2.1.10) к виду [94]: Формулы (2.2.4) являются следствием гипотезы о том, что нормаль, проведенная к срединной поверхности оболочки до деформации, остается нормальной к ней и после деформации. Подставляя (2.2.4) в (2.2.3), получим известные выражения для кривизн кц , кгг и кіг согласно классической теории Кирхгофа-Лява. Соотношения (2.2.2), (2.2.3) являются геометрическими соотношениями теории тонких оболочек и оболочек средней толщины в квадратичном приближении. Помимо большей точности, по сравнению с классической теорией Кирхгофа-Лява, они относительно просты и удобны при реализации на ЭВМ, поскольку не содержат производных выше первого порядка. В теории оболочек с учетом деформаций поперечного сдвига и изменения прогиба по толщине переход от трехмерных геометрически нелинейных уравнений к двумерным соотношениям теории оболочек выполняется путем введения следующих допущений: 1. Перемещения (J, Vv\ W изменяются вдоль оси z по линейному закону: 2. Линейная деформация єзз = 0. Рассмотрим формулу для ЄЦ ИЗ соотношений (2.1.6). Выразив Ч?і из первой формулы (2.1.7) через е-із и 0і и подставив его во вторую формулу (2.1.7) получим: Если учесть, что параметр en отличается от компоненты деформации на величину порядка квадрата углов поворота, и затем использовать допущение о малости компонентов деформации и углов поворота по сравнению с единицей, то формулу (2.2.6) можно преобразовать к виду: Аналогичным путем преобразуются формулы для остальных компонентов деформации в (2.1.6). В итоге получим:
Выражение для функции % в (2.2.7) записано с учетом принятых выше допущений. Подставим соотношения (2.2.5) в формулы для параметров деформаций (2.1.5) и (2.1.8). Учитывая (2.1.4) и пренебрегая искривлением поперечного сечения за счет обжатия оболочки по толщине (отбрасывая слагаемые, содержащие д%/да \ и д%1да2 ), преобразуем (2.2.7) к виду [129]: Формулы (2.2.8), (2.2.9) определяют геометрические соотношения теории оболочек в квадратичном приближении с учетом деформаций поперечного сдвига и обжатия по толщине. Если в выражения (2.2.8), (2.2.9) ввести гипотезу о равенстве нулю деформаций поперечного сдвига приняв е13 = егз = 0 , то есть считать \/1 = -91 и \\і2 = -9г , и опустить в формулах для кц и кгг квадратичные слагаемые, то можно получить геометрические соотношения классической теории оболочек Кирхгофа-Лява. Геометрические соотношения (2.2.9) для величин кц и кгг показывают, что учет изменения прогиба по толщине необходим при больших углах поворота поперечных сечений 8і и 02 и малых радиусах кривизны Ri и R2 . При расчете тонкостенных пространственных конструкций в нелинейной постановке с использованием численных методов применяются подходы, основанные на последовательности решений линейных задач при шаговом изменении ведущего параметра. В связи с этим для формулировки краевой задачи требуется записать исходные геометрические соотношения, связывающие приращения деформаций с приращениями перемещений. Выделим в недеформированном состоянии некоторый бесконечно малый элемент сплошной среды, которому в заданной системе координат соответствует точка Р. Предположим далее, что при изменении конфигурации тела от начального момента (недеформированное состояние) до момента времени t точка Р перешла в положение Р (рис. 2.3). При этом перемещения и деформации получают значения и , v , и/ , 0 , 02 , єц , єгг0 , єі2 , si3 , Є2з Следует отметить, что в данном случае решается статическая задача и параметр времени t имеет смысл параметра продолжения решения.
Итерационные методы и методы дифференцирования по параметру
Представим уравнение равновесия оболочки в виде: где Vl/V(u) - градиент потенциальной энергии деформации; Q - нормированный вектор узловых нагрузок.
При непрерывном изменении параметра р решения уравнения (3.2.1) образуют непрерывную последовательность равновесных состояний. В пространстве, определяемом внутренними параметрами состояния (обобщенными координатами) и внешними параметрами управления (параметрами внешних воздействий), непрерывная последовательность равновесных состояний системы представляет собой кривую равновесных состояний.
Состояния равновесия вблизи недеформированного состояния устойчивы и удовлетворяют условию: Необходимым условием, определяющим критическое состояние равновесия, является:
Таким образом, при движении по равновесной кривой от исходной недеформированной конфигурации, критическое состояние достигается тогда, когда определитель (3.2.2) первый раз обращается в ноль.
Будем полагать, что все компоненты вектора перемещений и параметр нагрузки являются функциями некоторого параметра s и каждому значению этого параметра однозначно соответствует некоторое равновесное состояние u(s), p(s). Система уравнений (3.2.1) задает в неявном виде кривую равновесных состояний в пространстве Х=(и, р)т, зависящую от некоторого параметра, называемого параметром продолжения решения. Эту роль может выполнять как параметр нагрузки р, так и любая компонента вектора перемещений и. Если в качестве ведущего параметра принять параметр нагрузки р, то с геометрической точки зрения решение задачи при ступенчатом нагружении сводится к определению точек равновесия, являющихся точками пересечения кривой равновесных состояний с семейством плоскостей
Однако в окрестности предельной точки ступенчатое увеличение нагрузки не позволяет получить решение. В частности, рамках метода Ньютона-Рафсона итерационный процесс, как правило, начинает расходиться или приводит к осцилляциям около некоторого значения вектора перемещений и. В этом случае следует либо задавать отрицательное приращение нагрузки [93], либо произвести смену ведущего параметра р на любую из компонент вектора и , для которой соответствующий матричный определитель не равен нулю [90].
При решении рассматриваемого класса задач наиболее целесообразным представляется подход [53,150,151,162,171], основанный на введении дополнительно к N уравнениям (3.2.1) Л/+1-го вспомогательного уравнения типа
Наиболее целесообразно принять в качестве ведущего параметра длину дуги s кривой состояний равновесия рассматриваемой механической системы, задаваемую соотношением [39]: либо определять ведущий параметр в виде линейной комбинации независимых переменных:
Коэффициенты осі выбираются с учетом дополнительных соображений на каждом шаге численного решения. В работе [162] было предложено задавать эти коэффициенты в виде нормированного вектора производных вектора и и параметра р с предыдущего шага:
Если вектор а задавать в виде (0 ... О 1)т или (О ... 1 О ... 0)т , то параметр продолжения s будет представлять собой параметр нагрузки р или соответствующее узловое перемещение U\ .
В итерационных методах на каждом уровне нагружения т , которому соответствует значение параметра продолжения sm , искомые функции u(sm) и p(sm) находятся путем последовательных приближений к точному решению. В качестве начального приближения обычно выбираются значения u(sm.-i) и p(sm.-\) с предыдущего шага нагружения. Одним из наиболее эффективных, с вычислительной точки зрения, методов решения рассматриваемого класса задач является метод Ньютона-Рафсона. Разложим функцию F(u, р) в ряд Тейлора с удержанием линейных слагаемых: где к - номер итерации; if{sm), p\sm) - значения искомых функций на итерации с номером к; t/"1"1 - значение искомой функции на итерации с номером к+1; At/+1, Ар 1 - приращения функций на последующей итерации; V2i/l/(t/(sm)) - матрица Гессе (матрица вторых производных) функции W(if(sm)) , VW(if(sm)) - градиент функции l/l i/ Sm)); хк - итерационный параметр.
Величина параметра х выбирается так, чтобы обеспечить убывание функции F(u, р) на каждой итерации. Существуют различные пути определения параметра итерации [96]. Один из них заключается в проверке неравенства:
Если неравенство (3.2.8) выполняется при хк =1, то шаг принимается равным единице и осуществляется следующая итерация. В противном случае шаг дробится до тех пор, пока условие (3.2.8) не выполнится.
Другой способ выбора итерационного параметра заключается в минимизации функции VW{if +т Д{/+1) с помощью одномерного поиска по т
Исследование свободных колебаний удлиненной цилиндрической панели при различных кривизнах и амплитудах
Геометрия пологой оболочки задается в системе ортогональных координат х, у, z. Геометрические соотношения принимают следующий вид: Рассматриваемая конструкция (удлиненная цилиндрическая панель) представляет собой пологую оболочку нулевой гауссовой кривизны. Рассчитьшалась половина вырезанной из оболочки полосы (рис. 4.2.1), имеющей следующие характеристики: - размер в плане (половины полосы) 0,5 м х 0,0625 м; - сетка элементов 8x1; - размер элемента в плане 0,0625 м х 0,0625 м; - толщина h = 0,01 м; - кривизны к\ =l/Ri= 0; 0.1; 0.24 м 1, к2 =1/Д2= 0; - распределенная масса 2.0-10+6 кг/м2; - коэффициент демпфирования с = 0; - физические характеристики материала: - граничные условия - шарнирно-неподвижное закрепление по краю, скользящая заделка в центре (на оси симметрии); - шаг по времени составляет 0,002 с, промежуток времени [0;8] с; - начальные условия приняты в виде полуволны синусоиды с максимальной амплитудой в центре оболочки (на оси симметрии). Рассмотрено три значения амплитуды: A=0.\h; h; 5h. Скорости и ускорения в момент времени t - 0 имеют нулевые значения. На рис. 4.2.2, 4.2.3 и 4.2.4 представлены графики относительных вертикальных перемещений центрального узла оболочек по времени при различных кривизнах и амплитудах колебаний. Из графиков видно, что при малой амплитуде (0.1 А) частота собственных колебаний оболочки, полученная с учетом нелинейного характера геометрических соотношений, практически не отличается от таковой, полученной в предположении линейности геометрических соотношений. По мере возрастания амплитуды, различия в результатах линейной и нелинейной постановок увеличиваются. Это говорит о том, что при больших амплитудах решение подобных задач в линейной постановке может привести к значительным погрешностям. - граничные условия - шарнирно-неподвижное закрепление по краю, скользящая заделка в центре (на оси симметрии); - шаг по времени составляет 0,002 с, промежуток времени [0;8] с; - начальные условия: перемещения, скорости и ускорения в момент времени t = 0 имеют нулевые значения. Рассчитана пологая сферическая однослойная оболочка на прямоугольном плане при различных шагах разностной сетки различных шагах по времени. Расчет произведен методом Ньюмарка и 9-методом Вилсона с учетом нелинейных геометрических соотношений вида (4.3.1). В силу наличия двух осей симметрии в расчетную схему включена одна четверть оболочки (до осей симметрии). Оболочка имеет следующие характеристики
