Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Вычислительные схемы и комплексы программ для решения обратной параметрической спектральной задачи 26
1.1. Непрерывный аналог метода Ньютона (НАМН) и его дис
кретное представление 26
1.1.1. Итерационная схема на основе НАМН 27
1.1.2. Алгоритмы вычисления итерационного параметра k 28
1.1.3. Дискретное представление и оценка точности вычислительной схемы 30
1.2. Методы решения прямых задач дискретного спектра . 32
1.2.1. Задача Штурма–Лиувилля как нелинейное уравнение 34
1.2.2. Задача для уравнения Шредингера и ее аппроксимация как задачи Штурма–Лиувилля 35
1.2.3. Алгоритм решения частичной задачи Штурма– Ли-увилля 36
1.2.4. Модифицированный алгоритм 37
1.2.5. Дискретное представление по переменной x 39
1.2.6. Алгоритм вычисления начальных приближений . 40
1.2.7. Комплексы программ SLIPM и SLIPH4M 41
1.2.8. Численные примеры 46
1.3. Метод решения задачи рассеяния на сферически симметричных потенциалах 55
1.3.1. Задача рассеяния как нелинейная граничная задача 57
1.3.2. Итерационная схема на основе НАМН 58
1.3.3. Программа SCAPES 59
1.3.4. Численный пример. Рассеяние на потенциале Морзе 63
1.4. Комплексы программ для решения обратной параметрической спектральной задачи 66
1.4.1. Комплекс программ PIPES для решения обратной задачи в дискретном спектре 66
1.4.2. Численный пример восстановления параметров потенциала Морзе по данным дискретного спектра 71
1.4.3. Комплекс программ DISCAPESM для решения обратной параметрической задачи рассеяния 74
1.4.4. Численный пример решения обратной задачи рассеяния на потенциале Морзе 80
Глава 2. Численное исследование моделей физических систем в постановке обратной параметрической задачи дискретно го спектра 86
2.1. Модель градиентного оптического волновода с эквидистантным спектром волноводных мод 86
2.1.1. Постановка задачи и численный метод решения . 88
2.1.2. Зависимость спектра Ey от параметров модели . 91
2.1.3. Модификация профиля показателя преломления . 93
2.2. Исследование моделей в рамках обратной параметрической задачи для уравнения Шредингера 97
2.2.1. Коррекция потенциала для расчета спектра молекулы водорода 98
2.2.2. Уточнение среднеквадратичного радиуса ядра гелия–6101
Глава 3. Численное решение прямой и обратной задачи рассеяния для сферически симметричных потенциалов,завися-щих от параметров(на примере потенциала Вудса–Саксона) 107
3.1. Рассеяние на потенциале Вудса–Саксона 109
3.2. Обратная задача рассеяния для потенциала Вудса–Саксона 112
3.3. Задача восстановления параметров потенциала по фиксированному набору фаз рассеяния и исследование точности от величины шума 114
3.4. Численное исследование влияния шума, налагаемого на заданные фазы, на собственные значения дискретного спектра 115
3.5. Исследование точности восстановления параметров потенциала в зависимости от числа заданных значений фаз рассеяния 122
Заключение 127
Публикации по теме диссертации 130
Список цитируемой литературы
- Алгоритмы вычисления итерационного параметра k
- Алгоритм решения частичной задачи Штурма– Ли-увилля
- Модификация профиля показателя преломления
- Исследование точности восстановления параметров потенциала в зависимости от числа заданных значений фаз рассеяния
Введение к работе
В диссертации предложен и численно реализован подход к исследованию математических моделей волновой и квантовой физики, которые могут быть сведены к частичной задаче Штурма-Лиувилля на конечном интервале или полуоси ^ 2>. В последнем случае это задачи дискретного или непрерывного спектра для радиального уравнения Шредингера 3>.
В частичной задаче Штурма-Лиувилля для линейного дифференциального уравнения
d2 d
^(1)(А,у) = [— + 2р(ж)— + q(x) - Хг(х)]у(х) = 0, а < х < Ь, (1)
с граничными условиями
ЧР*\\у)=Ш,х)± + и{\х)]у{х)
= 0, (2)
і = 1,2; х^ = а, х^ = Ъ и условием нормировки
v{A\\y)
(x)]2dx-l = 0, (3)
где А - числовой параметр, р(х), q(x), r(x), di(X,x), fi(X,x) - заданные функции, (di(X,x)2 + fi(X,x)2 > 0), требуется вычислить собственное значение А = А* и соответствующее ему решение у{х) = у*{х) задачи (1)-(3) или конечную последовательность {А^,г/^(ж)}, т = 0,1, ...,mmax собственных значений А = А^ и соответствующих решений у{х) = Ут(х)-Для радиального уравнения Шредингера
dxz х
2 , 2МЕ к—2—'- - У{х)\у{х) = 0, 0 < х < оо, (4)
где М > 0 - приведенная масса квантовой системы, Е - энергия, L = 0,1,2,... - орбитальный момент, V(x) - потенциал взаимодействия, ограниченные нетривиальные решения у(х) - волновые функции, удовлетворяющие условию регулярности
У(0) = 0, (5)
в дискретном спектре Е = Е^ (Е < 0,v = 0,1, 2,... - вибрационное число) имеют экспоненциально убывающую асимптотику
у(х) —> сф{х) = сех_р(—\/—2МЕх), х —> оо, (6)
где с - постоянная.
1 Шилов Г. Е. Математический анализ. — М.: Физматгиз. 1961. 437 с.
2 Глазман И. М. Прямые методы качественного спектрального анализа сингулярных
дифференциальных операторов. — М.: Физматгиз. 1963. 338 с.
3 Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Квантовая механика. — М.: Наука. 1974. 752 с.
Частичная задача дискретного спектра состоит в вычислении конечной последовательности значений энергии Е = E^v> и соответствующих волновых функций у(х) =y{v)(x), v = 0,l,2,...,wmax.
В непрерывном спектре (Е > 0) нетривиальные волновые функции у(х)
задачи (4)-(5) существуют для всех значений Е и имеют осциллирующую
асимптотику
Ьтг
у(х) —> Asin(kx — + 5ь), х —> оо, (7)
где к = у2МЕ - импульс, А - амплитуда, 5ь = $ь(к) - фаза рассеяния.
Частичная задача непрерывного спектра заключается в вычислении для заданной конечной последовательности значений импульса к = ki волновых функций у(х) = y(ki,x) и соответствующих значений фаз рассеяния h = h(ki), і = 1,2,..., imax.
Рассматриваются такие математические модели, зависимость которых от дополнительных параметров р = (р\,...,рп) приводит к зависимости от этих параметров спектральных задач (1)-(3), (4)-(6) и (4),(5),(7) и их решений.
Предполагается, что решения этих задач существуют.
В рамках рассматриваемых моделей теоретические значения изучаемых характеристик физических систем являются функционалами от спектральных характеристик, то есть решений указанных спектральных задач
{
{Лт(р),Ут(ж,Р)}, т = 0, l,...,mmax; задача (1) - (3),
{Е^(р),у^(х,р)}, v = 0,l,...,vmax, задача (4)-(6), (8)
{6L(ki,p),y(ki,x,p)}, і = 1,2,..., гтах; задача (4), (5), (7).
Таким образом, для каждой исследуемой модели возникает обратная параметрическая спектральная задача: по заданным (экспериментальным или тестируемым) значениям характеристик физической системы требуется в допустимой области Q параметров модели р Є Q восстановить спектральную задачу (то есть найти р = р*), с помощью которой обеспечивается минимальное отклонение заданных значений характеристик от теоретических.
Решение этой задачи можно свести к задаче минимизации по параметрам р = (р\,Р2, іРп) Є & функционала квадратичного типа
тіпФ(р) = ]>>ЛЛ--Ф,(Ф))]2, (9)
i=i
где fj - заданные (экспериментальные или предлагаемые для исследования) значения характеристик моделируемой физической системы, Ф^{г{р)) - функционалы, соответствующие теоретическим значениям этих характеристик и зависящие от решений z(p) (8) параметризованной спектральной задачи математической модели, ujj - весовые коэффициенты (ojj > 0), s - количество заданных данных. Относительный минимум в задаче (9) всегда существует в выбранной области П. По его величине и близости к абсолютному значению
"О" можно судить как о соответствии параметризации спектральной задачи и выбранной области П в математической модели изучаемой физической системы, так и о точности определения параметров модели.
Актуальность работы.
Проверка применимости математической модели, формализованной в виде уравнений, зависящих от параметров, для описания наблюдаемых характеристик изучаемой физической системы является важным шагом при обосновании этой модели. В диссертации численно исследованы характеристики физических систем в рамках следующих математических моделей, которые приведены к обратной параметрической спектральной задаче (9):
1. Модель градиентного оптического волновода с эквидистантным спектром волноводных мод 4)' 5).
Задача конструирования оптического волновода с эквидистантным спектром является актуальной, поскольку для регистрации выходного сигнала такого волновода проще изготовить разрешающую оптическую линейку. Технологически эта задача решается методом имплантации ионного пучка в вол-новодный слой, расположенный на подложке. В результате образуется вол-новодный слой с экспоненциально изменяющимся показателем преломления.
Задача определения спектра волноводной моды (Еу) является задачей Штурма-Лиувилля (1)-(3), где Л = /З2 - спектральный параметр, р(х) = О, г(х) = 1, q(x) = п2(х,р) - асимметричный экспоненциальный профиль показателя преломления волновода. Вектор параметров модели р = (d, А) состоит из двух компонент: d - высота имплантированного слоя, А - высота экспоненциального роста показателя преломления.
Для эквидистантности спектра собственных значений /32(р) (/ (р) >
/Зі(р) > /5|(Р) > > Р%(Р) > 0) требуется выполнение системы равенств
Рі(р) = Р2ІР) = = Pn(P), (ю)
где Pj(j>) = /5j_i(p) — /5j(p), j = 1, 2,..., N = N(jj). Задача о приближенном выполнении системы равенств (10) сведена к обратной параметрической спектральной задаче (9).
2. Коррекция потенциала для расчета спектра молекулы водорода.
Задача вычисления спектра (уровней энергии и соответствующих волновых функций) молекулы водорода (-) служит хорошим тестом для компьютерных программ решения уравнения Шредингера в дискретном спектре (4)-(6). Точность численных результатов определяется их сравнением с высокоточными данными спектроскопических измерений уровней энергии _ff2 По этим же данным в работе 6^ восстановлена потенциальная кривая (то есть приближенно решена обратная спектральная задача), представляющая таблично заданную функцию на отрезке 0.4 < х < 10 с неравномерным шагом. Метод преобразования этой таблицы для задания потенциала V(х) в конкретной программе зависит от реализованного в ней алгоритма решения задачи
4 Адаме М. Введение в теорию оптических волноводов. — М.: Мир, 1984. 512 с.
5 Маркузе Д. Оптические волноводы. — М.: Мир, 1974. 574 с.
6 Sharp Т.Е. Potential-energy curves for molecular hydrogen and its ions// Atomic Data
and Nuclear Data Tables. - 1971. - Vol. 2. - Pp. 119-169.
(4)-(6), точность воспроизведения спектроскопических уровней энергии . также зависит от этого метода.
Возникает задача о повышении точности воспроизведения экспериментальных значений уровней энергии при заданных параметрах алгоритма решения задачи (4)-(6) за счет коррекции построенного по таблице потенциальной кривой потенциала V(x). Один из подходов к решению этой задачи заключается в параметризации потенциала V(x) = V(x,p) и сведении ее к обратной параметрической спектральной задаче (9).
Отметим, что при решении стационарного трехмерного уравнения Шре-дингера методом Л.В. Канторовича оно приводится к бесконечной системе радиальных уравнений. Актуальной является задача построения эффективных приближений этой системы с помощью систем небольшого числа (одно, два) уравнений при условии сохранения асимптотик потенциалов, определяющих непрерывный спектр, и воспроизведения с необходимой точностью заданных точек дискретного спектра 7>. В цитируемой работе для решения этой задачи применяется метод продолжения по параметру, которым служит эффективная масса М квантовой системы. Предложенный в диссертации подход является развитием этого метода.
3. Уточнение среднеквадратичного радиуса ядра гелия—6.
В моделях ядерной физики широко используется потенциал Вудса-Сак-сона, который имеет вид 8)
ВД = Уо(1+ехр(—-))"\ (11)
где Vo, R, а - параметры.
Для изучения рассеяния нейтроноизбыточных ядер гелия—6 (6Не) высокой энергии на ядрах углерода—12 (12С) в работе 9^ использовалась ha-модель, в которой ядра 6Не рассматривались как кластер, составленный из двух фрагментов: ядра 4Не и динейтрона (2п). Характеристики взаимодействия фрагментов описываются в терминах задачи дискретного спектра (4)-(6). Для перехода в систему единиц /га-модели в уравнении (4) необходимо выполнить следующие подстановки: Е = —А, 2М = 0.06380480686 -константа, выражающаяся через приведенную массу фрагментов,
V{x) = V(x,p) = -2MU(x), (12)
где U{x) - потенциал Вудса-Саксона (11), р = (Vo, R, а) - вектор параметров. Безузловая волновая функция преобразованного уравнения Шредингера (4) у(>(х) (L = 0), нормированная условием
7 Виницкий СИ., Пузынин И.В., Пузынина Т.П. Простое эффективное адиабати
ческое представление в задаче трех тел и моделирование перехода квазистационарного
состояния в слабосвязанное для ttt/x—мезомолекулы// Ядерная физика. — 1992. — Т. 55,
Вып. 12. - С. 3271-3277.
8 Флюгге 3. Задачи по квантовой механике. — М.: Мир, 1974. Т. 1, 2.
9 Lukyanov V.K., Zemlyanaya E.V., Lukyanov K.V. Estimation of the breakup cross
sections in 6He+12C reaction within high-energy approximation and microscopic optical
potential// International Journal of Modern Physics E. — 2011. — Vol. 20, No. 9. — Pp.
2039-2047.
yw(x)2dx=l, (13)
представляет функцию связи фрагментов. Соответствующее ей собственное значение Л связано с энергией разделения фрагментов Е соотношением Л = 2.25Е, а среднеквадратичный радиус ядра 6Не вычисляется по формуле
1/2
y{0\x)2x2dx) . (14)
При значениях параметров потенциала (11)
V0 = 28.3, R= 1.45, а = 0.3 (15)
в цитируемой работе 9^ вычислены значение Е = 0.975, хорошо воспроизводящее экспериментальное значение энергии развала ядра 6Не, и значение Rrms = 2.62. Там же отмечено, что ранее было получено значение Rrms = 2.586 другими авторами в рамках крупномасштабной оболочечной (LSSM) модели ядра.
Сравнение и уточнение теоретических значений среднеквадратичного радиуса Rrms ядра 6Не представляет интерес для развития моделей ядра. Эта задача может быть рассмотрена в постановке обратной параметрической спектральной задачи (9) в физически допустимой окрестности Q значений параметров (15) потенциала Вудса-Саксона (И) с учетом экспериментального значения энергии развала Е ядра 6Не и проверяемых значений Rrms. В рамках /ю-модели по величине минимума (9) можно судить о точности каждого
Значения Rrms-
4. Обратная задача рассеяния на сферически симметричных потенциалах, зависящих от параметров.
Обратная задача рассеяния - фундаментальная задача теоретической физики, решение которой позволяет установить взаимодействие фрагментов физической системы по экспериментально наблюдаемым характеристикам их рассеяния.
В рамках уравнения Шредингера (4) эта задача о восстановлении потенциала V(x) по известным асимптотическим свойствам (7) его решений является некорректной, а условия полноты наблюдаемой информации, необходимые для разрешимости задачи, практически не выполняются.
В отличие от математической постановки обратной задачи квантовой теории рассеяния, для которой решены вопросы существования и единственности решения (см., например, 10^, стр. 200-223), предлагается упрощенный вариант, но более приближенный к физической постановке. В этой постановке предполагается, что потенциал V(x) в уравнении (4) дополнительно зависит от параметров квантовой системы. Восстановить потенциал V(x) в рамках выбранного параметрического семейства V(x,p), где р - вектор параметров из заданной области Q, по заданному набору значений фаз рассеяния
10 Марченко В.А. Операторы Штурма-Лиувилля и их приложения. — Киев: Наукова Думка, 1977. 330 с.
5*L = {51(ki),i = 1,2,...,га} означает найти вектор параметров р*, для которого достигается минимум функционала
Щ) = ^Шкг)-5ь{кг,р))2, (16)
г=1
где 8ь(кг,р) - значение найденной фазы рассеяния в задаче (4), (5), (7) с выбранным потенциалом V(x,p), р Є П при к = / и заданным значением L. В частности, потенциалом V(x,p) может быть один из модельных потенциалов, применяемых в различных разделах квантовой механики (например,8^). Задача минимизация функционала (16) представляет частный случай задачи (9). Такой подход к решению обратной задачи рассеяния не является строгим, однако, дает возможность преодолеть трудности, обусловленные некорректностью задачи и ограниченностью экспериментальных данных.
Рассмотренные модели, описываемые прямыми спектральными задачами, решения которых определяют теоретические характеристики физических систем, объединены единым подходом к их исследованию в рамках обратной параметрической спектральной задачи. Параметризация прямой задачи зависит от изучаемой модели. Она может быть выполнена как введением дополнительных параметров для сдвига части дискретного спектра (например, п)), так и естественным образом, когда потенциалы (коэффициенты) прямой задачи зависят от параметров модели. Однако, аналитическое решение спектральных задач для этих моделей практически невозможно. Поэтому важную роль в таком подходе играет эффективный вычислительный аппарат для расчета теоретических характеристик физических систем, включая численное решение прямых спектральных задач, и вычисления параметров модели, обеспечивающих минимальное отклонение теоретических характеристик от заданных.
В диссертации для решения спектральных задач (1)-(3), (4)-(6) и (4), (5), (7) используются итерационные схемы на основе обобщенного непрерывного аналога метода Ньютона (НАМН) 12> с выбором итерационного параметра, обеспечивающего оптимальную сходимость итераций в зависимости от невязки приближенного решения. Сингулярные задачи (4)-(6) и (4), (5), (7) аппроксимируются регулярными на конечном интервале 0 < х < b путем переноса асимптотических условий (6) и (7) в достаточно удаленную точку ж = 6 ^ 1. Приближенная задача дискретного спектра доопределяется условием нормировки (3), скорректированным для учета асимптотики на полуоси, а граничное условие при х = b имеет вид (2). Приближенная задача рассеяния формулируется как граничная задача с нелинейным граничным условием при х = 6, в котором неизвестная фаза рассеяния исключена. Фаза определяется после вычисления с помощью итераций волновой функции с учетом ее асимптотики. Для дискретной аппроксимации задач применяется
11 Захарьев Б.Н., Костов Н.А, Плеханов Е.Б. Точно решаемые одно- и многоканаль
ные модели (уроки квантовой интуиции I). ЭЧАЯ. 1990. Т. 21, Вып. 4. С. 914-962.
12 Пузынин И.В., Амирханов И.В., Земляная Е.В., Первушин В.Н., Пузынина Т.П.,
Стриж Т.А., Лахно В.Д. Обобщенный непрерывный аналог метода Ньютона для числен
ного исследования некоторых квантово-полевых моделей// Физика элементарных частиц
и атомного ядра (ЭЧАЯ). - 1999. - Т. 30, Вып. 1. - С. 210-265.
разностная схема с точностью аппроксимации 0(h4), где h - шаг равномерной сетки.
Выбранный численный метод обеспечивает устойчивое решение прямых спектральных задач для линейных дифференциальных уравнений второго порядка с контролируемой точностью в достаточно широких областях дискретного и непрерывного спектра. Он легко обобщается на многоканальные задачи для систем дифференциальных и интегро-дифференциальных урав-нении ;.
Для решения обратной параметрической спектральной задачи используются проверенные алгоритмы минимизации: классический метод покоординатного спуска 13) и современный метод Нелдера-Мида (например, 14^), не требующие вычисления производных функционала.
Разработка комплексов программ, реализующих алгоритмы решения поставленных спектральных задач, в программной среде MAPLE является актуальной, поскольку восполняет их отсутствие в этой среде и позволяет дополнить пользовательский интерфейс современными средствами компьютерной аналитики и графики.
Работы по теме диссертации выполнены в соответствии с научно-тематическими планами научно-исследовательских работ ОИЯИ при поддержке РФФИ (гранты 09-01-00770-а, 10-01-00467-а, 12-01-00396-а, 13-01-00595-а).
Цели и задачи исследований.
Цель диссертации: разработка комплексов программ на основе эффективных вычислительных схем и исследование с их помощью моделей оптического волновода и квантовых систем, описываемых спектральными регулярными и сингулярными задачами Штурма-Лиувилля, зависящими от параметров моделей, в рамках обратной задачи определения параметров, обеспечивающих минимальные отклонения заданных характеристик физических систем от теоретических.
Для достижения этой цели было необходимо решить следующие задачи:
1. Развитие имеющейся программы 15^ численного решения задачи Штурма-Лиувилля (1)-(3). Включение в программу процедур уточнения разностного решения на последовательности сгущающихся сеток 16^, а также вычисления начального значения итерационного параметра для уменьшения числа итераций. Разработка программы SLIPH4M на языке системы аналитических вычислений и компьютерной алгебры MAPLE. Выполнение тестовых расчетов примеров задачи (1)-(3) и задачи дискретного спектра уравнения Шредингера (4)-(6). Численное исследование влияния параметров вычислительной схемы на сходимость и точность результатов.
13 Калиткин Н.Н. Численные методы. — М.: Наука, 1978. 512 с.
14 Математический синтез оптических наноструктур. Учеб. пособие/ Ловецкий
К.П., Севастьянов Л.А., Паукшто М.В., Бикеев О.Н. - М.: РУДН, 2008. 213 с.
15 Пузынин И.В., Пузынина Т.П., Стриж Т.А. SLIPH4 - Программа для численного
решения задачи Штурма-Лиувилля// — Сообщения ОИЯИ, Р11-87-332, Дубна. — 1987.
16 Марчук Г. И., Шайдуров В. В. Повышение точности решений разностных схем.
- М.: Наука. 1979. 320 с.
2. Разработка алгоритма численного решения задачи рассеяния (4), (5),
(7) в постановке граничной задачи с нелинейным граничным условием для
волновой функции в достаточно удаленной точке, в котором фаза рассеяния
исключена17^, с помощью итерационной схемы Ньютона с параметром. Разра
ботка программы SCAPES на языке MAPLE. Выполнение тестовых расчетов
для численного исследования сходимости и точности вычислительной проце
дуры.
Отметим, что для решения регулярных и сингулярных задач Штурма-Лиувилля существуют процедуры устойчивого вычисления спектральных параметров, основанные на фазовом методе 13) (стр. 282-284), 18)' 19\
Обоснованием выбора в диссертации вычислительной схемы решения спектральных задач на основе НАМН служит устойчивость и точность, обеспечиваемые назначением ее параметров, а также возможность непосредственного использования вычисленных волновых функций, например, для построения специальных базисов разложения решений задач большой размерности 20>. Схему без принципиальных сложностей можно развить для систем уравнений, используя в программах матричные операции, тогда как фазовый метод для систем представляет сложность 19) (стр. 166-173).
-
Разработка на языке системы MAPLE процедур минимизации функционала (9) квадратичного типа, не использующих вычисления производных, в заданной области изменения параметров. Процедуры реализуют: а) метод покоординатного спуска 13^ (стр. 203-207), методы одномерной минимизации - метод золотого сечения 13) (стр. 196-198) и модификацию метода парабол 13-) (стр. 198-200); б) метод деформированного многогранника Нелдера-Мида 14) (стр. 9-18).
-
Разработка на языке MAPLE комплекса программ PIPES для вычисления параметров модельных потенциалов регулярной и сингулярной задачи Штурма-Лиувилля, минимизирующих отклонения экспериментальных данных от соответствующих теоретических величин, зависящих от собственных значений и собственных функций параметризованных уравнений.
-
Разработка на языке MAPLE комплекса программ DISCAPESM с включением в него программы SCAPES для решения прямой и обратной задачи рассеяния на сферически симметричных потенциалах, зависящих от параметров.
-
Численное исследование моделей оптического волновода и квантовой физики, включая построение функционалов в задаче (9), численное исследование сходимости и точности результатов. В обратной параметрической задаче рассеяния численное исследование точности восстановления парамет-
17 Huss R., Kalaba R., Vasudevan R. On a boundary value problem for integro-differential
equations// J. Math. Phys. - 1974. - Vol. 15, No 8. - Pp. 1285-1287.
18 Bailey P.B., Everitt W.N. and Zettl A. The SLEIGN2 Sturm-Liouville Code// ACM
Trans. Math. Software. - 2001. - Vol. 21. - Pp. 143-192.
19 Калоджеро Ф. Метод фазовых функций в теории потенциального рассеяния. —
М.: Мир, 1972. 296 с.
20 Ponomarev L.I., Puzynina Т.P., Somov L.N. Non-adiabatic Matrix Elements
Connecting the Discrete and Continuous Spectra of Two-Centre Problem in Quantum
Mechanics// J. Phys. B: Atom. Мої. Phys. - 1977. - Vol. 10, No 4. - Pp. 1335-1345.
ров потенциала в зависимости от числа заданных значений фаз рассеяния и от величины шума, накладываемого на заданные значения фаз. Численное исследование влияния ошибок в заданных фазах рассеяния на собственные значения дискретного спектра.
Научная новизна работы.
-
Развитие оригинального подхода к исследованию математических моделей волновой и квантовой физики, зависящих от параметров, основанного на постановке обратной задачи для вычисления параметров моделей, обеспечивающих минимальные отклонения теоретических характеристик физических систем от заданных.
-
В обратной задаче рассеяния на сферически симметричных потенциалах, зависящих от параметров, для прямой задачи адаптирована ее постановка как граничной задачи с нелинейным граничным условием, решение которой осуществляется итерационной схемой на основе НАМН.
-
Реализация на единой основе НАМН численного решения задач дискретного и непрерывного спектра для решения обратной параметрической спектральной задачи.
-
Новые комплексы программ решения обратной параметрической спектральной задачи на языке системы MAPLE.
-
Новые результаты численного исследования моделей конкретных физических систем.
Практическая значимость.
Комплексы программ SLIPM [В1], [В6]-[В9], SLIPH4M [В2], PIPES [ВЗ, В4, В10] и DISCAPESM [В5] с подробным описанием и тестовыми задачами сданы в библиотеку стандартных программ ОИЯИ JINRLIB. Адреса их размещений на сайтах:
Комплексы программ можно использовать для численного анализа математических моделей, приводящих к задачам Штурма-Лиувилля на конечном отрезке или полуоси, как для решения прямых спектральных задач, так и задачи о соответствии модели, зависящей от параметров, наблюдаемым характеристикам изучаемой физической системы.
Положения, выносимые на защиту.
-
Постановка обратной параметрической спектральной задачи для математической модели, описываемой задачей Штурма-Лиувилля на отрезке или полуоси, зависящей от параметров модели.
-
Итерационная схема на основе НАМН решения задачи рассеяния для радиального уравнения Шредингера, основанная на ее постановке как граничной задачи с нелинейным граничным условием в точке из асимптотической области для волновой функции.
-
Комплекс программ на языке системы MAPLE для решения обратной параметрической спектральной задачи, в котором решение задач дискретного и непрерывного спектра единообразно реализовано с помощью итерационных схем на основе НАМН.
4. Численное исследование параметров моделей оптического волновода с эквидистантным спектром волноводных мод, спектра молекулы водорода, нейтроноизбыточного ядра гелия-6 и обратной задачи рассеяния на сферически симметричных потенциалах.
Достоверность результатов основана на всестороннем тестировании разработанных комплексов программ, включая сравнения результатов расчетов с известными аналитическими и численными результатами, а также численные проверки сходимости и точности дискретных решений в зависимости от параметров дискретизации и их согласованности с теоретическими оценками 21>. При исследовании конкретных моделей также выполнен численный анализ, дающий достоверные оценки точности результатов.
Апробация работы. Результаты диссертации докладывались и обсуждались на международных и российских конференциях:
-
"Mathematical Modeling and Computational Physics. MMCP'2009" (July 7-11 2009, LIT JINR, Dubna, Russia), ;
-
"XLVI Всероссийская конференция по проблемам математики, информатики, физики и химии"(19 - 23 апреля 2010, РУДЫ, г. Москва). ;
-
"Международная молодёжная конференция-школа. Современные проблемы прикладной математики и информатики. MPAMCS'2012"
(22 - 27 августа 2012, ОИЯИ, г. Дубна),
Публикации. Основное содержание диссертации опубликовано в 10 печатных работах, из них 5 статей ([В1]-[В5]) - в изданиях из списка ВАК.
Личный вклад автора. Автор диссертации самостоятельно адаптировал и расширил возможности базовых программ решения задач Штурма-Лиувилля на языке системы аналитических вычислений и компьютерной алгебры MAPLE. Он самостоятельно разработал вычислительные схемы и комплексы программ решения обратной параметрической спектральной задачи, выполнил комплексное тестирование программ. Он провел все расчеты, относящиеся к численному исследованию представленных в диссертации моделей и оценке точности результатов. Автор участвовал в постановке задач и анализе полученных результатов совместно с научным руководителем.
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трёх глав и заключения. Список цитированной литературы содержит 50 наименований. Отдельным списком представлены работы автора по теме диссертации. Полный объем диссертации 137 страниц машинописного текста, включая 20 рисунков и 23 таблицы.
Алгоритмы вычисления итерационного параметра k
Решение этой задачи можно свести к задаче минимизации по парамет-рамр={рир2,...,Рп)еП функционала квадратичного типа заданные (экспериментальные или предлагаемые для исследования) значения характеристик моделируемой физической системы, Ф3(г(р)) - функционалы, соответствующие теоретическим значениям этих характеристик и зависящие от решений z(p) (0.8) параметризованной спектральной задачи математической модели, ш3 - весовые коэффициенты {ш3 0), s - количество заданных данных. Относительный минимум в задаче (0.9) всегда существует в выбранной области П. По его величине и близости к абсолютному значению ”0” можно судить как о соответствии параметризации спектральной задачи и выбранной области П в математической модели изучаемой физической системы, так и о точности определения параметров модели.
Актуальность работы. Проверка применимости математической модели, формализованной в виде уравнений, зависящих от параметров, для описания наблюдаемых характеристик изучаемой физической системы является важным шагом при обосновании этой модели. В диссертации численно исследованы характеристики физических систем в рамках следующих математических моделей, которые приведены к обратной параметрической спектральной задаче (0.9):
1. Модель градиентного оптического волновода с эквидистант ным спектром волноводных мод [4, 5]. Задача конструирования оптического волновода с эквидистантным спектром, исследованная в Главе 2, является актуальной, поскольку для регистрации выходного сигнала такого волновода проще изготовить разрешающую оптическую линейку.
2. Коррекция потенциала для расчета спектра молекулы во дорода. Задача вычисления спектра (уровней энергии и соответствующих волновых функций) молекулы водорода (H2) служит хорошим тестом для компьютерных программ решения уравнения Шредингера в дискретном спектре (0.4)–(0.6). Точность численных результатов определяется их сравнением с высокоточными данными спектроскопических измерений уровней энергии H2 [6]. По этим же данным в работе [6] восстановлена потенциальная кривая (то есть приближенно решена обратная спектральная задача), представляющая таблично заданную функцию на отрезке 0.4 x 10 с неравномерным шагом. Метод преобразования этой таблицы для задания потенциала V (x) в конкретной программе зависит от реализованного в ней алгоритма решения задачи (0.4)–(0.6), точность воспроизведения спектроскопических уровней энергии H2 также зависит от этого метода.
Возникает задача о повышении точности воспроизведения экспериментальных значений уровней энергии при заданных параметрах алгоритма решения задачи (0.4) –(0.6) за счет коррекции построенного по таблице по-8 тенциальной кривой потенциала V(х). Один из подходов к решению этой задачи заключается в параметризации потенциала V(x) = V(x,p) и сведении ее к обратной параметрической спектральной задаче (0.9).
Отметим, что при решении стационарного трехмерного уравнения Шре-дингера методом Л.В. Канторовича оно приводится к бесконечной системе радиальных уравнений. Актуальной является задача построения эффективных приближений этой системы с помощью систем небольшого числа (одно, два) уравнений при условии сохранения асимптотик потенциалов, определяющих непрерывный спектр, и воспроизведения с необходимой точностью заданных точек дискретного спектра [7]. В цитируемой работе для решения этой задачи применяется метод продолжения по параметру, которым служит эффективная масса М квантовой системы. Предложенный в диссертации подход является развитием этого метода.
Уточнение среднеквадратичного радиуса ядра гелия—6. В моделях ядерной физики широко используется потенциал Вудса-Сак-сона, который имеет вид [8] f/M = W+eXp(—)Г\ а где Vo, R-, а - параметры. Для изучения рассеяния нейтроноизбыточных ядер гелия-б (6Яе) высокой энергии на ядрах углерода-12 (12С) в работе [9] использовалась ha– модель, в которой ядра 6Не рассматривались как кластер, составленный из двух фрагментов: ядра 4Яе и динейтрона (2п). Характеристики взаимодействия фрагментов описываются в терминах задачи дискретного спектра (0.4)–(0.6). Для перехода в систему единиц /га–модели в уравнении (0.4) необходимо выполнить следующие подстановки: Е = —А, 2М = 0.06380480686 - константа, выражающаяся через приведенную массу фраг ментов, потенциал V(x) имеет вид
В Главе 2 проведено численное исследование этой проблемы, проведено сравнение и уточнение теоретических значений среднеквадратичного радиуса Rrms ядра 6Не, представляющего интерес для развития моделей ядра. Эта задача может быть рассмотрена в постановке обратной параметрической спектральной задачи (0.9) в физически допустимой окрестности Q значений параметров потенциала Вудса-Саксона с учетом экспериментального значения энергии развала Е ядра 6Не и проверяемых значений Rrms. В рамках /га–модели по величине минимума (0.9) можно судить о точности каждого значения Rrms.
Обратная задача рассеяния на сферически симметричных потенциалах, зависящих от параметров.
Обратная задача рассеяния - фундаментальная задача теоретической физики, решение которой позволяет установить взаимодействие фрагментов физической системы по экспериментально наблюдаемым характеристикам их рассеяния.
В рамках уравнения Шредингера (0.4) эта задача о восстановлении потенциала V(x) по известным асимптотическим свойствам (0.7) его решений является некорректной, а условия полноты наблюдаемой информации, необходимые для разрешимости задачи, практически не выполняются.
В отличие от математической постановки обратной задачи квантовой теории рассеяния, для которой решены вопросы существования и единственности решения (см., например, [10, с. 200-223]), предлагается упрощенный вариант, но более приближенный к физической постановке. В этой постановке предполагается, что потенциал V(x) в уравнении (0.4) дополнительно зависит от параметров квантовой системы. Восстановить потенциал V(x) в рамках выбранного параметрического семейства V(x,p), где р - вектор параметров из заданной области П, по заданному набору значений фаз рассеяния 8 L = {5:l(ki),i = l,2,...,m} означает найти вектор параметров р , для которого достигается минимум функционала где 5ь(кг,р) - значение найденной фазы рассеяния в задаче (0.4), (0.5), (0.7) с выбранным потенциалом V(x,p), р Є Q при к = кг и заданным значением L. В частности, потенциалом V(x,p) может быть один из модельных потенциалов, применяемых в различных разделах квантовой механики (например, [8]). Задача минимизация функционала (0.10) представляет частный случай задачи (0.9). Такой подход к решению обратной задачи рассеяния не является строгим, однако, дает возможность преодолеть трудности, обусловленные некорректностью задачи и ограниченностью экспериментальных данных.
Рассмотренные модели, описываемые прямыми спектральными задачами, решения которых определяют теоретические характеристики физических систем, объединены единым подходом к их исследованию в рамках обратной параметрической спектральной задачи. Параметризация прямой задачи зависит от изучаемой модели. Она может быть выполнена как введением дополнительных параметров для сдвига части дискретного спектра, (например, [11]) так и естественным образом, когда потенциалы (коэффициенты) прямой задачи зависят от параметров модели.
Алгоритм решения частичной задачи Штурма– Ли-увилля
4. Численное исследование параметров моделей оптического волновода с эквидистантным спектром волноводных мод, спектра молекулы водорода, нейтроноизбыточного ядра гелия–6 и обратной задачи рассеяния на сферически симметричных потенциалах в постановке обратной параметрической спектральной задачи.
Достоверность результатов основана на всестороннем тестировании разработанных комплексов программ, включая сравнения результатов расчетов с известными аналитическими и численными результатами, а также численные проверки сходимости и точности дискретных решений в зависимости от параметров дискретизации и их согласованности с теоретическими оценками [21]. При исследовании конкретных моделей также выполнен численный анализ, дающий достоверные оценки точности результатов.
Апробация работы. Результаты диссертации докладывались и обсуждались на международных и российских конференциях:
Международная молодёжная конференция-школа. Современные проблемы прикладной математики и информатики. MPAMCS 2012" (22 – 27 августа 2012, ОИЯИ, г. Дубна). http://mpamcs2012.jinr.ru Публикации. Основное содержание диссертации опубликовано в 10 печатных работах, представленных отдельным списком, из них 5 статей ([В1]–[В5]) – в изданиях из списка ВАК и 5 работ ([В6]–[В10]) – в сборниках трудов конференций и в виде препринтов ОИЯИ. Личный вклад автора.
Автор диссертации самостоятельно адаптировал и расширил возможности базовых программ решения задач Штурма–Лиувилля на языке системы MAPLE. Он самостоятельно разработал вычислительные схемы и комплексы программ решения обратной параметрической спектральной задачи, выполнил комплексное тестирование программ. Он провел все расчеты, относящиеся к численному исследованию представленных в диссертации моделей и оценке точности результатов. Автор участвовал в постановке задач и анализе полученных результатов совместно с научным руководителем.
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трёх глав и заключения. Список цитированной литературы содержит 50 наименований. Отдельным списком представлены работы автора по теме диссертации. Полный объем диссертации 137 страниц машинописного текста, включая 20 рисунков и 23 таблицы. Главы диссертации разбиты на параграфы, параграфы разделены на пункты. Нумерация формул, таблиц и рисунков сквозная в пределах каждой главы. Краткое содержание работы
Введение содержит описание класса исследуемых математических моделей. Даны постановки частичных спектральных задач Штурма–Лиувил-ля и задач дискретного и непрерывного спектра для радиального уравнения Шредингера. Сформулирована обратная параметрическая спектральная задача для прямых спектральных задач, зависящих от параметров, описывающих модели волновой и квантовой физики. Она сводится к минимизации по параметрам в заданной области функционала, характеризующего отклонения экспериментальных данных от их теоретических значений в изучаемых математических моделях физики. Приведены конкретные модели, представляющие предмет исследований. Рассмотрены методы численного решения поставленных задач и вопросы разработки необходимых комплексов программ. Обсуждаются актуальность и новизна исследований, их практическая применимость. Сформулированы положения, выносимые на защиту, дано обоснование достоверности полученных результатов.
Глава 1 представляет описание вычислительных схем и комплексов программ для решения обратной параметрической спектральной задачи, ориентированных на исследование конкретных моделей. Рассмотрен общий подход к построению итерационных схем на основе НАМН, алгоритмы вычисления итерационного параметра в зависимости от изменения невязки приближенного решения. Обсуждается методика оценки точности численного решения нелинейного функционального уравнения, полученного с помощью итерационной схемы. На основе общего подхода рассмотрены итерационные схемы для численного решения задачи Штурма–Лиувилля и задачи дискретного спектра для уравнения Шредингера, приведенного к задаче Штурма–Лиувилля путем переноса асимптотики волновой функции из бесконечности в достаточно удаленную конечную точку. Дано описание комплекса программ SLIPH4M на языке системы MAPLE для численного решения задачи Штурма–Лиувилля. Комплекс SLIPM имеет аналогичную структуру.
Задача рассеяния на сферически симметричном потенциале сведена к граничной задаче для уравнения Шредингера с нелинейным граничным условием в конечной достаточно удаленной точке. Для ее численного решения разработана итерационная схема. Фаза рассеяния при заданном значении импульса определяется после вычисления волновой функции. Разработанный алгоритм реализован на языке MAPLE в виде программы SCAPES.
Модификация профиля показателя преломления
Здесь приводятся результаты аналогичных тестов для подтверждения точности обсуждаемой вычислительной программы SCAPES. По сравнению с работой [39] для аппроксимации задачи (1.54), (1.70)-(1.72) выбран более широкий интервал с границами хт[п = - 5, жтах = 45. При шаге равномерной разностной сетки h = 0.1 для сравнительно большого значения к = 3.5, дающего высокую осцилляцию волновой функции (см. рис. 1.5), относительная ошибка вычисления 6 фазы рассеяния (1.69) по сравнению с аналитическим значением (1.73) составляет 0.3. В дальнейшем параметр h уточняется с целью уменьшения ошибки.
Для заданного значения к из интервала 10-4 к 3.5, более широкого, чем в работе [39], волновая функция у(х) вычисляется с помощью итераций 1)-3). При начальном приближении у0(х) = sinkx, для которого начальная невязка (1.66) в равномерной сеточной норме лежит в интервале 10 єо 21 103, и при вычислении итерационного параметра Tj (j = 1, 2,...) по формуле алгоритма 3 (1.7) и е0 по формуле (1.8a) ГО Т3 = fe-lMh-1 1,70 = "= 1} 1 за 4 итерации достигался уровень окончательной невязки (10-17 -Ю-11), если є = 10-10 в условии (1.67). Характер сходимости приближений yj{x) при к = 0.1 изображен на рис. 1.6.
Численное исследование сходимости фаз рассеяния 6(к) для различных к, вычисленных по формулам (1.68), (1.69) на последовательности вдвое сгущающихся сеток узлов, подтверждает точность их вычисления О (/г4) и сходимость к аналитическим значениям 5ап(к) (1.73). Результаты приведены в табл.
Комплекс программ PIPES для решения обратной задачи в дискретном спектре Проверка в рамках задачи Штурма-Лиувилля на отрезке или полуоси применимости выбранной модели, зависящей от параметров, для опи сания наблюдаемых характеристик изучаемой физической системы может привести к задаче вычисления значений этих параметров, обеспечивающих минимальное отклонение теоретических значений характеристик от экспериментальных. Таким образом, для исследуемой модели возникает обратная задача, в которой по заданным значениям характеристик физической системы требуется восстановить в параметрическом семействе конкретную задачу, с помощью которой можно наилучшим образом воспроизвести эти значения.
Для рассматриваемой здесь задачи дискретного спектра теоретические значения экспериментальных величин являются функционалами, зависящими от собственных значений и собственных функций задачи Штурма– Лиувилля. В этом случае обратная задача может быть сведена к минимизации квадратичного функционала отклонений между заданными и теоретическими значениями в области допустимых значений параметров модели. При заданном наборе параметров вычисление значения минимизируемого функционала реализуется с использованием описанной выше программы SLIPH4M. Это обосновано тем, что в ряде случаев задача Штурма–Лиувил-ля может быть решена только численно. Примером может служить задача дискретного спектра для уравнения Шредингера с широко используемым в ядерной физике потенциалом Вудса–Саксона, задача для которого будет рассмотрена ниже. Поскольку в модельных коэффициентах уравнений число параметров сравнительно невелико, применяется метод покоординатного спуска, сводящий исходную задачу минимизации к последовательности одномерных задач минимизации [13]. Отметим, что при численной реализации решения обратной задачи в рассматриваемой постановке, в отличие от общей задачи (см. например [23]), не возникают плохо обусловленные уравнения, поскольку восстановление коэффициентов уравнения выполняется в рамках выбранного параметрического семейства.
Исследование точности восстановления параметров потенциала в зависимости от числа заданных значений фаз рассеяния
Проверка в рамках радиального уравнения Шредингера (0.4) применимости выбранного модельного потенциала взаимодействия, зависящего от параметров, для описания наблюдаемых характеристик изучаемой квантовой системы может привести к задаче вычисления значений этих параметров, обеспечивающих минимальное отклонение теоретических значений характеристик от экспериментальных. Таким образом, для исследуемой модели возникает обратная задача, в которой по заданным значениям характеристик квантовой системы требуется восстановить в параметрическом семействе конкретный потенциал, с помощью которого можно наилучшим образом воспроизвести эти значения. Для рассматриваемой здесь задачи дискретного спектра теоретические значения экспериментальных величин являются функционалами, зависящими от уровней энергии (собственных значений) и волновых функций (собственных функций) уравнения Шре-дингера (0.4)–(0.6). В этом случае обратная задача может быть сведена к минимизации квадратичного функционала отклонений между заданными и теоретическими значениями в области параметров модельного потенциала. При заданном наборе параметров вычисление минимизируемого функционала реализуется с использованием программы SLIPH4M [B2]. Это обосновано тем, что для некоторых модельных потенциалов уравнение Шрединге-ра может быть решено только численно. Примером может служить широко используемый в ядерной физике потенциал Вудса–Саксона, задача для которого будет рассмотрена ниже [9]. Поскольку в модельных потенциалах число параметров сравнительно невелико [8], применяется метод покоординатного спуска, сводящий исходную задачу минимизации к последова тельности одномерных задач минимизации [13]. Отметим, что при численной реализации решения обратной задачи в рассматриваемой постановке, в отличие от общей задачи (см. например [23]), не возникают плохо обусловленные уравнения, поскольку восстановление потенциала выполняется в рамках выбранного параметрического семейства. В работе даны описание комплекса программ решения поставленной обратной задачи и примеры его применения к численному исследованию двух моделей из ядерной физики [9, B2].
Коррекция потенциала для расчета спектра молекулы водорода
В главе 1 (пример 3, пункт 1.2.8) рассмотрена задача вычисления спектра (уровней энергии и соответствующих волновых функций) молекулы водорода H2 с применением программы SLIPH4M [B2]. Эта задача является тестовой для программы, поскольку точность численных результатов определяется их сравнением с высокоточными данными спектроскопических измерений уровней энергии H2. По этим же данным была восстановлена потенциальная кривая, представляющая таблично заданную функцию на отрезке 0.4 x 10 с неравномерным шагом. Для использования программы SLIPH4M потенциальная кривая с помощью экстраполяции и интерполяции непрерывно продолжается на интервал 0 x 10 и строится потенциал V (x) уравнения Шредингера (0.4), который проектируется на разностную сетку с равномерным шагом, соответствующим требуемой точности расчетов. Было отмечено, что на точность решения рассматриваемой задачи оказывают влияние ошибки, обусловленные алгоритмами непрерывного продолжения потенциала.
Для уменьшения указанных ошибок рассмотрим коррекцию продолженного потенциала V (x) при сохранении всех параметров вычислительной схемы программы SLIPH4M [B2]. Введем параметризацию продолженного потенциала в виде
Здесь E able(eV) - экспериментальное значение уровня энергии Щ, измеренное в электрон-вольтах; Ev(p)(eV) - вычисленное значение уровня энергии при заданном значении параметра р для потенциала V(x,p) (2.12), приведенное к началу отсчета экспериментальных данных и переведенное в электрон-вольты; UJV - весовой коэффициент, значение которого задается.
Одномерная по параметру р минимизация функционала (2.13) выполнена с помощью процедур GSMIN и PARMIN [B3]. Результаты вычислений приведены в таблице 2.3. Для сравнения в ней также представлены данные из главы 1 в таблице 1.3: экспериментальные значения уровней энергии молекулы Н2 (колонка 1) и вычисленные значения с потенциалом V(х) (колонка 2). В колонках 3, 4 даны значения уровней энергии Н2, вычисленные с помощью процедур GSMIN и PARMIN соответственно. В функционале (2.13) все веса UJV = 1. В колонке 5 показаны вычисленные с помощью процедуры PARMIN значения уровней энергии Я2 для функционала (2.13), в котором UJV = 1 для v = 0,12 и х 13 = 2.5. В таблице 2.3 приведены в соответствующих колонках вычисленные значения параметра р, величины А = тах/е - Ev{p)\ и значения Ф(р) (2.13).
