Содержание к диссертации
ВВЕДЕНИЕ 5
Глава 1. НЕЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ ПОЛОГИХ ОБОЛОЧЕК СТУПЕНЧАТО-ПЕРЕМЕННОЙ ТОЛЩИНЫ 22
1.1. Основные соотношения для пологих оболочек ступенчато-переменной толщины при конечных прогибах -
1.2. Нелинейные уравнения движения пологих оболочек ступенчато-переменной толщины 28
1.2.1. Модель Кирхгофа-Лява -
1.2.2. Модель Тимошенко - Рейснера 36
1.3. Нелинейные уравнения движения пологих оболочек ступенчато-переменной толщины в перемещениях и в безразмерном виде 39
1.4. О краевых условиях на боковой поверхности ребер и на краю вырезов 47
1.5. Нелинейные уравнения движения пологих оболочек, ослабленных сквозными вырезами 49
1.6. Выводы 50
Глава 2. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ ДВИЖЕНИЯ ПОЛОГИХ ОБОЛОЧЕК СТУПЕНЧАТО-ПЕРЕМЕННОЙ ТОЛЩИНЫ 51
2.1. Применение метода Власова - Канторовича для сведения трехмерной задачи к одномерной -
2.2. Применение метода Рунге - Кутта для решения системы обыкновенных дифференциальных уравнений 53
2.3. Методика исследования нелинейных свободных колебаний пологих оболочек ступенчато-переменной толщины -
2.4. Системы аппроксимирующих функций 58
2.5. Блок-схема алгоритма исследования нелинейных свободных колебаний оболочек и программа расчетов на ЭВМ 60
2.6. Выводы 62
Глава 3. НЕЛИНЕЙНЫЕ СВОБОДНЫЕ КОЛЕБАНИЯ ПОЛОГИХ ОБОЛОЧЕК ПОСТОЯННОЙ ТОЛЩИНЫ т. 64
3.1. Характер нелинейных свободных колебаний пологих оболочек постоянной толщины в зависимости от характера предварительной нагрузки 65
3.2. Нелинейные свободные колебания пологих оболочек постоянной толщины при различных значениях кривизны и предварительной нагрузки 68
3.3. Амплитудно-частотные характеристики нелинейных свободных колебаний пологих оболочек постоянной толщины 77
3.3.1. Амплитудно-частотная характеристика при рассмотрении оболочки как системы с одной степенью свободы -
3.3.2. Амплитудно-частотная характеристика при рассмотрении оболочки как системы с п степенями свободы 79
3.4. Зависимость частоты нелинейных свободных колебаний оболочки постоянной толщины от значения предварительной нагрузки 84
3.5. Выводы 86
Глава 4. НЕЛИНЕЙНЫЕ СВОБОДНЫЕ КОЛЕБАНИЯ ПОЛОГИХ ОБОЛОЧЕК СТУПЕНЧАТО-ПЕРЕМЕННОЙ ТОЛЩИНЫ 88
4.1. Общая характеристика колебательного процесса ребристых оболочек -
4.2. Амплитудно-частотная характеристика нелинейных свободных колебаний ребристых оболочек 108
4.3. Зависимость частоты нелинейных свободных колебаний от значения предварительной нагрузки для ребристых оболочек 111
4.4. Свободные колебания оболочек, ослабленных вырезами 117
4.5. Сравнение результатов исследований пологих оболочек, находящихся под действием динамических нагрузок, с результатами других авторов и результатами экспериментов -
4.6. Выводы 120
ЗАКЛЮЧЕНИЕ 122
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 125
ПРИЛОЖЕНИЕ 1. Значения коэффициентов системы дифференциальных уравнений равновесия 146
ПРИЛОЖЕНИЕ 2. Значения коэффициентов АЩ J), ВЩ J), С7(/, J), D\-D\5, DO системы обьжновенных дифференциальных уравнений динамической задачи (модель Кирхгофа - Лява) 151
ПРИЛОЖЕНИЕ 3. Программа исследования на ЭВМ нелинейных свободных колебаний пологих оболочек ступенчато-переменной толщины 165
Введение к работе
Тонкостенные оболочечные конструкции (тонкие оболочки) находят широкое применение в ракето-, самолето- и судостроении, в машиностроении и в строительстве. Для придания большей жесткости тонкостенная часть оболочки подкрепляется ребрами, что существенно повышает ее прочность при незначительном увеличении массы конструкции, даже если ребра имеют малую высоту. По технологическим требованиям оболочки могут иметь вырезы, которые зачастую также подкрепляются ребрами.
Таким образом, в одной конструкции могут быть и ребра, и вырезы, следовательно, всю конструкцию необходимо рассматривать как оболочку ступенчато-переменной толщины. Указанные конструкции могут подвергаться не только статическим, но и динамическим нагрузкам, допуская прогибы, соизмеримые с толщиной оболочки.
Расчеты на прочность, колебания и устойчивость таких конструкций играют важную роль при проектировании современных аппаратов, машин и сооружений. Тем не менее поведение тонкостенных конструкций, содержащих ребра, накладки и вырезы, которое учитывало бы дискретность расположения ребер и вырезов, сдвиговую и крутильную жесткости ребер, поперечные сдвиги и геометрическую нелинейность, исследовано недостаточно. Причины тому — сложность учета упомянутых факторов и необходимость решения громоздких нелинейных краевых задач. Кроме того, некоторые конструкции после потери местной устойчивости сохраняют несущую способность, выявление же различных форм потери устойчивости вызывает математические сложности.
Если в статической постановке многие задачи устойчивости оболочек, как содержащих ребра, так и ослабленных вырезами, имеют решения, то в динамической постановке дело обстоит иначе, особенно при исследовании нелинейных свободных и вынужденных колебаний, когда конструкцию необходимо рассматривать как систему с п степенями свободы.
При рассмотрении местного усиления или ослабления оболочек необходимо привлекать более сложные модели, чем модель Кирхгофа - Лява. Кроме того, совместно с расчетами на прочность и устойчивость следует решать задачи рационального выбора подкреплений и параметров кривизны. Поэтому разработка математических моделей поведения пологих оболочек ступенчато-переменной толщины, наиболее полно учитывающих их работу при динамических нагрузках, и проведение на их основе исследований устойчивости и колебаний, а также выбора рациональных параметров конструкции, являются актуальными задачами.
Основные идеи теории оболочек, подкрепленных ребрами (ребристых оболочек) высказаны в конце 40-х годов двадцатого века В.З. Власовым [26] и А.И. Лурье [122]. В их работах заложены два основных подхода к исследованию данных оболочек. В.З. Власов рассматривал ребристую оболочку как контактную систему, состоящую из гладкой оболочки и работающих совместно с ней тонких стержней. А.И. Лурье рассматривал оболочку (обшивку) и ребра как единое целое. Использовав вариационный принцип, он получал уравнения равновесия и естественные краевые условия. Оба считали, что ребра взаимодействуют с обшивкой по линии и что ребристую оболочку можно рассматривать как конструкцию, состоящую из обшивки и подкрепляющих ее упругих одномерных элементов либо из тонкостенных стержней (В.З. Власов), либо из стержней Кирхгофа - Клебша (А.И. Лурье).
Третий подход к рассмотрению ребристой оболочки основан на сведении ее к конструктивно ортотропной оболочке, путем «размазывания» жесткости ребер по всей оболочке.
В конце 60-х годов П.А. Жилин [57, 58] заметил, что при втором подходе (подход А.И. Лурье) привлекаются две различные технические теории (теория оболочек и теория стержней), основные положения которых не вполне совместимы. В связи с этим он предложил рассматривать ребристую оболочку как оболочку дискретно-переменной толщины, учитывая при этом, что контакт между оболочкой и ребрами происходит по поверхности полосы, а не вдоль линии.
Задание дискретного изменения толщины пластин и оболочек с помощью единичных функций применяется в работах [3, 20, 52, 57, 58, 70, 150, 181]. В работе Д.В. Вайнберга и И.З. Ройтфарба [20] рассматриваются задачи в линейной постановке (1965 г.). В работах Н.П. Абовского, Л.В. Енджиевского и других ученых из Красноярского края [3, 52, 182] задание дискретного изменения толщины ребристых оболочек используется для задач как в физически, так и в геометрически нелинейной постановке. При этом с помощью задания локальной нулевой жесткости имитируются вырезы. Аналогичный подход к оболочкам с вырезами используется в работах И.Н.Преображенского [150, 151].
Геометрически нелинейная теория оболочек ступенчато-переменной толщины (ребра, накладки, вырезы) разработана В.В. Карповым [80-87]. Им доказана эквивалентность подходов В.З. Власова и А.И.Лурье к ребристым оболочкам. Проведено исследование устойчивости ребристых оболочек и оболочек с вырезами с учетом многих факторов, которые раньше не принимались во внимание (влияние сдвиговой и крутильной жесткостей ребер, поперечных сдвигов и т.д.). С помощью вариационного принципа, В.В.Карповым было доказано, что краевые условия на боковой поверхности ребер и на краю вырезов (свободный край) можно ввести в уравнения равновесия и при решении задачи добиться хорошего их удовлетворения.
Современное состояние теории ребристых оболочек отражено в работах Н.П. Абовского, Н.А. Алфутова, И.Я. Амиро, Л.В. Андреева, Г.Н. Белосточного, Д.В. Вайнберга, В.З. Власова, А.С. Вольмира, Г.Д. Гавриленко, О.А. Грачева, Е.С. Гребня, И.П. Гречанинова, Э.И. Григолюка, А.Н. Гузя, Г.И. Диаманта, Л.В. Енджиевского, Ю.П. Жигалко, П.А. Жилина, В.А. Заруцкого, В.В. Кабанова, Б.Я. Кантора, В.В. Карпова, В.И. Климанова, B.C. Корнеева, С.С. Кохманюка, В.А. Лесничей, А.И. Лурье, А.А. Малинина, А.А. Малютина, А.И. Маневича, A.M. Масленникова, И.Е. Милейковского, Б.К. Михайлова, В.Н. Моссаковского, Ю.В. Немировского, Н.И. Ободан, В.А. Постнова, Ю.М. Почтмана, И.Н. Преображенского, Г.И. Пшеничнова, В.М. Рассудова, Н.П. Семенюка, О.И. Теребушко, С.А.Тимашева, В.Н. Чернышева, И. Бискова и Дж. Хансена, P. By и Е. Уатмера, Д. Зингера, С. Фишера и С. Берта и других.
Исследованию оболочек, ослабленных вырезами, посвящены работы Е.П. Борзых, Э.И. Григолюка, А.Н. Гузя, Л.В. Енджиевского, В.В. Карпова, Я.Ф. Каюка, Н.П. Кривошеева и М.С. Корнишина, А.С. Космомианского, А.А. Малинина, И.М. Пирогова, И.Н. Преображенского, Г.Н. Савина, Л.А. Фильштинского, К.Ф. Черных, И.С. Чернышенко, В.Н. Чехова, К.Н. Шнеренко, Ф. Броутена и Б. Олмроса и других.
Исследования в области ребристых оболочек выполняются, как правило, с использованием теории упругих тонких оболочек (основанной на гипотезах Кирхгофа — Лява) для описания напряженно-деформированного состояния (НДС) обшивки и теории тонких стержней Кирхгофа — Клебша для описания НДС ребер. Во многих работах допускается, что ребра присоединены к обшивке вдоль взаимно ортогональных линий главных кривизн поверхности обшивки и передают на нее реакции, распределенные по этим линиям. В линейной постановке используется статический критерий устойчивости, и задача сводится к решению систем дифференциальных уравнений нейтрального равновесия. Большинство работ посвящено исследованию оболочек, представляющих собой отсеки поверхностей вращения.
В геометрически нелинейной постановке для задач статики при определении критических нагрузок находится предельная точка кривой «нагрузка -прогиб» оболочки.
Подавляющее число работ, относящихся к исследованию ребристых оболочек и оболочек, ослабленных вырезами, посвящено статике оболочек.
В задачах динамики использованы положения теории, сформулированные при решении задач статики ребристых оболочек. Как и в задачах статики, при изучении динамики ребристых оболочек применяются два подхода, различающихся по способу учета подкрепляющих оболочку ребер. Первый основан на замене рассматриваемой оболочки эквивалентной ей в известном смысле гладкой оболочкой (конструктивно-ортотропная модель); второй - на учете дискретного размещения ребер, что в ряде случаев позволяет обнаружить те специфические особенности поведения ребристых оболочек при динамических нагрузках, которые нельзя изучить с помощью первого подхода.
Большинство работ, посвященных изучению динамики ребристых оболочек, выполнено с применением расчетной схемы, основанной на прикладной теории оболочек Кирхгофа - Лява и теории стержней Кирхгофа - Клебша. В некоторых работах использована теория оболочек, предложенная СП. Тимошенко, и лишь в работе Ш.У. Галлиева [33] приведены уравнения пространственной задачи теории упругости. К сожалению, области применимости результатов, полученных на основе прикладных теорий, в большинстве случаев не оговариваются, и вопрос о достоверности результатов, полученных с помощью этих теорий, в особенности при решении нестационарных задач, остается открытым.
Постановки задач динамики ребристых оболочек при использовании в качестве расчетной схемы конструктивно-ортотропных оболочек, в принципе, могут различаться лишь способом вычисления жесткостных параметров эквивалентной гладкой оболочки. В рассмотренных выше работах, как правило, использован способ приведения, при реализации которого жесткости ребер равномерно распределяются по соответствующему направлению оболочки.
При выводе уравнений движения ребристых оболочек с учетом дискретного размещения ребер, как правило, предполагается, что контакт оболочки и ребер осуществляется вдоль линии, хотя ребро имеет конечную ширину, учет которой может повлиять на характер изменения усилий в обшивке вблизи ребер; в то же время учет ширины ребра может привести к существенному уточнению постановки задачи лишь в случае, если будет найдено решение соответ ствующей контактной задачи теории упругости. В настоящее время, насколько нам известно, таких решений нет.
В наиболее общем виде получены уравнения движения ребристых цилиндрических оболочек [8, 56].
Точные решения задач устойчивости ребристых оболочек при динамических нагрузках найдены для отдельных частных случаев. И в этих случаях наиболее полно изучены задачи устойчивости цилиндрических оболочек и в линейной постановке.
В линейной постановке для описания деформаций в обшивке применялась модель СП. Тимошенко [113, 169, 178]. В нелинейной постановке таких решений нет. В нелинейной постановке уравнения динамики решались по методу конструктивной анизотропии (МКА), описанному в работах [29, 119, 172], а дискретность размещения ребер учтена в публикациях [36, 60, 93]. В работе [164] рассматриваются такие классы задач о свободных колебаниях оболочек, для которых возможно построение практически точной и эффективной методики, а также малые колебания оболочек, позволяющие считать справедливыми положения линейной теории. Получены зависимости для трех подходов: классической теории оболочек (модель Кирхгофа — Лява), теории оболочек с учетом поперечного сдвига (модель Тимошенко) и пространственной теории упругости.
С использованием энергетического метода и одночленной аппроксимации перемещений решены задачи определения частот и форм собственных колебаний цилиндрических оболочек, усиленных одной регулярной [8, 164] и двумя регулярными [74, 149] перекрестными системами ребер. Расчетные формулы получены для оболочек из изотропных [164] и анизотропных [149] материалов. Такой же путь решения задачи о собственных колебаниях пологих ребристых оболочек с прямоугольным планом использован в работах [132, 134, 136, 172]. Методика определения собственных частот колебаний ребристых оболочек вращения, основанная на энергетическом методе, приведена в публикациях [124, 166]. С помощью этого метода изучались собственные колебания ребристых цилиндрических и слабоконических оболочек с большими вырезами [ПО].
Нелинейные колебания ребристых цилиндрических оболочек изучались в работах [61, 120], причем В.А.Заруцким и Ю.А.Толбатовым [61] использовалась методика из книги А.С.Вольмира [29], а В.А.Лесничей [120] - метод последовательных приближений.
В последние годы внимание исследователей все больше привлекают вопросы, непосредственно связанные с изучением НДС ребристых оболочек при динамических нагрузках. Наиболее подробно рассмотрены вынужденные колебания оболочек при гармонических нагрузках. И здесь, как и при решении задачи о собственных колебаниях, точные решения уравнений получены только для цилиндрических оболочек, усиленных ребрами в одном направлении [8]. Численные результаты для оболочек вращения имеются в работах, в которых используется асимптотический метод; на его основе обнаружено существенное влияние дискретного размещения ребер на усилия и моменты в оболочке. Такие же результаты получены при изучении вынужденных колебаний ребристых конических оболочек, где уравнения движения решались методом Бубнова - Галеркина при аппроксимации перемещений двойными тригонометрическими рядами.
В работе А.К. Перцева и Э.Г. Платонова [142] для получения уравнений движения по модели Тимошенко - Рейснера для непологих оболочек использовался вариационный метод. Исследованы НДС ребристых цилиндрических оболочек и их устойчивость, но рассматривалась устойчивость панелей между ребрами, а не всей оболочки.
Разработке методов определения НДС ребристых оболочек при ударных и импульсных нагрузках посвящены работы [29, 33, 34, 56, 113, 178].
Для решения задач используются преимущественно численные методы. На основе аналитических методов решены задачи в работе [56]. Как правило, рассматривались деформации оболочек в упругой области. В большинстве работ задачи решены в геометрически линейной постановке. Геометрически нелинейная постановка использована в публикациях [29, 34]. В ряде работ изучено также влияние среды [33]. Анализ результатов исследований, выполненных на основе рассмотренных методик расчета, показывает, что большинство опубликованных работ посвящено изучению собственных частот колебаний, причем наиболее подробно рассмотрены ребристые цилиндрические оболочки, шарнирно опертые по краям.
Свободные колебания гладких оболочек в линейной постановке исследуются в работе [165], где приводятся основные положения и уравнения, описывающие свободные колебания оболочек в рамках классической и уточненной теории оболочек, а также на основе пространственной теории упругости. Рассматриваются такие классы задач о свободных колебаниях оболочек, для которых возможно построение практически точной и эффективной методики решения.
Для круговых замкнутых цилиндрических оболочек, усиленных регулярно размещенными продольными ребрами, возможны принципиально различные типы собственных колебаний:
- колебания общего вида, при которых частоты зависят от всех жест-костных характеристик ребер (форма колебаний в этом случае такова, что расстояния между ребрами не кратны длине полуволны в окружном направлении);
- колебания, при которых частоты зависят только от жесткостей ребер на изгиб в радиальной плоскости и на растяжение-сжатие или же только от их жесткостей на изгиб в плоскости, касательной к срединной поверхности обшивки и при кручении (узловые линии прогиба совпадают с осями ребер);
- чисто продольные колебания, при которых формы не зависят от продольной координаты, а частоты - от жесткостей ребер. При этом частоты колебаний могут быть ниже соответствующих частот собственных колебаний гладкой оболочки в случае, когда ребра находятся в пучностях форм колебаний и играют роль присоединенных масс либо равны им или когда ребра располагаются в узлах соответствующих форм колебаний.
Для круговых замкнутых цилиндрических оболочек, усиленных только кольцевыми ребрами, частоты собственных колебаний зависят: 1) от всех жесткостей ребер в случае, когда расстояние между ребрами не кратно длине волны формы колебаний в продольном направлении; 2) только от жесткостей ребер на изгиб в касательной плоскости и при кручении в случае, когда длина волны колебаний в продольном направлении равна целому числу раз расстояния между ребрами или меньше его.
Использование математической схематизации различного рода разрывных процессов и состояний в виде импульсивных функций для нужд строительной механики начато И.М. Герсевановым [35], с именем которого связано введение так называемых функциональных прерывателей, и продолжено работами К.С. Завриева [59], А.Г.Назарова [133], В.В.Новицкого [137], Г.А. Ван Фо Фы [23], Д.В. Вайнберга и И.З. Ройтфарба [20] и других.
Для линейных задач статики разработаны методы решения, основанные на использовании свойств импульсных функций. Это - методы, разработанные Б.К.Михайловым [129], И.Ф.Образцовым и Г.Г. Онановым [141], В.М. Рассудовым [156]. В работе A.M. Масленникова [127] для плит и оболочек, подкрепленных ребрами, разработан матричный алгоритм расчета. Получены матрицы жесткости для сложных элементов в виде ортотроп-ных плит, окаймленных эксцентрично расположенными относительно срединной плоскости плиты стержнями. При использовании метода конечных элементов (МКЭ) потенциальная энергия деформации определяется с помощью жесткости отдельных элементов. В рассматриваемом случае за отдельный элемент принимается прямоугольная плита с ребрами по контуру.
В работе В.А. Постнова и B.C. Корнеева [147] за отдельный элемент принят усеченный конус, что позволяет с успехом решать задачи устойчивости для оболочек вращения.
В работе В.И. Климанова и С.А. Тимашева [108] применена оригинальная комбинация методов Власова - Канторовича и метода конечных разностей. С помощью первого метода исходные нелинейные дифференциальные уравнения (и граничные условия) в частных производных преобразуются в систему нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений, которая затем методом конечных разностей приводится к системе нелинейных алгебраических уравнений, решаемых на ЭВМ. Такое сочетание методов очень эффективно, поскольку позволяет существенно сократить число совместно решаемых нелинейных алгебраических уравнений по сравнению, например, с обычным методом сеток. С другой стороны, комбинация указанных методов позволила реализовать достаточно сложные условия сопряжения гибкой пологой оболочки с прямолинейными и криволинейными опорными ребрами при решении как статических, так и динамических задач.
Методика решения задач о свободных колебаниях оболочек, рассмотренная в работах [164, 165], основана на сведении исходной двухмерной (трехмерной) задачи динамики к последовательности одномерных задач и численного их решения. На первом этапе искомое решение аппроксимируется обобщенными рядами Фурье. На втором этапе численно решаются задачи собственных колебаний для систем линейных обыкновенных дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами. Используется метод ортогональной прогонки.
В основном аналитические решения задач динамики получены в форме тригонометрических рядов [8], но для решения линейных задач применяются и энергетический метод [8, 74, 110, 124, 132, 134, 136, 149, 166], и численные методы [113, 178]. Для решения нелинейных задач используются только чис ленные методы: конечных разностей (МКР), конечных элементов (МКЭ) и Бубнова - Галеркина.
С помощью численных методов рассмотрены в основном задачи о собственных колебаниях оболочек вращения, усиленных кольцевыми ребрами [170], а также о НДС шпангоутных цилиндрических оболочек, подверженных действию импульсных нагрузок [34, 113, 178]. Среди других приближенных подходов следует отметить методики, основанные на замене ребристой оболочки системой панелей, опертых на упругие ребра, и замене панелей между ребрами пластинами.
Точные аналитические решения уравнений движения получены только для цилиндрических оболочек, усиленных ребрами в одном из направлений (продольном или кольцевом [8]), а также для пологих оболочек с прямоугольным планом, усиленных ребрами в одном из направлений [8]. В подавляющем большинстве работ при этом использованы упрощенные уравнения (принимается, что на оболочку передаются только радиальные реакции ребер или что ребра работают только на изгиб в радиальной плоскости и растяжение-сжатие).
Эти точные решения находятся в форме тригонометрических рядов по координате, ортогональной ребрам.
Для изучения колебаний ребристых оболочек и их устойчивости при динамической нагрузке используются также и экспериментальные методы. Собственные колебания, как правило, изучаются на основе резонансного метода [51, 74, 164]. Определение характеристик деформированного состояния оболочек осуществляется на основе динамического тензометрирования [31]. Этот метод находит применение при экспериментальном изучении устойчивости ребристых оболочек [11].
Экспериментальные исследования, как правило, выполнялись с целью обосновать достоверность расчетных формул, полученных на основе приближенных схем. Однако ряд результатов имеет самостоятельное значение.
В отличие от данных теоретических исследований, экспериментальное изучение собственных колебаний ребристых цилиндрических [8, 51, 75, 164] и конических оболочек свидетельствует о том, что для оболочек, усиленных шпангоутами, различие собственных частот колебаний оболочек с наружными и внутренними ребрами с ростом числа окружных волн увеличивается; обнаружено также, что теоретические и экспериментальные значения минимальных собственных частот колебаний оболочек, усиленных продольными ребрами, могут различаться в пределах 20%.
Анализу указанных отличий собственных частот колебаний посвящена работа [7]. Показано, что из рассмотренных факторов наиболее существенно влияют на собственные частоты начальные прогибы в экспериментальных оболочках и теоретически недостаточно полный учет дискретного размещения шпангоутов.
Изучено влияние начальных прогибов на собственные частоты колебаний. Прогибы измерялись с помощью специальной установки, затем определялись собственные частоты обмеренных оболочек. Результаты сравнения показали, что учет в расчетных формулах начальных прогибов приводит к сближению значений собственных частот колебаний.
При изучении нелинейных колебаний ребристых цилиндрических оболочек [61] выявлено, что в рассматриваемом обычно диапазоне амплитуд прогибов влияние нелинейности на собственные частоты колебаний мало.
В целом анализ результатов сопоставления расчетных значений минимальных собственных частот колебаний с экспериментальными данными, в том числе для оболочек, несущих присоединенные упругие или жесткие элементы, свидетельствует об их удовлетворительном совпадении.
Задачи оптимизации параметров ребристых цилиндрических оболочек при ограничениях на минимальные собственные частоты рассмотрены в работах [50, 149]. В публикации [50], в частности, показано, что оптимальной по массе является оболочка, усиленная только кольцевыми ребрами. Изучалось влияние эксцентриситета ребер на оптимальный проект оболочки. Показано, что знак эксцентриситета продольных ребер относительно слабо влияет на оптимальные параметры оболочки.
Анализ современного состояния теории пологих ребристых оболочек показал следующее. Достаточно полно исследованы оболочки в линейной постановке, большей частью цилиндрические при статической предварительной нагрузке.
В геометрически нелинейной постановке проведены исследования также в основном цилиндрических оболочек с использованием модели Кирхгофа -Лява. Ребра в этих исследованиях рассматривались как одномерные упругие элементы, присоединенные к обшивке по линии. Введены упрощающие задачу допущения. Например, не учитываются ширина ребер и влияние их сдвиговой и крутильной жесткости на НДС конструкции. Не исследовано влияние поперечного сдвига на НДС конструкции.
Амплитудно-частотные характеристики свободных нелинейных колебаний пологих оболочек постоянной толщины строятся при рассмотрении оболочки как системы с одной степенью свободы [29], что не отражает истинного характера колебательного процесса.
Исходя из анализа состояния исследований свободных нелинейных колебаний пологих оболочек ступенчато-переменной толщины, автором ставятся следующие основные задачи исследования, которые составляют цель диссертационной работы:
-разработка методики построения амплитудно-частотных характеристик нелинейных свободных колебаний пологих оболочек ступенчато-переменной толщины, рассматриваемых как системы с п степенями свободы, основанной на более совершенных моделях динамики пологих оболочек сту пенчато-переменной толщины, которые учитывают дискретное расположение ребер и вырезов, их ширину, сдвиговую и крутильную жесткости ребер;
- составление программы расчетов на ЭВМ;
- исследование нелинейных свободных колебаний пологих оболочек постоянной и ступенчато-переменной толщины при различных их параметрах.
Научная новизна диссертационной работы заключается в следующем:
- получены нелинейные уравнения движения в перемещениях (модель Кирхгофа - Лява) для пологих оболочек ступенчато-переменной толщины, учитывающие дискретное введение ребер и вырезов, их ширину, сдвиговую и крутильную жесткости ребер;
-разработана методика определения амплитудно-частотной характеристики нелинейных свободных колебаний пологих оболочек ступенчато-переменной толщины при рассмотрении оболочки как системы с п степенями свободы;
- исследован характер нелинейных свободных колебаний оболочек постоянной толщины, ребристых и ослабленных вырезами при различных их параметрах и построены для таких оболочек амплитудно-частотные характеристики;
- исследована зависимость частоты свободных нелинейных колебаний в зависимости от вида и значения предварительной нагрузки и жесткости подкреплений.
Практическая значимость диссертационной работы заключается в разработке математического и профаммного обеспечения проведения исследований нелинейных свободных колебаний пологих оболочек ступенчато-переменной толщины, которое может найти применение при проектировании облегченных высокопрочных конструкций в авиа- и судостроении, в машиностроении, в строительстве. Результаты работы внедрены в научно-исследовательских и проектных организациях Санкт-Петербурга, частности, в ЗАО «НПО Геореконструкция - фундаментпроект», и в ЗАО «Саратовский авиационный завод». Они используются также в Петербургском государственном университете путей сообщения (ПГУПС) в курсе «Теоретическая механика».
На защиту выносятся следующие основные научные положения:
- более совершенные нелинейные математические модели динамики пологих оболочек ступенчато-переменной толщины, в которых учитываются дискретное размещение ребер и вырезов, их ширина, сдвиговая и крутильная жесткости ребер;
-методика определения амплитудно-частотной характеристики нелинейных свободных колебаний пологих оболочек ступенчато-переменной толщины, рассматриваемых как системы с п степенями свободы;
— исследование характера нелинейных свободных колебаний оболочек постоянной толщины, ребристых, ослабленных вырезами, в зависимости от характера предварительной нагрузки, параметров оболочки, жесткости подкреплений и построение амплитудно-частотной характеристики для таких оболочек.
Достоверность и обоснованность научных положений обеспечивается корректной математической постановкой задач исследования, выводом уравнений движения пологих оболочек ступенчато-переменной толщины вариационным методом, сравнением результатов, полученных автором, с результатами научных исследований и экспериментов, выполненных другими авторами.
Апробация работы. Основные положения диссертации докладывались на международной научной конференции «Современные проблемы совершенствования и развития металлических, деревянных, пластмассовых конструкций в строительстве и на транспорте» [Самара, Самарская государственная архитектурно-строительная академия (СамГАСА), сентябрь 2002 г.], на 60-й научной конференции профессоров, преподавателей, научных работников и аспирантов [Санкт-Петербург, Санкт-Петербургский архитектурно-строительный университет (СПбГАСУ), февраль 2003 г.] и на VI международной конференции «Проблемы прочности материалов и сооружений на транспорте» (Санкт-Петербург, ПГУПС, январь 2004 г.).
Полностью результаты работы были доложены на научном семинаре кафедры теоретической механики СПбГАСУ под руководством заслуженного деятеля науки и техники РФ, лауреата премии Правительства РФ, д-ра техн. наук, профессора Р.С. Санжаровского (апрель 2003 г.) и на расширенном заседании кафедры теоретической механики ПГУПС под руководством д-ра техн. наук, профессора Д.О. Астафьева (апрель 2003 г.) и на расширенном заседании кафедры строительных конструкций и материалов Орловского государственного технического университета (ОрелГТУ) под руководством члена-корреспондента РААСН, д-ра техн. наук, профессора В.И.Колчунова (октябрь 2003 г.).
Публикации. По результатам диссертационной работы опубликовано 8 печатных работ [53-55, 97-99].
Структура и объем работы. Текст диссертации изложен на 145 страницах, состоит из введения, четырех глав, заключения, списка литературы из 199 наименований и содержит 54 рисунка, 9 таблиц. Приложения приведены на 32 страницах.
Содержание работы. Во введении обосновывается актуальность диссертационной работы, сформулированы цель и задачи исследования, научная новизна, научные положения, выносимые на защиту, практическая ценность работы и дан обзор литературных источников по теме диссертации.
В главе 1 на основе вариационного метода выводятся нелинейные уравнения движения в перемещениях для пологих оболочек ступенчато-переменной толщины (модель Кирхгофа - Лява), в которых учитываются дискретное расположение ребер и вырезов, их ширина, сдвиговая и крутильная жесткости ребер. Эти уравнения позволяют исследовать нелинейные свободные колебания при динамических и ударных предварительных нагрузках.
В главе 2 предложены методика решения нелинейных уравнений движет ния на основе применения методов Власова - Канторовича и Рунге - Кутта, а также методика построения амплитудно-частотных характеристик нелинейных свободных колебаний оболочки при рассмотрении ее как системы с п сте пенями свободы. Рассмотрена программа исследования нелинейных свободных колебаний оболочек ступенчато-переменной толщины и построения амплитудно-частотных характеристик.
В главе 3 описаны результаты изучения нелинейных свободных колебаний пологих оболочек постоянной толщины. Исследован характер нелинейных свободных колебаний оболочек различной кривизны в зависимости от вида (статическая или динамическая) и скорости предварительной нагрузки для различных точек оболочки и различных значений предварительной нагрузки. Построены амплитудно-частотные характеристики для различных точек оболочек постоянной толщины при различных их кривизне и скорости предварительной нагрузки. Получены зависимости частоты колебаний от вида предварительной нагрузки для разных точек оболочки при различной кривизне оболочки.
В главе 4 приведены результаты исследования свободных нелинейных колебаний ребристых оболочек и оболочек, ослабленных вырезами. Исследован характер нелинейных свободных колебаний ребристых оболочек при различных скорости и значении предварительной нагрузки для разных числа ребер и параметров кривизны.
Построены амплитудно-частотные характеристики свободных нелинейных колебаний (различные точки) оболочек разных кривизн с различным числом подкрепляющих оболочку ребер, которые реагируют на местную и общую потерю устойчивости. Получены зависимости частоты колебаний ребристых оболочек от значения предварительной нагрузки.
В заключении приводятся основные выводы по диссертации.
В приложения вынесены коэффициенты уравнений движения и программа расчета на ЭВМ свободных нелинейных колебаний оболочек ступенчато-переменной толщины.
