Содержание к диссертации
Введение 5
Глава 1. Математические модели задач динамики пологих оболочек ступенчато-переменной толщины при конечных прогибах 21
1.1. Основные соотношения для пологих оболочек ступенчато-переменной толщины при конечных прогибах 21
1.2. Уравнения движения пологих оболочек ступенчато-переменной толщины при конечных прогибах 26
1.2.1. Модель Кирхгофа - Лява 26
1.2.2. Модель Тимошенко-Рейснера 31
1.3. Уравнения движения для пологих оболочек ступенчато-переменной толщины в перемещениях и безразмерном виде 34
1.4. О краевых условиях на боковой поверхности ребер и краю вырезов 42
1.5. Уравнения движения для пологих оболочек ступенчато-переменной толщины в смешанной форме 44
1.6. Уравнения движения для пологих оболочек, ослабленных сквозными вырезами 46
1.7. Уравнения движения для пологих оболочек вафельного типа и перфорированных 47
1.8. Выводы 49
Глава 2. Методика решения уравнений движения для пологих оболочек ступенчато-переменной толщины при конечных прогибах 50
2.1. Применение метода Власова - Канторовича для сведения трехмерной задачи к одномерной 50
2.2. Применение метода Рунге - Кутта к полученной системе обыкновенных дифференциальных уравнений 51
2.3. Блок-схема алгоритма и программа расчета на ЭВМ 52
2.4. Системы аппроксимирующих функций 54
2.5. Выводы 56
Глава 3. Устойчивость пологих оболочек ступенчато-переменной толщины при динамическом нагружении 57
3.1. О критериях потери устойчивости оболочек при динамическом нагружении 57
3.2. Характер потери устойчивости оболочек постоянной толщины при различных значениях скорости нагружения, кривизны и различных видах закрепления краев 59
3.3. Напряженно-деформированное состояние и устойчивость оболочек постоянной толщины, шарнирно-неподвижно закрепленных по контуру, при динамическом нагружении 64
3.4. Применение критерия Мизеса для анализа нахождения оболочки в упругой зоне 70
3.4.1. О динамическом пределе текучести 70
3.4.2. Анализ наступления пластических деформаций в оболочках на основе критерия Мизеса 73
3.5. Устойчивость ребристых оболочек 74
3.6. Устойчивость оболочек, ослабленных вырезами 81
3.7. Устойчивость перфорированных оболочек 83
3.8. Обоснование достоверности получаемых результатов 86
3.9. Выводы 86
Глава 4. Вариационно-параметрический метод исследования устойчивости, колебаний и выбора рациональных параметров пологих оболочек ступенчато-переменной толщины при динамическом нагружении 87
4.1. Сведение трехмерного функционала полной энергии деформации к одномерному и его минимизация 87
4.1.1. Модель Кирхгофа - Лява 87
4.1.2. Модель Тимошенко - Рейснера 95
4.2. Методы последовательного наращивания ребер и последовательного изменения кривизны в динамических задачах .101
4.3. Изменения жесткостных характеристик ребер • и кривизны в процессе нагружения пологих оболочек ступенчато-переменной толщины 102
4.4. Выводы 107
Заключение... 108
Список литературы 109
Приложение 1 129
Приложение 2 133
Приложение 3 143
Приложение 4 156
Введение к работе
Тонкостенные оболочечные конструкции находят большое применение в ракетостроении, самолетостроении, судостроении и строительстве. Для придания большей жесткости оболочки подкрепляются ребрами, при этом незначительное увеличение массы конструкции существенно повышает ее прочность даже в случае, когда ребра имеют малую высоту. По технологическим причинам оболочки могут иметь вырезы, которые зачастую подкрепляются ребрами. Таким образом, в одной конструкции могут быть и ребра, и вырезы, поэтому всю конструкцию необходимо рассматривать как оболочку ступенчато-переменной толщины. Такие конструкции могут подвергаться не только статическим нагрузкам, но и динамическим, и допускать прогибы, соизмеримые с толщиной. Расчеты на прочность, устойчивость и колебания таких конструкций играют важную роль при проектировании современных машин и аппаратов. Тем не менее, поведение тонкостенных конструкций, имеющих ребра, накладки и вырезы, с учетом дискретности расположения ребер или вырезов, сдвиговой и крутильной жесткости ребер, поперечных сдвигов и геометрической нелинейности исследованы недостаточно. Некоторые конструкции после потери устойчивости (местной) сохраняют несущую способность, а выявление различных форм потери устойчивости вызывает математические сложности.
Если в статической постановке многие задачи устойчивости как ребристых оболочек, так и оболочек, ослабленных вырезами, имеют решения, то в динамической постановке в виду сложности учета перечисленных выше факторов поиск решения затруднен, особенно, при исследовании нелинейных свободных и вынужденных колебаний, когда конструкцию необходимо рассматривать как систему со многими степенями свободы.
При рассмотрении местного усиления или ослабления необходимо привлекать более сложные модели, чем модель Кирхгофа - Лява. Кроме того, необходимо вместе с расчетами на прочность и устойчивость решать вопросы рационального выбора подкреплений и параметра кривизны. Поэтому разработка математических моделей поведения пологих оболочек ступенча
то-переменной толщины, наиболее полно учитывающих их работу при динамическом нагружении, и проведение на их основе исследований устойчивости, а также выбора рациональных параметров конструкции, является актуальной задачей.
Основные идеи теории ребристых оболочек высказаны в конце 40-х годов прошлого века В.З. Власовым [24] и А.И. Лурье [117]. В их работах заложены два основных подхода к исследованию ребристых оболочек. В.З. Власов рассматривал ребристую оболочку как контактную систему, состоящую из гладкой оболочки и работающих совместно с ней тонких стержней. А.И. Лурье рассматривал обшивку и ребра как одно целое. Используя вариационный принцип, получал уравнения равновесия и естественные краевые условия. Оба считали, что ребра взаимодействуют с обшивкой по линии и что ребристую оболочку можно рассматривать как конструкцию, состоящую из оболочки (обшивки) и подкрепляющих ее одномерных упругих элементов, либо тонкостенных стержней (В.З. Власов), либо стержней Кирхгофа - Клебша (А.И. Лурье). Третий подход к ребристой оболочке основан на сведении ее к конструктивно-ортотропной оболочке, путем «размазывания» жесткости ребер по всей оболочке.
В конце 1960-х годов П.А.Жилин [52, 53] заметил, что при втором подходе (подход А.И. Лурье) привлекаются две различные технические теории (теория оболочек и теория стержней), гипотезы которых не вполне совместимы. В связи с этим он предложил рассматривать ребристую оболочку как оболочку дискретно-переменной толщины. При этом учитывается, что контакт между оболочкой и ребрами происходит по поверхности полосы, а не по линии.
Задание дискретного изменения толщины пластин и оболочек с помощью единичных функций и применяются в работах [3, 24, 50, 61, 65, 118, 145, 156]. В работе Д.В. Вайнберга, Н.З.Ройтфарба [19] рассматриваются задачи в линейной постановке (1965 г.). В работах Н.П. Абовского, Л.В. Енджиевского и других ученых Красноярского края [3, 50, 176, 177] задание дискретной переменности толщины для ребристых оболочек используются как для задач в физически нелинейной постановке, так и геометриче ски нелинейной. Причем путем задания локальной нулевой жесткости имитируются вырезы. Аналогичный подход к оболочкам с вырезами используется в работах Н.И. Преображенского [145].
Геометрически нелинейная теория оболочек ступенчато-переменной толщины (ребра, накладки, вырезы) разработана В.В. Карповым [75, 77,79, 81, 84, 94, 100]. Им доказана эквивалентность подходов В.З.Власова и А.И. Лурье к ребристым оболочкам. Проведено исследование устойчивости ребристых оболочек и оболочек с вырезами с учетом многих факторов, которые раньше не учитывались (учет сдвиговой и крутильной жесткости ребер, поперечных сдвигов и т.д.). Используя вариационный принцип им было доказано, что краевые условия на боковой поверхности ребер и на краю вырезов (свободный край) можно ввести в уравнения равновесия и при решении задачи добиться хорошего удовлетворения.
Современное состояние теории ребристых оболочек характеризуется работами Абовского Н.П., Алфутова Н.А., Амиро И.Я., Андреева Л.В., Бело-сточного Г.Н., Вайнберга Д.В., Власова В.З., Вольмира А.С., Гавриленко Г.Д., Грачева О.А., Гребня Е.С., Гречанинова И.П., Григолюка Э.Н., Гу-зя А.Н., Диаманта Г.Н., Енджиевского Л.В., Жигалко Ю.П., Жилина П.А., Заруцкого В.А., Кабанова В.В., Кантора Б.Я., Карпова В.В., Климанова В.И., КорнееваВ.С, Кохманюка С.С., Лесничей В.А., Лурье А.И., Малинина А.А., Малютина А.А., Маневича А.И., Масленникова A.M., Милейковского И.Е., Михайлова Б.К., Моссаковского В.Н., Назарова Н.А., Немировского Ю.В., ОбоданН.И., Постнова В.А., ПочманаЮ.М., Преображнского И.Н., Пшеничного Г.И., Рассудова В.М., Семенюка Н.П., Теребушко О.И., Тимаше-ва С.А., Чернышева В.Н., Бискова и Хагисона, By Р. и Уатмера Е., Зингера Д., Фишера С. и Берта С. и др.
Исследованию оболочек, ослабленных вырезами, посвящены работы Борзых Е.П., Григолюка Э.Н., ГузяА.Н., Енджиевского Л.В., Карпова В.В., Каюка Я.Ф., Кривошеева Н.И. и Корнишина М.С., Космомианского А.С., Малинина А.А., Пирогова И.М., Преображенского И.Н., Савина Г.Н., Филь-штинского Л.А., ЧерныхаК.Ф., Чернышенко И.С., Чехова В.Н., Шнеренко К.Н., Броутена Ф. и Олмроса Б. и др.
Исследования в области ребристых оболочек выполняются, как правило, с использованием для описания напряженно-деформированного состояния (НДС) обшивки теории упругих тонких оболочек, основанной на гипотезах Кирхгофа - Лява, а для описания НДС ребер - теории тонких стержней Кирхгофа - Лява. Во многих работах принимается, что ребра присоединены к обшивке вдоль линий главных кривизн и передают на обшивку реакции, распределенные по линиям. В линейной постановке используется статический критерий устойчивости и задача сводится к решению систем дифференциальных уравнений нейтрального равновесия. Большинство работ относится к исследованию оболочек вращения.
В геометрически нелинейной постановке для задач статики при определении критических нагрузок разыскивается предельная точка кривой «нагрузка-прогиб» оболочки.
Большинство работ, относящихся к исследованию ребристых оболочек и оболочек, ослабленных вырезами, посвящено статике оболочек.
В задачах динамики использованы положения теории, сформулированные при решении задач статики ребристых оболочек. Как и в задачах статики, при изучении динамики ребристых оболочек применяется два подхода, отличающихся по способу учета подкрепляющих оболочку ребер. Первый из них основан на замене рассматриваемой оболочки эквивалентной ей в известном смысле гладкой оболочкой (конструктивно-ортотропная модель). Второй подход основан на учете дискретного размещения ребер, что в ряде случаев позволяет обнаружить те специфические особенности поведения ребристых оболочек при динамическом нагружении, которые нельзя изучить с помощью первого подхода.
Подавляющее большинство работ, посвященных изучению динамики ребристых оболочек, выполнено с использованием расчетной схемы, основанной на прикладной теории оболочек Кирхгофа - Лява и теории стержней Кирхгофа - Клебша. В некоторых работах использована теория оболочек типа Тимошенко и лишь в работе [51] - уравнения пространственной задачи теории упругости. К сожалению, области применимости результатов, полученных на основе прикладных теорий, в большинстве случаев не оговарива
ются, и вопрос о достоверности результатов, полученных с помощью этих теорий, в особенности при решении нестационарных задач, остается открытым.
Постановки задач динамики ребристых оболочек при использовании в качестве расчетной схемы конструктивно ортотропных оболочек, в принципе, могут отличаться лишь способом вычисления жесткостных параметров эквивалентной гладкой оболочки. В рассмотренных здесь работах, как правило, используется способ приведения, при реализации которого жесткости ребер равномерно распределяются по соответствующему направлению оболочки.
При выводе уравнений движения ребристых оболочек с учетом дискретного размещения ребер, как правило, предполагается, что контакт оболочки и ребер осуществляется вдоль линии, хотя ребро имеет конечную ширину, учет которой может повлиять на характер изменения усилий в обшивке вблизи ребер; с другой стороны, учет ширины ребра может привести к существенному уточнению постановки задачи лишь в случае, если будет получено решение соответствующей контактной задачи теории упругости. В настоящее время, насколько нам известно, таких решений нет.
В наиболее общем виде построены уравнения движения ребристых цилиндрических оболочек [10, 49].
Точные решения задач устойчивости ребристых оболочек при динамическом нагружении получены для некоторых частных случаев. Опять здесь наиболее полно изучены задачи устойчивости цилиндрических оболочек и в линейной постановке.
Изучению устойчивости ребристых цилиндрических оболочек при динамическом нагружении посвящены работы [6, 7, 51, 55, 70]. Под критическим состоянием в этом случае, как правило, понимается такое состояние, при котором увеличение нагрузок приводит к быстрому росту прогибов. В геометрически нелинейной постановке исследования проведены в работах [7, 49, 104, 189]. В результате этих исследований установлено, что с ростом скорости нагружения влияние дискретного размещения ребер на НДС оболочки возрастает.
В линейной постановке для описания деформаций в обшивке применялась модель типа СП. Тимошенко в работах [65, 77, 163, 171, 180, 184]. В нелинейной постановке таких решений нет. В нелинейной постановке уравнения динамики решались по МКА в работах [28, 109], а учет дискретности размещения ребер в работах [48, 69]. В работе [159] рассматриваются такие классы задач о свободных колебаниях оболочек, для которых возможно построение практически точной и эффективной методики. Рассматриваются малые колебания оболочек, так что считаются справедливыми положения линейной теории. Получены зависимости для трех подходов: классической теории оболочек (модель Кирхгофа - Лява), теории оболочек с учетом поперечного сдвига (модель типа СП. Тимошенко) и пространственной теории упругости.
С использованием энергетического метода и одночленной аппроксимации перемещений решены задачи определения частот и форм собственных колебаний цилиндрических оболочек, усиленных регулярной [7, 159] и двумя регулярными [69, 159] перекрестными системами ребер. Расчетные формулы получены для оболочек из изотропных [159] и анизотропных [160] материалов. Такой же путь решения задачи о собственных колебаниях пологих ребристых оболочек с прямоугольным планом использован в работах [145, 151, 164, 167]. Методика определения собственных частот колебаний ребристых оболочек вращения, основанная на энергетическом методе, приведена в [127, 177]. С помощью этого метода изучались собственные колебания ребристых цилиндрических и слабоконических оболочек с большими вырезами [105].
Нелинейные колебания ребристых цилиндрических оболочек изучались в [69, 119], причем в [69] использовалась методика работы [49], а в [119] - метод последовательных приближений.
В последние годы внимание исследователей все больше привлекают вопросы, непосредственно связанные с изучением напряженно-деформированного состояния ребристых оболочек при динамическом нагру-жении. Наиболее подробно рассмотрены вынужденные колебания оболочек при гармоническом нагружении. И здесь, как и при решении задачи о собственных колебаниях, точные решения уравнений получены только для цилин дрических оболочек, усиленных ребрами в одном направлении [7]. Числовые результаты для оболочек вращения имеются в работах, в которых используется асимптотический метод; на его основе обнаружено существенное влияние дискретного размещения ребер на усилия и моменты в оболочке. Такие же результаты получены при изучении вынужденных колебаний ребристых конических оболочек, где уравнения движения решались методом Бубнова -Галеркина при аппроксимации перемещений двойными тригонометрическими рядами.
В работе А.К.Перцева, Э.Г.Платонова [137] для получения уравнений движения использовался вариационный метод. Получены уравнения движения для модели Тимошенко - Рейснера для непологих оболочек. Исследованы НДС ребристых цилиндрических оболочек и их устойчивость, но рассматривается устойчивость панелей между ребрами, а не вся оболочка.
Разработке методов определения напряженно-деформированного состояния ребристых оболочек при ударе и импульсном нагружении посвящены работы [28, 48, 49, 69, 107].
Для решения задач используются в основном численные методы. На основе аналитических методов решены задачи в [69]. Как правило, рассматривались деформации оболочек в упругой области; В большинстве работ, задачи решены в геометрически линейной постановке. Геометрически нелинейная постановка использована в [28, 103]. В ряде работ изучено также влияние среды [48]. Анализ результатов исследований, выполненных на основе рассмотренных методик расчета, показывает, что большинство опубликованных работ посвящено изучению собственных частот колебаний, причем наиболее подробно рассмотрены шарнирно опертые по краям ребристые цилиндрические оболочки.
Свободные колебания гладких оболочек в линейной постановке исследуются в работе [172]. Приводятся основные положения и уравнения, описывающие свободные колебания оболочек в рамках классической и уточненной теории оболочек, а также на основе пространственной теории упругости. Рассматриваются такие классы задач о свободных колебаниях оболочек, для которых возможно построение практически точной и эффективной методики решения.
Для круговых замкнутых цилиндрических оболочек, усиленных регулярно размещенными продольными ребрами, возможны принципиально различные типы собственных колебаний: колебания общего вида, при которых частоты зависят от всех жесткостных характеристик ребер (форма колебаний такова, что расстояния между ребрами не кратны длине полуволны в окружном направлении); колебания, при которых частоты зависят только от жест-костей ребер на изгиб в радиальной плоскости и на растяжение-сжатие или только от их жесткостей на изгиб в плоскости, касательной к срединной поверхности обшивки и при кручении (узловые линии прогиба совпадают с осями ребер); чисто продольные колебания, при которых формы не зависят от продольной координаты, а частоты - от жесткости ребер. При этом частоты колебаний могут быть ниже соответствующих частот собственных колебаний гладкой оболочки, если ребра находятся в пучностях форм колебаний и играют роль присоединенных масс или равны им, когда ребра располагаются в узлах соответствующих форм колебаний.
Для круговых замкнутых цилиндрических оболочек, усиленных только кольцевыми ребрами, частоты собственных колебаний зависят либо от всех жесткостей ребер, когда расстояние между ребрами некратно длине волны формы колебаний в продольном направлении, либо только от жесткостей ребер на изгиб в касательной плоскости и при кручении, когда длина волны формы колебаний в продольном направлении равна или меньше в целое число раз расстояния между ребрами.
В работе А.С. Вольмира [28] рассматривается динамическая устойчивость пологих ребристых оболочек, но ребра «размазываются» по всей оболочке (применен метод конструктивной анизотропии).
Анализ устойчивости ребристых оболочек при динамическом нагруже-нии показал [7, 103], что с ростом скорости нагружения влияние дискретного размещения ребер увеличивается.
Использование для нужд строительной механики математической схематизации различного рода разрывных процессов и состояний в виде им пульсивных функций начато Н.Г. Герсевановым [34], с именем которого связано введение так называемых функциональных прерывателей и продолжено работами К.С. Завриева [54], А.Г. Назарова [128], В.В.Новицкого [132], Г.А. Ван Фо Фы [22], Д.В. Вайнберга и И.З. Ройтфарба [19] и др.
Для линейных задач статики разработаны методы решения, основанные на использовании свойств импульсных функций. Это методы, разработанные Б.К.Михайловым [124], И.Ф.Образцовым и Г.Г.Онановым [136], В.М. Рассудовым [151]. В работе А.М.Масленникова [122] для плит и оболочек, подкрепленных ребрами, разработан матричный алгоритм расчета. Получены матрицы жесткости для сложных элементов в виде ортотропных плит, окаймленных эксцентрично расположенными относительно срединной плоскости плиты стержнями. При использовании МКЭ потенциальная энергия деформации определяется с помощью жесткости отдельных элементов. В рассматриваемом случае за отдельный элемент принимается прямоугольная плита с ребрами по контуру.
В работе В.А.Постнова, В.С.Корнеева [142] за отдельный элемент принят усеченный конус, что позволяет с успехом решать задачи устойчивости для оболочек вращения.
В работе В.И.Климанова и С.А.Тимашева [103] применена оригинальная комбинация методов Власова - Канторовича и метода конечных разностей. С помощью первого метода исходные нелинейные дифференциальные уравнения (и граничные условия) в частных производных преобразуются в систему нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений, которая затем методом конечных разностей приводится к системе нелинейных алгебраических уравнений, решаемых на ЭВМ. Такое сочетание методов очень эффективно, поскольку позволяет существенно сократить число совместно решаемых нелинейных алгебраических уравнений по сравнению, например, с обычным методом сеток. С другой стороны, комбинация указанных методов позволила реализовать достаточно сложные условия сопряжения гибкой пологой оболочки с прямолинейными и криволинейными опорными ребрами при решении как статических, так и динамических задач.
В данной монографии изложены новые методы решения характерных задач статистической динамики оболочек как дискретных, так и распределенных систем, основанные на методе спектральных представлений Фурье, интеграла Фурье - Стилтьеса и на методе Монте-Карло.
Методика решения задач о свободных колебаниях оболочек, рассмотренная в работах [159, 160], основана на сведении исходной двумерной (трехмерной) задачи динамики к последовательности одномерных задач и численного их решения. На первом этапе искомое решение аппроксимируется обобщенными рядами Фурье. На втором этапе численно решаются задачи на собственные колебания для систем линейных обыкновенных дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами. Используется метод ортогональной прогонки.
Наиболее распространенный способ решения задач по устойчивости ребристых оболочек при динамическом нагружении основан на применении МКА. Прогиб при этом задается в виде одночленного выражения по пространственным координатам. Далее применяется метод Бубнова - Галеркина, который сводит исходную задачу к задаче Коши по временной координате. В качестве критерия потери устойчивости является резкое возрастание прогиба.
С использованием численных методов рассмотрены, в основном, задачи о собственных колебаниях оболочек вращения, усиленных кольцевыми ребрами [131], а также о напряженно-деформированном состоянии шпанго-утных цилиндрических оболочек, подверженных действию импульсных нагрузок [172]. Среди других приближенных подходов следует отметить методики, основанные на замене ребристой оболочки системой панелей, опертых на упругие ребра и на замене панелей между ребрами пластинами.
Точные аналитические решения уравнений движения получены только для цилиндрических оболочек, усиленных ребрами в одном направлении (продольными [7] или кольцевыми [7]) и для пологих оболочек с прямоугольным планом, также усиленных ребрами в одном направлении [7], причем, в подавляющем большинстве работ использованы упрощенные уравнения (принимается, что на оболочку передаются только радиальные реакции ребер или что ребра работают только на изгиб в радиальной плоскости и растяжение-сжатие.
Эти точные решения определяются в форме тригонометрических рядов по координате, ортогональной ребрам.
Для изучения колебаний ребристых оболочек и их устойчивости при динамическом нагружении используются и экспериментальные методы. Собственные колебания, как правило, изучаются на основе резонансного метода [56]. Определение характеристик деформированного состояния оболочек осуществляется на основе динамического тензометрирования [36]. Этот метод находит применение при экспериментальном изучении устойчивости ребристых оболочек [12].
Экспериментальные исследования, как правило, выполнялись с целью обоснования достоверности расчетных формул, полученных на основе приближенных схем. Однако ряд результатов имеет самостоятельное значение.
В отличие от данных теоретических исследований экспериментальное изучение собственных колебаний ребристых цилиндрических [7, 9, 49] и конических оболочек свидетельствует, что для оболочек, усиленных шпангоутами, различие собственных частот колебаний оболочек с наружными и внутренними ребрами с ростом числа окружных волн увеличивается; обнаружено также, что теоретические и экспериментальные значения минимальных собственных частот колебаний оболочек, усиленных продольными ребрами, могут различаться в пределах 20 %.
Анализ указанных отличий собственных частот колебаний проведен в работе [9]. Показано, что из рассмотренных факторов наиболее существенно влияют на собственные частоты начальные прогибы в экспериментальных оболочках и недостаточно полный учет дискретного размещения шпангоутов в теории.
Изучено влияние начальных прогибов на собственные частоты колебаний. Прогибы замерялись с помощью специальной установки, затем определялись собственные частоты обмеренных оболочек. Результаты сравнения показали, что учет в расчетных формулах начальных прогибов приводит к сближению значений собственных частот колебаний.
При изучении нелинейных колебаний ребристых цилиндрических оболочек показано, что в рассматриваемом обычно диапазоне амплитуд прогибов влияние нелинейности на собственные частоты колебаний мало.
В целом анализ результатов сопоставления расчетных значений минимальных собственных частот колебаний с экспериментальными данными, в том числе для оболочек, несущих присоединенные упругие или жесткие элементы, свидетельствует об их удовлетворительном совпадении.
Значительное число исследований посвящено разработке методик и определению оптимальных параметров подкрепленных оболочек. При решении этой задачи в качестве функции цели, как правило, выбирается объем материала оболочки, а в качестве ограничений - условия, при которых обеспечивается заданный уровень напряжений в оболочке и ее устойчивость. С одной стороны, многовариантный расчет, к которому приводятся все алгоритмы оптимизации, может быть выполнен до конца на современных ЭВМ, если ограничение описывается достаточно простыми соотношениями, а с другой стороны, простые соотношения могут давать достоверные результаты только в узком диапазоне изменения параметров обшивки и ребер, а решение задачи оптимизации требует поиска решений при широком изменении параметров.
В работе И.Я. Амиро и В.А. Заруцкого [8] отмечается, что в целом обоснование достоверности результатов, получаемых при решении задач оптимизации, требует дальнейших исследовании. Видимо, отмечают И.Я. Амиро и В.А. Заруцкий, наиболее достоверные задачи оптимизации ребристых оболочек можно получить тогда, когда речь идет о выборе лучшего проекта из числа однотипных.
Задачи оптимизации параметров ребристых цилиндрических оболочек при ограничениях на минимальные собственные частоты рассмотрены в [56, 159]. В [56], в частности, показано, что оптимальной по весу является оболочка, усиленная только кольцевыми ребрами. Изучалось влияние эксцентриситета ребер на оптимальный проект оболочки. Показано, что знак эксцентриситета продольных ребер относительно слабо влияет на оптимальные параметры оболочки.
Анализ современного состояния теории пологих ребристых оболочек и оболочек, ослабленных вырезами, при динамическом нагружении показал следующее:
В геометрически нелинейной постановке проведены исследования в основном для цилиндрических оболочек и при этом с использованием модели Кирхгофа - Лява. Ребра в этих исследованиях рассматривались как одномерные упругие элементы, присоединенные к обшивке по линии. Введены упрощающие задачу допущения. Например, не учитывается ширина ребер и влияние их сдвиговой и крутильной жесткости на НДС конструкции. Не исследовано влияние поперечного сдвига на НДС конструкции. Подход к исследованию форм потери устойчивости ребристой оболочки в линейной постановке не применим для исследования оболочек, допускающих большие прогибы.
Исходя из анализа состояния исследований динамики оболочек постоянной толщины, ребристых, с вырезами целью диссертационной работы является исследование устойчивости пологих оболочек ступенчато-переменной толщины при действии изменяющейся во времени нагрузки с учетом геометрически нелинейного поведения конструкции.
Для достижения поставленной цели в ходе работы решались следующие задачи:
- построение геометрически нелинейной динамической математической модели пологих оболочек ступенчато-переменной толщины, учитывающей дискретное расположение ребер и вырезов, их ширину, сдвиговую и крутильную жесткость ребер, а также поперечные сдвиги;
- построение геометрически нелинейной динамической математической модели для перфорированных оболочек и оболочек вафельного типа;
- разработка методики решения нелинейных уравнений движения для пологих оболочек ступенчато-переменной толщины и программы расчета на ЭВМ;
- исследование устойчивости пологих оболочек ступенчато-переменной толщины при различных параметрах оболочек и скорости нагружения;
- разработка методики выбора рациональных параметров оболочки (жесткости ребер, кривизны) при заданной форме динамического нагружения и ограничениях на ее напряженно-деформированное состояние.
Научная новизна диссертационной работы заключается в следующем:
- обобщена статическая геометрически нелинейная математическая модель пологих оболочек ступенчато-переменной толщины на область задач устойчивости при динамическом нагружении;
- разработана методика решения геометрически нелинейных уравнений движения для пологих оболочек ступенчато-переменной толщины на основе методов Власова - Канторовича и Рунге — Кутта и составлена программа расчетов на ЭВМ;
- проведено исследование устойчивости пологих оболочек ступенчато-переменной толщины и перфорированных оболочек при динамическом нагружении и установлен характер зависимости величины критической нагрузки от параметров оболочки и нагрузки;
- на основе вариационно-параметрического метода разработана методика выбора рациональных параметров оболочки при заданной форме динамического нагружения и ограничениях на ее НДС.
Практическая значимость диссертационной работы заключается в разработке математического и программного обеспечения расчетов НДС и устойчивости пологих оболочек ступенчато-переменной толщины и выбора для них рациональных параметров при заданном уровне нагрузки и ограничениях на ее НДС, которое может найти применение в проектных и конструкторских организациях при проектировании облегченных высокопрочных конструкций в авиастроении, судостроении, машиностроении, строительстве. Результаты работы нашли внедрение в ЗАО «Саратовский авиационный завод». Они используются также в учебном процессе Санкт-Петербургского государственного архитектурно-строительного университета, Волгоградского государственного архитектурно-строительного университета (в курсах «Теория оболочек», «Численные методы» для специальности «Промышленное и гражданское строительство»).
Основные научные положения, выносимые на защиту:
- нелинейные уравнения движения пологих оболочек ступенчато-переменной толщины, учитывающие дискретность расположения ребер и вырезов, их ширину, сдвиговую и крутильную жесткость ребер, поперечные сдвиги;
- методика выбора рациональных параметров оболочек ступенчато-переменной толщины (жесткости подкреплений, кривизны) при заданном параметре нагрузки и ограничениях на ее НДС, основанная на вариационно-параметрическом методе;
- результаты исследования динамической устойчивости оболочек постоянной толщины, ребристых, с вырезами, перфорированных при различных параметрах оболочки и скорости нагружения.
Достоверность научных положений обеспечивается корректной математической постановкой задач исследования, выводом уравнений движения для оболочек вариационным методом, сравнения результатов, полученных автором, с результатами других авторов.
Апробация работы
Основные результаты работы были доложены на 58-й и 60-й научных конференциях профессоров, преподавателей, научных работников, инженеров и аспирантов СПбГАСУ (2001, 2002, 2003); на 5-й международной конференции «Проблемы прочности материалов и сооружений на транспорте» (2002, Череповец); полностью работа докладывалась на научном семинаре кафедры строительной механики ВолгГАСУ под руководством доктора технических наук, профессора В.А. Игнатьева (ноябрь 2004).
Публикации. По результатам диссертационной работы опубликовано 4 печатные работы.
Структура и объем диссертации. Текст диссертации изложен на 128 страницах, состоит из введения, четырех глав, заключения, списка литературы из 194 наименований и содержит 20 рисунков, 4 таблицы. Приложения приведены на 30 страницах.
Во введении обосновывается актуальность диссертационной работы, сформулированы цель и задачи исследования, научная новизна, научные по
ложения, выносимые на защиту, практическая ценность работы и дан обзор литературных источников по теме диссертации.
В первой главе на основе вариационного метода выводятся нелинейные уравнения движения в перемещениях для пологих оболочек ступенчато-переменной толщины (модель Кирхгофа - Лява), в которых учитывается дискретное расположение ребер и вырезов, их ширина, сдвиговая и крутильная жесткость ребер. Получены уравнения для перфорированных оболочек и оболочек вафельного типа.
Во второй главе приводится методика решения нелинейных уравнений движения на основе методов Власова - Канторовича и Рунге - Кутта. Описана программа решения задач динамики для пологих оболочек ступенчато-переменной толщины.
В третьей главе исследована устойчивость оболочек постоянной толщины при различной кривизне, скорости нагружения и различных способах закрепления краев оболочки. С помощью критерия Мизеса анализируется момент наступления пластических деформаций. Для тонких оболочек постоянной толщины в начале происходит местная потеря устойчивости, потом общая. При подкреплении таких оболочек ребрами сразу наступает общая потеря устойчивости. Исследована устойчивость оболочек, ослабленных различным числом вырезов, и перфорированных.
В четвертой главе изложен вариационно-параметрический метод применительно к задачам динамики, который существенно упрощает процесс получения систем обыкновенных дифференциальных уравнений движения. Смена параметра продолжения решения в процессе расчета (параметр нагрузки, параметр жесткости ребер, параметр кривизны) позволяет выбирать рациональное подкрепление оболочки и рациональную кривизну при ограничениях на НДС оболочки.
В заключении приведены основные выводы по диссертации.
В приложения вынесены коэффициенты уравнений движения и программа расчета на ЭВМ.
