Содержание к диссертации
Введение
1 Общая характеристика состояния теории и методов решения нелинейных задач статики оболочек 13
1.1. Основные этапы развития нелинейной теории тонких оболочек 13
1.2. Методы решения нелинейных задач расчета оболочек 32
2. Устойчивость пологих оболочек вращения при симметричном на гружений 41
2.1. Основные соотношения нелинейной теории пологих оболочек вращения 41
2.2. Граничные условия 52
2.2.1. Жестко-защемленный опорный контур 54
2.2.2. Шариирно-неподнижный опорный контур 54
2.2.3. Шарнирно-иодвижный в меридиональном направлении опорный контур 55
2.3. Решение нелинейных краевых задач теории оболочек 57
2.4. Основные положения метода продолжения по параметру 60
3. Послекритическое деформирование пологих оболочек вращения 74
3.1. Определение параметров бифуркационных нагрузок для оболочек вращения 74
3.2. Поведение оболочек после ветвления равновесных форм 88
3.3. Анализ послебіїфуркаш-юнного поведения пологой сферической оболочки методом возмущений 97
4. Деформировании пологих оболочек вращения при действии несимметричной сосредоточенной нагрузки 101
4.1. Выражение для дифференциальных операторов в полярной системе координат 102
4.2. Алгоритм расчета пологой оболочки вращения 104
Заключение 129
Литература 133
- Методы решения нелинейных задач расчета оболочек
- Решение нелинейных краевых задач теории оболочек
- Поведение оболочек после ветвления равновесных форм
- Алгоритм расчета пологой оболочки вращения
Введение к работе
Актуальность темы исследования. Наиболее эффективными инженерными сооружениями, применяемыми во многих областях техники и строительства, являются тонкостенные пространственные конструкции, в том числе и с использованием оболочек.
Сравнивая различные формы оболочек, используемых в этих системах можно отметить определенную тенденцию к проектированию все более пологих оболочек, связанную с желанием уменьшить конструктивный объем зданий. В получаемых при этом гибких пологих оболочках возникает опасность потери устойчивости как всей оболочки в целом, так и отдельных ее частей. Поэтому отмеченные выше преимущества могут быть в полной мере реализованы при наличии достаточно точных методов расчета этих конструкций, позволяющих получить наиболее полную и достоверную информацию об особенностях их поведения в различных расчетных ситуациях.
Многочисленные исследования оболочек вращения посвящены действию симметричной нагрузки и изучению устойчивости симметричных форм. Поведение оболочек при действии несимметричных сосредоточенных нагрузок менее изучено и представляет интерес как с теоретической, так и с практической точек зрения. Поэтому исследование нелинейного деформирования гибких пологих оболочек вращения связанные с разрывными явлениями при действии несимметричной сосредоточенной нагрузки является актуальной проблемой.
Целью работы являются:
- разработка практических методов решения нелинейных краевых задач расчета пологих оболочек, связанных с разрывными явлениями и ее практическая реализация;
- изучение и анализ поведения пологих оболочек под действием симметричных и несимметричных сосредоточенных нагрузок;
- разработка рекомендаций по расчету, возведению и эксплуатации пологих пространственных систем.
В соответствии с целью в работе поставлены и решены следующие задачи:
- решены нелинейные краевые задачи, связанные с разрывными явлениями, проявляющихся в симметричном и несимметричном потере устойчивости рассматриваемых систем;
- для конкретной реализации рассматриваются гибкие пологие оболочки вращения;
- разработан алгоритм анализа характерных особенностей нелинейного деформирования оболочечных систем в докритическом, критическом и послекритическом состояниях;
- составлены алгоритмы, блок-схема и программы расчета гибких пологих оболочек.
Теоретические и методическая основа исследования. Исследование базируется на геометрической нелинейной общей теории тонких оболочек, склонных к потере устойчивости. Изучено поведение тонких пологих оболочек под действием несимметричных сосредоточенных нагрузок.
Научную новизну работы составляют:
- методика решения нелинейных краевых задач, связанных с разрывными явлениями, и ее практическая реализация на примере решения ряда конкретных задач;
- разработанные алгоритмы и программы решения нелинейных краевых задач расчета оболочек под действием симметричной и несимметричной сосредоточенных нагрузок;
- данные о характерных особенностях поведения под сосредоточенной нагрузкой пологих гибких оболочек и их анализ.
Основные положения диссертации, выносимые на защиту:
- методика решения нелинейных краевых задач расчета тонкостенных конструкций, которая может быть использована в проектной практике при решении задач прочности, устойчивости и послекритического деформирования различных конструкций;
- результаты решения нелинейных краевых задач расчета оболочек под действием несимметричной нагрузки, которые могут служить основой для выбора оптимальных параметров этих конструкций;
- данные о соотношениях между критическими и предельными значениями параметров нагрузок, выявляющие реальные физические возможности и скрытые резервы несущей способности рассчитываемых конструкции, позволяющие однозначно определить группу предельного состояния, к которой следует отнести рассматриваемое равновесное состояние;
- практические рекомендации по расчету, конструированию, возведению и эксплуатации пространственных конструкций.
Практическая ценность работы заключается в том, что разработанные алгоритмы, составленные программы и полученные результаты могут быть использованы в инженерных расчетах с применением ЭВМ.
Апробация работы. Основные положения диссертационной работы докладывались на XXIII-XXIX итоговых научно-технических конференциях Дагестанского государственного технического университета, 5-й международной конференции молодых ученых «Актуальные проблемы современной науки. Архитектура и строительство» (Самара, 2004 г.), международном форуме молодых ученых (Анталия, 2004 г.), международных конференциях «Мухтаровские чтения» (Махачкала, 2007 и 2008 гг.).
Структура и объем диссертации. Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы, включающего 162 наименования. Работа изложена на 152 страницах машинописного текста, содержит 48 рисунков и 2 таблицы.
Методы решения нелинейных задач расчета оболочек
С математической точки зрения задачи расчета оболочек связаны с необходимостью решения краевой задачи для систем высокого порядка дифференциальных уравнений в частных производных замкнутые аналитические эешеиия которых пока еще отсутствуют. Все имеющиеся результаты получены в основном на ЭВМ с помощью тех или иных численных методов с некоторой степенью точности. Использование ЭВМ расширило возможности существующих приближенных математических методов и позволило ставить и доводить до числа весьма сложные нелинейные задачи.
Численным методам и расчету сооружений с применением вычислительных машин посвящены книги [23, 33, 50, 55, 140]. Вопросы, связанные с применением численных методов в расчетах тонкостенных оболочечных конструкций обсуждаются в указанных выше книгах [I, 2, 4, 10, 13, 16, 23, 25, 30. 32, 33, 34, 40, 41, 43, 48, 50, 53, 57, 61, 66, 69, 71, 85,89,90,95, 109, 117, 122, 140, 143]. Обзор состояния наиболее общих методов решения прикладных задач статики оболочек и складок дается в докладе И.Е. Милейковского и В.Д. Рай-зера [74].
Сравнительный анализ методов используемых для решения геометрически нелинейных задач строительной механики дан в статье В.Е. Хайслера и др.[136. Примеры расчета стержневых систем, пластин и оболочек, а также обзор методов решения задач нелинейной строительной механики можно найти в работах П.А. Лукаша Г70. 71]..
Приведем очень краткую характеристику основных численных методов решения нелинейных краевых задач расчета пластин и оболочек. В начальный период развития нелинейной теории основным методом решения задач, как и в других областях нелинейной механики, был метод малого параметра. Однако, этот метод пригоден только для анализа поведения систем в небольшой окрестности критического состояния.
К числу наиболее часто используемых методов решения задач нелинейной теории оболочек относятся энергетический метод и метод Бубнова-Галеркина. Эти методы, при удачном выборе аппроксимирующих функций, весьма эффективны и позволяют, во многих случаях, получить достаточно точные решения при удержании небольшого числа членов ряда. Недостатком их является сложность процедуры интегрирования и полная зависимость от вида граничных условий. Первоначальная работа [152] послужила началом к появлению ряда более поздних и совершенных работ среди которых работы В.И. Феодосьева[129], И.В. Свирского [117], М.А. Колтунова [60].
Одновременно с исследованиями в нелинейной постановке наметился и так называемый геометрический подход к решению проблем. Наиболее по-следовательный и строгий подход принадлежит А.В. Погорелову [111]. В его работе установлены общие свойства, связанные с геометрией и характером деформирования упругих оболочек. Подробный анализ работ, связанных с применением и развитием геометрических методов в теории устойчивости тонких оболочек содержится в обзоре А.В. Погорелова [111].
Решение нелинейных краевых задач теории оболочек
И шболее универсальным метолом численного решения нелинейных краевые задач с параметрами, связанных с разрывными явлениями, ориентировали м на широкое применение ЭВМ является метод конечных разностей иуїсм ь юления или выбора варьируемого параметра и продолжения решения по УГОД- параметру, реализующий шаговую процедуру [391 / ія исследования осесимметрмчного нелинейного деформирования пологи оболочек вращения использована комбинация метода конечных разнос і ей метод Ньютона - Рафсона для решения системы нелинейных алгеб-раичео їх уравнений. Рассмотрен вариант метода продолжения по параметру, кот,, і за параметр приняты нагрузка и прогиб. }х ія решения краевой части задачи используется метод конечных разностей -ізляюшппея универсальным метопом приближенного решения дифферент адьных уравнений, позволяющим получить решение задачи при любых кр; евых условиях и при любом законе изменения параметров формы оболоч и. ее жесткости и нагрузки. При этом область изменения аргументов за меня ( ся конечным множеством точек (узлов), распределенных по определенном закону, называемым сеткой: вместо функции непрерывного аргумента осматриваются функции дискретного аргумента, определенные в узлах cei ии называемые сеточными функциями. Производные входящие в диффер читальные уравнения (2.28) заменяются (аппроксимируются) при ІЮМОІІІІ соответствующих разностных отношении: система нелинейных диффср нциальных уравнений сводится к системе нелинейных алгебраических уравнений.
Граничные условия также заменяются разностными аналогами дифференцирования могут быть аппроксимированы разностными отношениями с разной степенью точности. Желательно аппроксимировать сходные дифференциальные уравнения задачи во всех узлах сетки ОЛНОТИ иыми разностными выражениями симметричной структуры. Для формул іровки граничных условий, в зависимости от высшей производной в 1 их віхіжениях и принятой точности аппроксимации, приходится вводить один и." і два ряда законтурных точек. h шболес часто используемыми разностными формулами являются соотношу ия в виде обыкновенных центральных разностей: II и применении таких разностных отношений можно получить, при 01 носи льно нетрудоемких вычислениях, вполне пригодное для многих пракги ;ских целей представление о решении задачи. }\ ія получения более точных значений решений приходится иметь дело с оч нь малым шагом Ах, что замедляет сходимость метода, а объем вычислит іьной работы растет много быстрее, чем точность } фективность использования такого метода в нелинейных задачах теории ластим и пологих оболочек показана п работе [59]. Iі tпение краевой задачи с помощью МКР осуществляем в следующем порядк і Поделим длину меридиана оболочки b на п равных частей и в каждом у » заменим операторы дифференцирования, входящие в уравнения (2.28) і акую-либо комбинацию граничных условий с помощью разностных форму. 2.42). Для формулировки граничных условий, соответствующих системе разреш ощих уравнений (2.28) па контуре (г=Ь) и на полюсе оболочки (г=0) (и еду № замкнутой в вершине оболочки) необходимы дополнительные ypuunei ія, для того чтобы число сеточных уравнений было равно числу не-извесп їх. Таким образом, кроме искомых неизвестных во внутренних узлах сетки, часть уравнений войдут и значения неизвестных сеточных функций во внег штурных узлах сетки. Эти неизвестные должны быть выражены через вн\ оиконтурные значения искомых функций и через заданные на контуре вели ним на основании граничных условий. Исключив лишние неизвестные из основных уравнений, получаем систем нелинейных алгебраических уравнений, устанавливающую связь между араметром действующей нагрузки - внешним параметром и перемен-иыми істояния - внутренними параметрами (неизвестными сеточными функції ми Wj и Fj), определяющими напряженно-деформированное состояние обе ОЧКИ.
Поведение оболочек после ветвления равновесных форм
Приведенный в предыдущем разделе анализ позволяет исследовать устойчивость исходной равновесной формы и соответствующих им равновесных состояний рассматриваемого основного процесса деформирования пологих оболочек вращения под действием заданных внешних нагрузок.
Однако такой подход не дает никаких указаний относительно характера хотя бы начального этапа послекритического (лослебифуркационного) поведения и чувствительности поведения оболочки ко всякого рода несовершенствам, всегда существующим в природе. В частности» остаегся открытым вопрос: может ли оболочка после ветвления равновесных форм воспринимать дополнительную (к имеющемуся бифуркационному значению) нагрузку или такая возможность исключается?
Другими словами, нужно выяснить вопрос: является ли найденная критическая точка бифуркации (ветвления) исходных равновесных форм точкой потери (исчерпания) несущей способности оболочки или же она является точкой потери устойчивости исходной равновесной формы оболочки не исчерпавшей еще своей несущей способности?
Несмотря на то, что каждой точке бифуркации соответствует некоторая задача о собственных значениях, характер поведения различных конструкций при нагрузках близких к критическим резко меняется. Известно, что плоские пластинки выдерживают нагрузки значительно превышающие критические, тогда как для оболочек эксперименты показывают, что выпучивание происходит в большинстве случаев при нагрузках лежащих значительно ниже критических нагрузок бифуркации, получаемых из решения задач о собственных значениях и связано оно с их весьма неустойчивым послекритическим поведением [9. 19, 22, 30, 32, 39. 46, 57, 83, 117, ІІ9, 126, 135].
По сути дела, характер послекритического поведения оболочки зависит от того к какому участку поелебифуркационной (вторичной, побочной) равновесной ветви относится сама точка бифуркации, определяющая момент потери устойчивости исходной равновесной формы: если точка бифуркации принадлежит неустойчивой вторичной ветви, то выпучивание приобретает характер прощелкивания, следовательно, точка бифуркации является предельной точкой, в которой происходит потеря несущей способности и внезапный скачкообразный переход оболочки в несмежные равновесные состояния; если же точка бифуркации относится к устойчивой (хотя бы на начальном участке) вторичной равновесной ветви, то оболочка после бифуркации постепенно и плавно переходит в побочную (в данном случае неосесиммет-ричную) равновесную форму, т.е. она способна нести дополнительную нагрузку [9, 17, 57].
Схематично сказанное изображено на рис. 1,1: кривая ОЛЕК соответ-свует решению оссесимметричной задачи, описываемой системой уравнений (2.30) с соответствующими граничными условиями, решение которой представляет первый этап решении общей задачи рассмотренный в гл. 2. На этой кривой имеются точки А и С соответствующие значениям верхней Ра и нижней Рс критических нагрузок. Но при некотором (бифуркационном) значении параметра нагрузки Р„ Ра может наблюдаться переход осесимметричнмх форм равновесия оболочки в неосесимметричные. Нахождение значения Р„, сводящееся к задаче на собственные значения, является вторым этапом общего решения задачи и подробно рассмотрен в п 3.1.
Дальнейшее поведение оболочки будет зависеть от того к какому из ветвящихся в точке В вторичных решений исходной системы нелинейных уравнений (2.15) (BE или BD) относится сама точка В?
Для ответа на этот вопрос, определяющего характер начального этапа поелебпфуркационного поведения следует решить третий этап общей задачи анализа характерных особенностей нелинейного поведения гибких оболочек, заключающийся в определении характера поведения оболочки в малой окрестности точки ветвления (бифуркации) равновесных форм, решением общей задачи в более высоком приближении, чем это требуется в линейной задаче о собственных значениях [57].
Алгоритм расчета пологой оболочки вращения
Решение задачи сводится к следующим последовательным этапам: 1. Срединная поверхность оболочки покрывается разностной сет кой її полярных координатах, содержащей «п» лучей и «ш» окружностей (рис.4.2.). Для примера рассмотрен п=12, т=10. 2. Для каждой точки записываются по два уравнения (4.2). 3. Граничные условия также представляются в виде конечноразно-стных уравнений. 4. Методом последовательных догружений, начиная с нуля, нагружаем оболочку. Нелинейные компоненты на первом этапе не учитываем, а на последующих этапах учитываем как уже известные из предыдущего. 5. При приближении нагрузки к критическому за ведущий параметр принимаем прогиб в точке, где приложена нагрузка. На первом этане построим систему сеточных уравнений. На втором этапе решаем систему алгебраических уравнений. Так как число неизвестных в каждой точке равно двум, то после перехода к конеч-норазностной задаче приходится решать систему алгебраических уравнений, число которых равно удвоенному числу узловых точек. В рассматриваемых ниже задачах деформирования сферических оболочек используется примерно 200 узловых точек в пределах области занимаемой конструкцией, поэтому для каждого значения параметра нагрузки следует решить систему примерно четыреста линейных алгебраических уравнений на каждом этапе нагружения. Существует обширная библиотека стандартных программ решения систем линейных уравнений. Для решения используется программный комплекс Mathcad [6]. Процесс счета представляет собой многоразовое решение линеаризованных уравнений с корректировкой коэффициентов на каждом шаге решения. Расчет начинался, когда нагрузка равна нулю, после чего дается приращение нагрузки по 5% от значения критической нагрузки полученной из решения линейной задачи расчета той же оболочки. Рассмотрим действие сосредоточенной нагрузки приложенной в различных точках пологой оболочки вращения (рис.4.3.). На рис. 4.4 - 4.11 показаны кривые нагрузка - прогиб. Изополя перемещений для защемленной и шарнирно опертой оболочки показаны на рис. 4.12. - 4.31.
