Содержание к диссертации
Введение 5
Глава 1. Нелинейные математические модели деформирования пологих
ребристых оболочек при учете ползучести материала 18
Основные соотношения для пологих ребристых оболочек с учетом геометрической нелинейности 18
Физические соотношения для упругих оболочек 22
Физические соотношения при учете ползучести материала 24
Функционал полной энергии деформации пологой ребристой оболочки при учете поперечных сдвигов 27
Уравнения равновесия пологой ребристой оболочки при учете поперечных сдвигов 28
Модель деформирования пологой ребристой оболочки при не учете поперечных сдвигов 30
Уравнения в смешанной форме для пологой ребристой оболочки при учете ползучести материала 31 1.8.0 краевых условиях на контуре оболочки 37 1.9. Выводы 39 Глава 2. Алгоритмы расчета напряженно-деформированного состояния пологих ребристых оболочек при учете ползучести материала 41
Функционал полной энергии деформации пологой ребристой оболочки с учетом поперечных сдвигов в безразмерных параметрах 42
Применение метода Ритца для получения интегральных уравнений равновесия для ребристых пологих оболочек при учете поперечных сдвигов 46
Блок-схема алгоритма расчета пологих ребристых оболочек при учете поперечных сдвигов и ползучести материала 51
Функционал полной энергии деформации пологой ребристой оболочки при неучете поперечных сдвигов в безразмерных параметрах 56
Применение метода Ритца для получения интегральных уравнений равновесия для пологих ребристых оболочек при неучете поперечных сдвигов 57
Блок-схема алгоритма расчета пологих ребристых оболочек при учете ползучести материала и неучете поперечных сдвигов 61
Программа расчета пологих ребристых оболочек при учете ползучести материала 61
Выводы 62 Глава 3. Устойчивость упругих пологих ребристых оболочек 63
Алгоритм исследования устойчивости пологих ребристых оболочек 63
Устойчивость пологих оболочек, подкрепленных различным числом ребер 65
Характер распределения напряжений в ребристых оболочках 68
Применение критерия Мизеса для анализа появления пластических деформаций 73
3.5. Результаты экспериментального исследования устойчивости
оболочек 76
3.6. Выводы 79
Глава 4. Расчет напряженно-деформированного состояния и
устойчивости пологих ребристых оболочек с учетом ползучести
материала 81
Линейный вариант задачи для оболочек постоянной толщины (для полимерных материалов) 81
Понижение критической нагрузки при длительном нагружении оболочки постоянной толщины 92
4.3. Понижение критической нагрузки при длительном нагружении
ребристой оболочки 96
4.4. Выводы 98
Заключение 100
Список литературы 101
Приложения 120
Введение к работе
Тонкостенные оболочечные конструкции находят большое применение в различных областях техники, так как обладают разнообразием форм и достаточно высокой жесткостью. Для повышения жесткости они подкрепляются ребрами жесткости. При длительном воздействии нагрузки в них может проявиться свойство ползучести материала, т.е. изменение во времени деформаций и напряжений при неизменной нагрузке, что может привести к потере прочности или даже к потере устойчивости. Так как теория ползучести сравнительно молодая наука, то решения задач устойчивости и определения напряженно-деформированного состояния (НДС) для ребристых оболочек исследованы не достаточно. Поэтому исследование ребристых пологих оболочек с учетом ползучести материала является актуальным.
В настоящее время разработаны несколько торий ползучести. Сведения о них можно найти в работах Н.И. Безухова [15], Н.Н. Малинина [113], Ю.Н. Работнова [146], Л.М. Качанова [93], А.Р. Ржаницина [149], Н.Х. Арутюняна [13], ХарлабаВ.Д. [167,168], В.И. Климанова и С.А. Тимашева [95] и др. Исследование НДС и устойчивости оболочек в условиях ползучести материала проведено в работах И.Г. Терегулова [162], Гудрамовича B.C. и ПошиваловаВ.П. [47], Куршина Л.М. [105], Климанова В.И. и С.А. Тимашева [95], и др. В работе Климанова В.И. и Тимашева С.А. рассматриваются ребристые пологие оболочки, однако не учитываются сдвиговая и крутильная жесткость ребер или жесткость ребер "размазывается" по всей оболочке. В этой работе представлен обширный материал по экспериментальному исследованию оболочек и обзор работ при исследовании конструкций с учетом ползучести материала.
Первоначально под ползучестью понимали свойство твердых тел деформироваться во времени при действии постоянных нагрузок. В настоящее время это понятие расширено в результате изучения случаев переменных нагрузок и температур. Ползучесть материала зависит от многих факторов: типа материала, вида напряженного состояния, температуры и свойств окружающей среды, масштабов образцов и др. Так для бетона и полимеров при длительном действии нагрузок и нормальной температуре характерно затухающее деформирование, для металлов при высоких температурах — незатухающее. В соответствии с этим различают два типа материалов: с ограниченной ползучестью (полимеры, бетон) и неограниченной (металлы).
Пока не существует единой обобщенной теории ползучести, одинаково пригодной для всех конструктивных материалов. Все многообразие ее вариантов можно разделить на три группы: варианты теории упругой наследственности, теории старения и теории упругоползучего тела. Основное отличие их состоит в подходе к вопросу об обратимости деформаций ползучести при частичной или полной разгрузке.
Основы теории упругой наследственности заложили Больцман и Вольтерра и развили впоследствии Ю.Н. Работнов, М.И. Розовский, Г.Н. Маслов, Н.Х. Арутюнян, А.Р. Ржаницин. Эта теория постулирует полную обратимость деформаций ползучести при разгрузках, поэтому ее варианты применимы лишь к бетону старого возраста. Эта теория достаточно хорошо отображает поведение деформируемых полимерных материалов.
Теорию старения разработали Дишингер и Уитли и развили Н.И. Буданов, И.И. Улицкий, Я.Д. Лившиц и др. Классическая теория основана на предположении о полной необратимости деформаций ползучести при разгрузке и вследствие этого не может быть
использована для описания длительных процессов с изменяющимися напряжениями и деформациями.
При решении прикладных задач широкое применение находит
более сложная, но и более совершенная теория упругоползучего тела
(наследственная теория старения). Основы ее, заложенные
Г.Н. Масловым и Н.Х. Арутюняном, развиты в трудах
СВ. Александровского, А.А. Гвоздева, И.Е. Прокоповича,
А.Р. Ржаницина и др. Теория упругоползучего тела, учитывающая частичную обратимость деформаций ползучести, наиболее пригодна для описания длительных деформаций бетона. В области эксплуатационных значений напряжений (сг< 0,5 і? где R — призменная прочность
бетона) степень нелинейной зависимости деформаций ползучести бетона от напряжений невелика, поэтому можно ограничиться линейной теорией.
Для описания поведения длительно загруженных тонкостенных оболочек можно использовать линейные теории упругоползучего тела и наследственности соответственно.
Для конструкций из материалов с неограниченной ползучестью ставятся задачи определения (по различным критериям устойчивости) критического времени tk. В конструкциях из материалов с ограниченной ползучестью задача устойчивости рассматривается на бесконечном интервале времени, при этом основным является установление
длительной критической нагрузки q . При нагрузках, меньших
длительной критической, прогибы оболочки стабилизируются во
времени. А в интервале нагрузок qD
затухание скорости деформаций ползучести, могут накопиться большие перемещения, что со временем приведет к прощелкиванию. В этом
случае также возможно определение критического времени tk как момента смены форм равновесия.
Существуют разнообразные критерии устойчивости. При исследовании оболочек предлагалось считать критическим момент, соответствующий переходу от одной формы равновесия к другой, бесконечному возрастанию прогиба, обращению скорости прогибов в бесконечность и др. Методы решения задач для оболочек в условиях ползучести материала изложены в работах: А.С. Вольмира и П.Г. Зыкина, Ю.Н. Работнова, И.И. Воровича и Н.И. Минаковой, И.Е. Прокоповича, Н.А. Магаховой и Н.Р. Михеевой, М.А. Колтунова и П.М. Огибалова, Л.М. Куршина, И.Г. Терегулова и Р.З. Муртазина и др. Систему уравнений ползучести оболочек ввиду нелинейности нельзя проинтегрировать непосредственно, поэтому получают приближенные решения с использованием вариационных методов, метода конечных элементов, метода перемещений, метода Бубнова-Галеркина.
После алгебраизации задачи, система интегральных уравнений решается итерационным методом. Причем начальное приближение находится из решения упругой задачи. В силу сложности построения теории длительной устойчивости оболочек, многие исходные гипотезы и предпосылки, а также значения параметров, характеризующих свойства материалов, из которых изготавливаются отдельные элементы оболочек, следует брать из правильно поставленного эксперимента.
Результаты экспериментов над подкрепленными ребрами оболочек из оргстекла представлены в работе В.И. Климанова и С.А. Тимашева [95]. Там же приводятся функции влияния K(t-x) и R(t-%) для этого материала:
R(t)=Ae-*'-ta-1. Здесь Г(а) — гамма функция; а, р\ А — параметры, определяемые экспериментально (табл. 1, взято из работы [95]).
Механические характеристики оргстекла
Таблица 1
При этом физические соотношения принимаются в виде
^о ^о о
в,№
<*,(')+ V0v W 1
+
К^М+у.оДт)]*:,0^-^,
«,(0= ",(07'g,(0 + Ff kW +v.a,(T)]g,4r-x>ft,
и0=^Цк№('-*)*-
Здесь ATj0 (ґ — т) — функция влияния, характеризующая ползучесть
материала обшивки при сжатии (растяжении); K^t-i) — функция влияния, характеризующая ползучесть материала обшивки при сдвиге; E0,Gq,Vq — модули упругости первого и второго рода и коэффициент
Пуассона для материала обшивки.
Основы теории ребристых оболочек были заложены еще в 40-х годах в работах В.З.Власова [24] и А.И.Лурье [ПО]. В их работах
заложены два основных подхода к учету дискретности подкрепления в виде ребер. Ребристая оболочка представляется В.З. Власовым как контактная система, состоящая из гладкой оболочки и работающих совместно с ней тонких стержней. А.И. Лурье обшивку и ребра рассматривает как одно целое, и для них на основе вариационного принципа получаются уравнения равновесия и граничные условия. Оба считали, что ребра взаимодействуют с обшивкой по линии. В дальнейшем большинство авторов следовало одному из этих двух подходов.
Третий подход к ребристым оболочкам основан на сведении их к конструктивно-ортотропной схеме, т.е. дискретно-подкрепляющие оболочку ребра заменяются путем их "размазывания" сплошным слоем постоянной толщины и в уравнения равновесия вводятся соответствующие жесткостные коэффициенты, учитывающие увеличение жесткости всей конструкции (метод конструктивной анизотропии).
В конце 60-х годов П.А. Жилиным [54] было предложено рассматривать ребристую как оболочку ступенчато-переменной толщины. При этом автоматически учитывается, что контакт между обшивкой и ребрами происходит по всей поверхности полосы, а не по линии. Аналогичный подход к ребристой оболочке при решении нелинейных задач применил позже В.В. Карпов [71-75].
Современное состояние теории ребристых оболочек
характеризуется работами Абовского Н.П., Амиро И.Я., Власова В.З,
Грачева О.А., Гребня Е.С., Гречанинова И.П., Григолюка Э.И.,
ГузяА.Н., Енджиевского Л.В., Жилина П.А., Заруцкого В.А.,
Кантора Б.Я., Карпова В.В., Климанова В.И., Корнеева B.C., Лурье А.И.,
Маневича А.И., Милейковского И.Е., Михайлова Б.К.,
Немировского Ю.В., Постнова В.А., Преображенского И.Н.,
РассудоваВ.М., Теребушко О.И., Тимашева С.А., Бискова и Хачисона, Фишера С. и Берта С. и др.
Хотя имеется большое число работ по исследованию ребристых оболочек, но, в основном, это работы, касающиеся цилиндрических оболочек, выполненные без учета нелинейных факторов и на основе модели Кирхгофа-Лява (без учета сдвиговых деформаций)
Чаще всего рассматриваются замкнутые цилиндрические оболочки, решение для которых находится в виде рядов. В работах Амиро И.Я. и Заруцкого В.А. [7, 8] даны обзоры состояния исследования ребристых оболочек как при статической постановке, так и в динамической. Следует отметить еще обзор работ в области статики ребристых оболочек, составленный Кантором Б.Я. и др. [68]. К приведенным выше обзорам, на наш взгляд, следует добавить еще работы ученых Красноярского края: Абовского Н.П., Енджиевского Л.В. и др. [1-3, 51] кроме того работы Тимашева С.А. [163] и Климанова В.И. [95].
Исследования, как правило, выполняются с использованием для описания НДС обшивки теории упругих тонких оболочек, основанной на гипотезах Кирхгофа-Лява, а для описания НДС ребер — теории тонких стержней Кирхгофа-Клебша. Почти во всех работах принимается, что ребра присоединены к обшивке вдоль линий главных кривизн и передают на обшивку реакции, распределенные вдоль этих линий. В линейной постановке используется статический критерий устойчивости и задача сводится к решению систем дифференциальных или интегральных уравнений нейтрального равновесия.
С целью упрощения задачи в конкретных исследованиях пренебрегается некоторыми факторами. В большинстве работ считается, что ребра и обшивка прикреплены по линии, при этом авторы пренебрегают влиянием сдвиговой и крутильной жесткостью ребер на
НДС конструкции.
Исследования устойчивости ребристых оболочек при длительном нагружении, когда может проявиться ползучесть материала, исследована недостаточно. Устойчивость оболочек постоянной толщины в условиях ползучести материала исследована в работах И.Г. Терегулова [162]. Устойчивость ребристых пологих оболочек в условиях ползучести материала исследована В.И. Климановым и С.А. Тимашевым [95].
Исходя из анализа состояния исследований устойчивости ребристых пологих оболочек при длительном нагружении, ставятся следующие
задачи и цели исследования:
разработка математической модели деформирования пологих ребристых оболочек с учетом геометрической нелинейности и возможности развития ползучести материала;
разработка алгоритма решения нелинейных задач теории оболочек (геометрическая и физическая нелинейность);
исследование влияния длительности нагружения на снижение критической нагрузки.
В работе не ставится задача детального исследования процессов ползучести в материале конструкции, а ставится задача исследования влияния нелинейных факторов при длительном воздействии нагрузки. Поэтому рассматривается простая теория ползучести (линейная теория наследственной ползучести) и анализируется устойчивость тонкостенных ребристых оболочек при длительном нагружении с учетом геометрической нелинейности и возникновения ползучести. Так как функции влияния находятся экспериментально, а экспериментальных данных, описанных в литературе недостаточно, то выбран материал (оргстекло), для которого эти данные приведены в работе Климанова В.И. и Тимашева С.А. [95].
Для достижения цели исследования были поставлены следующие задачи:
вывод нелинейных интегральных уравнений деформирования пологих ребристых оболочек с учетом ползучести материала;
разработка алгоритма решения дважды нелинейных задач (геометрической и физической);
исследование развития ползучести материала, когда прогибы оболочки соизмеримы с ее толщиной;
исследование снижения критической нагрузки при длительном нагружении оболочки вследствие развития ползучести материала.
Научная новизна работы:
разработана математическая модель деформирования пологих ребристых оболочек с учетом геометрической нелинейности, дискретного введения ребер, сдвиговой и крутильной жесткости ребер, поперечных сдвигов и возникновения ползучести материала;
разработан алгоритм решения геометрически и физически нелинейных задач на основе метода Ритца и итерационных процессов;
исследован процесс роста прогибов при длительном нагружении оболочки, приводящий к потере устойчивости и особенности этого процесса для тонкостенных ребристых оболочек при учете геометрической нелинейности;
построены кривые снижения критической нагрузки для различных оболочек из оргстекла.
Практическое значение работы состоит в том, что математическое и программное обеспечение расчетов устойчивости пологих ребристых оболочек с учетом длительного воздействия нагрузок и возможности возникновения ползучести материала, геометрической нелинейности могут найти применение в проектных
организациях (например, в ОАО "СПбЗНИИПИ жилищно— гражданских зданий") и в учебном процессе строительных вузов (например, СПбГАСУ, ВолгГАСУ). Результаты работы получили врнедрение в ОАО "СПбЗНИИПИ жилищно—гражданских зданий", учебном процессе СПбГАСУ для студентов специальностей "Промышленное и гражданское строительство", "Прикладная математика".
Основные научные положения, выносимые на защиту: —математическая модель деформирования пологих ребристых оболочек с учетом геометрической нелинейности, дискретного введения ребер, сдвиговой и крутильной жесткости, поперечных сдвигов и возникновения ползучести материала;
методика исследовании модели, ориентированная на использование компьютерных технологий и позволяющая перейти от сложных интегро—дифференциальных уравнений к итерационным процессам решения нелинейных алгебраических уравнений;
исследование особенностей деформирования тонкостенных оболочечных конструкций (местной и общей потери устойчивости) и влияния этих особенностей на развитие ползучести материала при длительном нагружении;
исследование снижения критической нагрузки при длительном нагружении и развитии ползучести материала.
Достоверность научных положений подтверждается применением вариационных принципов при получении уравнений равновесия, обоснованных численных методов решения полученных уравнений, сравнением результатов с результатами других авторов и с результатами экспериментов.
Апробация работы Результаты работы докладывались на 58-й и 59-й международной
научно-технической конференции молодых ученых и студентов СПбГАСУ (2005 г., 2006 г.), на 63-й научной конференции профессоров, преподавателей, научных работников, инженеров и аспирантов университета (СПбГАСУ, 2005 г.). Полностью работа докладывалась на расширенном научном семинаре кафедры Прикладной математики и информатики под руководством д.ф.-м.н., проф. Багера Б.Г. (май, 2006 г.).
Публикации
По результатам исследования опубликованы четыре научных статьи. Публикаций по перечню ВАК — 1.
Структура и объем работы
Текст диссертации изложен на 147 страницах, состоит из введения, четырех глав, заключения, списка литературы, из 186 наименований, приложений на 28 страницах. Работа содержит 16 рисунков и 5 таблиц.
Во введении дан краткий обзор литературных источников по теме диссертации, сформулирована цель исследований, указана научная новизна, практическая ценность и положения, выносимые на защиту, отражено кратко содержание диссертации.
В первой главе приводится математическая модель деформирования пологих ребристых оболочек с учетом геометрической нелинейности, дискретного введения ребер, их ширины, сдвиговой и крутильной жесткости ребер, поперечных сдвигов (модель Тимошенко-Рейснера) и учетом ползучести материала на основе линейной теории наследственной ползучести. Получена также модель рассматриваемой оболочки без учета поперечных сдвигов (модель Кирхгофа-Лява). Модель записана в виде функционала полной энергии деформации в безразмерных параметрах относительно неизвестных функций перемещений и углов поворота нормали. Приводятся
уравнения равновесия для рассматриваемых оболочек и уравнения в смешанной форме.
Во второй главе приводится алгоритм расчета напряженно-деформированного состояния и устойчивости пологих ребристых оболочек при учете ползучести материала.
К функционалу полной энергии деформации оболочки применяется метод Ритца и выводится система интегро-алгебраических уравнений. Для решения геометрически нелинейных задач применяется итерационный процесс при последовательном увеличении нагрузки. Для решения интегральных уравнений применяется метод итераций при последовательном увеличении времени и приближенной замене интегралов на малом приращении времени интегральной суммой по методу прямоугольников.
Приводится блок-схема алгоритма и программа расчета на ЭВМ.
В третьей главе исследуются особенности напряженно-деформированного состояния и устойчивость упругих пологих ребристых оболочек с учетом геометрической нелинейности. Для различных параметров оболочек найдены критические нагрузки, исследована местная и общая формы потери устойчивости, особенности напряженного состояния ребристых оболочек. С помощью критерия Мизеса анализируются места возникновения пластических деформаций для различных материалов оболочки. Описаны результаты экспериментальных исследований устойчивости оболочек, проведенных В.И. Климановым и С.А. Тимашевым [95] и сравнение с полученными в диссертации результатами.
В четвертой главе приводятся результаты расчета напряженно-деформированного состояния и устойчивости оболочек при длительном нагружении и учетом развития ползучести материала. Для различных параметров оболочек из оргстекла получены кривые снижения
критической нагрузки, вызванное возникновением ползучести материала. На линейном варианте оболочек проанализирована методика исследования и точность аппроксимации интегралов по временной координате на частичных отрезках интегральной суммой.
Проводится сравнение полученных результатов с результатами экспериментов, описанными в работе [95].
В приложении вынесены коэффициенты, полученных в работе уравнений и программа расчета на ЭВМ.
