Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Обзор исследований по теории и численным методам расчета нелинейно-деформируемых сетчатых пластин и оболочек . 6
1.1 .Построение расчетных моделей сетчатых пластин и оболочек б
1.2. Численныс методы исследования напряженно-деформированного состояния сетчатых пластин и оболочек 10
1.3.Методы расчета пространственных систем на устойчивость методом продолжения решения по параметру IS
Глава 2. Построение исходных соотношений теории сетчатых оболочек на основе континуальной расчетной модели . 27
2.1. Геометрические соотношения с учетом деформаций поперечного сдвига. 27
2.2. Физические соотношения для упругих сетчатых оболочек 34
2.3. Функционал Лагранжа и граничные условия 45
Глава 3. Вариационно-разностный метод расчета и его реализация . 52
3.1. Разностно-квадратурная аппроксимация функционала 52
3.2. Решение нелинейной задачи методом продолжения по параметру 58
3.3. Решение тестовых задач 74
Глава 4. Исследование несушей способности и устойчивости нелинейно-деформируемых сетчатых пластин и оболочек 85
4.1. Сетчатые оболочки с жестким закреплением по контуру 85
4.2. Сетчатые оболочки с шарнирно-нсподвижным закреплением по контуру 91
4.3. Сетчатые пластины и пологие оболочки с различным типом решетки 97
4.4. Определение точек ветвления решений 104
Глава 5. Анализ структурной устойчивости сетчатых оболочек 108
5.1. Постановка задачи. 108
5.2. Решение модельных задач. Устойчивость сетчатых оболочек при локальных разрушениях. 111
5.3. Анализ устойчивости сетчатых оболочек покрытий 120
Заключение 131
Литература 133
Приложение
- Численныс методы исследования напряженно-деформированного состояния сетчатых пластин и оболочек
- Физические соотношения для упругих сетчатых оболочек
- Решение нелинейной задачи методом продолжения по параметру
- Сетчатые оболочки с шарнирно-нсподвижным закреплением по контуру
Введение к работе
Актуальность темы
Сетчатые конструкции, обладая высокой степенью экономичности и большим разнообразием форм, находят широкое применение в различных областях современной техники. Применение сетчатых систем в строительстве предоставляет широкие возможности для решения сложных проблем, возникающих при возведении покрытий больших пролетов
Расчет и проектирование сетчатых конструкций с использованием компьютерной техники составляет в настоящее время один из наиболее важных разделов строительной механики. При анализе несущей способности континуальных и сетчатых пространственных конструкций важную роль играет расчет на устойчивость. Для пологих оболочек расчет в линейной постановке не позволяет получить достоверные результаты и оценить величину критической нагрузки, в связи с этим расчет необходимо выполнять с учетом больших перемещений с построением кривых равновесных состояний и определением предельных и бифуркационных точек. Важным является вопрос оценки устойчивости конструкций к локальным разрушениям с учетом динамических эффектов. Актуальность исследований в этой области вызвана значительным числом аварий большепролетных пространственных конструкций и практически полным отсутствием нормативных документов, регламентирующих методики расчета большепролетных конструкций на устойчивость к прогрессирующему обрушению.
Дели работы
Построение математической модели пологих нелинейно деформируемых сетчатых оболочек на основе континуального подхода.
Анализ устойчивости форм равновесия пологих сетчатых оболочек в геометрически нелинейной постановке.
Анализ структурной устойчивости сетчатых оболочек при локальных разрушениях отдельных элементов.
4 Научная новизна работы
1. Построен вариант функционала Лагранжа теории сетчатых обо
лочек с учетом геометрической нелинейности и деформаций поперечного
сдвига на основе континуальной модели;
Разработана методика расчета сетчатых оболочек в геометрически нелинейной постановке с использованием метода продолжения решения по параметру;
Решены задачи структурной устойчивости сетчатых оболочек при локальных разрушениях в статической и динамической постановках.
Достоверность результатов
В основе методики лежат корректные математические модели и методы решения нелинейных задач. Решение ряда тестовых задач и сравнение численных результатов с данными, полученными с помощью вычислительных комплексов Лира и Nastran, показывает хорошую согласованность параметров напряженно-деформированного состояния. Достоверность результатов подтверждается также анализом сходимости численных решений при различной густоте разностной сетки и величине шага по ведущему параметру.
Практическая ценность работы
Разработанная в диссертации методика расчета сетчатых оболочек по континуальной расчетной модели реализована в виде пакета прикладных программ, который позволяет решать широкий круг задач устойчивости форм равновесия пологих сетчатых оболочек в геометрически нелинейной постановке. Разработана методика расчета сетчатых оболочек покрытий на устойчивость к прогрессирующему разрушению в статической и динамической постановках, реализованная в программных комплексах Лира и Nastran.
Внедрение работы
Методика расчета сетчатых конструкций на устойчивость при локальных разрушениях реализована в вычислительных комплексах Лира и Nastran и внедрена в лаборатории разработки методов расчета сооружений ЦНИИСК
5 им. В.А.Кучеренко при численном анализе большепролетных оболочек покрытий аэровокзального комплекса Внуково-1, атриума апарт-отеля в г. Сочи, транспортного терминала Москва-Сити.
Апробация работы
Основные результаты работы докладывались или опубликованы в трудах и тезисах докладов научно-технических конференций и семинаров:
- XXII Международная конференция «Математическое моделирование
в механике деформируемых тел и конструкций. Методы граничных и конеч
ных элементов» (Санкт-Петербург, 2007 г.);
- Научная сессия «Взаимосвязь проектирования пространственных
конструкций с вопросами безопасности эксплуатационной надежности и дол
говечности» (Москва, 2007 г.);
Научная сессия «Новое в исследовании и проектировании пространственных конструкций» (Москва, 2008 г.);
Всероссийская научно-практическая конференция «Инженерные системы - 2008» (Москва, 2008 г.);
Научная сессия «Особенности проектирования и расчета пространственных конструкций на прочность, устойчивость и прогрессирующее разрушение» (Москва, 2009 г.).
Научный семинар кафедры строительной механики МГСУ (Москва, 2009).
Публикации
По теме работы имеется 11 публикаций.
На защиту выносятся
Полученные физические и геометрические соотношения теории сетчатых оболочек на основе континуальной модели с учетом деформаций поперечного сдвига и вариант функционала Лагранжа с учетом геометрической нелинейности.
Алгоритм расчета сетчатых оболочек в геометрически нелинейной
постановке с использованием вариационно-разностного метода и метода продолжения решения по параметру.
Результаты исследования напряженно-деформированного состояния и устойчивости гибких пологих сетчатых оболочек с различными граничными условиями, кривизной и структурой сетки.
Анализ напряженно-деформированного состояния и устойчивости сетчатых оболочек при локальных разрушениях в системе конструкции для модельных и реальных объектов.
Объем работы
Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения, списка литературы из 165 наименования и приложения. Общий объем диссертации составляет 188 страницу, в текст включены 66 рисунка и 56 таблиц.
Численныс методы исследования напряженно-деформированного состояния сетчатых пластин и оболочек
Расчет гибких тонкостенных конструкций типа пластин и оболочек приводит к решению задач, описываемых нелинейными дифференциальными выражениями в частных производных (уравнения равновесия или функционалы). Получение точных аналитических решений подобных задач в подавляющем большинстве случаев не представляется возможным. Поэтому большое теоретическое и практическое значение приобретает разработка и исследование численных методов и алгоритмов применительно к ЭВМ.
Используемые в строительной механике, в том числе в теории оболочек, методы решения задач могут быть условно разделены на три вида: 1. Методы решения краевой задачи, используемые для нахождения решения дифференциальных уравнений в совокупности с граничными условиями: метод Бубнова-Талеркина, метод В.З.Власова, метод конечных разностей. 2. Методы минимизации энергетических функционалов, используемые для нахождения экстремального (минимального) значения полной потенциальной энергии деформируемой системы: метод Ритца, вариационно-разностный метод (ВРМ), метод конечных элементов (МКЭ). 3. Методы линеаризации, сводящие нелинейную задачу к решению последовательности линейных задач: метод последовательных иагружений, метод упругих решений, метод малого параметра, метод Ньютона-Рафсона и другие. Большое количество задач с различными типами граничных условий решено в тригонометрических рядах, методом Бубнова-Галеркина [26,28,66], В.З.Власова [84,109], малого параметра [83] в основном в невысоких (одном-двух) приближениях. Эффективность методов Бубнова-Галеркина и Ритца во многом зависит от удачного подбора аппроксимирующих функций и числа варьируемых парамегров. Увеличение числа варьируемых параметров приводит к высокому порядку системы нелинейных алгебраических уравнений, для решения которой необходимо использование ЭВМ. Все отмеченные выше методы, как правило, не позволяют получить решение задачи для областей, имеющих сложную геометрию и состоящих из различных типов материалов.
Среди численных методов важное место занимает метод конечных разностей (метод сеток). Применение этого метода к расчету пластин дано в работе П.М. Варвака, Л.П. Варвака [23]. Исследование пластин и оболочек в геометрически нелинейной постановке с помощью МКР приведено в монографии А.С. Вольмира [29]. Для решения задач изгиба прямоугольных и круглых пластин и пологих куполов М.С. Корнишиным был предложен вариант МКР повышенной точности [80]. Жестко защемленные и шарнирно-неподвижно опертые по контуру пологие цилиндрические оболочки рассматривались в работе М.С. Корнишина и Н.Н. Столярова [82]. Исследование гибких пластин и оболочек, имеющих в плане сложную конфигурацию, составленную из прямоугольников, выполнено Н.П. Петуховым [ПО], при этом использовался МКР в сочетании с методом блочной итерации по Гауссу, что позволило свести решение исходной системы алгебраических уравнений высокого порядка к последовательности решений систем более низкого порядка. Решение задачи о равновесии прямоугольной мембраны в пределах и за пределом упругости методом конечных разностей представлено в работе А.С.Григорьева [47]. При формулировке задачи предполагалось, что прогибы мембраны являются большими в сравнении с толщиной.
В результате сравнения трудоемкости вычислений по методам Ритца, Бубнова-Галеркина и конечных разностей М.С. Корнишиным показано, что для пластинок и пологих оболочек МКР является наиболее экономичным [80]. Однако метод конечных разностей имеет ряд определенных недостатков, связанных, в частности, с трудностями при решении задач на областях сложной формы, отличной от прямоугольной. Кроме того, матрица системы линейных алгебраических уравнений в общем случае не обладает симметричной ленточной структурой, как это имеет место в методе конечных элементов, что приводит к необходимости хранить большие массивы в памяти ЭВМ.
Одним из наиболее эффективных современных методов численного решения инженерных задач с применением ЭВМ является метод конечных элементов. Идея представления сплошной среды в виде системы элементов конечных размеров восходит еще к Пуассону. Развитие МКЭ шло по двум направлениям. С одной стороны, он разрабатывался на основе методов строительной механики стержневых систем, и в частности, метода перемещений. С другой стороны, МКЭ развивался как некоторая разновидность вариационно-разностного метода решения задач математической физики. Начала этих направлений заложены в работах Хренникова [150], Мак Генри [153], Р.Куранта [144], Тернера, Клафа, Мартина, Топпа [163], Аргириса [139], а термин "конечный элемент" впервые появился в работе Клафа [143]. Постепенно оба эти направления стали объединяться друг с другом. В настоящее время общее количество публикаций по МКЭ насчитывает тысячи названий. Описание основ МКЭ и его применение к задачам теории упругости, теории пластин и оболочек, гидро- и аэродинамики, теплопроводности, расчету стержневых систем, мембранных конструкций и многим другим задачам дано в монографиях О.Зенкевича [57], Д.Одена [105], Г.Стренга, Д.Фикса [122], Л.Сегерлинда [121], Р.Галлагера [36], К.-Ю.Бате, Е.Вилсона [13], Д.Норри, Ж. де Фриза [102], В.А. Постнова, И.Я. Хархурима [112], Л.А. Розина [119]
Физические соотношения для упругих сетчатых оболочек
Если напряжения, деформации и перемещения являются истинными то, учитывая формулы (2.2.1) и (2.2.4), равенство (2.2.5) можно записать в виде: или (теорема Клапейрона) 2U = A, (2.2.6) где есть возможная работа внешних сил на соответствующих им перемещениях. Предположим далее, что напряжения являются истинными, то есть удовлетворяют уравнениям равновесия (2.2.1) и статистически граничным условиям (2.2.4), а перемещения - - кинематически возможными и отличаются от истинных перемещений на малые вариации $u9Sv,Sw. Учитывая теорему Клапейрона (2.2.6), справедливую для истинного состояния деформированного тела, и считая, что внешние силы не изменяются при варьировании перемещений, из (2.2.7) получим где есть вариация потенциальной энергии деформации; есть возможная работа объемных и поверхностных сил на малых возможных перемещениях. Если в соответствии с обобщенным законом Гука (2.2.3) напряжения выразить через деформации и полученные соотношения подставить в выражение (2.2.9), то знак вариации в (2.2.9) можно вынести за знак интеїра-ла и тогда равенство (2.2.8 ) можно записать в виде: - есть полная потенциальная энергия упругой системы (функционал Лагранжа). Формула (2.2.11) выражает известный вариационный принцип Лагранжа, согласно которому из всех возможных систем перемещений истинные перемещения сообщают полной потенциальной энергии стационарное значение. В случае линейно-упругого тела условие (2.2.11) превращается в условие минимума полной потенциальной энергии. Можно записать полную потенциалыгую энергию П через функции перемещений u,v,w, если воспользоваться соотношениями Коши (2.2.2). Условие минимума полученного варианта функционала Лагранжа П даст уравнения равновесия (2.2.1) и статические граничные условия (2.2.4), в которых напряжения выражены через перемещения с помощью формул (2.2.2), (2.2.3). Предположим, что деформации и перемещения являются истинными и связанными между собой соотношениями Коши (2.2.2), а напряжения -статически возможными и отличаются от истинных напряжений на малые вариации Ьох,Ьау,...,до-х. Поскольку статически возможные напряжения удовлетворяют уравнениям равновесия (2.2.1) и статическим граничным условиям (2.2.4) равенство (2.2.5) примет вид: Для линейно упругого тела можно выразить деформации через напряжения по формулам (2.2.3) и подставить их в соотношение (2.2.13).Тогда будем иметь
Решение нелинейной задачи методом продолжения по параметру
Вариационная постановка задач расчета тонкостенных конструкций связана с нахождением функций, дающих минимальное значение функционалу, представляющему собой полную потенциальную энергию системы. Одним из наиболее эффективных численных методов минимизации функционала является вариационно-разностный метод (ВРМ), который имеет ряд существенных достоинств [22,58,93], в частности, он дает возможность рассчитывать тонкостенные конструкции сложной конфигурации с различного рода особенностями (изломами поверхности, отверстиями, подкреплениями и пр.). В ходе численной реализации ВРМ, как уже отмечалось выше, весьма существенную роль играет тот факт, что вариационная постановка приводит к снижению порядка производных по сравнению с формулировкой задачи в виде дифференциальных уравнений равновесия. Кроме того, матрица системы алгебраических уравнений получается симметричной, редко заполненной и имеет квазидиагональную структуру, что ускоряет решение задачи и сокращает требуемый объем машинной памяти. Наконец подход, основанной на использовании ВРМ, позволяет построить эффективный и гибкий алгоритм, который дает возможность легко переходить от одной задачи к другой, внося в программу расчета небольшие изменения, связанные в основном лишь с записью конкретного функционала и аппроксимирующих функций.
Алгоритм формирования разрешающих уравнений ВРМ включает в себя следующие основные этапы: 1. Область изменения независимых переменных О разбивается на элементарные ячейки. 2. Значения искомой функции, доставляющей стационарное значение функционалу энергии, и ее производные в каждой ячейке приближенно задаются через значения функции в узловых точках. 3. Интегралы по ячейкам заменяются приближенными квадратурными формулами. 4. Для скалярной функции векторного аргумента, которая является дискретным аналогом исходного функционала, записывается необходимое условие стационарности. При фиксированном значении параметра нагрузки оно дает систему нелинейных алгебраических уравнений, представляющих собой уравнения Эйлера. Предположим, что па область С наложена сетка
Определим для каждой ячейки относительную погрешность аппрок-симационной схемы как отношение суммарной погрешности вычисления интеїрала по ячейке к площади ячейки. Погрешность вычисления интеграла но всей области Q можно оценить как максимум относительной погрешности по всем ячейкам.
Рассмотрим ячейку области С1 с вершинами в точках (xit у$9 (хм, У)) (xi yj+0 t i+t»# i) и обозначим значения сеточных функций в этих точках uQ, и\ и2, и (рис. 3.1.1). Функционал энергии J(u) может быть представлен в виде суммы интегралов по ячейкам сетки J J,, Для вычис -/ ления интеграла Ji} по ячейке используется его дискретный аналог [ц , который вычисляется по формуле [61]: где hiy h2 - линейные размеры ячейки в направлении координатных осей;/-подынтегральпая функция; N - число подсчетов функции по ячейке; ит -значения искомых функций перемещений в узлах; cs, ams, (З т у Уш параметры схемы.
Сетчатые оболочки с шарнирно-нсподвижным закреплением по контуру
Рассмотрены два вида сетчатых пластин и пологих оболочек с различным типом решетки. Основные геометрические характеристики сетчатых пластин и оболочек (рис.4.1.1) приняты следующими: размеры в плане /=/2=1м; шаг ребер 1-го и 2-го семейства а=0,07143 м; размеры поперечного сечения ребер &=5=1,0425-10 2 м. Модуль упругости материалаЕ=2,1-Ю11 Па. Для первого типа решетки углы наклона ребер 1-го и 2-го семейств к оси х составляют аі.2=±45, для второго типа решетки углы наклона ребер 1-го и 2-го семейств к оси х составляют аі=0, аз 90. Геометрические параметры сетчатых оболочек (шаг ребер и размеры их поперечного сечения) выбраны таким образом, чтобы общая масса ребер для первого (ct]i2=±450) и второго ( xi=0, a2=90) вариантов решетки была одинаковой. Шаг по нагрузке составляет Aq=l03 Па. Рассмотрим два вида граничных условий: 1. Граничные условия - жесткое закрепление по контуру, то есть при х=0;/[ пу=0;І2 M=V=9= B2 SW=0. На рис. 4.3.1. показаны кривые равновесных состояний сетчатых пластин с различным типом решетки: сплошная линия - решетка с углами наклона ребер 1-го и 2-го семейств к оси х равными ai,2 ±45, штриховая линия - то же при ai=0, ct2-90. В качестве иллюстрации на рис. 4.3.2 показана форма прогибов сетчатой пластинки с углами наклона ребер ai=0, a2=90 при q=0,S кг/см2. Как видно на рис. 4.3.1 сетчатая пластинка с сеткой ребер по первому варианту (otii2=±45) более деформативна, чем пластинка с сеткой ребер по второму варианту (a]=0, a2=90). В табл. 4.3.1 дано сопоставление нормальных усилий и изгибающих моментов в центре сетчатой пластинки и показано, что в приведенной пластинке с сеткой ребер по первому варианту нормальные усилия существенно ниже, чем в приведенной пластинке с сеткой ребер по второму варианту. Таким образом, можно отметить, что первый вариант сетчатой пластинки (ai,2=±45) обладает меньшей жесткостью по сравнению со вторым вариантом (ai=0, a2=90). На рис. 4.3.3. показаны кривые равновесных состояний сетчатых оболочек с к=0,2 м 1 и различным типом решетки (сплошная линия — аід=±45, шіриховая линия — аі=0, а2=90), а в табл. 4.3.2 приведены значения верхней и нижней критических нагрузок. Здесь, также как и в случае сетчатой пластинки, первый вариант сетчатой оболочки (ai,2=±45) обладает меньшей жесткостью по сравнению со вторым вариантом (ai=0, a2=90). Для сетчатой оболочки с к=0,4 м процесс деформирования носит более сложный характер. На рис. 4.3.4 видно, что для оболочки с первым вариантом решетки верхняя критическая нагрузка получилась большей, чем для второго варианта, при этом величины прогибов в закритическом состоянии у нее также больше. На рис. 4.3.5. показаны кривые равновесных состояний сетчатых пластин с различным типом решетки: сплошная линия - решетка с углами наклона ребер 1-го и 2-го семейств к оси х равными ai,2=±450, штриховая линия - то же при аі=Ю, а2=90. Как видно на этом рисунке и при данном виде граничных условий сетчатая пластинка с сеткой ребер по первому варианту (aii2=±45) более деформативна, чем пластинка с сеткой ребер по второму варианту (ai=0, a2=90).
