Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Оптимальное проектирование конструкций: возможности применения ненросетевой аппроксимации. Разработка метода и инструмента гибридной нейросетевой оптимизации . 15
1.1. Гибридная нейросетевая оптимизация: поиск подхода; Общая схема метода. 15
1.1.1. Подходы к выбору пробных точек в пространстве параметров . 17
1.1.2 Проведение серии расчётов и её анализ 20
1.2 Нейросетевая аппроксимация - помощник конструктора: выявление закономерности из результатов расчётов и её последующее уточнение 22
1.2.1 Нейросети встречного распространения 30
1.2.2 Способы эффективной организации процесса поиска оптимума 34
1.3 Разработка программы «Нейрогибрид» 36
1.3.1: Поиск подхода. Основные объекты и операции 36.
1.3,2 Содержание и назначение основных классов программы 37
! .3.3 Режимы работы программы 46
1.4 Решение тестовой задачи: оптимизация фермы 49
1.5 Выводы 54
Глава 2. Оптимизация типовой пространственной сталежелезобетонной фермы покрытия (СЖФ) под равномерную нагрузку 56
2.1 Целесообразность использования сталежелезобетонных конструкций покрытий. 56
2.2 Моделирование железобетона методом конечных элементов 61
2.3 Параметрическая расчётная схема СЖФ. 65
2.4 Постановка и решение задачи оптимизации с помощью разработанной программы «Нейрогибрид» 69
2.4,1 Технологические ограничения на геометрические параметры, прогибы и напряжения СЖФ... 69
у,. 2.4.2 Таблицы испытаний и ход поиска оптимума по итерациям 70
2.5 Выводы. 74
Глава 3. Оптимизация иезаглубленпои пространственной фунда ментной платформы под многоэтажное здание 76
3.1 Назначение и характеристики исследуемой фундаментной плат формы 76
3.1.1 Предпосылки и цель создания пространственной фундаментной платформы 76
3.1.2 Достоинства пространственной фундаментной платформы 77
3.1.3 Конструктивные особенности 79
3.1.4 Расчёты и итоговый вариант железобетонной фундаментной платформы 80
3.2 Параметрическая расчётная І схема для оптимизации фундаментной платформы 82
3.2.1 Расчётная схема с оболочечными конечными элементами 82
3.2.2 Расчётная схема с объёмными конечными элементами, 86:
3.3 Постановка и решение задачи.оптимизации с помощью разработанной программы «Нейрогибрид», , 90
3.3.1 Технологические ограничения на геометрические параметры, прогибы и напряжения платформы 90
3.3.2 Таблицы испытаний и ход поиска оптимума по итерациям 91
3.4 Выводы 101
Заключение 102
Приложение. Текст программы «Нейрогибрид»
- Подходы к выбору пробных точек в пространстве параметров
- Нейросети встречного распространения
- Постановка и решение задачи оптимизации с помощью разработанной программы «Нейрогибрид»
- Расчёты и итоговый вариант железобетонной фундаментной платформы
Введение к работе
Активно развивающееся с середины XX века оптимальное проектирование до сих пор не удовлетворяет проектировщиков, они редко пользуются оптимизацией. У конструкторов системно сложная работа: существует много условий, ограничений, норм, разнородных вариантов. Каждая задача оптимизации является в определенном смысле «штучным товаром». Многие уже решенные задачи, хотя и интересны, имеют идеализированное теоретическое решение. Существующие программные: комплексы, реализующие численные методы расчётов, обладают значительным потенциалом для моделирования конструкций, однако входящие непосредственно в них модули оптимизации имеют ощутимо ограниченные возможности, особенно для многопараметрических задач.
По этой причине стало принятым отделять «математическую оптимизацию» и «практическую оптимизацию». Практика проектирования, несмотря на успехи математической оптимизации и совершенствование расчётных комплексов, обычно ограничивается расчётом и сравнением нескольких вариантов проекта и выбором из них наиболее рационального. В.частности, в КрасГАСА разработаны новые эффективные конструкции, и с помощью инженерных расчетов достигнута их рациональность, однако, эту работу можно ускорить. Параметры этих конструкций выбраны на основе сравнения некоторых вариантов. Разрыв между потребностями практических задач оптимизации конструкций и малыми возможностями математической оптимизации реальных конструкций должен преодолеваться за счёт развития гибридных методов, соединяющих возможности расчетных комплексов и средства оптимизации с понятным и дружественным для пользователя интерфейсом. Преодолению этого разрыва и посвящена данная работа. Основным препятствием в поиске оптимальных вариантов является отсутствие аналитических зависимостей между целевой функцией и варьируемыми параметрами, либо между варьируемыми параметрами и функциональными ограничениями. Вместо такой зависимости часто имеется информация в виде набора решений отдельных задач. В наборе численных решений интересующие конструктора закономерности представлены в неявном виде, и для их выявления и обобщения требуется специальный программный инструмент.
Такого инструмента для задач оптимального проектирования пока нет, однако в нейроинформатики за последние 20 лет разработан математический аппарат нейронных сетей, обладающих многими свойствами, необходимыми для создания такого инструмента.
Подходы к выбору пробных точек в пространстве параметров
«Поиск оптимального решения означает одновременно и поиск правильной постановки задачи» [3]. Найти сразу правильную постановку задачи оптимизации затруднительно в силу того, что
Поэтому представляется целесообразным объединить поиск оптимального решения и поиск наилучшей: постановки: задачи в один процесс - процесс, диалога человека (конструктора); и ЭВМ. Задача ЭВМ: в этом процессе -формирование множества решений и выбор из них допустимых. Задача конструктора - выбор наилучшего . решения и (если требуется) коррекция расчётной модели, критериев и ограничений.
Схематически этот процесс может выглядеть так, как показано на рис. 1.1.
1) конструктор не знает возможных значений всех критериев - для этого нужна серия предварительных расчётов;
2) нередко взгляды конструктора на значимость критериев меняются. начало Конструктор: постановка задачи: ЭВМ: генерация серии пробных расчётов не годится годится ЭВМ: поиск оптимального решения при данной постановке не годится годится конец
Обобщённая схема диалога Функционально от программного обеспечения ЭВМ в данном процессе требуется следующее: для генерации серии расчётов: выбор серии точек (в пространстве параметров задачи) для расчёта в области, заданной ограничениями на параметры при данной постановке задачи; собственно расчёт конструкции при выбранных параметрах с определением значений функциональных ограничений и критериев; для поиска оптимального решения: расчёт конструкции при некотором наборе параметров; поиск оптимального сочетания параметров на основе информации, полученной из расчётов (используя какой-либо алгоритм оптимизации); а также помощь конструктору в оценке результатов и организации самого процесса.
Процедура расчёта существенно зависит от рода и специфики задачи, и для этого создана масса программ - как специализированных, так и универсальных. Остальные составные части исследуемого ритуала в значительно меньшей мере зависимы от конкретных особенностей задачи, поэтому их целесообразно рассмотреть отдельно, в виде программного блока-посредника между конструктором и расчётной программой:
Информация для принятия: решения: результаты этапов Результаты эасчёта Формулировка и корректировка задачи оптимизации Про грамма-посредник, . организующая диалоговый процесс оптимизации Параметры для расчёта Расчётная программа Постановка задачи оптимального проектирования обычно имеет вид: .
Минимизировать критерии ФДЛ) -+ rain при ограничениях на параметры задачи A = av..an: а . а} а", функциональных ограничениях с] ft {А) с" и (иногда) критериальных ограничениях Ф„ (И) Ф" (1 1). После того как задача оптимизации сформулирована, нужно наиболее рационально выполнить серию пробных расчётов с целью получения максимально полного представления о поведении функциональных ограничений и критериев в рассматриваемой области.
На этом этапе требуется создать последовательность точек {Л,}, достаточно полно отражающих исследуемые зависимости. В многомерном пространстве параметров волюнтаристский выбор точек неэффективен, поскольку человеку не свойственна геометрическая-интуиция в пространствах высокой:размерности.
Часто используются так называемые кубические решётки, т.е последовательности вида ? м м (1.2) где i,-,...,in.независимо принимают все значения 0...Л/-1 (формула записана для последовательности в единичном гиперкубе с вершиной в начале координат).
Однако неэффективность таких последовательностей:при п»\ показана довольно давно [4]. Смысл утверждения о неэффективности кубической решётки при зондировании значений функции заключается в том, что одни параметры функции могут влиять на ее значение в большей мере, а другие в меньшей; например: /( ,,...,)s=g{xp..., ffl) -M( ,,-» „) при m n;g»h.
Рассчитав M" значений функции /в узлах кубической решётки, мы получим только Мт различных значений (с точностью до сравнительно малой величины А)!
Существуют и строгие оценки эффективности последовательностей, одна из которых.- отклонение точек последовательности, определяемое формулой / ...,/ = 5ир (Пр)-Л Рек (1.3) N- число точек последовательности, К"— единичный гиперкуб el", Р - произвольная точка .К"-, UP параллелепипед со сторонами, параллельными координатным плоскостям, и диагональю ОР (О — начало отсчёта), $х(Цр)"— количество точек / , принадлежащих ПЛ.
Чем меньше Д тем более равномерным следует считать расположение точек / ,...,PN в К . Последовательности, имеющие наилучшую возможную оценку D{Plt...,Py) = o(N)t называются равномерно распределёнными последовательностями. Одна из равномерно распределённых последовательностей - ЛПт последовательность - разработана в [5] (в литературе она более известна как последовательность Соболя).
Нейросети встречного распространения
Топология нейросети встречного распространения представлена на рис. 1.7. При обучении сети векторы входных обучающих примеров X и желаемого выхода Y доставляются соответственно ко входу и к слою Гроссберга. Таким образом, количество узлов в слое входа и слое Гроссберга соответствует количеству элементов в векторах X и Y, соответственно. Вектор вычисленного нейросетью выхода обозначен как Y .
Сеть встречного распространения обучается в два последовательных шага. Алгоритм обучения встречного распространения представлен схематично на рисунке 1.8.
Первый шаг обучения происходит между входным слоем и слоем Кохонена. Для каждой пары обучающего примера и желаемого выхода (X, Y), каждый компонент обучающего примера, Х„ доставляется к соответствующему узлу входного слоя. Пусть Uj, - произвольный начальный вектор веса, назначенный для связи между входными узлами иу -ым узлом в слое конкуренции.
Передаточная функция для слоя Кохонена определена Евклидовом расстоянием между вектором веса Ц и обучающим примером X следующим образом:
Для данного обучающего примера X, каждый узел в слое Кохонена соревнуется с другими узлами, и узел с самым коротким евклидовым расстоянием до X побеждает. В результате соревнования, выход побеждающего узла установлен в 1.0, и выходы других узлов установлены в 0. Таким образом, выход /-го узла в слое конкуренции, Zj, получается таким: [l.eaiud, d,
Вес, ЦІ, назначенный связи, соединяющей узел / в слое Кохонена и узел і во входном слое, подстраивается согласно обучающему правилу Кохонена: и„(л + 1) = иД«) + я[Х,-и„(и)]2,3 (1.16) где и - номер итерации, и а- коэффициент обучения. В [11].коэффициент обучения а определяется как функцию номера итерации в следующей форме: a=_J_ (1,17).
Это позволяет делать большие начальные шаги для быстрого грубого обучения и меньшие шаги при подходе к окончательной величине. Если бы с каждым нейроном Кохонена ассоциировался один входной вектор, то слой Кохо-нена мог бы быть обучен с помощью одного вычисления на вес (а=1; л=1). Как правило, обучающее множество включает много сходных между собой входных векторов, и сеть должна быть обучена активировать один и тот же нейрон Кохонена для каждого из них. Веса этого нейрона должны получаться усреднением входных векторов, которые должны его активировать.
Таким образом, слой Кохонена классифицирует входные векторы в группы схожих. Это достигается с помощью такой подстройки весов;слоя Кохонена, что близкие входные векторы активируют один и тот же нейрон данного слоя. После стабилизации векторов веса Uj начинается обучение желаемому выходу в: слое Гроссберга.
Вес, назначенный на связь между побеждающим узлом гв слое Кохонена и узлом .у в слое Гроссберга, Vin подстраивается согласно; обучающему правилу, предложенному Гроссбергом: v,.(« + l) = Vyi(«)+fe[Y;-V;1(«)]Z(, (1.18) где Ъ - коэффициент обучения, зависящий от номера итерации аналогично (1.1.7). После обучения сеть может функционировать (фаза 2 на рисунке 1.8), выдавая аппроксимацию Y {X) для векторов X, не входивших в обучающую вы борку (т.е. для произвольных X). При функционировании количество побеждающих нейронов в слое Кохонена может быть больше чем один. Отличные от нуля выходы нейронов-победителей устанавливаются таким образом, что нейрон, имеющий вектор весов, самый близкий к заданному входному вектору, имеет самый большой выход. Однако сумма выходов всех нейронов-победителей равна 1.0. Подробно последовательность вычислений; при функционировании сети представлена на рис. 1.9. личные количества побеждающих нейронов в слое Кохонена показывают различные результаты.
Кроме "метода аккредитации", при котором для каждого входного вектора активируется лишь один нейрон Кохонена, может быть использован "метод интерполяции",, при, использовании которого целая группа нейронов Кохонена, имеющих наибольшие выходы, может передавать свои выходные сигналы в слой Гроссберга. Этот метод повышает точность отображений, реализуемых сетью [12].
В данной работе для поиска оптимума используется метод ненаправленного поиска - перебор точек в области пространства параметров а] а.} а" с проверкой значений аппроксимированных функциональных ограничений ft(A) и целевой функции Ф(/г). В результате перебора выбирается точка І с минимальным значением Ф(Л ) при соблюдении с f,(Ax) с" (если таковая обнаруживается). Поиск производится среди точек равномерно-распределённой последовательности (как наиболее эффективной для зондирования в многомерном пространстве), содержащей в несколько раз большее количество точек, чем при аппроксимации. Увеличение количества зондируемых точек повышает уверенность в том, что найден глобальный минимум Ф(Л) при с (І ) с . Достаточно высокое быстродействие неиросетевой аппроксимации (особенно в сетях CPN) даёт возможность делать требуемое число расчётов за приемлемое время. Получив приближённое решение А\ можно сделать ещё одну итерацию поиска. оптимума. в. окрестности- Ах и получить таким образом приближение Л2 и т.д. Разумное разделение процесса поиска на итерации повышает его эффективность (рис. 1Л0).
Метод ненаправленного поиска уступает градиентным методам по скорости поиска, поскольку градиентные методы выбирают точки для расчёта, учитывая характер функциональных ограничений и целевой функции, а метод ненаправленного поиска - без учёта конкретного вида этих функций. Однако ненаправленный поиск среди рационально выбранных в пространстве параметров точек хорошо сочетается с нейросетевым подходом: эти точки образуют выборку для нейросети, при этом они охватывают всю исследуемую область в пространстве параметров и дают информацию об исследуемых закономерностях во всей этой области. Внесение изменений в постановку задачи при таком подходе позволяет полученную информацию использовать максимально эффективно, поскольку она (или её часть) инвариантна относительно конкретных функциональных ограничений.
Ещё одно потенциальное преимущество такой организации всего процесса связано с возможностью распараллеливания расчётов конструкции (которые могут занимать очень много времени). В момент начала формирования выборки на любой итерации уже известны все варианты конструкции, которые должны быть просчитаны для этой выборки. Следовательно, эту работу можно «раздать» нескольким ЭВМ, таким образом формируя выборку в параллельном режиме и экономя время.
Постановка и решение задачи оптимизации с помощью разработанной программы «Нейрогибрид»
В качестве параметров задачи оптимизации были выбраны высота СЖФ, а
также высота и ширина ребра. Эти параметры варьировались в небольших пределах вокруг исходных значений (исходный проект уже был тщательно проработан и оптимизирован на основе сравнения различных вариантов). Сечения раскосов и нижнего пояса подобраны оптимально уже в исходном проекте: усилия в них близки к предельным.
Функциональные ограничения: с целью предотвращения трещинообразо-вания в железобетоне поставлено ограничение на максимальное эквивалентное напряжение - 17 МПа. Максимальный прогиб фермы не должен превышать 1/300 длины пролёта, т.е. 6 см. Максимальное допустимое напряжение в стальных стержнях - 250 МПа.
Таблица испытаний - 25 расчётов СЖФ при сочетаниях параметров, определяемых последовательностью Соболя. Целевая функция в этой задаче в явном виде выражается через параметры и вычисляется через объём по формуле Го/ = 48 ((1,2-5і?)Л2 0,03/2+(2,7-2 Л/г)/2 0,3 0,045+(3-5і?)/2 Гі? 5і?).
Нейросетевая аппроксимация осуществлялась при помощи сети HPnet, которая аппроксимирует неизвестную функцию наклонными гиперплоскостями, выдавая в точках выборки точные (заданные при обучении) значения. Число нейронов в такой нейросети выбирается равным числу примеров в выборке.
Таким образом, удалось снизить массу СЖФ с 7,525 т до 6,525 т, что составляет около 12% экономии материала. Прогиб фермы и максимальные эквивалентные напряжения в железобетоне и в металле остались в пределах допустимых значений.
На рис. 2.17-2.23 показаны изополя прогибов и напряжений в полученном варианте СЖФ. Усилия в раскосах и стержнях нижнего пояса практически не изменились по сравнению с исходным вариантом, что исключило необходимость проверки устойчивости стержней.
Создана расчётная схема для расчёта типовой сталежелезобетонной пространственной фермы покрытия.
Сформулирована задача оптимизации СЖФ с учётом технологических ограничений на её параметры, на максимальный прогиб фермы, а также на максимальное напряжение в железобетонных плитах и в стальных уголках. Получено оптимизированное решение, показывающее возможность создания СЖФ с массой, меньшей на 12% по сравнению с исходным вариантом при соблюдении поставленных ограничений.
Оптимизация произведена при помощи разработанной гибридной нейросе-тевой программы (расчёты НДС платформы выполнялись УРК ANSYS под управлением программы «Нейрогибрид»).
Один из объектов для нейросете вой гибридной оптимизации - пространственная фундаментная платформа (ПФП), предложенная в [15] как вариант решения проблемы строительства в сложных грунтовых условиях при высокой сейсмичности.
ПФП разработана на кафедре СМиУК KpacFACA (без участия автора данной диссертации); получен патент на: изобретение № 2206665. В настоящем параграфе кратко изложены основные.требования, предъявляемые к фундаментным, платформам при строительстве в сложных грунтовьгх условиях, преимущества фундаментных платформ, а также описан вариант железобетонной фундаментной платформы, признанный наилучшим в исследовании [15].
Традиционные способы строительства в особых грунтовых условиях сводятся главным образом только к способам:укрепления.грунта, игнорированию слабого грунта (его срезка или использование свай-стоек) или преодолению его негативных свойств и устройствам фундаментов с минимальными затратами;
Используемые в строительстве типы фундаментов (в основном это свайные фундаменты) недостаточно предотвращают негативные воздействия слабого основания на верхнее строение (например, не снижают горизонтальные сейсмические воздействия на-заглубленную часть фундамента) или имеют повышенную чувствительность фундаментных устройств и всего сооружения в целом к неравномерным осадкам и просадкам грунта основания.
Известно, что сложность проблемы сейсмостойкого строительства, особенно в сложных грунтовых условиях, усугубляется неопределенностью сейс мических воздействий (по времени и величине), а также недостоверностью нормативной расчетно-теоретической модели, в которой сейсмическая динамика заменена некоторыми статическими нагрузками.
На кафедре СМиУК КрасГАСА предложены и реализованы нетрадиционные принципы, основные идеи которых состоят в сохранении естественного состояния грунта, удалении нежелательных связей фундамента: с основанием для снижения негативных воздействий основания на фундамент, системном конструировании и расчете цельной взаимосвязанной системы «основание — фундамент- верхнее строение».
Была поставлена задача: создать пространственную сборную фундамент-ную платформу сплошного типа под все здание (сооружение) из унифицированных элементов, удовлетворяющих удобствам изготовления (по поточной технологии), транспортировки и монтажа; она должна обладать большой пространственной жесткостью (благодаря многосвязности и рациональному использованию материалов), иметь малую чувствительность к неравномерным осадкам, оказывать небольшое давление на грунт (благодаря большой площади опирання), выполнять (совмещать) функции вентилируемого подполья, позволяющего сохранять свойства вечно мерзлых грунтов и не испытывать (не воспринимать) большие сейсмические нагрузки благодаря поверхностному, не заглубленному в грунт, расположению и устройству скользящего слоя между платформой и основанием.
Расчёты и итоговый вариант железобетонной фундаментной платформы
Исследование [15] было ограничено,слабыми грунтами, которые моделируются Винклеровским упругим основанием или основанием с двумя коэффициентами постели и принятыми конструкциями фундаментных платформ.
Расчёты производились для нескольких g . \д 0.оаіщЛ T - (Б)- З 111] q=e2r t2 ш І- Л L ф 600 t V 15П0 _. зооо Uaca j. XL вариантов конструкций пространственных платформ: на очень слабых грунтах (свежена-сыпанный песок, мокрая размягченная глина), для которых коэффициент постели находится в диапазоне 100-500т/м . Нагрузка - давление, равное давлению многоэтажного здания (рис. 3.2). Для расчетов использовался программный комплекс SCAD. 1 2000 "T " ґ2\ rZ:
В расчетной .схеме все балки и плиты заданы оболочечными конечными элементами. Шаг нанесенной на элементы сетки: 300 мм.
Толщина верхних и нижних плит 10 см. Толщина балок 10 см. Модуль упругости всех элементов Е=3.31е+0б т/м". Нижние плиты опираются на слабое упругое основание (коэффициенты постели С1=500т/м3, С2=0,001 т/м). Так как нагрузка и геометрические параметры платформы симметричны, то рассчитывалась четверть платформы.
Расчёты показали, что платформа на упругом основании работает как пространственная система с многосвязным, многотавровым поперечным сечением, изгибается в двух направлениях (рис. 3.3). Причем из-за неравномерности нагрузки и дискретности связей (балках) между поясами этот изгиб неравномерный. Кроме такого глобального изгиба всей конструкции в целом, имеет место локальный изгиб плит между балками. Глобальный изгиб платформы приводит к тому, что в верхних и нижних плитах (как полках двутавров) возникают продольные напряжения (сжатие и растяжение), а в балках (как стенках двутавров) также нормальные и касательные напряжения (в плоскости балок).
Предпочтение данному варианту (среди ещё нескольких) было отдано вследствие наиболее равномерного отпора грунта: значение Rz на нижней плите изменяется от -10,01 до -5,99 т/м2.
Оптимизация фундаментной платформы производилась при помощи расчётного комплекса ANSYS (SCAD не обладает достаточно гибкими возможностями по созданию расчётной схемы, зависящей от параметров). Итоговый вариант исследования [15] был принят в качестве исходного для оптимизации.
Элемент SHELL63 имеет шесть степеней свободы в каждом узле: перемещения в направлениях х, у, и z и вращения вокруг осей х, у, и z. Допускаются нагрузки как в плоскости, так и нормальные к плоскости элемента; элемент имеет как изгибные, так и мембранные свойства. Ещё одно свойство элемента -жёсткость упругого основания, определяемая как давление, необходимое для перемещения основания на единицу длины в нормальном направлении. Таким образом, в расчёте используется Винклерова модель основания с одним коэффициентом постели. q=62 т/м2 ,-х
Тестовый расчёт исходного варианта платформы в ANSYS с сеткой из оболочечных элементов с шагом 30 см (рис. 3.5) показал, что в нижней плите возникают существенные для железобетонных плит напряжения - до 370 кг/см (рассматривались эквивалентные напряжения по Мизесу). Тест был затем проведён на нескольких сетках с целью анализа сходимости величин максимального эквивалентного напряжения и максимального прогиба, и он показал, что, начиная с сетки из 11600 элементов (что соответствует шагу сетки 25 см) значения максимального эквивалентного напряжения изменяются в пределах 2% от значения 404 кг/см2, а значения максимального прогиба - в пределах 0,00025% от значения 2,5 см (рис. 3.6).
Большие напряжения возникают в этой расчётной схеме на нижней плите в местах соединений с балками (рис. 3.7-3.8), и это заставило пересмотреть расчётную схему (вероятно, при расчёте от балок на нижнюю плиту передаются сосредоточенные силы вместо распределённых по площади, следовательно, имеет смысл сделать расчёт с объёмными элементами).
Используемый объёмный элемент SOLID45 определен восьмью узлами, имеющими три степени свободы в каждом узле: перемещения в направлениях х, у, и z (рис. 3.9). Этот элемент имеет свойства пластичности, ползучести, упрочнения, больших прогибов и деформаций., В свойства элемента SGLID45 не входит учёт жёсткости основания, поэтому для моделирования основания вновь был использован оболочечный конечный элемент SHELL63: сетка оболочечных элементов, учитывающих упругое основание, наносилась на нижние поверхности объёмов, моделирующих нижнюю плиту. Такой приём предлагается инструкцией к программе ANSYS; при этом вновь генерируемые плоские элементы базируются на тех же узлах, что и объёмные.
