Содержание к диссертации
Введение
1. Современное состояние вопроса 10
1.1 Вариационные принципы в задачах механики 10
1.2 Вопросы оптимизации твердых деформируемых тел... 11
1.3 Термоупругие задачи 16
1.4 Задачи оптимизации при температурных воздействиях 19
1.5 Свойства материалов при температурных воздействиях 22
1.5.1 Термоупругое поведение бетона 22
1.5.2 Физико-механические и термомеханические характеристики бетона в задачах о температурных напряжениях 25
1.5.3 Прочность и деформативность стали при термосиловых воздействиях. 26
1.5.4 Ползучесть бетона при термосиловом воздействии 26
1.6. Выводы 29
2. Вариационные постановки проектных задач для строительных конструкций при силовых и термических воздействиях 31
2.1. Постановка задач оптимизации 31
2.2. Основные понятия, связанные с проектными задачами 32
2.3. Вариационные принципы термодинамики 34
2.4. Вариации функционала в случае переменной области интегрирования 38
2.5. Решение проектных задач термоупругости 48
Выводы 50
3. Задачи структурного синтеза континуальных систем пластинок 52
3.1. Изопериметрические задачи оптимизации 52
3.2. Оптимизация пластинки при изменении температуры в ее плоскости 55
3.2.1. Однородная пластинка 55
3.2.2. Трехслойная пластинка 57
3.3. Определение толщины изгибаемой пластинки по методу Галеркина 60
3.4. Сталебетонная плита с воздушным зазором 64
3.5. Алгоритм решения проектной задачи по методу дополнительных нагрузок ..74
Выводы 80
4. Осесимметричные задачи оптимального проектирования 81
4.1. Разрешающие уравнения плоской упругой осесимметричной деформации 82
4.2. Равнонапряженный полый цилиндр. Обратная задача 84
4.3. Учет фактора ползучести материала 89
4.3.1. Экспериментальное исследование напряженного состояния бетона при осесимметричном нагреве 90
4.3.2. Плоская осесимметричная задача ползучести полого цилиндра 93
4.4. Проектная задача термоупругости для полого цилиндра 95
Выводы 98
5. Стержневые системы 100
5.1. Основные зависимости 101
5.2. Проектирование рациональных статически неопределимых ферм по энергетическому критерию без учета устойчивости стержней 104
5.3. Оптимизация ферм на основе энергетического критерия при силовом и тепловом воздействиях с учетом безопасной устойчивости стержней 109
Выводы 112
Заключение 114
Список литературы 117
- Ползучесть бетона при термосиловом воздействии
- Вариации функционала в случае переменной области интегрирования
- Определение толщины изгибаемой пластинки по методу Галеркина
- Экспериментальное исследование напряженного состояния бетона при осесимметричном нагреве
Введение к работе
Актуальность темы исследования. Вопросы напряженно-деформированного состояния, вызываемого неравномерным нагревом или охлаждением, имеют большое значение для обеспечения прочности и эффективного функционирования строительных конструкций. Термоструктурные напряжения могут вызвать появление трещин в элементах конструкций из хрупкого материала, возникновение и развитие пластических деформаций, которые способствуют прогрессирующему разрушению конструкций.
С другой стороны, введение ограничений на энергопотребление для зданий требует разработки, исследования и внедрения в массовое строительство новых видов прогрессивных конструкций, и в первую очередь ограждающих стеновых конструкций. Это одно из важнейших направлений экономии топливно-энергетических ресурсов в жилом секторе.
В связи с бурным развитием инженерной деятельности, появлением конструкций и сооружений, работающих в условиях стационарного и нестационарного нагрева, появилась тенденция перехода от допустимых инженерных решений к решениям оптимальным, возникла потребность в решении оптимизационных задач термоупругости и термопластичности.
Современная цивилизация использует все более сложные конструкции, обеспечение прочности и надежности которых, при их высокой экономичности, имеет первостепенное значение. Конструкции, одновременно работающие на силовые и температурные воздействия, широко применяются в различных отраслях народного хозяйства: будь то выплавка чугуна и стали, термообработка металла, изготовление и переработка нефтепродуктов и химических удобрений, сушка и обжиг строительных материалов, выпуск продуктов пищевой промышленности и т.д. Проектирование таких объектов должно в первую очередь базироваться на современных методах расчета, позволяющих удовлетворять всем обозначенным требованиям.
Практика проектирования конструкций, используемых в термических
условиях, показывает, что насущной проблемой становится приведение в соответствие не только механических, но и термодинамических свойств массы тела и его пространственного устройства. Проектирование рациональных несущих конструкций следует связывать с непосредственным использованием принципов, которым подчинено деформирование твердого тела.
Цель диссертационной работы заключается в разработке методики и алгоритма расчета и оптимального проектирования по энергетическому критерию конструкций, подверженных силовым и стационарным термическим воздействиям в диапазоне умеренных температур.
Задачи исследований - на основании имеющихся теоретических и экспериментальных работ определить термоупругое напряженно-деформированное состояние различного рода строительных конструкций, разработать математический аппарат их оптимального проектирования на основе энергетического критерия.
Научная новизна работы определяется следующими результатами:
уравнения структурообразования на основе энергетического критерия и алгоритм оптимизации бетонных и сталебетонных континуальных систем при силовых и температурных воздействиях;
конструктивная оптимизация сталебетонной плиты при термосиловых воздействиях;
метод дополнительных нагрузок применительно к задачам структурного синтеза;
- уравнения структурообразования и алгоритм оптимизации толсто
стенных цилиндров при температурных воздействиях (осесимметричная за
дача);
- алгоритм оптимизации стержневых систем при неравномерном нагре
ве стержней с учетом безопасной устойчивости (на примере ферм).
Достоверность основывается на использовании основных положений вариационного исчисления, общепринятых допущений механики деформируе-
7 мого твердого тела и теории строительных конструкций и подтверждается результатами имеющихся экспериментальных исследований.
Практическая ценность результатов исследований. Результаты данной работы позволяют определять оптимальные параметры проектируемых конструкций при силовых и температурных воздействиях исходя из первой и второй групп предельных состояний.
Исследование рациональных проектов позволяет теоретически оценить качество традиционных конструкций и пути их совершенствования.
Положения, выносимые на защиту работы:
- вариационные постановки проектных задач оптимизации строительных
конструкций при одновременных силовых и термических воздействиях;
методика и алгоритм оптимального проектирования строительных конструкций при термосиловых воздействиях;
методика расчета и конструирования трехслойной сталебетонной плиты с воздушным зазором;
результаты численных исследований конфигурации, структуры и напряженно-деформированного состояния оптимальных пластинок, толстостенных цилиндров и стержневых систем.
Апробация результатов диссертации. Результаты исследований и основные материалы диссертационной работы доложены на III Международной научно-практической конференции-школе-семинаре молодых ученых, аспирантов и докторантов, посвященной памяти В.Г. Шухова (Белгород, 2001); на 58-й научно-практической конференции Новосибирского государственного архитектурно-строительного университета (Новосибирск, 2001); на Международной научно-практической конференции «Рациональные энергосберегающие конструкции, здания и сооружения в строительстве и коммунальном хозяйстве» (Белгород, 2002).
Публикации: две статьи в сборниках научных трудов и три статьи в материалах международных научно-практических конференций.
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения и списка литературы. Диссертация содержит 128 страниц основного текста, в том числе 2 таблицы, 10 рисунков, 138 наименований литературы.
В первой главе дан аналитический обзор предшествующих исследований проблемы оптимального проектирования строительных конструкций, подверженных механическим и термическим воздействиям, рассмотрен вопрос термосилового сопротивления строительных материалов. Сделан вывод о необходимости решить упомянутую проблему на энергетической основе с использованием соответствующих вариационных принципов.
Во второй главе рассматривается общая вариационная постановка задач оптимизации строительных конструкций при силовых и термических воздействиях. На основе вариационных принципов термодинамики сформулированы обобщенные принципы термоупругости применительно к проектным задачам. Уделено внимание вариации функционала в случае переменной области интегрирования.
В третьей главе рассматриваются наиболее распространенные случаи оптимального проектирования двумерных систем. Задача определения переменной толщины изгибаемой пластинки решена по методу Галеркина. Рассмотрена проектная задача для пластинки из двух типов бетонов. Предложено конструктивное применение оптимизации сталебетонной плиты путем введения воздушного зазора. Установлено, что наиболее эффективным приемом решения задач оптимизации строительных конструкций является метод дополнительных нагрузок, который позволяет учитывать все виды нелинейности единым алгоритмом.
В четвертой главе рассмотрены прямые, обратные и проектные задачи для толстостенных цилиндров, являющихся конструктивными элементами многих объектов индустрии, в том числе и находящихся в термических условиях эксплуатации (дымовые трубы, газоходы, силосы, грануляционные башни). В основу их решения положены результаты из задачи Ляме. В качестве
9 материала рассматривались бетон и дисперсно наполненный полимер. Приведены результаты экспериментальных исследований образцов полых цилиндров.
В пятой главе рассмотрена оптимизация стержневых систем на примере плоских ферм. Конструкции, рассматриваемые без учета безопасной устойчивости, оказываются равнонапряженными. Оптимальное проектирование ферм на основе энергетического критерия с учетом безопасной устойчивости проводится итерационным методом. Равнонапряженность при этом не достигается.
%
Ползучесть бетона при термосиловом воздействии
Для широко используемых в современном строительстве бетонных и железобетонных конструкций, находящихся под длительным действием нагрузки, характерно явление ползучести. При этом неупругие деформации могут в несколько раз превышать первоначальные «мгновенные» деформации. Одновременно с увеличением деформаций в железобетонных конструкциях наблюдается значительное перераспределение напряжений между бетоном и арматурой.
Исследования показывают, что во многих случаях деформации конструкций от высоких температур являются необратимыми [42]. Это обусловлено структурными изменениями в материале, происходящими, главным образом, в кристаллическом сростке. Структурные изменения происходят при температурных, силовых или совместных воздействиях и сопровождаются нелинейным деформированием.
Известно, что реологический характер деформирования предопределяет зависимость деформаций от режима нагружения. Термосиловой режим нагру-жения конструкций — сложный процесс, и конструкция в таких условиях эксплуатации находится в сложном напряженно-деформированном состоянии. Поэтому мысленно это состояние можгіо разделить на обусловленное термической и силовой системами нагружения. Ползучесть, проявляемая при таком режиме нагружения, является термосиловой ползучестью [100].
В случае же, когда внутренние усилия вызваны усадкой бетона, изменениями температуры, связанными с колебаниями температуры внешней среды или экзотермией, смещением опор и вынужденными деформациями, ползучесть обычно приводит к более или менее интенсивной релаксации усилий и напряжений, а иногда и к качественному изменению напряженного состояния. Длительное напряженное состояние может быть обусловлено как внешней нагрузкой, так и температурой, усадкой или другими факторами.
Длительное напряженное состояние бетона, обусловленное перечисленными факторами, приводит к неупругим деформациям. В.М. Бондаренко в книге [16] выдвинул предположение о том, что температура в наибольшей степени влияет на проявление ползучести и в наименьшей — на прочность бетона. Многочисленными экспериментами установлено, что зависимость между напряжениями и деформациями ползучести бетона можно считать линейной, если напряжения в бетоне составляют достаточно малую часть предела прочности бетона. При напряжениях в бетоне, сопоставимых с пределом прочности, связь между напряжениями и деформациями ползучести становится нелинейной. Четкой границы между областями линейной и нелинейной ползучести нет. Она сильно зависит от возраста бетона в момент нагружения и прочности, а также вида напряженного состояния. Так, при сжатии указанная граница находится в пределах а = (0,3...0,6)R, где R — кубиковая прочность, а при растяжении возможно распространять линейную ползучесть до момента разрушения. Обычно условно полагают, что линейная зависимость между напряжениями и деформациями ползучести при сжатии сохраняется, если напряжения в бетоне не превосходят половины его предела прочности.
Физическую природу явления линейной ползучести бетона можно объяснить, на основании работы И. И. Улицкого [105], гипотезой, в соответствии с которой ползучесть бетона является следствием как реологических свойств вязкости гелевой структурной составляющей цементного камня, так и капиллярных явлений, протекающих в твердеющем бетоне. При более высоких напряжениях, наряду с вязкой текучестью гелевой структурной составляющей линейной ползучести и капиллярными явлениями, возникают микротрещины, значительно увеличивающие деформации в бетоне. Имеет место нелинейная ползучесть, хотя, строго говоря, это явление следовало бы называть пластическими деформациями, так как происходит некоторое нарушение структуры материала.
Затухающий характер ползучести бетона объясняется затуханием ползучести в вяжущем материале вследствие увеличения во времени вязкости гелевой структурной составляющей, уменьшения ее относительного объема, испарения воды из бетона и перераспределения во времени напряжений с гелевой структурной составляющей на кристаллический сросток, а также перераспределением во времени напряжений с вяжущего материала в целом на заполнители. 1. Анализ литературных источников показывает, что проблемы оптимального проектирования недостаточно изучены. Недостаточно разработаны и методы оптимизации строительных конструкций. Современная теория оптимизации пока не удовлетворяет требованиям инженера-конструктора или проектировщика в связи с тем, что ее строгие математические методы не учитывают реальных ситуаций проектно-конструкторских задач. Вместе с тем современная, все более усложняющаяся практика проектирования и конструирования нуждается в эффективных методах решения таких задач. 2. Важное значение в решении проектных задач и повышении технического уровня строительных конструкций имеет совершенствование теории расчета и методов проектирования строительных конструкций. Это может быть достигнуто путем более точного описания поведения конструкционных материалов с учетом различных эффектов, сопровождающих процесс деформирования. 3. Существенной проблемой является расчет и проектирование конструкций при термосиловых воздействиях с учетом реальных условий их эксплуатации. Задачи изучения работы конструкций при термосиловых воздействиях состоят в создании единых методов расчета несущей способности и деформатив-ности с учетом специфики деформирования материала под действием различных видов нагружения и температурных воздействий. Комплексное рассмотрение и учет влияния термосиловых воздействий на конструкции позволяет полнее выявлять и реализовывать скрытые резервы и возможности при оптимальном проектировании конечных продуктов с учетом технической, экономической и экологической эффективности. 4. Вопросы оптимизации конструкций с учетом ползучести материала весьма актуальны. Их решение открывает перспективу синтеза конструкций в пространственно-временном аспекте. 5. Диалектическое единство проблем анализа и синтеза строительных конструкций наводят на мысль о единстве методов их решения. Такие методы основываются на вариационных принципах строительной механики. Они будут положены в основу исследований в настоящей работе.
Вариации функционала в случае переменной области интегрирования
Полый цилиндр является конструктивным элементом многих объектов индустрии, в том числе и находящихся в термических условиях эксплуатации (дымовые трубы, газоходы, силосы, грануляционные башни). Часто эти конструкции изготавливаются из бетона ввиду технологичности этого материала, его высокой коррозионной стойкости и достаточной прочности.
При расчете бетонных и железобетонных конструкций к вынужденным деформациям относятся деформации, связанные с изменениями температуры и влажности бетона вследствие отсутствия термогигрометрического равновесия с внешней средой (разогрев от экзотермии и последующее остывание, усадка, набухание, периодические изменения температуры и влажности, связанные с годовым циклом температуры и влажности воздуха), смещением (осадкой) опор, искусственным перераспределением усилий и т. п. Без учета возникающего при этом напряженно-деформированного состояния невозможен надежный и экономичный расчет конструкций гражданских, промышленных и гидротехнических сооружений. Он особенно необходим в связи с устранением излишних коэффициентов запаса при расчете этих конструкций на прочность, жесткость и трещиностойкость [3].
Часто температурное поле симметрично относительно оси цилиндра и постоянно по его длине, в этом случае в конструкции возникает плоская деформация, а поперечные сечения, лежащие на достаточном удалении от концов цилиндра, остаются плоскими и деформация вдоль продольной оси цилиндра постоянна. Для решения температурной задачи можно воспользоваться методами расчета цилиндра на действие внутреннего и внешнего давлений [20, 55, 90]. В задачах подбора материала следует придерживаться общепринятой модели твердого деформируемого тела.
Среди методов решения задач теории упругости неоднородных тел особую группу составляют обратные методы, суть которых заключается в определении таких функциональных зависимостей механических характеристик от координат, при которых напряженно-деформированное состояние тел либо совпадает с аналогичным в однородном теле, либо позволяет относительно просто получить решение задачи.
В книге [4] на примере плоского деформированного состояния толстостенного цилиндра решена задача, в которой разыскивается такая зависимость модуля упругости от радиуса, при которой напряженное состояние цилиндра равно заданному. Идея такого метода основана на многочисленных результатах расчетов неоднородных тел, в которых показано, что если в некоторой области тела модуль упругости меньше, чем в однородном материале, то напряжения в этой области также уменьшаются, и наоборот.
Из решения задачи Ляме следует, что в однородном кольце или в толстостенном однородном цилиндре как при внутреннем, так и при внешнем давлении, наибольшие напряжения (JQ возникают вблизи отверстия. Поставим задачу отыскания такой зависимости Е(г), при которой напряженное состояние будет заданным. Методика практического создания таких цилиндров из дисперс-но наполненных полимеров известна, она заключается в смешении полимерной массы с тонкомолотым минеральным наполнителем. В дальнейшем полученный композиционный материал помещается в цилиндрическую форму, вращающуюся в процессе отверждения полимера. Твердая фаза, смещаясь к периферии за счет сил инерции, неравномерно распределяется по радиусу цилиндра, что приводит к изменению модуля упругости. Варьируя тип и процентный состав наполнителя и скорость вращения формы, можно получить некоторую зависимость Е(г), близкую к необходимой.
В созданных таким образом неоднородных цилиндрах материал имеет вязкоупругие свойства, так что изменяются не только упругие, но и релаксационные характеристики материала. Ограничимся решением упругой задачи, дополнительно полагая при этом, что деформационные и прочностные свойства материала не зависят от температуры, и, кроме этого, коэффициент Пуассона V не зависит от распределения материала и является постоянным.
В зависимости от теории прочности для данного материала могут быть поставлены две задачи. Если справедлива первая теория прочности (максимальных нормальных напряжений) и при изменении модуля упругости предел прочности материала не меняется, то цилиндр будет равнопрочным при условии Gmax=Go=const Если же предел прочности также является функцией от радиуса, то цилиндр можно назвать равнонапряженным. В этом случае справедлива третья теория прочности (максимальных касательных напряжений), и функция Е(г) должна разыскиваться из условия ттах = (GQ — Gr )/2 = const.
Определение толщины изгибаемой пластинки по методу Галеркина
Фермы являются одними из наиболее часто используемых строительных конструкций. Экономическая целесообразность, простота расчета, изготовления и монтажа привели к тому, что они используются в зданиях и сооружениях самого различного назначения, в том числе и там, где возможен их неравномерный нагрев. В связи с этим важной задачей становится приведение в соответствие пространственного устройства тела, его механических и термомеханических свойств.
Расчет статически неопределимых ферм, будучи частным случаем расчета статически неопределимых стержневых систем, хорошо разработан. Однако есть ряд вопросов, имеющих практическое и принципиальное значение, на которые, тем не менее, до сих пор нет ясных ответов. Прежде всего это вопросы проектирования ферм, удовлетворяющих всем условиям прочности и жесткости и в то же время обладающих, в частном случае, минимальным весом. В простейшей постановке речь идет о наивыгоднейшем подборе поперечных сечений фермы, схема и размеры которой заданы [96].
Значимость этих вопросов увеличивается тем фактом, что аналогичные вопросы могут ставиться также в области расчета других стержневых и нестержневых систем (арок, балок, плоских и пространственных рам, складчатых систем, плит, оболочек и целых сооружений).
Анализ приводит к выводу, что в ферме с п лишними стержнями минимальный объем получается при таком подборе значений лишних неизвестных, при котором усилия в каких-либо п основных стержнях обращаются в нуль. Следовательно, фермой минимального веса будет одна из статически определимых ферм, которые могут быть образованы из данной статически неопределимой. Но число таких статически определимых ферм колоссально, поэтому расчет ферм по такому методу практически неприемлем. Именно поэтому целесообразно проектировать рациональные фермы по энергетическому критерию, исходя из минимума потенциальной (дополнительной) энергии системы.
Геометрические параметры рациональной фермы можно установить, рассмотрев изопериметрическую задачу, в которой предполагается заданным объем Vo линейно-упругого материала конструкции [119].
Обратимся к принципу возможных изменений напряженного состояния для задачи термоупругости применительно к фермам. За основу возьмем функционал Кастильяно (5.2) применительно к статически неопределимым фермам, находящимся под действием неравномерного нагрева и силового воздействия. Случай высокого нагрева в системе, когда могут изменяться величины и а,, исключается. В случае его появления предусматривается отвод тепла в окружающую среду. В тоже время влияние изменения объема, вызванного силовыми воздействиями, на тепловое поле крайне незначительно и в технических расчетах, как правило, не учитывается. Следовательно, при определении внутренних усилий в стержнях силовые и термические воздействия можно учитывать раздельно, т.е. использовать принцип суперпозиции. Естественно, это справедливо при малых деформациях и перемещениях. В качестве переменных проекта фермы избираем длины отдельных стержней и площади поперечных сечений. Внутренние усилия в стержнях, как функции этих величин, определяются известными методами с привлечением законов деформирования твердого тела. Из условия стационарности функционала (5.10) вытекают уравнения структурообразования, число которых равно числу переменных проекта. В частности, при варьировании площадей сечения они принимают вид В общем случае получаем систему нелинейных уравнений, которую можно решить с помощью программ для ЭВМ. В определенных случаях систему можно свести к одному разрешающему уравнению, которое носит также нелинейный характер. В качестве примера определим угол Р и площади поперечных сечений А± = А$, / 2 Для стальной фермы из трех стержней (рис. 5.1), воспринимаю Проблема оптимизации строительных конструкций имеет много аспектов. Прежде всего, это методологический подход к оптимизации. Основными требованиями к несущим конструкциям становятся их надежность и долговечность. Для выполнения этих требований необходимо в полной мере использовать механическое сопротивление материалов разрушению в их пространственном и временном исполнении. В настоящее время в механике деформируемого твердого тела и в теории строительных конструкций утвердился энергетический подход к вопросам прочности, устойчивости и деформативности. Такого же рода подход должен иметь место при решении проектных задач - задач оптимального проектиро % вания. Энергетический критерий структурного синтеза, пронизывающий представленную работу, позволяет с единых позиций подходить к проектированию континуальных и стержневых систем. Вариационные принципы структурного синтеза являются основой достоверности получаемых решений. Их точность и сходимость составляют отдельную сторону проектного расчета и требуют частных методик, приемлемых для определенного класса конструкций. Оптимальное проектирование при силовых и термических воздействиях с одной стороны подчинено общефизическому принципу стационарного действия, а с другой стороны требует формулировки частных вариационных принципов и выявления проектных критериев. Так, в работе показано, что на смену обобщенным принципам Лагранжа и Кастильяно следует вводить экстремальные принципы термодинамики. При записи уравнения баланса энергии на нагруженной части поверхности имеет место, например, удельная свободная энергия Гельмгольца, а не удельная потенциальная энергия деформации, как в случае только силового воздействия. Тем самым проектный критерий получает специфическую форму. Основные выводы по работе: 1. Предложены вариационные постановки проектных задач оптимизации строительных конструкций при одновременных силовых и термических воздействиях, позволяющие с единой методологической позиции рассматривать задачи анализа и синтеза конструкций, что в свою очередь позволяет использовать имеющиеся программные комплексы для решения проектных задач. 2. На основе энергетического подхода к решению проектных задач для строительных конструкций при термосиловых воздействиях выведены уравнения, которые можно рассматривать как энергетический критерий струк-турообразования (формообразования, подбора материалов). Этот критерий не предлагается априорно, а является следствием общефизического принципа стационарного действия. 3. Разработаны методика и алгоритм оптимального проектирования бетонных плит, находящихся в условиях плоского напряженного состояния при термосиловых воздействиях. 4. Предложена конструктивная оптимизация сталебетонной плиты путем введения воздушного зазора в зоне контакта материалов, что обеспечивает экономический эффект при одновременных силовых и термических воздействиях. 5. Теоретические и экспериментальные исследования толстостенных бетонных цилиндров при термосиловых воздействиях позволяет выявить пути оптимизации их параметров, в том числе с учетом ползучести. 6. Предложены алгоритм оптимизации стержневых систем (на примере ферм) при неравномерном нагреве стержней с учетом безопасной устойчивости.
Экспериментальное исследование напряженного состояния бетона при осесимметричном нагреве
Стержневые системы, используемые в качестве строительных конструкций, чрезвычайно разнообразны и широко используемы. Это статически определимые и неопределимые балки, рамы, фермы, арки. В этой работе задачи оптимизации решаются на примере ферм.
Вследствие того, что стержневые конструкции были первыми широко распространенными конструкциями, а также ввиду их относительной простоты, именно на них были предприняты первые попытки оптимизации, о чем упомянуто в главе 1. После работ Леви, Максвелла и Мичелла, сформулировавших теоремы о равнопрочных фермах, вопросам оптимизации некоторое время не уделялось должного внимания из-за трудоемкости вычислений. В XX веке с появлением новых направлений в синтезе конструкций, основанных на вариационных принципах, и развитием ЭВМ, произошел бурный рост числа публикаций по вопросам оптимизации конструкций, в том числе и стержневых систем.
Помимо работ, рассмотренных в главе 1, можно отметить еще ряд статей зарубежных авторов, посвященных проблемам оптимизации ферм. В работе [136] рассмотрена стратегия топологической оптимизации плоских ферменных конструкций по наименьшему весу при заданных ограничениях по напряжениям и перемещениям. Применена методика одновременного анализа напряженно-деформированного состояния и проектировочного расчета параметров конструкции. Стратегия получения оптимальной топологии фермы посредством минимизации ее податливости сравнивается с процедурой минимизации веса при удовлетворении комбинированных условий ограничений. Показано, что использование предложенной методики дает лучшие результаты для достижения наименьшего веса конструкции, чем оптимизация только поперечных сечений элементов.
Статья [135] посвящена выбору оптимальной геометрии стержневой решетки для двухслойных стальных пространственных ферменных конструкций. Проведен статический анализ работы различного рода двухслойных ферм со свободно опертыми краями, выполнен проектировочный расчет оптимальных параметров решеток с использованием МКЭ. Задача оптимального проектирования прочных и устойчивых плоских и пространственных ферменных конструкций наименьшего веса рассмотрена в [137]. Для топологической оптимизации используется выпуклое программирование. В работе [129] показано, что заданные предельно допустимые напряжения в элементах статически неопределимой фермы являются нелинейными функциями от площадей поперечных сечений элементов. На основе этого можно отыскать с помощью итерационного метода оптимальное распределение площадей поперечных сечений по стержням ферм. Проектирование упругих стержневых конструкций с ограничениями по максимальным перемещениям и напряжениям с принятием в качестве переменных проектирования площадей поперечных сечений стержневых элементов с использованием линейного функционала и квадратичных ограничений имеет преимущество в том, что не нужно на каждом шаге итерационного процесса определять напряженно-деформированное состояние конструкции, а достаточно сделать это один раз для начального приближения [138]. Согласно теореме Леви, из всех ферм заданных возможных конфигураций при одном нагружении без учета потери устойчивости стержней найдется такая статически определимая, вес которой будет не больше веса любой другой. Эта теорема не отрицает возможности проектирования рациональной статически неопределимой фермы, которая всегда будет иметь преимущество с точки зрения жесткости, хотя чаще всего предпочтение отдают статически определимым фермам. Основные зависимости для рациональной фермы можно установить, рассмотрев изопериметрическую задачу формообразования (глава 3), имеющей двойственную постановку, в которой предполагается заданным объем однородного линейно-упругого материала, либо решив вопрос отыскания минимума объема при заданных допускаемых напряжениях (а следовательно, удельной потенциальной энергии деформации /0)- В обоих случаях задача сводится к отысканию минимума функционала, т. е. к проектированию конструкции максимальной жесткости [111]. Рассмотрим изопериметрическую задачу формообразования конструкции из однородного материала, предполагая заданным объем VQ :
