Введение к работе
Актуальность исследуемой проблемы. В последние десятилетия наблюдается значительный прогресс в выявлении и понимании основных закономерностей возникновения детерминированного хаотического поведения в простых моделях распределенных систем и систем с сосредоточенными параметрами. В ходе поиска таких закономерностей был разработан и развит набор методов, позволяющих количественно и качественно классифицировать сложнопериодические и хаотические колебательные режимы, а также отличать детерминированное хаотическое поведение от шума. Среди этих методов следует особо выделить метод восстановления поведения динамической системы по одной переменной состояния, основанный на результатах N.H.Packard, F.Takens, R.Mafie (1980, 1981); метод оценки корреляционной размерности, предложенный P.Grassberger и I.Procaccia (1983); метод оценки ляпуновских характеристических показателей по одной переменной состояния, предложенный A.Wolf, J.B.Swift, H.L.Swinney, J.A.Vastano (1985); метод оценки размерности вложения динамической системы, предложенный D.S.Broomhead и G.P.King (198G).
В настоящее время вышеперечисленные методы широко используются для анализа поведения механических, радиофизических, электронных, гидродинамических, биологических, экономических, социальных и других систем (см. монографии М.И.Рабиновича и Д.И.Трубецкова; А.Лихтенберга и М.Либер-мана; Ю.И.Неймарка и П.С.Ланда; Г.М.Заславского и Р.З.Саг-деева; Г.Шустера; А.С.Дмитриева и В.Я.Кислова; В.С.Ани-щенко; Ю.И.Климотовича; Ф.Муна; А.Ю.Лоскутова и А.С.Михайлова; Г.Николиса и И.Пригожіша; Л.Гласса и М.Мэки; Е.Федера; Г.Хакена; П.Берже, И.Помо и К.Видаля; Т.С.Ахроме-евой, С.П.Курдюмова, Г.Г.Малппецкого и А.А.Самарского п др.). Анализ поведения реальных систем затрудняется тем, что сигналы, порождаемые такими системами, как правило, зашумлены. Данное обстоятельство приводит к необходнмо-
сти предварительной обработки сигнала с целью увеличения отношения сигнал-шум.
Традиционно, для уменьшения влияния шума, в случае обработки периодических или сложнопериодических колебаний, применяется линейная фильтрация. Подобная процедура не всегда применима к обработке хаотических сигналов, поскольку, как показано R.Badii и A.Politi1, линейная фильтрация приводит к тому, что размерность хаотических колебаний на выходе фильтра увеличивается. Такой эффект имеет место даже в том случае, если осуществляется фильтрация хаотического сигнала, несмешанного с шумом.
Исследование явлений, связанных с усложнением (увеличением размерности) хаотических колебаний на выходе линейного фильтра, проводилось с целью выявления механизмов такого усложнения (R.Badii, A.Politi, G.Broggi, P.Paoli, F.Mitschke, T.Sauer, J.A.Yorke, M.Casdagli, M.T.Rosenstein, J.J.Collins, M.E.Davies, K.M.Campbell), а также, с целью построения процедур линейной фильтрации, приводящих к минимально возможным искажениям хаотического сигнала (D.S.Bro-omhead, G.P.King, П.С.Ланда, М.Г.Розенблюм, F.Mitschke). Показано, что усложнение хаотических колебаний может быть сведено к минимуму, но только при соответствующем тщательном подборе типа фильтра и его параметров в каждом конкретном случае (для рассматриваемых хаотического сигнала и шума). Подбор типа фильтра является достаточно трудоемким. В результате получили развитие методы адаптивной нелинейной фильтрации (А.С.Пиковскпй, S.M.Hemmel, P.Grassberger, T.Schreiber, T.Sauer, R.Hegger, J.D.Farmer, J.J.Sidorowich, E.J.Kostelich, J.A.Yorke, R.Cawley, G.Hsu, N.Enge, Th.Buzug, G.Pfister, H.D.I.Abarbanel), в большинстве случаев позволяющие эффективно уменьшать влияние шумов, но, в свою очередь, являющиеся многопроходными и требующими значительных
1 Badii R., Politi A. On the fractal dimension of filtered chaotic signals // In: the Dimensions and Entropies in Chaotic Systems, edited by Mayer-Kress G. Berlin: Springer-Verlag. 1986. P.67-73.
компьютерных ресурсов. Вышесказанное позволяет сделать вывод о том, что механизмы усложнения низкоразмерных хаотических колебаний линейными системами остаются до конца не выясненными и требуют дальнейших исследований.
Рассмотрение линейных систем под действием хаотических колебаний может оказаться полезным при исследовании закономерностей возникновения сложного поведения в распределенных системах. В настоящее время достигнуты значительные успехи в выявлении таких закономерностей при исследовании моделей распределенных систем, представляющих собой решетки нелинейных элементов (С.П.Кузнецов, K.Kaneko2). Оказалось, что рассмотрение эффектов, возникающих при распространении хаотических колебаний в линейных средах, также может дать дополнительную информацию для выявления путей к высокоразмерному хаосу и для построения модели возникновения турбулентности (А.В.Гапонов-Грехов, М.И.Рабинович3). Кроме того, линейная система под действием хаотических колебаний может рассматриваться при исследовании стохастических процессов, например, в качестве модели движения броуновской частицы (T.Shimizu).
Таким образом, исследование преобразования хаотических колебаний линейными инерционными системами и средами является актуальным для современной радиофизики с фундаментальной (исследование путей возникновения высокоразмерного хаоса), а также с прикладной (увеличение отношения сигнал-шум при анализе колебательных состояний нелинейных систем) точек зрения.
Цель диссертационной работы состоит в выявлении и исследовании закономерностей преобразования хаотических колебаний линейными инерционными цепями (линейными филь-
2 Theory and applications of coupled map lattices. / edited by
Kaneko K. New York: Wiley. 1993. 195P.
3 Gaponov-Grekhov A.V., Rabinovich M.I., Starobinets I.M.,
Tsimring M.Sh., Chugurin V.V. Sl-dimension of chaotic time series
II CHAOS. 1994. V.4. No.l. P.55-62.
трами), а также в исследовании явлений, возникающих при распространении хаотических сигналов в линейных распределенных системах (линейных средах).
Методы исследований и достоверность научных результатов. Большинство результатов, представленных в работе, получено путем численного (компьютерного) моделирования. В тех случаях, когда рассматривался натурный (радиофизический) эксперимент, проводился компьютерный анализ временных реализаций, введенных в компьютер с помощью аналого-цифрового преобразователя (АЦП). Достоверность полученных результатов подтверждается согласованностью аналитических и численных результатов, воспроизводимостью результатов численного моделирования, подтверждением отдельных результатов натурным экспериментом, а также соответствием результатов, полученных в работе, результатам, широко представленным в литературе.
Научная новизна. В ходе натурных и численных экспериментов детально исследованы закономерности преобразования низкоразмерных хаотических колебаний различными типами линейных фильтров. Выявлены механизмы, приводящие к усложнению (увеличению размерности и изменению структуры аттрактора) хаотических колебаний цифровыми фильтрами. Впервые детально исследовано влияние вида амплитудно-частотных и фазо-частотных характеристик линейных преобразований на усложнение хаотических колебаний. Впервые рассмотрены особенности распространения низкоразмерных хаотических колебаний в линейной среде с дисперсией и выявлены закономерности изменения их характеристик. Проанализирован ряд методов, позволяющих классифицировать высокоразмерные хаотические колебания по степени их сложности и, в частности, отличать такие колебания от шумовых.
Практическая значимость работы состоит в том, что полученные результаты могут найти применение при решении задач, связанных с диагностикой сложного поведения сосредоточенных и распределенных динамических систем по одной (временной или пространственной) переменной состояния. Предло-
женные в работе фильтры низких частот, приводящие к минимальному усложнению колебаний на выходе, могут найти применение для "очистки" от шума хаотических колебаний, полученных в натурном эксперименте, при их подготовке к дальнейшему анализу на основе методов нелинейной динамики. Разработанные методы формирования высокоразмерных детерминированных колебаний могут найти применение при настройке методов анализа сложного поведения динамических систем.
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы. Диссертация содержит* 86 страниц текста, 55 рисунков и 15 страниц списка литературы из 164 наименований. Общий объем работы 15G страниц.
