Введение к работе
Актуальность темы. Теория счетных цепей Маркова в настоящее время азвивается в различных направлениях. Одно из них — это качественный ана-из цепей Маркова на счетном пространстве состояшш со сложной структурой, 'помянем несколько таких моделей. Многомерные цепи Маркова с частичными инейными неоднородностями рассматривались в [1], [2]. Цепи Маркова на про-транстве состояшш, равном множеству всех конечных последовательностей букв екоторого алфавита (так называемые струны) изучались в [3], [4]. Предмет стаей [5], [6], [7] — так называемое случайное блуждание с ветвлением, которое акже является цепью Маркова в некотором усложненном пространстве состоя-ий. Для этих проблем был разработан мартингалъный метод (метод функций [япунова).
В Главе 1 исследуется поведение стационарной меры для различных классов четных цепей Маркова. Получена точная асимптотика для различных проблем ольших отклонений для этих классов. В работах [1] и [8] были установлены усло-ия конечности или бесконечности математического ожидания от р-й степени юмента времени достижения некоторой конечной области. В настоящей работе оказывается, что в рассматриваемых задачах стационарная мера убывает по-иномиально с увеличением координаты. Кроме того, показано, что скорость ходимости к стационарности полиномиальна по времени, и определена точная симптотика.
1. S. Aspandiiarov, R. Iasnogorodski and M.V. Menshikov. Passage-time moments
зг non-negative stochastic processes and an application to reflected random walk in
quadrant. // Ann. Prob. 24 (2), 932-960 (1996).
2. G. Fayolle, V.A. Malyshev and M.V. Menshikov. Constructive Theory of count-
ble Markov Chains. // Cambridge University Press, Cambridge (1994).
-
A.C. Гайрат, В.А. Малышев, M.B. Меньшиков и К.Д. Пелих. Классифи-ация Марковских цепей, описывающих эволюцию случайных струн. // Успехи {am. Наук 50 N. 2 (302), 5-24 (1995).
-
A.S. Gajrat, V.A. Malyshev and A.A. Zamyatin. Two-sided evolution of a andom chain. Markov Processes Relat. Fields 1, 281-316 (1995).
5. F.I. Karpelevich, M.Ya. Kelbert and Yu.M. Suhov. The boundedness ofbranch-
ig Markov processes. // В сборнике: The Dynkin Festschrift. Markov Processes and
heir Applications (M. Freidlin, ed.). Progress in Probability 34, 143-153. Boston,
iirkhauser (1994).
0. F.I. Karpelevich and Y.M. Suhov. A criterion of boundedness of dis-rete branching random walk. // Classical and Modern Branching Processes (eds. [. Athreya and P. Jagers). IMA volumes in mathematics and its applications 84, 41-156. N.Y., Springer-Verlag (1996).
7. M.V. Menshikov and S.E. Volkov. Recurrence and transience criteria for
ranching random walks. Markov Processes Relat. Fields 3, 225-241 (1997).
8. S. Aspandiiarov and R. Iasnogorodski. Tails of passage-times and an application
j stochastic processes with boundary reflection in wedges. // Prepublication 251,
aboratoire de Probabilites de l'Universite Paris (1994).
Техника анализа этой проблемы базируется на так называемом методе функций Ляпунова (или пробных функций). Этот мартингальный метод совершенно естественен для таких задач.
Другая важная ветвь теории марковских процессов — это теория счетных цепей Маркова в случайной среде. Хорошо известный пример такого рода процессов — это случайное блуждание в случайной среде; эта модель, введенная в [9], к настоящему моменту уже довольно хорошо исследована, см. например работы Э. Ки [10], X. Кестена, М.В. Козлова и Ф. Спитцера [11] и Я.Г. Синая [12].
В Главе 2 мы построим различные обобщения этой модели и изучим их, используя при этом функции Ляпунова. Давайте кратко опишем, что понимается под "случайной средой". Данная счетная, однородная по времени цепь Маркова С — {rin\ п > 0} может быть определена своим пространством состояний X = {хі} и набором вероятностей перехода Pij = P-fan+i = Xj | f?n = хі]. Допустим, что в некотором вероятностном пространстве (П,Л, Р) есть набор случайных величин Pij(u>), i,j Є N, и/ Є П, таких, что для любого фиксированного ш (которое мы называем реализацией случайной среды) числа Рі3(ш) являются вероятностями перехода. Вместе с пространством состояний X, эти вероятности перехода определяют цепь Маркова С(ш). Можно считать цепь Маркова перемещением частицы в пространственно неоднородной среде {Рі,.(ш))і. Интересующий нас конкретный случай — когда поле (Pi,.(u))i, рассматриваемое как случайное поле, будет однородно по пространству; тогда среда обладает свойством однородности по пространству на статистическом уровне.
Некоторые естественные вопросы возникают для такой модели с замороженным беспорядком: какова вероятность (по отношению к вероятностной мере Р) для цепи Маркова C(w) быть возвратной (транзиентной, эргодической, или обладающей некоторым другим свойством)? Однако, в этой общей формулировке эта проблема едва ли может быть решена.
Во многих недавних работах было показано, что метод функций Ляпунова очень полезен (и иногда единственен) для исследования счетных цепей Маркова и случайных блужданий с ветвлением. Этот метод сводится к анализу цепи через некоторые хорошо подобранные одномерные проекции. В Главе 2 этот метод применяется к трем моделям: случайному блужданию в случайной среде, случайным струнам в случайной среде, и случайному блужданию с ветвлением в случайной среде. Основная идея нашего метода следующая: для данного и/ П рассмотрим цепь Маркова (и>). Для этой цепи Маркова строим функцию Ляпунова /(г) = /(г; ы). Оказывается, что для рассматриваемых моделей эта функция является пространственно однородным случайным полем, так что можно исследовать его асимптотическое поведение. Построение функции Ляпунова не
9. F. Solomon. Random walks in a random environment.// Ph.D. Thesis, Cornell
University (1972). См. также Ann. Prob. 3, 1-31 (1975).
-
E.S. Key. Recurrence and transience criteria for random walk in a random environment. Ann. Prob. 12, No. 2, 529-560 (1984).
-
H. Kesten, M.V. Kozlov and F. Spitzer. A limit law for random walk in a random environment. Compositio Mothematica 30, Fasc. 2, 145-168 (1975).
12. Я.Г. Синай. Предельное поведение одномерного случайного блуждания в
случайной среде.// Теория Веролтн. и Примен. 27, 247-258 (1982).
вляется стандартной задачей. Значительно легче проанализировать ее асимптотическое поведение, когда первый шаг уже выполнен. Далее, зная свойства эункции Ляпунова для фиксированного ш, и используя критерии для счетных [епей Маркова, таким образом получаем качественную классификацию для цепи Маркова С(и>).
Рассмотренные модели имеют следующее общее свойство:
Р{и> : C(w) возвратна} = 0 или 1.
іакон нуля или единицы выполняется также для транзиентности, эргодичности, і некоторых других характеристик цепи Маркова.
Цель работы. Целями настоящей работы являются исследование стационар-гай меры и скорости сходимости к ней для некоторых критических классов счет-1ых цепей Маркова, а также качествеїгная классификация некоторых марковских гроцессов с дискретным временем в случайной среде.
Научная новизна. Основные результаты диссертации являются новыми и со-тоят в следующем.
-
Найдены асимптотика стационарной меры и точные оценки для скорости ходимости к ней для задачи Ламперти и для случайного блуждания в четверти [лоскости с нулевым сносом внутри.
-
Получены критерии возвратности, транзиентности и эргодичности для мо-(ели случайных струн в случайной среде.
-
Для различных классов случайных блужданий с ветвлением в случайной реде получена качественная классификация.
Методы исследования. Основные результаты изложены на языке полумар-ингалов, или, что эквивалентно, на языке пробных функций Ляпунова. При том активно используется разносторонняя мартингальная и стандартная веро-[тностная техника.
Практическая и теоретическая ценность. Результаты диссертации носят -еоретический характер и могут быть полезны специалистам, работающим в разданных областях теории вероятностей и ее приложений, прежде всего, в теории іарковских процессов и ее приложениях к теории массового обслуживания.
Апробация диссертации. Результаты диссертации докладывались на науч-гом семинаре кафедры теории вероятностей и на международной конференции: Workshop on statistical mechanics of large networks" (Париж, октябрь 1996 г.)
Публикации. Основное содержание диссертации изложено в 2 работах, список :оторых приведен в конце автореферата.
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, двух лав и списка литературы, содержащего 30 наименований. Общий объем диссер-'ации 79 стр.
