Содержание к диссертации
Введение
Глава 1 . Энергетические характеристики плоских акустических волн в пьезоэлектрических материалах и структурах при термодинамическом подходе 23
1.1. Уравнения, описывающие акустические волны в пьезоэлектрических материалах и структурах 23
1.1.1. Плоские однородные акустические волны в неограниченной пьезоэлектрической среде 24
1.1.2. Плоские неоднородные акустические волны в ограниченной пьезоэлектрической среде 26
1.1.2.1.Поверхностные акустические волны в полубесконечной пьезоэлектрической среде 27
1.1.2.2. Акустические волны в пьезоэлектрических пластинах 35
1.2. Энергетические характеристики плоских акустических волн в пьезоэлектрических материалах и структурах 38
1.2.1. Исходные выражения для плотности энергии и потока мощности.. 39
1.2.2. Энергетические характеристики плоских однородных акустических волн в неограниченном пьезоэлектрике 43
1.2.3. Энергетические характеристики плоских неоднородных акустических волн 48
1.2.4. Различные способы описания плотности потенциальной энергии акустических волн при термодинамическом подходе 59
1.3. Выводы 69
Глава 2. Энергетические характеристики плоских акустических болн в пьезоэлектрических материалах и структурах с точки зрения теоретической механики 72
2.1. Противоречия классического термодинамического подхода к определению энергетических характеристик акустических волн 72
2.2. Определение потенциальной энергии акустических волн с позиции теоретической механики 79
2.3. Исследование энергетических характеристик акустических волн, рассчитанных в соответствии с предлагаемым подходом 81
2.3.1. Энергетические характеристики плоских однородных акустических воли в неограниченном пьезоэлектрике 81
2.3.2. Энергетические характеристики плоских неоднородных акустических волн в ограниченном пьезоэлектрике 85
2.3.3 Аналитическое доказательство постоянства во времени полной
плотности энергии акустической волны 94
2.4. Сравнение энергетических характеристик плоских акустических
волн, рассчитанных в соответствии с различными подходами 96
2.5. Выводы 98
Глава 3. Практическое использование энергетических характеристик акустических волн в пьезоэлектрических материалах 100
3.1 Методы расчета скорости переноса энергии акустической волны в пьезоэлектрике и сравнение ее с групповой скоростью 100
3.2 Угол между скоростью переноса энергии и направлением распространения для акустических волн в пьезоэлектрических пластинах и его зависимость от электрических граничных условий 108
3.2.1. Теоретическое исследование PFA в пьезоэлектрических пластинах 109
3.2.2. Экспериментальное исследование PFA в пластине ниобата лития.. 130
3.3. Взаимная ортогональность акустических волн в пластинах, их гибридизация и степень связи 134
3.3.1. Определение ортогональности, ортогональность различных типов волн в пластинах 134
3.3.2. Ортогональность волн Лэмба в изотропных пластинах 135
3.3.3. Ортогональность поперечно- горизонтальных волн в изотропной пластине 137
3.3.4. Ортогональность воли Лэмба и поперечно-горизонтальных волн в изотропных пластинах 139
3.3.5 Гибридизация акустических волн в анизотропной непьезоэлектрической пластине 141
3.3.6. Гибридизация акустических волн в пьезоэлектрической пластине. 145
3.3.7. Качественный анализ эффекта гибридизации 148
3.3.8. Количественный анализ эффекта гибридизации 152
3.3.9. Влияние электрических граничных условий на эффект гибридизации 154
3.4 Сравнение различных подходов к определению коэффициента электромеханической связи пьезоактивных акустических волн 157
3.4.1 Определение коэффициента электромеханической связи через энергетические характеристики акустической волны 160
3.4.2 Сравнение различных методов расчета коэффициента электромеханической связи для плоских однородных волн 162
3.4.3 Сравнение различных методов расчета коэффициента электромеханической связи для плоских неоднородных волн 163
3.5 Выводы 165
Заключение 168
Литература 173
- Уравнения, описывающие акустические волны в пьезоэлектрических материалах и структурах
- Противоречия классического термодинамического подхода к определению энергетических характеристик акустических волн
- Методы расчета скорости переноса энергии акустической волны в пьезоэлектрике и сравнение ее с групповой скоростью
Введение к работе
Актуальность темы.
Исследование энергетических характеристик акустических волн (энергия, скорость переноса энергии, поток мощности) в пьезоэлектрических материалах имеет как фундаментальное, так и практическое значение для разработки различных акустоэлектронных устройств. Поэтому указанные характеристики привлекают внимание исследователей на протяжении примерно 40 лет [1-3]. В результате были получены основные уравнения для определения энергетических характеристик пьезоактивных акустических волн [1-3]. Установлено, что суммарный поток мощности таких волн состоит из механического, электрического, электро-механического и механо-электрического вкладов [1, 3]. Что касается плотности энергии акустической волны, то она состоит из кинетической и потенциальной энергий, которая в свою очередь включает в себя механическую, электрическую, электро-механическую и механо-электрическую компоненты [1, 3]. Следует отметить, что до настоящего времени сравнительный анализ указанных вкладов не проводился, и в большинстве работ учитывались только механическая компонента энергетических характеристик [2]. Однако, в связи с появлением очень сильных пьезоэлектриков [4, 5] и увеличением роли электрического и взаимного вкладов в энергетические характеристики волн, возникла необходимость не только их учета в потоке мощности и плотности энергии, но и необходимость проведения их сравнительного анализа. Поэтому в диссертации впервые рассматриваются основные закономерности поведения энергетических характеристик пьезоактивных однородных и неоднородных плоских акустических волн.
Кроме того, в настоящее время плотность кинетической энергии акустической волны определяется с позиций теоретической механики, а плотность потенциальной энергии - с позиций термодинамики [1, 3, 6]. Такой классический подход привел к тому, что в фиксированной точке среды мгновенное значение плотности полной энергии зависит от времени, т.е. не является интегралом движения, и отсутствует традиционный для колебательных процессов переход потенциальной энергии в кинетическую, и наоборот [7]. Это не совсем понятно как с физической точки зрения, так и с математической, поскольку из уравнения движения в фиксированной точке среды следует, что сила инерции элемента объема среды всегда компенсируется
возвращающей силой [1, 3]. В связи с этим, в диссертационной работе исследуется возможность разработки такого подхода к определению потенциальной энергии акустической волны, при котором мгновенное значение полной плотности энергии будет являться интегралом движения.
Следует отметить, что в последнее время возрастает также интерес исследователей к акустическим волнам, распространяющимся в тонких пьезоэлектрических пластинах [8-11]. Однако особенности энергетических характеристик этих волн в настоящее время практически не изучены. Поэтому в диссертации проводится сравнение скорости переноса энергии и групповой скорости для акустических волн, обладающих геометрической дисперсией. Кроме того, впервые проанализирована анизотропия угла между волновым вектором и скоростью переноса энергии (power flow angle - PFA) указанных волн. Поскольку рассматриваемые волны обладают крайне высоким значением коэффициента электромеханической связи [8, 10, 11], то теоретически и экспериментально исследовано влияние электрических граничных условий на указанный угол PFA.
Весьма интересной является также проблема ортогональности и гибридизации акустических волн в пьезоэлектрических пластинах. Как известно [12, 13], в изотропных пластинах акустические волны Лэмба и волны с поперечно-горизонтальной поляризацией взаимно- ортогональны. С другой стороны недавно было показано, что в условиях пространственно-временного синхронизма возможна гибридизация акустических волн в пьезоэлектрических пластинах [14]. В связи с этим в диссертации рассмотрены вопросы ортогональности и гибридизации акустических волн в указанных пластинах. Выявлены условия существования гибридных (связанных) волн и введен количественный критерий, характеризующий степень их связи.
Кроме того, в настоящее время весьма актуальной стала проблема определения коэффициента электромеханической связи (К ), поскольку появились работы [15, 16], в которых сообщается об увеличении скорости объемных и поверхностных акустических волн при полном или частичном «выключении» пьезоэффекта, что приводит к отрицательным значениям указанного коэффициента при его традиционном определении [2]. Однако, К может быть определен исходя из энергетических соображений [1]. Поэтому в диссертации уделяется внимание исследованию возможности определения коэффициента электромеханической связи однородных и
неоднородных акустических волн с энергетических позиций. Проведено сравнение полученных результатов с данными, получаемыми традиционным методом.
Целью диссертационной работы является: исследование закономерностей поведения энергетических характеристик плоских акустических волн различных типов, распространяющихся в пьезоэлектрических материалах и структурах, поиск нового подхода к определению энергетических характеристик, устраняющего противоречия их классического описания, а также применение полученных данных для решения ряда практически важных задач.
Научная новизна работы.
Изучены закономерности поведения энергетических характеристик плоских акустических волн различных типов при традиционном подходе. Показано, что для плоских однородных волн: плотность электрической энергии совпадает с плотностью механоэлектрической энергии и противоположна по знаку плотности электромеханической энергии; плотность кинетической энергии равна сумме плотностей всех вкладов в потенциальную энергию; все вклады в плотность энергии положительны за исключением электромеханической энергии; проекция потока электрической мощности на направление распространения волны, всегда противоположна фазовой скорости. Для неоднородных волн получены те же самые результаты, если заменить плотность энергии и поток мощности на усредненные по времени и по апертуре волны характеристики. Показано, что мгновенная плотность полной энергии всех этих волн не является интегралом движения. Кроме того, обнаружено, что для сильных пьезоэлектриков, таких как ниобат лития и ниобат калия, значение электрической и взаимной энергии сопоставимо со значением механической энергии, а в ниобате калия может даже превышать его.
Выявлены противоречия классического термодинамического подхода к определению энергетических характеристик акустических волн. Основным из которых является то, что мгновенная плотность энергии акустических волн зависит от времени в любой точке среды, т.е. не являться интегралом движения. Детальный анализ позволил выявить причину этих противоречий, связанную с тем, что слагаемые полной энергии акустической волны вводятся различными способами: кинетическая энергия системы определяется с позиций теоретической механики, а потенциальная энергия определяется с позиций равновесной термодинамики.
Развит новый подход к определению потенциальной энергии, с позиции теоретической механики, который позволил устранить противоречия классического подхода, и привел к тому, что мгновенная плотность энергии плоских акустических волн любого типа перестала зависеть от времени в любой точке среды, т.е. стала являться интегралом движения.
В соответствии с развиваемым подходом были рассчитаны энергетические характеристики различных типов акустических волн, для тех же материалов, и кристаллографических ориентации, что и при традиционном подходе. Проведено сравнение с аналогичными характеристиками, полученными при классическом термодинамическом описании. Для плоских однородных волн усредненная по времени плотность энергии в соответствие с классическим описанием всегда совпадает с мгновенным значением полной энергии, найденной в соответствии с новым подходом. Для плоских неоднородных волн получен тот же самый результат для полной энергии волны на единичную апертуру.
Теоретически проанализирована анизотропия угла между волновым вектором и скоростью переноса энергии (PFA) акустических волн нулевого порядка в пьезоэлектрических пластинах для различных значений толщины пластины и частоты волны. Показано, что для некоторых кристаллографических ориентации величина PFA для SH0 волн может достигать значительных величин. Например, для Y-X+75 пластины ниобата лития и ниобата калия величина PFA исследуемых волн составляет -17и и -48и, соответственно.
6. Теоретически и экспериментально исследовано влияние электрического
закорачивания поверхности пластины на величину PFA. Обнаружено, что существуют
такие кристаллографические ориентации, при которых изменение PFA при
металлизации поверхности пластины может не только достигать значительных величин,
но и приводить к смене знака указанного угла. Например, для SH0 волны в пластинах Y-
Х+25 ниобата лития и ниобата калия изменение PFA при металлизации одной
поверхности пластины может достигать 18 и 55 , соответственно. Наиболее интересные
результаты были подтверждены экспериментально.
7. Исследованы гибридизация и ортогональность акустических волн в
пьезоэлектрических пластинах. Показано, что гибридизация возникает в том случае,
если волны имеют общие компоненты электрических и механических переменных. В
противном случае волны являются ортогональными. Введен количественный коэффициент степени связи волн, включающий как механическую, так и электрическую связь. Показано, что зависимость этого коэффициента от произведения толщины пластины и частоты волны определяет степень расталкивания дисперсионных кривых взаимодействующих волн.
Достоверность полученных в настоящей диссертации теоретических результатов определяется корректностью постановки всех граничных задач, использованием точных вычислительных методов, а также количественным и качественным соответствием полученных в работе теоретических результатов экспериментальным данным и данным других авторов.
На защиту выносятся следующие научные положения:
В сильных пьезоэлектриках плотность мгновенной электрической энергии пьезоактивных акустических волн может быть не только соизмерима с плотностью механической энергии, но и существенно ее превышать. Например, отношение плотностей электрической и механической энергий быстрой поперечной волны в ниобате лития и ниобате калия может достигать 0.846 и 3.253, соответственно.
Новый подход к определению потенциальной энергии акустической волны в рамках теоретической механики устраняет противоречия классического способа определения и приводит к тому, что полная плотность мгновенной энергии плоской акустической волны любого типа в произвольной точке среды не зависит от времени и является интегралом движения. При этом усредненное по времени значение плотности полной мгновенной энергии объемных волн при классическом описании совпадает с мгновенным значением плотности полной энергии при подходе с позиций теоретической механики. Для поверхностных волн и волн в пластинах справедлив тот же самый вывод для полной энергии на единичную апертуру.
Угол между волновым вектором и скоростью переноса энергии для акустических волн в тонких пьезоэлектрических пластинах может достигать более значительной величины по сравнению с объемными и поверхностными волнами и в сильной степени зависит от электрических граничных условий. Например, для Y-X+75 пластины ниобата лития и ниобата калия величина указанного угла SH0 волн составляет -17 и -48к , соответственно. При этом в пластинах Y-X+25u ниобата лития и ниобата
калия изменение данного угла для указанной волны при металлизации одной поверхности пластины может достигать 18 и 55 .
4. В пьезоэлектрических пластинах гибридизация акустических волн, обусловленная как электрической, так и механической связью, может быть количественно определена коэффициентом гибридизации, равным отношению плотности взаимной энергии связанных волн к их суммарной плотности энергии. При этом частотная зависимость указанного коэффициента имеет резонансный характер, и «ширина» этой резонансной зависимости увеличивается с ростом степени «расталкивания» соответствующих дисперсионных зависимостей. Практическая значимость работы.
В ходе исследования характеристик акустических волн высших порядков в пьезоэлектрических пластинах было показано, что существуют такие направления распространения, типы волн и частотные диапазоны, которые отличаются высоким уровнем пьезоактивности и возможностью реализации одномодового режима. Это открывает широкие перспективы для существенного расширения частотного диапазона различных датчиков и устройств обработки сигналов по сравнению с волнами нулевого порядка.
Развитый подход к определению плотности потенциальной энергии с точки зрения теоретической механики, в соответствие с которым полная плотность энергии плоских акустических волн любого типа в фиксированной точке среды является интегралом движения, имеет методологическое значение, поскольку позволяет разработать критерий определения корректности проводимых расчетов характеристик акустических волн со сложной структурой.
Теоретическое и экспериментальное исследование влияния электрических граничных условий на угол между волновым вектором и скоростью переноса энергии показывает возможность создания различных устройств обработки сигналов, таких как, акустоэлектронные затворы, сканеры и переключатели.
В ходе изучения эффекта гибридизации акустических волн в пьезоэлектрических пластинах была показана возможность его применения для эффективного возбуждения непьезоактивных акустических волн в указанных пластинах.
Апробация работы. Материалы диссертации докладывались на World Congress Ultrasonics (Paris, France, 2003; Beijing, China, 2005), IEEE International Ultrasonic
Symposium (Honolulu, Hawaii, 2003; Montreal, Canada, 2004; Vancouver, Canada, 2006), VII Int. Conf. "Wave Electronics and its Applic. In Information and Telecom. Systems" (С.Петербург, 2004), XVI и XVIII Сессии Российского акустического общества (Москва, 2005; Таганрог, 2006), Молодежной конференции ИРЭ РАН им. И.В. Анисимкина (Москва, 2005), на научных семинарах Саратовского филиала Института радиотехники и электроники РАН.
Публикации: По материалам диссертации опубликована 21 печатная работа, из которых 6 опубликованных и 2 принятых к печати статьи в реферируемых журналах, 12 статей в материалах международных конференций, 1 тезис доклада на международной конференции. Общее количество страниц названных публикаций - 87.
Личный вклад автора. Автором предложен альтернативный метод расчета плотностей энергии в пьезоэлектрических материалах. Автору принадлежит также выбор методов решения, разработка алгоритмов и программ для всех выполненных в диссертации расчетов. Постановка задач и обсуждение полученных результатов были проведены автором совместно с научным руководителем и научным консультантом.
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка использованных источников. Полный объем диссертации составляет 182 стр. текста, в том числе 55 рисунков, 3 таблицы, библиографический список цитированных источников из 108 наименований, в том числе 21 публикация автора по теме диссертационной работы.
Уравнения, описывающие акустические волны в пьезоэлектрических материалах и структурах
Геометрия задачи о распространении поверхностных акустических волн в полу бесконечной пьезоэлектрической среде представлена на рис. 1.1. Среда заполняет полупространство xj 0 и не ограничена вдоль направлений Xi и х -Полупространство xj 0 занимает вакуум. Волна распространяется вдоль оси х/. Поскольку все электрические и механические переменные не зависят от координаты х2, то задачу можно считать двумерной. Очевидно, что рассматриваемая акустическая волна должна удовлетворять не только уравнению движения (1.1), уравнению Лапласа (1.2), уравнениям состояния (1.7) и (1.8), но и механическим и электрическим граничным условиям.
Механические граничные условия для механически свободной поверхности сводятся к равенству нулю нормальных компонент механического напряжения на поверхности среды [3, Что касается электрических граничных условий, то обычно рассматриваются две характерные ситуации:
1) Поверхность среды неметаллизирована (электрически свободна). При этом электрические поля, сопровождающие распространение волны, свободно проникают в вакуум. Поэтому, на границе раздела двух диэлектриков граничные условия сводятся к непрерывности электрического потенциала Ф и нормальной компоненты электрической индукции Dj [3, 14]:
Здесь и далее штрихованные переменные относятся к области вакуума. 2) Поверхность среды покрыта бесконечно тонким слоем с бесконечной проводимостью. Этот слой не является механической нагрузкой на поверхность, однако закорачивает тангенциальные составляющие электрического поля и предотвращает его проникновение в вакуум. Такая поверхность имеет одинаковый электрический потенциал, который можно считать равным нулю
Метод решения задачи.
Итак, выбирается ортонормированная система координат х/, х2, х3, которая определяет ориентацию поверхности (плоскость xix2) и направление распространения акустической волны (осьх;) (рис. 1.1).
Положение этой системы координат относительно кристаллофизической системы координат кристалла выражалось известным способом с помощью матрицы преобразования [39-41]. В новой системе координат вид уравнений не менялся, за исключением материальных тензоров, компоненты которых пересчитывались стандартным образом [14] через углы Эйлера (рис, 1.2).
Решение будем искать в виде плоских неоднородных волн, распространяющихся вдоль оси х( и имеющих заранее неизвестное распределение амплитуд по оси х3 [4,42]
Противоречия классического термодинамического подхода к определению энергетических характеристик акустических волн
Как показано в первой главе, мгновенное значение полной плотности энергии плоской пьезоактивнои акустической волны, рассчитанное классическим термодинамическим методом [3, 9], зависит от времени и не является интегралом движения [49-52]. Более того, для плоских однородных пьезоактивных волн мгновенные значения плотности потенциальной и кинетической энергий в любой точке среды всегда равны, т.е. плотности этих энергий меняются синфазно [3, 9, 49-52]. Это можно легко показать аналитически на примере плоской объемной акустической волны.
Пусть в однородной неограниченной пьезоэлектрической среде распространяется плоская объемная акустическая волна с частотой и и фазовой скоростью V в направлении х,. Запишем в явном виде выражения для механического смещения и потенциала [3, 9, 14]:
Здесь Uj и Ф0 - это амплитуды механического смещения и потенциала, которые являются действительными числами. Как уже отмечалось в главе 1 физический смысл механического смещения и электрического потенциала будут иметь только действительные части этих выражений: Как показано в п.1.2 данной диссертации мгновенная плотность полной энергии равна
Таким образом, колебания кинетической и потенциальной энергий плоских объемных акустических волн всегда происходят в одной фазе, т.е. полная энергия некоторого элементарного объема пьезоэлектрической среды зависит от времени и не является с интегралом движения. Этот результат совпадает с известным выводом для непьезоактивных акустических волн [15, 16].
Однако этот факт не совсем понятен с физической точки зрения, поскольку нет традиционного для колебательных процессов перехода кинетической энергии в потенциальную, и наоборот [20, 62]. Этот вывод непонятен таїоке и с математической точки зрения, поскольку уравнение движения упруго деформированной среды (1.1) для фиксированной точки среды говорит о том, что в любой момент времени сила инерции компенсируется возвращающей силой, что характерно для традиционных колебательных процессов, таких как математический пружинный маятник, электрический колебательный контур, и т.п. Во всех этих случаях полная энергия системы постоянна во времени [20, 62].
Тем не менее, совпадение мгновенных значений плотностей потенциальной и кинетической энергий не является обязательным условием распространения механических волн. Существуют такие механические волны, в которых полная энергия единицы объема сохраняется во времени. Примером служат гравитационные волны в жидкости [19, 20]. Рассмотрим процесс распространения гравитационных волн более подробно с соответствие с [19, 20].
Как известно, движение идеальной несжимаемой жидкости в поле силы тяжести подчиняется уравнению Эйлера:
Здесь v - скорость движения элементарного объема жидкости, р - плотность жидкости (постоянная, не зависящая от глубины), р - давление в данной точке жидкости, g - ускорение свободного падения. Будем считать движение жидкости потенциальным:
Методы расчета скорости переноса энергии акустической волны в пьезоэлектрике и сравнение ее с групповой скоростью
Как известно, любой волновой процесс сопровождается переносом энергии. В данном разделе будут рассмотрены методы расчета скорости переноса энергии различных типов акустических волн в пьезоэлектриках и проведено сравнение с соответствующей групповой скоростью.
В главе 1 было введено понятие полной мгновенной плотности энергии плоской акустической волны Ws (1.40). Вследствие закона сохранения энергии при отсутствии диссипативных потерь изменение во времени энергии некоторого объема V возможно только за счет "протекания 1 части энергии через границу этого объема Здесь вектор і 5 определяет полную плотность потока энергии, а Р5,, - это проекция вектора Ps на внешнюю нормаль к поверхности S. Используя теорему Остроградского-Гаусса, можно получить дифференциальную формулировку этого закона сохранения энергии Как известно, практически важной энергетической характеристикой акустической волны является скорость переноса энергии. Для однородных волн она определяется как отношение усредненного по времени потока мощности PS к усредненной по времени полной плотности энергии WS волны в фиксированной точке пространства Для однородных волн в пьезокристаллах аналитически показано, что скорость переноса энергии, называемая также лучевой скоростью, всегда совпадает с групповой скоростью соответствующей волны, если в среде отсутствует диссипация энергии [8].
Что касается неоднородных волн, то их скорость переноса энергии определяется как: усредненные по времени поток мощности и полная энергия волны на единичную апертуру. Таким образом, для определения скорости переноса энергии неоднородных воли необходимо рассчитать зависимости всех механических и электрических величин волны от координаты, нормальной к границе раздела; рассчитать мгновенные значения плотности потока мощности и плотности полной энергии волны в данной точке в соответствии с формулами (1.67), (1.66); проинтегрировать эти величины по координате, нормальной к границе раздела, и усреднить их по времени. Очевидно, что поскольку все вышеперечисленные переменные определяются только численным образом, то формула (3.4) не дает аналитического выражения, и поэтому проверка совпадения скорости переноса энергии и групповой скорости может быть проведена только численным образом для конкретных материалов и типов волн.
В работе проанализированы поверхностные акустические волны Рэлея, Гуляева - Блюстейна, а также симметричные, антисимметричные и поперечно-горизонтальные волны в пьезоэлектрических пластинах. При этом использовались такие материалы как танталат лития, ниобат лития и ниобат калия различных кристаллографических ориентации, при которых указанные волны проявляли максимальную пьезоактивность.
