Содержание к диссертации
Введение
1 Методы исследования фазовой мультистабильности 19
1.1 Метод фазовой редукции Курамото применительно к анализу фазовой мультистабильности 20
1.2 Метод отображения разности фаз 31
1.3 Численный метод построения замкнутой кривой в сечении резонансного тора при множественности синхронных режимов . 33
1.4 Геометрическая и силовая интерпретация связи 38
1.5 Выводы по главе 1 42
2 Субгармонический механизм фазовой мультистабильности 46
2.1 Фазовая мультистабильность при взаимодействии систем, демонстрирующих бифуркации удвоения периода 49
2.1.1 Генератор с инерционной нелинейностью 49
2.1.2 Результаты по системе Ресслера 52
2.2 Фазовая мультистабильность в режиме резонансной автомодуляции 61
2.3 Фазовая мультистабильность с точки зрения резонансов на торе 67
2.4 Фазовая мультистабильность в математической модели парных нефронов 76
2.4.1 Устройство нефрона и упрощенная схема его работы. 82
2.4.2 Уравнения математической модели нефрона 83
2.4.3 Типы связи и математическая модель парных нефронов 88
2.4.4 Сосуществующие синхронные режимы 93
2.5 Выводы по главе 2 101
3 Роль локальной неизохронности в формировании множественных синхронных режимов 103
3.1 Режимы синхронизации нейронных осцилляторов на пороге рождения колебаний 105
3.2 Механизм формирования дополнительных синхронных режимов в связанных сильнонелинейных осцилляторах Ван-дер-Поля 117
3.3 Фазовая мультистабильность при субгармоническом каскаде: влияние вектора связи 129
3.4 Выводы по главе 3 144
Заключение 146
Литература 149
Благодарности 160
- Метод фазовой редукции Курамото применительно к анализу фазовой мультистабильности
- Численный метод построения замкнутой кривой в сечении резонансного тора при множественности синхронных режимов
- Фазовая мультистабильность в математической модели парных нефронов
- Механизм формирования дополнительных синхронных режимов в связанных сильнонелинейных осцилляторах Ван-дер-Поля
Введение к работе
Синхронизация автоколебаний - одно из фундаментальных явлений в естествознании оно присуще системам самой разнообразной физической природы [1-3]. Эффект синхронизации периодических автоколебаний был открыт Гюйгенсом еще в XVII веке [4,5] .
Классические представления о явлении синхронизации в теории колебаний включают понятие захвата разности фаз ( и как следствие захвата частот) периодических колебаний взаимодействующих автоколебательных систем [1,6]
Различают внешнюю (вынужденную) и взаимную синхронизацию периодических колебаний. В первом случае управляемый генератор находится под воздействием внешнего периодического сигнала (например, порождаемого управляющим генератором), во втором - эффект синхронизации реализуется при взаимной связи между генераторами.
В спектре регулярных (периодических и квазипериодических) колебаний легко выделить основные частоты, однозначно связанные с характерными временами (периодом, квазипериодом) и фазами колебаний. При захвате частот происходит стабилизация фазового сдвига между взаимодействующими модами. Характерные времена также становятся равными или кратными.
В отсутствие синхронизации общий колебательный режим взаимодействующих автогенераторов является квазипериодическим. Фазовая траектория представляет собой эргодическую «обмотку» на поверхности двумерного тора. Эффекту захвата частот и фаз при синхронизации периодических колебаний с точки зрения теории динамических систем соответствует седло-узловая бифуркация циклов на двумерном торе, в результате которой аттрактор (устойчивый колебательный режим) претерпевает качественную перестройку: вместо эргодического движения на двумерном торс возникает устойчивый предельный цикл.
Число вращения Пуанкаре в режиме синхронизации рационально и равно отношению двух целых чисел. Области существования устойчивого резонансного цикла в пространстве управляющих параметров называются областями синхронизации. На плоскости управляющих параметров (расстройка частот - сила связи) резонансным областям соответствуют клювообразпыс области с рациональными значениями числа вращения, также называемые «языками Арнольда» [7,8].
Открытие хаотических колебаний в детерминированных динамических системах различной природы послужило поводом для множества теоретических и экспериментальных работ, в том числе и по синхронизации хаотических колебаний. При исследовании подобных систем наблюдаются как вынужденная синхронизация хаотических колебаний, так и их взаимная синхронизация. Понимание сложного поведения неавтономных и связанных систем с хаотической динамикой затруднялось отсутствием единого подхода к проблеме синхронизации хаоса. У различных исследователей под хаоти-
ческой синхронизацией понимался либо переход в результате внешнего воздействия от хаотических колебаний к регулярным [9-11], либо установление [12-14] синфазных колебаний в каждом из парциальных связанных генераторов, либо их топологическая эквивалентность. Однако, в [15] было предложено обобщить классическое понимание синхронизации (захват или подавление собственных колебаний) на хаотические колебания. Было показано, что эти классические механизмы синхронизации хорошо «работают» для аттракторов седло-фокусного типа ( аттрактора, возникшего в результате каскада бифуркаций удвоения, в спектре которого ярко выражен пик на основной частоте). В [16-18] в рамках классического подхода к явлению синхронизации развивается представление о захвате фаз хаотических осцилляторов.
В последние годы круг представлений о синхронизации был существенно пополнен открытием стохастической синхронизации [19,20]. В отличие от синхронизации детерминированных систем при взаимодействии стохастических осцилляторов разность фаз не может быть постоянной в течение сколь угодно долгого времени. В этом случае необходимо использовать понятие эффективной синхронизации с учетом ограничений на флуктуации фазы и частоты [21]. Наиболее жесткое определение эффективной синхронизации накладывает условие значительно большего среднего времени захвата фаз синхронизуемых колебаний по сравнению с их периодом [22]. В обзоре [23] была показана непосредственная взаимосвязь эффекта стохастической синхронизации и стохастического резонанса. Отмечалось, что благодаря эффекту стохастической синхронизации переключений бистабильной системы и периодического сигнала воздействия наблюдается область значений интенсивности
шума в пределах которой которой средняя частота переключений постоянна и равна частоте модуляции.
Принципиальная возможность синхронизации стохастических колебаний возбудимых систем была недавно показана в работах [24-26]. Затем, в работе [27] было экспериментально показано, что две диффузионно связанные возбудимые системы способны демонстрировать явление синхронизации, выражающееся как в виде захвата пиков в их Фурье-спектрах, так и захвата (на конечных временах) мгновенной разности фаз этих стохастических осцилляторов.
Благодаря проведенным в [23] исследованиям стало ясно, что эффект стохастической синхронизации неразрывно связан с увеличением степени порядка в динамике системы. В случае синхронизации переключений бистабилыюй системы именно эта взаимосвязь обуславливает эффект стохастического резонанса.
Как правило, при изучении задач синхронизации изучается собственно переход от асинхронных колебаний к режиму, когда их характеристики (частота и фаза) согласованы. При этом структура колебательных режимов в области синхронизации (по крайней мере при не слишком сильной связи) считается относительно простой и соответствующей индивидуальной динамике каждого из осцилляторов (которые обычно однотипны). Однако, это справедливо далеко не всегда. В ряде случаев может наблюдается несколько одновременно устойчивых синхронных режимов, т.е., имеет место режим мультистабилыю-сти.
Мультистабильность вообще, как одновременная устойчивость нескольких
режимов является одним из типичных эффектов в нелинейных динамических системах. При синхронизации колебаний связанных осцилляторов имеет место так называемая фазовая мулътистабилъностъ, при которой сосуществующие синхронные режимы характеризуются практически одним и тем же колебательным режимом в каждом из взаимодействующих осцилляторов, но различаются величиной сдвига фаз колебаний между ними.
Эффект фазовой мультистабилыюсти впервые был обнаружен в системах с удвоениями периода. Как было установлено [28,29], каскад бифуркаций удвоения периода в идентичных связанных системах сопровождается ростом числа устойчивых режимов, как регулярных, так и хаотических, которые различаются между собой величиной сдвига фаз колебаний. А именно, для исходных (порождающих) периодических колебаний с периодом То разность фаз фо между парциальными системами составляет фа ± 2-кк, к = 1,2,... Однако, для колебаний удвоенного периода 2То, в спектре которых появилась субгармоника о;о/2, разности фаз фо и фо±2п соответствуют два различных предельных цикла в фазовом пространстве взаимодействующих осцилляторов. Количество возможных предельных циклов для режимов колебаний с периодом 2кТо возрастает до 2к. Они отличаются фазовым сдвигом между парциальными осцилляторами, который может принимать значения фо + 2imi, где m = 0,1,2,..., 2к — 1.
Эффект фазовой мультистабилыюсти сохраняется и для слабого хаоса, соответствующего т.н. ленточным хаотическим аттракторам. Иерархия колебательных режимов при фазовой мультистабилыюсти в идентичных системах с диссипативпой связью была подробно исследована В.В. Безручко с соавтора-
ми при численном моделировании динамики связанных логистических отображений [28,29] и в экспериментах с синфазно возбуждаемыми нелинейными радиотехническими контурами [30]. Обнаруженная иерархия режимов обладает определенными чертами универсальности, которые проявляются также и при безынерционном взаимодействии автоколебательных систем [31].
В последующих работах [15,32,33] была изучена структура разбиения пространства параметров и типичные бифуркации сосуществующих семейств режимов. В [34] показано, что па плоскости параметров расстройка-степень связи явлению фазовой мультистабилыюсти для систем с удвоениями отвечает структура вложенных областей синхронизации, берущих начало в одной и той же точке по параметрам.
Перечисленные выше результаты «работают» в поддержку гипотезы, согласно которой при заданных характеристиках связи количество сосуществующих синхронных режимов определяется прежде всего формой колебаний взаимодействующих осцилляторов, а именно, числом локальных максимумов на периоде колебаний, совпадение которых при некоторых значениях сдвига фаз между взаимодействующими осцилляторами и порождает синхронный режим. Спектр таких колебаний характеризуется наличием субгармоник основной (базовой) частоты, имеющих меньшую амплитуду. При синхронизации на основном тоне все частоты субгармоиик в каждом из взаимодействующих осцилляторов также оказываются синхронизованы, будучи привязаны к основной частоте. Таким образом, фиксированному фазовому сдвигу на основном тоне колебаний отвечает набор различных фазовых сдвигов на суб-гармоииках. Число таких вариантов сдвига фаз определяется субгармоникой
иаименьшсй частоты, которая и определяет период колебаний. В силу вышесказанного, можно говорить о субгармоническом механизме формирования фазовой мультистабильности.
Однако, попытка проанализировать с этих позиций синхронизацию т.н. bursting- колебаний, которые представляют собой периодически повторяющиеся цуги быстрых импульсов - спайков, потерпела неудачу [35]. Главный вывод работы [36], по сути, в том, что нельзя подходить к анализу взаимодействия bursting-колебаний с учетом одной их формы или спектрального состава. Такой подход к анализу фазовой мультистабильности далеко не всегда допустим.
С другой стороны, имеется информация о том, что даже при простой форме колебаний и слабой диффузионной связи модели нейронных осцилляторов могут синхронизоваться в противофазе [37-39], либо иметь два одновременно устойчивых режима [40,41], что обусловлено рядом эффектов, порожденных неоднородностью поля фазовой скорости, которая, в свою очередь, определяется высокой степенью релаксационности колебаний в таких моделях либо особенностями их нелинейных свойств (локальная неизохронность). Очевидно, такие свойства взаимодействующих автоколебательных систем могут влиять на характеристики фазовой мультистабильности, существенно изменяя количество, фазовые сдвиги и устойчивость синхронных режимов.
Таким образом, эффект фазовой мультистабильности важен для понимания проявлений синхронизации в самых разнообразных случаях, особенно - при исследовании взаимодействия моделей автоколебательных систем из различных прикладных областей (сложная форма колебаний, большая раз-
мерность). В то же время, этот эффект требует дальнейшего исследования: имеется ряд открытых вопросов, как по степени общности уже выявленных механизмов, так и по особенностям формирования множественных синхронных режимов при взаимодействии осцилляторов различных типов. Вышесказанное обосновывает актуальность исследований в этой области и послужило основанием для постановки цели и задач диссертационного исследования.
Цель диссертационной работы заключается в изучении механизмов формирования фазовой мультистабильности и исследовании характеристик сосуществующих синхронных режимов взаимодействующих осцилляторов различных типов.
Для достижения указанной цели необходимо решить следующие основные задачи:
Разработать набор средств для исследования фазовой мультистабильности путем адаптации известных и разработки специальных численных методов, провести их тестирование на ранее изученных задачах.
Исследовать степень общности субгармонического механизма фазовой мультистабильности и применимость для различных типов колебательных режимов. Установить его связь с известными механизмами синхронизации и интерпретацию с точки зрения бифуркаций торов в фазовом пространстве.
Выявить основные типы влияния неизохронных свойств осцилляторов на формирование множественных синхронных режимов, исследовать их зависимость от параметров диффузионной связи.
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех
глав, заключения и списка цитированной литературы.
Во Введении обосновывается актуальность работы, определяются цели исследования, ставятся основные задачи, раскрывается научная новизна полученных результатов и формулируются положения, выносимые на защиту.
В первой главе обсуждаются методики исследования фазовой мультиста-бильности. Описывается алгоритм расчета функции фазовой чувствительности, основанный на методе Курамото и его применение для анализа фазовой мультистабилыюсти.
Приведена разработанная в ходе исследований методика численного построения отображения разности фаз, что позволяет анализировать наличие и устойчивость сосуществующих синхронных режимов при произвольной степени связи.
Описана разработанная автором программа для анализа взаиморасположения набора устойчивых предельных циклов (как образа сосуществующих синхронных режимов) и инвариантной кривой в сечении резонансного тора. Особенностью алгоритма является совместное использование метода фазовой редукции для начального поиска набора седловых циклов и алгоритма Ньютона -Рафсона для «протяжки» по параметру связи в область его конечных значений, что позволило автоматизировать выявление всех седловых циклов на поверхности тора.
Во второй главе приводятся результаты тестирования численных методик применительно к ранее исследованному случаю фазовой мультистабилыюсти при последовательности бифуркаций удвоения периода. Показана адекватность получаемых результатов на примере двух модельных систем:
генератора Анищенко-Астахова и осциллятора Ресслера.
Отработанная методика анализа применялась для исследования фазовой мультистабилыюсти в случае, когда каждый из взаимодействующих осцилляторов находился в режиме резонансной автомодуляции. Установлена связь между числом синхронных режимов и числом вращения для каждой их взаимодействующих подсистем. Построены множественные области синхронизации для соотношения частот 1:1 и выявлены особенности их взаиморасположения.
С помощью численных методик проанализировано взаиморасположение предельных циклов, отвечающих устойчивым и неустойчивым синхронным режимам и инвариантной кривой в сечении резонансного тора. Построены зависимости значений старшего мультипликатора циклов в зависимости от соотношения частот взаимодействующих осцилляторов.
Изучаются механизмы формирования сосуществующих синхронных режимов в математической модели парных нефронов, проводится сопоставление с результатами, полученными при исследовании фазовой мультистабилыюсти в режиме резонансной автомодуляции.
Третья глава посвящена исследованию механизмов появления дополнительных режимов синхронизации (помимо синфазного синхронного режима) при сильной нелинейности взаимодействующих осцилляторов ( релаксационные колебания), и проявлений таких механизмов при вариации характеристик диффузионной связи.
В частности, исследован эффект появления противофазного синхронного режима в связанных нейронных моделях ФитцХью-Нагумо. Построены
области устойчивости дополнительных синхронных режимов на плоскости управляющих параметров индивидуального осциллятора. Установлена зависимость проявления исследуемых эффектов от близости к точке бифуркации Андропова-Хопфа.
Для связанных генераторов Ван-дер-Поля выявлен и исследован механизм формирования дополнительной пары синхронных режимов с ненулевым сдвигом фаз. Предложена геометрическая интерпретация обнаруженного эффекта в терминах формирования т.н. «медленного канала», который представляет собой область замедления фазовой траектории в окрестности двух асимптотически сближающихся нульклин на фазовой плоскости.
В рамках гипотезы о влиянии описанных выше эффектов на изменение числа синхронных режимов, изучались характерные особенности синхронизации модельных систем при вариации направления вектора диффузионной связи, что достигалось изменением относительного вклада связи по каждой из динамических переменных. Выявлена связь наблюдаемого изменения числа сосуществующих синхронных режимов с проявлением эффектов локальной иеизохроиности (локальная неоднородность поля фазовой скорости) индивидуального осциллятора).
В Заключении сформулированы основные результаты диссертационной работы.
Материалы диссертации изложены на 160 страницах, содержат 57 рисунков и список цитированной литературы из 83 наименований.
Научная новизна результатов работы заключается в следующем:
1. Впервые эффект фазовой мультистабилыюсти обнаружен и исследован
применителыю к взаимодействующим осцилляторам в режиме резонансной автомодуляции.
Впервые показано, что при конечной (не исчезающей слабой) степени связи взаимодействующих осцилляторов в режиме фазовой мультистабиль-ности устойчивые и неустойчивые многообразия набора предельных циклов объединены в гетероклиническую замкнутую поверхность, совпадающую с сечением Пуанкаре резонансного тора.
Впервые найдена и исследована ситуация, при которой семейство языков Арнольда для основного резонанса имеет помимо вложсешой (что было известно ранее) также и перекрывающуюся структуру. Предложено объяснение в виде различных сценариев перемещения и бифуркаций различных пар предельных циклов на поверхности резонансного тора.
Впервые показано, что количество сосуществующих колебательных режимов в модели парных нефронов при васкулярной связи определяется соотношением частот быстрой и медленной моды колебаний.
Обнаружен новый эффект формирования дополнительной пары устойчивых синхронных режимов при взаимодействии силыюпелипейных осцилляторов Ван-дср-Поля, обусловленный формированием т.н. «медленного канала» в окрестности двух асимптотически сближающихся нульклин.
Впервые исследованы особенности синхронизации трехмерных моделей осцилляторов при плавном изменении направления вектора диффузионной связи и выявлены закономерности изменения числа устойчивых режимов.
Достоверность научных выводов работы подтверждается соответствием результатов аналитических исследований и численного моделирова-
иия, а также сопоставлением ряда полученных выводов с известными из литературы данными.
На защиту выносятся следующие положения и результаты:
Режиму резонансной автомодуляции в каждом из взаимодействующих осцилляторов отвечает формирование набора сосуществующих колебательных режимов, различающихся сдвигом фаз между осцилляторами. На плоскости управляющих параметров расстройка частот - степень связи имеет место структура из вложенных и частично перекрывающихся областей синхронизации.
Для связанных осцилляторов в режиме фазовой мультистабильности типичной является ситуация, когда сосуществующие синхронные режимы лежат на поверхности резонансного тора. При этом изменению параметра расстройки частот взаимодействующих осцилляторов в пределах области резонанса отвечает перемещение и попарное исчезновение циклов на поверхности тора, а зависимость значения старшего нетривиального мультипликатора цикла от параметра расстройки имеет вид многооборотной петли.
Наряду с субгармоническим механизмом фазовой мультистабильности, локальная неизохронность колебаний является важным фактором, определяющим количество сосуществующих синхронных режимов при взаимодействии идентичных автоколебательных систем в условиях слабой диффузионной связи. Совместное действие двух упомянутых механизмов приводит к изменению количества устойчивых синхронных режимов и их характеристик при вариации действия связи.
Научію-практическая значимость результатов.
Разработан набор программных методов для исследования фазовой мультистабильности, применимый в том числе для многомерных систем, что делает его полезным при исследовании реалистичных математических моделей из различных прикладных областей (в частности, для моделей авторегуляции почечного кровотока и для моделей спайк-берст нейронов).
В силу своей общности, установленные закономерности и механизмы призваны облегчить понимание сложной динамики, наблюдаемой при взаимодействии осцилляторов различных типов, в том числе в режиме динамического хаоса, а также в присутствии шума.
Проведенные исследования дают дополнительные аргументы в пользу включения материалов по фазовой мультистабильности в программы соответствующих лекционных курсов и учебных пособий, что призвано способствовать лучшему пониманию явления синхронизации во всех его аспектах.
Апробация работы и публикации. Основные результаты работы докладывались на:
международной конференции «Contemporary problems of microwave electronics and radiophysics» (Саратов, 2001);
международной конференции «Nonlinear science festival HI» (Дания, 2001);
шестой международной конференции «Chaos'2001» (Саратов, 2001);
пятой научной конференции студентов-радиофизиков (Санкт-Петербург, 2001);
международной конференции «Synchro'2002» (Саратов, 2002);
международной конференции «PHYSICS AND CONTROL - PhysCon 2003» (Санкт-Петербург, 2003);
конференции «Нелинейные дни в Саратове для молодых - NDSY'03» (Саратов, 2003);
седьмой международной конференции «Chaos'2004» (Саратов, 2004);
международной конференции «Complex Dynamics and Fluctuations in Biomedical Photonics II» (Сан-Хосе, США, 2005),
а также на научных семинарах кафедры радиофизики и нелинейной динамики СГУ. Исследования, проведенные в ходе выполнения диссертационной работы были частично поддержаны грантами РФФИ 01-02-16709, РФФИ 04-02-16769, INTAS 01-2061 и CRDF REC-006.
По теме диссертации в международной и российской печати опубликовано 9 работ (4 статьи и 5 тезисов докладов).
Метод фазовой редукции Курамото применительно к анализу фазовой мультистабильности
Приведена разработанная в ходе исследований методика численного построения отображения разности фаз, что позволяет анализировать наличие и устойчивость сосуществующих синхронных режимов при произвольной степени связи.
Описана разработанная автором программа для анализа взаиморасположения набора устойчивых предельных циклов (как образа сосуществующих синхронных режимов) и инвариантной кривой в сечении резонансного тора. Особенностью алгоритма является совместное использование метода фазовой редукции для начального поиска набора седловых циклов и алгоритма Ньютона -Рафсона для «протяжки» по параметру связи в область его конечных значений, что позволило автоматизировать выявление всех седловых циклов на поверхности тора.
Во второй главе приводятся результаты тестирования численных методик применительно к ранее исследованному случаю фазовой мультистабилыюсти при последовательности бифуркаций удвоения периода. Показана адекватность получаемых результатов на примере двух модельных систем: генератора Анищенко-Астахова и осциллятора Ресслера.
Отработанная методика анализа применялась для исследования фазовой мультистабилыюсти в случае, когда каждый из взаимодействующих осцилляторов находился в режиме резонансной автомодуляции. Установлена связь между числом синхронных режимов и числом вращения для каждой их взаимодействующих подсистем. Построены множественные области синхронизации для соотношения частот 1:1 и выявлены особенности их взаиморасположения.
С помощью численных методик проанализировано взаиморасположение предельных циклов, отвечающих устойчивым и неустойчивым синхронным режимам и инвариантной кривой в сечении резонансного тора. Построены зависимости значений старшего мультипликатора циклов в зависимости от соотношения частот взаимодействующих осцилляторов.
Изучаются механизмы формирования сосуществующих синхронных режимов в математической модели парных нефронов, проводится сопоставление с результатами, полученными при исследовании фазовой мультистабилыюсти в режиме резонансной автомодуляции. Третья глава посвящена исследованию механизмов появления дополнительных режимов синхронизации (помимо синфазного синхронного режима) при сильной нелинейности взаимодействующих осцилляторов ( релаксационные колебания), и проявлений таких механизмов при вариации характеристик диффузионной связи.
В частности, исследован эффект появления противофазного синхронного режима в связанных нейронных моделях ФитцХью-Нагумо. Построены области устойчивости дополнительных синхронных режимов на плоскости управляющих параметров индивидуального осциллятора. Установлена зависимость проявления исследуемых эффектов от близости к точке бифуркации Андропова-Хопфа.
Для связанных генераторов Ван-дер-Поля выявлен и исследован механизм формирования дополнительной пары синхронных режимов с ненулевым сдвигом фаз. Предложена геометрическая интерпретация обнаруженного эффекта в терминах формирования т.н. «медленного канала», который представляет собой область замедления фазовой траектории в окрестности двух асимптотически сближающихся нульклин на фазовой плоскости.
В рамках гипотезы о влиянии описанных выше эффектов на изменение числа синхронных режимов, изучались характерные особенности синхронизации модельных систем при вариации направления вектора диффузионной связи, что достигалось изменением относительного вклада связи по каждой из динамических переменных. Выявлена связь наблюдаемого изменения числа сосуществующих синхронных режимов с проявлением эффектов локальной иеизохроиности (локальная неоднородность поля фазовой скорости) индивидуального осциллятора).
В Заключении сформулированы основные результаты диссертационной работы.
Материалы диссертации изложены на 160 страницах, содержат 57 рисунков и список цитированной литературы из 83 наименований.
Научная новизна результатов работы заключается в следующем: 1. Впервые эффект фазовой мультистабилыюсти обнаружен и исследован применителыю к взаимодействующим осцилляторам в режиме резонансной автомодуляции. 2. Впервые показано, что при конечной (не исчезающей слабой) степени связи взаимодействующих осцилляторов в режиме фазовой мультистабиль-ности устойчивые и неустойчивые многообразия набора предельных циклов объединены в гетероклиническую замкнутую поверхность, совпадающую с сечением Пуанкаре резонансного тора. 3. Впервые найдена и исследована ситуация, при которой семейство языков Арнольда для основного резонанса имеет помимо ВЛОЖСЕШОЙ (ЧТО было известно ранее) также и перекрывающуюся структуру. Предложено объяснение в виде различных сценариев перемещения и бифуркаций различных пар предельных циклов на поверхности резонансного тора. 4. Впервые показано, что количество сосуществующих колебательных режимов в модели парных нефронов при васкулярной связи определяется соотношением частот быстрой и медленной моды колебаний. 5. Обнаружен новый эффект формирования дополнительной пары устойчивых синхронных режимов при взаимодействии силыюпелипейных осцилляторов Ван-дср-Поля, обусловленный формированием т.н. «медленного канала» в окрестности двух асимптотически сближающихся нульклин. 6. Впервые исследованы особенности синхронизации трехмерных моделей осцилляторов при плавном изменении направления вектора диффузионной связи и выявлены закономерности изменения числа устойчивых режимов.
Численный метод построения замкнутой кривой в сечении резонансного тора при множественности синхронных режимов
Когда связь становится настолько сильной, что приводит к заметному изменению геометрии предельного цикла, метод фазовой редукции не может использоваться. Для таких ситуаций был разработан численный метод, позволяющий строить одномерное отображение разности фаз. Он основан на введении в качестве начального условия некоторого временного сдвига между колебаниями подсистем и последующего анализа динамики взаимных фаз генераторов. Если с течением времени устанавливается синхронный режим, то сдвиг фаз стабилизируется па некотором значении. Это значение может быть различным в зависимости от начальных условий, что и говорит о наличии фазовой мультистабилыюсти. На рисунке 1.6 приведен пример, когда в зависимости начальных условий сдвиг фаз стабилизируется на двух различных значениях, что свидетельствует о том, что имеется два устойчивых синхронных режима. Подходящим перебором начальных условий можно аппроксимировать поведение системы для всего диапазона изменения разности фаз. Наиболее предпочтительным выбором начальных условий является перебор всевозможных сдвигов фаз между подсистемами, когда обе подсистемы находятся па предельном цикле. Данный выбор позволяет избежать существенных деформаций предельного цикла и не требует расчетов, связанных с временем выхода траектории на предельный цикл.
Отображая эти результаты в виде графика зависимости Аф(Ь+т) от Аф(і) (где г- интервал между измерениями фазы не обязательно равный периоду), получаем одномерное отображение сдвига фаз, соответствующее дискретно -33 му временному шагу т (Рис. 1.7 а). Очевидно, каждая устойчивая точка такого отображения должна соответствовать устойчивому синхронному режиму колебаний, а их бифуркации должны отражать изменения в количестве и устойчивости таких синхронных режимов.
Заметим, что отображение разности фаз можно выразить и через Г Л Для двух связанных идентичных осцилляторов поведение разности фаз удовлетворяет соотношению [42]: Принимая для достаточно малых, но конечных т: dt = т и 1(Аф) — (Д +т — Афь) получим: Полученное выражение соответствует тем результатам, которые дает численное построение отображения разности фаз в условиях исчезающей слабой связи (рис. 1.7 Ь). Как уже отмечалось, эффект фазовой мультистабильности сопряжен с появлением сосуществующих синхронных режимов, которые различаются между собой величиной сдвига фаз колебаний. Этим режимам соответствуют устойчивые и неустойчивые(седловые) циклы в фазовом пространстве. Посколь -34 ку математическим образом колебаний двух взаимодействующих автоколебательных систем в фазовом пространстве является двумерный тор, одним из важнейших вопросов является выяснение того, как соотносится режим фазовой мультистабильности со структурой резонансного тора. Необходимо было выяснить, лежат ли все сосуществующие синхронные режимы на поверхности резонансного тора, а если нет - то при каких условиях? В рамках данной диссертации была разработана программа, реализующая комбинированный подход к расчету сечения замкнутой инвариантной кривой в сечении резонансного тора. Программа создана для выявления бифуркационных механизмов, сопутствующих развитию фазовой мультистабильности. Блок-схема созданной программы изображена на рисунке 1.8. На первом этапе берутся п уравнений одиночного осциллятора: описанного в 1.1, рассчитывается антисимметричная часть Теа (Аф) функции эффективной связи: Расчеты антисимметричной части функции эффективной связи проводятся при связи по каждой из переменных системы. Данная функция позволяет определить количество устойчивых и неустойчивых синхронных режимов, а также соответствующие сдвиги фаз. рассчитываются начальные условия, соответствующие устойчивым и неустойчивым синхронным режимам. Эти начальные условия принимаются в качестве исходной аппроксимации для случая конечной (но достаточно слабой) связи. Они уточняются с помощью алгоритма Ньютона-Рафсона [43], реализующего шаги последовательных приближений к истинному решению уравнения f(x) — 0, которые вычисляются с помощью производной от f(x): Вводится нулевая итерация XQ В этой точке методом конечных разностей вычисляется производная Пользуясь разложением Тейлора, f(x) заменяется в окрестности точки касательной - прямой линией f(xo) + f (xo)(x — хо) Определяется точка, в которой прямая пересекает ось Эта точка принимается за новую итерацию, и цикл повторяется: строится касательная, точка ее пересечения с осью и т.д., пока корень не будет найден с нужной точностью Модификация алгоритма Ньютона для решения системы нескольких уравнений заключается в линеаризации соответствующих функций многих переменных, т. е. аппроксимации их линейной зависимостью с помощью частных производных. Например, для нулевой итерации в случае системы двух уравнений.
Фазовая мультистабильность в математической модели парных нефронов
В модели (2.2) в области малых значений параметра g при вариации остальных управляющих параметров могут быть найдены режимы резонансной автомодуляции с различным соотношением частот быстрой и медленной мод колебаний (Рис. 2.9) [52-54]. Для целей нашего исследования был выбран режим, характеристики которого приведены на Рис. 2.10 а и Ь. Как можно видеть, на один период колебаний здесь приходится шесть периодов быстрой моды. В трехмерном фазовом пространстве модели (2.2) предельный цикл имеет сложную форму. Динамика системы характеризуется при этом быст -62 рым вращением в плоскости (х, у) и относительно медленным изменением переменной Z.
На рис 2.11 приведена диаграмма, показывающая область устойчивости режима резонансной автомодуляции 1:6 на плоскости параметров т (диссипация) и д (инерционное ограничение амплитуды). По сравнению с областями хаотических режимов, данный режим имеет относительно малую область устойчивости. При изменении параметров т и д на границах области устойчивости он либо исчезает в результате седлоузловой бифуркации ( и система уходит на другой режим), либо претерпевает последовательность бифуркаций удвоения периода с последующим переходом к хаосу.
Результаты расчета эффективной функции связи приведены на Рис. 2.12. Как можно видеть, при связи осцилляторов по переменной х имеется шесть (по числу локальных максимумов) устойчивых синхронных режимов [53]. Так как расчет функции эффективной связи дает информацию о поведении осцилляторов в приближении бесконечно слабого взаимодействия, представляет интерес проверить полученные результаты при малой, но конечной силе связи. Рисунок 2.12 дает шесть значений сдвига фаз, которым должны соответствовать шесть сосуществующих синхронных режимов. Используя эти значения для задания начальных условий и интегрируя уравнения модели в течение времени, достаточного для выхода на аттрактор, можно найти соответствующие режимы колебаний для случая конечной связи. Полученные таким образом режимы приведены на Рис. 2.13. Как можно видеть, все обнаруженные синхронные режимы характеризуются синфазными колебаниями осцилляторов на быстрой моде колебаний, тогда как фазовый сдвиг по полному периоду колебаний дает значения, практически совпадающие с результатами расчета функции эффективной связи.
Из результатов Рис. 2.13, можно заключить, что для Кх = 0.0005 результаты численного интегрирования и расчета функции эффективной связи хорошо согласуются между собой. В случае более сильной связи достоверную информацию может дать построение отображения разности фаз. На Рис. 2.14 а видно, что при Кх = 0.0005 такое отображение имеет шесть устойчивых неподвижных точек, которые соответствуют шести устойчивым синхронным режимам.
Описанные выше результаты получены для случая полной идентичности взаимодействующих осцилляторов. Следующим шагом в исследовании характеристик фазовой мультистабильности в режиме резонансной автомодуляции было рассмотрение того, каким образом существование набора одновременно устойчивых синхронных режимов соотносится с возможной неиден-тичиостыо взаимодействующих осцилляторов. Как известно, применительно к задачам синхронизации в качестве параметра неидентичности традиционно выбирается различие в индивидуальных частотах колебаний осцилляторов. Простейший способ ввести расстройку по частотам, полностью сохранив при этом зависимость режима колебаний от управляющих параметров - это ввести множитель 1/cdi при производных для каждой из связанных систем (2.3), где г = 1,2- номер системы. Полагая и\ = 1.0, вариацией о можно задавать различное соотношение частот осцилляторов.
В классическом случае взаимодействия квазигармопических осцилляторов, увеличение расстройки по частотам приводит к выходу из области ре -65 зонанса и рассинхронизации колебаний, чему соответствует седло-узловая бифуркация устойчивого и седлового циклов, лежащих на поверхности тора. Для отображения окружности, аналогом которого является рассчитанное нами численно отображение разности фаз, такой переход соответствует слиянию и исчезновению пары неподвижных точек. В изучаемом нами случае, когда имеется несколько сосуществующих синхронных режимов, сценарий рассинхронизации сложнее и включает несколько последовательных бифуркаций.
На Рис. 2.14 b видно, что увеличение частоты колебаний одного из осцилляторов до значения а 2 = 1.001 приводит к исчезновению трех из шести пар неподвижных точек. То есть, исчезновение одного из синхронных режимов приводит лишь к тому, что динамическая система "находит"ближайпшй устойчивый режим, оставаясь при этом в области синхронизации. Очевидно, при плавном увеличении степени расстройки по частотам, чему на Рис. 2.14 соответствует сдвиг отображения вверх либо вниз, количество неподвижных точек последовательно уменьшается. Слияние и исчезновение последней пары неподвижных точек соответствует рассинхронизации осцилляторов.
Таким образом, при вариации расстройки по частотам, набору синхронных режимов должен соответствовать набор областей синхронизации (языков Арнольда). На рис. 2.15 такой набор построен по результатам расчета границ устойчивости для каждой из пар неподвижных точек отображения разности фаз при связи осцилляторов по ж-переменной.
Механизм формирования дополнительных синхронных режимов в связанных сильнонелинейных осцилляторах Ван-дер-Поля
Из результатов Рис. 2.13, можно заключить, что для Кх = 0.0005 результаты численного интегрирования и расчета функции эффективной связи хорошо согласуются между собой. В случае более сильной связи достоверную информацию может дать построение отображения разности фаз. На Рис. 2.14 а видно, что при Кх = 0.0005 такое отображение имеет шесть устойчивых неподвижных точек, которые соответствуют шести устойчивым синхронным режимам.
Описанные выше результаты получены для случая полной идентичности взаимодействующих осцилляторов. Следующим шагом в исследовании характеристик фазовой мультистабильности в режиме резонансной автомодуляции было рассмотрение того, каким образом существование набора одновременно устойчивых синхронных режимов соотносится с возможной неиден-тичиостыо взаимодействующих осцилляторов. Как известно, применительно к задачам синхронизации в качестве параметра неидентичности традиционно выбирается различие в индивидуальных частотах колебаний осцилляторов. Простейший способ ввести расстройку по частотам, полностью сохранив при этом зависимость режима колебаний от управляющих параметров - это ввести множитель 1/cdi при производных для каждой из связанных систем (2.3), где г = 1,2- номер системы. Полагая и\ = 1.0, вариацией о можно задавать различное соотношение частот осцилляторов.
В классическом случае взаимодействия квазигармопических осцилляторов, увеличение расстройки по частотам приводит к выходу из области резонанса и рассинхронизации колебаний, чему соответствует седло-узловая бифуркация устойчивого и седлового циклов, лежащих на поверхности тора. Для отображения окружности, аналогом которого является рассчитанное нами численно отображение разности фаз, такой переход соответствует слиянию и исчезновению пары неподвижных точек. В изучаемом нами случае, когда имеется несколько сосуществующих синхронных режимов, сценарий рассинхронизации сложнее и включает несколько последовательных бифуркаций.
На Рис. 2.14 b видно, что увеличение частоты колебаний одного из осцилляторов до значения а 2 = 1.001 приводит к исчезновению трех из шести пар неподвижных точек. То есть, исчезновение одного из синхронных режимов приводит лишь к тому, что динамическая система "находит"ближайпшй устойчивый режим, оставаясь при этом в области синхронизации. Очевидно, при плавном увеличении степени расстройки по частотам, чему на Рис. 2.14 соответствует сдвиг отображения вверх либо вниз, количество неподвижных точек последовательно уменьшается. Слияние и исчезновение последней пары неподвижных точек соответствует рассинхронизации осцилляторов.
Таким образом, при вариации расстройки по частотам, набору синхронных режимов должен соответствовать набор областей синхронизации (языков Арнольда). На рис. 2.15 такой набор построен по результатам расчета границ устойчивости для каждой из пар неподвижных точек отображения разности фаз при связи осцилляторов по ж-переменной.
Как можно видеть из рисунка, каждому из сосуществующих синхронных режимов действительно соответствует своя область синхронизации треугольной формы, причем все такие области берут начало в одной и той же точке по параметрам. В области небольших Кх, по мере движения по параметру расстройки вправо или влево от значения 1.0, пересечению каждой из линий соответствует уменьшение числа сосуществующих синхронных режимов. Пересечению последней линии соответствует рассинхронизация взаимодействующих осцилляторов. Увеличение параметра связи Кх в пределах каждой из областей приводит к потере устойчивости синхронным режимом через бифуркацию удвоения периода. Последующий (при дальнейшем увеличении Кх) сценарий усложнения колебаний и перехода к хаотическому аттрактору изучался в большом количестве работ и не является предметом нашего исследования.
С точки зрения свойств фазовой мультистабилыюсти, диаграмма на Рис. 2.15 интересна прежде всего тем, что шесть областей синхронизации не просто вложены одна в другую по своим границам (как это было показано в [34] для синхронизации систем с удвоениями периода), но расположены также со сдвигом одна относительно другой. При интерпретации такой структуры в терминах резонансного тора и бифуркаций циклов на нем это приводит к гипотезе, согласно которой на правой и левой границе области синхронизации устойчивый цикл претерпевает седло-узловую бифуркацию с участием двух различных седловых циклов. То есть, в данном случае мы имеем дело не с вложенными языками Арнольда, а с аналогичной, но более сложной структурой. Проверить (или опровергнуть) такие рассуждения можно лишь путем визуализации и исследования в численном эксперименте эволюции замкнутой инвариантной кривой в сечении тора или, что в рамках предложеппой гипотезы одно и то же, перестроек в способе замыкания устойчивых и неустойчивых многообразий циклов, соответствующих устойчивым и неустойчивым режимам синхронизации с различным сдвигом фаз. Такому исследованию посвящен следующий раздел главы.
С помощью разработанной в рамках диссертационных исследований программы, общий алгоритм которой был описай в главе 1, было проведено исследование, направленное на выявление бифуркационных механизмов, сопутствующих развитию фазовой мультистабильности.
Для начала возьмем цикл периода один в генераторе с инерционной иелинсйностыо(2.2). При малом та — 0.5, для двух диффузионно связанных по переменной х генераторов существует один устойчивый и один неустойчивый режим, которым соответствуют один устойчивый и один седловой цикл в фазовом пространстве. Функция эффективной связи демонстрирует это (рис 2.16). В этих условиях, для седлового цикла было построено его неустойчивое многообразие для случая идентичный систем (и = 1.0). Результат приведен на рис 2.16). Видно что, как и следует из теории синхронизации, точки, представляющие устойчивый и седловой циклы лежат на замкнутой инвариантной кривой, образующей сечение Пуанкаре резонансного тора (закрашенный круг соответствует устойчивому режиму, а закрашенный квадрат - седлово-му).
