Содержание к диссертации
Введение
1 Модели. Фаза и частота колебаний. Критерии синхронизации 27
1.1 Базовая конфигурация ансамбля осцилляторов 27
1.2 Основные модели 28
1.2.1 Осциллятор Ван дер Поля 29
1.2.2 Осциллятор Ресслера 30
1.2.3 Система Лоренца 34
1.2.4 Фазовые осцилляторы 36
1.2.5 Отображения для описания колебаний в нейроно-подобных моделях 49
1.3 Критерии синхронизации 51
2 Синхронизация внешним периодическим воздействием 52
2.1 Синхронизация регулярной автоколебательной системы внешней периодической силой 53
2.1.1 Слабое воздействие. Фазовое описание 53
2.1.2 Синхронизация осциллятора Ван дер Поля внешней силой .' 55
2.2 Фазовая синхронизация хаотического осциллятора Ресслера внешним периодическим воздействием 56
2.3 Переход к хаотической фазовой синхронизации. Роль неустойчивых периодических орбит 61
2.4 Вынужденная фазовая синхронизация хаотических колебаний с перемежаемостью 64
2.4.1 Вынужденная синхронизация системы Лоренца 65
2.4.2 Вынужденная синхронизация модельного квадратичного отображения. 66
2.5 Выводы 71
Синхронизация двух связанных систем 74
3.1 Синхронизация периодических осцилляторов 74
3.1.1 Слабая связь. Фазовое приближение 75
3.1.2 Синхронизация связанных осцилляторов Ван дер Поля 78
3.1.3 Синхронизация связанных активных ротаторов 89
3.2 Синхронизация хаотических осцилляторов 90
3.2.1 Фазовая синхронизация осцилляторов Ресслера 92
3.2.2 Синхронизация связанных осцилляторов с хаотической перемежаемостью 105
3.3 Синхронизация связанных отображений окружности 109
3.3.1 Периодическая синхронизация 110
3.3.2 Хаотическая синхронизация 113
3.3.3 Выводы 121
Синхронизация в сетях фазовых осцилляторов 123
4.1 Модели 124
4.2 Однонаправленная связь 126
4.3 Синхронизация в цепочке взаимосвязанных фазовых осцилляторов 135
4.3.1 Синхронизация, кластеризация и мультистабильность в цепочке с линейно распределенными индивидуальными частотами 139
4.3.2 Синхронизационные переходы в сетях со случайно распределенными индивидуальными частотами 144
4.4 Влияние неравномерности вращений на синхронизацию 147
4.5 Синхронизация в цепочке систем маятникового типа 151
4.6 Выводы 154
Синхронизация в ансамблях периодических осцилляторов 157
5.1 Предмет исследования 158
5.2 Кластеры синхронизации и мультистабильность при линейном изменении собственных частот вдоль цепочки 159
5.2.1 Модель 161
5.2.2 Глобальная синхронизация в ансамбле. Стационарные распеделения амплитуд и фаз. Полоса синхронизации 164
5.2.3 Режимы кластерной синхронизации 165
5.2.4 Мультистабильность 174
5.2.5 Осцилляторная смерть 175
5.3 Влияние неоднородности градиента частотных расстроек на формирование синхронизованных кластеров 177
5.3.1 Управление структурами с помощью регулярных неод-нородностей 177
5.3.2 Влияние случайного разброса собственных частот на кластерную синхронизацию 179
5.4 Синхронизация в цепочке осцилляторов Ван дер Поля 185
5.5 Выводы 186
Фазовая синхронизация в ансамбле хаотических осцилля торов Ресслера 189
6.1 Основная модель цепочки 190
6.2 Определение фазы и частоты. Критерии фазовой хаотической синхронизация 191
6.3 Фазовая синхронизация в цепочке с линейным распределением индивидуальных частот. Фазо - когерентный аттрактор Ресслера 192
6.3.1 Теоретический анализ 193
6.3.2 Численные результаты 194
6.4 Синхронизация в цепочке со случайным распределением индивидуальных частот 202
6.5 Фазовая синхронизация осцилляторов Ресслера с аттракторами-воронками 205
6.6 Выводы 210
Регулярная и хаотическая фазовая синхронизация связанных отображений окружности 212
7.1 Ансамбли связанных отображений окружности и критерии синхронизация 213
7.1.1 Тип связи 214
7.1.2 Критерии фазовой синхронизации 216
7.2 Кластерная синхронизация в цепочке периодических отображений окружности 217
7.2.1 Линейное распределение индивидуальных частот 217
7.2.2 Случайное распределение индивидуальных частот 225
7.3 Хаотическая фазовая синхронизация . 227
7.4 Выводы .231
Фазовая синхронизация хаотических колебаний с перемежаемостью в цепочках связанных отображений 232
8.1 Цепочка отображений с хаотической перемежаемостью 233
8.2 Линейное распределение управляющего параметра 234
8.3 Случайное распределение управляющего параметра. Переход к пространственно-временной перемежаемости 236
8.4 Цепочка отображений, демонстрирующих спайковую активность 239
8.5 Выводы 243
Структуры синхронизации в связанных цепочках периодических осцилляторов 246
9.1 Введение и модель 246
9.2 Механизм формирования локализованных структур 248
9.3 Диссипативная связь (нулевая "дисперсия") 249
9.3.1 Распространение фронта десинхронизации 249
9.3.2 Локализованные структуры синхронизации 251
9.3.3 Нелокальная синхронизация 252
9.3.4 Полностью некогерентные (турбулентные) колебания 254
9.4 Нескалярная (диссипативная и консервативная) связь 255
9.4.1 Спайковые структуры 256
9.4.2 Переход от нераспространения к распространению возмущений через перемежаемость 259
9.4.3 Влияние шума 261
9.5 Выводы 264
10 Управляемая фазовая синхронизация в сетях связанных осцилляторов 268
10.1 Общие принципы автоматической синхронизации 269
10.2 Две связанные системы Пуанкаре 272
10.3 Связанные системы Ван дер Поля и Ресслера 274
10.4 Два связанных осциллятора Ресслера 278
10.5 Связанные системы Ресслера и Лоренца 281
10.6 Принципы автоматической синхронизации в сетях связанных осцилляторов 283
10.7 Синхронизация в ансамбле локально связанных периодических осцилляторов 285
10.8 Синхронизация хаотических осцилляторов 288
10.9 Выводы 292
Заключение 295
Литература 299
- Отображения для описания колебаний в нейроно-подобных моделях
- Фазовая синхронизация хаотического осциллятора Ресслера внешним периодическим воздействием
- Синхронизация связанных осцилляторов с хаотической перемежаемостью
- Синхронизационные переходы в сетях со случайно распределенными индивидуальными частотами
Введение к работе
Актуальность темы исследования
Одна из главных тенденции в мире - тенденция к достижению общих ритмов взаимного поведения или, другими словами, тенденция к синхронизации. Под синхронизацией обычно понимается процесс достижения связанными объектами различной природы общего ритма функционирования.
С проявлением синхронизации можно встретиться в физике, биологии, химии, технике, экономике, науках о жизни, медицине и т.д. Возможна синхронизация как двух элементов так и в ансамблях, состоящих из сотен и тысяч элементов. В радиофизике интенсивно исследуется коллективное поведение лазеров [26], микроволновых генераторов [23], сверхпроводящих джозефсоновских контактов [24,25]. В радиотехнике, радиоизмерениях и радиосвязи синхронизация используется для синтеза и стабилизации частоты генераторов, для демодуляции сигналов в доплеровских системах, в системах точного времени и т.д. [263]. В механике эффект синхронизации нашел широкое применение при конструировании различных вибро-технических устройств [3]. В качестве примеров биологических ансамблей, в которых наблюдается синхронизация приведем: колонии одновременно вспыхивающих светлячков [13]; клетки, формирующие сердечный ритм [14,15]; вырабатывающие инсулин клетки в поджелудочной железе [16]; группы сверчков, щебечущих в унисон [17]; ячейки в тонкой кишке млекопитающих [18]; нейронные ансамбли, обеспечивающие ритмичную деятельность в мозгу [19-22] и т.д. Проблемы синхронизации также очень важны при проектировании компьютеров с параллельной архитектурой [33]. Синхронизации имеет место в химических колебаниях и волнах в реакции Белоусова-Жаботинского [34].
В связи с чрезвычайно широким распространением синхронизации в природе, науке и технике потребность изучения этого явления и его применений обусловила появление специального раздела в теории нелинейных колебаний и волн - теории синхронизации. Существенный вклад в ее развитие на ранних этапах внесли Б. Ван дер Поль (van der Pol), Л.И. Мандельштам, Н.Д. Папалекси, А.А. Андронов, А.А. Витт, Н.Н. Боголюбов. В дальнейшем благодаря работам B.C. Афраймовича, B.C. Анищен-ко, В.Н. Белых, И.И. Блехмана, А.В. Гапонова-Грехова, А.С. Дмитриева, М.А.Закса, П.С. Ланды, Ю.Л. Майстренко, А.Н. Малахова, Ю.И. Неймар-ка, В.И. Некоркина, А.С. Пиковского, Д.Э. Постнова, М.И. Рабиновича, М.Г. Розенблюма, Ю.М. Романовского, Н.Ф. Рулькова, Р.Л. Стратонови-ча, Р.В. Хохлова, В.Д. Шалфеева, В.В. Шахгильдяна, Л.П. Шильникова, Б. Эрментроута (Ermentrout), Н. Копелл (Kopell), Л. Пекоры (Ресога), Т. Керролла (Carroll), К. Канеко (Kaneko), Ю. Курамото (Kuramoto), Ю. Куртса (Kurths), С. Строгатца (Strogatz), В. Линдсея (Lindsey), А. Уинфри (Winfree), С. Боккалетти (Boccaletti), Е.Отта (Ott), Л. Гласса (Glass) , Э. Мозекильда (Mosekilde) и др. теория синхронизации стала мощным научным направлением в современной нелинейной динамике.
Исторически систематический анализ явлений синхронизации был начат со следующей проблемы. Пусть осциллятор - периодическая автоколебательная система - находится под воздействием внешней периодической силы. В результате такого воздействия можно наблюдать очень интересное явление: в подверженной воздействию системе при относительно малой амплитуде внешнего сигнала частота (период) колебаний становится равным частоте (периоду) внешнего сигнала. Это явление называют вынужденной синхронизацией. Инженеры Эпплтон (Appleton) [59] и Ван дер Поль (Van der Pol) [28] были первые, кто показал возможность синхронизации электрического генератора слабым внешним периодическим сигналом. В последующем вынужденная синхронизация автоколебательных систем (далее осцилляторов) была изучена физиками Андроновым и Виттом [60,61], Мандельштамом и Папалекси [62], Холмсом (Holmes) и Рэндом (Rand) [65]. Для релаксационных осцилляторов вынужденная синхронизация была исследована Картрайтом (Cartwright) и Литлвудом (Littlewood) [63,64].
При соединении двух или многих периодических автоколебательных систем с близкими по величине параметрами в них могут наступить колебания на одной и той же частоте. Это явление - взаимная синхронизация, впервые наблюдалось в 17-ом столетии Гюйгенсом (Huygens) на примере двух маятниковых часов, висящих на общей балке. Взаимная синхронизация двух квазигармонических автогенераторов была впервые изучена Майером [97] и Гапоновым [168]. Для релаксационных автогенераторов взаимная синхронизация была исследована Бремзеном и Файнбергом [99] и Теодорчиком [100], Миролло (Mirollo) и Строгатцем (Strogatz) [101]. Среди недавних результатов можно выделить: случаи сильной и слабой (по сравнению с демпфированием в изолированном осцилляторе) связи [102,103], эффект вымирания (гашения) автоколебаний в ансамблях глобально связанных осцилляторов со случайно распределенными частотами [104] и синхронизацию (изохронный и неизохронный случаи) осцилляторов для некоторых специальных типов связей [105,106]. Другие аспекты взаимной синхронизации и эффекта противоположного синхронизации -хаотизации колебаний осцилляторов рассмотрены Блехманом, Ландой и Розенблюмом [107]
После открытия динамического хаоса поиск явлений аналогичных синхронизации распространился и на хаотические системы. В 1980-2004 годах имел место существенный рост числа публикаций по синхронизации. Это объясняется развитием теории хаотической синхронизации и ее приложений. В контексте синхронизованного хаоса недавно были изучены три главных типа хаотической синхронизации, а именно: а) полная (или идентичная) синхронизация, б) обобщенная синхронизация и в) фазовая синхронизация. Полная синхронизация идентичных систем происходит, когда состояния связанных систем полностью совпадают. Обобщенная синхронизация подразумевает, что выход с одной системы связан с выходом другой системы через некоторую функцию. При хаотической фазо вой синхронизации имеет место установление некоторых соотношений между фазами взаимодействующих систем и как результат совпадение их характерных частот или характерных временных масштабов. При этом амплитуды колебаний часто остаются хаотическими и практически некоррелироваными. В этом контексте хаотическая фазовая синхронизация близка к синхронизации периодических колебаний в присутствии слабого шума. Эти три типа синхронного поведения (хотя, строго говоря, "синхронным"можно назвать лишь последний тип поведения - хаотическую фазовую синхронизацию) весьма подробно исследованы и описаны в литературе. В частности, имеется несколько специальных выпусков журналов [68,69] и обзоров [67,107-110], посвященных этой тематике.
Существование характерных временных масштабов (ритмов) в хаотических системах позволяет наблюдать и исследовать синхронизацию и ее характеристики для связанных периодических и хаотических систем с единой точки зрения. И именно это делается в диссертации. Для динамических систем, которые рассматриваются в работе, проблемы синхронизации сформулированы в терминах совпадения их характерных частот (характерных временных масштабов), которые для периодических систем просто частоты (периоды) колебаний, а для хаотических систем это усредненные частоты (усредненные временные интервалы) появления некоторых повторяющихся событий. То есть как один из критериев синхронизованного поведения рассматривается выполнение условий частотного захвата (подстройки). Кроме характерной частоты ритмичность колебаний дает возможность ввести фазу колебаний - другую очень важную характеристику как регулярного, так и хаотического движения. Тогда фазовый захват (подстройку) можно считать еще одним (более сильным по отношению к частотному захвату) критерием синхронизации. Положив в основу исследования синхронных режимов выполнение условий частотного и фазового захватов, естественно считать, что процессы синхронизации в системах различной природы будут иметь много общего и могут быть изучены с использованием общих математических и вычислительных инструментов.
Все упомянутые в начале введения примеры - это примеры больших ансамблей - сетей связанных элементов как с регулярной, так и с хаотической динамикой. До настоящего времени нет общей теории динамического поведения сетей осцилляторов. Даже возможность существования режима глобальной синхронизации все еще неясна. Структурная сложность, разнообразие связей, динамическая сложность и т.д. делают изучение больших ансамблей даже с использованием современных компьютеров весьма сложным. Поэтому одним из возможных подходов является исследование сетей с какой-либо фиксированной, геометрически правильной конфигурацией и в предположении стационарности существующих процессов в индивидуальных элементах и неизменности межэлементных связей. В этой связи цепочечная модель выбрана как основная для сетей, которые рассматриваются в диссертации. При этом основная схема связи между элементами - это связь с ближайшими соседями, т.е. локальная связь. Связь аналогичная диффузионной для непрерывных по пространству систем рассматривается в работе для дискретных ансамблей. Предполагается также, что все элементы отличаются лишь вариацией параметров, т.е. рассматриваются неоднородные ансамбли, элементы которых осциллируют с различными характерными частотами. В литературе в такой постановке рассматривались лишь некоторые аспекты задачи синхронизации периодических осцилляторов и ротаторов. Цепочки фазовых осцилляторов исследовались Эрементроутом (Ermentrout) и Копелл (Kopell) [137-139], Сакагучи (Sakaguchi) и Курамото (Kuramoto) [140], Роджерсом (Rogers) и Вилли (Wille) [141], Женгом (Zheng) и Ху (Ни) [248] и др.; слабо нелинейные осцилляторы - Эрментроутом [104] и Романовским [202] и др.; системы фазовой автоподстройки частоты - Афраймовичем, Некоркиным и Шалфеевым [4] и др.; связанные джозефсоновские контакты - Брайма-ном (Braiman), Дитто (Ditto), Визенфельдом (Wiesenfeld), Спано (Spano) [211]и др.; ансамбли релаксационных осцилляторов - Романовским [202], Герцем (Herz) и Хопфилдом (Hopfield) [146,147], Дросселем (Drossel) [148], и др.; цепочки хаотических идентичных осцилляторов - Белых В., Белых И., Хаслером (Hasler), Мозекилдом (Mosekilde) [205,207,208].
Хаотическая фазовая синхронизация исследовалась как правило лишь для систем из двух связанных, сравнительно простых по топологии осцилляторов. Поэтому изучение общих закономерностей коллективной динамики и в особенности синхронизации в больших ансамблях локально диффузионно связанных регулярных и хаотических осцилляторов является безусловно актуальным.
Цель работы - создание основ теории фазовой синхронизации неоднородных сетей нелинейных осцилляторов. Развиваемое научное направление связано с выработкой единых теоретических и вычислительных инструментов для исследования процессов частотно-фазовой подстройки колебаний в больших ансамблях как регулярных так и хаотических систем.
Основные вопросы, на которые должна ответить создаваемая теория синхронизации, в первую очередь, касаются:
а) существования глобальной синхронизации;
б) характеристик синхронных режимов: распределения по сети стационарных значений фазовых рассогласований, а также частот синхронизации;
в) условий и механизмов возникновения синхронных режимов и путей их нарушения (во времени и в пространстве);
г) влияния индивидуальной динамики элементов на процессы синхронизации;
д) возможностей управления синхронными режимами;
е) характеристик несинхронных режимов;
ж) возможностей синтеза оптимальных с точки зрения достижения синхронизации схем междуэлементной связи.
Научная новизна работы определяется полученными оригинальными результатами и заключается в следующем:
Впервые поставлена задача исследования общих закономерностей частотно-фазовой подстройки в ансамблях локально диффузионно связанных ре гулярных и хаотических неидентичных осцилляторов. В качестве парциальных элементов рассматривались базовые модели нелинейной динамики как с непрерывным так и с дискретным временем: фазовые системы первого и второго порядков; осциллятор Ван дер Поля; осциллятор Ресслера и система Лоренца; отображение окружности; отображение, моделирующее хаотические колебания с перемежаемостью; отображение, моделирующее спайковую и берстовую активность нейроно-подобных элементов. Для ряда указанных моделей впервые предложены способы введения фазовых и частотных характеристик колебаний. Наличие таких характеристик для всех рассмотренных в работе систем позволило наблюдать и исследовать синхронизацию и ее характеристики для связанных регулярных и хаотических осцилляторов с единой точки зрения, а именно, с точки зрения совпадения характерных временных масштабов колебаний и установления определенных фазовых соотношений. Для этого получались и исследовались соответствующие фазовые уравнения или численно рассчитывались фазы и частоты колебаний и далее тестировалось выполнение критериев синхронизации.
Изучение коллективной динамики ансамблей осцилляторов основано на предложенном подходе, при котором сначала исследуется вынужденная синхронизация и взаимная синхронизации двух связанных элементов, а затем изучаются сети связанных периодических и хаотических осцилляторов.
Было проведено исследование эффекта вынужденной синхронизации хаотических осцилляторов с помощью внешнего периодического воздействия. В результате этого исследования показана возможность управления спектром хаотических колебаний.
Для пары связанных хаотических систем (осцилляторов Ресслера, отображений окружности, отображений с хаотической перемежаемостью) изучены условия возникновения фазовой синхронизации в зависимости от топологии хаотических аттракторов.
В рамках предложенного подхода проведено систематическое исследование коллективного поведения цепочечных и решеточных моделей сетей связанных осцилляторов. Выявлены общие закономерности переходов к синхронным режимам в ансамблях регулярных и хаотических осцилляторов, при этом особое внимание было уделено роли неустойчивых предельных циклов.
Исследованы режимы глобальной и кластерной синхронизации и механизмы их установления и разрушения. Получены фазовые и частотные характеристики синхронных режимов. Проанализировано влияние индивидуальной динамики, в частности топологии аттракторов, на синхронизационные процессы.
Предложен метод автоматической фазовой синхронизации в осцилля-торных ансамблях.
Научная и практическая значимость результатов работы
В научном плане выполненные исследования дают основу для более глубокого понимания таких важных и интенсивно изучаемых в современной радиофизике явлений как самоорганизация и турбулентность. В связи с тем, что в проведенных исследованиях в качестве парциальных элементов были использованы базовые модели теории нелинейных колебаний, создаваемая теория синхронизации сетей нелинейных осцилляторов найдет применение не только при исследовании конкретных осцилляторных ансамблей, но и для других моделей дискретных и непрерывных сред в физике и биологии.
Выполненные исследования могут оказаться полезными при решении вопросов, связанных с разработкой и применением различных устройств для радиоизмерений, радиосвязи, радиолокации и др. В частности, при создании синхронных сетей передачи данных, активных фазированных антенных решеток, систем синхронной обработки данных в современных компьютерах и т.д.
Полученные в диссертации результаты внедрены в учебный процесс на радиофизическом факультете Нижегородского университета и могут представлять интерес для следующих научно-исследовательских учрежде ний: ИПФ РАН, ИРЭ РАН, МГУ.
Апробация результатов работы
Настоящая диссертация выполнена в Нижегородском государственном университете им.Н.И.Лобачевского. Ее результаты опубликованы в 88 работах, в том числе в одной монографии, в двух обзорах, в 60 статьях в ведущих отечественных и зарубежных журналах и материалах конференций. Основные результаты докладывались на III,V,VIII,IX,X,XI,XII международных конференциях по нелинейной динамике электронных систем (NDES) (Дублин, 1995; Москва, 1997; Катанья, 2000 ; Делфт, 2001 ; Измир,2002; Скуол, 2003; Эвора, 2004), на конференциях по нелинейной динамике и ее приложениях (NOLTA) (Лас Вегас,1995; Кранс-Монтана,1998; Дрезден,2000), на 1,11,III международных конференциях "Control of oscillations and chaos"(Санкт-Петербург, 1997, 2000, 2003), на международной конференции, посвященной 100-летию со дня рождения А.А.Андронова (Нижний Новгород, 2001), Всесоюзных конференциях по нелинейным колебаниям механических систем (Нижний Новгород, 1990,1992,1994), международной школе по хаосу и структурам (Саратов, 1998), международной конференции по синхронизации (Саратов, 2000), международной школе по синхронизации и ее приложениям (Крым, 2002); международной школе-конференции по синхронизации и управлению (Дрезден, 2001), школах по нелинейным волнам (Нижний Новгород, 1991; 2004) гордоновской конференции (Нью Гемпшир, 1998); научных конференциях по радиофизике (Нижний Новгород, 1997, 2000, 2001, 2003); а также на семинарах ИПФ РАН, физического факультета Потсдамского университета, факультета биомедицинской инженерии Бостонского университета, физического факультета Гонкогского баптистского университета, факультета механики Венского технического университета, физического факультета Ланкастерского университета, кафедры теории колебаний и автоматического регулирования радиофизического факультета ННГУ.
Структура и объем диссертации
Диссертация состоит из введения, десяти глав, заключения, списка литературы и изложена на 323 страницах, включает 120 рисунков. Список литературы содержит 269 наименований и занимает 25 страниц.
Краткое содержание работы
Во Введении сделан краткий обзор работ по теории синхронизации, обоснована актуальность тематики проводимых исследований и их практическая значимость, сформулирована цель исследования и основные положения, выносимые на защиту, кратко изложено содержание работы.
В первой главе приводится базовая конфигурация рассматриваемых сетей (раздел 1.1), даются модели точечных осцилляторов и описываются их основные свойства, приводятся определения их фаз и частот (раздел 1.2), и формулируются критерии синхронизации (раздел 1.3).
В качестве точечных осцилляторов рассматриваются: фазовые системы первого (ротатор) и второго (маятник) порядков; осциллятор Ван дер Поля; осциллятор Ресслера и система Лоренца; отображение окружности; отображение, моделирующее хаотические колебания с перемежаемостью; отображение, моделирующее спайковую и берстовую активность нейроно-подобных элементов. Для всех указанных моделей приведены их основные динамические свойства и даны определения фаз и частот колебаний.
Далее определяются условия, выполнение которых будет свидетельствовать о существования синхронных режимов.
Во второй главе описываются явления синхронизации периодических и хаотических систем, находящихся под воздействием внешней периодической силы, т.е. явление вынужденной синхронизации. В классической теории синхронизации периодически управляемый генератор - главная и исторически первая изученная модель. Поэтому в этой главе приводится только краткое описание классического случая периодически возмущенного периодического осциллятора (раздел 2.1). Основное внимание уделяется изучению вынужденной синхронизации в хаотических системах.
Проведенные исследования показали, что системы с хаотическими аттракторами при определенных условиях могут быть синхронизированы по частоте и фазе. Это показано для хаотических аттракторов, которые рождаются через удвоения периодов периодических движений (осциллятор Рес-слера) (раздел 2.2) , через перемежаемость (система Лоренца и соответствующее модельное отображение) (раздел 2.4). Детальное рассмотрение механизма фазовой синхронизации представлено в разделе 2.3. На основе анализа иллюстративной дискретной модели делается вывод о том, что область вынужденной фазовой синхронизации хаотического осциллятора есть область в пространстве параметров, где имеет место пересечение языков Арнольда для всех неустойчивых периодических орбит, образующих "скелет"хаотического аттрактора. В разделе 2.5 формулируются основные выводы.
В третьей главе рассматривается явление синхронизации в системах двух связанных элементов. Сначала (раздел 3.1) изучается синхронизация в классическом случае, то есть для связанных периодических автоколебательных систем (осцилляторов). В параграфе 3.1.1 приводятся результаты анализа двух произвольных слабо связанных автоколебательных систем. Векторно (по обеим переменным) связанные осцилляторы Ван дер Поля рассматриваются в параграфе 3.1.2. Исследования показали, что имеют место два качественно различных типа перехода к синхронному режиму: "мягкий"и "жесткий", при которых при увеличении частотной расстройки Д, частота биений меняется плавно или скачком, соответственно. Область синхронизации монотонно увеличивается с ростом величины консервативной связи. Основной результат параграфа 3.1.2, где синхронизация показывается для двух связанных активных ротаторов, состоит в том, что неравномерность вращений приводит к возникновению п : т синхронизация, в то время как для равномерного вращения возможна только 1 : 1 синхронизация. Далее (раздел 3.2) представлена синхронизация хаотических систем. Связанные осцилляторы Ресслера и связанные системы Лоренца исследованы в параграфах 3.2.1 и 3.2.2 соответственно. Оказалось, что фазовая динамика связанных хаотических осцилляторов Рес слера аналогична динамике связанных периодических систем. Однако существуют и различия. Так показано, что существуют три типа перехода к хаотической фазовой синхронизации в зависимости от свойств когерентности движения, количественно определяемых через диффузию фазы. При малой диффузии фазы возникновение хаотической фазовой синхронизации сопровождается переходом одного из нулевых показателей Ляпунова в отрицательную область. Если диффузия фазы довольно велика, то подстройка фаз происходит только после возникновения обобщенной синхронизации (один положительный показатель Ляпунова становится отрицательным). Для промежуточной диффузии хаотическая фазовая синхронизация возникает путем внутреннего кризиса гиперхаотического аттрактора. В заключении (раздел 3.3) рассматривается система двух связанных отображений окружности. Такая система демонстрируют очень богатую динамику, которая имеет очень много общего со связанными системами с непрерывным временем. В частности: увеличение связи обычно ведет к синхронизации; частотная расстройка и свойства когерентности движений играют важную роль в синхронизации; в хаотическом режиме переход к синхронизированному поведению может произойти через бифуркации или внутренние кризисы хаотического аттракторов. Однако есть несколько эффектов, которые не наблюдаются для осцилляторов с непрерывным временем: из-за дискретности неидентичные изолированные системы могут иметь равные характерные временные масштабы - числа вращения; увеличение связи ведет к разрушению синхронизации, то есть существует некоторый интервал значений коэффициента связи, для которого синхронизация имеет место; сильная некогерентность движений может быть причиной непредсказуемых синхронизационных переходов.
В первой части четвертой главы рассматривается коллективная динамика в ансамблях фазовых осцилляторов первого порядка. В начале (раздел 4.1) приводится основная модель фазовой динамики в довольно общей форме. Затем рассмотрены коллективные явления в цепочке однонаправ-ленно связанных систем (раздел 4.2). Раздел 4.3 посвящен синхронным режимам в цепочках с линейно и случайно распределенными индивиду альными частотами вращения ротаторов. Влияние неоднородности вращений рассматривается в разделе 4.4.
Основные эффекты - следующие: а) В цепочках однонаправленно и взаимно связанных фазовых осцилляторов с линейным распределением индивидуальных частот существует критическое значение силы связи, для которой в цепочках произвольной длины наступает режим глобальной синхронизации; б) В цепочке с однонаправленно связанными элементами "вниз по потоку" (с ростом номера элемента) возможны переходы "синхронизация - десинхронизация"и "десинхронизация - синхронизация "и наблюдалось развитие хаоса вниз по цепочке по сценарию Ландау-Хопфа; в) Типичны жесткий и мягкий переходы к глобальной синхронизации; г) Соседние элементы могут образовывать кластеры взаимно синхронизованных элементов; д) Для случайного распределения индивидуальных частот может наблюдаться эффект "нелокальной"синхронизации; е) Возможна мультистабильность различных синхронных режимов; ж) Для неравномерно вращающихся ротаторов переход к глобальной синхронизации как правило мягкий; з) Для равномерно вращающихся ротаторов частота глобальной синхронизации равна средней индивидуальной частоте в ансамбле. Для сильно неравномерно вращающихся систем доминируют элементы с более высокой частотой.
Вторая часть этой главы (раздел 4.5) посвящена изучению явления синхронизации в ансамблях фазовых осцилляторов второго порядка - систем маятникового типа. Показано существование двух типов синхронных режимов: низко - и высокочастотный, первый из которых связан с наличием при определенных условиях солитонных движений.
Результаты, представленные в этой главе, имеют особое значение для понимания и описания процессов синхронизации во всех системах, рассматривающихся в следующих главах. Именно частотно-фазовый подход, изложенный в этой главе, позволяет исследовать синхронные режимы в непрерывных и дискретных во времени системах с разнообразным регулярным и хаотическим поведением. Важно подчеркнуть, что дальнейшее изучение эффектов синхронизации проводится для ансамблей связанных регулярных или хаотических динамических систем, которые имеют собственные характерные временные масштабы (в самом простом случае для периодических осцилляторов или ротаторов это периоды движений) и поэтому позволяют вводить фазу и частоту колебаний. Именно это дает возможность сформулировать задачу синхронизации как задачу достижения определенных частотных и (или) фазовых соотношений. Поэтому описанные в этой главе эффекты являются типичными для ансамблей, изучаемых в следующих главах.
Пятая глава начинается с короткого введения в изучаемую проблему синхронизации в ансамблях регулярных осцилляторов (раздел 5.1) связанных локально диффузионно. Цепочки осцилляторов с однородной частотной расстройкой подробно исследованы для дискретного аналога уравнения Гинзбурга-Ландау в разделе 5.2. Параграф 5.2.1 начинается с описания модели. Глобальная синхронизация рассматривается в параграфе 5.2.2, кластерная синхронизация - в параграфе 5.2.3. Мультистабиль-ные режимы обсуждаются в параграфе 5.2.4. В параграфе 5.2.5 формирование синхронных кластеров, разделенных областью невозбужденных осцилляторов, интерпретируется в терминах эффекта вымирания колебаний. Динамика цепочки при нелинейном распределении индивидуальных частот представлена в разделе 5.3. Формирование кластеров синхронизации с помощью периодического по пространству возмущения индивидуальных частот изучено в параграфе 5.3.1. В параграфе 5.3.2 показано влияние мелкомасштабных, случайных по пространству возмущений индивидуальных частот на синхронизацию в цепочке. Нелинейные эффекты, которые не описываются уравнением Гинзбурга-Ландау, рассматриваются в разделе 5.4 на примере ансамбля связанных осцилляторов Ван дер Поля. В разделе 5.6 приведены основные полученные результаты: а) Обнаружены и исследованы типичные особенности возникновения и существования режимов глобальной и кластерной синхронизации; б) Показано существование двух сценариев - "мягкого"и "жесткого переходов между структурами, состоящими из различного числа кластеров синхронизации. В первом случае имеет место постепенная подстройка усредненных на блюдаемых частот колебаний элементов цепочки, в то время как во втором случае переход от структуры из N синхронизированных кластеров к структуре М кластеров происходит скачком; в) Исследовано влияние различных типов распределений индивидуальных частот на синхронизацию. Показано, что при случайном распределении частот в некотором интервале синхронизация наступает при более слабой связи, чем при линейном распределении частот внутри того же интервала; г) Обнаружен эффект вымирания колебаний. Вымирание может иметь место как для части элементов в цепочке, так и для всей цепочки вцелом; д) Предложены механизмы управления структурами синхронизации с помощью применения пространственно неоднородного воздействия; е) Обнаружено различие в переходах к глобальной синхронизации для слабой (квазигармонические колебания) и сильной (релаксационные колебания) нелинейности; ж) Показано, что в цепочке с фиксированным распределением индивидуальных частот глобальная синхронизация наступает при меньшей связи при сильной нелинейности, чем при слабой.
Дискретный аналог уравнения Гинзбурга-Ландау является моделью произвольной неравновесной среды вблизи критической точки возбуждения автоколебаний. Следовательно, представленные результаты могут быть распространены на широкий класс дискретных сред.
В шестой главе рассматриваются коллективные эффекты в цепочке непрерывных во времени хаотических осцилляторов. Раздел 6.1 посвящен описанию изучаемой модели - цепочки локально диффузионно связанных неидентичных осцилляторов Ресслера. В разделе 6.2 кратко обсуждаются определения фазы и частоты хаотических колебаний, а также критерии синхронизации. В разделах 6.3 и 6.4 представлена хаотическая фазовая синхронизация в цепочках связанных осцилляторов Ресслера с линейным и случайным распределением индивидуальных частот. Раздел 6.5 посвящен обсуждению коллективного поведения осциляторов Ресслера с фазо-некогерентными аттракторами - аттракторами-воронками. В разделе 6.6 суммируются результаты главы: а) Если индивидуальный аттрактор является фазо-когерентным, то коллективная динамика цепочки хаотических осцилляторов подобна динамике цепочки периодических осцилляторов; б) Режим глобальной синхронизация в цепочке появляется при превышении коэффициентом связи некоторого критического значения; в) Имеют место два сценария синхронизационных переходов: мягкий, при котором происходит постепенное подстраивание наблюдаемых частот и жесткий, при котором подстройка частот происходит скачкообразно. Эти два сценария непосредственно следуют из свойств синхронизации двух систем; г) При мягком переходе к режиму глобальной синхронизации степень хаотичности синхронизованных колебаний очень велика: число положительных показателей Ляпунова равно числу элементов в ансамбле, в то время как при жестком переходе степень хаотичности существенно ниже: только несколько показателей Ляпунова остаются положительными; д) Имеет место явление вымирания хаотических колебаний; е) Если динамика индивидуальной системы более сложна, подобно аттрактору-воронке в осцилляторе Ресслера, то достичь фазовой синхронизации довольно трудно или даже невозможно. Однако тенденция к более упорядоченному поведению с ростом связи является четко выраженной.
В седьмой главе изучаются условия возникновения периодической и хаотической фазовой синхронизации в цепочке связанных неидентичных отображений окружности. В разделе 7.1 приведена изучаемая модель, записанная в виде системы разностных уравнений. Разделы 7.2 и 7.3 посвящены синхронизации регулярных и хаотических отображений окружности, соответственно. Результаты суммируются в разделе 7.4. Они следующие: а) Для цепочки связанных отображений окружности обнаружено существование режимов глобальной и кластерной синхронизации. Эти режимы наблюдались и для периодических и для хаотических отображений; б) Для отображений с равномерным ростом фазы (с = 0) при любом распределении индивидуальных частот частота глобальной синхронизации равна средней частоте элементов ансамбля; в) В отличие от непрерывных во времени фазовых осцилляторов, увеличение связи ведет к десинхрони-зации, то есть режимы глобальной или кластерной синхронизации сменяются режимом полностью несинхронного поведения; г) Как и для цепо чек непрерывных во времени периодических и хаотических осцилляторов для связанных отображений окружности обнаружены мягкий и жесткий сценарии переходов между кластерными структурами синхронизации; д) Жесткий переход между кластерными структурами синхронизации типичен для существенно когерентных вращений, в то время как мягкий переход наиболее часто наблюдается для некогерентных вращений.
Все представленные свойства, особенно тот результат, что режим синхронизации может быть нарушен при увеличение связи, может иметь важное значение при проектировании систем цифровой фазовой автоподстройки частоты.
В восьмой главе представлены эффекты фазовой синхронизации в цепочке точечных отображений, демонстрирующих хаотические колебания с перемежаемостью 1-го типа (раздел 8.1). Показано существование режимов глобальной и кластерной (для случайного распределения управляющего параметра) синхронизации. Обнаружено, что с ростом связи режим глобальной или кластерной синхронизации может сначала сменяться режимом, при котором синхронизация чередуется во времени с некогерентными колебаниями, а затем возникает режим полностью некогерентных колебаний, представляющий собой пространственно-временную перемежаемость.
В разделе 8.2 переход "синхронизация - десинхронизация"с ростом связи продемонстрирован для цепочки точечных отображений, генерирующих спайковую активность, характерную для нейронов.
В девятой главе исследуется коллективное поведение в системе двух связанных цепочек идентичных периодических осцилляторов. Глава начинается с короткого введения в проблему и представления изучаемой модели. Это два связанных дискретных уравнения Гинзбурга-Ландау, каждое из которых описывает поведение цепочки связанных осцилляторов. В разделе 9.2 описываются механизмы образования структур синхронизации. Коллективные эффекты в цепочках осцилляторов, связанных только диссипативно, обсуждаются в разделе 9.3. Распространение фронтов синхронизации и влияние шума в цепочках диссипативно и консерватив но (ненулевая "дисперсия") связанных осцилляторов рассматриваются в разделе 9.4. В разделе 9.5 приведены следующие основные результаты главы: а) Две связанные цепочки осцилляторов с различными коллективными частотами каждая, демонстрируют существование синхронных колебаний и вымирания колебаний, а также существование фронтов переключения между указанными состояниями; б) Неоднородные состояния, сформированные фронтами переключения, могут сохраняться при слабой связи между осцилляторами в каждой цепочке благодаря дискретности модели. Это обеспечивает условия существования локализованных структур (кластеров) синхронизации; в) При более сильной связи начинают распространяться фронты переключения из синхронного состояния в состояние колебательной смерти; г) Переходы от распространения к нераспространению фронтов между синхронизированными и невозбужденными осцилляторами происходят через перемежаемость; д) Шум играет конструктивную роль в регуляризации коллективного поведения осцилляторов.
Основываясь на полученных результатах можно подчеркнуть следующее: Механизмы формирования локализованных структур, рассмотренные выше, позволяют лучше разобраться в происхождении маломерного хаоса в многомерных распределенных системах. В частности, слабо связанные кластеры из т N элементов часто образуются в больших ансамблях из N идентичных или неидентичных осцилляторов. Как следует из представленного выше анализа только кластеры из взаимносинхронизо-ванных элементов могут выживать в определенных областях параметров. В результате эффективное число степеней свободы, достаточных для описания динамики системы существенно уменьшается. Все выше сказанное следует отнести также и к рассмотренным в предыдущих главах ансамблях хаотических осцилляторов. Приведенной анализ подтверждает, что при некоторых условиях указанный механизм также эффективен при хаотической фазовой синхронизации, и именно он приводит к формированию локализованных структур с маломерной хаотической динамикой. С другой стороны, формирование различных сложных структур, наблюдаемых при задании относительно простых, но неоднородных начальных условий указывает на то, что изученное явление может также быть ответственно за формирование пространственного беспорядка при распространении фронтов переключения в ансамблях осцилляторов.
В десятой главе описывается метод автоматической синхронизации в ансамблях регулярных и хаотических осцилляторов, связанных при помощи контуров обратной связи. Он основан на широко известных принципах автоподстройки, используемых в теории систем фазовой синхронизации (СФС). Предлагаемый метод требует наличия специальных управляющих элементов - контроллеров, которые позволяют менять параметры в управляемых системах. Сначала (раздел 10.1) представляются общие принципы автоматической фазовой синхронизации для осцилляторов общего вида, связанных через контроллеры, вход которых есть квадратичная форма координат парциальных систем, а выходом является сигнал, пропущенный через фильтр низких частот, задаваемый линейным дифференциальным оператором.
Эффективность предложенного метода управляемой фазовой синхронизации демонстрируется на нескольких примерах: двух связанных периодических осцилляторов (раздел 10.2), связанных периодического и хаотического осцилляторов (раздел 10.3), двух связанных хаотических осцилляторов Ресслера (раздел 10.4), связанных систем Ресслера и Лоренца (раздел 10.5), ансамблей локально связанных периодических осцилляторов (раздел 10.7), ансамблей локально и глобально связанных хаотических осцилляторов Ресслера (раздел 10.8).
Главные преимущества этого метода, приведенные в разделе 10.9, следующие: а) Влияние амплитуд взаимодействующих систем на разность их фаз обеспечивает высокую эффективность представленного подхода; б) Метод может быть использован для достижения режима синхронизации осцилляторов различной природы (как регулярных, так и хаотических), различной топологии (например, осцилляторов Ресслера и осцилляторов Лоренца) и различной сложности регулярных и хаотических колебаний (например, хаотических и гипер-хаотических осцилляторов Рес слера); в) Фазовая синхронизация устанавливается при очень малых значениях управляющего параметра в петле обратной связи между подстраиваемыми элементами; г) Метод может использоваться для синхронизации элементов в малых (две единицы) и больших (цепочки и решетки) ансамблях.
Представленный метод может быть полезен (а) для понимания механизмов самоорганизации во многих живых системах в природе и (б) при конструировании различных схем, применяемых для достижения автоматической синхронизации в медицине, связи, инженерных приложениях.
В Заключении приведены основные результаты диссертации.
Отображения для описания колебаний в нейроно-подобных моделях
Настоящая диссертация выполнена в Нижегородском государственном университете им.Н.И.Лобачевского. Ее результаты опубликованы в 88 работах, в том числе в одной монографии, в двух обзорах, в 60 статьях в ведущих отечественных и зарубежных журналах и материалах конференций. Основные результаты докладывались на III,V,VIII,IX,X,XI,XII международных конференциях по нелинейной динамике электронных систем (NDES) (Дублин, 1995; Москва, 1997; Катанья, 2000 ; Делфт, 2001 ; Измир,2002; Скуол, 2003; Эвора, 2004), на конференциях по нелинейной динамике и ее приложениях (NOLTA) (Лас Вегас,1995; Кранс-Монтана,1998; Дрезден,2000), на 1,11,III международных конференциях "Control of oscillations and chaos"(Санкт-Петербург, 1997, 2000, 2003), на международной конференции, посвященной 100-летию со дня рождения А.А.Андронова (Нижний Новгород, 2001), Всесоюзных конференциях по нелинейным колебаниям механических систем (Нижний Новгород, 1990,1992,1994), международной школе по хаосу и структурам (Саратов, 1998), международной конференции по синхронизации (Саратов, 2000), международной школе по синхронизации и ее приложениям (Крым, 2002); международной школе-конференции по синхронизации и управлению (Дрезден, 2001), школах по нелинейным волнам (Нижний Новгород, 1991; 2004) гордоновской конференции (Нью Гемпшир, 1998); научных конференциях по радиофизике (Нижний Новгород, 1997, 2000, 2001, 2003); а также на семинарах ИПФ РАН, физического факультета Потсдамского университета, факультета биомедицинской инженерии Бостонского университета, физического факультета Гонкогского баптистского университета, факультета механики Венского технического университета, физического факультета Ланкастерского университета, кафедры теории колебаний и автоматического регулирования радиофизического факультета ННГУ. Структура и объем диссертации
Диссертация состоит из введения, десяти глав, заключения, списка литературы и изложена на 323 страницах, включает 120 рисунков. Список литературы содержит 269 наименований и занимает 25 страниц.
Во Введении сделан краткий обзор работ по теории синхронизации, обоснована актуальность тематики проводимых исследований и их практическая значимость, сформулирована цель исследования и основные положения, выносимые на защиту, кратко изложено содержание работы.
В первой главе приводится базовая конфигурация рассматриваемых сетей (раздел 1.1), даются модели точечных осцилляторов и описываются их основные свойства, приводятся определения их фаз и частот (раздел 1.2), и формулируются критерии синхронизации (раздел 1.3).
В качестве точечных осцилляторов рассматриваются: фазовые системы первого (ротатор) и второго (маятник) порядков; осциллятор Ван дер Поля; осциллятор Ресслера и система Лоренца; отображение окружности; отображение, моделирующее хаотические колебания с перемежаемостью; отображение, моделирующее спайковую и берстовую активность нейроно-подобных элементов. Для всех указанных моделей приведены их основные динамические свойства и даны определения фаз и частот колебаний.
Далее определяются условия, выполнение которых будет свидетельствовать о существования синхронных режимов.
Во второй главе описываются явления синхронизации периодических и хаотических систем, находящихся под воздействием внешней периодической силы, т.е. явление вынужденной синхронизации. В классической теории синхронизации периодически управляемый генератор - главная и исторически первая изученная модель. Поэтому в этой главе приводится только краткое описание классического случая периодически возмущенного периодического осциллятора (раздел 2.1). Основное внимание уделяется изучению вынужденной синхронизации в хаотических системах. Проведенные исследования показали, что системы с хаотическими аттракторами при определенных условиях могут быть синхронизированы по частоте и фазе. Это показано для хаотических аттракторов, которые рождаются через удвоения периодов периодических движений (осциллятор Рес-слера) (раздел 2.2) , через перемежаемость (система Лоренца и соответствующее модельное отображение) (раздел 2.4). Детальное рассмотрение механизма фазовой синхронизации представлено в разделе 2.3. На основе анализа иллюстративной дискретной модели делается вывод о том, что область вынужденной фазовой синхронизации хаотического осциллятора есть область в пространстве параметров, где имеет место пересечение языков Арнольда для всех неустойчивых периодических орбит, образующих "скелет"хаотического аттрактора. В разделе 2.5 формулируются основные выводы.
В третьей главе рассматривается явление синхронизации в системах двух связанных элементов. Сначала (раздел 3.1) изучается синхронизация в классическом случае, то есть для связанных периодических автоколебательных систем (осцилляторов). В параграфе 3.1.1 приводятся результаты анализа двух произвольных слабо связанных автоколебательных систем. Векторно (по обеим переменным) связанные осцилляторы Ван дер Поля рассматриваются в параграфе 3.1.2. Исследования показали, что имеют место два качественно различных типа перехода к синхронному режиму: "мягкий"и "жесткий", при которых при увеличении частотной расстройки Д, частота биений меняется плавно или скачком, соответственно. Область синхронизации монотонно увеличивается с ростом величины консервативной связи. Основной результат параграфа 3.1.2, где синхронизация показывается для двух связанных активных ротаторов, состоит в том, что неравномерность вращений приводит к возникновению п : т синхронизация, в то время как для равномерного вращения возможна только 1 : 1 синхронизация. Далее (раздел 3.2) представлена синхронизация хаотических систем. Связанные осцилляторы Ресслера и связанные системы Лоренца исследованы в параграфах 3.2.1 и 3.2.2 соответственно.
Фазовая синхронизация хаотического осциллятора Ресслера внешним периодическим воздействием
В этой главе мы описываем явления синхронизации периодических и хаотических систем, находящихся под воздействием внешней периодической силы, т.е. явление вынужденной синхронизации. В классической теории синхронизации периодически управляемый генератор - главная и исторически первая изученная модель. Инженеры Эпплтон (Appleton) [59] и Ван дер Поль (Van der Pol) [28] были первые, кто показал возможность синхронизации генератора триода слабым внешним периодическим сигналом. Вынужденная синхронизация автоколебательных систем (осцилляторов) была изучена физиками Андроновым и Виттом [60,61], Мандельштам и Папалекси [62]. Для релаксационных осцилляторов вынужденная синхронизация была исследована Картрайтом (Cartwright) и Литлвудом (Littlewood) [63,64]. Можно считать, что классическая теория синхронизации была в-основном построена к 60-тым годам прошлого столетия. В настоящее время имеются всесторонние обзоры и книги, где эта теория представлена [1-9]. Поэтому в этой главе дается краткое описание классического случая периодически возмущенного периодического осциллятора (раздел 2.1). Основное внимание уделяется изучению вынужденной синхронизации в хаотических системах. Будут представлены результаты, которые позволили распространить классическую вынужденную синхронизацию на вынужденную синхронизацию хаотических систем. Важно подчеркнуть, что различная топология хаотических аттракторов требует различных подходов к проблеме синхронизации. Но во всех случаях необходимое условие, которое позволяет сформулировать задачу хаотической синхронизации - существование характерного временного масштаба в рассматриваемых системах. Тогда, эта проблема становится весьма похожей на регулярную синхронизацию и может быть сформулирована для обоих случаев следующим образом: При каких условиях наблюдаемая частота колебаний в подверженной внешнему периодическому воздействию системе станет совпадать с частотой этого воздействия? Обычно эти условия выписываются в терминах амплитуды и расстройки между частотой внешней силы и собственной частоты генератора. Рассматривая более сложную хаотическую фазовую синхронизацию обычно различают совершенную (perfect) и несовершенную (imperfect) синхронизацию. В разделе 2.2 рассматривается совершенная синхронизация на примере системы Ресслера. Детальное рассмотрение механизма фазовой синхронизации представлено в разделе 2.3. Раздел 2.4 посвящен переходу к фазовой синхронизации в осцилляторах, демонстрирующих возникновение хаоса через перемежаемость 1-го типа. В разделе 2.5 формулируются основные выводы этой главы.
В этом разделе мы приведем ранее известные случаи слабого и произвольного периодического воздействия на регулярную автоколебательную систему - осциллятор Ван дер Поля. Данное описание необходимо для понимания механизмов вынужденной синхронизации хаотических систем.
Начнем с краткого описания явления синхронизации для самого простого примера. Рассмотрим колебания в периодическом осцилляторе под слабым периодическим Таким образом, вынужденная синхронизация имеет место, если условие (3.8) выполнено и определено через частотную расстройку. В исходной модели (2.1) переход от синхронизации к биениям, который имеет место при Д = 1, происходит через слияние и исчезновение устойчивого и неустойчивого периодических движений. Теперь мы рассмотрим произвольную (не малую как в предыдущем разделе) внешнюю силу, действующую на периодический осциллятор, а именно на осциллятор Ван дер Поля. Как было сказано в начале этой главы, эта проблема была изучена во многих работах и подробно описана во многих книгах и обзорах. Поэтому мы кратко представляем результаты вынужденной синхронизации слабо нелинейного осциллятора ван дер Поля. Модельная система в данном случае имеет вид: где и с - собственная частота осциллятора, є - малый параметр, А и ш - амплитуда и частота внешней силы. Для автономного (А = 0 в (2.9)) осциллятора на фазовой плоскости существует устойчивый предельный цикл периода То = 27го;о. Случай произвольной амплитуды А не позволяет ограничиться лишь фазовым описанием. Однако и в этом случае исследование поставленной проблемы может быть выполнено аналитически с использованием асимптотических методов (смотри [66]). При этом решение задачи синхронизации (2.9) может быть сведено к анализу уравнения: где а - комплексная амплитуда колебаний и Л = {ш2 — си$)/2и - относительная частотная расстройка. Устойчивое состояние равновесия в уравнении (2.10) соответствует синхронному режиму в исходной системе (2.9), а предельный цикл в (2.10) соответствует режиму биений в (2.9). Мы опускаем здесь довольно простые арифметические вычисления и представим только основные особенности синхронизационных переходов. На рис. 2.1 представлена бифуркационная диаграмма для уравнения (2.10). На ней можно выделить два качественно различных перехода от (к) синхронизации к (от) биениям. Они зависят от величин параметров внешней силы: (а) Если амплитуда воздействия мала, то синхронное поведение исче зает через бифуркацию петли сепаратрисы седло-узла (см. также преды дущий раздел). Переход из области А, где существуют три устойчивых состояния равновесия: устойчивый узел, седло и неустойчивый фокус в область С, где существует только один неустойчивый фокус, происходит следующим образом: узел и седло сливаются, образуется петля сепаратри сы седло-узла, при разрушении которой возникает устойчивый предель ный цикл.
Синхронизация связанных осцилляторов с хаотической перемежаемостью
Очевидно, что можно ожидать наличие аналогии между вынужденной периодической и хаотической синхронизациями. Это освязано с тем, что, как мы заметили ранее, фаза фазо-когерентного хаотического аттрактора растет практически линейно, т.е. так же как и для слабонелинейного осциллятора Ван дер Поля (см. раздел 2.1). Чтобы получить более глубокое понимание этого подобия и выявить существующие особенности, очень полезно изучить фазовую синхронизацию хаотических осцилляторов в терминах неустойчивых периодических орбит (НПО). Эти орбиты образуют внешней периодической силой (уравнение ( 2.11)). скелет хаотического аттрактора [50]. Каждая из этих неустойчивых траекторий имеет собственный период. И если мы прикладываем внешнюю силу к такой траектории, то она может быть синхронизована этой внешней силой в полной аналогии с вынужденной синхронизацией периодических автоколебаний. Анализируя воздействие на каждую НПО, мы в случае их синхронизации будем иметь множество языков Арнольда, соответствующих областям фазового захвата каждой НПО. Область, где имеет место пересечение всех этих языков, - область хаотической фазовой синхронизации. Действительно, для хаотической траектории, блуждающей вблизи НПО, разность фаз внешнего сигнала и самой траектории всегда ограничена.
При численном определении областей фазового захвата НПО, вложенных в аттрактор Ресслера, было обнаружено количественное совпадение с приведенным рассмотрением [76]. Кроме того, казалось, что под влиянием внешней силы некоторые НПО автономного осциллятора покидают область, покрываемую аттрактором, и могут посещаться очень редко.
При исследовании хаотической фазовой синхронизации в терминах НПО оказывается возможным прояснить особенности, которые отсутствуют при синхронизации периодических колебаний. Детальный анализ будет дан в следующем разделе в контексте несовершенной фазовой синхронизации и механизмов перехода к фазовой синхронизации.
Теперь обсудим более подробно как происходит десинхронизация при выходе управляющего параметра из области фазового захвата. Чтобы получить более глубокое понимание этой проблемы, мы снова будем рассматривать фазовую синхронизацию хаотических осцилляторов в терминах неустойчивых периодических орбит [74,76]. Эволюция стробоскопически регистрируемых амплитуд х и фаз if хаотического сигнала в моменты времени кратные периоду внешней силы можно описать с помощью следующего точечного отображения [74] которое является по существу отображением окружности, связанным с хаотическим отображением /. В этом контексте Q имеет смысл разности между частотой хаотического осциллятора и частотой внешней силы, е - сила связи, пропорциональная амплитуде внешней силы, и д(х(п)), соответствует неоднородности вращений фазы в хаотическом осцилляторе, появляющейся как следствие хаотичности амплитуды колебаний х. Средняя скорость роста фазы, то есть соответствует числу вращения фазы, а выполнение условия АО, = 0 свидетельствует о наступлении режима вынужденной синхронизации. Без потери общности, были взяты - хаотическое отображение палатки (tent map) /(re, ip) = 1 - 1.9ж + 0.05esin[27r (n)] и g(x) = 0.05a;.
Анализ системы (2.13) базируется на представлении хаотического аттрактора через вложенные в него НПО [50]. Периодическая орбита периода N имеет реальный период Т То Л7", где То - среднее время возвращения периодической орбиты с периодом "1". Для различных периодических орбит То показывает отклонения от среднего времени возвращения для хаотических колебаний, регулируемых в отображении функцией д{х). Вследствие этих отклонений, каждая периодическая орбита имеет свою область фазового захвата при периодическом внешнем воздействии (рис. 2.5). В этой иллюстративной дискретной модели область совершенной фазовой синхронизации есть область пересечения языков Арнольда для всех НПО.
Теперь рассмотрим выход из синхронного режима с точки зрения теории бифуркаций. В области совершенной хаотической фазовой синхронизации для конкретной НПО несвязанное отображение окружности (в (2.13) д(х(п)) = 0) имеет устойчивую неподвижную точку (ps и неустойчивую неподвижную точку ipu и, соответственно, для полного отображения (2.13) каждая неустойчивая периодическая орбита связана с аттрактором и репеллером в направлении р. В полном фазовом пространстве (х, ), аттрактор (х, ips) и репеллер (х, (ри) четко отделены (рис. 2.6(a)). Если фазу рассматривать на линии, а не на окружности, то репеллеры это периодические орбиты на границе бассейнов притяжения аттракторов [75]. При пересечении управляющим параметром границы синхронизации аттрактор и репеллер одной или сразу нескольких НПО сливаются и исчезают в результате бифуркации седло-узла, как это проиллюстрировано на рис. 2.6 (Ь). Следовательно, эта(и) НПО не захвачена(ы) внешней силой, и, следовательно, могут произойти проскоки фазы. При этом динамика вдоль оси tp та же самая, как при обычной буфуркации седло-узла.
Синхронизационные переходы в сетях со случайно распределенными индивидуальными частотами
Обратимся теперь к результатам численного моделирования системы (2.16). Во всех экспериментах использовалось иррациональное значение и = 0.001 27г -1. На рис. 2.8(a) проиллюстрировано явление захвата средней длительности ламинарной стадии для различных значений є при увеличении амплитуды внешнего сигнала А. Легко убедиться, что теоре тический результат для длительности ламинарной стадии в режиме синхронизации (2.25) дает очень хорошее приближение. Интересно отметить, что это хорошее совпадение численного и теоретического результатов имеет место и в том случае, когда условия А С є и (2.21) не выполняются. Вблизи плато синхронизации кривые, представленные на рис.2.8, демонстрируют квадратичный закон сходимости, что хорошо согласуется с (2.27). Кроме того, фазовый захват, проиллюстрированный на рис.2.8(b) подтверждает фазовую природу наблюдаемой хаотической синхронизации. Фаза колебаний вычислялась в соответствии с (1.19).
На рис.2.9(a) на плоскости параметров (Л, є) представлены первые три зоны синхронизации Sk, к = 1,2,3 и область І0//, в которой перемежаемость отсутствует. Расчеты показывают, что точки соприкосновения зон синхронизации Sk с осью ординат (А = 0) расположены согласно (2.21), что соответствует параметрическому резонансу в (2.20). Увеличенные области Si и I0ff показаны на рис. 2.9(b). Границы первой зоны синхронизации, полученные из выражения (2.26) (линия, помеченная о ) обнаруживают хорошее совпадение с численными результатами. Для более детального анализа синхронного режима мы провели вычисление ляпуновских показателей. Это позволило установить, что область синхронизации состоит из двух качественно различных подобластей. В Si ляпуновский показатель положителен, в то время как в Sf он отрицателен, и хаос отсутствует. При этом динамика отображения (2.16) в S{ остается нетривиальной, и вид аттрактора в неавтономном фазовом пространстве указывает на возможность существования странного нехаотического аттрактора.
В заключении обратим внимание на еще один важный аспект настоящего исследования. Поскольку изучение маломерного (временного) хаоса может рассматриваться как промежуточный этап в изучении многомерного (пространственно-временного) хаоса, поставленная задача может иметь важное значение при исследовании синхронизации и управления турбулентным режимом, который во многих случаях имеет черты хаотической динамики с перемежаемостью. Такая динамика наблюдается для большого числа физических, химических и инженерных систем, например в лазерах, полупроводниках, плазме, при процессах окисления, электронных устройствах, и т.д.
Системы с хаотическими аттракторами могут быть синхронизированы по частоте и фазе. Это показано для хаотических аттракторов, которые рождаются через удвоения периодов периодических движений (осциллятор Ресслера) и через перемежаемость (система Лоренца и соответствующее модельное отображение). Существует много общего в синхронизации регулярных и хаотических осцилляторов. Но в последнем случае следует отличить совершенную и несовершенную фазовую синхронизацию, наступление которых зависит от спектра частот неустойчивых периодических орбит рассматриваемых систем. Совершенная фазовая синхронизация хаотического осциллятора имеет место в области параметров, где пересекаются языки Арнольда для всех неустойчивых периодических орбит, составляющих "скелет"хао-тического аттрактора. Используя внешнее периодическое воздействие, можно управлять характерными временными масштабами хаотических осцилляторов. Этот эффект может найти применение в теории управления хаосом при создании электронных и радио-устройств с управляемым спектром, что в настоящее время является весьма актуальным при использовании динамического хаоса для секретной передачи инфрмации [31]. В заключение следует упомянуть другие интересные явления, возникающие в задачах воздействия внешней силы на регулярные и хаотические системы: (а) Сильное воздействие, приложенное на сильно нелинейный периоди ческий осциллятор, может привести к возникновению хаотического пове дения [8]; (б) Периодическая внешняя сила, действующая на хаотическую систе му, может подавить хаос и как результат появится периодический режим. Этот эффект имеет место для достаточно сильного воздействия [8]. (в) Импульсное периодическое воздействие используется в задачах управляемого хаоса [86-91].
