Содержание к диссертации
Введение
1. Хаотическая синхронизация цифровых динамических систем 13
1.1. Общая постановка задачи 13
1.1.1. Вводные понятия и определения 13
1.1.1.1. Спектр фрактальных размерностей странного аттрактора 13
1.1.1.2. Корреляционный интеграл и корреляционная размерность 16
1.1.1.3. Практический расчет на ЭВМ корреляционного интеграла 18
1.1.1.4. Ляпуновские показатели и ляпуновская размерность 19
1.1.1.5. Практический расчет на ЭВМ ляпуновской размерности 20
1.1.2. Происхождение изучаемых моделей 21
1.2. Системы с разрывной периодической нелинейностью 24
1.2.1. Динамические свойства уединенных систем II и III порядков 24
1.2.1.1. Краткий обзор сведений о системах с разрывной нелинейностью II порядка 24
1.2.1.2. Асимптотическая устойчивость нулевого состояния равновесия в системе III порядка 30
1.2.1.3. Размерностные характеристики странных аттракторов 32
1.2.2. Устойчивость по вероятности хаотической синхронизации в системе цифровых осцилляторов 35
1.2.2.1. Постановка задачи 35
1.2.2.2. Слабая устойчивость (по Милнору) синхронного хаотического режима 37
1.2.2.3. Устойчивость антисинхронного решения 44
1.2.2.4. Синхронизация осцилляторов с обобщенной связью. Матрица связи 46
1.2.2.5. Устойчивость хаотической синхронизации в системе осцилляторов третьего порядка 46
1.2.3. Характер и длительность переходных процессов 48
1.2.3.1. Переходной процесс на пути к синхронизации 48
1.2.3.2. Управление длительностью переходного процесса 50
1.2.4. Прикладные аспекты применения систем с разрывной нелинейностью 53
1.3. Системы с нелинейностью треугольного типа 57
1.3.1. Динамические свойства парциальных систем II и III порядков 57
1.3.1.1. Вывод модели осциллятора ОГЛАВЛЕНИЕ
1.3.1.2. Устойчивые неподвижные точки и циклы малых периодов 58
1.3.1.3. Неупорядоченные устойчивые режимы 60
1.3.1.4. Асимптотическая устойчивость состояния равновесия в системе III порядка 62
1.3.2. Устойчивость хаотической синхронизации в системе двух осцилля торов 63
1.3.2.1. Постановка задачи 63
1.3.2.2. Ляпуновские показатели системы связанных осцилляторов 66
1.3.2.3. Критерии устойчивости хаотической синхронизации
1.3.3. Переходные процессы 73
1.3.4. Сферы практического использования систем с треугольной нелинейностью 74
2. Применение хаотической синхронизации в задачах передачи информации 76
2.1. Хаотическая синхронизация как основа систем связи. Введение 76
2.2. Система связи с хаотической несущей на цифровом сигнальном процессоре ADSP-2181 с компенсацией амплитудно-фазовых искажений
2.2.1. Математическая модель асимметричной системы 78
2.2.2. Искажения сигнала при передаче в канале и их компенсация 80
2.2.3. Корректор амплитудно-фазовых искажений 85
2.2.4. Реализация системы на цифровом сигнальном процессоре 89
2.3. Детектирование хаотических сигналов методом согласованной фильтрации 101
2.3.1. Постановка задачи 101
2.3.2. Согласованная фильтрация хаотического сигнала 103
2.3.3. Идеализированная модель системы 103
2.3.4. Результаты численных экспериментов 106
2.4. Кластерная коррелированность хаотических сигналов и чувствительность к случайным возмущениям 110
2.4.1. Постановка задачи НО
2.4.2. Разбиение пространства параметров 112
2.4.3. Алгоритм поиска кластеров 117
2.4.4. Численное моделирование системы связи 119
Заключение 122
A. Формулы для определения мгновенной амплитуды и частоты квазигар монического сигнала 125
B. Особенности реализации алгоритма приема-передачи на процессоре ADSP 2181 128
Литература
- Корреляционный интеграл и корреляционная размерность
- Асимптотическая устойчивость состояния равновесия в системе III порядка
- Система связи с хаотической несущей на цифровом сигнальном процессоре ADSP-2181 с компенсацией амплитудно-фазовых искажений
- Кластерная коррелированность хаотических сигналов и чувствительность к случайным возмущениям
Корреляционный интеграл и корреляционная размерность
Отрезок А\А2 (таб. 1.1) проходит в области, в которой существуют гиперболические странные аттракторы; диапазон а Є (—0.5,0.5) соответствует устойчивому состоянию равновесия. Из таблицы видно, что при увеличении абсолютного значения параметра а корреляционная размерность Dc растет вначале логарифмически, выходя затем на насыщение: Dc 2 и Dc(a) — 2 при а — оо. На границе с областью устойчивости нулевого решения Dc(a) — 1, \а\ —» 0.5. Такая зависимость хорошо согласуется с видом аттракторов в фазовом пространстве: вблизи границы устойчивости аттрактор визуально состоит из небольшого числа коротких отрезков, тогда как при удалении от неё, плотность за-полняемости заметно возрастает.
Отрезок В\В2 (таб. 1.2) соответствует области отрицательных Ъ с гиперболическими аттракторами. Поведение корреляционной размерности на этом отрезке подобно предыдущему случаю A\A i.
В противоположность отрезкам А\А2 и В\В2, отрезок С\С2 (таб. 1.3) располагается в направлении, параллельном оси ОЪ. Он, в частности пересекает границы существования гиперболических аттракторов 6 = 1 и прямую Ь = —а + 1. Последнее обстоятельство проявляется в виде аномалии размерности в точке (2.5,-1.5): в этом случае Dc(b) = 1, а динамика системы сводится к одномерной9. На рис. 1.11 показан график данных из таблицы 1.3 в сравнении с теоретической кривой (1.38). Столбики ошибок задают дисперсионный доверительный интервал, который определяется при линейном регрессионном анализе графика корреляционного интеграла. Из графика видно, что имеется достаточно хорошее соответствие между двумя оценками. В области 6 1, как показывает численный счет, размерность аттрактора снизу приближается к топологической размерности фазового пространства системы, равной двум.
Одной из наиболее важных задач при рассмотрении синхронных хаотических режимов в системах генераторов является построение условий устойчивости синхронизации, которые определяют как принципиальную возможность использования системы в практических приложениях, то есть отвечают на вопрос о существовании синхронных хаотических колебаний, так и дают области параметров, для которых это явление имеет место. В частности, для задачи построения системы передачи данных с использованием хаотических сигналов вопрос об устойчивости синхронизации имеет принципиальное значение, поскольку именно явление синхронизации обеспечивает реальный механизм взаимодействия приемной и передающей сторон, позволяя произвести извлечение передаваемой информации из хаотического сигнала. Как уже отмечалось, на сегодня существует несколько принципиально отличных методов передачи данных с использованием динамического хаоса. Они отличаются друг от друга типом передаваемого сигнала (аналоговый или цифровой), способом модуляции хаотического колебания (аддитивное смешивание, параметрическая модуляция, нелинейное подмешивание и др.), видом используемых аттракторов отображений или потоков (в зависимости от того, цифровая или аналоговая система), величиной базы передаваемого сигнала, а также требованиями к качеству физического канала передачи.
Рассмотрим интересующую нас систему связанных цифровых генераторов, построенных по схеме цифровых фильтров, сумматор которых обладает заданным типом нелинейности, обусловленной процедурой обработки ситуации переполнения при реализации этих устройств. Такая ситуация непременно возникает, когда нулевое решение уравнения автономного фильтра теряет устойчивость. Отметим, что уединённые осцилляторы такого типа с рядом наиболее типичных нелинейностей сумматора (насыщения, обнуления, пилообразной периодической функции, треугольного типа (Tent Map) и др.) широко изучались (см. например [48, 49, 56]). В работе [69] автором исследовались регулярные режимы системы связанных осцилляторов второго порядка в случае нелинейности насыщения: устойчивость нулевого состояния равновесия, существование и устойчивость синхронных суперустойчивых циклов, а также (для случая нелинейности треугольного типа) проведено численное изучение обнаруженных синхронных хаотических режимов и метрических свойств синхронизирующихся аттракторов. Далее в этом разделе продолжаются исследования указанной работы, причем основное внимание уделяется устойчивости синхронных хаотических режимов.
Блок-схема системы связанных цифровых генераторов приведена на рис.1.12, на котором символами Z-1 показаны элементы задержки, треугольниками - умножители, а прямоугольниками со знаком + - нелинейные сумматоры. Математической моделью этой системы без учета эффектов квантования является четырехмерное отображение вида Еп+1 = Уп 1 Уп+і = f{ayn-\-bxn + di(xn-pn)), . . Рп+1 — Яп 5 . Яп+і = f(aqn + Ьрп + d2(p„ - хп)), где а и 6 параметры парциальных фильтров, dj - коэффициенты связи между генераторами. Будем считать, что связь в системе (1.53) носит диффузионный характер. Очевидно, что в такой системе всегда существуют синхронные режимы, когда хп = рп. Функция f(z) - пилообразная периодическая.
Исследование уединённого осциллятора с таким типом нелинейности [48] показывает, что основным видом движения в системе (1.53) для значений параметров {а, 6}, лежащих вне области локальной устойчивости нулевого решения, являются странные аттракторы. Эти аттракторы можно разделить по крайней мере на два класса, отличающиеся как характером инвариантной меры, так и размерностными характеристиками. Границей раздела между ними в пространстве параметров являются две параллельные прямые 6 = 1. При \Ь\ 1 инвариантная мера аттрактора сингулярна и представляет собой фрактальную структуру, состоящую из отрезков линий, вне которых она равна нулю. Оценки корреляционной и ляпуновскои размерностей дают значения 1 Dk 2. Напротив, при \Ь\ 1 мера становится квазиравномерной, а фрактальные размерности аттрактора стремятся к топологической размерности фазового пространства (в нашем случае - к 2).
Асимптотическая устойчивость состояния равновесия в системе III порядка
В этой главе хаотические колебания, формируемые цифровыми осцилляторами, рассматриваются как средство передачи информации на расстояние. Основными элементами любой коммуникационной системы являются передатчик, канал передачи и приемник. Передатчик осуществляет преобразование входного информационного потока в форму, удобную для передачи через канал. Кодирование и модуляция - основные этапы такого преобразования. Сигнал с выхода передатчика поступает в канал передачи, транслирующий его на вход приемника, внося некоторые искажения, которые могут иметь различную природу. Приемник осуществляет демодуляцию и декодирование, формируя на своем выходе информационный сигнал. Искажения, которые вносит канал передачи, отражаются на качестве восстановления информации в приемнике. Мерой качества восстановления в случае передачи аналоговых сигналов служит отношение сигнал/шум на выходе приемника, а в случае передачи цифровых данных - вероятность ошибочного приема или коэффициент ошибки[85, 86]. Для успешного функционирования цифровой коммуникационной системы необходимо, кроме собственно полезного сигнала, иметь на приемной стороне еще сигнал синхронизации, который обеспечивает возможность цифровой демодуляции. Сигнал синхронизации может быть передан через отдельный канал. Однако, как правило, в целях экономии канальной емкости, синхросигнал извлекается из передаваемого полезного сигнала с помощью некоторой специальной схемы синхронизации.
Передача информационных сигналов на хаотической несущей осуществляется с помощью ряда методов модуляции хаотического сигнала полезным сигналом. Обычно модуляция хаотической несущей одновременно выполняет функцию кодирования передаваемого сигнала. Явление хаотической синхронизации обеспечивает автоматическую синхронизацию приемной и передающей сторон и, таким образом, позволяет выделить синхросигнал из передаваемого хаотического сигнала
Необходимо отметить ряд обстоятельств, которые могут оправдывать применение хаотических колебаний в коммуникационных системах [14, 21, 28, 96]. Во-первых, это возможность создания закрытых каналов передачи информации: данные передаются в существенно закодированном виде, поскольку открыто транслируемый сигнал может быть сделан статистически независимым от формы входного информационного сигнала. Здесь важно отметить, что такое преобразование (модуляция) осуществляется на аппаратном уровне достаточно быстро, что позволяет строить широкополосные системы. Во-вторых, спектральными свойствами хаотических сигналов можно легко управлять, регулируя параметры хаотических систем и варьируя ширину полосы передаваемого сигнала. Это обстоятельство дает возможность создания систем с расширенным спектром, которые обладают повышенной помехоустойчивостью и рядом других полезных свойств. Кроме этого, цифровые хаотические системы можно использовать в качестве кодеров и декодеров информации в чисто цифровых системах передачи, например, в компьютерных сетях.
Обратимся теперь к методам модуляции хаотических сигналов, которые непосредственно обеспечивают передачу информационных сигналов. Исходный (немодулирован-ный) хаотический сигнал при этом называют хаотической несущей по аналогии с подобным понятием, используемым для обозначения гармонического радиосигнала гетеродина в традиционных системах радиотелекоммуникаций. К настоящему времени предложено несколько различных подходов и схем использования хаотических сигналов в системах передачи информации [14]. Некоторые из них перечислены ниже:
Хаотическая маскировка (chaotic masking). В случае хаотической маскировки информационный сигнал s(t) суммируется с выходным сигналом хаотического генератора x(t).B канал передается результирующий сигнал s(t)-\-x(t). Этот метод обладает существенным недостатком: мощность сигнала s(t) должна быть много меньше мощности несущего колебания x(t), чтобы маскирование было достаточно надежным. Это приводит к низкому отношению сигнал/шум на выходе приемника. Кроме того, параметры генератора хаоса (в случае низкой фрактальной размерности x(t)) могут быть определены с помощью адаптивных методов оценки параметров, поскольку в канале присутствует практически неизмененный сигнал источника. - Переключение хаотических режимов (chaos shift keying). При переключении хаотических режимов используется кодирование двоичного информационного сигнала путем передачи в канал двух различных хаотических колебаний со сходными статистическими свойствами. Оба режима выбраны таким образом, что для них передатчик и приемник могут быть синхронизированы. Основной недостаток данной схемы - низкая скорость передачи данных, обусловленная переходными процессами при установлении синхронизации на каждом изменении бита передаваемой информации. - Нелинейное подмешивание информационного сигнала (nonlinear mixing). В этом методе информационный сигнал участвует в формировании хаотического поведения автоколебательной системы, что можно рассматривать как нелинейное подмешивания информационного сигнала к сигналу собственных колебаний хаотического генератора. Для извлечения информации в приемнике реализуется нелинейный согласованный фильтр, осуществляющий тот же вид нелинейного преобразования, и в передатчике. Далее производится вычитание сигнала, прошедшего через фильтр, из сигнала на входе приемника (получение синхронного хаотического отклика). - Дуальное нелинейное преобразование (inverse systems). Здесь передатчик состоит из хаотической системы, в которую поступает информационный сигнал. Приемник является инверсной системой по отношению к передатчику. Важным преимуществом систем с дуальным нелинейным преобразованием является высокая скорость передачи, поскольку синхронизация между передатчиком и приемником устанавливается на все время связи и, следовательно, переходные процессы не замедляют работу.
Система связи с хаотической несущей на цифровом сигнальном процессоре ADSP-2181 с компенсацией амплитудно-фазовых искажений
Классическое оптимальное решение упомянутых задач состоит в вычислении коэффициента корреляции принятого и эталонного сигналов при условии существования их взаимной синхронизации во времени. Такое решение в принципе не работает для хаотических систем. Трудность состоит в том, что, если хаотическая синхронизация имеет место, то этого уже достаточно для передачи информации (нет необходимости иметь эталонный сигнал, который, тем не менее, легко получить). Напротив, если синхронизация не может установиться в силу каких-либо причин, то практически невозможно сформировать эталонный сигнал для корреляционного анализа. Последнее обстоятельство обусловлено принципиальной непериодичностью хаотических сигналов. Причинами, приводящими к разрушению синхронизации, могут быть случайные помехи и детерминированные искажения, вносимые в сигнал при передаче. Внесение в канале передачи даже малых искажений приводит к резкому возрастанию вероятности ошибочного декодирования информационного сигнала (уменьшению соотношения сигнал/шум) методом синхронного хаотического отклика и другими известными методами. Это связано с локальной неустойчивостью орбит на странном аттракторе порождающей динамической системы. Поэтому остается открытым вопрос о существовании способов декодирования искаженного сигнала, вероятность ошибки в которых была бы обратно пропорциональна (в смысле тенденции) количеству отсчетов несущего хаотического колебания, приходящихся на элементарную информационную посылку. Эта задача, очевидно, сводится к отысканию методов обнаружения хаотического сигнала, порождаемого известной системой, в присутствии помех. Вероятность обнаружения при этом должна возрастать при увеличении длительности (числа отсчетов) анализируемого сигнала.
В этом разделе рассматривается модель цифровой системы связи с хаотической несущей, которая основана на использовании нелинейного цифрового фильтра с нелинейностью пилообразного типа для формирования хаотических сигналов. Предлагается подход к решению обозначенной выше проблемы в частном случае изучаемой модели, который состоит в применении согласованного цифрового фильтра для обнаружения сигналов, искаженных как гауссовыми шумами, так и хаотическими сигналами родственной природы. Кроме шумовых мы рассмотрим искажения, связанные с ослаблением сигнала в канале.
Принцип работы системы с согласованной фильтрацией хаотического сигнала продемонстрирован на рис. 2.19, на котором изображена схема простейшей системы передачи двоичной информации. Здесь GC\ и СС2 - генераторы хаотических колебаний [48, 49, 69] с векторами параметров а и b соответственно. Параметры выбираются таким образом, чтобы порождаемые хаотические последовательности трудно было разделить методами статистической обработки без знания значений параметров порождающей динамической системы [18, 20, 89]. Информационный двоичный сигнал Ik управляет генераторами так, что для двоичной 1 в канал передачи транслируется сигнал от первого генератора, а для 0 - от второго. Период управления, равный количеству дискретов осциллятора для передачи одного символа, обозначен символом 0.
Основу приемной части системы составляет согласованный с сигналом первого осциллятора фильтр MF[a] и блок статистической обработки и принятия решения SU. Под согласованным фильтром в данном случае мы будем понимать некоторый обработчик, который осуществляет преобразование статистически неразделимых хаотических сигналов в разделимые, используя информацию о значениях параметров и структуре порождающего генератора. Блок SU выполняет соответствующую статистическую обработку сигнала на выходе согласованного фильтра и формирует бинарный сигнал: 1, когда согласующий хаотический сигнал обнаружен, и 0 - в противном случае.
Таким образом, основная задача состоит в отыскании алгоритма преобразования для согласованного фильтра, который обеспечил бы статистическое разделение хаотических сигналов на фоне шумов и ослаблений, вносимых каналом передачи.
Модель системы связи с хаотической несущей, построенная по принципу синхронного хаотического отклика подробно изучалась ранее [14, 44, 69, 71]. На рис. 2.20 показан вид ее упрощенной структуры, а математическая модель определяется следующей системой разностных уравнений: Уп+2 = Дауп+1 + Ьуп), /2 15ч Zn+2 = f(sn+2 aSn+1 bsn), где yn - динамическая переменная хаотического осциллятора, sn - результат преобразования в канале передачи последовательности уп, zn - выходная последовательность согла 103
Упрощенная модель системы связи с хаотической несущей сованного фильтра приемника, а и b - параметры осциллятора. Разрывная периодическая нелинейность f(z) имеет вид (2.2).
В [69] было показано, что в случае идеализированной модели канала передачи, когда sn = уп, после короткого переходного процесса наступает строгая синхронизация и информационный сигнал полностью восстанавливается нелинейным согласованным фильтром приемника. Для системы (2.15) это означает, что zn = 0, Vn 2. Внесение искажений в виде аддитивного подмешивания несмещенного гауссового шума в канале приводит к появлению шума в декодированном информационном сигнале, причем коэффициент усиления среднеквадратического уровня шума а а оказывается для хаотических режимов осциллятора значительно больше единицы. Значительно более существенно на синхронизацию влияют ослабление (или усиление) сигнала в канале: если не предпринимать специальных мер обеспечения компенсации таких ослаблений, то синхронизация практически всегда полностью разрушается. То есть имеет место критическая зависимость декодирующей системы от ослаблений (или усилений). Таким образом проявляется в данной системе упомянутая во введении проблема чувствительности к искажениям.
Кластерная коррелированность хаотических сигналов и чувствительность к случайным возмущениям
Рассмотрим задачу организации систем приема-передачи данных на основе хаотической синхронизации двух осцилляторов. Как известно, такие системы могут функционировать по принципу переключения хаотических режимов [14]. Название в англоязычной литературе - Chaos shift keying. Согласно этому принципу передача двоичной информации происходит за счет кодирования двух состояний двумя хаотическими сигналами со сходными статистическими свойствами, но различными наборами параметров соответствующих осцилляторов. Эти два режима осцилляторов выбираются таким образом, чтобы выполнялись условия устойчивости синхронизации передатчика и приемника. Приемник состоит из двух осцилляторов, каждый из которых настроен (за счет установки параметров) на один из сигналов. В процессе передачи информационный двоичный поток управляет осциллятором передатчика, осуществляя перестройку его параметров, а на приемной стороне осуществляется восстановление исходного двоичного потока с помощью слежения за возникновением хаотической синхронизации приемных осцилляторов с передающим.
К сожалению, представленный выше способ передачи обладает рядом недостатков. Основной недостаток состоит в низкой относительной скорости передачи данных, при том условии, конечно, что физический канал передачи имеет полосу пропускания сравнимую с шириной спектра информационного сигнала. Малая величина скорости передачи связана с ненулевой длительностью переходных процессов при синхронизации (см. разделы 1.2.3 и 1.3.3). Другими словами, для того, чтобы две системы - передающая и приемная - с произвольными начальными условиями вошли с заданной точностью в состояние синхронизма требуется некоторое время. Величина этого времени зависит от следующих факторов: типа отображения, набора его параметров и порогового уровня точности є, отделяющего несинхронные и е-почти синхронные состояния. В частности, для изучаемых здесь отображений время переходного процесса для большинства2 режимов составляет несколько десятков, а то и сотен, временных дискретов. То есть один бит информации в канале передачи будет представляться достаточно длинной последовательностью вещественных чисел.
Другой недостаток состоит в следующем: используемые в системе отображения, как правило, содержат в пространстве своих параметров целые непрерывные области, для которых имеет место хаотическая динамика. Для типичных странных аттракторов характерна гладкая зависимость их статистических свойств от параметров отображения [2]-[6]. Благодаря этому обстоятельству, существует возможность использования не двух, а значительно большего количества режимов для кодирования целых слов информационного потока. Описанный выше способ использует лишь два режима.
Нетрудно видеть, что эти два недостатка взаимосвязаны. Действительно, если мы воспользуемся возможностью выбирать более двух хаотических режимов, то за одну посылку
Система кодирования и декодирования информации на основе хаотической синхронизации приемо-передающих подсистем сможем передавать более одного бита информации. В частности, для того чтобы на каждый бит информации приходился один отсчет хаотической последовательности нужно набрать различных режимов (или совокупностей параметров) в количестве, равном двум в степени максимальной длины переходных процессов при синхронизации в каждом из режимов. Таким образом формируется своего рода алфавит. Эта схема проиллюстрирована на рис. 2.27, где для примера каждой четверке бит ставится в соответствие индивидуальный режим х\. В этом случае алфавит состоит из 24 = 16 режимов. В самом общем случае потребуется 2" различных хаотических последовательностей, где п - длина двоичного слова. Пусть N - максимальная длительность переходных процессов синхронизации, a L - количество различных хаотических режимов в алфавите, тогда скорость передачи двоичных данных S будет определяться следующим образом: S[6um I отсчет] = —- — . (2.25) цесс5, в течение которого УПР ожидает и не выполняет никаких действий, в течение следующих Q отсчетов УПР выполняет накопление данных и соответствующий анализ. Подразумевается также, что тактовая синхронизация приемо-передающих цифровых подсистем осуществляется автоматически за счет использования соответствующих методов модуляции.
Приведем основные параметры экспериментов. В качестве осцилляторов были использованы системы (1.82) и (1.97) с треугольной нелинейностью 2-го и 3-го порядков соответственно. Следующие величины были выбраны, исходя из анализа переходных процессов в этих системах (см. п.1.3.3): N = 45, Q = 19 (так, что время передачи одного бита N + Q — 64). В качестве модели шума еп был взят равномерно распределенный псевдошумовой сигнал с амплитудой Ае. Другие величины: Q\ = 20%, Q2 = 60%, d\ = 0 (однонаправленная связь), d = —0.8. Шаг сетки разбиения пространства параметров: Да = ДЬ = Де = Ає. Шаг сетки при построении гистограмм: h = 0.05. Порог идентификации УПР: e(N, Q) = Ає. При проверке на синхронизацию использовалась передача 32 двоичных данных. Синхронизация принималась устойчивой, если при передаче не происходило принятия неверных решений, т.е. все 32 бита передавались успешно.
Результаты численного анализа приведены в таблице 2.1, которая отражает зависимость объема кластерного алфавита Ьд от амплитуды шума и размерности осциллятора. Нужно отметить, что рассмотренный алгоритм является очень трудоемким в случае, когда количесво кластеров превышает несколько десятков. Поэтому, в частности, величину значение которой, вероятно, значительно больше 10000, оказалось невозможным рассчитать за приемлемое время. На рис.2.34 показан набор параметров, отобранных алгоритмом для случая LQ{. Из этого рисунка видно, что кластерный алфавит составляют наборы параметров, соответствующие второму типу хаотических аттракторов, существующих в системе второго порядка с треугольной нелинейностью (см. раздел 1.3.2).
Отдельный анализ режимов, отобранных алгоритмом, показал, что все они являются хаотическими или длиннопериодическими циклами. Поскольку длина передаваемых данных (N + Q) сильно ограничена, длиннопериодические циклы с периодом, превышающим эту величину, могут быть использованы наравне с хаотическими. Скрытность передаваемой информации в этом случае не уменьшается. Скорость передачи данных в системе можно оценить, используя соотношение (2.25), которое применительно к изучаемой системе связи принимает вид S[6um/отсчет] bg2 N + Q (2.43) Например для Lois S — ё 64 й 1/6 т-е- Для передачи одного бита данных требуется б отсчетов сигнала связи. Важный вывод, который следует из полученных результатов состоит в том, что увеличение размерности системы эффективно способствует увеличению количества кластеров.
