Содержание к диссертации
Введение
1. Нахождение собственных значений нелинейных одномерных осцилляторов с помощью метода Линдштедта-Пуанкаре 12
1.1. Метод Линдштедта-Пуанкаре 13
1.2. Интегрирование классических уравнений движения методом Линдштедта-Пуанкаре 15
1.3. Правило Бора-Зоммерфельда 24
1.4. Основные результаты 30
2. Нахождение собственных значений оператора Шрёдингера методом нормальных форм Депри-Хори 34
2.1. Постановка задачи 35
2.2. Метод нормальных форм Депри-Хори для одноямного потенциала 36
2.3. Метод нормальных форм Депри-Хори для потенциала с двумя минимумами 42
2.4. Результаты численных расчетов 48
2.5. Сравнение метода нормализации Депри-Хори и метода вычисления спектра с помощью рядов Линдштедта-Пуанкаре 50
3. Символьно-численный метод решения уравнения Шрёдингера с помощью степенных рядов 60
3.1. Случай одного минимума 61
3.2. Результаты численных расчетов 64
3.3. Символьно-численный метод решения уравнения Шрёдингера с помощью степенных рядов в случае двухъямного потенциала ...66
3.4. Полученные результаты 69
Заключение 75
Список литературы 77
Приложение 90
- Интегрирование классических уравнений движения методом Линдштедта-Пуанкаре
- Метод нормальных форм Депри-Хори для одноямного потенциала
- Сравнение метода нормализации Депри-Хори и метода вычисления спектра с помощью рядов Линдштедта-Пуанкаре
- Символьно-численный метод решения уравнения Шрёдингера с помощью степенных рядов в случае двухъямного потенциала
Введение к работе
Актуальность темы. Многие задачи квантовой механики [1 - 7], прикладной математики, техники [8-13] приводят к уравнениям, в которых требуется найти собственные значения и собственные функции различных линейных операторов. К таким уравнениям относится, в первую очередь, нерелятивистское уравнение Шрёдингера.
В данной работе предложены новые способы решения задачи на собственные значения некоторых дифференциальных операторов на примере одномерных ангармонических осцилляторов. Ангармонический осциллятор -это колебательная система, в которой присутствует внешняя сила. Такие системы имеют практическую значимость, например, в квантовой механике (задача о поведении частицы во внешнем поле), в химии (исследование периодических реакций, управление химическими реакциями с выходом заданного реагента [14 — 16]), в технике (нанотехнологии, управление хаосом в микросистемах и др.).
В этих и других приложениях важнейшее значение имеет спектр и собственные функции дифференциального оператора, являющегося моделью исследуемой системы. Они определяют некоторые инвариантные характеристики системы, сохраняющиеся (за исключением масштабирования) при изменении входных параметров. В частности, спектр оператора, входящего в уравнение Шрёдингера [17], определяет все возможные значения полной энергии системы, а его собственные функции являются волновыми функциями исследуемой системы [1 - 3, 18 - 26]. Поэтому нахождение собственных
значений и собственных функций, в том числе, операторов ангармонических осцилляторов, т.е. решение уравнения Шрёдингера, является актуальной задачей.
В большинстве случаев невозможно найти аналитическое решение уравнения Шрёдингера, представимое в явном виде. Решения, полученные в неявном виде или выраженные через специальные функции, зачастую оказываются неудобными для использования в конкретных практических расчетах. Задача усложняется, если система допускает хаотическое поведение [27 — 46]. Поэтому в таких случаях применяются различные приближенные методы, как численные, так и аналитические (см., например [24, 47 — 103]).
Использование численных методов в связи с нелинейностью задачи и сложностью потенциала требует большого объема компьютерных ресурсов. К наиболее разработанным из таких методов относится метод диагонализа-ции [47 — 49]. Однако для достижения достаточной точности этот метод приводит к необходимости диагонализации матриц очень большой размерности, что требует увеличения вычислительных возможностей ЭВМ и влечет рост времени вычислений. Кроме того, как отмечалось выше, точность сильно падает при усложнении потенциальной функции и при наличии неустойчивости решений в исследуемой динамической системе.
Указанные недостатки можно частично устранить, если использовать аналитически-численные методы, в которых сначала выполняются аналитические преобразования исследуемой модели, а затем на основе полученных формул производятся численные расчеты. Для выполнения как аналитических, так и численных этапов решения задачи целесообразно использовать пакеты символьных преобразований - системы компьютерной алгебры (Maple, Reduce, Mathematica и др.).
Таким образом, разработка новых методов, в особенности аналитически-численных, реализация этих методов в виде программных комплексов с использованием современных систем компьютерной алгебры (Maple, Reduce, Mathematica и др.), и их дальнейшее применение для исследования ряда
практически важных математических моделей классической и квантовой механики, является актуальной проблемой математического моделирования динамических систем.
В диссертационной работе предложены новые методы решения задачи на собственные значения для дифференциальных операторов, являющихся математическими моделями квантовых одномерных ангармонических осцилляторов с нелинейностью полиномиального типа. Разработаны алгоритмы, реализованные в виде программ в средах Maple и Reduce, с помощью которых проведены исследования конкретных моделей указанных динамических систем с заданными потенциальными функциями.
Цель диссертационной работы состоит в разработке эффективных аналитически-численных методов, алгоритмов и программ для вычисления спектров и собственных функций дифференциальных операторов одномерных ангармонических осцилляторов на основе получения для них аналитических соотношений с использованием современных средств компьютерной алгебры, а также проведение с помощью разработанных методов и программ численных исследований ряда математических моделей классической и квантовой механики.
Для достижения поставленной цели в диссертационной работе сформулированы и решены следующие задачи.
1. Разработка методов получения аналитических соотношений для собственных значений дифференциальных операторов одномерных ангармонических осцилляторов с одним и двумя минимумами в потенциальной функции в удобной для вычислений форме на основе:
а) полуклассического подхода с использованием метода Линдштедта-
Пуанкаре и правила Бора-Зоммерфельда;
б) метода классических и квантовых нормальных форм Депри-Хори и
правила Вейля;
в) непосредственного интегрирования уравнения Шрёдингера с помощью
степенных рядов.
Разработка программно-алгоритмической поддержки символьных преобразований и вычислений в соответствии с указанными методами на основе средств компьютерной алгебры.
Провести апробацию разработанных методов и программ путем решения следующих задач:
а) нахождение классических траекторий одномерных ангармонических
осцилляторов, потенциальная функция которых имеет один минимум и
различные степени нелинейности, на основе метода Линдштедта-
Пуанкаре;
б) получение приближенной аналитической формулы спектра указанных
динамических моделей с использованием найденных классических траек
торий и правила Бора-Зоммерфельда;
в) приведение классического аналога исследуемого оператора к квантовой
нормальной форме Депри-Хори на основе классической нормальной фор
мы;
г) получение приближенной аналитической формулы спектра операторов
одномерных ангармонических осцилляторов с одним и двумя симметрич
ными минимумами в потенциальной функции на основе найденной кван
товой нормальной формы Депри-Хори и правила Вейля;
д) получение спектров и собственных функций указанных систем путем
непосредственного интегрирования уравнения Шрёдингера с помощью
степенных рядов.
Методы исследований: преобразование математических моделей, методы теории дифференциальных операторов, теории обыкновенных дифференциальных уравнений, математического анализа, методы теоретической и математической физики, метод нормальных форм, методы компьютерной алгебры и вычислительной математики.
Научную новизну работы составляют:
1) методы аналитических преобразований в задаче вычисления собственных значений дифференциальных операторов для уравнения Шрёдингера
на основе метода Линдштедта-Пуанкаре, метода нормальных форм, правила Бора-Зоммерфельда, правила Вейля и непосредственного интегрирования уравнения Шрёдингера с помощью степенных рядов;
алгоритмы символьных преобразований и вычисления собственных значений и собственных функций операторов одномерных ангармонических осцилляторов с полиномиальной потенциальной функцией, имеющей один или два симметричных минимума, на основе средств компьютерной алгебры;
результаты применения предложенных методов:
а) на основе метода Линдштедта-Пуанкаре найдено представление для
решения уравнения
у" + р{х,а)у' + q(x,a)y = О, где q(x,a) - некоторый полином относительно х, а а - малый параметр;
б) с помощью правила Бора-Зоммерфельда и найденных указанным ме
тодом классических траекторий ангармонических осцилляторов с потенциа
лами четвертой, шестой и восьмой степенями нелинейности получены фор
мулы для их спектров в явном виде;
в) с помощью метода нормальных форм Депри-Хори и при помощи
степенных рядов решены одномерные уравнения Шрёдингера для ангармо
нических осцилляторов с четвертой, шестой и восьмой степенями нелиней
ности, включая симметричный ангармонический осциллятор с двумя локаль
ными минимумами.
Практическая значимость результатов. Диссертационная работа носит теоретический и практический характер. Результаты данного исследования могут быть использованы для исследования динамики нелинейных классических гамильтоновых систем и для нахождения спектра и собственных функций их квантовых аналогов. Разработанные программы в среде Maple могут применяться для получения приближенного решения обыкновенных нелинейных дифференциальных уравнений с малым параметром методом Линдштедта-Пуанкаре и последующего нахождения приближенной аналити-
ческой формулы спектра соответствующего оператора по правилу Бора-Зоммерфельда. Результаты диссертационной работы можно использовать для получения квантовых нормальных форм Депри-Хори и спектров одномерного уравнения Шрёдингера в случае различных полиномиальных потенциалов и для решения задачи на собственные значения и нахождения волновых функций в виде степенных рядов, а также в учебном процессе при выполнении курсовых и дипломных работ.
Положения, выносимые на защиту:
Новый метод символьно-численного решения одномерного уравнения Шрёдингера с полиномиальными потенциальными функциями, имеющими один- локальный минимум на основе метода Линдштедта-Пуанкаре и правила Бора-Зоммерфельда.
Способ приближенного решения уравнения Шрёдингера на основе классических нормальных форм Депри-Хори и полученные этим способом аналитические формулы для спектров ангармонических осцилляторов с потенциальными функциями четвертой, шестой и восьмой степени нелинейности.
Приближенные аналитические формулы спектра одномерных ангармонических осцилляторов, имеющих потенциальную функцию с двумя локальными минимумами, полученные с помощью разработанных символьно-численных программ на основе метода нормальных форм Депри-Хори, а также на основе непосредственного решения уравнения Шрёдингера с помощью степенных рядов.
Обоснованность и достоверность полученных результатов обусловлена непротиворечивостью полученных результатов теоремам и положениям теории дифференциальных уравнений и операторов, корректностью математических выкладок, воспроизведением известных результатов, полученных другими методами и другими авторами.
Апробация результатов. Основные результаты диссертационной работы докладывались на конференциях: объединенный семинар по вычисли-
тельной и прикладной математике ЛИТ и по компьютерной алгебре ВМК и НИИЯФ МГУ, (Дубна, 23-24 мая, 2006); «VIII Международная конференция по математическому моделированию» (Феодосия, 12-16 сентября 2006); «Га-гаринские чтения 2006» (Москва, 8-11 апреля 2006); «Современные проблемы математики её приложения в естественных науках и информационных технологиях» (Харьков, 23-25 марта 2007); IV Международный семинар «Физико-математическое моделирование систем» (Воронеж, 26-27 ноября 2007); Всероссийская конференция по проблемам математики, информатики, физики и химии (Москва, РУДН, 21-25 апреля 2008); Международная конференция по математическому моделированию, МКММ - 2008 (15-20 сентября 2008 года, Херсон, Украина, Херсонский национальный технический университет), а также на семинарах кафедры математического анализа БелГУ.
Связь с научными программами, планами и темами. Диссертационная работа выполнена в рамках индивидуального плана подготовки аспиранта по направлению «Нелинейные явления в динамических системах и их физические приложения», утвержденного Ученым советом БелГУ от 3.11.2000 и в соответствии с планами НИР кафедры математического анализа БелГУ, а также в рамках проекта Российского Фонда Фундаментальных Исследований (грант № 03-02-16263).
Личный вклад соискателя. Автор диссертации, работая совместно с научным руководителем, самостоятельно разработал все алгоритмы и программы, представленные в диссертации. Его вклад в проведение исследований и получение результатов является определяющим. Основные научные результаты, изложенные в диссертации, получены либо лично соискателем, либо при его непосредственном участии.
Публикации. Основное содержание диссертационной работы отражено в 12 публикациях в виде статей (из которых две в журналах из списка ВАК РФ) в специализированных журналах, в сборниках трудов всероссийских и международных конференций. Программа LINDA по теме диссерта-
ционного исследования зарегистрирована в Отраслевом Фонде Алгоритмов и Программ.
Структура и объем диссертации. Диссертационная работа состоит из введения, трех глав, заключения, списка литературы из 120 наименований, 12 таблиц, 7 рисунков и пяти приложений. Содержание работы изложено на 130 страницах.
Интегрирование классических уравнений движения методом Линдштедта-Пуанкаре
Рассмотрим одномерное уравнение Шрёдингера в котором Е — собственные значения, а у/(х) — собственные функции опера А. тора Н ц, определяемого следующим выражением где 0 а с 1 — параметр; х — пространственная координата, зависящая от переменной т, которая играет роль времени; ju = 4,6,8 - степень нелинейности. Будем искать спектр оператора (1.2.2), т.е. возможные значения постоянной Е, удовлетворяющие уравнению Шрёдингера (1.2.1). Для решения задачи (1.2.1) - (1.2.2) воспользуемся полуклассическим подходом, и рассмотрим вначале классическую гамильтонову функцию, соответствующую оператору (1.2.2): где р = х - импульс, также зависящий от времени Т.
Уравнения движения системы (1.2.3) легко свести к единственному дифференциальному уравнению второго порядка: где х = х(г) - неизвестная функция, х"(г) = —2 . Уравнение (1.2.4) известно в литературе как уравнение Дюффинга. Его широко используют как тестовую модель для проверки различных приближенных методов [89, 90], и, кроме того, оно представляет самостоятельный интерес. Следуя полуклассическому подходу, вначале найдем классические траектории системы (1.2.3), решив уравнение (1.2.4) методом Линдштедта-Пуанкаре, а затем применим к ним правило Бора-Зоммерфельда [1-3,7]. Введем новую переменную tt по формуле постоянные, значения которых выбираются таким образом, чтобы исключить из решения секулярные члены. Тогда уравнение (1.2.4) примет вид Решение уравнения (1.2.5), следуя методу Линдштедта-Пуанкаре, будем искать в виде степенного разложения по малому параметру Подставив этот ряд в (1.2.5), получим Раскрыв скобки, и приравняв коэффициенты при одинаковых степенях (X , для случая ju = 4 получим:
Выражение (1.2.7) представляет собой рекуррентную систему дифференциальных уравнений. Первое уравнение системы (1.2.7), очевидно, имеет периодическое решение, которое можно представить в виде где А и t0 — постоянные интегрирования. Подставляя решение во второе уравнение, и решая его, найдем x{(t). Таким образом, решая уравнения системы (1.2.7), последовательно находим х0 [t), х{ (t), х2 {t)
Метод нормальных форм Депри-Хори для одноямного потенциала
Многие задачи квантовой механики [1 - 7], прикладной математики, техники [8-13] приводят к уравнениям, в которых требуется найти собственные значения и собственные функции различных линейных операторов. К таким уравнениям относится, в первую очередь, нерелятивистское уравнение Шрёдингера.
В данной работе предложены новые способы решения задачи на собственные значения некоторых дифференциальных операторов на примере одномерных ангармонических осцилляторов. Ангармонический осциллятор -это колебательная система, в которой присутствует внешняя сила. Такие системы имеют практическую значимость, например, в квантовой механике (задача о поведении частицы во внешнем поле), в химии (исследование периодических реакций, управление химическими реакциями с выходом заданного реагента [14 — 16]), в технике (нанотехнологии, управление хаосом в микросистемах и др.).
В этих и других приложениях важнейшее значение имеет спектр и собственные функции дифференциального оператора, являющегося моделью исследуемой системы. Они определяют некоторые инвариантные характеристики системы, сохраняющиеся (за исключением масштабирования) при изменении входных параметров. В частности, спектр оператора, входящего в уравнение Шрёдингера [17], определяет все возможные значения полной энергии системы, а его собственные функции являются волновыми функциями исследуемой системы [1 - 3, 18 - 26]. Поэтому нахождение собственных значений и собственных функций, в том числе, операторов ангармонических осцилляторов, т.е. решение уравнения Шрёдингера, является актуальной задачей.
В большинстве случаев невозможно найти аналитическое решение уравнения Шрёдингера, представимое в явном виде. Решения, полученные в неявном виде или выраженные через специальные функции, зачастую оказываются неудобными для использования в конкретных практических расчетах. Задача усложняется, если система допускает хаотическое поведение [27 — 46]. Поэтому в таких случаях применяются различные приближенные методы, как численные, так и аналитические (см., например [24, 47 — 103]).
Использование численных методов в связи с нелинейностью задачи и сложностью потенциала требует большого объема компьютерных ресурсов. К наиболее разработанным из таких методов относится метод диагонализа-ции [47 — 49]. Однако для достижения достаточной точности этот метод приводит к необходимости диагонализации матриц очень большой размерности, что требует увеличения вычислительных возможностей ЭВМ и влечет рост времени вычислений. Кроме того, как отмечалось выше, точность сильно падает при усложнении потенциальной функции и при наличии неустойчивости решений в исследуемой динамической системе.
Указанные недостатки можно частично устранить, если использовать аналитически-численные методы, в которых сначала выполняются аналитические преобразования исследуемой модели, а затем на основе полученных формул производятся численные расчеты. Для выполнения как аналитических, так и численных этапов решения задачи целесообразно использовать пакеты символьных преобразований - системы компьютерной алгебры (Maple, Reduce, Mathematica и др.).
Таким образом, разработка новых методов, в особенности аналитически-численных, реализация этих методов в виде программных комплексов с использованием современных систем компьютерной алгебры (Maple, Reduce, Mathematica и др.), и их дальнейшее применение для исследования ряда практически важных математических моделей классической и квантовой механики, является актуальной проблемой математического моделирования динамических систем.
В диссертационной работе предложены новые методы решения задачи на собственные значения для дифференциальных операторов, являющихся математическими моделями квантовых одномерных ангармонических осцилляторов с нелинейностью полиномиального типа. Разработаны алгоритмы, реализованные в виде программ в средах Maple и Reduce, с помощью которых проведены исследования конкретных моделей указанных динамических систем с заданными потенциальными функциями.
Цель диссертационной работы состоит в разработке эффективных аналитически-численных методов, алгоритмов и программ для вычисления спектров и собственных функций дифференциальных операторов одномерных ангармонических осцилляторов на основе получения для них аналитических соотношений с использованием современных средств компьютерной алгебры, а также проведение с помощью разработанных методов и программ численных исследований ряда математических моделей классической и квантовой механики.
Сравнение метода нормализации Депри-Хори и метода вычисления спектра с помощью рядов Линдштедта-Пуанкаре
Обоснованность и достоверность полученных результатов обусловлена непротиворечивостью полученных результатов теоремам и положениям теории дифференциальных уравнений и операторов, корректностью математических выкладок, воспроизведением известных результатов, полученных другими методами и другими авторами.
Апробация результатов. Основные результаты диссертационной работы докладывались на конференциях: объединенный семинар по вычислительной и прикладной математике ЛИТ и по компьютерной алгебре ВМК и НИИЯФ МГУ, (Дубна, 23-24 мая, 2006); «VIII Международная конференция по математическому моделированию» (Феодосия, 12-16 сентября 2006); «Га-гаринские чтения 2006» (Москва, 8-11 апреля 2006); «Современные проблемы математики её приложения в естественных науках и информационных технологиях» (Харьков, 23-25 марта 2007); IV Международный семинар «Физико-математическое моделирование систем» (Воронеж, 26-27 ноября 2007); Всероссийская конференция по проблемам математики, информатики, физики и химии (Москва, РУДН, 21-25 апреля 2008); Международная конференция по математическому моделированию, МКММ - 2008 (15-20 сентября 2008 года, Херсон, Украина, Херсонский национальный технический университет), а также на семинарах кафедры математического анализа БелГУ.
Связь с научными программами, планами и темами. Диссертационная работа выполнена в рамках индивидуального плана подготовки аспиранта по направлению «Нелинейные явления в динамических системах и их физические приложения», утвержденного Ученым советом БелГУ от 3.11.2000 и в соответствии с планами НИР кафедры математического анализа БелГУ, а также в рамках проекта Российского Фонда Фундаментальных Исследований (грант № 03-02-16263).
Личный вклад соискателя. Автор диссертации, работая совместно с научным руководителем, самостоятельно разработал все алгоритмы и программы, представленные в диссертации. Его вклад в проведение исследований и получение результатов является определяющим. Основные научные результаты, изложенные в диссертации, получены либо лично соискателем, либо при его непосредственном участии.
Публикации. Основное содержание диссертационной работы отражено в 12 публикациях в виде статей (из которых две в журналах из списка ВАК РФ) в специализированных журналах, в сборниках трудов всероссийских и международных конференций. Программа LINDA по теме диссерта ционного исследования зарегистрирована в Отраслевом Фонде Алгоритмов и Программ.
Структура и объем диссертации. Диссертационная работа состоит из введения, трех глав, заключения, списка литературы из 120 наименований, 12 таблиц, 7 рисунков и пяти приложений. Содержание работы изложено на 130 страницах.
В настоящее время существует множество различных способов решения уравнения Шрёдингера [47 - 87], среди которых известен так называемый полуклассический подход [24, 50, 51, 104]. В рамках данного подхода сначала рассматривается классический аналог квантовой системы, для которого решаются уравнения движения, и находятся классические траектории, а затем находится спектр исследуемой системы с помощью некоторого правила квантования.
В настоящей главе полуклассический подход применен для нахождения формулы спектра одномерных ангармонических осцилляторов с различными степенями нелинейности. При этом уравнения движения классической системы приводились к одному дифференциальному уравнению, которое приближенно решалось методом Линдштедта-Пуанкаре. К найденным классическим траекториям применялось известное правило квантования Бора-Зоммерфельда, из которого была получена формула энергетического спектра [105-108].
Символьно-численный метод решения уравнения Шрёдингера с помощью степенных рядов в случае двухъямного потенциала
Пусть потенциал имеет вид симметричной параболы с ветвями вверх, минимумы которой лежат на горизонтальной оси, а максимум на вертикальной (пример см. на рис. 2.5.1). Примерный вид искомого потенциала. Ветви параболы направлены вверх, поэтому первый коэффициент должен быть положительным, т.е. А4 О. Кроме того, потенциал должен содержать малый параметр ОС (тоже положительный), поэтому можно взять АА—ос. Из требования симметричности следует, что искомая функция должна быть четной, поэтому положим А\ — А3 = О . Чтобы к гамильтоновой функции (2.5.1) удобно было применить метод нормальных форм, невозмущенную ее часть приведем к осцилляторному виду. С этой целью коэффициент при X положим равным коэффициенту при р , т.е. А2 — — Таким образом, потенциальная функция принимает вид Эта функция должна иметь два симметричных минимума на горизонтальной оси, поэтому дискриминант выражения осх +— х + А приравняем к нулю: Таким образом, искомая гамильтонова функция имеет вид где х и р — классические координата и импульс соответственно, со — некоторая постоянная, а — малый параметр (0 а sc 1). С помощью программы ЬША приведем систему (2.5.4) к классической нормальной форме: Используя полученную классическую нормальную форму Tclassjcal, найдем квантовую нормальную форму с помощью правила Вейля.
В седьмом порядке по малому параметру она имеет вид: В первом столбце указан номер уровня, во втором — соответствующее значение энергии, полученное методом нормализации, в третьем - значение энергии, полученное в полуклассическом подходе по формуле (2.5.7), в четвертом - относительное отклонение в процентах. Все данные вычислены при со--\ и а = 0,001. была получена для отрицательных значений со, но, тем не менее, имеет смысл и в случае со 0. Более того, при со = 1 полученное уравнения движения системы (2.5.4) совпадают с уравнением Дюффинга (1.2.4), решение которого методом Линдштедта-Пуанкаре в седьмом порядке по а дается формулой (1.2.8) при // = 4. Спектр, вычисленный по правилу Бора Зоммерфельда с помощью программы LINDA, представлен формулой (1.3.6). Сравнение результатов приводится в следующей таблице. В первом столбце указан номер уровня, во втором - соответствующее значение энергии, полученное методом нормализации, в третьем - значение энергии, приведенное в работе [49], в четвертом - значение энергии, полученное по формуле (1.3.5), в пятом и шестом - отклонения (в процентах) значений, полученных по нормализации, от «точных» и от значений, вычисленных по формуле (1.3.5). Все данные вычислены при CD = \ и а = 0,001. Как видно из таблиц, полученные результаты неплохо согласуются, по крайней мере, для нижайших уровней. При этом последняя таблица показывает, что уровни, полученные методом нормализации, несколько точнее значений, вычисленных методом Линдштедта-Пуанкаре с последующим квантованием (по крайней мере, в седьмом порядке по малому параметру).
В первой главе рассматривалась задача на собственные значения гамильтонова оператора слабо возмущенного осциллятора. При этом вначале рассматривались классические уравнения движения. Поскольку указанная система содержит малый параметр, ее уравнения движения были решены методом Линдштедта-Пуанкаре. Затем к найденным этим способом классическим траекториям применялось правило Бора-Зоммерфельда. В результате получилось выражение, из которого итерационным способом удалось найти приближенное аналитическое выражение спектра рассматриваемого оператора. Во второй главе аналогичная задача решалась методом нормальных форм Депри-Хори. Следуя этому методу, вначале рассматривался классический аналог исследуемого осциллятора, который с помощью производящей функции приводился к классической нормальной форме, т.е. приближенно представлялся в виде суммы гармонических осцилляторов с некоторыми коэффициентами. Полученная классическая нормальная форма преобразовывалась к квантовой с помощью правила Вейля, в результате чего получалась приближенная аналитическая формула спектра. Оба использованных метода основаны на полуклассическом подходе. В рамках данного подхода вначале рассматривается классический аналог исследуемого гамильтониана, а затем осуществляется переход к квантовому случаю с помощью известных правил. Полуклассический подход позволяет найти спектр рассматриваемого гамильтонова оператора, входящего в уравнение Шрёдингера, но не позволяет получить ее собственные (волновые) функции. Поэтому в тех задачах, где необходимо рассчитать собственные функции, можно непосредственно проинтегрировать уравнение Шрёдингера с помощью степенных рядов. Этот способ обсуждается в настоящей главе.
