Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Качественные методы исследования характеристик динамических систем 18
1. Изучаемые математические модели (модели типов 1-5) динамических систем и предварительные сведения 18
2. Качественное исследование автономной модели типа 1 22
3. Исследование свойства ограниченности для модели типа 1 38 4. Качественный анализ ньютоновской модели типа 2 с неограниченной диссипацией 44
5. Качественный анализ обобщенной матричной модели типа 3 55
6. Качественный анализ скалярной и векторной моделей типов 4 и 5 65
Глава 2. Приближенно-аналитические методы и алгоритмы исследования характеристик динамических систем 75
1. Введение 75
2. Метод Чаплыгина 75
3. Сравнение методов Ньютона и Чаплыгина 84
4. Совпадение последовательностей Чаплыгина и Ньютона 86
5. О сходимости последовательности Чаплыгина 89
6. Модификация метода Чаплыгина 92
7. Применение модифицированного метода Чаплыгина для интегрирования модели типа 4, описывающей движение рельсового экипажа 96
8. Алгоритм выбора узлов оптимальной сетки численного решения задачи Коши модели типа 1 101
9. Численное решение специальной модели типа 2 109
10. Устойчивость численного решения задачи Коши модели типа 1 121
11. Построение алгоритма численного решения матричной модели Ляпунова типа 6 124
Глава 3. Проблемно-ориентированные программы исследования характеристик динамических систем 128
1. Программа численного решения задачи Коши специальной модели типа 2 с помощью целых функций 128
2. Программа численного решения матричной модели Ляпунова типа 6 132
3. Программа расчета динамических характеристик колесных транспортных средств 134
4. Программа графической иллюстрации результатов расчета динамических характеристик колесных транспортных средств 163
5. Программа исследования влияния характеристик G, I и / колесных транспортных средств на устойчивость вертикальных колебаний железнодорожного экипажа 169
Глава 4. Проведение вычислительного эксперимента, анализ результатов моделирования характеристик динамических систем 172
1. Математическое моделирование вертикальных колебаний при движении колесного транспортного средства 173
1.1. Изучение характеристик движения колесного транспортного средства по неровному пути 173
1.2. Исследование характеристик движения колесного транспортного средства по неровному пути со случайным характером неровностей 182
2. Математическое моделирование устойчивости продольного движения железнодорожного экипажа со многими колесными парами 187
3. Алгоритм комбинированного метода математического моделирования поперечной устойчивости при движении железно-дорожного транспортного средства 191
4. Математическое моделирование вертикальных колебаний при движении железнодорожного вагона 197
5. Математическое моделирование устойчивости установок двухосной тележки при движении железнодорожного экипажа
в кривых 206
Заключение 214
Литература 218
- Качественное исследование автономной модели типа 1
- Применение модифицированного метода Чаплыгина для интегрирования модели типа 4, описывающей движение рельсового экипажа
- Программа численного решения матричной модели Ляпунова типа 6
- Изучение характеристик движения колесного транспортного средства по неровному пути
Введение к работе
( Диссертационная работа посвящена развитию качественных, при-
ближенно-аналитических методов и алгоритмов исследования характеристик динамических систем, изучению их качественных и асимптотических свойств, а также созданию комплекса проблемно-ориентированных программ расчета параметров динамических систем типа колесных транспортных средств.
Вопросы моделирования движения нелинейных динамических систем и вопросы, связанные с их устойчивостью, играют важную роль в развитии теории математического моделирования и системного анализа, поскольку они тесно связаны с решением ряда приоритетных задач управления сложными техническими объектами и техническими процессами, а также с разработкой автоматизированных систем управления. В связи с возросшими требованиями к проектированию, эксплуатации сложных технических объектов и технологических процессов, а также к управлению указанными объектами и процессами, возникает необходимость изучения новых математических моделей динамических процессов, описываемых нелинейными дифференциальными уравнениями. При этом оказывается целесообразным привлечение различных методов математического моделирования, качественной теории дифференциальных уравнений, теории устойчивости движения, аналитической механики.
) Динамические системы изучаются в конечномерных пространствах
состояний R" и описываются дифференциальными операторами T(t) со свойством
T{t2)T{t,)x = T{t,+t2)x,
где /,, t2 ^ 0 г значения параметра t. Различают операторы линейные, нелинейные, непрерывные, дискретные, а по форме задания -
дифференциальные, интегральные и т.д. [24]. Для этого разрабатываются соответствующие дифференциальные математические модели второго порядка. Такие модели описывают функционирование многих технических динамических систем, а их разработка представляет фундаментальную научную проблему, которая в работе декомпозирована на шесть математических моделей.
В диссертации изучаются следующие типы динамических систем: 1. Динамические системы, описываемые дифференциальными уравнениями первого порядка в форме Коши
x = f(t,x), xeR",x = dx/dt . (0.1)
где R"- евклидово пространство.
2. Динамические системы, представимые ньютоновской моделью и
описываемые дифференциальным уравнением второго порядка
y + f(t,y,y)\y\ay + g(t,y,y) + gx(y) = e(t,y,y), yeR, (0.2)
где функции /, g, g, и е непрерывны; скалярная фазовая переменная х принимает вещественные значения; постоянная а неотрицательна.
3. Динамические системы, описываемые матричным дифферен
циальным уравнением второго порядка
Ax + Bx + Cx = Q{t,x,x), xeR". (0.3)
Это обобщенная матричная модель движения колесных транспортных средств, в которой условия и ограничения, накладываемые на элементы модели, следующие: А, В и С - квадратные матрицы (соответственно матрицы масс, демпфирования и жесткости); Q(t,x,x) - заданная нелинейная вектор-функция времени, перемещения и скорости (обобщенная возмущающая сила); R" - евклидово пространство.
4. Динамические системы, описываемые скалярным дифференциа
льным уравнением вида
— = P(s)+Q(u), (0.4)
где и - скалярная функция независимой переменной s, Р - непрерывная функция переменной s, Q - непрерывно дифференцируемая функция переменной и. Соответствующая модель возникает при изучении вопроса о движении железнодорожного состава.
5. Динамические системы, описываемые векторным дифференци
альным уравнением вида
~ = P(s)+Q(u), (0.5)
где и - векторная функция от s, и Є Rn, SE R ; P(s) - непрерывная функция; Q(u) - непрерывно дифференцируемая функция. Соответствующая математическая модель используется для изучения вопроса о характеристиках движения подвижного состава железнодорожного транспорта.
6. Динамические системы, описываемые матричным уравнением
A'V+VA=-W, (0.6)
где A, Vk W- постоянные квадратные матрицы; штрих означает транспонирование.
Наряду с вышеупомянутыми фундаментальными являются также задачи математического моделирования движения ряда колесных транспортных средств, в том числе задачи динамики подвижного состава железнодорожного транспорта. Сложность их решения требует разработки соответствующего комплекса проблемно-ориентированных компьютерных программ.
Актуальность разработки названных моделей обусловлена необходимостью обоснования режимов функционирования динамических систем для обеспечения безопасности и устойчивости их работы. Это возможно только посредством математического моделирования в раз-
личных условиях их функционирования. В связи с этим возникает и актуальная потребность в разработке соответствующего комплекса проблемно-ориентированных компьютерных программ.
Целью диссертационной работы является разработка качественных и численно-аналитических методов исследования устойчивости и асимптотического поведения неавтономных динамических систем с различными типами затухания процессов для создания математической базы и обеспечения стабильных режимов функционирования и прогнозирования динамики проектируемых систем различного назначения. Целью работы является также реализация единого подхода в исследовании классов динамических систем, задаваемых дифференциальными уравнениями ньютоновского типа, а также пакета программ компьютерной реализации разработанных в диссертации конструктивных методов, открывающих новые возможности для математического моделирования динамических систем и управления их поведением.
Отсутствие точных универсальных методов исследования нелинейных систем обусловило разработку обширного набора качественных, приближенно-аналитических и численных методов исследования динамических систем. Методы исследования устойчивости и качественных свойств динамических систем изучались, начиная с работ А. Пуанкаре, A.M. Ляпунова, Н.Е. Жуковского и Дж. Биркгофа, в работах отечественных и зарубежных ученых: Н.Г. Четаева, Е.А. Барбашина, В.В. Немыцкого, В.И. Зубова, В.М. Матросова, А.А. Шестакова, В.В. Румянцева, В.М. Стар-жинского, И.Г. Малкина, X. Массеры, Р. Беллмана, В. Коппела, Ж.П. Ла-Салля, С. Лефіііеца, М. Урабе, Л. Чезари и других ученых (см. [1, 4, 10 -12,15,16,18-20,22,23,27-30,34,36,39-41,43,44,49,50,53,54,60,63,65, 66, 68 - 70, 73, 75, 76, 78 - 80, 82, 83, 85, 87 - 94, 99, 103, 107, 109, 110-115, 130, 135]).
Одним из основных методов исследования свойств устойчивости и ограниченности решений является метод функций Ляпунова, получив-
ший к настоящему времени значительное развитие (см., например, [10, 22, 27, 43, 54, 65, 73, 93, 94, ПО, 113, 114, 135]). Однако некоторые аспекты этого метода, связанные со снятием ограничений на функции Ляпунова, не получили должного развития и требуют дальнейшей разработки. В сочетании с локализацией предельных множеств динамических систем (проблемы локализации предельных множеств рассматривались в [110а, 112, 130] и других работах) метод обобщенных функций Ляпунова позволяет снять ряд существенных ограничений на функции Ляпунова. В настоящей работе удалось получить новые условия асимптотической устойчивости моделей типа (0.1) при знакопеременной функции Ляпунова.
До настоящего времени малоизученным является случай неограниченного демпфирования для модели (0.2), поэтому изучение устойчивости решений и других свойств таких моделей представляет большой интерес для приложений. В работе для решения указанных задач применен метод обобщенных функций Ляпунова.
На основе развития первого метода Ляпунова предложен универсальный способ исследования влияния параметров диссипации и жесткости, инерционных параметров, а также геометрических параметров проектируемого экипажа на устойчивость движения транспортных динамических систем, разработано соответствующее программное обеспечение. Полученные результаты обобщают, уточняют и развивают результаты Н.Н. Лузина, С.А. Чаплыгина, Н.А. Панькина, Ю.И. Пер-шица, И.П. Исаева, А.Х. Викенса, Е.П. Королькова, Т.А. Тибилова, Ю.М. Черкащина и других ученых (см. работы [42, 61, 62, 67, 100, 106, 108, 111, 134]).
Качественные методы исследования математических моделей динамических систем, описываемых уравнениями (0Л) - (0.5), развиты в работах автора [1*, 3* - 5*, 7*, 9* , 11*, 12*, 14*, 16*, 23*, 25*, 30*, 33*, 39*, 51*].
Разработанные к настоящему времени численно-аналитические методы охватывают исследования динамических систем, описываемых обыкновенными дифференциальными уравнениями. Они классифицируются на приближенно-аналитические, графические или машинно-графические и численные методы.
К методам первой группы относятся методы степенных рядов, Ш.Э. Пикара, С.А. Чаплыгина, согласно которым решение y{t) можно находить в виде некоторой функции ф(Г), удовлетворяющей тем или иным условиям гладкости.
Для численных расчетов более удобен метод Чаплыгина [106], состоящий из итерационного решения последовательности линейных задач Коши вида
Уп+1=А*,Уп(*))+/у(<,уМ\УпЛ*)-Уп(*)Ъ УпЛ)=Уо-
Метод С.А.Чаплыгина был распространен на обыкновенные дифференциальные уравнения в Rn Н.Н. Лузиным [67]. Формальное обобщение, рассмотренное Т. Важевски [132], было применено С.А. Щелку-новым [1281 в задаче расчета антенн и сравнивалось с методом последовательных приближений Ч. Олеха [127]. Развитие методов Чаплыгина и Лузина содержится в [41, 108] и других работах.
По методам второй группы приближенное решение строится на отрезке [t0,b] в виде графика на мониторе аналоговой вычислительной машины и в настоящее время эти методы по существу не применяются.
Третья группа методов содержит различные модификации метода Эйлера, семейство методов Рунге-Кутта различных порядков [24] и целого ряда других одношаговых и многошаговых методов. Эти методы предполагают получение решения задачи Коши в виде числовой таблицы приближенных значений yi искомого решения y(t) на некоторой сетке /, є [tQ, b] значений аргумента / и не требуют вычисления частных производных от правой части заданного дифференциального уравнения.
Однако разработанные к настоящему времени группы методов часто не применимы для исследования фундаментальных свойств динамических систем (0.1) - (0.6), так как необходимость учета сложного поведения решений указанных систем требует дальнейшей разработки, модификации и усовершенствования упомянутых методов. Это обстоятельство составляет основу актуальности темы исследования. Выполненные в диссертации разработка и усовершенствование приближенно-аналитических и численных методов дают, в частности, улучшенную сходимость по сравнению с имеющимися методами.
В работах автора [2*, 6*, 8*, 17*, 18*] даются модификации методов Ньютона, Чаплыгина, Рунге-Кутта, а также метода степенных рядов на основе целых функций, исследования математических моделей динамических систем, обобщающие упомянутые выше результаты.
Итак, областью исследования в настоящей диссертации являются теоретические основы и компьютерные методы исследования математических моделей динамических систем (0.1) - (0.6) и задач эффективного прогнозирования их функционирования с оценкой показателей их динамической безопасности.
Диссертационная работа состоит из настоящего введения, четырех глав, заключения и списка литературы. Список литературы разделен на две части. В первой помещены работы автора (они помечены звездочками), а во второй - работы отечественных и иностранных ученых.
Первая глава диссертации посвящена качественному и асимптотическому изучению характеристик решений математических моделей динамических систем (0.1) - (0.5). В частности, приведены изучаемые динамические системы и предварительные сведения. В данной главе разработан обобщенный прямой метод Ляпунова исследования математических моделей, описываемых многомерными нелинейными дифференциальными уравнениями первого порядка в форме Коши (урав-
нениями вида (0.1)). Для указанных моделей установлены предложения о локализации положительного предельного множества, из которых вытекают новые условия об асимптотической устойчивости. Кроме того, получен признак об эвентуальной ограниченности решений и рассмотрены некоторые качественные свойства решений. В данной главе проведен также качественный анализ ньютоновской модели, описываемой уравнением вида (0.2) с неограниченной функцией диссипации, и обобщенной матричной модели движения колесных транспортных средств, описываемой уравнением (0.3). Кроме того, проведен качественный анализ скалярной и векторной моделей, описываемых соответственно уравнениями (0.4) и (0.5), а именно, установлены условия существования периодических решений и дана оценка зон стабильности движения железнодорожного состава. Результаты первой главы служат теоретической основой для первого этапа математического моделирования широкого класса динамических систем нелинейной механики, в частности, в тех случаях, когда рассматривается неограниченная диссипация.
Во второй главе рассмотрены вопросы, связанные с дальнейшим развитием и модификацией приближенно-аналитического метода Чаплыгина исследования математических моделей динамических систем. Одним из результатов второй главы является модификация метода Чаплыгина, следствием которой является единообразие метода Чаплыгина для моделей динамических систем в конечномерном и бесконечномерном пространствах. В главе рассмотрены численные методы решения задачи Коши для моделей динамических систем (0.1) и (0.2); доказана устойчивость численного решения задачи Коши для модели, описываемой обыкновенным дифференциальным уравнением первого порядка.
Результаты, полученные во второй главе, дают возможность применять приближенно-аналитический метод Чаплыгина для исследования моделей, описываемых уравнениями с частными производными. Обоб-
щение метода Чаплыгина, выполненное в главе 2, позволяет накладывать более слабые ограничения на исследуемые модели. Модифицированный метод Чаплыгина интегрирования скалярной модели (0.4), описывающей движение железнодорожного состава, может быть легко распространен на многомерное дифференциальное уравнение (0.5). Построенный в главе алгоритм выбора узлов оптимальной сетки численного решения задачи Коши для модели (0, 1) доказывает существование асимптотически оптимальной сетки, обеспечивающей минимальный объем вычислительной работы численного решения задачи Коши для модели (0.1) при наперед заданной погрешности вычислений є > 0. В главе разработан алгоритм численного решения специальной модели (0.2) на основе последовательности целых функций. Соответствующая программа обладает быстрой сходимостью и полезна при численном решении дифференциальных уравнений на больших промежутках изменения независимой переменной без существенной потери точности вычислений. В данной главе предложен также упрощенный алгоритм численного решения алгебраической матричной модели Ляпунова (0.6).
Третья глава диссертации посвящена разработке проблемно-ориентированных программ расчета характеристик транспортных динамических систем (0.3), моделируемых матричными дифференциальными уравнениями, и содержит описания и тексты программ в интегрированной математической среде Maple. Указанные программы позволяют производить расчет характеристик вертикальных колебаний элементов конструкций колесных транспортных систем при движении по неровному пути с заданной формой неровностей, учитывать влияние характеристик демпфирования и жесткости на частоту колебаний кузова и других деталей подвижного состава железнодорожного транспорта. В третьей главе разработаны программы численного решения задачи Коши специальной модели динамической системы (0.2) с помощью целых функций, а также численного решения матричной
модели Ляпунова (0.6), написанные в интегрированной математической среде Mathcad согласно алгоритмам, предложенным в главе 2.
Четвертая глава посвящена проведению вычислительного эксперимента и анализу результатов моделирования характеристик динамических систем. В частности, с помощью комплекса проблемно-ориентированных программ расчета характеристик транспортных динамических систем, разработанного в главе 3, проведен вычислительный эксперимент по математическому моделированию характеристик движения: колесного транспортного средства по неровному пути, колесного транспортного средства по неровному пути со случайным характером неровностей и моделирование вертикальных колебаний при движении железнодорожного вагона. Далее дан анализ результатов моделирования вертикальных колебаний при движении колесных транспортных средств, показателей устойчивости движения железнодорожного экипажа со многими колесными парами, показателей устойчивости движения железнодорожного транспортного средства посредством комбинированного метода и устойчивости установок двухосной тележки при движении железнодорожного экипажа в кривых. Анализ характеристик транспортных динамических систем, оцененных в процессе вычислительного эксперимента, дает возможность вносить усовершенствования в конструкции транспортных средств, повышать безопасность и комфортабельность передвижения пассажиров и сохранность перевозимых грузов.
В Заключении подведены итоги проведенных в диссертации исследований и на их основе выявлены также другие нерешенные в настоящий момент времени задачи и намечены возможные подходы к их разрешению.
В диссертации
- осуществлена разработка обобщенного прямого метода Ляпунова исследования динамических систем (0.1), описываемых нелинейными дифференциальными уравнениями первого порядка в форме Коши;
развит качественный метод исследования динамической системы (0.2) при различных ограничениях на функцию диссипации;
проведен качественный анализ обобщенной матричной модели динамической системы (0.3);
установлена тождественность последовательностей методов Чаплыгина и Ньютона исследования математических моделей динамических систем (0.1);
применен модифицированный метод Чаплыгина для интегрирования модели динамической системы (0.4), описывающей движение рельсового экипажа;
разработан оптимальный алгоритм выбора сеток численного решения задачи Коши математической модели динамической системы (0.1), обеспечивающий минимум суммы величин погрешностей на каждом шаге интегрирования в зависимости от заданной точности вычислений;
построено численное решение задачи Коши специальной модели динамической системы (0.2) на основе специальной последовательности целых функций;
разработан комплекс проблемно-ориентированных программ, в котором реализованы численные методы и методы расчета характеристик транспортных динамических систем;
предложен универсальный способ определения влияния параметров транспортных динамических систем на устойчивость их движения;
проведена серия вычислительных экспериментов и сделан анализ результатов моделирования характеристик транспортных динамических систем при движении по неровному пути, позволивший дать рекомендации по улучшению функционирования транспортных систем с точки зрения устойчивости, безопасности, комфортабельности;
разработана блок-схем алгоритма расчета критической скорости при математическом моделировании поперечной устойчивости дви-
жения железнодорожного транспортного средства посредством комбинированного метода;
осуществлено математическое моделирование вертикальных колебаний при движении железнодорожного вагона;
получены результаты моделирования устойчивости установок двухосной тележки при движении железнодорожного экипажа в кривых.
Полученные результаты составляют развитие метода обобщенных функций Ляпунова качественного анализа динамических систем при ограниченной и неограниченной диссипации, а также первого и второго методов Ляпунова.
Результаты могут быть использованы для качественного анализа математических моделей многих механических, физических и технических процессов. Анализ устойчивости и качественных свойств является необходимым для обеспечения оптимальных режимов функционирования сложных систем. Результаты качественного анализа и численного моделирования движения колесных транспортных средств, в том числе рельсового экипажа имеют прикладное значение при решении задач динамики железнодорожного транспорта.
Результаты диссертации позволяют дать рекомендации по улучшению конструкций колесных транспортных средств и совершенствованию функционирования транспортных систем с точки зрения устойчивости движения, повышения безопасности и комфортабельности передвижения пассажиров и сохранности перевозимых грузов. Кроме того, разработанные методы и алгоритмы позволяют выполнять расчет показателей устойчивости движения железнодорожного экипажа со многими колесными парами, показателей устойчивости движения железнодорожного транспортного средства посредством комбинированного метода и устойчивости установок двухосной тележки при движении железнодорожного экипажа в кривых.
Результаты диссертации являются вкладом в математическое моделирование, системный анализ, теорию устойчивости движения, теорию нелинейных колебаний и в методы численного анализа.
Они основаны на строгом использовании аналитических и качественных методов и подтверждены сравнением с результатами полученными с помощью других методов, а также положительными результатами их обсуждений на различных Всероссийских и международных научных конференциях.
По теме диссертации опубликована 51 научная работа [1*-51*], в том числе 2 монографии. Опубликованные работы полно отражают содержание диссертационной работы.
В заключении автор выражает благодарность научному консультанту доктору технических наук Д.Е. Пильщикову, академику АНН, доктору физико-математических наук профессору А.А. Шестакову, доктору физико-математических наук профессору А.Н. Кудинову за обсуждение диссертационной работы, ценные советы и замечания.
Качественное исследование автономной модели типа 1
Локализация предельного множества производится на базе сходимости множеств в метрике Хаусдорфа. Такой подход к локализации дает ряд ощутимых практических преимуществ, в частности, он позволяет эффективно исследовать асимптотические свойства автономной модели (2.1) типа 1. Полученные результаты использованы для качественного исследования модели типа 2 [25 ].
С помощью модифицированного метода Шестакова проведено качественное исследование модели типа 2 при различных условиях на диссипацию.
Проектирование динамических систем с нелинейными элементами требует моделирования устойчивых режимов их функционирования, поскольку реальное поведение динамических систем может сильно отличаться от ожидаемого в силу возмущения установившихся режимов работы изучаемых систем.
Ниже получены достаточные признаки роста затухания в модели типа 2, обеспечивающие притяжение или асимптотическую устойчивость нулевого решения при неограниченной диссипации, при t -» [ 25 , 40 ]. Математические модели типа 2 и других типов изучались во многих работах [34].
Рассмотрим автономную модель (2.1) типа 1. Предположим, что f{,...f — С-гладкие (г 1) функции, определенные в некотором откры том множестве Е с R". Будем рассматривать / как независимую переменную, а область Е как фазовое пространство (ограниченное или неограниченное).
Дифференцируемое отображение ф:/- , где / — интервал на оси / , называется решением x = y(t) математической модели (2.1) типа 1, если ф(0 = /(ф(0) ДО любого tel. Так как по предположению выполнены условия теоремы Коши, то для любых значений х = (р(ґ) и t0e R существует единственное решение ф, удовлетворяющее начальному условию p = y(to) и определенное на некотором промежутке \Г(р\ t+(p)\ содержащем значение / = /0. Граничные точки Г(р) и Ґ(р), зависящие от р, могут принимать как конечные, так и бесконечные значения. Решения модели (2.1) типа 1 обладают следующими свойствами [ПО а)]: 1) если х = ф(/) — решение модели (2.1) типа 1, то х = (p(t + Q также является решением на промежутке (Г - С, Ґ - Q, 2) решения х = ф(г) и х - ф(г + С) модели (2.1) типа 1 можно рассматривать как решения, соответствующие одной начальной точке р є Е, но различным начальным моментам времени /0, 3) решение модели (2.1) типа 1 с начальным условием р = ф(/0) представимо в виде л: = ф (/0, р), где ф (0, р) = р, 4) если х, = ф (/, - /0, р), то ф (/ - t0, р) = p(t- tvp); обозначая f, - t0 через новое /,, a t - tl — через t2, получим групповое свойство решений модели (2.1) типа 1: ф( 2,ф( РР)) = Ф Ux + tv р), 5) решение х - ф (/ - /0, р) задачи Коши для Сл-гладкой модели (2.1) типа 1 является С-гладким относительно времени и начальных данных р = ф(?0). Любое решение модели (2.1) типа 1, удовлетворяющее заданному начальному условию р = ф (/0), будем рассматривать как параметрическое задание (с параметром /) некоторой кривой, задаваемой в фазо вом пространстве E точками (p (t, p) при изменении t.
Множества С+(р) и С (р) называются соответственно положительной и отрицательной полутраекториями модели (2.1) типа 1 точки р є Е, а множество С(р) = 0(р) и С (р) называется траекторией точки р є Е. Точка р є Е, в которой f{p) = 0, называется состоянием равновесия (точкой покоя) и относится к числу траекторий. Точка р є Е называется периодической, если функция (р(-, р) периодична на (-оо, +« ). Тогда траектория С(р) называется периодической.
Подмножество Q с Е называется положительно (отрицательно) инвариантным, если оно содержит С+(р) (С (р)) для любого р е Q. Подмножество Q с Е называется инвариантным, если оно содержит С(р) для любого р є Q. Полутраектории С+(р) и С (р) и траектория С+(р) являются соответственно положительно инвариантным, отрицательно инвариантным и инвариантным множествами.
Положительно предельным ( -предельным) множеством Q(C) траектории С называется множество {ре Е: limфк,р) для некоторого р є С и некоторой последовательности tk — +00 при к - +« }. Отрицательно предельным (а-предельным) множеством А(С) траектории С называется множество {ре Е: lim фк,р) для некоторого р е С и некоторой последовательности tk — +00 при к — +о}.
Следовательно, л: е Q(C). То же самое заключение имеем, если С -состояние равновесия. Предположим теперь, что С не является периодической траекторией и состоянием равновесия. Если tk возможно выбрать так, чтобы tk - Ґ(р), к - оо? то Ґ(р) = оо и х є Q(C). Теперь рассмотрим дополнительный случай, когда для некоторых є 0 и 8 0 \ p(t,p)-x\ z для всех значений / є [5, tip)).
Матрица системы (2.32) имеет отрицательные вещественные части, а нелинейные части системы удовлетворяют условиям теоремы Ляпунова об устойчивости по первому приближению. Поэтому нулевое решение системы (2.32) асимптотически устойчиво по Ляпунову. Исследование положительно предельных множеств системы (2.31) позволяет изучить асимптотические свойства решений системы (2.29).
Применение модифицированного метода Чаплыгина для интегрирования модели типа 4, описывающей движение рельсового экипажа
Исследуем скалярную модель типа 4 движения рельсового экипажа, соответствующую промежутку времени, при котором совершается переход с горизонтального пути на наклонный путь. Используем для этой цели метод Н.Н. Лузина, рассмотренный в 6 главы 1, и модифицированный метод С.А. Чаплыгина, развитый в 6 главы 2 диссертации. Из (7.7) видно, что результатом подстановки в уравнение (7.1) значения и, определенного из (7.2), является величина -—VQlkb(u-v0) t которая отрицательна. Для отыскания верхнего предела поступают аналогично. А именно, прибавляем к правой части величину tfvo+vJ Kvo-vXv-v,) (7.8)
Функция (7.8) равна нулю при v = v0 и v = v,, где v, - нижний предел скорости и является положительной при промежуточных значениях скорости. Поэтому уравнение (7.1) в этом случае представимо в виде v k]p-b(v0 +v,)4v0v, -[b(v0 +v,)_1 -с\2 -yls]-k(v0 +vlYb(v0 -vXv-v,)=0. ds (7.9)
Найдём теперь вторые, более близкие пределы для скорости в задаче о переходе экипажа с горизонтального пути на наклонный путь. Предположим, что найдены две функции, и и w, между которыми заключается искомая функция v и которые являются первыми пределами. Найдём такие функции w, и w,, которые более точно аппроксимируют v снизу и сверху на заданном интервале от s - 0 до ,утм.
Если в последний член в (7.14) вместо v подставить верхний предел w, то равенство не сохраняется. Для сохранения (7.14) возьмём не v, а некоторую другую функцию их.
Из обобщенной теоремы Чаплыгина 6.1 вытекает, что w, v. Легко видеть, что w, является более близким нижним пределом к v, нежели и.
Легко проверить, что по обобщенной теореме Чаплыгина 6.1 будем иметь w, v. Поэтому w, — верхний предел решения v. Нетрудно показать, что w, w. Проделав с (7.15) и (7.16) аналогичную подстановку, получим неравенство, знак которого будет изменяться с изменением s, и теорема 6.1 неприменима. Однако пределы и здесь возможно вычислить. В результате второго приближения в точке наибольшего расхождения можно определить скорость до долей метра в час.
В данном параграфе предложен в некотором смысле оптимальный алгоритм выбора узлов сетки для численного решения задачи Коши дифференциальной математической модели типа 1, обеспечивающий минимум суммы величин погрешностей на каждом шаге интегрирования в зависимости от заданной точности вычислений [6 , 21 ].
Применяя рекуррентно формулу (8.2), получим последовательность векторов х,, xv...,xN, являющихся приближенными значениями решения задачи (8.1) в точках /,, tv ty...,tN = Г соответственно. Таким образом, формула (8.2) и сетка а определяют процесс численного интегрирования задачи (8.1) на отрезке [t0,T] Для сравнения процессов численного интегрирования естественно использовать следующие их характеристики: 1) качество приближения точного решения задачи (8.1) в точке Г; 2) объем вычислительной работы, необходимой для вычисления приближенного решения xN.
При численном интегрировании задачи Коши обычно предполагают, что численное решение приближает точное не только в точке Т, но и на всём отрезке [/0,г]. С этой точки зрения более естественно характеризовать качество приближения в точке Т величиной которая позволяет судить о близости приближенного решения задачи (8.1) к точному не только в точке Т, но и в остальных узлах сетки ст. Будем оценивать качество приближения в точке Т величиной EN.
Рассмотрим класс А(а) процессов численного интегрирования, которые определяются фиксированной формулой (8.2) и различными сетками ст. Поставим задачу об отыскании оптимального на классе А(с) процесса численного интегрирования (задачу о построении оптимальной сетки).
Оптимальным будем называть такой процесс численного интегрирования, для которого достигается минимум величины EN при фиксированном числе узлов N сетки. Из теоремы 8.2 следует, что при выполнении условия (8.10) существует единственная оптимальная сетка, узлы которой задаются уравнением (8.8). На основании теорем 8.1 и 8.2 последовательность t0 , t,...,tN узлов оптимальной сетки о определяется как решение нелинейного разностного уравнения (8.8), удовлетворяющее граничным условиям t0=t0,tN=T. Легко видеть, что такой способ задания сетки неприемлем для практических вычислений.
Программа численного решения матричной модели Ляпунова типа 6
Указанные подпрограммы состоят из вспомогательных программных модулей и основной программы. Вспомогательные программные модули можно разделить на три группы: модули для ввода данных, для расчета и для вывода результатов. Исходные данные предварительно должны быть помещены в файлы: data_l, data_2 и data_b соответственно. Результаты расчета выводятся на дисплей и записываются в принимающие файлы: rez_l, rez_2, rez_b и rez_4. Для подпрограммы 1:
1) В первой строке файла data_\ указываются число точек поверхности пути (npoint), число элементов транспортного средства, для которых определяются значения перемещений, скоростей и ускорений (nwr), скорость движения транспортного средства (veloc), начальная х-координата передней оси транспортного средства на поверхности пути (х10).
2) Во второй строке указываются код печати промежуточных результатов (kprint), начальные давления (plQ , р20), объемы камер (У,0 ,К20), площади поперечного сечения (S]Q , S2Q) пневмоцилиндров подвески и сидения водителя, показатель политропы (кроШ). Если kprint = 0, то промежуточные результаты не печатаются, иначе они выводятся на печать.
3) В третьей строке записывается число, указывающее, через сколько шагов интегрирования записываются результаты вычислений (nstep), число шагов интегрирования (ntime) и шаг интегрирования (dtime).
4) В каждых последующих 14 строках размещаются номер твердого тела, масса и момент инерции твердого тела (Amase(\4,2). После массива Amase построчно вводятся элементы массива АЬ(Щ. В каждую строку файла записываются номер строки и элемент массива AL - геометрический параметр а..
5) После массива AL построчно вводятся элементы массивов AstifilA) и Adamp(\A). В каждую строку файла записываются номер строки и элементы двух массивов Astifn Adamp - коэффициенты жесткостей и демпфирования элементов.
6) После массивов Asti/и Adamp построчно вводятся элементы массивов Xprofil(npoin) и Qprofil(npoin). В каждую строку файла записываются номер строки и элементы массивов Xprofil и Qprofil - лжоордина-та и высота неровности пути.
7) После массивов Xprofil и Qprofil построчно вводятся элементы А/ит(яиг)-массива. В каждую строку файла записываются номер строки и элемент массива Mwr с номером элемента транспортного средства, для которого определяются значения перемещений, скоростей и ускорений.
8) В файле данных между введенными массивами размещаются строки комментариев, в которых указывается название соответствующего массива. При считывании информации из файла данных текстовые строки игнорируются подпрограммой.
Для работы с подпрограммой 2 необходимо выполнить следующие действия:. 1) Все исходные данные, необходимые для ее работы, должны быть предварительно записаны в файл исходных данных data_2. 2) В первой строке файла data_l указываются числа членов, не равных нулю в числителе и в знаменателе выражения для спектральной плотности кинематического возбуждения пути S (параметры nls, nlv). 3) Во второй строке указываются код печати промежуточных результатов {kprinf), начальные давления (р10,р20), объемы камер (К0, V20), площади поперечного сечения подвески сиденья водителя. При kprint=0 промежуточные результаты не выводятся на печать, иначе выводятся на печать. 4) В третьей строке записываются число степеней свободы, для которых определяются характеристики случайных колебаний (mvr), число точек скорости движения экипажа, для которого определяются значения характеристик случайных величин (т ), минимальная скорость движения транспортного средства (vmiri) и шаг изменения скорости движения (dv). 5) В каждых последующих 9 строках размещаются номер, масса и момент инерции твердого тела схемы транспортного средства (массив Amase(9,2)). 6) После массива Amase построчно вводятся элементы массива АЬ{Щ. В каждую строку файла записываются номер строки и элемент массива AL, содержащего геометрический параметр аг 7) За массивом AL построчно вводятся элементы массивов AstiJ(\4) и Adamp(\4). В каждую строку файла заносятся номер строки и элементы двух массивов Astifu Adamp, включающие коэффициенты жесткостеи и демпфирования элементов. 8) После массивов Astifu Adamp построчно вводятся элементы массивов Mnls{nls,2) и As{nls). В каждую строку файла записываются номер строки и элементы массивов Mnls и As, соответствующие показателям степеней для частоты и скорости, а также значения коэффициентов, стоящих в числителе выражения для спектральной плотности кинематического возбуждения пути. 9) После массивов Mnls и As построчно вводятся элементы масси вов Mnlv (nlv,2) и Av(nlv). В каждую строку файла записываются номер строки и элементы массивов Mnlv и Av с показателями степеней для частоты и скорости, а также значения коэффициентов, стоящих в зна менателе выражения для спектральной плотности кинематического возбуждения пути. После массивов Mnlv и Av построчно вводятся эле менты массива Mwr (nwr). 10) В каждую строку файла записываются номер строки и элемент массива Mwr. В каждую строку массива Mwr записывается номер сте пени свободы, для которого определяются характеристики случайных колебаний.
Подпрограмма 3 используется следующим образом. 1) Все исходные данные предварительно записываются в файл исходных данных data_3. 2) В первой строке файла dataj указываются код печати промежуточных результатов (kprint), скорость движения вагона (veloc), начальная координата передней оси колес вагона (х10), длина рельса (alp), амплитуды первой и второй гармоник (атр\, атр2). 3) Во второй строке файла записываются число элементов вагона (nwr), для которых производятся расчеты; число (nstep), показывающее, через сколько шагов интеграции записываются результаты вычислений; число шагов интеграции (ntime) и шаг интеграции (dtime). 4) В каждых последующих 7 строках размещаются номер твердого тела, масса и момент твердого тела (массив Amase(7,2)). 5) После массива Amase AL(9) и BL(9) построчно вводятся элементы массивов AL(9) и BL(9) с геометрическими параметрами вагона а. и Ъ.. 137 6) После массивов AL и BL построчно вводятся элементы массивов Astif и Adamp, коэффициенты жесткостей к. и демпфирования h. элементов вагона. 7) Затем в файл исходных данных data_b построчно вводятся элементы Мит(иит)-массива. В каждой строке массива Mwr содержится номер элемента вагона, для которого в файлы результатов записываются значения неизвестных.
Командные строки программы пронумерованы в порядке возрастания. Текст подпрограммы 1 содержится в строках с номерами: 1-172, подпрограммы 2 - в строках: 173-326, подпрограммы 3 - в строках: 327-467. Запуск подпрограмм 1, 2 и 3 осуществляется соответственно в строках с номерами: 158, 317 и 450. Комментарии к работе подпрограмм 1, 2 и 3 приведены в рабочих листах подпрограмм.
Изучение характеристик движения колесного транспортного средства по неровному пути
Колебания транспортного средства при движении по неровному пути оказывают влияние на состояние водителя и пассажиров, отражаются на сохранности перевозимого груза и самого транспортного средства. Поэтому при математическом моделировании движения транспортного средства одними из основных требований, предъявляемых к транспортному средству, на которые следует обратить особое внимание, является повышение плавности, устойчивости хода и улучшение комфортабельности передвижения.
Колебания транспортного средства разделяют на низкочастотные (до 15-18 Гц), высокочастотные и вибрации. Вибрационная чувствительность организма человека составляет 15-1500 Гц, Действие колебаний на человеческий организм зависит от частоты, амплитуды, продолжительности воздействия и направления. Влияние знакопеременных ускорений на организм человека в большей степени зависит от частоты колебаний. С увеличением частоты даже небольшие ускорения колебаний отрицательно сказываются на комфортности передвижения, которая ограничивается колебаниями в частотном диапазоне 0,5-5 Гц и степенью утомления в конце определенного отрезка времени, составляющего 10 ч при боковых ускорениях и 20 ч при вертикальных ускорениях [32].
Для решения задачи движения транспортного средства по неровному пути использована подпрограмма 1 программы расчета динамических характеристик колесных транспортных средств (см. 3 главы 3), реализованная в интегрированной математической среде Марк [45, 71]. Указанная подпрограмма содержит модули для ввода данных, для расчета и для вывода результатов. Подпрограмма вычисляет перемещения, скорости и ускорения концентрированных масс транспортного средства в зависимости от времени движения по неровной поверхности пути, а также собственные значения и частоты. Все исходные данные, необходимые для ее работы, должны быть предварительно записаны в файл исходных данных data_\.
Результаты расчета выводятся на экран дисплея и записываются в принимающие файлы. В файл rez_\ записываются значения перемещений, в файл rez_2 — значения скоростей, в файл гег_Ъ — ускорений, тогда как в файл rez_4 — собственные значения и частоты.
Программа графической иллюстрации результатов расчета динамических характеристик колесных транспортных средств приведена в 4 главы 3. На каждом из рис. 1.3, 1.4, 1.5 представлены зависимости перемещений z,, z2, z3 и z9, а на рис. 1.6, 1.7, 1.8 — зависимости ускорений z,, z2, z3 и z9 концентрированных масс 1, 2, 3 и 9 транспортного средства от времени t для v = 30, 40 и 50 км/час соответственно (толщина линий на рисунках увеличивается с ростом номера z. и zi).
Результаты математического моделирования задачи 1.1 показывают, что при росте скорости движения экипажа до 50 км/час максимальное перемещение z9 увеличивается с 0,53 м до 0,54 м; ускорение возрастает с 21 до 24 м/с2; частота колебаний, как следует из рис. 1.3-1.8, при этом не меняется и составляет 1/(5/9) = 1,8 Гц. Аналогичная картина наблюдается для элементов 1, 2, 3. На скорости v = 60 км/час происходит отрыв колес от поверхности пути.
Итак, собственная частота колебаний frequency[12] = 0,66 Hz сиденья водителя соответствует зоне комфортности, а при движении через рассматриваемое препятствие сиденье подвергается значительным перегрузкам.
Исследование характеристик движения колесного транспортного средства по неровному пути со случайным характером неровностей. В данном пункте описаны характеристики случайных колебаний при движении колесного транспортного средства по случайному неровному пути. Рассмотрим вертикальные колебания колесного транспортного средства при движении с постоянной скоростью по неровному пути, имеющему случайную последовательность выступов и впадин. При движении транспортного средства по неровностям будет случайной как величина, так и продолжительность действия импульсов сил. Стохастический анализ результатов измерений профиля пути дает возможность получить такие стохастические характеристики неровностей пути, как математические ожидания (средние значения), так и корреляционные функции.
Для решения задачи по нахождению случайных колебаний транспортного средства, движущегося по неровному пути со случайной последовательностью выступов и впадин, используется подпрограмма 2 программы расчета динамических характеристик колесных транспортных средств (см. 3 главы 3), написанной в интегрированной математической среде Maple [45, 71].
Подпрограмма 2 позволяет вычислить средние квадратичные отклонения перемещений, скоростей и ускорений концентрированных масс транспортного средства в зависимости от скорости и времени движения, а также собственные значения и частоты колебаний транспортного
