Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Марковские модели надёжности систем, работающих в марковской случайной среде 24
1.1. Общая модель 24
1.1.1. Однородная марковская модель облегчённого резервирования 25
1.1.2. Уравнения Колмогорова 27
1.1.3. Стационарные характеристики 29
1.1.4. Распределение времени безотказной работы 30
1.1.5. Численный анализ 32
1.2. Частные случаи 44
1.2.1. Модель не нагруженного (холодного) резервирования . 44
1.2.2. Модель горячего резервирования 53
1.3. Модели неоднородных систем 62
1.3.1. Модель неоднородной системы, работающей в стабильной среде без ограничений на доступность ремонта . 62
1.3.2. Модель неоднородной системы с ограничениями на доступность восстановления 65
1.3.3. Модель неоднородной системы, работающей в случайной среде 68
1.3.4. Численный анализ 70
1.4. Заключение 78
Глава 2. Исследование чувствительности характеристик надёжности систем к виду функций распределения времени безотказной работы и ремонта их элементов 79
2.1. Постановка задачи и обозначения 80
2.2. Система холодного дублирования < M2/GI/I > 81
2.3. Система холодного дублирования < GI2/M/I > 87
2.4. Численный анализ систем 91
2.5. Заключение 97
Глава 3. Анализ чувствительности характеристик надёжности систем, работающих в случайной внешней среде, к виду распределений времени безотказной работы и ремонта их элементов 98
3.1. Постановка задачи и обозначения 98
3.2. Система холодного дублирования < M2/GI/\{МЕ) >, работающая в случайной марковской среде 99
3.3. Система холодного дублирования < GI2/M/1(МЕ) >, работающая в случайной марковской среде 104
3.4. Численное исследование модели 108
3.5. Заключение 114
Заключение 115
Литература
- Уравнения Колмогорова
- Модель неоднородной системы с ограничениями на доступность восстановления
- Система холодного дублирования < M2/GI/I >
- Система холодного дублирования < M2/GI/\{МЕ) >, работающая в случайной марковской среде
Уравнения Колмогорова
В разделе 1.1.1 рассмотрена однородная модель марковской системы надёжности, функционирующей в случайной среде, принимающей состояний, описываемой марковским процессом с матрицей интенсивностей переходов (МИП) Л = [k,i\- При этом предполагается, что при смене состояния внешней среды элементы системы мгновенно меняют интенсивности отказов и восстановления.
Поведение такой системы описывается двумерным марковским процессом () = (o(), ()), с пространством состояний , при этом первая компонента принимает значений и описывает состояния внешней среды, а вторая () указывают число отказавших элементов системы в момент времени и принимает + 1 значение, = \ + + n.
При сделанных предположениях процесс () = (o(),()) является двумерным марковским процессом с пространством состояний и блочной МИП = [x,y] специального вида. описывают вероятности состояний системы, когда она работает в-ой среде. Обозначим, кроме того, через = (i,..., т) начальное распределение внешней среды и через 0 = (1,0,...,0) вектор размерности + 1, первая (нулевая) компонента которого равна 1, а остальные 0, соответствующий полностью исправному состоянию системы, когда все элементы системы исправны.
Эта система представлена в теореме 1.1.1, в том числе с учётом структуры матрицы в виде системы уравнений, соответствующих работе системы в различных средах. В качестве следствия 1.1.2 получена система уравнений изменения внешней среды. В разделе 1.1.3 представлены стационарные вероятности состояний системы, которые существуют благодаря неразложимости процесса и конечности числа его состояний и совпадают с предельными вероятностями TTZ = Hindoo 7Tz{t) и удовлетворяют системе уравнений равновесия (СУР), или глобального баланса, которая для вектора стационарных вероятностей 7Г = \jiz-, z Е} с дополнительным условием нормировки имеет вид
В разделе 1.1.5 представлены несколько вариантов численного анализа модели из двух элементов п = 2, работающей в случайной среде, принимающей два возможных состояния m = 2. Для численного анализа в среде МАТЛАБ разработана программа расчёта стационарных и не стационарных характеристик надёжности системы. Результаты расчётов представлены в виде таблиц и графиков. Проведено сравнения с системой M2/M/I , работающей в неслучайной (стабильной) среде. В разделе 1.2 представлены результаты для частных случаев моделей холодного и горячего резервирования.
В разделе 1.3 представлены результаты для модели неоднородных систем с ограничениями на возможность восстановления, работающих в стабильной и случайной средах. Для неоднородных моделей при наличии ограничений на возможность восстановления для построения марковского процесса необходимо помнить, какой из отказавших элементов ремонтируется, что приводит к необходимости расширения пространства состояний системы.
В разделах 1.3.1 и 1.3.2 представлены результаты для неоднородной системы из двух элементов = 2), работающей в стабильной среде в случаях отсутствия и наличия ограничений на доступность ремонта.
Для этих систем получены системы уравнений для стационарного режима, которые представлены в соответствующих теоремах 1.3.1, 1.3.4 и найдены их аналитические решения, которые используются в дальнейшем для численного анализа и сравнения с результатами для однородных систем.
В разделе 1.3.3 исследована модель неоднородной системы 2//2() из = 2 элементов, функционирующей в случайной среде, принимающей = 2 состояния. Для описания этой системы приходится использовать трёхмерный марковский процесс, пространство состояний которого в этом случае имеет вид работающей в случайной среде (теорема 1.3.7), численное решение которых использовано в следующем разделе для анализа поведения системы и сравнения его с поведением аналогичных систем в стабильной среде. В разделе 1.3.4 представлено несколько вариантов численного анализа. Для сравнения характеристик надёжности систем, работающих в случайной и не случайной средах, с ограничениями на доступность восстановления были согласованы соответствующие параметры отказов и восстановления элементов системы. Результаты представлены в виде таблиц и графиков.
Во второй главе рассматривается проблема чувствительности характеристик надёжности дублированных систем холодного резервирования M2/GI/I и GI2/M/I к виду ф.р. в.б.р. и времени ремонта их элементов при ограничениях на доступность восстановления и также представленных в работе [38]. Для этих систем выписаны дифференциальные уравнения в частных производных для нестационарных и обыкновенные дифференциальные уравнения для стационарных вероятностей микро-состояний. Для стационарных вероятностей микро- и макро-состояний этих систем получены явные формулы их зависимости от вида ф.р. в.б.р. и времени ремонта. Проведено численное исследование влияния законов распределения в.б.р. и времени ремонта элементов на стационарные и не стационарные характеристики надёжности этих систем и их сравнение с соответствующими характеристиками в марковском случае. Не смотря на явную зависимость стационарных вероятностей состояний систем от вида ф.р. в.б.р. и времени ремонта их элементов, численный анализ показал, что при "быстром" восстановлении эта зависимость становится исчезающе малой.
В разделе 2.1 даётся постановка задачи и вводятся обозначения. Будем обозначать ф.р. в.б.р. и времени ремонта элементов системы через А(х) и В(х) соответственно. Предполагается, что они абсолютно непрерывны, и плотности распределения (п.р.) обозначаются через а{х) и Ъ{х). Соответствующие средние значения и интенсивности отказов и восстановлений обознача
Модель неоднородной системы с ограничениями на доступность восстановления
Аналитические выражения для стационарной вероятности отказа 7Г2(/3) системы в зависимости от скорости ремонта в этих случаях представлены в теореме 2.4.1 и использованы для численного анализа, результаты которого представлены в виде таблиц и графиков.
Наконец в разделе 2.5 приводится заключение по результатам исследований в главе 2. В третьей главе представлены результаты исследования чувствительности характеристик надёжности систем, работающих в марковской случайной среде, к виду ф.р. в.б.р. и времени ремонта их элементов. В разделе 3.1 уточняются постановки задачи и обозначения. Используются обозначения аналогичные тем, что приняты в главе 2, при этом все величины и функции снабжаются индексами, указывающими номер состояния внешней среды.
В разделе 3.2 для исследования системы M jGl/1(МЕ) холодного дублирования вводится марковский случайный процессZ(t) = (I(t), N(t); X(t)), где, I{t) - состояние внешней среды в момент времени t, N(t) - число отказавших элементов в момент времени , X(t) - время, затраченное на восстановление ремонтирующегося в момент времени t элемента, и через 7T(ij)(t; x)dx = P{I(t) = і, N(t) = І, х X(t) х + dx} обозначаются п.р. вероятностей (по непрерывной компоненте) его состояний. Получены уравнения Колмогорова для вероятностей состояний этой системы, представлены в теореме 3.2.1, а соответствующие уравнения для стационарного режима представлены в следствии 3.2.2. Соответствующие уравнения в терминах преобразований Лапласа представлены в следствии 3.2.4.
В разделе 3.3 представлены результаты исследования системы холодного дублирования СІ2/М/1(МЕ) , работающей в случайной марковской среде. Уравнения Колмогорова для вероятностей состояний этой системы содержат дополнительные члены, связанные с переходом внешней среды из одного состояния в другое и представлены в теореме 3.3.1, а соответствующие уравнения для стационарного режима в следствии 3.3.2. В следствии 3.3.4 представлены уравнения для стационарных вероятностей состояний системы в терминах ПЛ.
В разделе 3.4 приводятся результаты численного исследования поведения дублированной системы надёжности, работающей в случайной марковской среде, в частном случае совпадающих распределений в.б.р. и времени ремонта. Наконец в разделе 3.5 приводится заключение по результатам исследований в главе 3. В Заключении сформулированы основные результаты диссертационного исследования. Глава 1 Марковские модели надёжности систем, работающих в марковской случайной среде
В этой главе исследуется влияние случайности внешней среды на надёжность работы систем, в рамках марковской модели надежности системы, функционирующей в случайной марковской среде. Приведены дифференциальные уравнения для вероятностей состояний такой системы и соотношения для вычисления стационарных и нестационарных характеристик надёжности её работы. Получено выражение для производящей функции моментов времени безотказной работы системы. С целью исследования влияния случайности внешней среды и её изменчивости на характеристики надёжности системы вводится параметр изменчивости среды , характеризующий её влияние на интенсивности отказов и восстановлений элементов в различных состояниях среды.
Рассмотрим модель системы из неоднородных элементов, которая функционирует в случайной среде, принимающей значений. Состояния такой системы могут быть описаны + 1-мерными векторами j = (o,i, . . . , n), первая компонента o которых описывает состояния внешней среды и принимает значений (o = 1,), а бинарные компоненты &, ( = 1,), указывают состояния элементов системы. Множество состояний такой системы обозначим через = {(o,i,...,n) : o = l,,k = {0,1}, ( = l,)}. Общее число состояний конечно и равно N = т х 2П состояний. Множество работоспособных и отказовых состояний обозначим EQ И Е\ соответственно.
Простейшим примером этой общей модели является однородная система с одинаковыми для всех элементов характеристиками отказов и восстановления. В этом случае модель допускает укрупнение состояний путём объединения состояний с одинаковым числом отказавших элементов, при этом множество состояний примет вид Е = {(jo, j) Jo = l,m, j = 0,n, (j = J2i k nh)} с общим числом состояний N = тх (п +1). Рассмотрим сначала однородную модель облегчённого резервирования.
Предположим, что все элементы имеют показательно распределённые длительности безотказной работы и восстановления. Обозначим через а, 7, Р параметры распределений в.б.р. в рабочем и резервном состояниях и времени ремонта в условиях стабильной внешней среды, и через а , 7ь Рк соответствующие параметры, когда внешняя среда находится в состоянии к. При этом предполагается, что при смене состояния внешней среды элементы системы мгновенно меняют интенсивности отказов и восстановления. Предположим далее, что изменения внешней среды описываются однородным марковским, процессом, с конечным т числом состояний и МИП Л = [А&;/]. Поведение такой системы описывается двумерным марковским, процессом
Система холодного дублирования < M2/GI/I >
Проблема исследования систем с ограниченными возможностями восстановления отказавших элементов значительно усложняется. В этом случае приходится дополнительно расширять пространство состояний системы с тем, чтобы учесть, какие из отказавших элементов восстанавливаются, а какие ожидают своей очереди на ремонт. Поскольку в такой постановке имеется огромное количество различных вариантов, для которых необходимо выписывать свои уравнения, рассмотрим подход к исследованию поставленной проблемы на примере модели системы из двух неоднородных элементов с одним ремонтным устройством \ \ 1 , что позволит привести и общие рекомендации для исследования предложенной проблемы.
Рассмотрим далее марковскую модель надёжности из = 2 неоднородных элементов с одним восстанавливающим устройством, которая отказывает при двух отказавших элементах. Поскольку необходимо различать, какой из отказавших элементов восстанавливается обозначим состояния системы следующим образом где символ 1 указывает, какой из элементов восстанавливается. Рассмотрим марковский процесс N(t) с этим пространством состояний и обозначим через (ITJ) его стационарные вероятности состояний. В этом случае граф переходов соответствующего марковского процесса имеет вид, представленный на рис. 1.18.
Рассмотрим теперь модель неоднородной системы 2//2() из = 2 элементов, функционирующей в случайной среде, принимающей = 2 состояния. Обозначим через ij,ij, {j, ( = 1,2) интенсивности отказов го элемента в рабочем и резервном состояниях и его восстановления в условиях -ro состояния случайной внешней среды. Пространство состояний в этом случае имеет вид
Граф переходов процесса () Для исследования поведения системы в случайной среде используется трехмерный марковский процесс () = (o(), \(), 2()), первая компонента которого описывает изменения внешней среды, а вторая и третья состояния элементов системы в смысле надёжности. Граф переходов процесса () представлен на рис.
Для сравнения характеристик надёжности системы, работающей в случайной и не случайной (стабильной) средах, и с ограничениями на доступность восстановления необходимо согласовать соответствующие параметры отказов и восстановления элементов системы. Все параметры для случайной среды задавались, а для стабильной среды использовались следующие усреднённые значения: л , 1 2 21 , 1 2
В приводимых ниже рисунках использованы те же, что и ранее обозначения для графиков при различных значениях параметра , определяющего соотношение интенсивности отказов элемента, работающего в первом и втором состоянии случайной среды.
Соответствующие стационарные вероятности отказа системы приведены в таблице 1.14. Графики нестационарных вероятностей безотказной работы и функции надёжности системы в стабильной и случайной средах приведены на рис.1.20.
Нестационарные вероятно- Рис.1.20е: Функция надёжности систе-сти работоспособности системы (1 — мы () = 1—TK.() в стабильной сре-тк.()) в стабильной среде с ограни- де с ограничением чением
Полученные результаты показывают, что соответствующие характеристики для системы, работающей в стабильной и случайной средах без ограничений, достаточно близки, а при = 1, как и следовало ожидать, просто совпадают. Однако, есть различия для системы, работающей в стабильной среде с ограничением, стационарные вероятности отказа системы получаются больше. С ростом интенсивности отказов элементов при работе системы в случайной среде, увеличивается скорость сходимости нестационарных характеристик к стационарным, как в стабильной, так и в случайной средах.
Вариант 2. Неоднородное изменение внешней среды: і,2 = 1.0, гд = 10, интенсивности отказа и восстановлений соизмеримы между собой: дд = 1.0, і,2 = дд, 2д = 2.0, 2,2 = 2д, і,і = 0.5,1,2 = ід, 2,і = 1.5,2,2 = 2Д, д = 100,1,2 = 100,2,1 = 100,2,2 = 100, ( = 0.1; 0.5; 1.0; 5.0).
Аналогичные предыдущим результаты приведены в таблице 1.15 и на рис.1.21. Таблица 1.15: Стационарные вероятности отказа системы для варианта с В стабильной среде с ограничениемЛота. = (Лз.1 + ЗД)(1 П В стабильной среде без ограничений В случайной среде без ограничений
Результаты также демонстрируют достаточную близость характеристик работы системы в стабильной и случайной средах, однако «быстрое восстановление» приводит к быстрой сходимости нестационарных вероятностей состояний к стационарным. Как и ранее с ростом переменной с увеличивает ся скорость сходимости нестационарных характеристик к стационарным как для стабильной, так и для случайной средах. На это следует обратить особое внимание.
Аналогичные предыдущим результаты приведены в таблице 1.16 и на рис. 1.22. Результаты также демонстрируют достаточную близость характеристик работы системы в стабильной и случайной средах, однако «быстрые интенсивности отказа и восстановление» приводят к быстрой сходимости нестационарных вероятностей состояний к стационарным. Как и ранее с ростом переменной увеличивается скорость сходимости нестационарных характеристик к стационарным как для стабильной, так и для случайной средах.
Таблица 1.16: Стационарные вероятности отказа системы для варианта с В стабильной среде с ограничениемЛота. = Л3.1 + Л32 В стабильной среде без ограниченийЛотк. = ПП В случайной среде без ограничений
Первая задача, исследования поведения системы надёжности в случайной среде, рассматривается в главе 1 в рамках марковских моделей систем надёжности, работающих в марковской случайной среде. Предложена общая марковская модель надёжности системы, функционирующей в случайной марковской среде. Приведены соотношения для вычисления стационарных и нестационарных характеристик надёжности работы такой системы. Проведено численное исследование и сравнение характеристик надёжности для системы облегчённого дублирования, работающей в стабильной и случайной средах с двумя состояниями. Результаты численного исследования, представленные в виде таблиц и графиков, показали как общие черты, так и различия в работе систем в случайной и стабильной средах. Результаты были получены для однородной и неоднородной моделей, которые имеют сходство друг с другом, они зависят от изменения параметра интенсивности отказов в рабочем и резервном состояниях и восстановления. Глава 2
Рассматривается влияние вида ф.р. в.б.р. и времени ремонта на стационарные и не стационарные характеристики надёжности систем при ограниченном количестве ремонтных бригад, когда не все отказавшие элементы могут восстанавливаться одновременно. Получены явные формулы зависимости стационарных характеристик надёжности дублированной системы холодного резервирования от вида ф.р. в.б.р. и времени ремонта. Проведено численное исследование влияния законов распределения в.б.р. и времени ремонта на стационарные и не стационарные характеристики надёжности системы и их сравнение с соответствующими характеристиками в марковском случае. Не смотря на явную зависимость стационарных вероятностей состояний системы от вида ф.р. в.б.р. и времени ремонта их элементов численный анализ показал, что при "быстром" восстановлении эта зависимость становится исче-зающе малой.
Система холодного дублирования < M2/GI/\{МЕ) >, работающая в случайной марковской среде
Первое уравнение: в момент времени t + Д система окажется в нулевом состоянии, N(t + Д) = 0, если в момент времени t она уже была в этом состоянии и за время Д не покинула его с вероятностью (1 — (Aj + otj)A) или если в момент времени t она находилась в состоянии N(t) = 1 с временем и t, затраченным на ремонт в du - окрестности точки и с вероятностью 7T(j;i)(; u)du и покинула его за время Д с вероятностью (3j(u)A, или перешла из одной из возможных сред с вероятностью Ajj-Д.
Второе уравнение: в момент времени +Д система с вероятностью 7i7j п(+ Д; ж +Д)Д окажется в первом состоянии, N(t + A) = 1, с временем затраченным на ремонт отказавшего элемента в Д - окрестности точки х + Д, если в момент времени t она уже была в этом состоянии с временем х, затраченным на ремонт, и не покинула его за время Д с вероятностью
Третье уравнение: в момент времени t+А система с вероятностью 7Г(Ч2) (+ А; ж + А)А окажется во втором состоянии, N(t + A) = 2, с временем затраченным на ремонт отказавшего элемента в А - окрестности точки х + А, если в момент времени t она уже была в этом состоянии с временем х, затраченным на ремонт, и не покинула его за время А с вероятностью (l — XjA)(l—f3j(x)A) или если в момент времени t она была в состоянии N(t) = 1 с временем ж, затраченным на ремонт, и работающий элемент отказал за время А с вероятностью х,Д, или перешла из одной из возможных сред с вероятностью Aj J А. Все остальные события имеют вероятность о(А).
Граничное условие: в момент времени t + А система окажется в первом состоянии, N(t + А) = 1, с временем затраченным на ремонт отказавшего элемента в А - окрестности точки А, если в момент времени t она была в состоянии N(t) = 0 и произошёл отказ с вероятностью ctjA или если в момент времени t она находилась в состоянии N(t + А) = 2 с временем в du - окрестности точки и t с вероятностью Ti(j2){t]u)du и с вероятностью (3j(u)A ремонт закончился.
После несложных алгебраических преобразований и перехода к преде лу при А — 0 последняя система переходит в систему дифференциальных уравнений в частных производных (3.1) с граничным условием (3.2). В В силу конечности множества состояний и неразложимости процесса стационарный режим существует, а уравнения для его вероятностей состояний получаются при обращении производных по времени в ноль и имеют вид, представленный в следующем следствии.
Рассмотрим теперь двойственную систему СІ2/М/1(МЕ) холодного дублирования с произвольно распределённым в.б.р. элементов и показательно распределённым временем ремонта, при этом для простоты предполагается холодное резервирование, так что одновременно может работать только один элемент.
Система холодного дублирования Gl2/M/1(ME) , работающая в случайной марковской среде Для исследования этой системы введём, как и ранее, случайный марковский процесс Z(t) = (I(t), N(t); X(t)), где, как и ранее, I(t) означает состояние внешней среды, N(t)—число отказавших элементов, однако X(t) теперь означает время, прошедшее с начала работы действующего в настоящий момент времени прибора (напомним, что в системе холодного резервирования единовременно может работать только один прибор), и через обозначаются п.p. вероятностей (по непрерывной компоненте) его состояний. Уравнения Колмогорова для вероятностей состояний системы холодного дублирования СІ2/М/1(МЕ) , работающей в случайной марковской среде содержат по сравнению с уравнениями (2.9) дополнительные члены, связанные с переходом внешней среды из одного состояния в другое и представлены в следующей теореме.
Доказательство. Проводится аналогично доказательству теоремы 3.2.1 с по мощью формулы полной вероятности путём составления конечно-разностных уравнений и сравнения вероятностей состояний процесса в моменты времени t и t + А с последующим переходом к пределу при А — 0. И Уравнения для стационарных вероятностей состояний получаются предельным переходом при t — оо и имеют вид, представленный в следующем следствии. Следствие 3.3.2. Вероятности состояний системы в стационарном режиме удовлетворяют системе уравнений
Целью диссертационного исследования являлось изучение актуальных проблем теории надёжности: влияния случайности внешней среды и её изменчивости на характеристики надёжности системы, с одной стороны и их чувствительности к виду ф.р. в.б.р. и времени ремонта - с другой. Для достижения этой цели были решены следующие задачи
Первая задача рассматривается в главе 1 в рамках марковских моделей систем надёжности, работающих в марковской случайной среде. Предложена марковская модель надёжности системы, функционирующей в случайной марковской среде. Приведены соотношения для вычисления стационарных и нестационарных характеристик надёжности работы такой системы. Проведено численное исследование и сравнение характеристик надёжности для системы облегчённого дублирования, работающей в стабильной и случайной средах с двумя состояниями. Результаты численного исследования представлены в виде таблиц и графиков.
Во второй главе рассматривается вторая проблема в рамках дублированной системы надёжности, в которой только одно из двух распределений (в.б.р. или времени ремонта) отлично от показательного. Получены выражения для стационарных вероятностей состояний таких систем, которые показывают наличие в них явной зависимости от вида ф.р. в.б.р. и времени ремонта. Однако численные исследования показали, что эта зависимость быстро убывает при "быстром восстановлении".
В третьей главе обе эти проблемы рассматриваются для систем из предыдущей главы, работающих в случайной марковской среде. Получены уравнения для вероятностей состояний таких систем, приведены результаты их численного анализа, которые для систем, работающих в случайной среде, также показали исчезающе малую чувствительность характеристик надёжности систем к виду ф.р. в.б.р. и времени ремонта при "быстром восстановлении".
