Введение к работе
Актуальность темы. Современные технологии все чаще сталкиваются с нелинейными процессами, описываемых системами нелинейных дифференциальных уравнений высоких порядков. Создание численно-аналитических компьютерных методов исследования и математического моделирования этих процессов с учетом возможного изменения их параметров является актуальной задачей.
Уникальные графические возможности системы компьютерной математики (СКМ) Maple, в частности, возможности создания трехмерных анимационных моделей, хорошо проработанные программные процедуры численного интегрирования систем обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ), сплайновой и B - сплайновой интерполяции функций позволяют рассматривать СКМ Maple в качестве мощного современного инструмента математического моделирования объектов механики и родственных им. В настоящее время методы математического моделирования в СКМ начали эффективно применяться в исследованиях математических моделей как фундаментальных физических явлений, так и прикладных задач. Важным преимуществом СКМ Maple является и возможность интеграции этой системы с СКМ MatLab, которая хорошо приспособлена к моделированию электронных систем и технологических процессов.
Объектом диссертационного исследования является математическое моделирование нелинейных обобщенно - механических систем, (НОМС), в среде компьютерной математики Maple. Характерными особенностями таких систем являются их нелинейность или высокий порядок описывающих их дифференциальных уравнений или возможная их неавтономность, т.е., зависимость от внешних нестационарных условий, или – и то, и другое, и третье вместе. В большинстве случаев порядок уравнений, n=2, однако, например, при рассмотрении движения релятивистской заряженной частицы в магнитном поле с учетом магнито-тормозного излучения n=3; а в ряде случаев n может достигать и значения 4. Следует подчеркнуть общую тенденцию развития математических моделей реальных физических процессов, наметившуюся в последние годы, – их существенно нелинейный характер и повышение порядка соответствующих дифференциальных уравнений. Одним из механизмов повышения порядка дифференциальных уравнений, описывающих динамические системы, является учет обратного полевого воздействия среды на движение динамической системы. Таков, например, механизм появления производных третьего порядка в уравнениях электродинамики.
Как известно, достаточно эффективных и общих методов аналитического исследования поведения НОМС, описываемых задачей Коши, не существует. Применение же методов качественной теории дифференциальных уравнений требует, во-первых, автономности системы(1), а, во-вторых, с увеличением числа степеней свободы, S2, системы сложность исследования с помощью качественной теории дифференциальных уравнений, а тем более, их визуализации, резко возрастает при. Фактически, единственным надежным методом исследования нелинейных механических систем является численное решение задачи Коши, которое сводится обычно к численному интегрированию нормальной системы ОДУ с соответствующими начальными условиями. Необходимость применения достаточно сложных численных методов, связанная с этим обстоятельством необходимость профессионального программирования, сложность манипуляций с численными решениями, в частности, сложности визуализации динамики нелинейных механических систем являются совокупным фактором, резко ограничивающим область исследуемых нелинейных механических систем, как математикам, так и специалистам в приложениях математики, не являющихся профессиональными программистами. Системы компьютерной математики, в принципе, заметно приближают таких специалистов к применению методов компьютерного моделирования, но все же и здесь применительно к исследованию систем нелинейных ОДУ для таких специалистов сохраняется заметная диспропорция между затраченными усилиями и получением результата. Кроме того, при прямом применении программных процедур СКМ, по-прежнему, остаются слабыми возможности проведения компьютерного моделирования систем с большим числом степеней свободы и параметров.
Целью работы является разработка методов численно-аналитического исследования и математического моделирования в среде компьютерной математики Maple нелинейных обобщенно-механических систем, создание программного комплекса для компьютерного моделирования этих систем, а также исследование некоторых конкретных обобщенно-механических систем с помощью развитых методов.
Для достижения этой цели поставлены следующие задачи:
-
разработать алгоритмы и комплекс программ автоматизированного ввода нелинейной системы ОДУ произвольного порядка, разрешенной относительно старших производных, преобразования задачи Коши к задаче Коши для нормальной системы дифференциальных уравнений и ее численного решения;
-
разработать численно-аналитические методы математического моделирования нелинейных обобщенно-механических систем на основе сплайновой экстраполяции функций и комплекс программ автоматизированной сплайновой и B-сплайновой экстраполяции численных решений системы, описывающих нелинейную обобщенно-механическую систему;
-
разработать алгоритмы и комплекс программ конвертирования сплайнов и B-сплайнов в кусочно-заданные непрерывно-дифференцируемые функции и вычисления на основе последних производных, сложных функций и определенных интегралов;
-
разработать на основе интегрирования полученных программных средств комплекс программ, позволяющих осуществлять управляемый вывод численных решений систем нелинейных дифференциальных уравнений в аналитической форме;
-
провести тестирование разработанного программного комплекса на точность и скорость вычислений на основе сравнения полученных решений с точными для точно интегрируемых систем ОДУ;
-
разработать на основе полученных программных средств алгоритмы и управляемые программные процедуры динамической визуализации математических моделей обобщенно-механических систем;
-
построить с помощью разработанных алгоритмов и программных средств компьютерные динамические модели ряда конкретных обобщенно-динамических систем: электродинамических, оптических, геометрических.
Объектами исследования являются нелинейные обобщенно-механические системы в релятивистской электродинамике, геометрической оптике, дифференциальной геометрии и т.п..
Предмет исследования составляют численно-аналитические компьютерные модели в системе компьютерной математики, позволяющие проводить исследование сложных нелинейных обобщенно-механических систем.
Методы исследования. Методологической основой исследования являются теоретические основы механики, электродинамики и геометрической оптики, математический анализ, теория дифференциальных уравнений, теория сплайнов, тензорный анализ, численные методы и язык программирования Maple.
Достоверность полученных результатов подтверждается:
строгим использованием математического аппарата теории сплайнов и B-сплайнов, теории дифференциальных уравнений, применением апробированных численных методов решения нормальных систем обыкновенных дифференциальных уравнений;
совпадением решений полученных численно-аналитическими методами в системе Maple с точными решениями нелинейных систем обыкновенных дифференциальных уравнений;
совпадением поведения компьютерных моделей, полученных с помощью созданного комплекса программ, с изученным ранее другими методами поведением таких систем.
Научная новизна состоит:
-
-
в разработке комплекса программ в системе компьютерной математики Maple, позволяющих автоматически получать решение нелинейных систем обыкновенных дифференциальных уравнений в форме сплайнов и B-сплайнов;
-
в разработке численно-аналитических методов исследования, математического и компьютерного моделирования нелинейных обобщенно-механических систем в среде компьютерной математики Maple, разработке программных средств математического анализа полученных решений и тем самым – компьютерных аналитических методов исследования нелинейных обобщенно-механических систем и методов динамической визуализации их математических моделей.
Практическая значимость. Предложенные методы, алгоритмы и комплекс программ позволяют проводить численно-аналитическое компьютерное моделирование в среде компьютерной математики Maple обобщенно-механических систем, обладающих высокой степенью нелинейности и характеризующимися высокими порядками соответствующих систем дифференциальных уравнений. На основе предложенных методов разработан и протестирован программный комплекс в среде Maple для исследования и компьютерного моделирования нелинейных обобщенно-механических систем. Разработанный комплекс апробирован для получения численно-аналитических решений точной модели движения релятивистских заряженных частиц в электромагнитных полях с учетом магнитотормозного излучения, модели распространения света в оптически неоднородных средах с дисперсией, задачи дифференциальной о восстановлении кривых по их натуральным уравнениям, имеющей важное практическое применение в ориентации на местности. Эти решения доведены до реализации в системе Maple в виде динамических, графических компьютерных моделей с управляемыми параметрами, позволяющих проводить компьютерные эксперименты с нелинейными обобщенно-механическими системами. Разработаны системы динамического моделирования нелинейных обобщенно-механических систем, которые имеют большое практическое значение для создания лабораторных тренажеров для исследования и изучения различных нелинейных механических, геометро-оптических и электродинамических систем.
Внедрение результатов. Результаты, полученные в диссертационной работе, используются в учебном процессе в Татарском государственном гуманитарно-педагогическом университете
в курсе по выбору «Задачи динамики в символьной математике» и при выполнении курсовых и дипломных работ - по специальности «Математика и информатика»;
курсах «Дифференциальные уравнения в системах компьютерной математики», «Математическое моделирование в системах компьютерной математики», курсе по выбору «Технологии создания пользовательских библиотек и лекционных демонстраций в системах компьютерной математики» и при выполнении магистерских диссертаций - по специальности «Информационные технологии в физико-математическом образовании» для магистрантов.
Апробация работы. Основные положения и результаты, полученные в диссертации, докладывались и обсуждались на:
XXIII-ой Международной научно-технической конференции «Математические методы и информационные технологии в экономике, социологии и образовании», Пенза, 2009 г.;
Международной научно-технической конференции «Научно-методические проблемы геометрического моделирования, компьютерной и инженерной графики в высшем профессиональном образовании», Пенза, 2009 г.;
5-й Международной научно-технической конференции «Информатизация процессов формирования открытых систем». Вологда, 2009 г.
8-й молодежной научной школы-конференции «Лобачевские чтения». Казань, 2009 г.;
10-й Международной конференции «Системы компьютерной математики и их приложения», Смоленск, 2010 г.;
11-й Международной конференции «Системы компьютерной математики и их приложения», Смоленск, 2010 г.;
Российской летней школе «Математическое моделирование фундаментальных объектов и явлений в системах компьютерной математики». Казань, 2010 г.
На защиту выносятся:
-
Методы численно-аналитического моделирования нелинейных обобщенно-механических систем в среде компьютерной математики Maple, основанные на сплайновой интерполяции результатов численного интегрирования;
-
Комплекс программ в системе компьютерной математики Maple автоматического распознавания, численного решения нелинейных систем обыкновенных дифференциальных уравнений и автоматического решения нелинейных систем обыкновенных дифференциальных уравнений в формате сплайнов, B-сплайнов и кусочно-заданных функций;
-
Комплекс программ в системе компьютерной математики Maple математического анализа полученных в форме сплайнов и B-сплайнов решений;
-
Компьютерное моделирование в системе компьютерной математики Maple конкретных нелинейных обобщенно-механических систем и построение их визуальных динамических моделей.
Публикации. Основное содержание работы опубликовано в 9 печатных работах, три из которых в журналах, рекомендованных ВАК.Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, приложения, заключения и списка литературы, включающего 118 наименований. Полный объем работы составляет 160 страниц.
Похожие диссертации на Численно-аналитические методы математического моделирова-ния нелинейных обобщенно-механических систем в среде компь-ютерной математики Maple
-
