Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Введение и обзор 5
1.1. Цель работы и ее актуальность 5
1.2. Решаемые задачи и научная новизна работы 7
1.3. Практическая значимость и использование результатов работы .9
1.4. Обзор математических методов обработки неопределенности... 11
1.5. Обзор моделей кровообращения 20
1.6. Ограничения работы 24
1.7. Положения, выносимые на защиту 25
Глава 2. Метод линеаризации для численного решения нечетких уравнений 26
2.1. Анализ существующих нечетких методов и идея метода линеаризации 26
2.2. Метод линеаризации как метод учета зависимостей чисел 31
2.3. Прямой вариант метода линеаризации 35
2.4. Экономичность метода линеаризации 39
2.5. Ограничения метода и перспективы его развития 41
2.6. Резюме 44
Глава 3. Результаты решения тестовых систем обыкновенных дифференциальных уравнений методом линеаризации 45
3.1. Простейшее дифференциальное уравнение 45
3.2. Колебательные системы: линейный осциллятор, уравнения Ван-дер-Поля и Релея 47
3.3. Влияние численного метода решения ОДУ на нечеткое решение уравнения Релея методом линеаризации 52
3.4. Сопоставление результатов в задаче массового обслуживания. Экономичность метода. Влияние способа описания нечеткости 55
3.5. Резюме 60
Глава 4. Квазистационарная модель сердца 61
4.1. Рассматриваемые физиологические проблемы и эффекты 61
4.2. Алгебраическая модель сердца 65
4.3. Численная реализация модели 70
4.4. Результаты численных расчетов модели и их верификация 71
4.5. Резюме 80
Глава 5. Применение метода линеаризации к физиологическим моделям с нечеткими параметрами 82
5.1. Результаты нечетких расчетов алгебраической модели сердца... 82
5.2. Чувствительность модели сердца к исходным данным 91
5.3. Модель гемодинамики и транспортных процессов в нефроне 96
5.4. Нечеткие результаты модели нефрона и ее чувствительность к исходным данным 103
5.5. Резюме 111
Глава 6. Программная реализация и внедрение метода 112
6.1. Требования к методу с точки зрения использующего его прикладного пакета 112
6.2. Объектно-ориентированная реализация нечетких расчетов методом линеаризации 114
Заключение 120
Литература 121
- Практическая значимость и использование результатов работы
- Метод линеаризации как метод учета зависимостей чисел
- Влияние численного метода решения ОДУ на нечеткое решение уравнения Релея методом линеаризации
- Нечеткие результаты модели нефрона и ее чувствительность к исходным данным
Введение к работе
1.1. Цель работы и ее актуальность
Целью данной работы является расчет погрешности результатов численного моделирования некоторых физиологических систем, обусловленной неопределенностью их параметров, с помощью разработанного метода.
Физиология человека является одной из наиболее слабо формализуемых предметных областей, где математические модели зачастую базируются на принципиально приближенных закономерностях (не только на физических законах, но и на экспертных оценках), а значения их параметров всегда имеют существенную неопределенность (обусловленную низкой точностью измерений, субъективностью оценок, вариабельностью значений у различных людей). В то же время, сложность (в частности, нелинейность) уравнений в физиологии достаточно высока, не позволяя использовать аналитические методы получения их решения и оценок его погрешности. Поэтому в этой области особенно актуальной является проблема расчета неопределенности результатов численного моделирования.
Для решения этой проблемы при моделировании в физиологии и других областях давно используются разнообразные численные методы, учитывающие неопределенность параметров моделей. Условно их можно разделить на три класса: стохастические, интервальные и нечеткие методы. Каждый из них имеет свои достоинства, недостатки и область применения, которые перечисляются ниже в разделе 1.4. Наиболее гибкими и интенсивно развивающимися в настоящее время являются численные методы, представляющие неопределенность в форме нечетких чисел с произвольной функцией принадлежности. Однако реализация наиболее точных нечетких методов требует слишком больших вычислительных ресурсов, экспоненциально увеличивающихся с ростом числа нечетких параметров. С другой стороны, высокопроизводительные и математически строгие алгебраические методы интервальных вычислений дают слишком большую по величине и слишком малоинформативную по форме неопределенность результатов, которая имеет смысл далеко не во всех прикладных задачах. В связи с этим, проблема сочетания в одном методе достоинств существующих подходов к численной обработке неопределенности до сих пор является актуальной.
К настоящему времени математическая физиология накопила достаточно много знаний и моделей на их основе, чтобы переходить от описания частных явлений к комплексному моделированию функциональных систем и даже организма в целом. По мнению части исследователей, именно такие модели в состоянии преодолеть барьер, который отделяет физиологическую кибернетику от практического применения (прежде всего, медицинского), и обусловлен интенсивными системными взаимодействиями в организме. При создании комплексных моделей организма учет неопределенности параметров играет большую роль (хотя бы по причине их большого количества), однако существующие численные методы, как правило, не отвечают требованиям таких моделей. В частности, комплексные физиологические модели почти всегда являются весьма разнородными с математической точки зрения: они могут одновременно содержать подсистемы с сосредоточенными параметрами (алгебраические и дифференциальные) и пространственно распределенные части, описываемые уравнениями в частных производных на ветвящейся одномерной, двумерной или трехмерной геометриях.
Поэтому, помимо упомянутых выше требований высокой производительности метода и не слишком большой неопределенности его результатов, для таких моделей важна универсальность численного метода в смысле его пригодности к расчету широкого класса математических типов уравнений. Также метод должен быть универсальным в смысле произвольности способа формализации неопределенных параметров: параметры комплексных моделей могут быть как экспериментального происхождения (со статистической неопределенностью измерений), так и экспертными оценками, взятыми из разных ис 7
точников и плохо сопоставимых между собой. Обе трактовки универсальности метода становятся особенно важными, когда речь идет о его реализации в рамках некоторого прикладного программного пакета широкого назначения, т. е. когда заранее неизвестно, какие неопределенные данные будут вводиться в модель, к каким типам уравнений она сведется и даже какие вычислительные алгоритмы будут использованы для ее расчетов.
При разработке комплексных моделей функциональных систем организма, наряду с недостаточностью существующих методов обработки неопределенности, возникает также много проблем содержательного характера. Одна из них — проблема моделирования работы сердца и ее регуляции, встречающаяся в большинстве таких исследований — подробно исследуется в данной работе. Несмотря на огромное число публикаций по этой тематике (см. раздел 1.5), до сих пор является актуальной задачей создание замкнутой модели кровообращения, которая была бы максимально близка к принятому в физиологии способу описания закономерностей сердечной деятельности, и поэтому имела бы минимальное число подлежащих идентификации параметров и минимальный уровень формализации (что позволило бы использовать ее не только математикам, но и специалистам предметной области).
Таким образом, цель диссертации имеет две тесно взаимосвязанные составляющие: во-первых, создание высокопроизводительного, универсального и простого в реализации инструмента численного расчета нечетких уравнений; во-вторых, моделирование с его помощью конкретных физиологических систем, включающее анализ погрешности (нечеткости) результатов и их чувствительности к исходным данным.
1.2. Решаемые задачи и научная новизна работы
Необходимость сочетания преимуществ высокопроизводительных алгебраических методов с универсальными и практичными нечеткими методами реализуется в диссертации на базе идеи хранения в каждом нечетком числе некоторой «истории» проведенных с ним алгебраических операций. Конечно, эта идея не является абсолютно новой, поскольку очевидна необходимость знания такой «истории» для решения известной проблемы алгебраических операций с зависимыми нечеткими числами. Тем не менее, в существующих алгебраических методах (см. раздел 1.4.2) либо делаются попытки изменения правил проведения операций без явного использования информации о происхождении операндов (что приводит к некорректным нечетким решениям), либо алгоритм учета зависимостей чисел выходит за рамки алгебры (что лишает его универсальности). Таким образом, основная научная новизна работы заключается в разработке численного метода учета зависимостей между нечеткими числами. Реализованный вариант метода — наиболее производительный (и, по-видимому, наименее точный) из возможных аналогов — называется методом нечеткой линеаризации.
В соответствие с поставленной целью, в диссертации решаются следующие задачи:
• разработка метода линеаризации, применимого для расчета неопределенности решений алгебраических и дифференциальных уравнений, которая обусловлена нечеткими исходными данными (глава 2);
• программная реализация этого метода при условии использования произвольных форм нечетких чисел и произвольных «четких» методов (глава 6);
• тестирование метода линеаризации на известных задачах с целью иллюстрации его эффективности и свойств решений, получаемых с его помощью; с целью анализа влияния на эти свойства «четкого» численного метода и с целью сравнения решений с результатами других авторов (глава 3);
• создание замкнутой модели сердечной деятельности, в явном виде использующей эмпирически обоснованные физиологические зависимости вместо общепринятой физической аналогии между сердечно-сосудистой системой и электрической цепью с нелинейными элементами (глава 4); • расчет с нечеткими параметрами разработанной алгебраической модели сердца и модели гемодинамических и транспортных процессов в нефроне, которая более интересна по своим математическим свойствам (глава 5). Из рассматриваемых физиологических моделей научной новизной в «четком смысле» обладает только модель сердечной деятельности. Эта новизна заключается в уходе от физических аналогий, которые обычно приводят к большому количеству неидентифицируемых параметров. Однако расчеты с нечеткими параметрами обладают новизной для всех рассматриваемых в работе моделей. Особенно это касается модели нефрона, имеющей хаотическое решение: влияние неопределенности параметров на динамические системы со странным аттрактором до сих пор исследовано слабо (несмотря на то, что свойства самих аттракторов хорошо изучены).
1.3. Практическая значимость и использование результатов работы
Каждая из двух составляющих работы имеет свою значимость с точки зрения использования ее результатов на практике.
Практическая значимость части работы, связанной с методом линеаризации, обусловлена, прежде всего, его ориентацией на применение в прикладных программных пакетах для моделирования в слабо формализуемых предметных областях. Такой пакет разработан и развивается автором диссертации; при проведении его опытной эксплуатации в двух научно-исследовательских организациях (медицинского профиля) специалистами были высказаны требования о необходимости учета неопределенности параметров моделей, которые создаются и рассчитываются с помощью пакета. Формализация данных требований в сочетании с особенностями пакета (в частности, с открытостью вычислительных моделей, — вплоть до создания пользовательских алгоритмов расчета) привела к созданию метода нечеткой линеаризации. Более подробно его связь с требованиями прикладных пакетов для моделирования описана в разделе 6.1. Использование метода нечеткой линеаризации в прикладных пакетах позволяет существенно ускорить и упростить оценки неопределенности результатов моделирования, а также оценки степени влияния на них различных исходных данных. Внедрение пакета с этим методом позволяет при моделировании сложных систем (в частности, организма человека) существенно сократить затраты времени на расчет, а также на формализацию модели и на интерпретацию ее результатов (благодаря произвольности способа описания неопределенности и другим преимуществам метода линеаризации). За счет возможностей метода нечеткие модели могут создаваться и использоваться в пакете непосредственно специалистами соответствующей предметной области (без привлечения математиков). Среди областей применения метода (как такового или в рамках программного пакета) можно назвать такие предметные области как физиология, медицина, экономика, социология (которые характеризуются наиболее низким уровнем формализации знаний).
Применяемый вне пакета, метод нечеткой линеаризации также позволяет сократить затраты на программную реализацию вычислительных моделей — за счет того, что после однократной реализации самого метода ее можно использовать совместно с реализациями относительно произвольных численных методов и любых нечетких чисел без изменений в программном коде.
Практическая значимость части работы, связанной с моделью сердца, обусловлена, прежде всего, ее способностью замыкать квазистационарные (с характерными временами не менее секунды) модели сосудистой системы, — без привлечения каких бы то ни было эмпирически необоснованных параметров (см. разделы 1.5, 4.1). Помимо описанного в диссертации использования предлагаемой модели сердца в простейшей модели кровообращения, данная модель применялась к построению нескольких вариантов комплексной модели кровообращения с распределенными параметрами [33]. 1.4. Обзор математических методов обработки неопределенности
1.4.1. Стохастические уравнения
Одним из наиболее развитых математических подходов к манипулированию недетерминированными значениями является стохастический. В нем неопределенность всегда описывается вероятностью — частотой повторения некоторых событий. Это несколько ограничивает область применения стохастического подхода физическими, техническими и подобными системами с большим количеством повторений одной и той же ситуации; во многих других областях события возникают достаточно редко, так что распределения их вероятности неизвестны. С другой стороны, вероятностные методы, в отличие от всех рассматриваемых ниже, позволяют решать более сложные задачи (в частности, задачи со случайными функциями времени).
При задании распределения вероятности параметров какой-либо системы %{t) (или других производных функций типа плотностей распределения р и моментов различного порядка — мат. ожидания а, дисперсии D, ко вариации К и т. д.) стохастические методы дают аналогичную характеристику выходных переменных системы x(t). Однако единственным широким классом уравнений, анализ которых можно провести полностью, являются линейные системы x(t) = A(i)4(t), где A(f) — линейный оператор (например, оператор решения линейной дифференциальной или алгебраической системы): ах if) = A(f)a{ (t), Кя (/, ,t2) = A(t, % (/, ,t2 )AT(t2) и т. д.
Для нелинейных же систем со случайными параметрами, особенно для динамических, отсутствуют универсальные точные методы [9]. Тем не менее, в очень важном для практики случае Марковских случайных процессов, которые полностью определяются распределением второго порядка и приводят к стохастическим дифференциальным уравнениям (в смысле Ито или Стратоновича [14]), формализм теории вероятностей дает определенные результаты. Во-первых, для плотностей вероятностей перехода между различными состояниями системы существует уравнение Фокера-Планка-Колмогорова в частных производных, которое имеет стандартную конвективно-диффузионную форму, а поэтому решается (как аналитически, так и численно) с привлечением мощного аппарата уравнений математической физики. Во-вторых, существуют разнообразные (аналитические) методы линеаризации, различающиеся способом вычисления оптимальных (в том или ином смысле) коэффициентов линейной зависимости между входом и выходом (гармоническая линеаризация [15], статистическая линеаризация [16], эквивалентная линеаризация [17] и т. п.).
Наконец, наиболее общим методом анализа нелинейных стохастических систем является численный метод статистических испытаний (Монте-Карло) [18]. В случае подачи на вход системы автоматически сгенерированной нормально распределенной последовательности случайных чисел на основе полученной последовательности результатов легко оценить характеристики их вероятностного распределения (также нормального); причем точность такой оценки пропорциональна корню из числа испытаний (она зависит также от уровня доверительной вероятности, но не зависит от решаемой задачи). Следует отметить, что стохастические методы типа Монте-Карло для решения дифференциальных уравнений не только являются ресурсоемкими сами по себе (в силу большого числа испытаний), но вынуждены использовать очень качественные (и ресурсоемкие) алгоритмы интегрирования этих уравнений — в связи с тем, что случайные функции (зависящие от времени и часто формализуемые в виде линейной комбинации независимых белых шумов) приводят к разрывной правой части уравнений.
Анализ перечисленных и некоторых других методов решения стохастических уравнений, к сожалению, показывает бесполезность их применения к решению поставленной в данной работе проблемы (прежде всего, в силу использования ими аналитических формул, несправедливых для нечетких чисел). Исключение составляют лишь используемые в некоторых таких методах элементы алгоритмов теории чувствительности (см. ниже раздел 1.4.4). Кроме того, при решении конкретных задач в работе используются «гауссовских» нечеткие числа, имеющие стохастическую интерпретацию.
1.4.2. Интервальный анализ
Интервальная математика не требует никакой информации о типе неопределенности данных (например, вариабельность моделируемых объектов, погрешность измерений, субъективность оценок). Интервальный анализ часто используется в случаях, когда неопределенность возникает в связи с несколькими разнородными методиками получения различных параметров модели (никакая «вероятность» не может быть сопоставлена преимуществу одной методики по сравнению с другой).
Целью интервального исследования является оценка границ всех возможных выходных переменных при известных границах исходных параметров. Кроме того, интервальный анализ всегда дает надежные результаты в смысле принадлежности к результирующим интервалам любого решения задачи с обычными значениями параметров из исходных интервалов (минимаксное решение); поэтому он часто используется в задачах управления для гарантированных оценок допустимых режимов безотказной работы каких-либо систем.
Тем не менее, в случаях, когда имеется какая-либо дополнительная информация о неопределенности, интервальные вычисления игнорируют ее [21]. Эта проблема частично преодолевается при интервальном разложении нечетких функций принадлежности (см. ниже). Однако более важный недостаток интервального анализа по отношению к широкому классу прикладных задач связан с чрезмерным завышением ширины интервалов при решении уравнений, что обусловлено соотношениями типа А-А = [а-а,а-д] 0. С этим эффектом с разной степенью успеха давно борются многие исследователи (как математики, так и вычислители: [2],[4],[6],[7]), однако он представляется неизбежным при условии сохранения концепции гарантированной принадлежности интервалу.
В данной работе предлагается метод, не обладающий свойством гарантированной принадлежности, поэтому из всех идей интервальной математики здесь используется только самые общие — сведение метода к определению алгебраических операций и стремление уменьшить степень неопределенности результатов этих операций (путем учета зависимости операндов).
1.4.3. Нечеткие методы
Нечеткие числа и, более широко, нечеткие множества [1] являются наиболее мощным (с предметной, но не математической точки зрения) способом выражения понятия неопределенности — по сравнению с частным случаем случайных чисел и слишком мало информативным интервальным представлением. Нечеткие методы в целом пока являются математически менее строгими, однако максимально широкая область применения и ориентация на численное решение (особенно заметная на фоне вероятностного подхода) заставляет в настоящее время предпочитать их стохастическим и интервальным методам при решении прикладных задач.
Нечеткое число А (частный случай нечеткого множества) вводится через т. н. функцию принадлежности, которая задана на множестве всех вещественных чисел, равна единице для значений из этого множества, полностью принадлежащих А, равна нулю для не принадлежащих А значений, а также принимает значения из (0;1) для остальных (частично принадлежащих) значений. При необходимости функцию принадлежности нечеткого числа можно получить из функции распределения вероятности случайной величины, а ее носитель (интервал, в котором функция не равна нулю) можно интерпретировать в смысле интервальной математики.
Поэтому сейчас более перспективным считается альтернативное направление развития нечеткой математики (уже сугубо численное), в котором функции принадлежности восстанавливаются на основе многократных решений четких задач [11]. Этот подход идейно близок численном методам типа Монте-Карло для решения стохастических уравнений, обладает по сравнению с ними более широкой областью применения, но требует еще более значительных вычислительных ресурсов (поскольку свойства нормального распределения не используются, и приходится проводить еще большее количество расчетов, экспоненциально зависящее от числа нечетких параметров).
Также в любых методах, использующих многократные расчеты одной задачи с вариацией параметров в широких пределах, имеется некоторая вычислительная трудность. Дело в том, что при всех комбинациях значений параметров необходимо обеспечить нормальную (по крайней мере, устойчивую) работу многократно выполняемого «четкого» численного метода, что в сложных задачах часто представляет собой трудную и слабо автоматизируемую проблему (решаемую предварительными расчетами «вручную»).
Более подробное описание методов решения нечетких уравнений, их сравнительный анализ и сопоставление с предлагаемым в диссертации методом дается в разделе 2.1.
1.4.4. Методы теории чувствительности
Строго говоря, теория чувствительности не относится к средствам обработки неопределенности, однако часто рассматривается вместе с таковыми, особенно вместе со стохастическими методами [27]. Ее целью является оценка скорости изменения результатов модели при изменениях ее отдельных параметров. Это важно знать для оценки применимости модели, для определения наиболее значимых параметров с целью дальнейшего уточнения их значений, а также для понимания свойств самой моделируемой системы.
Методы решения стохастических (и нечетких) уравнений могут в той или иной форме использовать методы анализа чувствительности, поскольку любая информация о влиянии детерминированных входных параметров модели на выходные позволяет, так или иначе, оценить неопределенность (распределение вероятности или функцию принадлежности) результатов моделирования по аналогичным свойствам недетерминированных входных параметров.
В теории чувствительности существует множество методов, различающихся используемой «мерой чувствительности» (абсолютные и нормированные отклики на вариации параметров, градиенты (частные производные), статистические моменты откликов), а также точностью оценок этой меры и вычислительными затратами. Примером аналитических методов исследования чувствительности является метод малых возмущений [28] (раскладывающий результирующие переменные в ряд по параметрам с последующим решением уравнений для коэффициентов), а также методы с дифференцированием исходных уравнений модели (метод функции Грина, прямой метод с расщеплением и др. [29]). Гораздо большее прикладное значение имеют численные подходы, основанные на выборках параметров:
• методы Монте-Карло, включая модификации типа «латинского гиперкуба» с выбором характеристик случайных выборок для сокращения их числа (см. выше их использование при решении стохастических уравнений);
• метод преобразования Фурье (FAST) со сведением многомерной модели к одномерной в пространстве частот;
• метод гиперповерхностей чувствительности с аппроксимацией небольшого числа выборок полиномами многих переменных. Наконец, еще одно современное направление анализа чувствительности основано на использовании символьных вычислений и часто выражается в генерации кода для вычисления производных путем анализа исходного кода какой-либо модели на языках программирования типа Fortran [30] (при этом используется подход «черного ящика», т. е. не требуется никакой информации об уравнениях или тем более о структуре модели).
В контексте данной диссертации методы теории чувствительности напрямую не используются, однако предлагаемый здесь метод нечеткой линеаризации идеологически близок к некоторым из них (наряду с алгебраическими нечеткими методами). Дело в том, что предлагаемый метод также приводит к явной зависимости результирующих переменных от параметров, только эта зависимость получается посредством дополнительных вычислений при алгебраических операциях, но без дифференцирований и без многократных расчетов (как это делается в рассмотренных выше методах анализа чувствительности). Следует заметить, однако, что коррекция формул метода с целью интерпретации коэффициентов линеаризованной истории как частных производных по параметрам вызывает значительные трудности (см. раздел 2.5). Поэтому рассматриваемый в этом ракурсе метод линеаризации пока не может серьезно конкурировать по точности с методами теории чувствительности (в том числе, в силу своей линейности). Однако уточнение метода линеаризации планируется именно в том направлении, в каком простейший метод исследования чувствительности — линейный метод гиперплоскостей — был уточнен, превратившись в метод гиперповерхностей произвольного порядка (на практике, как правило, используется второй порядок).
1.4.5. Место предлагаемого метода среди существующих подходов
1. По сравнению со стохастическими методами предлагаемый метод линеаризации, как и любой нечеткий метод, не требует вероятностных распределений параметров. Если не считать весьма ресурсоемких методов статистических испытаний, все стохастические методы предполагают предварительное аналитическое исследование решаемой задачи (или узкого класса задач), в то время как метод линеаризации не требует аналитических выкладок, и при этом гораздо экономичнее методов статистических испытаний.
2. Строгие алгебраические методы интервального анализа дают решение в смысле наиболее широкого (гарантированного) интервала результатов, которое на практике имеет смысл либо для очень простых задач, либо для минимаксных задач, в которых выход за границы интервалов означает качественное изменение состояния моделируемой системы (например, ее разрушение). Метод нечеткой линеаризации дает существенно меньшие оценки неопределенности результатов, однако они не являются гарантированными не только в смысле интервальной математики, но и в статистическом смысле (проведение многократных расчетов с различными точными значениями параметров часто дает меньший процент «попаданий» в рассчитанный интервал, чем заданный уровень доверительной вероятности). Последний факт является основным недостатком метода линеаризации.
3. Тем не менее, в предлагаемом методе за счет явного учета зависимостей нечетких чисел допускается меньшая некорректность, чем допускается в разнообразных модифицированных алгебраических методах при попытках решить ту же проблему сужения интервала результатов алгебраических операций. При этом данная группа методов (включающая как интервальные, так и нечеткие) требует много аналитических выкладок и обладает более узкой областью применимости по сравнению с методом линеаризации.
4. Более корректные неалгебраические методы сведения нечеткой задачи к системе четких (во многом родственные методам статистических испытаний) характеризуются очень низкой производительностью, возможностью выйти за пределы области устойчивости многократно выполняемого численного алгоритма, а также качественными ограничениями на количество нечетких пара 20
метров (для каждого количества, равного размерности некоторого пространства, необходимо проводить свой теоретический анализ).
Таким образом, предлагаемый метод сочетает следующие черты:
• простоту концепции и гибкость по отношению к задаче, которые свойственны п. 2 и (несколько меньше) п. 4, но отсутствуют в полуаналитических методах п. 1 и п. 3;
• дополнительную возможность анализа чувствительности результатов к исходным данным, имеющуюся лишь в некоторых методах п. 1.
• малую по сравнению с п. 2 (и приемлемую для практических задач) величину неопределенности результатов;
• большую по сравнению с п. 3 точность расчета неопределенности (по сравнению с другими классами методов точность ниже);
• высокую производительность и вычислительную устойчивость, которые характерны для алгебраических методов (п. 2-3), но отсутствуют в п. 4 и в численных методах п. 1.
В качестве дополнительных (по сравнению с другими нечеткими подходами) возможностей метода линеаризации, которые играют роль при его применении на практике, можно отметить следующие:
• инвариантность метода относительно формы нечетких чисел (которая достигается без разложения этих чисел на интервалы);
• экономичность расчета семейства одинаковых в четком смысле задач, отличающихся степенью неопределенности и/или формой параметров;
• устойчивость расчета неопределенности результатов при условиях, более слабых, чем условия устойчивости соответствующей четкой задачи.
1.5. Обзор моделей кровообращения
К настоящему времени в литературе (и даже в программных комплексах) накоплено большое количество математических моделей сердечно-сосудистой системы, поскольку она является одной из самых важных и, в то же время, легко поддающихся формализации функциональных систем организма человека. Большинство сгочных» математических моделей с распределёнными параметрами, детально описывающих кровообращение во времени и в пространстве, относится к тканевому или органному уровню (типичный пример — [31]), не доходя до уровня замкнутой сердечно-сосудистой системы. Для моделей данного типа сложной задачей является не только решение нелинейных уравнений в частных производных (в одномерных ветвящихся [32], двумерных [33] и трехмерных областях сложной формы), но и идентификация исходных параметров, а также физиологическая и особенно медицинская интерпретация результатов моделирования (функциональная структура модели в этом случае слишком сильно отличается от реальной). Хорошим обобщающим примером распределенных моделей для сердца является трехмерная модель Пескина-Макквина [35], а для отдельного сосуда и для ветвящейся системы сосудов — работы Фаворского с соавт. [36,37]. Однако даже в случае рассмотрения такими моделями замкнутого кровообращения (см. [36] или работы автора [33,34,38]) их практическая значимость остается под вопросом. Единственным несомненным преимуществом распределенных моделей является точность описания транспортных процессов, необходимая, в частности, в фармакокинетике.
К тематике данной работы относятся, прежде всего, ставшие уже классическими имитационные модели кровообращения с сосредоточенными параметрами, которые основаны на принятом в физиологии подходе, альтернативны (в некотором смысле) рассмотренным выше математическим моделям и описываются существенно более простыми уравнениями (обыкновенными дифференциальными или даже алгебраическими). Имея физиологически и клинически интерпретируемые параметры, имитационные модели способны прогнозировать влияние на кровообращение индивидуальных особенностей и состояния организма. Основным слабым местом имитационных моделей является весьма приближённое описание динамики физиологических процессов и их анатомической локализации. Среди других недостатков этого класса моделей можно назвать слишком большой произвол в выборе числовых значений параметров, которые характеризуют связи между элементами регуляции кровообращения (и зачастую являются принципиально экспертными оценками, не измеримыми в натурном эксперименте). Однако этот недостаток частично компенсируется сравнительной простотой процедуры идентификации параметров; кроме того, любая имитационная модель может содержать наряду с эмпирическими или экспертными зависимостями те или иные физические законы, т. е. элементы «точной» математической модели (хотя и с сосредоточенными параметрами).
Модели с сосредоточенными параметрами по соотношению математики и имитации обычно разделяются на две большие группы [39]: модели гемодинамики и модели регуляции сердечного выброса. Математические модели гемодинамики отражают процессы в отдельных участках сосудистой системы (например, в крупных сосудах). Они строятся, как правило, на основе прямой аналогии с электрическими цепями (или гидротехническими сооружениями), которая обосновывается законом пропорциональности между кровотоком в сосуде определенного радиуса и разностью давлений на его концах. К таким моделям относятся модели Гродинса [40], Дефареса, Шумакова с соавт. [41], «сосудистая» часть модели Гайтона [42]. Некоторые из них (в частности, модель Шумакова-Иткина) позволяют изучать колебательные процессы в сердечно-сосудистой системе, а не только осредненные по времени значения ге-модинамических переменных.
Модели регуляции сердечного выброса, как правило, являются чисто имитационными. Они рассматривают (обычно с помощью формализма теории управления) большое число взаимосвязей между гемодинамическими параметрами сосудов, свойствами сердца (как насоса), и внешними параметрами (других функциональных систем — внешнего дыхания, тканевого метаболизма, терморегуляции и водно-солевого обмена). К разомкнутым моделям этой группы можно отнести классическую модель Амосова с соавт. [43], содержащую более 200 физиологических переменных. Наибольший интерес среди замкнутых моделей представляют модели Пикеринга с соавт., Палеца, Бене-кена, Меллера, Гайтона [42], Лищука [44]. В частности, сердечно-сосудистая часть модели функциональных систем Гайтона содержит сотни элементов и описывает гемодинамику кровообращения, баро- и хеморецепторные рефлексы, гипертрофию и декомпенсацию сердца, динамику транскаппилярного обмена жидкости в легких и тканях, систему «ренин-ангиотензин-альдестерон», регулирующую объем циркулирующей крови и т. д.
Предлагаемая в данной диссертации модель кровообращения в приведенной стандартной классификации относится, в основном, к имитационным моделям регуляции сердечного выброса. Фактически она является осредненной по времени моделью сердечной деятельности и основных цепочек его регуляции, замкнутой простейшим вариантом гемодинамическои модели сосудов с сосредоточенными параметрами. Число параметров модели намеренно минимизировано (по сравнению с сотнями параметров в моделях типа Гайтона), чтобы избежать свойственной для имитационного моделирования проблемы идентификации. Особенности данной модели обсуждаются в разделе 4.1; здесь же остается лишь отметить, что анализ большого количества работ близкой области применения не выявил моделей, аналогичных данной как по обоснованности значений параметров (если не считать полноценным обоснованием процедуру идентификации — настройки параметров на заданные результаты), так и по (слабой) степени формализации физиологических закономерностей. Последнее означает, что во всех моделях кровообращения делаются те или иные предположения о близости насосных свойств сердца к свойствам элемента в электрической цепи (в той или иной степени нелинейного), в то время как в рассматриваемой модели соответствующее предположение делается только в отношении сосудов. Такой уход от физических аналогий позволяет полностью использовать имеющиеся в физиологии эмпирические данные о насосных характеристиках сердца.
1.6. Ограничения работы
Предлагаемый метод решения нечетких уравнений носит принципиально приближенный характер, то есть никакими количественными изменениями его параметров невозможно обеспечить заданную степень точности получаемых нечетких результатов (их характерная неопределенность, как правило, меньше получаемой прямыми расчетами). Отсутствие сходимости к «точному» (в некотором смысле) решению является основным недостатком метода, хотя это характерно (в еще большей степени) для всех алгебраических методов, выходящих за рамки понятия минимаксного решения. В большинстве альтернативных (неалгебраических) методов (например, типа Монте-Карло) такая сходимость присутствует «по определению» (в силу способа построения метода), хотя и достигается очень большими вычислительными затратами.
Тем не менее, данное ограничение метода нечеткой линеаризации не является принципиальным для гипотетического семейства методов, основанных на хранении «истории» нечеткого числа. В частности, с уточнением математического представления этой «истории» (например, при переходе от линейной к полиномиальной зависимости числа от исходных данных) можно получать следующие, более точные, приближения; однако эти и другие уточнения метода выходят за рамки данной диссертации. Более подробно направления развития метода линеаризации обсуждаются в разделе 2.5.
Данная работа не предполагает проведения какого-либо теоретического анализа предлагаемого метода линеаризации, ограничиваясь выводом приближенных формул метода и вычислительными экспериментами, иллюстрирующими их применимость в конкретных задачах. Дело в том, что в силу универсальности метода теоретический анализ должен включать вывод различных формул для разных численных методов решения дифференциальных и алгебраических уравнений. Классов таких методов существует очень много, и совместно с каждым из них предлагаемый подход может давать совершенно разные результаты. Вследствие этого более-менее полное аналитическое исследование метода нечеткой линеаризации должно иметь не меньший объем, чем данная диссертация; оно может являться предметом отдельного цикла теоретических работ. В диссертации же упор делается на численное тестирование метода и на его применение к решению ряда практических задач по моделированию физиологических систем.
1.7. Положения, выносимые на защиту
1. Предложенный численный метод позволяет решать нечеткие алгебраические и дифференциальные уравнения с существенно меньшими затратами вычислительных ресурсов, чем в существующих аналогах.
2. Устойчивость расчета «нечеткости» предложенным методом наблюдается при условиях, более слабых, чем условия устойчивости расчета соответствующего «четкого» решения.
3. Программная реализация метода удовлетворяет требованиям прикладных пакетов моделирования в слабо формализуемых предметных областях, в частности, сочетается с произвольными нечеткими алгебрами.
4. Созданная модель сердца адекватно рассчитывает все основные гемодинамические переменные при малом (по сравнению с аналогами) числе входных параметров.
5. Полученные результаты расчета нескольких нечетких физиологических моделей дают полезную информацию о погрешности моделей (обусловленной параметрами), а также об их чувствительности к параметрам.
Практическая значимость и использование результатов работы
Каждая из двух составляющих работы имеет свою значимость с точки зрения использования ее результатов на практике.
Практическая значимость части работы, связанной с методом линеаризации, обусловлена, прежде всего, его ориентацией на применение в прикладных программных пакетах для моделирования в слабо формализуемых предметных областях. Такой пакет разработан и развивается автором диссертации; при проведении его опытной эксплуатации в двух научно-исследовательских организациях (медицинского профиля) специалистами были высказаны требования о необходимости учета неопределенности параметров моделей, которые создаются и рассчитываются с помощью пакета. Формализация данных требований в сочетании с особенностями пакета (в частности, с открытостью вычислительных моделей, — вплоть до создания пользовательских алгоритмов расчета) привела к созданию метода нечеткой линеаризации. Более подробно его связь с требованиями прикладных пакетов для моделирования описана в разделе 6.1.
Использование метода нечеткой линеаризации в прикладных пакетах позволяет существенно ускорить и упростить оценки неопределенности результатов моделирования, а также оценки степени влияния на них различных исходных данных. Внедрение пакета с этим методом позволяет при моделировании сложных систем (в частности, организма человека) существенно сократить затраты времени на расчет, а также на формализацию модели и на интерпретацию ее результатов (благодаря произвольности способа описания неопределенности и другим преимуществам метода линеаризации). За счет возможностей метода нечеткие модели могут создаваться и использоваться в пакете непосредственно специалистами соответствующей предметной области (без привлечения математиков). Среди областей применения метода (как такового или в рамках программного пакета) можно назвать такие предметные области как физиология, медицина, экономика, социология (которые характеризуются наиболее низким уровнем формализации знаний).
Применяемый вне пакета, метод нечеткой линеаризации также позволяет сократить затраты на программную реализацию вычислительных моделей — за счет того, что после однократной реализации самого метода ее можно использовать совместно с реализациями относительно произвольных численных методов и любых нечетких чисел без изменений в программном коде.
Практическая значимость части работы, связанной с моделью сердца, обусловлена, прежде всего, ее способностью замыкать квазистационарные (с характерными временами не менее секунды) модели сосудистой системы, — без привлечения каких бы то ни было эмпирически необоснованных параметров (см. разделы 1.5, 4.1). Помимо описанного в диссертации использования предлагаемой модели сердца в простейшей модели кровообращения, данная модель применялась к построению нескольких вариантов комплексной модели кровообращения с распределенными параметрами [33].
Одним из наиболее развитых математических подходов к манипулированию недетерминированными значениями является стохастический. В нем неопределенность всегда описывается вероятностью — частотой повторения некоторых событий. Это несколько ограничивает область применения стохастического подхода физическими, техническими и подобными системами с большим количеством повторений одной и той же ситуации; во многих других областях события возникают достаточно редко, так что распределения их вероятности неизвестны. С другой стороны, вероятностные методы, в отличие от всех рассматриваемых ниже, позволяют решать более сложные задачи (в частности, задачи со случайными функциями времени).
При задании распределения вероятности параметров какой-либо системы %{t) (или других производных функций типа плотностей распределения р и моментов различного порядка — мат. ожидания а, дисперсии D, ковариации К и т. д.) стохастические методы дают аналогичную характеристику выходных переменных системы x(t). Однако единственным широким классом уравнений, анализ которых можно провести полностью, являются линейные системы x(t) = A(i)4(t), где A(f) — линейный оператор (например, оператор решения линейной дифференциальной или алгебраической системы): ах if) = A(f)a{ (t), Кя (/, ,t2) = A(t, % (/, ,t2 )AT(t2) и т. д.
Для нелинейных же систем со случайными параметрами, особенно для динамических, отсутствуют универсальные точные методы [9]. Тем не менее, в очень важном для практики случае Марковских случайных процессов, которые полностью определяются распределением второго порядка и приводят к стохастическим дифференциальным уравнениям (в смысле Ито или Стратоно-вича [14]), формализм теории вероятностей дает определенные результаты. Во-первых, для плотностей вероятностей перехода между различными со стояниями системы существует уравнение Фокера-Планка-Колмогорова в частных производных, которое имеет стандартную конвективно-диффузионную форму, а поэтому решается (как аналитически, так и численно) с привлечением мощного аппарата уравнений математической физики. Во-вторых, существуют разнообразные (аналитические) методы линеаризации, различающиеся способом вычисления оптимальных (в том или ином смысле) коэффициентов линейной зависимости между входом и выходом (гармоническая линеаризация [15], статистическая линеаризация [16], эквивалентная линеаризация [17] и т. п.).
Наконец, наиболее общим методом анализа нелинейных стохастических систем является численный метод статистических испытаний (Монте-Карло) [18]. В случае подачи на вход системы автоматически сгенерированной нормально распределенной последовательности случайных чисел на основе полученной последовательности результатов легко оценить характеристики их вероятностного распределения (также нормального); причем точность такой оценки пропорциональна корню из числа испытаний (она зависит также от уровня доверительной вероятности, но не зависит от решаемой задачи). Следует отметить, что стохастические методы типа Монте-Карло для решения дифференциальных уравнений не только являются ресурсоемкими сами по себе (в силу большого числа испытаний), но вынуждены использовать очень качественные (и ресурсоемкие) алгоритмы интегрирования этих уравнений — в связи с тем, что случайные функции (зависящие от времени и часто формализуемые в виде линейной комбинации независимых белых шумов) приводят к разрывной правой части уравнений.
Метод линеаризации как метод учета зависимостей чисел
Идея преодоления проблемы операций над зависимыми нечеткими числами состоит в том, что число должно хранить не только свое текущее значение (включающее некоторым образом формализованную погрешность), но и информацию о том, из каких исходных данных и как это число было получено. Это дополнительно дает очень полезную в приложениях возможность анализа погрешности результатов численных экспериментов на предмет того, каким образом сказались на ней заданные исходные данные. Однако буквальная реализация указанной идеи приводит к неадекватным затратам памяти и времени расчетов: фактически, нечеткое число превращается из значения в фор мулу зависимости значения от исходных данных; причем с каждым параметром этой формулы при любой арифметической операции должны производиться сложные вычисления (методами символьной алгебры). В целях экономии ресурсов любое нечеткое число (независимо от способа его формализации) предлагается представлять в виде линейной комбинации по нечетким числам - исходным данным, что выражается формулой где д:0/ — часть числа xh не зависящая от исходных нечетких чисел -. В числе (г,-) должны храниться лишь ссылки на эти числа (или их идентификаторы у, в зависимости от языка реализации), и скалярные коэффициенты с,у при них. Ниже такая конструкция называется «линеаризованной историей» числа. В отличие от отмеченного выше полного варианта хранения информации об «истории», текущее значение нечеткого числа (формализованное одним из указанных во введении способов) при использовании линеаризованной истории не теряет смысла и также должно храниться в числе. Алгоритм арифметической операции над числами х{ и х2 (/= 1,2) таков: 1. Определяется набор исходных данных {/ }, которые должны входить в линеаризованную историю результата операции. В простейшем случае это делается путем объединения множеств {/ }, и {/}2, однако ниже также будет описан способ уменьшения числа элементов множества {/ }. 2. Для каждогоуєі/}, {/}2 рассчитываются коэффициенты линейной комбинации (для остальных./ из {/ }, или (/}2 расчет тривиален).
В случае сложения/вычитания это можно сделать точно: в случае умножения/деления — лишь приближенно (заменяя по очереди каждый из нечетких операндов л:,- на его характерное скалярное значение at): где вес q является одинаковым для всех у, в простейшем случае равен 1/2 и может зависеть от всех произведений с з-г Выбор весовой функции q влияет на погрешность метода (см. ниже). В случае деления можно использовать дополнительное (по сравнению с умножением) приближение \1х х/а2 (которое часто встречается в нечеткой алгебре): X = xjx2 = сj- »cj/a\ , (2в) однако вместо этого рекомендуется рассматривать 1/д: как элементарную функцию (см. формулу (6)), вследствие чего 3. Вычисляется величина поправки к погрешности, обусловленной наличием в линеаризованных историях х{ и х2 одних и тех же чисел .. Данный шаг алгоритма является единственным, который требует проведения различ ных аналитических выкладок для разных форм нечетких чисел. В случае гауссовских чисел эти выкладки (см. ниже) дают для сложения/вычитания a2 j где c2j — дисперсии исходных нечетких чисел, Аа2 — (аддитивная) поправка к дисперсии с2, вычисляемой на шаге 4. 4. По правилам соответствующей нечеткой алгебры проводится обычная арифметическая операция (с числами хх и х2 как с независимыми). Напри мер, для гауссовского числа на этом шаге вычисляется как среднее значе ние а, так и его дисперсия а2; для сложения/вычитания независимых чисел JC, и х2 имеем
Итоговая погрешность (в данном случае — дисперсия) рассчитывается с учетом найденной на шаге 3 поправки. Правила арифметических операций между нечетким числом и скаляром достаточно очевидны: при сложении/вычитании коэффициенты линеаризованной истории нечеткого числа не изменяются, а при умножении/делении они умножаются/делятся на этот скаляр. Весовая функция, используемая в формуле (26) для интерполяции 2-х формул умножения (получаемых при замене хх на я, и х2 на щ) может выбираться из следующих соображений. Если при каком-либо j слагаемое с я3_; равно нулю (или близко к нулю), то вклад второго слагаемого c(3_,-yfl/ должен быть максимизирован (быть близким к единице), — иначе потеряется (или необоснованно уменьшится) коэффициент зависимости результата операции от ,j. В случае К = 1 единственным параметром, от которого зависит весовая функция q, является отношение слагаемых в простейшей реализации формулы (26): / = схрг1сгр, . При К 1 предположим, что весовая функция q также зависит от одного аргумента, равного осредненному по у (по правилам среднего геометрического) отношению слагаемых:
Влияние численного метода решения ОДУ на нечеткое решение уравнения Релея методом линеаризации
Выбор численного метода может существенно влиять на расчет погрешности решения даже в том случае, когда сочетания параметров задачи и шага интегрирования таково, что само решение (в четком смысле) слабо зависит от численного метода. Для иллюстрации этого факта уравнения линейного и нелинейного осциллятора решались (помимо рассмотренного выше явного метода типа Рунге-Кутты 4-го порядка) двумя неявными (точнее, полуявными) методами типа Рунге-Кутты: Л-устойчивым методом Розенброка 3-го порядка и монотонным Л-Х-усгойчивым методом 2-го порядка. Для решения системы алгебраических уравнений на каждом временном шаге в линейном случае использовался прямой метод Гаусса, в нелинейном - метод Ньютона (с обращением матрицы Якоби тем же методом Гаусса). Сама матрица Якоби (матрица производных правой части системы уравнений) в разных вариантах вычислялась как по аналитической формуле, так и численно (простейшей аппроксимацией первого порядка точности), однако это практически не повлияло на результаты. На Рис. 3.8 и Рис. 3.9 показана (для случая трех нечетких параметров и шага 0.1) разница между решениями колебательных уравнений явным методом 4-го порядка (см. рис. 4в, 6а) и неявными методами 3-го и 2-го порядка, а также явным методом Эйлера 1-го порядка. Оказалось, что неявные методы в применении к линейным уравнениям (см. Рис. 3.8) существенно менее точно описывают динамику погрешности по сравнению с явными. Поскольку явный метод 1-го порядка дает качественно более близкий (к 4-му порядку) результат, можно сделать вывод, что порядок точности не так сильно влияет на нечеткие вычисления с линеаризацией, как явность метода. В нелинейном же случае (см. Рис. 3.9) не обнаружено различий погрешности решений методами разного порядка, превышающих различие самих решений. Очевидно, более адекватное по сравнению с линейным случаем поведение погрешности связано с применяемым итерационным алгоритмом решения алгебраических уравнений. Также из Рис. 3.9Б видно (особенно при 3-м порядке метода), что разность погрешностей имеет низкочастотные колебания, связанные с набеганием фазы (при низких порядках этот эффект не так заметен на фоне экспоненциального роста амплитуды высокочастотных колебаний). является детализацией Рис. 3.9: на нем для того же семейства решений (полученных разными методами) показана динамика коэффициентов линейной комбинации.
Варьирование шага интегрирования дает вполне очевидные результаты (см. Рис. 3.11Б): относительная вариация погрешности не превышает относительной вариации средних значений решения (см. Рис. 3.11 А; в него, помимо коэффициентов, вносит вклад свободный член линейной комбинации).
Относительные разности х-компонент решений уравнения Релея ф = 1) методом 4-го порядка, полученных при шаге 0.025 (красная кривая), 0.05 (синяя), и 0.1 (голубая). В качестве вычитаемого взято решение при шаге 0.01; в качестве делителя - амплитуда
Ниже метод линеаризации сравнивается, в том числе с точки зрения производительности, с методом многократного решения четких задач на примере нечеткой задачи из области теории массового обслуживания. Эта задача описана в [11,12], а метод (альтернативный) изложен в [11]. Кроме того, на этом примере результаты расчетов методом линеаризации в гауссовских числах сравниваются с несколькими вариантами интервальных чисел.
Данная задача возникает, например, при земляных работах на строительных площадках. Пусть задан замкнутый цикл обслуживания, состоящий из одного экскаватора и N грузовиков: после загрузки экскаватором грузовики отвозят и разгружают грунт, возвращаются и встают в очередь к экскаватору. По причине непредсказуемых изменений во времени обслуживания 1/jx (ц -скорость обслуживания) и времени возвращения грузовика І/v, вероятности возникновения очереди из к грузовиков (обозначаемые ниже через pk(f), к = 0,1,..ЛО являются нечеткими. Эти вероятности определяются из следующей системы обыкновенных дифференциальных уравнений:
В приведенных ниже расчетах 1/ц принимается равным нечеткому числу с «треугольной» функцией принадлежности с основанием [2;6], a 1/v — [9;11]. В начальный момент времени состояние системы полностью определено, так что для A: = 0,1,.JV-1 имеет место ркф) = 0;рД0) = 1.
На Рис. 3.12 для случая N = 3 сопоставляются результаты решения данной задачи из [11] (на основе сплайн-интерполяции точек, полученных решением четких задач) и результаты метода линеаризации, примененного к интервальным числам (которые соответствуют четырем а-уровням разбиения исходного «треугольного» нечеткого числа). Как видно, несмотря на то, что используется стандартная интервальная алгебра (дающая, сама по себе, наиболее широкие интервалы результатов операций), характерная неопределенность решения методом линеаризации меньше неопределенности, вычисленной по минимаксному критерию (но имеет качественно близкую динамику, включая эффект минимума погрешности в окрестности / = 5 с). Меньшая точность расчетов по сравнению с [11] проявляется в симметричности интервалов относительно среднего решения, но это является свойством использованной интервальной алгебры, а не метода линеаризации.
Нечеткие результаты модели нефрона и ее чувствительность к исходным данным
Среди параметров модели нефрона (см. в таблицу 5.1) имеются: константы, вычисленные по результатам натурных экспериментов (сопротивления, упругости, FHen0, а, b, Р, 7); варьируемые внешние параметры (Ра, На, Са); переменные, уравнения для которых не были введены в модель по причине малости их изменения и сложности его механизмов (Pd, Freab); параметры, полученные сочетанием экспертных оценок с процедурой идентификации через сопоставление результатов моделирования с экспериментальной динамикой переменных (w, d, \/тел, у, , а, 5). По-видимому, наибольшей неопределенностью обладают параметры последней группы (особенно коэффициенты кривой активации артериолы механизмом TGF), а наименьшей неопределенностью — экспериментальные значения, включая «переменные» Pd и Freab. Однако при анализе причин неопределенности результатов моделирования следует учитывать тот факт (подтвержденный «четкими» расчетами), что к появлению в системе бифуркаций удвоения периода и хаосу приводит изменение (рост) относительно точно известных параметров — РаяТ, — поэтому хотя бы один из них (7) интересно рассмотреть в качестве нечеткого параметра. Из «оценочных» параметров в «основной» набор были также выбраны со и vj/, , а из «экспериментальных» параметров — RHen (см. в разделе 5.1 принятую терминологию проведения численных экспериментов с нечеткими моделями). Как и при описании результатов модели сердца, ниже используется самый наглядный — гауссовский — способ формализации нечетких чисел.
При расчетах с полным набором нечетких параметров (22 шт.) их относительная погрешность бралась равной 10%, с основным набором — 20%, с каждым параметром по отдельности — 50%. Набор представляемых ниже результатов содержит 4 переменных Р„ Pg, х2, г, каждый из которых являются основным параметром состояния своей части модели (см. раздел 5.3). Относительная погрешность переменных, которые могут быть близки к нулю, рассчитывалась с увеличением знаменателя в формуле 8 = о/а на величину удвоенной амплитуды колебаний (которая составляет 0.12 для %2 и 1.5 для г). На Рис. 5.15 А и Б показаны абсолютная и относительная погрешности результатов расчета со всеми нечеткими параметрами одновременно. Абсолютные погрешности давления в канальце (Pt) и запаздывающего потока в петле Генле (х2) осциллируют значительно меньше, чем давление в клубочке (Pg) и радиус артериолы (г). Это соответствует тому факту, что нечеткие параметры колебательного уравнения для радиуса артериолы с TGF (vj/№„, у, , а, со) гораздо сильнее влияют на погрешность переменных артериолы и клубочка, нежели на «канальцевые» переменные. Надо отметить, что в четком решении, напротив, давление в клубочке колебалось с малой (относительно своего среднего значения) амплитудой, а поток петли Генле — с большой амплитудой (его кривая пересекала ноль). Из графика относительной погрешности видно, что ошибка расчета «канальцевых» переменных (Р, и х2) достаточно высока (50%) и медленно растет (как экспонента с показателем - 1150 с); в то время как относительная погрешность «клубочковых» переменных (Pg и г) быстро достигает небольшого значения (5-10%). На Рис. 5.16 представлены коэффициенты при параметрах Т (А) и со (Б ) в линеаризованных историях результатов при расчете со всеми нечеткими параметрами. Видно, что время запаздывания механизма TGF оказывает наименьшее влияние на давление в канальце Pt (отрицательное слабо осциллирующее влияние) и на давление в клубочке Pg (соответствующий коэффициент имеет более высокую амплитуду, которая превышает его среднее - отрицательное - значение). Вклады параметра Т в переменные %2 и г имеют в несколько раз большие амплитуды (с учетом относительной малости средних значений самих %г и г); первый из них в среднем положителен, второй — от рицателен. Колебания коэффициентов в «клубочковых» переменных (Р и г) отличаются тем, что они имеют вторую (малую) частоту колебаний, обусловленную набеганием
