Введение к работе
Актуальность и состояние проблемы.
Применение математических методов - мощного инструмента познания и уіедования, в разнообразных отраслях знаний и сферах человеческой дея-іьности становится возможным лишь при предварительном создании матема-іеских моделей изучаемых явлений. Бурное развитие вычислительной техни-существенно стимулирует этот процесс.
Математическое моделирование становится, по существу, важнейшей :тью современной прикладной математики и не только прикладной. Классы и ты математических моделей, как математические объекты, сами становятся гдметами теоретических исследований.
Математическими моделями управляемых динамических систем слу-г неоднородные дифференциальные уравнения различного віща. Многие кнейшие свойства управляемых динамических систем рассматриваются на печном промежутке времени, хотя соответствующие временные сигналы юцессы) теоретически имеют бесконечную длительность. Для описания (мо-шрования) таких процессов и их взаимодействий (в линейных стационарных :темах) широко используется метод операторно - частотных представлений, юванный на применении преобразования Лапласа и Фурье. Однако, этот ма-штический аппарат оказался в общем случае не конструктивным при перехо-к временным оригиналам, неэффективным и малопригодным для решения :ач современной теории управления динамическими системами, связанных по >ему содержанию с конечным промежутком времени. Это задачи управления іаблюдаемости а, особенно, разнообразные задачи терминального управле-і и др. Этот аппарат совершенно не годится для описания (моделирования) ггационарных и нелинейных динамических систем. Другие математические годы, используемые в современной теории управления динамическими объ-ами (общая теория дифференциальных и интегральных уравнений, функ-жальный анализ и др.), играющие фундаментальную роль, в прикладном юшении также, часто оказываются недостаточно конструктивными и мало юпособленными для компьютерной реализации.
Отметим также математический метод, основанный на замене непрерыв-х (аналоговых) сигналов их значениями в дискретные моменты времени антование) с последующей аппроксимацией дифференциальных уравнений ітветствующими разностными уравнениями.
Используемые при этом дискретное преобразование и Z - преобразова-: создают аналитический аппарат моделирования непрерывных динамиче-[X систем, более конструктивный, чем традиционный подход.
Вместе с тем, этот аппарат в значительной степени сохраняет и те же достатки, которые присущи традиционному подходу, основанному на преоб зовании Лапласа.
Кроме того, будучи приближенным, метод дискретных представлеї порождает свои проблемы: точность (адекватность представлений), числен устойчивость и др. Эти важные вопросы вычислительной математики прак чески не рассматриваются в специальной литературе по теории- дискрет (импульсных) систем, создавая иллюзию полного обоснования и универсалы эффективности метода.
Между тем, существующая теория дискретного моделирования неп рывных динамических систем далека от своего завершения. Ее математичес основы нуждаются в более строгой проработке, совершенствовании и развит!
В связи с этим, продолжает оставаться актуальным разработка эффект ных приближенно - аналитических методов моделирования и решения на основе разнообразных задач прикладной теории управляемых динамичесі систем, а также соответствующих компьютерных технологий.
Цель диссертационной работы состоит в разработке приближена аналитического метода моделирования линейных динамических систем разл ного вида, использующего точечное представление функций и операторов создании соответствующего программного обеспечения.
Цель достигалась решением следующих задач:
-
Выбрать путем сравнительного анализа N-сетку, наилучшую для точечн представления функций на конечном промежутке.
-
Установить существование гомоморфных связей алгебраических струю точечных представлений с алгебраическими структурами моделируеу объектов.
-
Найти единый и аналитически эффективный подход к определению точ но - матричных представлений линейных и ограниченных операторов.
-
Применить метод точечных представлений для моделирования линейг дифференциальных уравнений различных типов и решения задач Коши основе полученных моделей.
-
Разработать программное обеспечение для численной реализации решеї задач Коши методом.точечных представлений.
-
Найти точечные модели операторно-частотных и временных характерне линейных стационарных динамических систем.
-
Разработать алгоритмы и программное обеспечение расчетов переходь характеристик сложных линейных динамігческих систем по их точечн моделям.
Основная идея работы. Метод точечных представлений, как метод мо-іирования, идеологически примыкает к методу изображающих векторов ИВ), предложенного В.М.Осиповым. В основе же его аналитического аппа-а лежит идея использования прямоугольных сплашювых элементов в каче-е базиса N - мерного подпространства пространства М(0,Т) всех кусочно -ферывных функций. Проектирование элементов из М(0,Т) на это N-мерное шростракство порождает сплайновые, ступенчатые приближающие модели :троенные на точечных изображениях этих элементов и обладающие огром-і аналитической и алгебраической гибкостью. Так, подпространство сплай-іьіх ступенчатых форм образует банахову алгебру относительно обычного гажения и Sup-нормы соответствующих точечных векторных изображений, морфную такой же алгебре этих точечных N-векторных изображений отно-елыго операции покоординатного умножения, как второй бинарной опера-I. Вместе с тем, алгебра ступенчатых сплайновых моделей при любом N яв-тся гомоморфным образом банаховой алгебры AM функций из М(0,Т) отно-елыю обычного умножения и Sup-нормы этих функций, причем размерность -очечных моделей может служить показателем их адекватности. При N->co ебра точечных изображений становится изоморфной алгебре AM.
Методы исследования.
При решении поставленных задач применяется математический аппарат ікционального анализа, линейной алгебры, теории дифференциальных урав-ий, теории функций комплексного переменного, теории автоматического явления, программная система математических вычислений MathCAD 8.0, да Delphi 3.0.
Научнап новизна диссертационной работы Разработан приближенно-литическнй метод точечного моделирования линейных динамических сис-различного вида.
Теоретическая и практическая ценность диссертационной работы оп-еляется широкой применимостью теоретических результатов для решения зч, связанных с моделированием и анализом линейных динамических сис-. Разработанные в работе точечные модели могут быть применены для опи-ия динамических объектов и расчета их динамических характеристик, а же для задач регулирования и управления, решения дифференциальных внений (произвольного порядка) различных типов. Практическим результа-работы является программное обеспечение, созданное для расчета и по-эения переходных характеристик линейных систем (любых порядков), ко-ое может быть использовано при разработке и проектировании систем авто-ического управления. Это программное обеспечение внедрено в учебный
процесс при подготовки студентов специальности 210200 "Автоматизация ті нологических процессов и производств" в курсе "Теория управления". Основные положения выносимые на защиту.
-
Аналитический аппарат моделирования линейных динамических сист разных типов использующий сплайновые ступенчатые модели и точечн представления функций и операторов.
-
Результаты исследования связей алгебраических структур точечных пр< ставлений (точечных моделей) с алгебраическими структурами моделир; мых объектов.
-
Общий конструктивный подход к определению точечно-матричных прі ставлений некоторых линейных операторов, необходимых для точечж моделирования линейных динамических систем (операторы сдвига, one] тора интегрирования, сверточные операторы).
-
Точечное моделирование и решение задач Коши в пространстве точечн изображений линейных дифференциальных уравнений различных типов также соответствующее программное обеспечение.
-
Точечное моделирование линейных динамических систем и алгоритмы р; чета точечных изображений их переходных характеристик непосредствен по передаточным функциям (точечное обращение преобразования Лаплаї
' либо по вещественным частотным характеристикам (точечное обращен косинус - преобразование Фурье).
Апробация работы. Основные положения и отдельные разделы дисс( тационной работы обсуждались и докладывались на конференциях, совещани и семинарах, в том числе:
Зональная студенческая научно-практическая конфереїш "Совершенствования методов поиска и разведки, технологии добычи и пере] ботки руд", Красноярск 1996;
Межвузовская научно-практическая конференция "Студент наука цивилизация", Красноярск 1997;
Новосибирская межвузовская научная студенческая конфсрени "Интеллектуальный потенциал Сибири", Новосибирск 1997;
Межвузовская научно-практическая конференция "Информационн технологии", Красноярск 1999;
1 Всесибирский конгресс женщин математиков (к 150-летшо со д рождения СВ. Ковалевской). Красноярск 2000.
Всероссийская научно-практическая конференция "Педагогическ проблемы и информационные технологии в системе непрерывнс образования", Красноярск 2000.
Научные семинары Красноярской государственной академии цветных зллов и золота и Красноярского государственного технического университе-
Публпкацпн. Основные результаты работы опубликованы в 11 печатных зтах.
Структура и объем работы. Диссертационная работы состоит из введе-, пяти глав, выводов, библиографии приложений и содержит /^ страниц эвного машинописного текста, Ґ& рисунка, список используемой литеры включает 96 наименований.
