Введение к работе
Настоящая работа посвящена развитию известных и разработке новых качественных, приближенных аналитических и асимптотических методов и конструктивных алгоритмов, необходимых для проведения вычислительных экспериментов при исследовании различных линейных и нелинейных математических моделей (при наличии регулярных и сингулярных возмущений) на всех этапах математического моделирования, а также созданию новых математических моделей для некоторых классов прикладных задач
Нумерация теорем в автореферате и диссертации совпадают
Актуальность темы. В теории математического моделирования, одной из фундаментальных дисциплин современной науки, можно выделить два основных направления Это создание достаточно точных математических моделей и разработка эффективных методов и алгоритмов для их анализа.
Приближенные аналитические и асимптотические методы исследования математических моделей (в частности, в виде соответствующих дифференциальных уравнений) в настоящее время, когда точные методы анализа почти исчерпаны, стали неотъемлемой частью теории математического моделирования, позволяя выписывать приближенные решения достаточно сложных возмущенных задач, если известно решение соответствующей (обычно более простой) невозмущенной задачи
В истории науки создание каждой фундаментальной математической модели является событием Весьма характерна в этом плане эволюция модели Солнечной системы (в первом варианте геоцентрическая, а позднее гелиоцентрическая), решающей задачу определения планетных орбит
Другим известным примером является построенная Эйнштейном релятивистская модель движения, уточняющая юіассическую модель Ньютона при скоростях, близких к скорости света
На основе фундаментальных моделей строится множество прикладных моделей, описывающих эволюцию большого класса физических и социальных процессов, изучение которых сводится к анализу квазилинейных (или линейных) неавтономных моделей, реализуемых в виде систем обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) вида
x = A(t)x + /(x,t) (xJeR") (1)
К классу моделей вида (1) относятся
1 Система уравнений движения бесконтактного гироскопа в переменном
магнитном поле, которая после упрощения и линеаризации имеет вид.
x = (A0+Al(t))x,(0
2 Система уравнений колебаний двух связанных осцилляторов:
\x + a2x = 2sysint
і ,, (а,Ь<ЕІІ, офЬ% ah*% \a±b\ = X)
[y + b y-lsxCOSt, ' '
3. Уравнение Матье х + (S + є0 cos/)x = 0,
описывающее при некоторых допущениях движение Луны, также может быть сведено к системе подобного кл асса.
Важнейшим аспектом качественного анализа неавтономных динамических систем, рассмотренных в диссертации, являются вопросы устойчивости Несмотря на большое количество работ по теории устойчивости, основы которой заложены в трудах Ляпунова А М, Четаева Н Г., Малкина И Г , Красовского Н Н , Меркина Д.Р. и ряда других авторов, ощущается определенный дефицит достаточно конструктивных критериев устойчивости
Основная грудность качественного исследования устойчивости неавтономных систем (1) связана с тем, что структура спектра Ц,(0}" матрицы A(t) не является определяющей при оценке решения исходной системы
Известные теоремы о приводимости систем вида (1) не всегда эффективны В частности, теорема Флоке-Ляпунова, гарантирующая возможность преобразования линейной однородной системы с периодической матрицей x = A(t)x с помощью невырожденной периодической замены х - P(t)y к эквивалентной системе с постоянной матрицей у — Су, не позволяет оценить решение исходной системы, так как алгоритм построения такой замены до сих пор неизвестен
Перечисленные и некоторые другие математические модели подробно исследованы в представленной работе с помощью предложенных диссертантом методов и приведены конструктивные критерии устойчивости решения соответствующих неавтономных динамических систем
Исследование некоторых моделей сводится к анализу многоточечных краевых или спектральных задач, связанных с построением функции Грина Например, при изучении положения моста (балки) на нескольких точках опоры, которое может быть свєдєрго к изучению регулярных (р=0) или сингулярно возмущенных (р>1) многоточечных краевых задач для неавтономных систем вида
px = A(t,s)x + f(t), ж,/є Л" («>3),
^f^(f;,) = a, (iSmSn), (0<є<є<\),
(/*(/,*) = 1)4(0*'. 0 = r,2<-
Fj -постоянные квадратные матрицы
Следует отметить, что основные проблемы, возникающие при решении таких задач, связаны с тем, что традиционное интегральное представление решения многоточечной краевой задачи с помощью аппарата функций Грина весьма громоздко и мало пригодно для численной реализации, так как при ее
построении в многоточечк ом случае (п > 3) возникают принципиальные трудности
В диссертации предложен эффективный метод, позволяющий преодолеть указанные трудности и решать многоточечные краевые задачи без использования аппарата функции Грина
Термин сингулярность здесь отражает тот факт, что решение предельной ( = 0) задачи в общем спучае не удовлетворяет краевым условиям, что приводит к появлению (при р > 1) особенностей решения, отражающих существование так называемых «пограничных слоев» в окрестностях точек, где заданы краевые условия.
Теория сингулярных возмущений берет начало с работ Лиувилля (1837), построившего асимптотик»/ фундаментальных решений для уравнения второго порядка
Дальнейшее развитие теория сингулярных возмущений нашла в работах Шлезингера (1907), Биркгофа (1908), Стеклова В А , его ученика Тамаркина 51 Д (1917), ВазоваВ (1944), Коддингтона с Левинсоном (1952)
Заметный вклад в развитие теории сингулярных возмущений внесли работы современных математиков Ломова С А (1963), Фещенко С.Ф., ШкиляНИ, Николенко Л Д (1966)), Федорюка М Ф (1969), Сафонова В.Ф (1975), Жуковой Г С (1978) и ряда других авторов
В теории сингулярных возмущений получил также широкую известность метод пограничных функций, весьма эффективный при анализе нелинейных задач, в основе которого лекат работы Тихонова А Н (1948), Васильевой А Б (1951-1960), Бутузова В Ф (1966), Нефедова Н Н
Представленная работа посвящена решению перечисленных и некоторых других проблем, разработке качественных и приближенных аналитических методов и алгоритмов исследования неавтономных динамических модельных систем (при наличии реіулярньїх и сингулярных возмущений), а также построению ряда новых математических моделей
Цель работы. Целью работы является рагаитие известных и разработка новых конструктивных качественных приближенных аналитических и асимптотических методов и эффективных удобных для численной реализации алгоритмов исследования различных математических моделей при наличии регулярных и сингулярных возмущений на всех этапах моделирования, а также созданию достаточных конструктивных критериев устойчивости решения некоторых классов неавтономных линейных и квазилинейных модельных систем ОДУ, в частности, для разработанных диссертантом модельных сие гем с полиномиально периодической или нормальной матрицей
Методы исследования. В работе использованы современные методы качественной теории дифференциальных уравнений, теории устойчивости, теории многоточечных крае вых задач, а также методы теории регулярных и сингулярных возмущений
Научная новизна основных результатов работы состоит в следующем:
1 Разработан эффективный метод и конструктивный алгоритм для
нахождения собственных значений А(я) и собственных векторов S(e)
линейного возмущенного оператора А(є) при наличии предельного
оператора Л(0) произвольной жордановой структуры. Существующие
методы решения указанных спектральных задач малопригодны для
численной реализации
Например, в своей работе Рид и Саймон (с 44) указывают на большую сложность вычисления собственных значений Я(") «из-за контурных интегралов и деления двух степенных рядов», а Като (с 120) отмечает, что «вполне определенных формул, выражающих собственные векторы S{t) оператора A(i), как функции Є нет »
Предложенный диссертантом метод и построенный на его основе алгоритм позволили достаточно просто и конструктивно решать большой класс задач математического моделирования возмущенных движений, возникающих, в частности, при изучении динамики различных гироскопических систем
2 В теории устойчивости доказан ряд классических теорем (например, в
работах Ляпунова А М , Четаева Н.Г , Малкина И Г , Красовского Н Н и ряда
других авторов) о приводимости, позволяющей с помощью невырожденной
замены переходить от исходной системы к исследованию более простых
эквивалентных систем ОДУ
Отметим, в частности, теорему Флоке-Ляпунова о возможности перехода от линейной системы с периодической матрицей к системе с постоянной матрицей с помощью невырожденной периодической замены Однако в теореме не указан алгоритм ее построения В диссертации сформулированы и доказаны асимптотические и конструктивные аналоги (или обобщения) теорем указанного класса, в том числе и для построенной соискателем новой модельной системы ОДУ с полиномиально периодическими коэффициентами (то есть с магрицей в виде степенных рядов с периодическими матричными коэффициентами)
Сформулированы и доказаны теоремы о достаточных условиях асимптотической устойчивости для определенных выше классов (1) неавтономных квазилинейных систем, являющихся обобщением известной теоремы Ляпунова об асимптотической устойчивости по первому приближению для квазилинейных систем с постоянной матрицей
Диссертантом выделен специальный класс моделей в форме неавтономных линейных и квазилинейных систем ОДУ с нормальной или «почти нормальной» матрицей, для которых с помощью метода унитарных преобразований получены достаточные критерии устойчивости решения, полностью определяемые структурой спектра нормальной матрицы.
5. Построено интегральное представление решения для моделей, представимых в виде многоточечных краевых (и как частного случая,
начальных) задач для линейных и квазилинейных (здесь мы имеем соответствующие интегральные уравнения) систем ОДУ без использования аппарата функций Грина, построение которых является достаточно сложной задачей, особенно для многоточечных задач Это позволяет рассматривать и изучать начальные и краевые задачи с единой точки зрения
Диссертантом приведен новый вариант доказательства далеко не тривиальной теоремы об однозначной разрешимости многоточечных краевых задач для линейных и квазилинейных систем ОДУ
6 Диссертантом разработан эффективный метод и достаточно простой алгоритм построения квазирегулярной асимптотики некоторых классов сингулярно возмущенных начальных и многоточечных задач для моделей в форме линейных систем ОДУ, при котором все особенности решения, отражающие структуру различных пограничных слоев выписываются в замкнутой аналитической форме, а остальные компоненты решения зависят от малого параметра регулярным образом Известные методы решения указанною класса задач неприменимы или малоэффективны
7. С помощью изложенного в п. 6 алгоритма исследован класс моделей сингулярно возмущенных задач на полуоси Доказано, чго структура погранслоя в этом случае определяется не только спектром предельного оператора, но и неограниченностью некоторых интегралов при ? —> о, что обобщает ранее известные результаты Федорюка М В
Для построения асимптотики собственных значений и собственных функций в моделях с линейными дифференциальными операторами (в отличие, например, от известных работ Левитана Б М и других авторов, в которых эта проблема решалась с помощью анализа соответствующих интегральных уравнений) разработан эффективный метод и соответствующий конструктивный (по существу алгебраический) алгоритм решения данной задачи с помощью дискретного аналога доказанной в диссертации теоремы 1 2 Это позволило создать новый алгоритм для решения ряда спектральных задач квантовой механики (включая и многоточечный случай), например, для оператора Штурма-Лиувилля и Дирака
С помощью разработанного диссертантом эффективного метода исследованы модели физических процессов, приводящие к сингулярно возмущенным начальным и краевым задачам для линейных систем ОДУ с одной и двумя подвижными особыми точками различной кратности
Это позволило создать новый алгоритм для описания структуры степенных и более сложных пограничных слоев Доказанные теоремы обобщают некоторые результаты Ломова С А Впервые построено точное решение сингулярно возмущенной задачи Коши для линейной системы с одной некратной подвижной особой точкой
Практическая значимость работы состоит в том, что разработанные диссертантом эффективные методы и конструктивные алгоритмы позволили решить ряд актуальных фундаментальных теоретических и прикладных задач теории математического моделирования (в теории устойчивости, в теории многоточечных краевых задач, в теории регулярных и сингулярных возмущений) и стали основой для создания программ расчета некоторых нетривиальных (в том числе и новых) неавтономных динамических математических моделей, а также для создания конкретных технических изделий, что нашло отражение в тексте диссертации и в ряде публикаций в центральных журналах
Доказаны нетривиальные теоремы об асимптотической приводимости (исходных моделей к более простым), связанные с изучением неавтономных динамических (в том числе и предложенных соискателем) линейных и квазилинейных систем ОДУ Получены достаточные критерии устойчивости решения указанных задач (что является обобщением известных результатов Ляпунова А М., Четаева Н.Г., Малкина И Г., Красовского Н Н и ряда других математиков и нашло практическое применение) На основе доказанных в диссертации теорем 4.1-4 Л созданы программы для расчета различных режимов работы уникальных гироскопических приборов
Для решение большого класса спектральных алгебраических задач, в частности, задачи определения собственных значений и собственных векторов регулярно возмущенного линейного оператора (в том числе и при наличии предельного оператора произвольной жордановой структуры) диссертантом разработаны эффективные алгоритмы построения соответствующих рядов по малому параметру, что обобщает классические результаты Реллиха, Като, Рида и Саймана, а также существенно упрощает решение ряда конкретных физических задач, рассмотренных в диссертации
С новых позиций рассмотрен класс моделей регулярных и сингулярно возмущенных многоточечных краевых (в том числе и начальных) задач для неавтономных линейных систем ОДУ. Для их решения построено интегральное представление без использования аппарата функций Грина, что позволило рассматривать и изучать начальные и краевые задачи с помощью одного нового интегрального представления.
Последний результат позволил создать новый алгоритм для построения квазирегулярной асимптотики решения сингулярно возмущенных многоточечных краевых задач, когда особенности решения, отражающие структуру каждого пограничного слоя, выписываются в замкнутой аналитической форме, что является обобщением некоторых работ Лиувилля, Биркгоффа, Тамаркина и Ломова Это дало возможность создать эффективный алгоритм нахождения собственных значений и собственных функций спектральных задач для линейных
дифференциальных операторов (например, для задач Штурма-Лиувилля и Дирака), включая и многоточечный случай Известные асимптотические методы решения сингулярно возмущенных многоточечных краевых задач неприменимы или мало эффективны
Достоверность полученных результатов основана на корректности постановок задач, строгом использовании качественных аналитических и численных методов, на сравнении с результатами полученными с помощью других методов Для теорем даны строгие и корректные доказательства Полученные результаты неоднократно обсуждались на научных семинарах и конференциях В диссертационную работу включены только те результаты, которые принадлежат лично диссертанту
Апробация работы. Результаты исследований, представленных в диссертации, многократно докладывались на семинаре Ломова С А (Московский энергетический институт (МЭИ)), Дубинского Ю А (МЭИ), Маргыненко Ю I. (МЭИ), на семинаре Васильевой А Б и Бу тузова ВФ (Московский государственный университет (МТУ)), на семинаре Миллнонщикова В М (МГУ), Моисеева Е И (МГУ), на семинаре Жидкова Е П (РУДН), на заседании московской секции Академии нелинейных наук (руководитель академик РАН Матросов В М ), а также на Всероссийских и Международных семинарах и конференциях (Вторая Всероссийская конференция «Нелинейные колебания механических систем», Нижний Новгород, 1990, Международное совещание «Сингулярные решения и возмущения в системах управления», Переславль-Залесский, 1993, 1995, 1997, Всероссийское Совещание «Теория и приложения методов малого параметра», Обнинск, 1996; Международная конференция «Дифференциальные уравнения и их приложения», Самара, 1996, Международная конференция «Современные направления в компьютерной физике», Дубна, 1998, 2000, 2002, Международная конференция «Математическая физика Математическое моделирование и приближенные методы» Обнинск, 2000, Международная конференция, посвященная 80-летию Кудрявцева Л Д, Москва, 2003)
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1-39] , список которых приведен в конце автореферата и среди которых монография, статьи в научных журналах, груды конференций Тридцать работ из этого списка опубликованы в научных изданиях, рекомендованных ВАК России
Структура и объем диссертации. Диссертационная работа изложена на 203 страницах машинописного текста и состоит из введения, пяти глав, дополнения, заключения и списка литературы из 139 названий работ.
