Введение к работе
Актуальность темы. Системы, основанные на принципе фазовой синхронизации, широко применяются в различных областях механики, радиотехники, электроники, связи. К ним можно отнести системы фазовой автоподстройки частоты (ФАПЧ), системы электропривода, вибрационные машины, системы дальней связи. Задачи проектирования и анализа работы систем фазовой синхронизации требуют подробного изучения влияния значений конструктивных параметров системы на установление в ней того или иного режима.
Особенно важно определить область значений параметров, при которых для любых начальных состояний системы в ней устанавливается режим синхронизма. Такие системы называются глобально асимптотически устойчивыми. К задаче о глобальной устойчивости тесно примыкает задача об определении частот периодических режимов и задача об оценке наибольшего отклонения выхода системы от его начального состояния.
Задачам асимптотического поведения систем фазовой синхронизации различной природы посвящено много работ. Фазовые системы второго и третьего порядков, в том числе и с запаздыванием в петле обратной связи, рассматривались в исследованиях В.В. Шахгильдяна, А.А. Ляховкина, Ю.Н. Бакаева, Л.Н. Белюстиной, В.Н. Белыха, Л.З. Фишмана, В.Н. Сафонова, СИ. Евтянова, Б. Бисваса, П. Банерджи, А. Бхаташариа, И.И. Блехмана, Л. Шперлинга, А.С. Сомолиноса, О.Р. Рыкина, Е.Л. Урмана, Е.И. Юревича и многих других авторов.
К решению задач асимптотического поведения фазовых систем применялись различные качественные, качественно-численные, численные методы.
Поскольку системы фазовой синхронизации являются нелинейными системами автоматического управления, большое значение для их исследования получил второй (прямой) метод A.M. Ляпунова, широко применяемый и развиваемый с 30-х годов XX века. При этом специфика систем фазовой синхронизации: неединственность состояний равновесия и периодический характер нелинейности, потребовала построения новых классов функций Ляпунова.
Началом исследований в этом направлении явилось введение Ю.Н. Бакаевым и А.А. Гужем периодической функции Ляпунова для фазовых систем третьего порядка. В 70-е годы XX века Г.А. Леоновым в рамках второго метода Ляпунова была предложена серия методов, позволяющих конструировать функции Ляпунова специального вида для многомерных систем фазовой синхронизации: метод периодических функций Ляпунова, метод нелокального сведения, метод инвариантных конусов. Г.А. Леоновым, Ю.А. Корякиным, Ф. Райтманном, В.Б. Смирновой, О.Б. Ершовой, Л.С. Сперанской эти методы были распространены на бесконечномерные и дискретные системы. Результаты формулировались в терминах передаточной функции линейной части системы в виде эффективно проверяемых частотных неравенств.
Второй метод A.M. Ляпунова является методом математически обоснованным и, следовательно, не может приводить к ошибочным результатам, как приближенные методы. С другой стороны, оценки областей устойчивости, получаемые с его помощью в пространстве параметров системы, достаточно близки к истинным областям устойчивости.
Разработанные Г.А. Леоновым периодические функции Ляпунова успешно использовались затем другими исследователями (Н.В. Утина, А.И. Шепелявый, Я. Янг, Л. Хуанг, П. Лу) для изучения проблем устойчивости и проскальзывания циклов систем фазовой автоподстройки.
Результаты, доставляемые вторым методом A.M. Ляпунова, носят характер достаточных условий устойчивости. Они могут быть улучшены путем конструирования новых функций Ляпунова.
Задача построения новых функций Ляпунова и, как следствие, улучшения оценок областей глобальной асимптотической устойчивости, является весьма актуальной задачей теории систем фазовой синхронизации.
Цель работы состоит в получении новых эффективно проверяемых критериев глобальной асимптотической устойчивости и отсутствия периодических режимов второго рода определенной частоты для математических моделей сосредоточенных и распределенных систем фазовой синхронизации, а также реализации этих критериев для построения оценок областей устойчивости в пространстве параметров конкретных систем и оценок частоты колебаний второго рода для этих систем.
Для достижения поставленной цели необходимо было решить следующие задачи:
-
Построить модификации периодических функций Ляпунова, применяемых при исследовании устойчивости сосредоточенных систем управления с периодическими нелинейностями.
-
Разработать новый класс функционалов Попова для исследования асимптотического поведения распределенных систем с периодическими нелинейностями.
-
Получить многопараметрические частотные критерии глобальной асимптотической устойчивости фазовых системы, описываемых дифференциальными и интегро-дифференциальными уравнениями.
-
Преобразовать критерии глобальной устойчивости в критерии отсутствия у фазовой системы периодических режимов второго рода определенной частоты.
-
На основе частотных условий устойчивости установить оценки числа проскальзываний циклов для сосредоточенных и распределенных фазовых систем.
-
Разработать численные методы и соответствующие им алгоритмы для проверки частотных критериев устойчивости для систем фазовой автоподстройки частоты (ФАПЧ) с запаздыванием в петле обратной связи.
-
Разработать комплекс программ для реализации алгоритмов проверки частотных критериев для систем ФАПЧ с пропорционально-интегрирующим фильтром.
Методы исследования. В работе использованы второй метод Ляпунова, метод априорных интегральных оценок Попова, теорема Якубовича-Калмана о разрешимости специальных матричных неравенств, методика построения периодических функций Ляпунова, теория тригонометрических рядов.
Научная новизна диссертационного исследования заключается в следующем: 1. Для систем фазовой синхронизации, описываемых системами обыкновенных дифференциальных уравнений и интегро-дифференпиальных уравнений Вольтерра с дифференцируемыми нелинейными функциями, получены
новые многопараметрические частотные критерии глобальной асимптотической устойчивости;
новые частотные оценки числа проскальзываний циклов;
частотные условия, гарантирующие отсутствие циклов второго рода определенной частоты.
-
Разработаны численные методы и соответствующие им алгоритмы, обеспечивающие проверку частотных критериев для систем фазовой автоподстройки частоты с запаздыванием в петле обратной связи.
-
Разработан комплекс программ для оценки полос захвата и частоты биений для систем фазовой автоподстройки частоты с пропорционально-интегрирующим фильтром.
Практическая значимость диссертационного исследования заключается в следующем:
для различных математических моделей систем фазовой синхронизации установлены как достаточные условия глобальной устойчивости, так и условия отсутствия периодических решений второго рода, и получены новые оценки числа проскальзываний циклов;
полученные критерии устойчивости, а также реализующие их алгоритмы и программы могут быть эффективно использованы для построения оценок областей глобальной устойчивости конкретных систем фазовой синхронизации в пространстве их параметров;
полученные оценки числа проскальзываний циклов, а также реализующие их алгоритмы и программы позволяют выделять внутри областей устойчивости подмножества, характеризующиеся заданным числом проскальзываний циклов.
Комплекс программ, разработанный в диссертации, зарегистрирован в отделе регистрации программ для ЭВМ ФГУ ФИПС.
Достоверность изложенных в работе результатов. Области устойчивости в пространстве параметров конкретных систем синхронизации, полученные с помощью результатов диссертации, близки к областям устойчивости, полученным путем решения уравнений численными методами.
Основные положения, выносимые на защиту:
-
Многопараметрические частотные критерии глобальной асимптотической устойчивости для математических моделей сосредоточенных и распределенных систем фазовой синхронизации.
-
Частотные критерии отсутствия периодических решений второго рода для математических моделей систем фазовой синхронизации с сосредоточенными и распределенными параметрами.
-
Частотные оценки числа проскальзываний циклов для многомерных и бесконечномерных фазовых систем.
-
Численные методы и алгоритмы проверки частотных критериев для систем с дробно-рациональной передаточной функцией и запаздыванием в петле обратной связи.
-
Комплекс программ для построения оценок полос захвата и частоты биений для систем фазовой автоподстройки частоты с пропорционально-интегрирующим фильтром при наличии и отсутствии запаздывания в петле обратной связи.
Апробация работы. Основные результаты диссертационной работы докладывались на 57-й, 58-й, 59-й, 60-й, 61-й международных научно-технических конференциях молодых ученых СПбГАСУ (2004, 2005, 2006, 2007, 2008 гг.); 66-й, 67-й, 68-й научных конференциях профессоров, преподавателей, научных работников,
инженеров и аспирантов СПбГАСУ (2009, 2010, 2011 гг.); международном конгрессе "6-th International Congress on Industrial and Applied Mathematics" (Zurich, Switzerland, 16-20 July, 2007); X международном семинаре им. E.C. Пятницкого, "Устойчивость и колебания нелинейных систем управления" (Москва, 3-6 июня 2008г); международной конференции "Sixth EUROMECH Nonlinear Dynamics Conference" (Saint-Petersburg, Russia, June 30 - July 4, 2008); VII всероссийской научной конференции "Нелинейные колебания механических систем" (Нижний Новгород, 22-26 сентября, 2008г.); международной конференции "3-rd IEEE Multi-Conference on System and Control" (Saint-Petersburg, Russia, July 8-10, 2009); международных конференциях "4-rd International Scientific Conference on Physics and Control" (Catania, Italy, 1-4 September, 2009), "5-th International Scientific Conference on Physics and Control" (Leon, Spain, 5-8 September 2011); XI международной конференции "Устойчивость и колебания нелинейных систем управления (конференция Пятницкого)" (Москва, 1-4 июня, 2010г.); XIII конференции молодых ученых "Навигация и управление движением" (С.-Петербург, ЦНИИ "Электроприбор", 15-17 марта 2011г.); 14-й международной научно-технической конференции "Моделирование, иденитификация, синтез систем управления" (Канака, Украина, 11-18 сентября 2011г.)
Публикации. Все результаты диссертации опубликованы в работах [1-24]; работы [1-4] опубликованы в изданиях, рекомендованных перечнем ВАК. В научных работах соискателя, написанных в соавторстве, В.Б. Смирновой принадлежит общее руководство работой, соавторам А.И. Шепелявому и Н.В. Утиной принадлежит исследование устойчивости дискретных систем фазовой синхронизации.
Объем и структура работы. Диссертация объемом 134 страницы состоит из четырех глав, заключения и списка литературы. Библиография содержит 86 наименований.
