Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Математическое моделирование динамики двух диссипативно связанных противофазно возбуждаемых осцилляторов Тоды 14
1.1 Динамика одиночного осциллятора Тоды с внешним гармоническим воздействием 15
1.2 Общая картина динамических режимов системы двух связанных осцилляторов Тоды в зависимости от амплитуды воздействия и параметра связи. Характерные режимы и бифуркационные переходы 17
1.3 Бифуркации предельных циклов в языках синхронизации 23
1.4 Область колебаний периода-3 и гистерезис 32
1.5 Хаос и гиперхаос в исследуемой системе. Диагностика хаотических режимов методом относительной метрической энтропии
1.5.1 Сценарии переходов к хаосу и гиперхаосу 39
1.5.2 Относительная метрическая энтропия как мера перемешивания динамических и стохастических систем 41
1.5.3 Диагностика хаоса и гиперхаоса в исследуемой системе методом относительной метрической энтропии 42
1.6 Выводы 47
Глава 2. Математическое моделирование динамики кольца однона правленно связанных осцилляторов Тоды с нелинейной связью 48
2.1 Исследуемая модель. Потеря устойчивости состояния равнове сия системы. Влияние функции связи на характер бифуркации Андронова-Хопфа в системе
2.2 Влияние линейного слагаемого связи в кольце осцилляторов То-ды на границу между суб- и суперкритической бифуркацией Андронова-Хопфа 53
2.3 Влияние функции связи на бифуркации предельных циклов системы из трех осцилляторов 57
2.4 Кольцевой генератор из нелинейных контуров, однонаправлен-но связанных посредством буферных элементов. Условия генерации в нем 68
2.5 Вывод уравнений кольцевого генератора и динамика системы при различном числе осцилляторов 73
2.6 Изменение амплитуды и частоты автоколебаний с ростом связи в кольце из трех однонаправленно связанных осцилляторов Тоды 80
2.7 Выводы 82
Глава 2. Вынужденная синхронизация модели кольцевого генератора однонаправленно связанных осцилляторов Тоды 83
3.1 Синхронизация внешним воздействием кольца из трех связан ных осцилляторов Тоды с экспоненциальной связью 84
3.1.1 Структура основной области синхронизации 84
3.1.2 Изменение основной области синхронизации при изменении параметра связи системы 93
3.1.3 Динамика кольца из трех осцилляторов Тоды с внешним воздействием до порога возникновения автоколебаний 96
3.2 Синхронизация внешним воздействием кольца из трех связан ных осцилляторов Тоды с полиномиальной связью 100
3.2.1 Структура основной области синхронизации 100
3.2.2 Изменение основной области синхронизации при изменении кубического коэффициента функции связи системы 105
3.3 Выводы 109
Заключение 110
Литература
- Общая картина динамических режимов системы двух связанных осцилляторов Тоды в зависимости от амплитуды воздействия и параметра связи. Характерные режимы и бифуркационные переходы
- Влияние линейного слагаемого связи в кольце осцилляторов То-ды на границу между суб- и суперкритической бифуркацией Андронова-Хопфа
- Изменение основной области синхронизации при изменении параметра связи системы
- Изменение основной области синхронизации при изменении кубического коэффициента функции связи системы
Общая картина динамических режимов системы двух связанных осцилляторов Тоды в зависимости от амплитуды воздействия и параметра связи. Характерные режимы и бифуркационные переходы
Как отмечалось выше, наиболее различимыми языками синхронизации являются языки с колебаниями периода 2То, ЗТо, 5 То, 7То, 9То, IITQ И 13То. На рисунке 1.5 построены линия рождения тора INS И опирающиеся на нее линии седло-узловых бифуркаций для язьжов синхронизации
Заметим, что для язьжов синхронизации 2 : 5, 4 : 9 и 6 : 13 характерно наличие двух пар устойчивых и седловых резонансных циклов. При этом бифуркации данных пар циклов происходят при одних и тех же значениях управляющих параметров. На рисунке 1.6 приведены однопараметрические бифуркационные диаграммы для циклов в языках синхронизации 2 : 5 (а)
Обе седлоузловые бифуркации на правой и левой границах языка синхронизации 2 : 5 происходят при одних значениях параметра связи 7 Подобная картина имеет место в языках синхронизации 4 : 9 и 6 : 13, в то время как для остальных исследуемых язьжов синхронизации имеет место одна пара циклов: устойчивый и седловой. В исследованных языках синхронизации с возрастанием амплитуды внешней силы происходит разрушение резонансных предельных циклов с последующим переходом к хаотической динамике. Циклы в языках синхронизации 1 : 2 и 2 : 5 претерпевают переход к хаосу через каскад бифуркаций удвоения периода. На рисунке 1.5 первые линии бифуркаций удвоения периода 1рв2 Для цикла периода-2 и Ірвь для пары циклов периода-5. Данные линии опираются на границы язьжов синхронизации.
На рисунке 1.7 показаны линии касательной бифуркации и бифуркации удвоения периода для цикла периода-2, а также для рождающегося из него цикла периода-4. Линия бифуркации удвоения для цикла периода-2 lpD подходит к линии касательной бифуркации 1\Р в точке а\. Ниже дан 2Область колебаний периода-3 описана ниже в отдельном разделе. ной точки линия 1\р соответствует седлоузловой бифуркации, а выше -касательной бифуркации двух седловых циклов. Рождающийся на линии lpD предельный цикл периода-4 претерпевает бифуркацию удвоения периода на линии lPD, в результате которой рождается цикл периода-8, а также седлоузловую бифуркацию на линии l\Pl отстоящей от линии 1\Р. Линия lpD касается линии \\Р в точке 22- Подобную же структуру имеет граница области синхронизации 2:5.
В языке синхронизации 3 : 7 устойчивый резонансный цикл претерпевает вторичную бифуркацию Неймарка-Сакера, линия которой l si также изображена на рисунке 1.5. В отличие от описанных выше областей синхронизации линия бифуркации Неймарка-Сакера в исследуемой области параметров не упирается на линии седлоузловых бифуркаций, а ассимптоти-чески приближается к ним. Другие рассмотренные языки синхронизации имеют более сложную структуру и требуют отдельного рассмотрения.
Остановимся более подробно на языке синхронизации 4:9. Двухпара-метрическая бифуркационная диаграмма для данного языка представлена на рисунке 1.8. В области С мы имеем 4 цикла, лежащих на торе: два устойчивых и два седловых. При переходе из области С в область Т через линию INS оба устойчивых цикла теряют устойчивость через вторичную бифуркацию Неймарка-Сакера, в области Т они становятся седловыми с двумя мультипликаторами за единичной окружностью. При переходе из области С в области Di2 данные циклы теряют устойчивость через бифуркацию удвоения периода, в областях D\ эти циклы являются седловыми с одним мультипликатором за единичной окружностью. При переходе из областей Di2 в область Т для данных седловых циклов еще один мультипликатор покидает единичную окружность через —1. Заметим, что линия а\Ъ\ соответствует субкритической бифуркации удвоения периода, а линия 0 — суперкритической, в результате которой рождаются устойчивые циклы удвоенного периода. Данные циклы претерпевают касательные бифурка О 001 002 0.03 0.04 0 05 0 06 0.07
Далее рассмотрим язык синхронизации 5 : 11, двухпараметрическая бифуркационная диаграмма для которого предтавлена на рисунке 1.9. В области С имеется пара циклов периода-11, лежащих на торе: устойчивый и седловой. Линии INS И l NS соответствуют бифуркациям Неймарка-Сакера для устойчивого цикла и при переходе через эти линии из области С в области Ті и Т2 происходит рождение тора. Точка «cusp» является точкой сборки, внутри области Н, ограниченной линиями 1 Р и 1 Р) вместо двух циклов периода-11 существует 4 цикла. Линия 11ВР на отрезке а\Ь\ соответствует субкритической бифуркации вил для устойчивого цикла периода-11, а выше точки Ъ\ — бифуркации вил соответствующего седлового цикла. Аналогично для линии 12ВР: на отрезке 0 соответствует субкритической бифуркации вил для устойчивого цикла периода-11, а выше точки Ъ\ — бифуркации вил соответствующего седлового цикла. Линия l s в точке d опирается на линию ILP И ассимптотически приближается к линии 1 Р] линия l NS в точке Ь\ опирается на линию 1ВР, а в точке &2 опирается на линию
Таким образом, синхронизация на торе в системе (1.5) происходит посредством седлоузловых бифуркаций. При этом для части исследованных языков характерно наличие одной пары резонансных циклов, устойчивого и седлового, а для другой части — двух пар устойчивых и седловых циклов. При возрастании амплитуды противофазного воздействия язьжи синхронизации расширяются и перекрываются друг с другом. Внутри них происходит разрушение резонансных циклов на торе. Бифуркационнная структура каждого язьжа носит индивидуальный характер. При этом дестабилизация резонансных циклов происходит в результате бифуркаций удвоения периода, Неймарка-Сакера и вил.
Влияние линейного слагаемого связи в кольце осцилляторов То-ды на границу между суб- и суперкритической бифуркацией Андронова-Хопфа
Видно, что параметр к\ линейно масштабирует значение параметра 7«, при котором наблюдается бифуркация Андронова-Хопфа. Коэффициенты, стоящие перед слагаемыми высших степеней ж"_І5 где п 1, не влияют на 7«- Их значения влияют на знак первого ляпуновского коэффициента /і, то есть на то, какая из бифуркаций, суб- или суперкритическая, имеет место. Изменение масштаба обратно пропорционально к\. На рисунке 2.2 изображена граница между областями суб- и суперкритической бифуркации Андронова-Хопфа на плоскости параметров (/, /) для различных значений параметра к\. (а) к\ = 2 п (п = 0, 2, 4) и (Ь) к\ = 2п (п = 6, 8, 10). В области значений параметров / Є (—15, 15) и / Є (—20, 10) видно, что уменьшение к\ ведет к уменьшению области, внутри которой наблюдается суперкритическая бифуркация. При достаточной больших значениях к\ в указанной области параметров ( Є (—15, 15), / Є (—20, 10)) имеет место только субкритическая бифуркация. В предельном случае при к\ = 0 бифуркация Андронова-Хопфа не происходит, так как при этом линеаризованная система не имеет связи. Исследование поведения системы при боль ших к\ позволяет судить, что в этом случае функция связи приближается к линейной функции.
В предыдущем разделе мы вывели аналитическое выражение, позволяющее определить тип бифуркации Андронова-Хопфа: субкритическая либо суперкритическая. Однако данные результаты справедливы лишь в окрестности бифуркации Андронова-Хопфа и не дают представления о динамике системы при удалении от точки бифуркации. Для того, чтобы получить более полную бифуркационную картину для исследуемой системы, проследим за рождающимися устойчивыми либо неустойчивыми предельными циклами при помощи методов численного бифуркационного анализа. В численном исследовании также положим к\ = 1.0, таким образом для каждой пары / и / при 7 = 7« происходит рождение устойчивого либо неустойчивого предельного цикла.
Будем следить за периодическими решениями на плоскостях параметров (7, /) или (7, кз)- Представим одно- и двухпараметрические диаграммы, демонстрирующие бифуркации предельных циклов системы. Наше внимание сосредоточено в основном на тех бифуркациях, которые приводят к появлению и исчезновению устойчивых предельных циклов. Для всех представленных диаграмм бифуркация Андронова-Хопфа происходит при одинаковом значении параметра связи 7 = 0.118851. Периодические решения, возникшие в результате бифуркации Андронова-Хопфа, представляют собой бегущую по кольцу волну. Таким образом, траектории осцилляторов идентичны, но сдвинуты по фазе на некоторую величину. В случае кольца из трех осцилляторов данный фазовый сдвиг составляет 2-7г/3.
На рисунке 2.3 представлена двухпараметрическая диаграмма на плоскости параметров (7, /) при фиксированном значении / = 1/6. В нижней части диаграммы (при меньших значениях /) единственная бифуркация, наблюдаемая с возрастанием параметра связи 7 - субкритиче М АН NS} Pi
Двухпараметрическая бифуркационная диаграмма на плоскости параметров (7, /) при фиксированном значении / = 1/6. ІАН линия бифуркации Андронова-Хопфа, ILP — линия касательной бифуркации предельных циклов, INS — линия бифуркации Неймарка-Сакера, IPD — линия бифуркации удвоения периода О 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9
Двухпараметрическая бифуркационная диаграмма на плоскости параметров (7, /) при фиксированном значении / = —1/6. ІАН линия бифуркации Андронова-Хопфа, ILP — линия касательной бифуркации предельных циклов, INS — линия бифуркации Неймарка-Сакера, IPD — линия бифуркации удвоения периода екая бифуркация Андронова-Хоифа (линия 1АН ниже точки р\). Возрастание параметра / приводит к тому, что бифуркация Андронова-Хоифа меняет свой тип с субкритической на суперкритическую в точке р\. Рождающийся в результате суперкритической бифуркации Андронова-Хоифа устойчивый предельный цикл при дальнейшем увеличении параметра связи 7 претерпевает касательную бифуркацию на линии 1 р и исчезает. При этом с ростом / линия касательной бифуркации 1 р удаляется от линии бифуркации Андронова-Хопфа 1АЯ- С дальнейшим ростом / перед исчезновением в ходе касательной бифуркации предельный цикл теряет устойчивость посредством бифуркации Неймарка-Сакера (линия INS)- Также, при / 1.035 родившийся в ходе бифуркации Андронова-Хопфа предельный цикл перед касательной бифуркацией претерпевает последовательно бифуркацию Неймарка-Сакера и бифуркацию удвоения (линия 1рв)- При / = 1.42 линии бифуркаций Неймарка-Сакера INS И удвоения 1рр пересекаются, в результате чего при / 1.42 предельный цикл вначале претерпевает бифуркацию удвоения, а затем — Неймарка-Сакера.
На рисунке 2.4 приведена двухпараметрическая бифуркационная диаграмма на плоскости (7, /) при фиксированном значении / = —1/6. В верхней части диаграммы (при больших значениях /) с ростом параметра связи 7 наблюдается суперкритическая бифуркация Андронова-Хопфа (линия 1АН выше точки pi), а затем родившийся в ходе нее предельный цикл последовательно претерпевает бифуркации удвоения и Неймарка-Сакера (линии IpD и INS)- При отрицательных значениях параметра / родившийся в ходе бифуркации Андронова-Хопфа предельный цикл после бифуркации удвоения и Неймарка-Сакера претерпервает обратную бифуркацию Неймарка-Сакера (линия 1 NS)I а затем исчезает в ходе касательной бифуркации (линия І ір). В точке р\ мы наблюдаем бифуркацию коразмерности 2, в результате которой бифуркация Андронова-Хопфа
Изменение основной области синхронизации при изменении параметра связи системы
Для системы (3.1) без внешнего воздействия (/ = 0) в предыдущей главе было показано возникновение автоколебаний с ростом параметра связи 7- Таким образом, интерес представляет задача синхронизации системы внешним воздействием.
На рисунке 3.1а представлена основная область синхронизации системы (3.1) при 7 = 0.12, а = 0.1. Здесь в области S: отвечающей режиму синхронизации, существует устойчивый предельный цикл, частота которого равна частоте внешнего воздействия и. Область Т соответствует квазипериодической динамике. Ниже точек р\ и р2 при выходе из области S в область Т происходит жесткий переход от периодических колебаний к квазипериодическим, что соответствует синхронизации через захват. Выше точки р2 с правой стороны языка синхронизации происходит мягкое рождение тора. С левой стороны области синхронизации переход от периодических колеба 0.01 0.008 0.006
На рисунке 3.16 представлены дополнительные линии для сосуществующих режимов внутри основной области синхронизации. Выше точки р\ на линии \\р происходит жесткий переход с предельного цикла на тор, а на линии 1тD - жесткий переход с тора на предельный цикл. В области между данными линиями предельный цикл и тор сосуществуют. На линии l s тор мягко сжимается в предельный цикл, отличный от того предельного цикла, который существует во всей области синхронизации. Данный цикл имеет меньшую амплитуду. На линии 1\р происходит жесткий переход с цикла меньшей амплитуды на цикл большей амплитуды. Таким образом, между линиями ltfS и /р сосуществуют два устойчивых предельных цикла.
Для более детального исследования устройства основной области синхронизации был проведен бифуркационный анализ предельных циклов системы (3.1). На рисунке 3.2 представлены линии бифуркаций системы. В области А существуют три цикла: устойчивый Сі, седловой ( с одномерным неустойчивым многообразием и седловой цикл Сз с двумерным неустойчивым многообразием (см. рисунок 3.4/ІІ). При выходе из области А через линии \\р и l2LP в область Т происходит седлоузловая бифуркация циклов С\ и С 2 на торе, в результате которой данные циклы сливаются и исчезают, при этом в области Т остается устойчивый тор и неустойчивый предельный цикл Сз (см. бифуркационную диаграмму 3.6а). При переходе из области А в область В через линию /р происходит касательная бифуркация сед-ловых циклов С2 и Сз, в результате которой данные циклы сливаются и исчезают, и в области В существует единственный устойчивый цикл С\ (см. бифуркационную диаграмму 3.6h).
Однопараметрические бифуркационные диаграммы системы (З.Г устойчивый тор сосуществует в области С с устойчивым предельным циклом С\ (см. рисунки 3.4&1 и 3.4). Линия ITD соответствует исчезновению тора (тор касается седлового цикла С и исчезает). При переходе из области С в область D через линию 1%S тор мягко стягивается в предельный цикл Сз, при этом в области D цикл Сз становится устойчивым (лучше сказать, что на линии l s тор мягко рождается из цикла Сз в результате бифуркации Неймарка-Сакера). Таким образом, в области D сосуществуют устойчивые циклы Сі и Сз, разделенные седловым циклом С2 (см. рисунок 3.5сз). На линии /р происходит седлоузловая бифуркация циклов С2 и Сз, в результате которой они исчезают и при переходе из области D в область по-прежнему остается один устойчивый цикл С\ (см. бифуркационную диаграмму 3.6с). Если же перемещаться из области В в область А через области D и С, то на линии 1\р происходит рождение пары циклов: устойчивого Сз и седлового (. Далее на линии lj s происходит бифуркация Неймарка-Сакера для цикла Сз, в результате которой из него рождается тор. На линии ITD тор касается седлового цикла ( и исчезает. Все эти три линии, а также линия 1\Р сходятся в точке рз, ниже которой на линии 1тр цикл Сз рождается неустойчивым с двумерным неустойчивым многообразием, а выше на линии 1\Р — устойчивым.
С правой стороны языка область вокруг точки р2 имеет сложную структуру. Линия llNS соответствует бифуркации Неймарка-Сакера для цикла С\. 3.1.2. Изменение основной области синхронизации при изменении параметра связи системы
Проследим за изменением основной области синхронизации, происходящим при возрастании параметра связи. На рисунке 3.7 представлены основные области синхронизации системы (3.1) при трех значениях параметра связи: 7 = 0.13, 7 = 0.14 и 7 = 0.15 и фиксированном а = 0.1. Область синхронизации при возрастании параметра связи смещается в сторону низких частот, что находится в соответствии с тем фактом, что частота автоколебаний в системе уменьшается с возрастанием параметра связи (см. рисунок 2.15). Область синхронизации через захват с возрастанием связи становится более обширной по амплитуде воздействия, в то время как ее ширина при фиксированной амплитуде воздействия уменьшается.
Изменение внутренней структуры основной области синхронизации продемонстрируем для случая 7 = 0.13. На рисунке 3.8 представлена бифуркационная диаграмма системы (3.1) на плоскости параметров (А:си) при данном значении параметра связи. Обозначения на данной диаграмме соответствуют обозначениям на диаграмме, представленной на рисунке 3.2 для случая 7 = 0.12. Здесь отметим, что точки pi: Р2 и Рз, характеризующие переход от синхронизации через захват к вынужденным колебаниям, находятся выше (им соответствуют большие значения амплитуды внешней силы), чем в случае 7 = 0.12. Область D, в которой существует устойчивый цикл Сз, имеет в данном случае очень небольшую площадь, линии /Р, l s и ITD проходят вблизи друг от друга и почти сливаются на рисунке. В то же время область С, в которой сосуществуют устойчивый цикл С\ и тор, имеет значительно большую площадь. 7 = 0.15
Основная область синхронизации системы (3.1) на плоскости параметров (А:си) при трех значениях параметра связи 7 Рис. 3.8. Линии бифуркаций системы (3.1) на плоскости параметров (А:си) при 7 = 0.13. 3.1.3. Динамика кольца из трех осцилляторов Тоды с внешним воздействием до порога возникновения автоколебаний
Рассмотрим систему 3.1 с экспоненциальной связью вида С{х) = ехр(х) — 1. Исследуем вынужденные колебания системы на плоскости параметров «частота воздействия — параметр связи» (о;,7) при фиксированных значениях параметра диссипации системы а = 0.1 и амплитуды внешней силы А = 0.015. Напомним, что в автономной системе при 7 0.1189 существует устойчивое состояние равновесия в нуле, которое при 7 = 0.1189 претерпевает суперкритическую бифуркацию Андронова-Хопфа, в результате чего при 7 0.1189 в системе наблюдаются автоколебания.
Заметим, что при 7 = 0 в системе существуют вынужденные колебания в первом осцилляторе (на который действует внешняя сила), тогда как во втором и третьем колебания отсутствуют из-за отсутствия связи между осцилляторами. При наличии положительной связи вынужденные колебания существуют во всех трех осцилляторах. При этом с возрастанием связи амплитуда колебаний первого осциллятора убывает, тогда как амплитуды второго и третьего осцилляторов нарастают (рисунок 3.10с!). С дальнейшим ростом параметра связи предельный цикл в системе теряет устойчивость посредством бифуркации Неймарка-Сакера.
Далее обратимся к двухпараметрической бифуркационной диаграмме (рисунок 3.9). На ней точка р\ соответствует точки сборки, а исходящие из нее линии 1\р и 1\Р соответствуют седлоузловым бифуркациям предельных циклов Сі, С 2 и Сі, Сз соответственно. Между данными линиями существуют два устойчивых предельных цикла Сі и Сз, разделенные седловым С2, за линиями слева существует цикл Сз, а справа цикл Сі. Ниже точки р\ наблюдается безгистерезисный резонанс (см. рисунок 3.10а), а выше этой точки — резонанс с гистерезисом (см. рисунок 3.10b). На линиях llNS и l s циклы Сі и Сз соответственно претерпевают бифуркации Неймарка-Сакера и становят ся неустойчивыми (см. рисунок 3.10с). Линии бифуркаций Неймарка-Сакера при удалении от области резонанса аппроксимационно приближаются к линии 7 = 0.1189, соответствующей бифуркации Андронова-Хопфа в автономной системе. Линия l s в точке Р2 подходит к линии /р, при этом выше этой точки, на линии /Р, происходит касательная бифуркация седловых циклов С 2 с одномерным неустойчивым многообразием и Сз с двумерным неустойчивым многообразием.
Таким образом, изменение параметра связи в кольце осцилляторов То-ды с однонаправленной связью и внешним воздействием на один из осцилляторов приводит к изменению характера резонанса в системе. При этом в случае 7 0.1189 (при этом в автономной системе имеет место устойчивая точка) возрастание 7 приводит к смещению резонансной частоты, а затем к появлению гистерезиса. В случае 7 0.1189 (при этом в автономной системе имеют место автоколебания) для резонансных циклов имеют место бифуркации Неймарка-Сакера, связанные с наличием автоколебательной составляющей.
Изменение основной области синхронизации при изменении кубического коэффициента функции связи системы
Введем в систему (3.1) связь между осцилляторами вида С{х) = х + к,2Х2 + кзх3. Данная связь уже вводилась нами во второй главе при исследовании особенностей возникновения колебаний в автономной системе.
На рисунке 3.11 представлены линии бифуркаций системы (3.1) с полиномиальной связью на плоскости параметров (А:си). Подобно случаю экспоненциальной связи, в области А существуют три цикла: устойчивый Сі, седловой С2 с одномерным неустойчивым многообразием и седловой цикл Сз с двумерным неустойчивым многообразием. При выходе из области А через линии \\р и \\р в область Т происходит седлоузловая бифуркация циклов Сі и С2 на торе, в результате которой данные циклы сливаются и исчезают, при этом в области Т остается устойчивый тор и неустойчивый предельный цикл Сз. При переходе из области А в область В через линию 1\Р происходит касательная бифуркация седловых циклов С2 и Сз, в результате которой данные циклы сливаются и исчезают, и в области В существует единственный устойчивый ЦИКЛ Сі.
Точка р\ разделяет линии \\р и \\р. Первая соответствует седлоузло-вой бифуркации циклов Сі и С2 на торе, а вторая соответствует седлоузло-вой бифуркации тех же циклов Сі и С2, но уже вне тора. При этом устойчивый тор сосуществует в области С с устойчивым предельным циклом Сі. Линия ITD соответствует исчезновению тора (тор касается седлового цикла С2 и исчезает). При переходе из области С в область D через линию 1%S тор мягко стягивается в предельный цикл Сз, при этом в области D цикл Сз становится устойчивым. В области D сосуществуют устойчивые циклы Сі и Сз, разделенные седловым циклом С2. На линии 1\Р происходит седлоузло 100
Отличие от случая экспоненциальной связи заключается в том, что для линий 1\р и \\р имеется точка сборки р . При этом переход из области В в область В и обратно через область D происходит гистерезисным образом посредством двух седлоузловых бифуркаций, в то время как минуя область D над точкой р можно осуществить безбифуркационный переход с цикла Сі на цикл Сз С правой стороны языка точка Р2 представляет точку Богданова-Такенса и разделяет области синхронизации через захват и через подавление.
Сравнивая бифуркационную картину для случая экспоненциальной связи (рис. 3.2) и для случая полиномиальной связи (рис. 3.11), можно сказать, что нижняя часть картины схожа для двух данных случаев. Однако для случая полиномиальной связи линии 1\Р и \\Р сходятся в точке сборки 4, в то время как для экспоненциальной связи этого не происходит (при амплитудах воздействия порядка 0.5 система имеет сложную бифуркационную картину в результате появления дополнительных точек сборки, что в данной работе не рассматривается). В этом смысле можно сказать, что картина синхронизации в случае полиномиальной связи более близка к классической, однако в ней имеется значительная асимметрия языка синхронизации с ярко выраженными особенностями в структуре его левой части. Подобная структура уже наблюдалась в работах [76,77].
Изменение основной области синхронизации при изменении кубического коэффициента функции связи системы
При выбранном значении параметра / = 0.5 параметр / в функции связи влияет на тип бифуркации Андронова-Хопфа. При / 0.034 имеет место субкритическая бифуркация, при / 0.034 — суперкритическая бифуркация Андронова-Хопфа. При этом в случае суперкритической бифуркации данный параметр влияет на скорость роста амплитуды родившегося предельного цикла и на бифуркации, которые он в дальнейшем претерпевает.
На рисунке 3.15 представлены зависимости амплитуды предельного цикла системы от параметра связи при нескольких значениях параметра кз- Из рисунка видно, что чем ниже величина кз-, тем меньше амплитуда предельного цикла. На рисунке 3.16 представлены границы языков синхронизации при двух значениях параметра кз- Видно, что с уменьшением кз область синхронизации становится шире, при этом область захвата уменьшается, а сама область синхронизации смешается вправо (к более высоким частотам). Также с уменьшением кз область синхронизации становится менее асимметричной и особенности в структуре ее левой части становятся менее ярко выраженными.
При малых амплитудах воздействия картина синхронизации для модели кольцевого генератора однонаправленно связанных осцилляторов Тоды как в случае экспоненциальной связи, так и в случае связи в виде кубического полинома имеет классический вид: область синхронизации ограничена линиями седлоузловых бифуркаций на торе, наблюдается синхронизация через захват.
Структура основной области синхронизации для модели кольцевого генератора однонаправленно связанных осцилляторов Тоды имеет ярко выраженные особенности при переходе из области синхронизации через захват в область синхронизации через подавление. При данном переходе на левой границе области синхронизации (при относительной частоте меньшей единицы) начинают наблюдаться гистере-зисные переходы между периодическим и квазипериодическим режимами. Внутри области синхронизации имеются области сосуществования устойчивых периодического и квазипериодического режимов, а также двух различных устойчивых периодических режимов. В случае полиномиальной связи между осцилляторами возрастание амплитуды внешнего воздействия ведет к исчезновению областей сосуществующих режимов, а в случае экспоненциальной связи рост
