Содержание к диссертации
Введение
1 Пространственно-временные структуры в решетках простейших бистабильных динамических систем, связанных локальной и нелокальной связью 10
1.1 Решетка простейших бистабильных динамических систем, связанных локальной и расширенно локальной связью 12
1.1.1 Решеточная динамическая система 12
1.1.2 Свойство градиентности решеточно динамической системы 13
1.1.3 Оценка расположения состояний равновесия с помощью поглощающих областей 14
1.1.4 Устойчивость состояний равновесия 16
1.2 Пространственные структуры 18
1.2.1 Моделирование связей между элементами 18
1.2.2 Слабая связь между элементами 18
1.2.3 Динамика пространственных структур 19
1.2.4 Мозаичные структуры 20
1.2.5 Конкуренция мозаик 24
1.3 Выводы первой главы 28
2 Пространственно-временные структуры в двумерных решетках идентичных динамических систем со сложным поведением, связанных локальной и расширенно локальной связью 29
2.1 Существование синхронных кластеров в ансамблях с локальной диффузионный связью 31
2.1.1 Вложение линейных инвариантных многообразий 36
2.1.2 Устойчивость кластерных многообразий 38
2.2 Структуры в двумерных решетках локально связанных динамических систем 41
2.2.1 Динамика структур в решетках локально связанных систем Лурье 41
2.2.2 Образование структур в решетках локально связанных систем Ресслера 46
2.3 Пространственно - временные структуры в решетках идентичных динамических систем связанных расширенной локальной связью 52
2.3.1 Достаточные условия глобальной устойчивости полной синхронизации в двумерной решетке осцилляторов, связанных расширенной локальной связью 52
2.3.2 Кластерные многообразия в решетках идентичных осцилляторов, связанных расширенной локальной связью 54
2.3.3 Образование кластеров в решетках идентичных систем Лурье, связанных расширенной локальной связью 56
2.4 Выводы второй главы 62
Пространственно-временные структуры в трехмерных решетках локально и нелокально связанных идентичных динамических систем 63
3.1 Существование и устойчивость синхронных кластеров в трехмерной решетке 64
3.1.1 Достаточные условия глобальной синхронизации в трехмерной решетке 69
3.1.2 Оценка необходимых условий полной синхронизации 71
3.2 Структуры в трехмерных решетках локально связанных конкретных динамических систем 75
3.2.1 Динамика пространственно-временных структур в трехмерной решетке связанных систем Лурье 75
3.2.2 Динамика пространственно-временных структур в трехмерной решетке связанных систем Ресслера 76
3.3 Выводы третьей главы 79
Пространственно-временные структуры в двух и трехмерных решетках локально связанных неидентичных динамических систем 80
4.1 Синхронные кластеры в случае произвольных неидентичных динамических систем 82
4.1.1 Общие результаты 83
4.1.2 Пример: двумерная решетка систем Лоренца 87
4.2 Структуры в решетках локально связанных неидентичных конкретных динамических систем 90
4.2.1 Двумерная решетка неидентичных систем Лоренца 90
4.2.2 Двумерная решетка неидентичных осцилляторов Ресслера 90
4.3 Выводы четвертой главы 97
- Оценка расположения состояний равновесия с помощью поглощающих областей
- Достаточные условия глобальной устойчивости полной синхронизации в двумерной решетке осцилляторов, связанных расширенной локальной связью
- Динамика пространственно-временных структур в трехмерной решетке связанных систем Ресслера
- Двумерная решетка неидентичных осцилляторов Ресслера
Введение к работе
Структурообразование в нелинейных диссипативных средах является одной из фундаментальных проблем теории колебаний и нелинейной физики и играет определяющую роль в динамике взаимодействующих систем, состоящих из большого числа упорядоченных в пространстве связанных активных элементов с простой и сложной динамикой.
Такие системы в виде решеток осцилляторов с различными типами связи часто встречаются в различных задачах и приложениях в электронике, биологии, нейрофизике, экологии, экономике и т.д. Например, это связанные электронные элементы типа подсистем с джозефсоновскими контактами, ансамбли связанных нейронов в мозге, решетки связанных лазеров, сети синхронизованных генераторов, компьютерные сети, взаимодействующие популяции. Кроме того, такие дискретные пространственные системы часто . используются для моделирования непрерывных неравновесных сред, в частности распределенной турбулентной среды.
Определяющими режимами в пространственно-временной динамике ансамблей связанных систем с простым динамическим поведением (например, бистабильные подсистемы) являются пространственные диссипативные структуры и автоволны. Пространственные структуры представляют собой всевозможные устойчивые комбинации состояний равновесий индивидуальных мультистабильных систем. Такие стационарные пространственные решения часто называют мозаичными пространственными распределениями, или просто, мозаиками, которые могут быть как простыми (регулярными), так и неупорядоченными. В больших ансамблях взаимодействующих систем в последнем случае часто наблюдается пространственный беспорядок (в предельном случае, пространственный хаос), который может быть определен пространственной энтропией, мерой числа устойчивых мозаичных структур.
В случае, когда индивидуальные подсистемы являются нелинейными осцилляторами и обладают собственной хаотической динамикой, пространственно - временное поведение связанной системы становится существенно более сложным. Однако, в случае, когда индивидуальные взаимодействующие осцилляторы, составляющие ансамбль, являются идентичными или почти идентичными, общая связанная система обладает пространственными симметри- ями. При этом в системе наблюдаются пространственно - временные когерентные структуры, в частности, полная и кластерная синхронизация.
Характерная особенность динамического поведения связанных систем в этом случае состоит в том, что элементы синхронизованных структур (кластеров) имеют одну и ту же идентичную временную динамику, которая может быть как регулярной, так и хаотической. Например, в режиме полной хаотической синхронизации, все осцилляторы связанной системы, которые могут иметь различные начальные условия, приобретают идентичное хаотическое поведение при достижении порогового значения коэффициента связи. Это важное свойство идентичных или почти идентичных хаотических систем приходить в состояние устойчивой синхронизации при сохранении индивидуального хаотического поведение было впервые обнаружено около двадцати лет назад и с тех пор стало основой отдельного научного направления. Действительно, пространственно-временная синхронизация хаотических систем наблюдается во многих связанных системах различной природы. Например, синхронизация хаотических осцилляторов имеет важное значение в биофизике, где часто встречаются системы связанных клеток (нейронов), демонстрирующие сложное нелинейное поведение так, что наличие или отсутствие синхронизации между клетками играет принципиальное значение для функционирования всей биологической системы. Например, дисфункция центральной нервной системы человека, проявляющаяся в эпилепсии, связана с состоянием мозга, при котором синхронизуется слишком большое количество нейронов, таким образом, что мозг более не в состоянии функционировать корректно.
Помимо своего фундаментального значения в естественных науках, образование синхронизованных структур в связанных хаотических системах имеет также множество приложений в различных областях знаний. Например, в радиоэлектронике синхронизация хаотических сигналов используется как средство передачи конфиденциальной информации.
Таким образом, исследование динамического коллективного поведения решеток и ансамблей связанных систем с простой и сложной динамикой является междисциплинарным и имеет важное значение не только для нелинейной физики и радиофизики, но и для целого комплекса наук, поскольку оно помогает выявить основные законы и особенности структурообразования и самоорганизации взаимодействующих систем.
Широкое исследование явлений синхронизации и образования структур в ансамблях связанных систем различной природы проводится как в России (Анищенко B.C., Афраймович B.C., Безручко Б.П., Белых В.Н., Блехман И.И., Веричев Н.Н., Гапонов-Грехов А.В., Дмитриев А.С., Капранов М.В.,
Кащенко С.А., Кузнецов СП., Ланда П.С, Леонов Г.А., Неймарк Ю.И., Некоркин В.И., Пиковский А.С., Пономаренко В.П., Рабинович М.И., Тру-бецков Д.И., Фрадков А.Л., Шалфеев В.Д., Шахгильдян В.В., Шильников Л.П. и др.), так и за рубежом (Н. Abarbanel, P. Ashwin, L.A. Bunimovich, S. Chow, L.O. Chua, M. Ding, H. Fujisaka, V. Ebeling, B. Fiedler, G.B. Ermentrout, L. Glass, M. Golubitsky, H. Haken, J.K. Hale, M. Hasler, K. Kaneko, N. Kopell, Y. Kuramoto, J. Kurths, J. Mallet-Paret, E. Mosekilde, H. Nijmeijer, U. Par-litz, L.M. Pecora, I. Prigogine, K. Schneider, Ya. Sinai, S.H. Strogatz, I. Stewart, E. Ott, M.J. Velarde, C. Wu и др). Стремительный рост числа публикаций в отечественной и зарубежной литературе также подтверждает важность и актуальность исследования образования пространственно-временных структур в нелинейных дискретных диссипативных средах.
Большой класс возможных нелинейных индивидуальных систем с простой и сложной динамикой, различные типы связи и потенциальные приложения привели к целому ряду постановок задач и к большому числу интересных теоретических и численных результатов исследования конкретных систем.
Важными проблемами в изучении пространственно-временной динамики связанных систем являются вопросы существования и устойчивости различных стационарных пространственных структур и кластеров синхронных колебаний. В частности, следующие вопросы представляют особый интерес. Как число и размер кластеров в многомерных решетках связанных хаотических систем зависят от размера решеток, типа связи и граничных условий? Как устойчивость синхронных структур зависит от силы связи между элементами и числа осцилляторов в решетке и как зависит пороговое значения связи, необходимое для образования синхронных кластеров, от динамических свойств индивидуальных осцилляторов? Сохраняются ли устойчивые структуры, обусловленные симметриями связанной системы с идентичными осцилляторами, при введении расстройки параметров между парциальными подсистемами? Подробному рассмотрению этих вопросов и посвящена данная диссертационная работа.
Работа организована следующим образом.
В первой главе приводятся результаты исследования пространственных структур в решетках осцилляторов связанных как локальной так и расширенной локальной связью (когда элемент связан со своим соседним и следующим за ним элементом). В первой части главы приводятся результаты исследования решетки простейших бистабильных систем. Показано, что такая система является градиентной, приведены условия при которых в решетке существуют все возможные состояния равновесия. Приводятся результаты численного исследования системы за границами этой области.
Вторая глава посвящена исследованию явления кластерной синхронизации в двумерных решетках произвольных динамических систем. В первой части главы рассматривается вопрос о существовании кластерных многообразий синхронизации и приводятся примеры многообразий. Рассматривается вопрос об условиях устойчивости кластерных многообразий. Во второй части главы приводятся результаты исследования явлений кластерной синхронизации в двумерных решетках произвольных динамических систем, связанных расширенной локальной связью. Так же приводятся примеры кластерных многообразий в цепочке и решетке произвольных динамических систем связанных расширенной локальной связью.
Третья глава посвящена исследованию явления кластерной синхронизации в трехмерных решетках произвольных динамических систем. В первой части главы рассматривается вопрос о существовании кластерных многообразий синхронизации в трехмерных решетках и приводятся примеры многообразий. Далее приводятся примеры кластерных режимов синхронизации в трехмерных решетках состоящих из элементов со сложным хаотическим поведением.
В четвертой главе исследуется явление кластерной синхронизации в решетках локально связанных неидентичных систем. Первая часть главы посвящена вопросу существования кластерных многообразий синхронизации в случае неидентичности элементов решетки. Во второй части главы приводятся результаты численного исследования двух и трехмерных решеток локально связанных неидентичных систем.
Теоретическая и практическая значимость результатов. В работе исследованы свойства и устойчивость режимов полной и частичной (кластерной) синхронизации в решетке локально и почти локально диффузионно связанных динамических систем общего вида, а также конкретных систем, обладающих различными типами хаотических аттракторов. В работе также рассмотрен вопрос о сохранении режимов кластерной синхронизации при введении неидентичности в систему связанных осцилляторов. В работе даны ответы на ряд общих вопросов теории хаотической синхронизации. Полученные в диссертации результаты могут быть использованы при исследовании конкретных связанных динамических систем.
Апробация результатов. Основные результаты диссертации докладывались на семинарах кафедры математики ВГАВТ, семинаре кафедры теории колебаний ННГУ; семинаре физического факультета Датского Технического Университета, итоговой научной конференции ННГУ (1997 г.); 3-ей, 4-ой и 5-ой сессиях молодых ученых (Нижний Новгород, 1998 г., 1999 г.;
Саров, 2000), "Нелинейные колебания механических систем "(Нижний Новгород, 1999); Научно-технической конференции профессорско - преподавательского состава ВГАВТ (Нижний Новгород, 1999); Научно-практическом семинаре "Высокопроизводительные Параллельные Вычисления на Кластерных Системах"(Нижний Новгород, 2001); международных конференциях: 5th Int. School on Chaotic Oscillations and Pattern Formation (CHAOS'98) (Saratov, 1998); Int. Workshop "Dynamic Days"(Nizhny Novgorod, 1998); Int. Symposium on Nonlinear Theory and its Applications (NOLTA'2001), (Japan, 2001); Int. Conference "Progress in Nonlinear Science "dedicated to the 100th Anniversary of A.A. Andronov (Nizhny Novgorod, 2001); Int. Workshop "Nonlinear Dynamics of Electronic Systems"(NDES-2001) (Delft, The Netherlands, 2001); Int. Workshop on Control, Communication, and Synchronization in Chaotic Dynamical Systems (Dresden, Germany, 2001); Int. Workshop on Synchronization of Chaotic and Stochastic Oscillations. Applications in Physics, Biology and Medicine (SYNCHRO-2002) (Saratov, 2002).
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [31]-[44].
Оценка расположения состояний равновесия с помощью поглощающих областей
Изучение динамики пространственных структур в решетке проводится следующим образом: выбирается случайное в пространстве начальное распре 4 деление, затем из него получается устойчивое распределение с параметрами системы из области D/s. При плавном "квазистатическом"увеличении коэф " фициента связи между элементами проводится наблюдение за следующими величинами: 1. количество элементов, у которых все соседние элементы находятся в противоположном состоянии (в процентах от общего числа элементов), рисунок 1.5(a) (одинаковым цветом обозначены осцилляторы, находящиеся в одном и том же состоянии) 2. количество элементов, у которых три соседних элемента находятся в противоположном состоянии, рисунок 1.5(b) 3. количество элементов, у которых два соседних элемента находятся в противоположном состоянии, а два в том же состоянии, рисунок 1.5(c) 4. количество элементов, у которых три соседних элемента находятся в том же состоянии, что и рассматриваемый элемент, рисунок 1.5(d) 5. количество элементов, у которых все соседние элементы находятся в том же состоянии, что и рассматриваемый элемент, рисунок 1.5(e) Процесс увеличения коэффициента связи продолжается до тех пор, пока в решетке не установится однородное пространственное распределение. В численных экспериментах наблюдается скачкообразное изменение профиля пространственной структуры в достаточно большой области параметров системы. Результаты численного исследования системы представлены рисунках .С Сисунке 1.6 представ. элюдений за приведен ными выше истем :унке 1.7 представлены кривые при ду на рисунках видна ступенчатость изменения профиля пространственной структуры в решетке. Однако в случае, когда параметр нелинейности выбран около максимума кривой Dfs, то ступенчатость наблюдается только при небольших значениях параметра связи между элементами. Дальнейшее увеличение параметра связи приводит к плавному изменению профиля в системе. нелокальном взаимодействии элементов в решетке реализуются различ стационарные амплитудные распределения сложного вида. Такие рас пределения можно рассматривать как мозаичные структуры. На Рисунке 1.8 приведены примеры мозаик, возникающих в решетке при сильной нелокальной связи данного элемента с элементами, отстоящими на один от данного, а на Рисунке 1.9 приведены примеры мозаик, возникающих в решетке с сильной нелокальной связью между элементами, отстоящими от данного на два элемента в пространстве. Примеры, показывающие существование нескольких мозаичных структур, составляющих стационарное распределение амплитуды осцилляторов в решетке, приведены на рисунке 1.10 и рисунке 1.11, где цветом обозначена амплитуда колебаний осцилляторов. Здесь представлены два случая: случай, когда доминирует связь с элементами, отстоящими на один от данного (Рис 1.10), а также случай, когда доминирует связь с элементами, отстоящими на два от данного 1.11. Всюду полагается связь типа (а), как на рисунке 1.4.
На рисунках отчетливо различимы несколько типов мозаик, включая те, что приведены на Рисунке 1.8, 1.9, а также простейшие однородные, мозаики в виде полосок, распределения типа "шахматной доски"и др. Формирование пространственных структур в виде мозаик в случае, когда расширенная связь много больше, чем локальная, можно легко объяснить. Для простоты рассмотрим квадратную решетку, в которой положим число элементов N = Ак кратным четырем. Введем новые переменные x,y,u,v и перепишем исходную систему в виде: где n = 1,2,... - Предположим теперь, что коэффициент связи d\ пренебрежимо мал по сравнению с коэффициентом d2. В данном случае, полагая d\ = 0, получаем, что исходная решетка (1.8) может быть разложена на четыре несвязанные решетки (1.25), которые в свою очередь представляют собою решетки с локальными связями между элементами. Таким образом, каждая из решеток в уравнении (1.25) совпадает по виду с изначальной решеткой (1.8), но уже без нелокальных связей между элементами и вчетверо меньшего размера. На рисунке 1.12 представлена финальная пространственная структура, образовавшаяся из случайного начального распределения. Из рисунка видно, что в финальном распределении в решетке присутствуют мозаичные структуры различного образца: в виде решетки, в виде полосок, в виде шахматной доски и другие. Окончательное пространственное распределение представляет собой статическое распределение в системе с параметрами: р = 0.525;di = 0.005; d2 = 0.0225;
Достаточные условия глобальной устойчивости полной синхронизации в двумерной решетке осцилляторов, связанных расширенной локальной связью
В этой главе исследуются явления глобальной, частичной и противофазной синхронизации колебаний диффузионно связанных динамических систем для общих случаев двумерной решетки связанных осцилляторов.
Явление глобальной синхронизации состоит в том, что при достаточно большой связи все индивидуальные элементы решетки (парциальные подсистемы) приобретают идентичное динамическое поведение при любых различных начальных условиях. В больших ансамблях связанных систем часто встречается динамическое явление, когда лишь отдельные группы элементов решетки (цепочки) синхронизованы между собой. В этом случае говорят, что имеет место частичная синхронизация, также известная в литературе, как кластеризация [15]-[18].
Под режимом кластерной синхронизации будем понимать пространственно-временной режим, при котором элементы, принадлежащие одному и тому же кластеру, демонстрируют идентичное поведение, т.е. полностью синхронизированы между собой. Явления глобальной и частичной синхронизации диффузионно связанных парциальных элементов цепочки определяются с инвариантными многообразиями следующей iV-мерной динамической системы: дополненной граничными условиями типа Неймана rr o = ж»д, Xoj = xij, Xi,N+i = %i,N, и #JV+IJ = #JVj или периодическими граничными условиями. В системе (2.1), хц скалярные переменные 77г-мерного вектора (г,.7 )-го осциллятора, y j (га — 1) вектор. f(xi,j,l/i,j) и g(xi,j,Vi,j) скалярные и векторные функции, соответственно, т размерность индивидуального элемента, D = N\ х Ni х т размерность всей решеточной динамической системы (2.1). Е\ и Є2 0 параметры связи, определяющие связь между осцилляторами в двух направлениях решетки. iVi и iVjj определяют размер решетки.
Напомним, что система (2.1) представляет собой класс двумерных нелинейных клеточных сетей реакции-диффузии. Такие сети могут рассматриваться как универсальная активная среда для моделирования процессов генерации паттернов и других явлений синхронизации в различных научных дисциплинах включая физику, химию, биологию, экологию и другие. В главе рассматривается вопрос о существовании и приведены достаточные условия устойчивости линейных инвариантных многообразий, соответствующих режимам глобальной синфазной, противофазной и частичной синхронизации. Будучи зависимыми от числа элементов решетки iV, эти многообразия обладают особой иерархией и симметриями, что означает иерархию синфазных и противофазных колебаний системы. В главе также рассмотрен случай почти локальной (элемент связан как с соседним так и со следующим за ним элементом) диффузионной связью и приведены примеры линейных инвариантных многообразий, соответствующих режимам глобальной синфазной и частичной синхронизации. В заключении главы приведены примеры частичной синхронизации для конкретных динамических систем, обнаруженные в результате численных расчетов. Кластерная синхронизация связанных осцилляторов тесно связана с линейными инвариантными многообразиями системы (2.1). Определение. Если существует отображение Т : M(d) — MQ такое, что система (2.1) под действием Т приобретает вид dxm совместных уравнений, то система (2.1) имеет инвариантное многообразие синхронизации M(d), соответствующее d кластерам синхронизованных осцилляторов. Введем JVi х N2 матрицу A = [aij], в которой символ о,-j обозначает осциллятор, находящийся в г-ой строке и j-оы столбце. Элементы, принадлежащие одному и тому же кластеру, будут обозначаться одним и тем же символом. Из определения видно, что поведение d базовых элементов матрицы А не совпадает друг с другом, тогда как поведение остальных г = NiX — d элементов совпадает с поведением этих d базовых элементов. С другой стороны г х m уравнений в (2.1) становятся линейно зависимы от d х га базовых уравнений. Число 7i,#25 »# осцилляторов в формирующих соответствующий кла d стер удовлетворяет естественному условию 2 qp = N\ X iVJ2. Двумерная решетка К может быть представлена как набор строк R1 или столбцов С так, что К = (J {R4} = \J {Cj} По аналогии с обозначением синхронизации отдельных элементов, используем следующее обозначение R = Ri2, С\х = Сі2 для обозначения того, что все элементы строки (столбца) синхронизованы между собой. Кластерная синхронизация в двумерной решетке, порожденная кластерной синхронизацией в одномерных цепочках, может быть представлена с помощью кодового обозначения многообразия , где каждый символ гг/, i = 1, ; ис_,„ I = 1,п2; повторяется qi,..,qni (qn2) раз, соответственно. Следовательно, местоположение каждого символа г,-,, Cjt ( I = l,ni; І = 1,712;) в подмножестве определяется местом осциллятора в г-ом и j-ou направлениях решетки, соответственно. Осцилляторы, образующие кластер в одном из направлений решетки, обозначаются символом с одним и тем же индексом. Таким образом, осцилляторы, образующие кластер, обозначаются одной и той же парой {r Cj). В качестве примера приведем два известных кластера. 1) При d = 1 в системе (2.1) существует инвариантное многообразие пол ной синхронизации М(1) = М(1,1) = {Xij = U\). Кодовое обозначение мно гообразия имеет вид M(l) = [{fi,ri, ...,гі}х {сі,сі,...,Сі}. Динамика Систе мі N2 мы (2.1) на гиперплоскости М(1) определяется одним осциллятором и, таким образом, в системе существует единственный однородный кластер, означающий полную синхронизацию элементов решетки. 2) При d = N\ х N2 в системе существует инвариантное многообразие Мо, являющееся фазовым пространством системы (2.1), MQ = [{ri, ,...,7 } х {ci,C2, ...,сдг2}]. Очевидно, решетка (2.1) имеет d = N\ х iV2 кластеров, обра зованных из N\ х N2 независимых осцилляторов. Связь между элементами системы (2.1) не включает перекрестные члены и, следовательно, групповое пространственно-временное поведение двумерной решетки в одном из направлений подобно поведению элементов одномерной цепочки. Таким образом, иерархия и вложение многообразий кластерной синхронизации, обнаруженные в одномерном случае [Belykh et al., 2000] играют ключевую роль при изучении двумерной решетки связанных осцилляторов.
Динамика пространственно-временных структур в трехмерной решетке связанных систем Ресслера
Вложение линейных инвариантных многообразий определяет возможные сценарии перехода от полностью рассинхронизованного профиля амплитуд системы к единственному пространственно однородному кластеру, определяющему режим полной синхронизации при увеличении связи между осцилляторами решетки.
Рассмотрим квадратную N х N решетку (2.1) с Є\ = г = и с числом N = 2п -\-1. Ниже приведены линейные синфазные многообразия синхронизации, существующие в решетке в случае неймановских граничных условий. 1) M+(d), M (d) и M±(d3), определяющие симметрию синхронизованных осцилляторов квадратной решетки по отношению к главной и второй диагонали решетки. 2) М = M s{(n + l)(n + 2)/2). 3) Mdesld = M%{N,n+ 1) = [{ri,...,rN} х {сь...,Сп+і,...,Сі}], определяющее (n + 1)-кластерный режим синхронизации столбцов решетки и десинхронза-цию между строками решетки. 4) Mdeslsyn _ Мс(АГД) = [{rij...,rjv} х {CbCbd,..}]. 5) Mc//c/ = Msx(n + l,n+l) = [{гь...,rn+i,...,п}х {сь...,с„+і,...,сі}], определяющее два разных (n 4- 1)-кластерных режима синхронизации горизонтальных и вертикальных линий решетки. 6) МС1/ УП = Msc(n+1,1) = [{ri,...,rn+i,...,n} х {сі,...,Сі,...,Сі}], соответ ствующее полной синхронизации столбцов и (п+1 )-кластерному режиму син хронизации строк. 7) М(1) = [{гі, ...,гі,...,гі} х {сі,..., сі,..., сі}], определяющее режим полной синхронизации осцилляторов решетки. Многообразия вложены следующим образом Замечание. Очевидно, что горизонтальные и вертикальные линии двумерной решетки могут быть переставлены местами, так что те же самые кластерные многообразия и их вложение могут быть переписаны по отношению к строкам решетки. Рассмотрим N х N решетку (2.1) с TV = р щ, где р и п\ произвольные целые числа большие 1. Согласно Утверждению 1.1, в системе (2.1) существуют дополнительные асимметричные инвариантные многообразия M[(ni,N) и Мд(АГ,тії). Таким образом, совокупность возможных режимов кластерной синхронизации двумерной решетки расширяется за счет этих многообразий и в решетке также существуют дополнительные пересечения многообразий, являющиеся топологическим произведением кластерных профилей. Рассмотрим вопрос об условиях глобальной асимптотической устойчивости инвариантных многообразий, соответствующих различным режимам синхронизации в двумерной решетке (2.1) с граничными условиями типа Неймана. Теорема об асимптотической устойчивости инвариантный многообразий и ее доказательство были опубликованы в работе [42] (см. Приложение 1), далее будут приведены основные результаты. Сначала приведем условия, при которых наблюдается глобальная устойчивость многообразия MV(N\, 1), определяющего синхронизацию между одномерными цепочками по jf-му направлению двумерной решетки (2.1). Используя обозначения запишем систему (2.1) с граничными условиями типа Неймана в вариационном виде с граничными условиями 0j- = Фі,.,-, ФІ,О = Фг,лг2 = 0, ФдГі+ij = Флги - Здесь, A(t) = fx(x ) скалярная функция, ( ()) = fy(y ) и B(t) = д х{х ) являются (т— 1)— векторными функциями столбцами, Л() = д у(у ) (га — 1) х (га — 1) матрица Якоби, x {t) Є [xij,X{j+i] и у {і) Є [yij,yi,j+i] значения из теоремы Лагранжа о среднем значении, и они зависят от времени в силу решений системы (2.3). Эта система идентична индивидуальной подсистеме системы (2.3) за исключением того, что A(t) заменена на —а. Справедливо следующее утверждение. Утверждение 1. (достаточные условия синхронизации цепочек двумерной решетки в j-ом направлении). Предположим, что существует положительно определенная функция Ляпунова с некоторой симметричной матрицей Н такой, что производная в силу системы (2.4) отрицательно определена для любых функций ot(t), c(t), B(t) порожденных решением системы (2.3). Тогда многообразие MV(N\, 1) глобально асимптотически устойчиво для Доказательство утверждения приведено в Приложении 1. Параметр а 0, замещающий производную /, которая может менять знак, является минимальным затуханием переменной х, необходимым для того, чтобы сделать систему сравнения (2.4) глобально асимптотически устойчивой. Изучим условия устойчивости (4.35). Если v 1 тогда Ъ 0 и система (2.3) глобально асимптотически устойчива. Поэтому тривиальное поведение индивидуального осциллятора решетки определяется состояниями равновесия. Если 0 v 1, тогда Ь = max j x 0, осцилляторы решетки могут демонстрировать сложное индивидуальное поведение и справедливо неравенство 2 (а + Ь)/2. Для условий устойчивости (4.35) существует еще одно ограничение при фиксированном А : N2 Int(7r/arccosz/2)- Таким образом, получены следующие достаточные условия глобальной устойчивости многообразия синхронизации Mu(iVi, 1), связывающие коэффициенты связи и параметры индивидуальной подсистемы: е2 {a + b)/4sin2(7r/2iV2). (2.8) Заметим, что подобные достаточные условия синхронизации цепочек двумерной решетки могут быть записаны для двух направлений решетки в следующем виде m e f = (a + 6)/4sin2(7r/2iVm), m = l,2. (2.9) Утверждение 2. (достаточные условия полной синхронизации). Если Ni N2, тогда _suf -. _suf fcl - fc2 » и полная синхронизация всех осцилляторов двумерной решетки моэюет быть достигнута изменением коэффициентов связи вдоль "диагонали"е = S\ = 2 в (єі,Є2) пространстве параметров. Сначала происходит синхронизация между одномерными цепочками в j-ом направлении, затем наступает синхронизация между осцилляторами внутри синхронизированных линий.
Двумерная решетка неидентичных осцилляторов Ресслера
Будем использовать следующие символьные равенства. Пусть a.iujuki — a,i2,j2,k2 означает, что два осциллятора синхронизированы между собой (Х = Xi2) и, аналогично, равенства РХх — РІ2 (R1 = R\2 С\х = Cj2) означают синхронизированность плоскостей (строк, столбцов).
Инвариантные многообразия в трехмерных решетках определяются точно так же, как и в случае двумерных решеток в Главе 2.
Определение. Если существует такое отображение Т : M{d) —- MQ, что система (3.1) под действием Т приобретает вид dxm совместных уравнений, то система (3.1) имеет инвариантное многообразие синхронизации M(d), соответствующее d кластерам синхронизированных осцилляторов.
Следовательно, (так же, как и в Главе 2) d базовых элементов матрицы А несинхронизированы между собой, а поведение всех остальных г = Ni х N2 х Щ — d элементов совпадает с этими d базовыми элементами. В то же время г х га уравнений в (3.1) становятся линейно зависимы от dxm базовых элементов. Число qi,q2, ...,qd осцилляторов в каждом кластере определяется отобра d жением Т и удовлетворяет естественному условию Y1 Яр = N\ X N2 X N3. р=1 Кластерная синхронизация в решетке представляется через распределение базовых элементов кластера в фазовом пространстве Мо, когда каждый элемент кластера встречается qp раз и располагается в местах, определенных отображением Т. Обозначим распределение инвариантного многообразия через M(d). Далее будет использоваться следующее обозначение для распределения M(d) = М(пьп2,п3) = [{гк,...,Ггп..}] {cjiy...ycjn...); {ykl, ...,vkl,..}], где каждый символ г,-,, Z = 1, nL; с , / = 1,п2; и vkn I = 1,щ повторяется qi,..,qni (Яп2) (Япз) Р33» соответственно, и располагается в месте, определенном отображением Т. Таким образом, место каждого символа гг/, Cjt и vkl ( I = 1,пі; І = 1,п2; І = 1,щ) в подмножествах определяет место каждого осциллятора в г -ом, J -OM и к-ои направлении решетки, соответственно. Элементы, принадлежащие одному и тому же кластеру в одном из направлений решетки обозначены символом с одинаковым индексом. Так же, как и в случае двумерной решетки (Глава 2), связь между элементами системы (3.1) организована таким образом, что связь элемента с диагональными элементами отсутствует и, следовательно, пространственно -временное поведение двумерных решеток Р1 в одном из направлений решетки совпадает с поведением элементов одномерной цепочки, а пространственно -временное поведение строк или столбцов совпадает с поведением двумерной решетки. Решетку А можно рассматривать как одномерную цепочку плоскостей Р1 в каждом из трех направлений решетки, где элементы (Р1, Р2, ...,PN) = А (N = Ni; iV2; N3, соответственно) представляют набор двумерных решеток, следовательно, многообразия синхронизации, приведенные во второй главе, так же существуют и в трехмерной решетке. Пусть система (3.1) имеет неймановские или периодические граничные условия. Тогда выполняется следующее: 1) Существует симметричное инвариантное многообразие двумерных решеток MJ(ni,iV2, JV3) с ni = int((iVi + 1)/2), определяемое отображением ТІ : {XNl_i+1J k = XiJ k = Uij , і = 1,2,..., int((iVi + 1)/2), j = 1,2,..., N2, к = 1,2,..., N3}. Распределение многообразия .MJ(ni,iV2,iV3) имеет вид М;(пі,АГ2,ЛГ3) = [{ri,r2...,rni_i,rn,rni_i,...,r2,ri}; {cbc2,...,Civ2}; { ъ 2 "ч лг3}] для нечетного числа осцилляторов iVi = 2тіі — 1, составляющих решетку в г-ом направлении и вид Mrs(ni,N2,Nz) = [{ri,r2...,rni,rni,...,r2,ri}; {cuc2,...,cN2}; {v1,v2i-,vN3}] для четных N1 = 2тгі. 2) Система (3.1) имеет асимметричное инвариантное многообразие 3) В системе (3.1) существуют подобные инвариантные многообразия в j-ом и к-ои направлениях решетки: симметричное многообразие Mg(Ni,n2,Nz), гДе п2 = int((iV2 + 1)/2), Mg(Ni,N2,n3), гдеn3 = int((AT3+1)/2) и асимметричное многообразие синхронизации M(iVi,n2, N3) с N2 = j?2 п2 и M (Ni,N2,ns), где N3=P3- Щ. Отдельные осцилляторы одномерной цепочки, вовлеченные в режим кластерной синхронизации, вводятся здесь как двумерные решетки в третьем направлении объемной решетки. Таким образом, например, в случае нечетного N\ = 2п\ — 1 динамика в MJ(ni, N2, N$) определяет режимы кластерной синхронизации, при которых двумерные решетки синхронизированы попарно относительно средней решетки Рщ, которая не имеет пары и остается несин-хронизированной, т.е. Р1 = PNl, Р2 = pN l и так далее. В случае периодических граничных условий каждый элемент трехмерной решетки может рассматриваться как первый в каждом из направлений решетки. Следовательно, решеточная система (3.1), составленная из N\X N2x N3 имеет N\ — 1 дополнительных инвариантных многообразий М и М, а также 7V2 — 1 многообразий М и М и N3 — 1 дополнительных многообразий синхронизации М и М". Пусть осцилляторы решетки синхронизированы в одном, скажем к-ом, направлении так, что двумерные решетки К1 = К2 — ... = KNl = К. Рассмотрим двумерные решетки К, как одномерные цепочки строк (столбцов): К = (Ri, R2,..., RNI) {К = (Сі, С2,..., Слг2)). Тогда режимы кластерной синхронизации одномерной цепочки синхронизированных элементов имеют иерархию и вложение многообразий идентичные случаю одномерной цепочки. Синхронизация двух элементов Ril = і?г-2 (С;1 = Cj2) означает совпадение амплитуд всех элементов строки (столбца) Ri1 (С ) с Ri2 (Сг-2). Если трехмерная решетка синхронизирована в двух, скажем в к-ои и j-ом, направлениях, тогда решеточная система идентична одномерной цепочке в г-ом направлении. Можно интерпретировать это тривиальное утверждение, как полную синхронизацию К плоскостей с последующей синхронизацией столбцов Cj в К и синхронизацию J плоскостей с последующей синхронизацией строк Я . В системе (3.1) существует семейство пересечения многообразий синхронизации Mxa(ni,n2,n2) = Mla(nuN2,N3)r[Mla{Nun2,N3)C]Mla(N1,N2,n3), являющееся пересечением любых многообразий синхронизации по строкам, столбцам или вертикалям, существующим в случае одномерной цепочки. Таким образом, многообразие Мх(пі,7г2,пз) определено системой отображений (Tr,Tc,Tv) и имеет пространственное распределение Мх(тгі,п2,пз) = Мг Р) Мс Р) Mv. Размерность многообразия dimMx = п\ п2 щ т и 7ij,fc, с г = 1,7 , j = 1,п2 и к = 1,п3 - координаты в Мх(пі,п2,пз). Существование пересечения многообразий синхронизации Мх(пі,П2,Пз) означает, что кластерное многообразие трехмерной решетки (3.1) имеет структуру топологического произведения многообразий кластерной синхронизации, существующих в трех направлениях решетки. Для различных чисел iVi,iV2, и Л з многообразия P,J ,Kk могут быть довольно сложными, поэтому сложность объемных кластеров возрастает, как произведение. Рассмотрим кубическую решетку (3.1) (Ni = iV2 = N3 = N) с равными связями между элементами в трех направлениях решетки с периодическими граничными условиями или граничными условиями типа Неймана.
