Введение к работе
Актуальность работы. Одним из интересных и важных направлений в нелинейной динамике является изучение систем, находящихся под внешним воздействием (неавтономных систем). Так, исследование вынужденных колебаний осциллятора подарило науке понимание многих важных феноменов, таких как резонанс, который успешно используется для фильтрации сигналов. С развитием нелинейных представлений, особенно, концепции динамического хаоса, интерес к неавтономным осцилляторам значительно возрос, поскольку оказалось, что многие из них при элементарном гармоническом воздействии демонстрируют сложное поведение и хаос.
Переход к исследованию более сложных систем на основе нелинейного осциллятора возможен двумя путями. Первый, часто используемый – это цепочки и решетки на основе осциллятора. Второй – изменение формы внешнего воздействия, например, квазипериодическое.
Известно, что в динамике нелинейных систем при квазипериодическом воздействии переходу к хаосу предшествует рождение странного нехаотического аттрактора. Впервые странные нехаотические аттракторы были описаны в работе Гребоджи, Отта и Йорка в 1984 году. С этого момента их исследованию посвящено немало работ. Странные нехаотические аттракторы характеризуются совмещением свойств регулярных режимов и хаоса, они устойчивы по Ляпунову, однако, обладают фрактальной структурой. Спектр колебаний, соответствующий странному нехаотическому аттрактору, является сингулярно-непрерывным. В большинстве публикаций, посвященным динамике систем со странными нехаотическими аттракторами, уделяется внимание исследованиям математических моделей. Экспериментальные работы встречаются крайне редко. Для численного анализа систем со странными нехаотическими аттракторами чаще привлекаются дискретные модели: в виде квадратичного отображения и отображения Эно с дополнительным воздействием, в тоже время редко используются дифференциальные модели.
Анализ известных результатов позволяет выделить ряд проблем, которые требуют дополнительного исследования.
Мало изучена структура пространства управляющих параметров нелинейного осциллятора при квазипериодическом воздействии.
Одна из проблем при изучении систем со странными нехаотическими аттракторами связана с идентификацией колебательных режимов. В настоящее время для определения перехода к странному нехаотическому аттрактору наиболее широко используются методы фазовой чувствительности и рациональных аппроксимаций. Первый хорошо себя зарекомендовал при анализе дискретных моделей, второй – в физическом эксперименте. Однако, при изучении дифференциальных моделей эти методы оказываются громоздкими, что влечет к поиску иных методов идентификации странных нехаотических аттракторов.
Переход от одиночного осциллятора к связанным осцилляторам, а затем к цепочкам и решеткам, традиционно в теории колебаний и волн является классическим приемом исследования и рассматривается как промежуточный этап при последовательном переходе к волновым процессам. Однако, исследования динамики связанных нелинейных осцилляторов были ограничены случаем синфазного воздействия, а случай произвольного иррационального соотношения частот внешнего воздействия не рассматривался.
В общем случае для неавтономных систем можно выделить два типа динамических переменных – отражающие состояние системы и характеризующие фазу воздействия. При иррациональном соотношении частот воздействия, динамика неавтономных систем инвариантна по отношению к начальной фазе или разности начальных фаз гармонических составляющих воздействия. Каковы последствия нарушения инвариантности в динамике системы и структуре пространства управляющих параметров?
Таким образом, тематика диссертационной работы затрагивает сферы фундаментальных вопросов радиофизики, нелинейной динамики и теории колебаний. В первую очередь это касается закономерностей перехода, связанных с рождением странного нехаотического аттрактора, методов идентификации различных режимов колебаний, структуры пространства параметров дискретных и дифференциальных моделей нелинейного осциллятора при квазипериодическом воздействии, влияния нарушения инвариантности динамики по отношению к разности начальных фаз воздействия, динамики связанных систем при иррациональном соотношении частот воздействия.
Цель диссертационной работы состоит в исследование динамики и структуры пространства управляющих параметров неавтономного нелинейного осциллятора и связанных систем на его основе при рациональном и иррациональном соотношении частот воздействия.
Для достижения цели решались следующие основные задачи.
-
Последовательное экспериментальное исследование динамики и структуры пространства управляющих параметров диссипативного нелинейного осциллятора с различным профилем потенциальной ямы при двухчастотном воздействии.
-
Разработка методики построения структуры пространства параметров дифференциальных моделей при квазипериодическом воздействии.
-
Численное исследование дискретных моделей при двухчастотном воздействии.
-
Исследование дифференциальных моделей при квазипериодическом воздействии.
-
Экспериментальное и численное исследование динамики и структуры пространства управляющих параметров в системе нелинейных осцилляторов с резистивной и емкостной связью при иррациональном соотношении частот воздействия.
Для достижения поставленных целей сконструированы радиофизические объекты, способные демонстрировать сложную динамику, созданы экспериментальные установки для их исследования. В качестве таковых в эксперименте выступают неавтономные колебательные контуры с полупроводниковым диодом и кусочно-линейной емкостью. Проводится исследование их поведения в возможно более широкой области изменения управляющих параметров. Затем выбирается диапазон значений параметров, при которых объект характеризуется определенным набором свойств и проводится предварительное изучение более сложной системы (с дополнительным воздействием или связанных объектов). Следующий шаг – исследование в более широкой области управляющих параметров. Для модельных дискретных и дифференциальных систем на основе оценки компоненты автокорреляционной функции отработан метод построения структуры разбиения пространства управляющих параметров на области существования различных режимов колебаний.
Научная новизна:
проведено комплексное экспериментальное исследование семейства нелинейных осцилляторов с различными формами потенциальной ямы при периодическом и квазипериодическом внешнем воздействии;
предложен и апробирован простой метод исследования структуры пространства параметров на основе оценки компоненты автокорреляционной функции;
проведено экспериментальное и численное исследование влияния нарушения инвариантности динамики системы по отношению к разности начальных фаз воздействия;
проведено численное исследование структуры пространства управляющих параметров дифференциальных моделей нелинейных осцилляторов с различными формами потенциальной ямы при квазипериодическом внешнем воздействии;
проведено детальное экспериментальное и численное исследование динамики связанных нелинейных осцилляторов с иррациональным соотношением частот воздействия. Построены карты динамических режимов, отработана методика регистрации странных нехаотических аттракторов.
Практическая значимость работы.
Полученные результаты полезны для специалистов, занимающихся исследованием нелинейных систем при двухчастотном воздействии, в частности, параметрических усилителей, генераторов и умножителей на основе варакторных диодов в режиме больших сигналов, как разделы в курсах теории колебаний и волн.
Достоверность полученных результатов основывается на соответствии выводов экспериментальных исследований и численного анализа моделей, совпадении результатов при использовании различных методов идентификации колебательных режимов (спектральных, наблюдений проекций фазовых портретов, их сечений Пуанкаре, на основе оценки размерностных характеристик и старших ляпуновских показателей), воспроизводимости экспериментов, использовании стандартной измерительной аппаратуры, отработанных численных методов решений алгебраических и дифференциальных уравнений, а так же отсутствием противоречий с известными в литературе достоверными результатами.
Личный вклад соискателя. Соискатель участвовал в постановке задач, разработке и обосновании методов их решения, интерпретации результатов численных и радиофизических экспериментов. Обсуждение и обобщение результатов, а также экспериментальные исследования проводились совместно с научным руководителем д.ф.–м.н. Е.П. Селезневым. Соискателем был подготовлен комплекс программ и проведены численные исследования дискретных и дифференциальных моделей. Он принимал участие в разработке и изготовлении экспериментальных макетов. Им проведено ряд экспериментальных и численных исследований, обеспечена иллюстрация результатов.
Апробация работы и публикации.
Основные материалы работы представлялись на: Second Interdisciplinary School on Nonlinear Dynamics for System and Signal Analysis (EUROATTRACTOR 2001), международной конференции «Проблемы фундаментальной физики» (2000), Всероссийских конференциях "Нелинейные колебания механических систем" (Нижний Новгород, 2002, 2005), Всероссийских школах "ХАОС" (Саратов, 2001, 2004), конференции молодых ученых «Нелинейные волновые процессы». (Н. Новгород, 2004), на International symposium “Topical problems of nonlinear wave physics”( Н. Новгород, 2005), XIII научной школе "Нелинейные волны-2006", (Н.Новгород, 2006.), конференции молодых ученых, аспирантов и студентов НОЦ СГУ "Нелинейная динамика и биофизика". (Саратов 2002, 2003), 2-ой конференции молодых ученых «Наноэлектроника, нанофотоника и нелинейная физика» (Саратов 2007), школе-конференции “Нелинейные дни в Саратове для молодых” (2003 – 2006 гг.), научных семинарах кафедры электроники, колебаний и волн факультета нелинейных процессов СГУ и СФ ИРЭ РАН.
Работы были поддержаны: грантами CRDF (REC-006) для студентов, грантом Президиума РАН для молодых ученых, грантами РФФИ № 99-02-17735, № 02-02-17578, грантами Фонда некоммерческих программ «Династия».
Основные результаты работы представлены публикациями в российских научных журналах, рекомендованных ВАК для публикации диссертационных работ. По теме диссертации опубликовано 27 работ (6 статей в рецензируемых журналах, 11 статей в сборниках трудов научных конференций, 10 тезисов докладов).
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы. Общий объем диссертации – 130 страницы, в том числе 58 рисунка и библиография из 155 наименований.
