Содержание к диссертации
Введение
1. Модели и методы решения задач фильтрации случайных процессов полей в статистически неоднозначных ситуациях 15
1.1. Анализ известных методов и подходов к решению задачи фильтрации процессов в условиях наличия пропусков и лодсных наблюдений 16
1.2. Каузальные и полу каузальные модели случайных полей и их преобразование в форму разностных векторных уравнений 26
Выводы по главе 34
2. Рекуррентные алгоритмы оптимальной фильтрации случайных полей на двумерных сетках произвольной формы 36
2.1. Модель марковского случайного разделимого поля и ее модификации при наличии границ произвольной формы и внутренних пораженных участков 37
2.2. Общий подход к синтезу линейных алгоритмов рекуррентной фильтрации и основные соотношения для задач обработки случайных полей с внешней и внутренней границей произвольной формы 49
2.3. Синтез и анализ алгоритмов фильтрации при наличии совокупности внутренних локальных пораженных участков 59
2.4. Синтез и анализ алгоритмов фильтрации в условиях статистической неопределенности относительно границы раздела случайных полей 67
2.5 Адаптивный нелинейный алгоритм фильтрации при неопределенности параметров пространственной корреляции 75
Выводы по главе 82
3. Алгоритмы фильтрации случайных процессов и полей с марковской структурой пространства наблюдений 85
3.1 Методика синтеза алгоритмов оптимальной линейной фильтрации в условиях пропусков и ложных наблюдений 86
3.2 Синтез и анализ алгоритмов фильтрации параметров динамических систем в условиях наличия коррелированной последовательности пропусков наблюдений 92
3.3 Синтез и анализ алгоритмов фильтрации параметров динамических систем в условиях наличия коррелированной последовательности ложных наблюдений 102
3.4 Синтез и анализ алгоритмов рекуррентной фильтрации случайных полей со случайной марковской структурой пространства наблюдений 109
Выводы по главе 128
4 Применение синтезированных алгоритмов рекуррентной фильтрации случайных процессов и полей для обработки информации в статистически неопределенных ситуациях 130
4.1 Реализация алгоритма адаптивной фильтрации для обработки результатов экспериментальных исследований и испытаний радиопеленгационных систем 130
4.2. Исследование алгоритмов фильтрации при обработке реальных изображений в присутствии аддитивных и аппликативных помех 141
Выводы по главе 153
Заключение 155
Литература 159
- Каузальные и полу каузальные модели случайных полей и их преобразование в форму разностных векторных уравнений
- Общий подход к синтезу линейных алгоритмов рекуррентной фильтрации и основные соотношения для задач обработки случайных полей с внешней и внутренней границей произвольной формы
- Синтез и анализ алгоритмов фильтрации параметров динамических систем в условиях наличия коррелированной последовательности пропусков наблюдений
- Исследование алгоритмов фильтрации при обработке реальных изображений в присутствии аддитивных и аппликативных помех
Введение к работе
В последние десятилетия развитие цифровой и вычислительной техники и ее применение в разнообразных системах радиосвязи, радиолокации, аэрокосмического мониторинга земной поверхности позволило существенно расширить круг решаемых задач обработки сигналов и изображений. В подобных системах актуальна проблема обработки информации, получаемой в присутствии аддитивных и апплнкативных помех от распределенных в пространстве первичных датчиков различной физической природы. Заметно усилился интерес к синтезу оптимальных радиоэлектронных (оптикоэлектронных) систем, работающих в сложных условиях при разнообразной и динамической помехо-вой обстановке. В этих обстоятельствах только эвристика и инженерная интуиция, как подтверждает практика, не позволяют создавать достаточно совершенную аппаратуру. Лишь систематическое освоение теоретических методов позволяет формализовано выработать руководящие принципы и алгоритмы создания радиоэлектронных (оптикоэлектронных) систем. Необходимость математического описания изображений, получаемых с помощью систем дистанционного зондирования, привела к развитию аппарата случайных полей, заданных на многомерных сетках. Описание сигналов и помех с помощью пространственно-временных случайных процессов и полей в информационных системах позволяет приблизить математические модели к реальным помеховым условиям в самых различных ситуациях.
Одним из фундаментальных теоретических методов синтеза систем является марковская теория оптимальной фильтрации - оценивания случайных процессов и полей, опирающаяся на теорию условных марковских процессов. Нелинейная марковская теория оценивания была развита в 1959-1960 гг. Р, Л, Стратоновичем в его основополагающих работах [63, 64, 65]. Все известные и широко применяемые на практике методы линейного оценивания гаус-совских случайных процессов Колмогорова-Винера и Калмана-Бьюси представляют собой лишь частный случай методов марковской теории оценива-
ния [71]. Оптимальные алгоритмы линейной и нелинейной фильтрации нестационарных гауссовских процессов для дискретного и непрерывного времени были получены Р. Е. Калманом и Р. С. Быоси в 1960-1961 гг. [88, 89]. Дальнейшее развитие марковская теория оценивания получила в работах Г. Дж. Кушнера [90, 91], В. И. Тихонова [68, 70, 72], Н. К. Кульмана [69], Ю. Г. Сосулина [60, 61], М. С. Лрлыкова [82, 83, 84], Д. В. Куликова [28], А. В. Экало [28, 44] и д. р.
Задача оптимального оценивания случайных процессов или полей сводится к наилучшему (оптимальному) в определенном смысле восстановлению их реализаций по результатам наблюдений, искаженных помехами. Марковская теория оптимального оценивания предоставляет математический аппарат, предназначенный для проектирования оптимальных (или квазиоптимальных) динамических систем фильтрации случайных сигналов и полей. Методы и алгоритмы марковской теории оценивания непосредственно ориентированы на применение цифровой техники. Быстрое развитие цифровой техники, рост быстродействия процессоров и емкости запоминающих устройств оказывают встречное стимулирующее влияние на развитие теории оптимальной фильтрации, позволяя реализовывать и внедрять все более сложные и ресурсоемкие алгоритмы. Отметим, что марковская теория оценивания случайных процессов и полей имеет весьма широкую сферу применения. Многие задачи, решаемые в таких областях как статистическая физика, биология, радиолокация и радионавигация, гидроакустика, экология и т. д., объединяются статистической теорией обработки изображений и пространственно-временных сигналов на фоне помех. Несмотря на различие физического существа перечисленных задач, все они имеют общую информационную сущность, которая может быть представлена как проблема оценивания (фильтрации, восстановления) ненаблюдаемых параметров сигналов и полей по их наблюдаемым параметрам в присутствии шумов.
Несмотря на многочисленные публикации, касающиеся проблем статистической обработки случайных процессов и полей на основе теории марковской
фильтрации, многие практически важные задачи пока не нашли удовлетворительного решения. Эти задачи могут быть объединены общим фактором — наличием различного рода аномальных состояний и/или аномальных входных наблюдаемых данных (пропусков, ложных наблюдений) в задачах оценивания процессов, описывающих поведение реальных динамических систем. Для обработки случайных полей характерна ситуация, когда область определения случайного поля имеет произвольно неправильную форму (иногда в область определения попадает несколько полей с различной статистической структурой или случайное поле имеет внутренние пораженные участки, имеющие существенно отличную текстуру). Причин возникновения подобных явлений множество: сами исследуемые объекты могут иметь неправильную форму и внутренние образования, не несущие полезной информации, некоторые участки могут быть непоправимо испорчены техногенными факторами, отдельные фрагменты могут быть закрыты для наблюдения и т. п. [1, 13, 23, 58]. С математической точки зрения при проведении последовательных наблюдений (сканировании изображений) подобные факторы выражаются в изменении структуры и размерности пространства состояний и пространства наблюдений, которое имеет зависимый и, в частности, марковский характер.
В ряде работ [42, 44, 55] предложен методический подход для решения подобных задач в случае, когда процесс поступления аномальных наблюдений на вход алгоритмов рекуррентной фильтрации носит независимый характер. Однако используемые при этом модели и полученные на их основе результаты не учитывают структурный, зависимый во времени характер возникающих ано-мальных явлений, что требует развития методического аппарата для проведе- \ ния синтеза и анализа соответствующих алгоритмов фильтрации.
Таким образом, тема диссертации, посвященная обоснованию моделей случайных процессов и полей и синтезу алгоритмов их оценивания в статистически неоднозначных ситуациях, связанных с возникновением аномальных состояний и наблюдений, является актуальной.
Тема диссертации непосредственно связана с плановыми научно-исследовательскими работами, выполняемыми в ВГУ и других организациях.
Целью работы является разработка и исследование оптимальных и квазиоптимальных рекуррентных алгоритмов оценивания случайных процессов и полей для моделей, учитывающих изменение пространства состояний и наблюдений марковского характера, связанные с возникновением различного рода аномальных воздействий,
Для достижения цели в работе рассматриваются и решаются следующие задачи.
Анализ известных методов и подходов к решению задачи рекуррентной фильтрации для векторной формы представления случайных процессов и полей в условиях наличия пропусков и ложных наблюдений, а также областей определения — двумерных сеток (для случайных полей) произвольной формы.
Синтез и анализ алгоритмов линейной и нелинейной фильтрации марковских разделимых случайных полей на двумерных сетках произвольной формы, с внутренними пораженными участками и неоднородностями, а также при наличии неопределенности относительно коэффициентов пространственной корреляции.
Синтез и анализ алгоритмов линейной фильтрации параметров динамических систем в условиях коррелированных последовательностей пропусков и ложных наблюдений.
Обоснование модели обработки векторных случайных процессов и полей со случайной марковской структурой пространства наблюдений и синтез соответствующих алгоритмов оптимальной фильтрации.
Определение работоспособности и проведение сравнительного анализа характеристик полученных алгоритмов методами статистического моделирования на ЭВМ при обработке данных натурного эксперимента; теоретическая и физическая интерпретация полученных результатов.
Методы проведения исследования. При решении поставленных В диссертации задач использовались аналитические и вычислительные методы современного математического аппарата статистической теории систем, а именно:
а) аппарат теории вероятностей и математической статистики;
б) аппарат теории марковской оптимальной линейной и нелинейной фильт
рации;
в) современные численные методы и методы программирования;
г) аналитические методы математического анализа;
д) методы моделирования и анализа на ЭВМ.
Основные результаты, выносимые на защиту. На защиту выносятся следующие результаты, впервые достаточно подробно развитые или полученные в настоящей работе:
Уточненная модель марковского разделимого случайного поля с внешними и внутренними границами произвольной формы, обусловленными наличием внутренних пораженных участков, и синтезированные на ее основе рекуррентные алгоритмы фильтрации - оценивания подобных полей в присутствии аддитивного шума.
Адаптивный алгоритм нелинейной фильтрации марковских случайных полей при неизвестных коэффициентах пространственной корреляции и рекомендации по его применению для восстановления пространственно-частотного распределения систематической ошибки радиопеленгования при обработке данных натурного эксперимента.
Оптимальный и квазиоптимальные алгоритмы линейной фильтрации изменяющихся во времени параметров динамических систем в условиях наличия статистически зависимых последовательностей пропусков и ложных наблюдений.
Предложенная модель наблюдений случайных процессов и полей со случайным марковским изменением размерности и состава вектора наблюдае-
мых параметров и уравнения, описывающие синтезированный на основе введенной модели обобщенный оптимальный линейный фильтр.
Научная новизна. Научная новизна основных результатов работы определяется следующим.
1. Проведено уточнение моделей марковских разделимых случайных полей на двумерных сетках произвольной формы с внешними и внутренними границами, в том числе и при наличии множества внутренних пораженных участков, и получены векторные разностные уравнения состояний, описывающие построчный процесс формирования реализаций полей. Для задачи фильтрации случайных полей, заданных на двумерных сетках прямоугольной формы и разделенных границей произвольной формы, предложена модель «конфликтного» представления процесса их наблюдения, как ситуации взаимного закрытия краевых компонентов. Для предложенных моделей синтезированы и исследованы три класса алгоритмов фильтрации при построчных наблюдениях: оптимальный линейный фильтр, основанный на использовании линейных операторов уравнения состояний, изменяющихся специальным образом в соответствии с законом изменения внешней и внутренней границы; условно-линейный фильтр, синтезируемый при стационарной форме уравнения состояний и переменной структуре оператора наблюдений, которая учитывает изменения размерности и состава вектора состояний, вызванные наличием внешних и внутренних границ как появления пропусков соответствующих компонентов наблюдений; линейный квазиопта мольный фильтр, основанный на доопределении «пропущенных» компонентов вектора наблюдений компонентами вектора их оценки и на задании вероятностных характеристик пропусков компонентов наблюдений, соответствующих внешним и внутренним границам. Проведен сравнительный анализ характеристик полученных алгоритмов и показано, что точностные характеристики оптимального и квазиоптимальных алгоритмов отличаются не более, чем на 10 - 20% в наихудшей ситуации (то есть при оценки краевых компонентов случайных полей).
2. Предложена квазиоптимальная реализация адаптивного нелинейного ал
горитма фильтрации случайных марковских полей при неизвестных параметрах
пространственной корреляции, основанная на дискретизации области неопре
деленности, и выполнены исследования точности оценивания в зависимости от
числа точек дискретизации значений коэффициентов пространственной корре
ляции. Показано, что уже при числе точек дискретизации по каждой из осей
3...4 обеспечивается дисперсия ошибки оценивания, отличающаяся не более
чем на 5-10% от потенциально достижимой. Это позволило сделать вывод о
возможности организации обработки на основе совокупности из 9.. .16 парал
лельно действующих линейных фильтров, выходные данные которых в виде
условных рекуррентных оценок суммируются с весами, пропорциональными
функциям правдоподобия значений параметров пространственной корреляции.
Получены оптимальный и квазиоптимальный алгоритмы линейной фильтрации, обеспечивающие оценку параметров состояния динамической системы в ситуациях наличия статистически зависимых последовательностей пропусков и ложных наблюдений, описываемых марковской цепью с двумя состояниями, В ходе моделирования показано, что в этих ситуациях различие теоретической дисперсии ошибки оценивания от реальной для известных алгоритмов фильтрации составляет от 30 до 50%, в то время как для синтезированных фильтров имеется практически полное совпадение теоретических дисперсий ошибки с результатами модельного эксперимента и наличие определенного выигрыша (до 20%) в качестве обработки.
Для задачи фильтрации случайных процессов и полей, описываемых векторными разностными уравнениями, предложена модель с марковским изменением структуры пространства наблюдений, описывающая возникновение случайного количества пропусков и ложных наблюдений в случайном наборе компонентов вектора наблюдений. На основе введенной модели впервые получены рекуррентные уравнения для квазиоптимального и оптимального фильтров, реализующие обобщение известных результатов для условий наблюдений, описываемых предложенной моделью и позволяющие получать известные рс-
зультаты как частные случаи. Получены зависимости для дисперсии ошибки оценивания процессов и полей от вероятностей переходов марковской цепи, описывающей процесс изменения структуры пространства наблюдений. Для оптимального линейного фильтра по отношению к известным алгоритмам фильтрации показано наличие выигрыша от 20 до 50% в точности оценивания в условиях статистически зависимых в дискретном времени пропусков и существенного уровня аддитивных шумов, сопровождающих наблюдения.
Практическая значимость работы. Практическая значимость результатов работы состоит в том, что синтезированы алгоритмы, позволяющие осуществлять обработку в реальных условиях появления различного рода неод-нородностей в структуре процессов и полей (наличия границ случайной формы; локальных областей аномальных значений; пораженных участков и т.д.), а также аномальных наблюдений. Полученные в работе теоретические соотношения и экспериментальные зависимости для характеристик точности оценивания позволяют обоснованно выбрать необходимые алгоритмы, а также параметры проектируемых и разрабатываемых информационных систем и устройств в соответствии с требованиями, предъявляемыми к эффективности алгоритма обработки и степени простоты его аппаратной или программной реализации. ' Результаты работы могут найти практическое применение при исследовании и разработке: систем аэрокосмического мониторинга земной поверхности; систем радиолокации и навигации; радиопеленгациейных систем; систем обработки информации в медицинской и технической диагностике; измерительных систем; систем экологического контроля.
Реализация результатов работы. Полученные в диссертации результаты использованы при выполнении НИОКР в 5 НИИИ МО РФ, ФГУП «Воронежский НИИ Связи», а также НТЦ «Версия», что подтверждается соответствующими актами реализации.
Апробация работы. Основные положения диссертационной работы докладывались и обсуждались на:
Всероссийской научно-технической конференции «Проектирование научных и инженерных приложений в среде MATLAB», Москва, ИПУ РАН, 2002.
VIII Международной научно-технической конференции «Радиолокация, навигация, связь», Воронеж, 2002 г.
II Научно-практическая конференция «Мониторинг земель в системе управления земельными ресурсами регионов России», Воронеж, 2003 г.
IX Международной научно-технической конференции «Радиолокация, навигация, связь», Воронеж, 2003 г.
X Международной научно-технической конференции «Радиолокация, навигация, связь», Воронеж, 2004 г.
V Международной научно-технической конференции «Кибернетика и технологии XXI века», Воронеж, 2004 г.
Публикации. По теме диссертации опубликовано 13 работ, в том числе 4 статьи в центральной печати и раздел коллективной монографии «Марковская теория оценивания в радиотехнике» (под ред. М. С. Ярлыкова). В работах [31, 38, 39, 45] рассмотрено решение задачи рекуррентной фильтрации случайных марковских полей, определенных на двумерных сетках произвольной формы, а в' работах [32, 34, 36, 37, 40, 92] - вопросы рекуррентной фильтрации случайных процессов и полей со случайной марковской структурой пространства наблюдений. Несколько частных случаев применения алгоритмов рекуррентной фильтрации рассмотрено в работах [30, 33, 35].
Объем и структура диссертационной работы. Диссертация состоит из введения, четырех разделов, заключения и списка литературы, включающего 94 наименования. Объем диссертации составляет 168 страниц, включая 158 страниц основного текста и 10 страниц списка литературы.
Содержание работы. В первой главе диссертации рассматриваются известные модели и алгоритмы статистической обработки случайных процессов и полей, предназначенные для получения информации о процессах и явлениях, развивающихся во времени и пространстве. Особое внимание уделяется алгоритмам оценки параметров динамических систем в статистически неоднозначных ситуациях, рассматриваются подходы к решению задачи рекуррентной фильтрации случайных процессов. Анализируются и обсуждаются причины возникновения аномальных эффектов в моделях состояний и наблюдений, приводятся характерные примеры, возникающие при обработки случайных процессов и полей. Обсуждаются некоторые современные математические модели, применяемые для обработки изображений в задачах восстановления, сглаживания, улучшения, а также их использование для проведения синтеза алгоритмов рекуррентной фильтрации в рамках марковской теории.
Во второй главе проводится разработка модели марковского случайного разделимого поля и ее модификаций при наличии границ произвольной формы и внутренних пораженных участков. Предлагается несколько различных вариантов моделей полей, определенных на сетках произвольной формы. На основе разработанных моделей проводится синтез и анализ оптимальных и квазиоптимальных алгоритмов обработки полей изображений с границами произвольной (случайной) формы или при наличии внутренних пораженных участков, а также перекрытия двух полей в области наблюдения. Проведен сравнительный анализ полученных алгоритмов, рассмотрены вопросы ресурсоемкости и практической реализуемости. Рассмотрен адаптивный нелинейный алгоритм фильтрации, способный работать в условиях неопределенности относительно параметров пространственной корреляции случай но го поля.
Третья глава диссертационной работы посвящена вопросам появления различного рода неоднородностей в структуре процессов и полей: наличия границ случайной формы; локальных областей аномальных значений; пораженных участков. Рассмотрена методика, позволяющая проводить синтез алгоритмов линейной фильтрации в условиях пропусков и ложных наблюдений. На осыо-
вании данной методики проведен синтез алгоритмов фильтрации параметров динамических систем в условиях коррелированных последовательностей пропусков и ложных наблюдений. Предложена модель поля со случайным изменением размерности и структуры пространства наблюдений. В рамках этой модели рассмотрен подход к построению квазиоптимального и оптимального рекуррентных алгоритмов линейной фильтрации применительно к задаче оценивания случайных процессов и полей в условиях случайной структуры пространства наблюдений, изменение которой имеет марковский характер.
В четвертой главе диссертации основное внимание уделено практическим приложениям разработанных алгоритмов. Рассматривается динамический метод восстановления пространственно-частотного распределения систематической ошибки пеленгования, основанный на использовании вращающейся поворотной платформы для размещения носителя радиопеленгатора. Обосновывается применение разработанных алгоритмов фильтрации данных пеленгования по сетке частот, обеспечивающих восстановление функции распределения ошибки пеленгования с различных направлений. Проводится анализ реализованных алгоритмов обработки по данным, полученным в ходе натурного эксперимента, выполненного для мобильного радиопеленгатора УКВ диапазона. Рассматривается программный комплекс, в рамках которого автором проведены исследования различных алгоритмов улучшения качества реальных изображений, в том числе на основе синтезированных алгоритмов рекуррентной фильтрации.
Автор выражает благодарность научному руководителю проф. Л.Л. Сироте, кандидату технических наук В. Д. Попело, а также всему коллективу кафедры информационных систем В ГУ за помощь в выполнении работы.
Каузальные и полу каузальные модели случайных полей и их преобразование в форму разностных векторных уравнений
Если известна начальная плотность для Xj Р(х, ) z) = Р(х,), соотношения (1.5) позволяют на рекуррентной основе получить выражение для текущей апостериорной плотности и, соответственно, общее решение задачи фильтрации в дискретном времени. Приведенная методика применима во всех ситуациях, когда можно найти условные плотности вероятности. Следует также отметить, что в общем случае не обязательно, чтобы шум наблюдений был белым, достаточно, чтобы объединенная последовательность {x z,} была марковской [70].
Строгое решение задачи фильтрации на основе (1.6) позволяет синтезировать оптимальный нелинейный фильтр, который в общем случае может быть получен только в приближенном виде на основе численных методов при больших затратах вычислительных ресурсов. Тем не менее, при выполнении ряда условий есть возможность получения квазиоптимальных оценок простого вида, а также линейных фильтров, предъявляющих существенно более низкие требования к вычислительным ресурсам [45]. Рассмотрим один важный пример конкретизации (1.2), (1.3). Введем условия линейности операторов Ф,(Х.) = ф,х,, Ht(x() = H,xs и требование гауссовско го вида законов распределения возмущений u,, v, и начального вектора х, где Qlt R1, Р10- матрицы ковариации u,, v,, x, ; x1[0- начальная оценка xt. Уравнения состояния и наблюдения в этом случае можно записать в виде
Данный случай соответствует постановке задачи оптимальной линейной фильтрации, решение которой известно [55] и определяет структуру алгоритма обработки информации в виде линейного относительно последовательности наблюдений рекуррентного калмановского фильтра оценивания текущих значений ненаблюдаемых параметров [67]. Если на і-1-ом шаге имеется оценка вектора x,_j по совокупности z _1 и матрица ковариации Р1[]Ч , то оценка 5с.ил вектора х, по совокупности z1 наблюдений на І-ом шаге имеет вид
Соотношения (1.9), (1.10) дают решение задачи оптимальной линейной фильтрации и определяют структуру рекуррентного фильтра Калмана. Достоинства алгоритма фильтра Калмана общеизвестны [19, 53]. Известно также, что эффективность процедуры калмановской фильтрации резко снижается по отношению к ожидаемой в случае неадекватности моделей динамики состояния объекта или модели наблюдений (измерений) реальным ситуациям [44]. Существует множество источников неадекватности этих моделей, из которых наибольший интерес в контексте данной работы представляют неадекватности модели наблюдений и состояний, связанные с наличием аномальных значений анализируемых процессов и возникновением аномальных измерений в процессе наблюдений. Аномальные эффекты в моделях состояний связаны, как правило, с тем, что в какие-либо моменты времени значения процесса, описывающего динамику изменения состояний, не определены, либо с тем, что произвольным образом изменяется размерность вектора состояний. Характерным примером является ситуация, когда при обработке случайных полей, описывающих изображение, размерность вектора состояний - строки ненаблюдаемого случайного поля -изменяется при наличии границы изображения произвольной (случайной) формы или внутренних пораженных участков, по своей природе не относящихся к этому полю [7, 10, 74-77, 83]. С математической точки зрения аномальные эффекты в моделях состояний приводят к тому, что переходные матрицы ф, и g( в (1.8) изменяются по некоторому в общем случае вероятностному закону, отражающему характер изменения размерности и наполнения вектора состояний. Аномальные эффекты в моделях наблюдений связаны с большим количеством причин, отражающих условия проведения измерений и организационно-технические особенности построения измерительных систем. Существо этих эффектов состоит в том, что в последовательности zt часть из наблюдений (в том числе и отдельные компоненты Zj) в заранее неизвестные моменты времени выпадают из рассмотрения, причем сам факт пропуска необязательно может быть зафиксирован наблюдающей стороной. Кроме того, при «пропадании» по лезных наблюдений или отдельных компонентов полученных наблюдений возможно их замещение ложными наблюдениями, не несущими полезной информации об анализируемых объектах. Типичным примером подобной ситуации является наблюдение пространственно распределенного объекта в интересах оценки его ненаблюдаемых параметров, когда его поверхность закрывается посторонним объектом. В этом случае поступающие наблюдения будут содержать ложную информацию. В общем можно назвать следующие причины возникновения подобных ситуаций [10, 29, 53, 55, 83]: возникновение аномальных измерений при низких отношениях сигнал-шум на входе приемо-анализирующей аппаратуры; потери при обнаружении сигналов, по которым производятся измерения наблюдаемых параметров, при умеренных отношениях сигнал-шум; отсутствие уверенных условий приема одновременно для всех первичных датчиков, если речь идет о пространственно распределенной измерительной системе; возникновение явлений срыва при проведении траекторных измерений параметров динамических объектов; воздействие сигналов посторонних источников (в том числе и целенаправленное), приводящее к появлению ложных или мешающих наблюдений, ошибочно принимаемых за полезные; наличие областей закрытия или аппликативньгх помех при наблюдении изображений пространственно распределенных объектов.
Общий подход к синтезу линейных алгоритмов рекуррентной фильтрации и основные соотношения для задач обработки случайных полей с внешней и внутренней границей произвольной формы
В тоже время рассмотренные модели, как и синтезированные на их основе алгоритмы фильтрации [3 - 5], не учитывают ряд весьма существенных для задач обработки многомерных процессов и случайных полей факторов. К их числу относится фактор статистической зависимости результатов обработки в смысле появления зависимой последовательности пропусков и ложных наблюдений, а также возможность случайного изменения структуры и размерности пространства наблюдений как проявление аномального характера функционирования отдельных элементов измерительно-регистрирующей системы. Поэтому возникает ряд задач, связанных как с расширением используемых моделей состояний и наблюдений объектов, так и с синтезом на их основе адекватных реальным условиям алгоритмов фильтрации. Известные в настоящее время специальные фильтры такого рода можно разделить на два класса по признаку используемой априорной информации [44]. К первому классу можно отнести нелинейные фильтры, использующие апостериорные статистики результатов идентификации измерений и процедур фильтрации (апостериорные вероятности получения последовательности полезных и ложных наблюдений объекта, апостериорные ковариации ошибок оценок). Данные фильтры достаточно подробно рассмотрены в литературе [16, 44, 55, 82]. Главным недостатком этого класса фильтров является необходимость проведения всех расчетов в реальном времени (расчеты весовых коэффициентов фильтров не могут быть проведены заранее), что достаточно затруднительно при большом числе перебираемых гипотез относительно принадлежности наблюдений к полезным или ложным. Ко второму классу алгоритмов относятся линейные фильтры, использующие априорные вероятностные характеристики появления полезных и ложных наблюдений. Решение задачи оптимальной линейной фильтрации в этом случае может быть получено на основе теоремы о нормальной корреляции, а также ее следствий [45, 55, 67]. Главным преимуществом фильтров этого класса является возможность проведения вычислений весовых коэффициентов алгоритмов заранее (до обработки в реальном времени) и их достаточно экономный характер. Результаты могут быть сохранены в памяти вычислительной системы и использованы по мере поступления измерений так же, как это может быть сделано при использовании обычного фильтра Калмана-Бюси.
В предыдущем разделе кратко были рассмотрены подходы к решению задачи рекуррентной фильтрации случайных процессов. Изложенные результаты базируются на одном из важнейших свойств временных систем - каузальности. При переходе к обработке двумерных случайных полей (изображений) зачастую не удается представить изображение эквивалентным рекуррентным разностным уравнением. Это есть следствие того, что в общем случае для двумерных изображений данным не свойственна каузальность [16]. Поэтому разделяют каузальное, полу каузальное и некаузалыюе представления двумерных случайных полей, описывающих изображения [11]. В настоящем разделе мы определим такие представления в рамках моделей линейного предсказания. Двумерные модели линейного предсказания полезны при передаче и хранении видеоданных, в разработке рекурсивных, полурекурсивных и нерекурсивных фильтров для оценивания, восстановления и фильтрации изображений, а также при анализе изображений [87].
Рассмотрим линейные модели формирования случайных полей изображений, основанные на двумерной авторегрессии. Будем рассматривать случайные поля заданными на прямоугольных сетках Q с единичным шагом. Таким образом, случайное поле может быть представлено как система случайных величин, характеризующих каждую точку двумерной сетки. Сами случайные величины могут быть скалярными, векторными или более сложными. Случайное поле Х = {х, } определяется на п - мерной области Q, для геометрического разбиения которой на две части Г" и Г+ требуется, по крайней мере, п -1 мерная область Г, являющаяся границей между ними. Свойство марковости случайного поля состоит в том, что любое множество случайных величин, входящих в Г+, условно независимо от случайных величин, входящих в Г", при известных значениях из Г. Называть Г, Г и Г прошлым, настоящим и будущим можно весьма условно. Тем не менее, определенное таким образом свойство марковости позволяет представить случайное поле формирующимся последовательно (во времени) от Г через ГкГ, при этом Г с течением времени перемещается по П. Например, если в качестве Г брать строки двумерной сетки Q, то поле X можно представить формирующимся построчно [10]. Обобщая авторегрессионые модели случайных последовательностей на случайные поля, можно отметить следующее. Если порядок формирования временной последовательности xvx2,xit..., как правило, соответствует наблюдаемым во времени значениям, то порядок формирования поля Х={х :i,jeQ} требует дополнительного определения организации наблюдения. Для этого необходимо линейно упорядочить узлы сетки Q так, чтобы про любые два различных элемента поля можно было сказать, что один из них предшествует другому. Существует множество вариантов такого упорядочивания узлов сетки [10, 16]. Например, в двумерном случае часто применяются пилообразная или треугольная развертки (рис. 1.1 и рис. 1,2).
Синтез и анализ алгоритмов фильтрации параметров динамических систем в условиях наличия коррелированной последовательности пропусков наблюдений
Как уже отмечалось, для обработки пространственно распределенных данных весьма эффективным в вычислительном отношении, а также с позиций организации последовательного (построчного, покадрового) наблюдения, является использование рекуррентных алгоритмов линейной и квазилинейной дискретной фильтрации калмановского типа. Теоретической основой для построения таких алгоритмов является использование каузальных моделей, обеспечивающих марковский характер процесса формирования случайного поля при определенной последовательности просмотра элементов координатной сетки [10, 11,54]. Такие алгоритмы, не являясь глобально оптимальными, являются оптимальными по отношению к получаемой в условном «прошлом» совокупности наблюдений. В известных работах [10, 15, 16, 44, 82], задача синтеза алгоритмов рекуррентного оценивания решается для полей, заданных на сетках прямоугольной формы. На практике часто возникают ситуации, когда область определения поля имеет произвольную форму. Иногда в область определения попадает несколько полей с различной статистической структурой, или поле имеет внутренние пораженные участки, имеющие существенно отличную структуру. Причин возникновения подобных явлений множество: сами исследуемые объекты могут Ихметь неправильную форму и внутренние образования, не несущие полезной информации, некоторые участки могут быть непоправимо испорчены техногенными факторами, отдельные фрагменты могут быть закрыты для наблюдения и т. п. Следовательно, необходима разработка алгоритмов, способных в той или иной степени учитывать перечисленные факторы [82].
Целью настоящей главы является разработка модели марковского случайного разделимого поля и ее модификаций при наличии границ произвольной формы и внутренних пораженных участков. На основе разработанной модели проводится синтез и анализ алгоритмов обработки полей изображений с границами произвольной (случайной) формы или при наличии внутренних пораженных участков, а также перекрытия двух полей в области наблюдения. Дополнительно в последнем разделе данной главы рассмотрен адаптивный нелинейный алгоритм фильтрации, способный работать в условиях неопределенности относительно параметров пространственной корреляции случайного поля.
Уравнение (2.5) весьма удобно с точки зрения получения алгоритмов рекуррентной фильтрации. Поэтому дальнейшие результаты, приведенные в данном разделе, направлены на получение аналогичных моделей для полей, определенных на сетке произвольной формы, полей — с внутренними не наблюдаемыми областями (аномальными областями), а также в случае, когда в области определения имеется несколько полей различной статистической структуры.
В работе [54] модель (2.5) получила развитие на случай поля, определенного на сетке произвольной формы. Пусть исходное изображение (NxМ) является реализацией дискретного марковского разделимого случайного поля, границы которого при построчном наблюдении изменяются по произвольному (случайному) закону вдоль оси Y (рис. 2.1). При этом возможно возникновение четырех различных соотношений границ соседних строк, определяемых номерами крайних элементов і і ч и i}, Рассмотрим пространственную динамику поля х, и его граничные условия для каждого возможного случая; б) Следующая строка смещена относительно предыдущей влево (і_! і, і j ij). При этом динамика формирования поля описывается следующим образом: г) Следующая строка больше предыдущей с двух сторон (ij4 ij, i ij). Тогда уравнения формирования поля и переходные матрицы векторного разностного уравнения имеют наиболее сложный вид Аналогичным образом автором получены переходные матрицы F и G эквивалентного разностного уравнения для модели марковского случайного раз- делимого поля (NxM) в условиях, когда в области определения поля имеется внутренний пораженный участок произвольной формы (рис, 2.2).
Исследование алгоритмов фильтрации при обработке реальных изображений в присутствии аддитивных и аппликативных помех
Поэтому весовые матрицы (2.33) для данного типа фильтра можно, в отличие от двух предыдущих случаев, рассчитать заранее, не используя информацию о конкретном виде границ поля, а вводя только их необходимые статистические характеристики. С учетом возможности реализации стационарного фильтра, получаемого путем фиксации W после определенного числа шагов, данный вариант представляется наиболее эффективным в вычислительном отношении.
Таким образом, для поля с внешними и внутренними границами произвольной (случайной) формы, а также при наличии локального пораженного участка произвольной формы, синтезировано три вида фильтров: оптимальный линейный фильтр (2.31), основанный на использовании линейных операторов F и G специального вида, изменяющихся специальным образом в соответствии с законом изменения границы; условно-линейный фильтр, фактически повторяющий структуру (2.31) с тем только отличием, что матрицы F} = F0(N), Gj = G0(N) являются стационарными - одинаковыми на каждом шаге (для каждой строки изображения), при этом изменение границы учитывается при помощи диагональной матрицы AJ} элементы которой принимают значения а{ -1 в случае наличия полезной информации и а[ =0 в случае пропуска; линейный квазиоптимальный фильтр (2.33), основанный на доопределении пропущенных компонентов вектора наблюдений компонентами вектора z ,г1 = Н;х н и на задании вероятностных характеристик пропусков. Для предложенных моделей и синтезированных фильтров проводились исследования, в ходе которых рассматривалась ситуация, когда границы поля имеют случайную форму, определяемую равновероятным и не зависимым от строки к строке изменением длины строки вправо и влево от некоторых фиксированных значений номеров элементов nt и п2 серединной части поля. При этом значения І0, ij номеров крайних элементов строки определяются в виде і0 = пг - ш,, ij = n2 + m2, где mt 2 - случайные целочисленные величины, равновероятно принимающие значения от 0 до п[2 (nt -п[ =1, п2 + n2 = N). Выражения для вероятностных характеристик в (2.33) имеют вид
Для данной статистической модели границ поля проводилось исследование характеристик трех типов синтезированных фильтров методом имитационного моделирования. Работа оптимального фильтра (2.31) иллюстрируется рис. 2.4, где даны изображения исходного, зашумленного и восстановленного полей и графики их разреза в центральной части по линии Ї = 37 (а = р = 0,5; N = M = 50; n,r:=n[ = 10; Q 1=G2Z=1; \} = 1; i = l,N; j = l,M). Нарис. 2.5 представлены зависимости дисперсии ошибки оценки of, отнесенной к а2, от но-мера строки изображения (шага работы фильтра) для трех типов фильтров (a = p = 2;N = M = 50;n1r=n =5;a2x=o =l; Ьу=1; i = VN; J = Ш) по линии разреза вдоль оси OY серединной части поля (нижняя кривая) и в граничных точках поля (три верхних кривые). Характерно, что для серединной части поля характеристики оценивания у всех фильтров практически совпадают, тогда как на фаницах поля квази оптимальные алгоритмы (линии 2 и 3) имеют несколько худшие характеристики. Следует также отметить достаточно быстрый выход зависимостей в область относительно стабильной точности оценивания, что позволяет реализовать фильтр третьего типа (2.33) в стационарном варианте, фиксируя весовую матрицу W , начиная с шага j = 5.. Л 0. На рис. 2.6 представлены зависимости средней за М шагов дисперсии 7 м ошибки ui —So-2, отнесенной к al от В при различных а. Зависимости получены для трех типов фильтров и ошибок, возникающих в краевых точках поля при аналогичных рис. 2.6 условиях.
Анализ данных зависимостей показывает, что расхождение погрешностей оценивания в краевых точках поля для оптимального (2.31) и квазиоптимального (2.33) алгоритмов будет тем существеннее, чем меньше р при фиксированном а и, напротив, чем больше а при фиксированном р. В целом, на проведенных исследований можно сделать вывод, что рассмотренные квазиоптимальные алгоритмы фильтрации дают практически такую же точность оценивания поля в центральной области по сравнению с оптимальным алгоритмом (2.31) (расхождение не более 5% во всех экспериментах) и уступают последнему в дисперсии ошибок оценивания на границах поля примерно на 10-20%.
Аналогичным образом проводился анализ для ситуации, когда в серединной части поля имеется внутренний пораженный участок произвольной формы, границы которого имеют случайную форму. Граница пораженного участка определялась равновероятным и не зависимым от строки к строке изменением длины строки влево и вправо от некоторых фиксированных значений номеров элементов rtj и п2 серединной части поля. На рис. 2.7 приведен иллюстративный пример работы фильтра (2.31) с учетом матриц (2.16) — (2.21).
