Содержание к диссертации
Введение
Глава I. Семиотический подход как теоретико-методологическая основа подготовки учителя к математическому развитию младших школьников 21
1.1. Теоретико-методологические предпосылки математического образования будущих учителей начальных классов 21
1.2. Познавательная деятельность младших школьников в процессе изучения математики: онтологический и эпистемологический аспекты 55
1.3. Концепция математического развития младших школьников 74
1.4. Семиотический подход как связующее звено между методологией подготовки учителя и концепцией математического развития младших школьников 101
Выводы главы 1 130
Глава II. Психолого-педагогические условия формирования готовности будущего учителя к математическому развитию младших школьников 133
II.1 Семиотические аспекты подготовки учителя к овладению содержанием обучения математике младших школьников 133
II.2. Знаково-символическая деятельность студентов как фактор формирования готовности к математическому развитию обучаемых 170
II.3. Дидактические основы формирования готовности будущего учителя к математическому развитию младших школьников 190
II.4. Модель подготовки учителя к осуществлению математического развития младших школьников 212
Выводы главы II 230
Глава III. Опытно-экспериментальная апробация концепции подготовки учителя к математическому развитию младших школьников на основе семиотического подхода 233
III. 1. Зависимость готовности учителя к математическому развитию младших школьников от условий его подготовки 233
III.2. Организация деятельности студентов по формированию готовности учителя к математическому развитию младших школьников 252
III.3. Анализ зависимости уровня математического развития младших школьников от готовности учителя к такому развитию 278
Выводы главы III 290
Заключение 292
Терминологический словарь 295
Литература 297
Приложение 1 .Семиотические аспекты теории натурального числа 327
Приложение 2. Система счисления как семиотическая система 334
Приложение 3.Алгебраическая система натуральных чисел 340
Приложение 4. Геометрические преобразования в подготовке учителя к оперированию графической информацией 342
Приложение 5. Элементы стохастики как средство расширения математического опыта школьников 348
Приложение 6. Диагностика уровня математического развития учащихся начальной школы 366
- Теоретико-методологические предпосылки математического образования будущих учителей начальных классов
- Семиотические аспекты подготовки учителя к овладению содержанием обучения математике младших школьников
- Модель подготовки учителя к осуществлению математического развития младших школьников
- Анализ зависимости уровня математического развития младших школьников от готовности учителя к такому развитию
Введение к работе
Актуальность исследования. Одним из приоритетов отечественного образования XXI века выступает развитие творческой личности с ярко выраженной субъектной позицией, способной быстро адаптироваться в изменяющемся мире. В системе образования наметился поворот к реализации культу-ротворческой модели обучения, обеспечивающей наилучшее удовлетворение познавательных потребностей обучающихся, создания условий для формирования личности креативного типа.
Понимание образования как достояния личности изменяет цели общего математического образования, важнейшей из которых выступает цель математического развития учащихся, направленная на увеличение значимости математического образования в формировании креативной личности. Математическое развитие как цель обучения математике в начальной школе выдвигается федеральным государственным образовательным стандартом начального общего образования второго поколения.
Тот факт, что математические объекты - идеальные продукты человеческого сознания, «материализуемые» только знаковыми средствами, определяет высокий уровень формализации математики, создает особые условия ее познания уже на самых начальных ступенях изучения, обращая решение проблем математического развития к науке о знаках семиотике, основателями которой являются Ч. Пирс, Ч. Моррис, Ф. де Соссюр. Отечественные ученые: А.Я. Данилюк, Ю.М. Лотман, В.А. Успенский показали, что знак служит границей, соединяющий образование и культуру, а семиотический подход в образовании подчиняет логику образовательного процесса ходу его исторического развития, позволяет воспроизвести культурную реальность в ее целостности, рассматривать образование как сложно построенный текст, как малую семиосферу, подобную большой семиосфере культуры. С другой стороны, Л.С. Выготский в своей культурно-исторической теории развития
психики человека подчеркивал решающую роль знаковых операций для овладения человеком собственным поведением.
Особое значение математическое развитие имеет для младших школьников в связи с идеями Ж. Пиаже, установившего в рамках генетической эпистемологии параллельность процессов развития интеллекта и становления операторных структур мышления, соответствующих открытым группой математиков (собирательный псевдоним Н. Бурбаки) основным типам математических структур: топологическим, алгебраическим, структурам порядка. При этом Н. Бурбаки подчеркивали глубоко личностный характер математики, сравнивая ее генезис с естественным, внелогическим конструированием реальности ребенком.
Несмотря на признаваемую многими учеными необходимость математического развития школьников (Н.Ф. Виноградова, В.А. Гусев, Г.В. Дорофеев, Н.Б. Истомина, Ю.М. Колягин, А.И. Маркушевич и др.), сущность и значение математического развития недостаточно осмыслено в свете понимания математического образования с позиций семиотического подхода. Рядом авторов математическое развитие понимается как формирование некоторых свойств математического мышления, таких как абстрактность, логичность, способность к формализации, идеализации, обобщению, классификации (Б.В. Гнеденко, В.А. Гусев, А.Я. Хинчин и др.). В частности, защищены две докторские диссертации А.В. Белошистой и А.И. Голиковым, в которых математическое развитие младших школьников рассматривается как формирование свойств математического мышления. Очевидно их значение в когнитивном развитии личности и возможности математики для их развития. В то же время, эти качества присущи мышлению не только в математике, но и в любой другой содержательно насыщенной предметной области. Часть авторов соотносит математическое развитие школьников с развитием математических способностей (А.В. Брушлинский, И.В. Дубровина, В.А. Крутецкий, Н.А. Менчинская и др.). Такие математики как Ж. Адамар, А.Н. Колмогоров, А.
Пуанкаре считают, что математическое развитие возможно только для личностей особого склада, способных генерировать математические идеи.
Математическое развитие как педагогическая проблема не получило достаточного освещения и в научных публикациях. Так, в большинстве публикаций, посвященных проблемам развития младших школьников в процессе обучения математике, рассматривается развитие логического, комбинаторного, алгоритмического, пространственного мышления (Ю.А. Дробышев, Б.А. Дружинин, А.З. Зак, Н.Б. Истомина, И.Л. Никольская, Е.Е. Останина, Л.Ф. Тихомирова, И.И. Целищева и др.).
Таким образом, имеющиеся исследования математического развития школьников выделяют развитие свойств и качеств мышления, необходимые при решении любых познавательных задач, не затрагивая ни онтологического, ни эпистемологического планов математического образования с позиций семиотического подхода. В свете понимания математического образования как сложно построенного текста средствами некоторой семиотической системы математическое развитие соотносится, прежде всего, с процессом овладения способами кодирования и интерпретации математической информации, с процессом становления в сознании познающего субъекта мира математических объектов, выявляя аналогию с теорией деятельности А.Н. Леонтьева, рассматривающую развитие как становление в сознании человека образа мира и своего «Я» в этом мире.
Достижение цели математического развития в общем начальном образовании невозможно без соответствующей подготовки учителя в рамках семиотического подхода. Семиотический подход предполагает кодирование математической информации текстами как минимум на двух языках: дискретных и непрерывных, включение в процесс познания условно-адекватных переводов с одного языка на другой (А.Я. Данилюк). Так как познавательная деятельность младших школьников опирается преимущественно на работу правого полушария мозга, отвечающего за восприятие и оперирование непрерывными объектами, то семиотический подход открывает для будущего учи-
теля возможность овладения механизмами математического развития младших школьников, согласованными с особенностями их восприятия и мышления.
Объективно существующие трудности познания математики, обуславливаемые расхождением между уровнем ее формализации и онтогенезом человека, требуют усиления содержательно-образных методов обучения математике. С позиций семиотического подхода это означает необходимость наглядной репрезентации математических объектов средствами некоторой семиотической системы, адекватно их объективному содержанию.
В рамках логической семантики показано, что в процессе переводов математической информации с одного языка на другой выявляется смысл сообщения как инвариант того, что содержится в каждом из переводов, если они правильно воспроизводят, передаваемую сообщением мысль (Г.Фреге, А. Черч). Это значит, семиотический подход вопросы математического развития концентрирует вокруг способов соотнесения текстов на математическом языке с внеязыковои реальностью, которую данный текст репрезентирует, то есть вокруг способов создания у познающего субъекта математического образа мира в процессе смыслопоисковой деятельности.
Вопросы математического развития школьников не могут быть решены без соответствующей подготовки учителя. Содержание математической подготовки учителя начальных классов обосновано с позиций знаниевой парадигмы (И.К. Андронов, Н.Я. Виленкин, А.С. Добротворский, А.Е. Мерзон, В.А. Ситаров, Л.П. Стойлова, А.П. Тонких, А.Л. Чекин и др.). Профессиональная направленность математической подготовки учителя начальных классов как проблема формирования его готовности к логико-математическому анализу курса математики в начальной школе исследована в трудах Н.Н. Лавровой, Л.П. Стойловой, И.Л. Никольской, А.П. Тонких и др. Изучена проблема интеграции математической и методической подготовки будущего учителя начальных классов (СЕ. Царева, А.Л. Чекин и др.). Вопросы гуманизации и гуманитаризации начального математического обра-
зования и соответствующей подготовки учителя рассмотрены в трудах Г.В. Дорофеева, Т.Н. Мираковой, В.Ф. Ефимова и др. Использование не только рациональных, но и образно-эмоциональных сфер мышления, расширяющих возможности понимания математики будущими учителями, рассматривалось педагогами-математиками (В.А. Далингер, В.А. Успенский, М.А. Чошанов и др.), психологами (Л.М. Веккер, В.П. Зинченко, А.Я. Пономарев, М.А. Холодная, И.С. Якиманская и др.), показавших значение образных сфер мышления как в познании математики, так и в расширении творческих возможностей будущих педагогов в решении профессиональных задач.
Таким образом, анализ состояния математической подготовки будущего учителя начальных классов позволяет утверждать, что формирование готовности учителя к математическому развитию обучаемых исследовано недостаточно, а запросы, предъявляемые современному математическому образованию, требуют исследования проблемы подготовки будущего учителя к осуществлению математического развития младших школьников на основе семиотического подхода. Такого рода исследование включает: выявление возможностей семиотического подхода и способов их реализации; уточнение значения знаковых операций как средства нивелирования расхождения между уровнем формализации в математике и онтогенезом человека; включение в процесс подготовки как дискретных, так и непрерывных языков.
Проведенный анализ позволяет заключить, что в математической подготовке будущего учителя начальных классов имеется ряд противоречий:
между востребованной готовностью учителя к математическому развитию младших школьников в условиях, диктуемых семиотическим подходом к математическому образованию, требующей теоретического обоснования концепции формирования готовности студентов к осуществлению математического развития, и отсутствием соответствующих научных исследований;
между признаваемой необходимостью математического развития младших школьников и отсутствием такой экспликации понятия «математическое развитие», которое могло бы служить основанием прагматичной и функцио-
нальной подготовки учителя к математическому развитию младших школьников;
- между уровнем формализации в математике и онтогенезом человека уже
при формировании исходных математических понятий, требующем усиления
содержательно-образных способов обучения математике посредством пред
ставления математической информации, по крайней мере, на двух языках, и
отсутствием научно обоснованных средств подготовки будущего учителя на
чальных классов к профессиональной деятельности, нивелирующей указан
ное расхождение;
- между личностной значимостью математического развития как средства
овладения обучаемыми способами и приемами смыслопоисковой деятельно
сти, являющейся необходимым для понимания и освоения реального мира
метазнанием, и недостаточным исследованием этого аспекта математической
подготовки будущего учителя начальных классов.
Указанные противоречия определяют научную проблему исследования, которая состоит в обосновании значимости семиотического подхода к формированию готовности будущего учителя осуществлять в процессе профессиональной деятельности математическое развитие младших школьников и разработке технологии такой подготовки.
Цель исследования: обоснование и разработка концепции формирования готовности будущих учителей к математическому развитию младших школьников, основанием которой выступает семиотический подход, построение модели подготовки учителя к математическому развитию обучаемых средствами семиотического подхода, реализация которой разрешала бы указанные выше противоречия.
Объект исследования: подготовка студентов высшей школы - будущих учителей начальных классов к математическому развитию младших школьников.
Предмет исследования: семиотический подход к формированию готовности будущего учителя к математическому развитию младших школьников.
Гипотеза исследования. Подготовка учителя к математическому развитию младших школьников, понимаемому как процесс становления в сознании ребенка математического образа мира, будет эффективной, если ее основанием положить семиотический подход, в рамках которого обеспечивается овладение будущим учителем:
умением оперировать знаками различной степени обобщенности, обеспечивающим учителю возможность проектировать процесс становления математического образа мира школьников, формировать его когнитивный состав;
процессами кодирования и интерпретации математической информации
текстами на различных языках и осуществлением взаимно-обратимых переводов с одного языка на другой по принципу «знак - содержание - знак», как способом конструирования математического образа мира у младших школьников в процессе смыслопоисковой деятельности;
способами визуализации математических объектов посредством знаков
определенной семиотической системы, выполняющих не столько иллюстративную, сколько семантическую функцию, наглядно раскрывающих содержательные аспекты математического текста;
умениями использовать такие качества математического языка как ин
теллектуальная ясность, целостность, экономность, доступность, играющими
эвристическую роль в процессе решения учителем задач формирования ма
тематического образа мира младшего школьника;
профессиональным стилем педагогической коммуникации в рамках от
ношения между знаками и их пользователями.
Указанные цели, предмет и гипотеза определили следующие задачи исследования:
1) выявить значимость семиотического подхода в формировании готовности учителя осуществлять математическое развитие младших школьников;
-
выявить способы «бытия» математических объектов (онтологический план) и особенности их познания (эпистемологический план);
-
разработать принципы математического развития младших школьников с позиций семиотического подхода;
-
разработать практико-ориентированную концепцию формирования готовности будущего учителя к математическому развитию младших школьников как методологию профессиональной подготовки студентов высшей школы в рамках семиотического подхода;
-
выявить виды знаково-символической деятельности студентов по преобразованию математической информации в личностное знание;
-
выявить дидактические условия порождения образов математических объектов как основы формирования готовности учителя осуществлять математическое развитие обучаемых с позиций семиотического подхода;
-
разработать модель подготовки будущего учителя начальных классов к реализации математического развития младших школьников и экспериментально проверить ее эффективность.
Методы исследования. Для решения поставленных задач использовались следующие методы:
- анализ философской, психолого-педагогической, научно-методической, методико-исторической, учебной литературы и диссертационных исследований с целью обращения к первичным основаниям и обоснованию темы исследования; анализ опыта обучения математике в процессе подготовки учителя начальных классов, в том числе собственного многолетнего опыта работы в вузе; анкетирование, тестирование школьников, студентов, учителей, преподавателей вузов; моделирование педагогических ситуаций; проведение педагогического эксперимента и анализ его результатов.
Теоретическая и методологическая основа исследования.
В основу исследования заложены фундаментальные работы:
в области профессионально-педагогической подготовки будущего учителя (А.А. Вербицкий, Г.М. Коджаспирова, Н.Д. Никандров, В.А. Ситаров,
В.А. Сластенин, В.Д. Шадриков и др.), ориентирующие подготовку студента на формирование личностных качеств педагога;
в области семиотики образования (B.C. Библер, Л.С. Выготский, А.Я. Данилюк, Н.Г. Салмина и др.), определяющие образование как сложно построенный текст;
в области семиотики математического языка (А.Н. Колмогоров, А.А. Мадер, В.А. Успенский, Г. Фреге, А. Черч), выделяющие его семантический, синтаксический и прагматический аспекты;
в области дидактики образовательного процесса (Ю.К. Бабанский, В.П. Беспалько, В.И. Загвязинский, М.Н. Скаткин и др.), выделившие структурные элементы целостного процесса обучения и связи между ними;
в области педагогической психологии (Л.С. Выготский, Л.М. Веккер, П.Я. Гальперин, В.В. Давыдов, А.В. Запорожец, В.П. Зинченко, А.Н. Леонтьев, Н.Ф. Талызина, М.А. Холодная, Д.Б. Эльконин, И.С. Якиманская и др.), исследовавшие развитие личности в процессе обучения;
в области начального математического образования (Н.Я. Виленкин, Ю.М. Колягин, А.И. Маркушевич, Т.Н. Миракова, М.И. Моро, A.M. Пышка-ло, В.М. Туркина, И.Ф. Шарыгин и др.), выявившие его значимость как органической части непрерывного математического образования.
База научного исследования и опытно-экспериментальной работы: факультеты подготовки учителя начальных классов Московского педагогического государственного университета и Московского городского педагогического университета, институт педагогики и психологии образования Московского городского педагогического университета, начальные классы школ №1278, № 1410, № 706 г. Москвы, УВК №63 г. Пушкино.
Наиболее существенные результаты исследования и их научная новизна:
1 .Впервые установлена сущность семиотического подхода как теоретико-методологической основы подготовки учителя к математическому развитию младших школьников, трактуемому как процесс построения познающим
субъектом математического образа мира и своего «Я» в этом мире посредством кодирования математической информации знаками различных семиотических систем и интерпретации соответствующих кодов. Показано, что семиотический подход определяет направленность математической подготовки: на выявление внеязыковой реальности, описываемой текстами на различных языках; на формирование понятийных образов математических объектов в процессе смыслопоисковой деятельности. В рамках семиотического подхода установлена необходимость визуализации математических объектов.
2. Разработана концепция подготовки учителя к осуществлению математического развития младших школьников, основанием которой служит семиотический подход, позволяющий: формировать осознанную ориентацию педагога на создание описаний исследуемой ситуации средствами различных семиотических систем; выявлять смысл математической информации в процессе перевода текста с одного языка на другой; обеспечивать приоритет содержательно-образных методов обучения математике, возможность их проецирования на обучение младших школьников; нивелировать расхождение между уровнем формализации математики и онтогенезом человека. Методологическими основаниями концепции выступают современные достижения в области семиотики образования, теории развивающего обучения, дидактики высшей школы. Основополагающие принципы концепции: принцип конструирования математических объектов в соответствии с их генезисом; принцип направленности процесса познания «от смысла к знаку», обеспечивающий овладение смыслопоисковой деятельностью; принцип кооперативного поведения в педагогической коммуникации, обеспечивающий диалоговое и поддерживающее взаимодействие участников педагогического процесса. Ведущие содержательные линии подготовки будущего учителя к реализации в профессиональной деятельности математического развития младших школьников: математическое образование как совокупность учебных текстов на математическом языке; знаково-символическая деятельность в процессе познания математики; формирование понятийного образа мате-
матического объекта. Модель, реализующая теоретические основания концепции, представляет технологические и организационные аспекты подготовки учителя, целенаправленно направляя работу студентов со знанием как текстом, в процессе преобразования которого усваиваются методы, способы, формы и средства формирования математического образа мира на основе актуального математического опыта познающего субъекта и его деятельности в реальном мире.
-
Обосновано значение визуализации математической информации в подготовке студентов к осуществлению математического развития младших школьников и разработана система наглядного кодирования математических объектов (система визуальной семантики), средствами которой изучаемый объект представляется адекватно его объективному содержанию. Система визуальной семантики обеспечивает осуществление переводов математических текстов с одного языка на другой по принципу «знак - содержание - знак».
-
Обосновано развертывание геометрической составляющей подготовки учителя к математическому развитию младших школьников в направлении от геометрии «формы и положения» к геометрии «меры», включение теоретико-вероятностной составляющей, что позволяет будущему учителю расширять арсенал семиотических средств кодирования математической информации, обогащать математический образ мира младшего школьника.
-
Обосновано, что осуществление в процессе подготовки студентов взаимно-обратимых переводов текста с одного языка на другой по принципу «знак - содержание - знак» способствует преодолению психологически закономерной тенденции отождествлять знаковые формы с выражаемым ими содержанием.
-
Разработаны критерии готовности учителя к осуществлению математического развития школьников в форме умений: использовать семиотический подход, кодировать и интерпретировать математическую информацию, формировать образы математических объектов, расширять математический опыт
младших школьников, обеспечивать субъект-субъектное взаимодействие партнеров по педагогической коммуникации. На основе указанных критериев разработана диагностика уровня готовности учителя к математическому развитию младших школьников.
7. Разработана диагностика уровня математического развития младших школьников, определяющая уровень владения умениями кодировать, интерпретировать и преобразовывать математическую информацию.
Теоретическая значимость исследования состоит в том, что: обоснована эффективность семиотического подхода к реализации профессионально-педагогической направленности подготовки будущего учителя к математическому развитию младших школьников; разработана концепция, обеспечивающая овладение учителем способами решения профессиональных задач математического развития обучаемых; обосновано содержание математической подготовки будущего учителя начальных классов, позволяющее учителю овладеть различными семиотическими средствами представления математической информации; разработан терминологический аппарат исследования.
Практическая значимость исследования заключается в том, что его результаты могут быть использованы: в подготовке учителей начальных классов в педагогическом вузе и колледже; в подготовке магистрантов и аспирантов; при повышении квалификации учителей начальных классов; в обучении математике в начальной школе; при написании учебных пособий по математике и методике ее преподавания в начальной школе; при исследовании проблем общего математического образования.
Достоверность результатов обеспечена научным подходом к постановке и решению задач исследования, целесообразностью выбора методов исследования, которые опираются на современные достижения в области семиотики образования, педагогической психологии, дидактики высшей школы. Теоретические положения, выдвинутые в работе, находят подтверждение в результатах подготовки студентов; в результатах обучения младших школьни-
ков; в подготовленных под руководством автора и защищенных магистерских диссертациях; в защищенных под руководством автора двух диссертациях на соискание ученой степени кандидата педагогических наук.
Этапы исследования
Первый этап (1993 - 2000 гг.). Проведен анализ психолого-педагогической и специальной математической литературы по проблемам развивающего обучения младших школьников, уточнено понятие «математическое развитие». Проведен анализ инновационных подходов в отечественной педагогике.
Второй этап (2001 - 2006 гг.). Выявлены особенности математики как учебного предмета в начальной школе и установлена причинно-следственная зависимость математического развития младших школьников от содержания, средств, способов и форм обучения математике. Проведен поисковый эксперимент.
Третий этап (2007 - 2010 гг.). Осуществлена разработка дидактических средств реализации семиотического подхода к подготовке учителя, направленной на формирование готовности к математическому развитию младших школьников. Разработана концепция подготовки учителя к реализации в профессиональной деятельности математического развития младших школьников. Осуществлено внедрение разработанной системы подготовки учителя в практику обучения.
Четвертый этап (2011 - 2013 гг.). Проведена экспериментальная проверка эффективности созданной модели подготовки учителя к математическому развитию младших школьников. Основные положения и результаты исследования оформлены в виде диссертационной работы.
Положения, выносимые на защиту
1. Семиотический подход как теоретическая основа профессиональной подготовки будущего учителя обладает научным потенциалом, способствующим реализации учителем творческого подхода к решению задач математического развития. Разработанная на основе семиотического подхода
практико-ориентированная концепция подготовки будущего учителя к математическому развитию младших школьников дает возможность подготовить учителей, способных выявлять внеязыковую реальность, репрезентируемую текстом на математическом языке в процессе смыслопоисковой деятельности, соотносить математические знания с механизмами формирования математического образа мира у младших школьников.
2. Семиотический подход к подготовке будущего учителя осуществлять в профессиональной деятельности математическое развитие позволяет студентам овладевать знаково-символической деятельностью (кодирование, интерпретация, перевод, моделирование), обеспечивающей преобразование математической информации в личностное знание, избегать психологически закономерной тенденции отождествлять математический объект с его репрезентацией знаками той или иной семиотической системы.
3. Созданная модель подготовки будущего учителя к математическому развитию младших школьников, опирающаяся на экспликацию математического развития как процесса построения познающим субъектом своего математического образа мира и своего «Я» в этом мире посредством кодирования математических объектов знаками различных семиотических систем, осуществления взаимно-обратимых переводов соответствующих текстов с одного языка на другой позволяет организовать деятельность студентов по овладению как теоретическими знаниями, так и механизмами математического развития обучаемых.
4.Формирование готовности будущего учителя к созданию у младших школьников понятийных образов математических объектов осуществляется в процессе их конструирования, отражающем генезис изучаемого объекта. Организация смыслопоисковой деятельности формирует у будущего учителя умения осуществлять передачу знания посредством его представления текстами на различных языках, в том числе на языке визуальной семантики, способствуя уменьшению расхождения между уровнем формализации в математике и онтогенезом человека. Выявление связей между знаками и их
пользователями обеспечивает формирование готовности будущего учителя строить обучающий диалог и фасилитационное взаимодействие партнеров по педагогической коммуникации.
-
Включение в содержание базовой математической подготовки будущего учителя к математическому развитию младших школьников теоретико-вероятностной и геометрической составляющих увеличивает арсенал семиотических средств кодирования математической информации и способствует формированию готовности будущего учителя расширять и обогащать математический образ мира младшего школьника.
-
Технология подготовки учителя к математическому развитию младших школьников на основе разработанной концепции реализуется в процессе осуществления выделенных этапов конструирования математических объектов: предметно-визуальном, когнитивно-визуальном, знаково-визуальном, процессуальном, обогащающем.
Результаты исследования внедрены в учебный процесс Московского городского педагогического университета, Московского педагогического государственного университета, начальных классов школы № 1278, №1410, №706, УВК №63 г. Пушкино, педагогического колледжа №18 «Митино» г. Москвы, педагогического института Мичуринского государственного аграрного университета. Результаты исследования востребованы высшим педагогическим образованием в Украине, педагогикой высшей школы в Канаде.
Апробация результатов исследования. Результаты доложены и обсуждены на международной конференции «Подготовка преподавателя математики и информатики для высшей и средней школы» (Москва, 1994); на межвузовском семинаре «Проблемы методико-математической подготовки учителя начальных классов» (Москва, 1994, 1995); на научной конференции, посвященной 40-летию теории и методики формирования правильной читательской деятельности (Москва, 2006); на IV городской научно-практической конференции «Компетентностный подход к подготовке учителя начальных классов в условиях обновленного профессионального образования (Москва,
2009); на конференции, посвященной 90-летию со дня рождения В.А. Кру-тецкого (Москва, 2008); на кафедре теории и методики обучения математике МГПУ (Москва, 2009); на Герценовских чтениях «Инновации в начальном образовании: проблемы, поиски, решения (Санкт-Петербург, 2011); на I Все-украинской научно-практической конференции с международным участием «Приднепровские социально-гуманитарные чтения» (Украина, Бердянск, 2012); на II Международной научно-практической конференции «Наука, техника и высшее образование» (Канада, Вестмаунт, апрель, 2013).
Основные результаты исследования опубликованы в 56 трудах общим объемом более ПО п.л., в том числе в 2 монографиях, в 16 учебных пособиях, в 17 публикациях в журналах, рекомендованных ВАК РФ.
Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, глоссария (21 термин), списка литературы и приложений.
Теоретико-методологические предпосылки математического образования будущих учителей начальных классов
Принципиальные положения, определяющие общую организацию, отбор содержания, формы и методы обучения, вытекают из общей методологии педагогического процесса.
Благодаря трудам П.В. Копнина, В.А. Лекторского, В.И. Садовского, B.C. Швырева, Г.П.Щедровицкого, Э.Г. Юдина и других, рассматривающих методологию науки, в структуре методологического знания выделены четыре уровня:
- философский;
- общенаучный;
- конкретно-научный;
-технологический (конкретные методики и техники исследования).
Философский уровень методологии определяет мировоззренческие подходы к процессу познания и преобразования действительности. Философские учения, выступающие в качестве методологии различных человековедческих наук: экзистенциализм, прагматизм, диалектический материализм, неото мизм, неопозитивизм находят отражение в практике современного российского образования.
В центре внимания экзистенциализма стоит проблема личности. Отрицая общественную природу личности, экзистенциализм разграничивает и противопоставляет понятия индивидуальности - как части природного и социального целого и личности - как неповторимого духовного самоопределения («экзистенции»). Человек свободен в том смысле, что он сам «проектирует», создает себя, выбирает себя, не определяясь ничем, кроме собственной субъективности, сущность которой - в полной независимости от чего бы то ни было [фил.энц. ел., 1989]. Реализация основных положений экзистенциализма в образовании делает акцент на внемыслительных способностях человека (чувство, воля и т.д.), что, с одной стороны, способствует направленности обучения на познание лишь отдельных разрозненных фактов, а, с другой, служит становлению идей гуманизации образования (Р. Штайнер, Ш. Амо-ношвили, B.C. Библер и др.), когда учитель выступает в роли организатора диалога.
Мировоззренческие установки прагматизма сводят обучение только к расширению личного опыта ученика для того, чтобы он мог как можно лучше приспособиться к существованию в данном социуме. Поэтому цель обучения и воспитания, научить ребенка жить. Отсюда отрицание необходимости формирования систематических знаний, умений, навыков и, следовательно, научного обоснования учебных планов и программ. Основной механизм и соответственно метод получения знаний - «обучение через делание», то есть выполнение практических заданий и упражнений (например, метод проектов). Роль учителя при этом сводится к выполнению функции помощника, консультанта.
Неопозитивизм, предметом рассмотрения которого является анализ языковых форм знания, отказывается от систематизации специального научного знания, а сложные проблемы современной методологии и семиотического анализа трактует в духе конвенциализма. В то же время, результаты логиче ского анализа языка науки, применяемые к процессам обучения, оказали позитивное влияние на развитие теоретических проблем методологии педагогики и нашли отражение в трудах таких отечественных мыслителей как Г.П. Щедровицкий, Ю.В. Громыко и их последователей, разрабатывающих СМД (системо-мыследеятельностную) - методологию образования. Неопозитиви-сткие положения методологии образования с позиций семиотики культуры представлены в трудах Ю.С. Лотмана, А.Я. Данилюка, В.А. Успенского, и с позиций логической семантики в трудах Г. Фреге, А. Карнапа, А. Черча.
Влияние неотомизма в современном российском образовании проявляется в проникновении в систему образования теологических концепций.
Материалистическая теория познания основывается на том, что всякое познание осуществляется человеком в процессе активной преобразовательной деятельности, формирующей определенные идеальные объекты, которые служат средством познавательного освоения объективного мира. Общественно-историческая практика выступает не только как основа и цель познания, но и как критерий истины. Познание начинается с ощущений, с чувственного ознакомления с материалом, а завершается рациональным обобщением. На этом основан краеугольный камень, золотое правило дидактики Я.А. Коменского: если какие-либо предметы сразу можно воспринять несколькими чувствами, пусть они и охватываются несколькими чувствами. Сразу отметим, что адаптация этого правила к обучению математике требует специального исследования в силу того, что объекты математики не существуют как реальные предметы, а являются только особыми, созданиями разума.
Процесс обучения как специфический процесс познания есть процесс постоянного движения и развития, он соткан из противоречий. Согласно М.А. Данилову, основным его противоречием выступает противоречие между выдвигаемыми ходом обучения познавательными и практическими задачами и наличным уровнем знаний, умений и навыков учащихся, уровнем их умственного развития. Если противоречие содержательно, то есть осмыслено учащимися, а его разрешение явно осознаваемая необходимость, то такое противоречие становится не только движущей силой учения, но и умственного развития [Данилов, 1971].
В рамках материалистической диалектики разработана теория деятельности (С.Л. Рубинштейн, А.Н. Леонтьев, В.В. Давыдов, А.В. Брушлинский, Г.П. Щедровицкий и др.), во многом определяющая исследования теоретических и методологических проблем педагогики и оказывающая многостороннее воздействие на педагогическую практику. Если ориентация теоретической педагогики на философию стала привычной еще со времен Я.А. Коменского, то в свете новых практических задач, столь же необходимыми для педагогики становятся теория знаний и теория коммуникации как структурные элементы теории деятельности.
Мировоззренческие установки построения дидактической системы подготовки учителя диктуются требованиями к образованию, обусловленные «решающей ролью знания и когнитивных способностей человека для эффективной организации инновационного социума» [А.О. Карпов, 2010: 21]. Главным в обучении становится не номинативное изучение учебных дисциплин, при котором учащийся запоминает общепринятые и изложенные в учебниках определения, закономерности и другие сведения, а его индивидуально-творческая деятельность, ведущая к созданию знания, а не к его обсуждению и верификации, к пониманию окружающей действительности в форме индивидуальной системы знаний.
Таким образом, базисными когнитивными идеями подготовки учителя выделяются: обнаружение проблем; создание знания в процессе преобразующей деятельности; определение границ применимости знания; семиотические аспекты представления знания.
Общенаучный уровень методологии предполагает поиск ответа на вопрос, что такое знание - предмет изучения эпистемологии. Понятие знание является одним из самых общих, которым сложно дать однозначное определение. В первом приближении эпистемологи определяют знание как адек ватное и обоснованное убеждение. При таком толковании знания его носителем выступает человек, в отличие от информации, носителем которой может быть любой предмет.
Но знание настолько многообразный феномен, что его трудно уложить в прокрустово ложе одного определения, что легко увидеть из рассмотрения того, как слово «знать» употребляется в нашем языке. Например:
- Я знаю дорогу в школу;
- Я знаю, как починить эту игрушку;
- Я знаю, что в равнобедренном треугольнике углы при основании равны.
Можно заметить, что слово «знаю» используется в этих предложениях в существенно различных смыслах. Так, в первом предложении - это «знание -знакомство». Во втором предложении - это «знание - мастерство» или «знание как», определенное умение, которое принято называть также компетентностью. В третьем предложении - это «знание что», которое выражает и характеризует некое состояние дел: наличие у предмета определенных свойств, отношений, закономерностей и т.п.
Вполне очевидно, что «знание - знакомство» не предполагает его понимания и осмысления. В то время как «знание - мастерство» не может не требовать, с одной стороны, целостного видения ситуации и связей между ее элементами, а, с другой, необходимых умений, и даже, возможно, их изобретения в процессе соответствующей деятельности. «Знание что» в первую очередь требует его понимания и осмысления, его места в объемлющей системе как в плане онтологическом, так и в плане организационно-деятельностном.
Семиотические аспекты подготовки учителя к овладению содержанием обучения математике младших школьников
Обучение, ориентированное на математическое развитие младших школьников, по самой своей сути обучение развивающее. «Развивающим является обучение, в процессе которого - путем преодоления противоречий -осуществляется сложная система количественных и качественных изменений в разнообразной деятельности ученика, детерминируемой закономерностями и принципами учебно-воспитательного процесса» [В.Ф. Паламарчук, 1987: 12]. Как известно, методологическим принципом развивающего обучения в отечественной педагогике является положение Л.С. Выготского о том, что обучение, опирающееся на «зону ближайшего развития» ребенка, ведет за собой развитие. В нашей концепции математическое развитие младшего школьника проявляется как общая интегративная способность личности создавать понятийные образы математических объектов и оперировать ими в процессах решения познавательных задач.
Развивающее обучение может функционировать успешно только на основе общих закономерностей учебно-воспитательного процесса:
- взаимосвязи образования, воспитания и развития;
- целенаправленности развития;
- на основе разрешения проблемных ситуаций;
- индивидуализации и дифференциации.
Основными компонентами развития являются:
- целевой;
- содержательный;
- операционный;
- мотивационный;
- контрольно-коррекционный.
Целевой компонент определяется составом когнитивных элементов понятийного образа: чувственно-сенсорными; визуально-пространственными; словесно-речевыми, операционально-логическими, операционально-символическими. В структуру понятийного образа могут включаться, а могут и не включаться мнемонический и аттенционный компоненты, которые играют вспомогательную роль как средство припоминания и сосредоточенности на объекте познания. Мы исходим из того, что сформированность понятийного образа означает возможность его самостоятельной актуализизации в проблемной ситуации.
Структура понятийного образа предполагает включение в познавательную деятельность младшего школьника как эмпирического, так и теоретического мышления, причем необходимым компонентом каждого из них выступает мышление образное, в частности, его разновидность мышление пространственное, необходимость которого в усвоении математического знания убедительно доказана И.С. Якиманской (1979, 1980, 1985, 2004).
Основа мышления - знание, то есть содержательный компонент математического развития. Встает вопрос, усвоение каких математических знаний может оптимально способствовать математическому развитию детей младшего школьного возраста, а, следовательно, какое содержание обучения математике необходимо принять за основу математической подготовки будущего учителя. Обучение математике как гуманитарной дисциплине требует опоры на взаимодействие личности с математическими объектами как предметами деятельности в реальном мире, что означает:
1) конструирование математических понятий, адекватных их объективному содержанию на основе обнаружения проблем в реальном мире;
2) использование дедуктивных умозаключений и умозаключений по аналогии и неполной индукции;
3)определения границ применимости изучаемого знания;
4) опоры на образное мышление.
Стержень содержания обучения математике младших школьников в настоящее время включает следующие разделы:
1) арифметика натуральных чисел;
2) элементы наглядной геометрии и некоторые алгебраические представления;
3) начальные представления о возможных и невозможных событиях, сборе и анализе данных.
Следовательно, эти разделы математики должны составить базовую фундаментальную подготовку учителя к математическому развитию младших школьников.
Раздел «Натуральные числа» традиционно доминирует в курсе математики начальной школы. Это вполне объяснимо, математика начинается там, где даются количественные оценки познаваемых явлений. Действительно, овладение понятием числа уже на начальной ступени общего математического образования открывает перед ребенком огромные возможности познания той реальности, которую ребенок осваивает. Но такие возможности откроются только в том случае, если формирование образа числа будет опираться на непосредственный опыт ребенка, можно сказать, будет трансформируемо его личностным опытом, где соответствие определяется теоретическими моделями числа. В начальной школе используются следующие теоретические модели натуральных чисел, каждая из которых «приоткрывает» одну из сторон понятия «натуральное число», которое по признанию многих математиков не может быть познано до конца, являясь категорией математики:
- наглядно-конструктивная модель Гильберта -Бернайса;
- теория количественного числа Г. Кантора (приложение 1);
- теория, рассматривающая натуральное число как результат измерения скалярной величины (приложение 1);
- теория, рассматривающая натуральное число как элемент системы собственных имен (приложение 2);
- теория, рассматривающая натуральные числа как элементы некоторой алгебраической системы (приложение 3);
- теория, рассматривающая натуральное число как элемент системы Пеа-но.
Наглядно-конструктивная модель Гильберта-Бернайса Основные положения наглядно-конструктивной модели Гильберта- Бер-найса следующие. В качестве исходного объекта берется объект I, называемый цифрой. Операция порождения других объектов состоит в приписывании этой цифры к уже имеющемуся объекту (в практике обучения младших школьников цифре сопоставляется палочка из набора счетных палочек, используемых как наглядное средство, а операции порождения - взятие еще одной палочки). Полученные в результате такой операции объекты также называются цифрами.
Между заданными таким способом цифрами устанавливается отношение порядка. Построение двух цифр будет протекать одинаково до тех пор, пока для одной из них не оборвется, в то время как для другой будет продолжаться. Тогда цифра, построение которой продолжается дальше, полагается большей. Наглядность и предметность такого построения соотносится с операцией приведения элементов во взаимно-однозначное соответствие, которая является одной из главных операций при формировании понятия числа у ребенка [Ж. Пиаже, 1960: 13].
Собственно в школе эта модель реализуется на самых первых шагах обучения, когда дети оперируют счетными палочками, или любым другим счетным материалом, производя первые шаги на пути приобретения математического опыта. Ту же самую операцию приведения во взаимно-однозначное соответствие осуществляет ребенок и тогда, когда в процессе счета использует пальцы как естественно данную последовательность, опредмечивающую последовательность слов - числительных, которую он просто заучивает.
Модель подготовки учителя к осуществлению математического развития младших школьников
Целостная модель подготовки студентов вуза к математическому развитию младших школьников реализуется в логике решения творческой задачи. Это значит, акцент в организации познавательной деятельности студентов переносится с обучения на учение, что в обобщенном виде требует:
- мотивирования студентов путем выявления проблемы в форме разрыва компетентностей;
- выдвижения вариантов разрешения проблемы и их анализа;
- обсуждения и выдвижения решающих действий;
- реализации идеи и обсуждения достоверности и границ применимости полученного результата.
В соответствии с предложенной концепцией математического развития младших школьников модель подготовки студентов к овладению профессиональными компетентностями осуществлять математическое развитие учащихся начальной школы на основе семиотического подхода строится с позиций современных взглядов на личность как субъекта своего развития, имеющего истоком представления С.Л. Рубинштейна о взаимосвязи человека с миром. Быть субъектом - творцом своей истории, значит осуществлять различные виды специфически человеческой активности [А.В. Брушлинский, 1991]. В качестве одного из механизмов развития личности психологи рассматривают рефлексию, понимаемую как процесс целостного переосмысления и преобразования человеком жизни в свете духовных потребностей и способностей. Согласно В.Д. Шадрикову, исследовавшему духовные способности профессионала, в их состав включаются три сферы:
- направленность личности (интересы и их модальность);
- ценностно-смысловая организация личности;
- личностная компетентность, понимаемая как способность приобретать новые знания и умения, справляться с задачами, существенными для профессиональной деятельности [Шадриков, 2007].
С этих позиций под компетентностью педагога понимается способность человека преобразовывать свои знания и действия (умения и навыки), с целью достижения стабильно высоких результатов, в конкретной педагогической ситуации. При этом деятельность, которая определяется целевой ориентацией на объект, перерастает в рефлексию и открывается как трансляция другим людям приобретений своего опыта [В .А. Петровский, 1996].
Применительно к практике профессионального становления компетентно-стей, определяющих готовность будущего учителя к математическому развитию младших школьников в условиях вузовской подготовки можно выделить:
- цель, состоящую в раскрытии студенту его способностей к самосовершенствованию методов, средств и форм обучения математике, направленных на математическое развитие обучаемых, посредством формирования понятийных образов математических объектов;
- содержание, рассматриваемое как становление профессиональных и личностных отношений с миром на основе актуализации интеллектуальных, эмоциональных, поведенческих ресурсов студента;
- направленность методов обучения и усвоения учебного материала на реализацию личностного потенциала в ходе решения педагогических задач в условиях, максимально приближенных к профессиональным;
- порождение нового отношения к себе и профессии.
Это значит, математика как учебный предмет в подготовке будущего учителя начальных классов выступает не только как инструмент решения педагогической задачи математического развития школьников, но и как средство формирования механизмов смыслообразования и смыслопоисковой деятельности, обеспечивающими ценностно-смысловую организацию личности.
Высокий профессионализм учителя предполагает не только прочные знания, умения и навыки, но и умственную активность: умение самостоятельно мыслить, ориентироваться в научной и другой информации, пополнять и обновлять запас знаний, сознательно использовать их при решении практических задач. Исходя из этого, подготовка будущего учителя к математическому развитию младших школьников должна:
- раскрывать студенту сущность изучаемых понятий так, что на любом этапе их изучения у студента возникала бы потребность в пополнении и расширении соответствующих знаний;
- способствовать целостному (холическому) видению математических объектов как предметов познания на основе гармоничного синтеза формально-логического и содержательно-образного мышления;
- инициировать потребность в постановке и решении практических задач по математическому развитию младших школьников через обретение умений формировать конкретные компоненты понятийного образа математического объекта;
- формировать умения обогащать и усложнять математический опыт учащихся начальных классов за счет опоры как на эмпирическое, так и теоретическое мышление при преобладании в подготовке студентов научно-теоретического знания и выраженной когнитивной ориентации педагогического осмысления этого знания.
Это означает необходимость развивать у студентов теоретическое мышление, так как теоретическое мышление позволяет выйти за пределы непосредственного восприятия событий, явлений, происходящих в мире, открывает путь к усвоению культуры математического мышления. Известно, что на развитие теоретического мышления направлена теория учебной деятельности Д.Б. Эльконина и В.В. Давыдова [Давыдов, 2004, 1991].
Учебная деятельность, рассматривается как форма активности субъекта, направленная на овладение социальным опытом предыдущих поколений, в соответствии с компонентами деятельности, выделенными А.Н. Леонтьевым: потребности, мотивы, задачи, действия, операции.
Единицей учебной деятельности является учебная задача, решение которой преобразует не предмет, а самого субъекта деятельности (обучающегося). Главная особенность учебной задачи в том, что ее решение открывает общий способ (принцип) подхода ко многим частным задачам определенного класса. Поставить учебную задачу - ввести обучающегося в ситуацию, требующую ориентации на общий способ ее разрешения, которая решается посредством системы учебных действий. Учебные действия направлены на то, чтобы при их выполнении раскрывались условия происхождения усваиваемого понятия (зачем и как выделяется его содержание, почему и в чем оно фиксируется, в каких частных ситуациях оно затем проявляется). Систематическое решение учебных задач посредством учебных действий способствует развитию теоретического мышления, а субъект превращается в изменяющего и совершенствующего самого себя, то есть становится субъектом своего развития.
Анализ зависимости уровня математического развития младших школьников от готовности учителя к такому развитию
Проведенные нами исследования философских, методологических и психолого-педагогических источников по проблеме математического развития в процессе общего начального математического образования позволили начать деятельность по выявлению теоретических основ, эмпирических методов и приемов, направленных на овладение будущим учителем системой знаний и практических умений, обеспечивающих готовность будущего учителя к математическому развитию младших школьников.
Целью констатирующего этапа эксперимента (1994 - 1999) было проведение анализа психолого-педагогических и методико-математических исследований вопросов математического развития младших школьников, констатацию проблем, возникающих на пути реализации обучения, направленного на математическое развитие. По результатам регулярно осуществляемых контрольных работ, анкетирования студентов, наблюдений за работой учителей начальных классов на уроках математики были выделены основные направления эмпирического исследования готовности будущего учителя к математическому развитию учащихся начальной школы. В результате проведенной работы были установлены:
1) содержательные критерии профессиональной готовности учителя к математическому развитию детей;
2) показатели эмоционально-ценностного отношения учителя к математическому развитию школьников в профессиональной деятельности;
3) показатели математического развития младших школьников и выделены, критерии, характеризующие уровень математического развития младшего школьника;
4) связи показателей математического развития учащихся начальной школы с показателями готовности учителя к профессиональной деятельности по математическому развитию обучаемых.
На констатирующем этапе экспериментальной работы, в котором было задействовано 574 студента, 304 школьника, 72 учителя начальных классов, всего 960 человек, выявлены:
- содержательные критерии готовности учителя к математическому развитию младших школьников, на основании которых выделены уровни профессиональной готовности (начальный, низкий, средний, высокий);
- уровни математического развития младших школьников;
- эмоционально-ценностное отношение будущего учителя к профессии.
Ядро математического знания как механизма нормирования педагогической деятельности учителя начальных классов по математическому образованию младших школьников достаточно традиционно. В настоящее время эта традиция развита и оформлена в ряде учебников, учебных пособий, задачников и других методических пособий (Л.П. Стойлова, Г.М. Аматова, М.А. Аматов, А.Е. Мерзон, А.С. Добротворский, А.Л. Чекин, A.M. Пышкало, Н.Н. Лаврова, А.П. Тонких, и др.). Тестирование студентов, обучавшихся математике в соответствии со сложившейся традицией, показало недостаточность их подготовки к математическому развитию младших школьников. Не более пятой части респондентов показали готовность к проектированию смыслопоисковой деятельности младших школьников, необходимой для формирования понятийных образов математических объектов.
По нашему мнению, вполне закономерным оказался и результат тестирования учащихся начальной школы, обучавшихся учителями с высшим образованием и прошедшими математическую подготовку в рамках сложившейся традиции. Большинство школьников достигает лишь первых двух уровней математического развития, причем, вопреки ожиданию, количество учеников, показавших третий и четвертый уровни математического развития, снижается от первого к четвертому классу. Объяснение такого положения можно было спрогнозировать, если обратиться к результатам наблюдения уроков математики в начальной школе. В обучении математике в начальной школе наблюдается:
- приоритет обучения оперированию знаковыми формами, направленностью на усвоение (запоминание) алгоритмов действий в стандартных ситуациях;
- недостаточность предметной деятельности детей в процессе усвоения математических понятий;
- недостаточность опоры на визуальные целостные представления математических объектов;
- доминирование вербальных способов предъявления информации;
- недостаточность включения в процесс обучения педагогической коммуникации в ее диалоговых (полилоговых) формах.
Трактовка математического развития как процесса становления в сознании ребенка своего математического образа мира и своего «Я» в этом мире показала необходимость разработки концепции математического развития, основу которой составляют дидактические принципы: принцип природосообраз-ности, принцип визуализации, принцип учета базовых механизмов интеллектуальной деятельности. Разработанная концепция математического развития младших школьников определила направленность поиска теоретических основ профессиональной подготовки учителя к математическому развитию младших школьников. Было установлено, что организация познавательной деятельности школьников как деятельности по кодированию и интерпретации математической информации, моделированию рассматриваемых ситуаций, исследование которых приводит к конструированию образов математических объектов, обеспечивает формирование когнитивных компонент понятийного образа и овладение способами оперирования ими, обогащая и расширяя математический образ мира ребенка.
Была обнаружена взаимосвязь визуализации математических объектов с усвоением их содержания студентами, выявлена зависимость готовности будущего учителя к математическому развитию школьников от понимания студентами изучаемого материала. На этом этапе экспериментального исследования обнаружена необходимость подготовки будущего учителя на основе понятийно-образного подхода, открывающего возможность толкования математики как гуманитарной учебной дисциплины в общем начальном образовании, необходимость развития творческих потенций личности будущего учителя. Согласно В.Н. Дружинину (1990), образцы продуктивного интеллектуального поведения в процессе поиска решения педагогических задач, в отличие от образцов их решения, стимулируя подражание такому поведению, являются необходимыми ступенями процесса становления творческих потенций личности.
На первый взгляд студенты изучают то, что хотят изучать, и ценностно-смысловая направленность изучения математики им изначально ясна. Тем не менее, анкетирование студентов - первокурсников показало, что ценностно-смысловая направленность математического образования в вузе ими осознается недостаточно как в плане профессиональной подготовки, так и в плане самореализации в профессиональной деятельности. Об этом свидетельствуют результаты анкетирования, представленные в таблице 7 (проанкетировано 48 студентов первого курса и 42 студента третьего курса, приступающие к изучению математики в вузе).
