Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА I. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ПРЕДПОСЫЛКИ РАЗВИТИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ КУЛЬТУРЫ СТУДЕНТОВ ТЕХНИЧЕСКИХ СПЕЦИАЛЬНОСТЕЙ 10
1.1 Развитие математической культуры студентов технических специальностей как педагогическая проблема 10
1.2 Психолого-педагогические основы развития математической культуры студентов 35
1.3 Модель развития математической культуры студентов технических специальностей 55
Выводы по первой главе 80
ГЛАВА II. ОПЫТ РАЗВИТИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ КУЛЬТУРЫ СТУДЕНТОВ АВТОТРАНСПОРТНЫХ СПЕЦИАЛЬНОСТЕЙ 83
2.1 Цели и задачи опытно-экспериментальной работы 83
2.2 Реализация содержания модели развития математической культуры студентов автотранспортных специальностей 102
2.3 Анализ и оценка результатов опытно-экспериментальной работы 126
Выводы по второй главе 133
Заключение 136
Литература 139
Приложения
- Развитие математической культуры студентов технических специальностей как педагогическая проблема
- Психолого-педагогические основы развития математической культуры студентов
- Цели и задачи опытно-экспериментальной работы
Введение к работе
Происходящие изменения в экономической жизни российского общества затрагивают все сферы социокультурной деятельности, в том числе систему подготовки инженерных кадров. Поиск средств и методов обучения для развития познавательных и креативных способностей студентов является важнейшей тенденцией современного высшего образования.
О соответствии инженера требованиям науки и практики в определенной области можно говорить в том случае, если он сочетает глубокие специальные знания с широко развитым интеллектом, поскольку только в таком сочетании он имеет возможности хорошо ориентироваться в быстро меняющихся ситуациях, характерных для современного состояния нашего общества, развития науки и техники.
Стать специалистом высокой квалификации сегодняшний студент сможет, если овладеет наряду со специальными знаниями наиболее рациональными и эффективными приемами умственного труда, приемами самостоятельного добывания знаний, другими словами, научится учиться на протяжении всей своей трудовой деятельности.
Важнейшая роль в подготовке высококвалифицированного инженера принадлежит математике. Это следует из того, что именно математика является главным средством познания закономерностей окружающего мира и раскрытия путей использования этих закономерностей в практической деятельности людей. А также, только математика, используя обобщенные понятия, термины и символы, позволяет исследовать самые разнородные явления и процессы, применяя для этой цели одни и те же методы и формулы.
Умение правильно применять математические методы для решения практических задач - одно из важнейших качеств профессиональной культуры современного инженера. Его можно формировать в процессе обучения математике только в условиях развития математической культуры, в которой объединены высокий профессионализм, интеллектуальность, социальная зрелость и творческое начало.
4 Однако для успешного развития математической культуры будущего
инженера необходимо привести в соответствие цели и содержание
математического образовательного процесса, методы преподавания данной
дисциплины. Математическое образование должно гармонически сочетаться со
всем процессом образования в целом.
Теоретическим проблемам содержания профессионального образования посвящены исследования С.Я. Батышева, B.C. Леднева, И.Я. Лернера, М.Н. Скаткина и др. Вопросам совершенствования математического образования и профессиональной направленности образования посвящены работы О.В. Артебякиной, Г.М. Булдык, Б.В. Гнеденко, А.И. Маркушевича, И.Г. Михайловой.
Методы обучения в высшей школе рассмотрены в работах СИ. Архангельского, А.П. Беляевой, В.П. Беспалько, А.А. Вербицкого, Ю.М. Колягина, М.И. Махмутова.
Особенности организации самостоятельной учебной деятельности отражены в трудах А. Ф. Меняева, П.И. Пидкасистого, Г.Н. Серикова, Н.Н. Тулькибаевой, А.В. Усовой.
Несмотря на большое количество исследований, посвященных проблемам математического образования, в том числе, касающихся профессиональной направленности преподавания математики, далеко не все стороны данной проблемы разработаны с достаточной полнотой. Как правило, основное внимание уделяется проблеме математического образования школьников, учащихся колледжей, студентов педагогических вузов. Вопросы качественного совершенствования подходов к отбору содержания математической дисциплины при обучении студентов технических специальностей, конкретизации целей и задач преподавания данной дисциплины, уточнения методики проведения занятий еще не стали предметом широкого научно-педагогического изучения.
Таким образом, актуальность исследования обусловлена противоречием между необходимостью и потребностью решения вышеизложенной проблемы,
5 с одной стороны, и недостаточной разработкой стратегий и условий
достижения столь значимой цели в системе подготовки инженерных кадров, с
другой стороны.
Теоретический анализ данной проблемы и обобщение педагогического опыта послужили основанием выбора темы нашего исследования «Развитие математической культуры студентов технических специальностей».
Цель исследования: выявить и научно обосновать комплекс педагогических условий развития математической культуры студентов технических специальностей в системе высшего профессионального образования.
Объект исследования: развитие математической культуры студентов технических специальностей.
Предмет исследования: процесс развития математической культуры студентов технических специальностей.
Гипотеза исследования: развитие математической культуры студентов технических специальностей будет проходить эффективнее, если:
в учебный процесс внедрено применение личностно-развивающих методик;
организация образовательного процесса способствует формированию мотивации студентов к изучению математики;
осуществлено программирование содержания обучения студентов по развитию математической культуры.
Исходя из цели, предмета и гипотезы, мы определили следующие задачи исследования:
Уточнить структуру и содержание математической культуры студентов технических специальностей.
Выявить критерии и уровневые показатели развития математической культуры студентов технических специальностей.
3. Обосновать и экспериментально проверить модель развития
математической культуры студентов технических специальностей.
4. Разработать научно-методические рекомендации по развитию математической культуры студентов технических специальностей.
Теоретико-методологической основой исследования являются:
- философское обоснование культуры (Н.Г. Багдасарьян, М.С. Каган, В.П.
Казарян, Н.Б. Крылова, Э.С. Маркарян, В.М. Межуев, Е.М. Скворцова);
- концепция личностно-деятельностного подхода к образовательным
процессам (В.П. Беспалько, В.А. Леднев, A.M. Новиков, И.А. Зимняя);
- психологическая теория развития в деятельности (К.А. Абульханова-
Славская, А.Н. Леонтьев, С.Л. Рубинштейн, Л.М. Фридман);
концепции вузовской дидактики и профессиональной подготовки студентов (СИ. Архангельский, Ю.К. Бабанский, В.П. Беспалько, А.А. Вербицкий, П.И. Пидкасистый, М.П. Скаткин, В.А. Сластенин);
положения личностно-развивающего обучения (В.В. Давыдов, Л.С. Выготский, Л.В. Занков, Д.Б. Эльконин);
идеи профессионально направленного обучения математике в вузах (Г.М. Булдык, Б.В. Гнеденко, И.П. Егорова, И. Костенко, Е. Плотникова, Т.В. Рыбакова, В.Н. Худяков).
Методы исследования: логика исследовательской работы обусловила
применение системы методов, дополняющих друг друга: изучение
философской, психологической, педагогической, методической,
математической и специальной литературы; изучение и обобщение педагогического опыта; анкетирование, наблюдение; беседы, устный и письменный опрос, тестирование; педагогический эксперимент; моделирование; статистическая обработка материалов исследования; анализ результатов опытно-экспериментальной деятельности.
База исследования: автотранспортный факультет Оренбургского государственного университета.
Логика и этапы исследования: теоретико-экспериментальное исследование проводилось в период с 2000 года по 2004 год и включало в себя три этапа.
7 На первом этапе (2000-2001 гг.) — организационно-подготовительном -
проводился анализ состояния математической культуры студентов технических
специальностей на базе транспортного факультета; изучалась философская,
психолого-педагогическая, методическая и специальная литература, а также
диссертационные исследования по проблеме, анализировались существующие
концептуальные подходы. Результатом этого этапа явилось построение
гипотезы и определение стратегии педагогического исследования.
На втором этапе (2001-2003 гг.) - организационно-практическом -осуществлялось уточнение гипотезы исследования, проводился поиск новых концептуальных подходов к решению проблемы. Разрабатывалась модель развития математической культуры, выявлялись условия ее функционирования. Проводился формирующий эксперимент, апробация и корректировка предложенной организации учебной деятельности.
На третьем этапе (2003-2004 гг.) - обобщающем - проводился анализ, систематизация и обобщение результатов, уточнение положений и выводов исследования.
Положения, выносимые на защиту:
математическая культура студентов технических специальностей - это личностное качество, представляющее собой совокупность взаимосвязанных базовых компонентов: математические знания, умения и навыки; математическое мышление; математический язык; математическое самообразование;
модель развития математической культуры студентов технических специальностей, логика и содержание, методы и организационные формы которой соответствуют принципам личностно-деятельностного подхода;
педагогические условия развития математической культуры:
а) применение личностно-развивающих методик;
б) формирование мотивации к изучению математики;
в) программирование содержания обучения студентов технических
специальностей по развитию математической культуры;
8 Научная новизна исследования:
- уточнена сущность понятия «математической культуры студентов
технических специальностей», что способствует осмыслению места
математической культуры в процессе обучения профессиональной
деятельности будущих инженеров;
разработана и апробирована модель развития математической культуры студентов технических специальностей;
определены критерии и уровневые показатели развития математической культуры студентов технических специальностей: объем и качество математических знаний и умений; качество математического мышления; степень владения математическим языком; качество умений математического самообразования;
- сформулированы педагогические условия развития математической
культуры студентов технических специальностей, соответствующие
содержанию и специфике модели, позволяющие развивать математическую
культуру студентов.
Теоретическая значимость исследования: результаты проведенного исследования способствуют развитию элементов теории и методики высшего профессионального образования.
Практическая значимость исследования:
разработано научно-методическое обеспечение развития математической культуры студентов технических специальностей, которое может быть использовано в сфере повышения квалификации преподавателей, в методической работе вуза;
- разработан и апробирован спецкурс «Развитие математической
культуры студентов технических специальностей» для студентов
автотранспортного факультета;
обоснована методика выявления уровней развития математической культуры, что позволяет преподавателю целенаправленно строить процесс развития математической культуры студентов технических специальностей.
9 Достоверность и обоснованность выводов и результатов
исследования обеспечивалась: применением методов, соответствующих
предмету, цели и задачам исследования; методологической обоснованностью
исходных позиций; использованием совокупности методов исследования
адекватных его задачам и логике; разнообразными источниками информации;
статистической значимостью экспериментальных данных; личным участием
автора в экспериментальной работе; проверкой модели и соотнесением
полученных результатов с данными психолого-педагогических исследований.
Апробация и внедрение результатов исследования.
Основные результаты доложены и одобрены на всероссийских научно-практических конференциях «Качество профессионального образования» (Оренбург, 2003), «Модернизация образования» (Оренбург, 2004), «Самостоятельная работа студента» (Оренбург, 2005), а также опубликованы в научных статьях и методических указаниях.
Результаты исследования используются в учебном процессе Оренбургского государственного университета, Сибирской государственной автомобильно-дорожной академии, Магнитогорского государственного технического университета им. Г.И. Носова, Уфимского государственного института сервиса, Орского гуманитарно-технологического института (филиала) Оренбургского государственного университета.
Личный вклад автора состоит:
- в осуществлении историко-педагогического анализа проблемы развития
математической культуры студентов технических специальностей;
- в разработке модели развития математической культуры студентов
технических специальностей на основе личностно-деятельностного подхода;
в организации и проведении экспериментальной работы, систематизации полученных данных;
Структура диссертации соответствует логике построения научного исследования и состоит из введения, двух глав, заключения, библиографии и приложений.
Развитие математической культуры студентов технических специальностей как педагогическая проблема
В параграфе обоснована необходимость развития математической культуры студентов технических специальностей. Это стратегическая задача профессиональной педагогики может быть поставлена как результат социального заказа на преобразования, которые происходят в системе высшего инженерного образования.
Как справедливо отмечают Н. Чебышев и В. Каган, «одними административными мерами проблемы преобразования высшей школы решить невозможно, и особенно - проблемы качественного развития. Здесь необходим комплекс мер, в основе которого лежат научно-педагогические методы. Прежде всего, с их помощью, можно добиться того, чтобы каждая дисциплина, изучаемая студентами, вносила фундаментальный вклад в их общее профессиональное образование. Ведь учебная работа по каждой дисциплине -это постоянный элемент педагогической политики вуза, а состояние этой работы - фактор, влияющий на все этапы подготовки специалиста. Необходима сильная, научно-обоснованная политика «протекционизма» этой сфере образования со стороны административных и методических органов вуза, а также государства и общества в целом. Иначе создание эффективных педагогических систем, способных стать ускорителями прогресса высшей школы, немыслимо» (223, с20).
Суть положения, выдвинутого учеными, заключается в том, что в высшей школе на кафедрах продолжает господствовать чисто предметное (дисциплинарное) образование, элементный подход (любой учебный предмет разный по своему содержанию, студент должен воспринимать «поочередно», так, как составлено расписание).
В статье «Образование и культура» А.И. Чугин-Русов обратил особое внимание на тот факт, что любое образовательное учреждение, а значит и высшая школа, ищут пути разрешения общекультурного кризиса, эпицентром которого стала Россия (228).
Помочь выйти из него - задача высшей школы, каждого ее преподавателя. Одно из направлений модернизации высшей школы - это формирование личности будущего инженера средствами математики. Речь идет о назревших изменениях в инженерном образовании, в том числе и посредством принципиально иного построения обучения студентов математике.
Как отмечает Х.Г. Тхагапсоев «речь идет о смене парадигмы рационализма на парадигму культуросообразности и культуротворчества, о смене основного смыслового знака образования «рационализм» на знак «культура». В этом случае студента нужно рассматривать с гуманистических позиций самоопределения, как саморегулирующуюся творческую и свободную личность, а инженерное образование - как генетический код (матрицу) общества и культуры (206, с. 13).
Одной из важнейших фундаментальных дисциплин для инженера является математическая дисциплина. По выражению В. Л. Кирпичева, математика «это есть царский путь в науке, это легкий способ образовать голову и сделать хорошего инженера» (224,с. 125). Поэтому реформирование математического образования инженера непосредственно влияет на повышение качества выпускаемых специалистов. С целью глубокого анализа состояния процесса развития математической культуры студентов технических специальностей, как педагогической проблемы, целесообразно использовать метод периодизации в ее изучении, а также теоретический анализ путей ее решения в исследованиях философов, психологов, математиков и педагогов (9, 13, 18, 22, 57,58, 113, 114).
Согласно методу периодизации можно условно выделить следующие периоды в развитии изучаемой нами проблемы.
В первом периоде(30-60-е годы) можно выделить:
- изменения в самой математике, которые характеризуется следующими основными направлениями: увлечение математической логикой, развитие функционального анализа, теории функций, абстрактных разделов математики, теории вероятностей;
- интерес в 40-50-е годы к психологии решения задач, в том числе математических, посредством исследования теории поэтапного формирования умственных действий, разработанной П.Я. Гальпериным и его учениками;
- методику преподавания математики во втузах, которая ориентируется «на понимание студентом излагаемого материала» (ПО), образцами этого изложения являются учебники Н.Н. Лузина, Г.М. Фихтенгольца.
Результатом этого периода явился взлет советской науки и техники в 50-60-е годы, венцом и символом которого стал запуск спутника и полет Ю. Гагарина в космос. С другой стороны, . выделенный период явился становлением проблемы, заявленной в исследовании.
Второй период относится к 60-80-м годам XX века, когда усилилось проникновение математических методов в другие науки, использование ими выработанного математического аппарата.
Этот период рассмотрим более подробно. Его определяют как время научно-технической революции, которая послужила становлению новой энергетики, изобретению и распространению современной вычислительной техники. В связи с этим, началось широкое применение математических методов в самых различных отраслях естественных, технических и, частично, социальных и гуманитарных науках. Процесс проникновения математических методов в другие науки, получивший название математизации научного знания, хотя и начался давно, но только в период научно-технической революции приобрел большой размах и стал особенно заметным. Наряду с традиционными областями приложения математики, какими являются астрономия, механика, физика и химия, математические методы стали применятся и в таких областях науки, которые раньше считались не поддающимися математизации ввиду их особой специфики (биология, экономика, социология, лингвистика, психология, педагогические исследования и др.). (180, с. 3)
Психолого-педагогические основы развития математической культуры студентов
С середины 80-х годов математическую культуру начинают рассматривать как «систему математических знаний, умений и навыков, органически входящих в фонд общей культуры учащихся, и свободное оперирование ими в практической деятельности» (88,с.7). В этом же исследовании вычленяются новые компоненты математической культуры, такие как математический язык и математическое мышление. Они появляются в связи с тем, что автор под математической дисциплиной понимает составляющую из трех компонентов: объективная содержательная сторона знания; знаковая форма выражения знания; процедура перехода от знания к знакам и наоборот. Под содержательной стороной математических знаний понимаются те объективные свойства действительности, которые вычленяются в процессе математической деятельности. Знаковая форма выражения - это конвенциальная система символизации математических объектов и операции, производимые с ними. А процедуру перехода от содержания к знаковой системе автор понимает как связь математической теории с реальной человеческой практикой.
Рассматривая любое явление действительности в двух взаимосвязанных аспектах: в динамике и статике, можно сказать, что динамический аспект есть процесс мышления, статический аспект - язык, в котором отражается достигнутый уровень мышления, соответствующий знаниям. На основе всего выше сказанного, следует, что математическое мышление и математический язык важнейшие компоненты математической культуры.
Таким образом, к концу 80-х математическую культуру понимают уже не только как знания, умения, навыки и свободное оперирование ими, но начинают включать такие компоненты как математическое мышление и математический язык.
Некоторые исследователи (О.В. Артебякина, С.А. Крылова и др.) утверждают, что базовые компоненты математической культуры невозможно сформировать, не развивая математические способности студента, что выявление и развитие способностей студента, привлечение их к творческому труду — одна из основных задач вузов.
Рассматривая математические способности, мы выделили классификацию В.А. Крутецкого (112, стр. 385), которая включает следующие качества:
1. Получение математической информации: способность к формализованному восприятию математического материала, схватыванию формальной структуры задачи.
2. Переработка математической информации:
а) способность к логическому мышлению в сфере количественных и пространственных отношений, числовой и знаковой символики; способность мыслить математическими символами;
б) способность к быстрому и широкому обобщению математических объектов, отношений и действий;
в) способность к свертыванию процесса математического рассуждения и системы соответствующих действий; способность мыслить свёрнутыми структурами;
г) гибкость мыслительных процессов в математической деятельности;
д) стремление к ясности, простоте, экономичности и рациональности решений;
е) способность к быстрой и свободной перестройке направленности мыслительного процесса, переключению с прямого на обратный ход мысли (обратимость мыслительного процесса при математическом рассуждении).
3. Хранение математической информации: математическая память (обобщённая память на математические отношения, типовые характеристики, схемы рассуждений и доказательств, методы решения задач и принципы подхода к ним).
4. Общий синтетический компонент: математическая направленность ума. К математическим способностям В.А. Крутецкий не относит следующие компоненты:
1. быстрота мыслительных процессов как временная характеристика (индивидуальный темп может быть разный, т.е. одни быстро решают задачу, другие медленно);
2. вычислительные способности (быстро и точно вычислять, как правило, в уме);
3. память на цифры, числа, формулы (А.Н. Колмогоров говорил, что многие выдающиеся математики имели плохую память такого рода, он также пояснял, что главное не знать большое количество формул, а уметь их умело и с пользой применять.);
4. способность к пространственным представлениям;
5. способность наглядно представить абстрактные математические отношения и зависимости.
Математическим способностям много внимания уделял математик и педагог Б.В. Гнеденко, он в своих работах писал, что «математические способности встречаются гораздо чаще, чем мы обычно думаем. Как правило, неудачи с усвоением курса математики происходят не из-за отсутствия математических способностей, а из-за отсутствия привычки систематически работать и доводить познаваемое до уровня понимания, а не до запоминания» (58).
Цели и задачи опытно-экспериментальной работы
В первом параграфе данного исследования показано, что математическая культура - это производная профессиональной деятельности инженера. Ее базовыми компонентами являются:
- система математических знаний и умений;
- математическое мышление;
- математический язык;
- профессиональное самообразование (математическое).
О.В. Артебякина в своем исследовании показывает, что термин «математическая культура» появился в 20-30-е годы XX века. Упоминание о ней мы можем встретить в исследованиях таких ученых как СИ. Амосов, И.К. Богоявленский, И.И. Жегалкин, Д.А. Крыжановский и др. Позднее И.М. Виноградов, Е.К. Добровольский и некоторые другие начали рассматривать математическую культуру как систему знаний и умений (9, с. 17).
В 40-50-е годы продолжалась работа по улучшению математического образования в вузах, школах. Особенно важное направление появляется в психологии, которое рассматривает поэтапное формирование умственных действий. Сторонниками этой теории являются П.Я. Гальперин, Е.Н. Кабанова-Меллер, А.Н. Леонтьев, С.Л. Рубинштейн и др.
Среди математиков проблему формирования математической культуры исследовали: A.M. Арсеньев, В.М. Брадис, Н.Я. Виленкин, В.И. Левин, М.В. Потоцкий и др.; среди педагогов: Б.В. Гнеденко, А.Н. Колмогоров, А.И. Фетисов и др. Однако, в этих исследованиях как таковая математическая культура не определяется (9).
Годы 50-60-х десятилетий являются расцветом научно-технической революции, которая послужила началом интенсивного формирования представлений о таких базовых компонентах математической культуры как математический язык, математическое самообразование, математические знания и умения.
С середины 80-х годов математическую культуру начинают рассматривать как «систему математических знаний, умений и навыков, органически входящих в фонд общей культуры учащихся, и свободное оперирование ими в практической деятельности» (88,с.7). В этом же исследовании вычленяются новые компоненты математической культуры, такие как математический язык и математическое мышление. Они появляются в связи с тем, что автор под математической дисциплиной понимает составляющую из трех компонентов: объективная содержательная сторона знания; знаковая форма выражения знания; процедура перехода от знания к знакам и наоборот. Под содержательной стороной математических знаний понимаются те объективные свойства действительности, которые вычленяются в процессе математической деятельности. Знаковая форма выражения - это конвенциальная система символизации математических объектов и операции, производимые с ними. А процедуру перехода от содержания к знаковой системе автор понимает как связь математической теории с реальной человеческой практикой.
Рассматривая любое явление действительности в двух взаимосвязанных аспектах: в динамике и статике, можно сказать, что динамический аспект есть процесс мышления, статический аспект - язык, в котором отражается достигнутый уровень мышления, соответствующий знаниям. На основе всего выше сказанного, следует, что математическое мышление и математический язык важнейшие компоненты математической культуры.
Таким образом, к концу 80-х математическую культуру понимают уже не только как знания, умения, навыки и свободное оперирование ими, но начинают включать такие компоненты как математическое мышление и математический язык.
Некоторые исследователи (О.В. Артебякина, С.А. Крылова и др.) утверждают, что базовые компоненты математической культуры невозможно сформировать, не развивая математические способности студента, что выявление и развитие способностей студента, привлечение их к творческому труду — одна из основных задач вузов.
Рассматривая математические способности, мы выделили классификацию В.А. Крутецкого (112, стр. 385), которая включает следующие качества:
1. Получение математической информации: способность к формализованному восприятию математического материала, схватыванию формальной структуры задачи.
2. Переработка математической информации:
а) способность к логическому мышлению в сфере количественных и пространственных отношений, числовой и знаковой символики; способность мыслить математическими символами;
б) способность к быстрому и широкому обобщению математических объектов, отношений и действий;
в) способность к свертыванию процесса математического рассуждения и системы соответствующих действий; способность мыслить свёрнутыми структурами;
г) гибкость мыслительных процессов в математической деятельности;
д) стремление к ясности, простоте, экономичности и рациональности решений;
е) способность к быстрой и свободной перестройке направленности мыслительного процесса, переключению с прямого на обратный ход мысли (обратимость мыслительного процесса при математическом рассуждении).
3. Хранение математической информации: математическая память (обобщённая память на математические отношения, типовые характеристики, схемы рассуждений и доказательств, методы решения задач и принципы подхода к ним).
4. Общий синтетический компонент: математическая направленность ума. К математическим способностям В.А. Крутецкий не относит следующие компоненты:
1. быстрота мыслительных процессов как временная характеристика (индивидуальный темп может быть разный, т.е. одни быстро решают задачу, другие медленно);
2. вычислительные способности (быстро и точно вычислять, как правило, в уме);
3. память на цифры, числа, формулы (А.Н. Колмогоров говорил, что многие выдающиеся математики имели плохую память такого рода, он также пояснял, что главное не знать большое количество формул, а уметь их умело и с пользой применять.);
4. способность к пространственным представлениям;
5. способность наглядно представить абстрактные математические отношения и зависимости.
Математическим способностям много внимания уделял математик и педагог Б.В. Гнеденко, он в своих работах писал, что «математические способности встречаются гораздо чаще, чем мы обычно думаем. Как правило, неудачи с усвоением курса математики происходят не из-за отсутствия математических способностей, а из-за отсутствия привычки систематически работать и доводить познаваемое до уровня понимания, а не до запоминания» (58).
