Содержание к диссертации
Введение
Глава I. СОСТОЯНИЕ ВОПРОСА О МЕТОДИКЕ ОБУЧЕНИЯ РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ НА ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ В КУРСЕ ГЕОМЕТРИИ 4-в КЛАССОВ 13
I. Роль, место и функции задач на геометрические преобразования.. .13
2. Виды задач на геометрические преобразования ... 30
3. Управление деятельностью учащихся в процессе решения задач на геометрические преобразования. 46
Глава II. МЕТОДИКА ОБУЧЕНИЯ УЧАЩИХСЯ РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ НА ОСЕВУЮ И ЦЕНТРАЛЬНУЮ СИШЕТРИИ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ АЛГОРИТМИЧЕСКИХ ПРЕДПИСАНИЙ И ЭВРИСТИЧЕСКИХ ПРОГРАММ.. 67
I. Методика обучения учащихся составлению и применению алгоритмических предписаний и эвристических программ 67
2. Методика обучения учащихся решению задач на осевую и центральную симметрии в 4-5 классах... 81
3. Методика обучения учащихся решению задач на осевую и центральную симметрии в курсе геометрии 6-8 классов П7
Глава III. ОРГАНИЗАЦИЯ ЭКСПЕРЙМШТАЛШОИ РАБОТЫ И ЕЕ РЕЗУЛЬТАТЫ... 165
ЗАКЛЮЧЕНИЕ 185
ЛИТЕРАТУРА 188
- Роль, место и функции задач на геометрические преобразования..
- Виды задач на геометрические преобразования
- Методика обучения учащихся составлению и применению алгоритмических предписаний и эвристических программ
Введение к работе
В период развернутого строительства коммунистического общества необходимым условием формирования гармонически развитой личности является всеобщее среднее образование. Как подчеркивалось на ХХУІ съезде КПСС, завершение перехода к обязательному всеобщему среднему образованию в нашей стране составляет значительное достижение развития народного образования. Вместе с тем на современном этапе предъявляются все большие требования к средней школе, к воспитанию и обучению подрастающего поколения. "Главное сегодня в том, чтобы повысить: качество обучения, трудового и нравственного воспитания в школе" /6, с. 60/» В связи с этим весьма актуальной остается проблема дальнейшего совершенствования как содержания образования, так и методики преподавания в средней школе»
Подведение итогов реформы математического образования, осуществленной в нашей стране, показало удовлетворение номенклатурой и объемом основного математического содержания. Создана базисная программа по математике, рассчитанная на длительный промежуток времени. Поэтому центр тяжести проблемы совершенствования математического образования переходит из области содержания в область совершенствования методики преподавания.
В этой связи особое значение придается методам обучения. Как отмечается в объяснительной записке к программе по математике, "максимальное развитие должны получить методы, способствующие повышению у учащихся интереса к изучению математики, сознательному усвоению ими математических понятий, стимулирующие активность учащихся, воспитывающие у них навыки самостоятельной работы, умение рационально и творчески выполнять полу-
- 4 -ченные задания, самостоятельно приобретать знания" /9, с» 7/. Таким образом, направление дальнейшего совершенствования методики преподавания математики состоит в сочетании репродуктивных и продуктивных методов обучения.
Применение указанных'методов предполагает использование различных средств, среди которых важная роль отводится математическим задачам» Именно они в большей степени способствуют как овладению основами математики, так и развитию мышления и творчества учащихся, повышению их самостоятельности, что отмечается в работах педагогов-математиков Колягина Ю.М., Маркуше-вича А.И., Пойа Д., Столяра АД., Эрдниева П*М. и др.
Важность математических задач для достижения целей обучения математике обусловила создание значительного числа учебно-методических пособий, среди которых видное место занимают работы Александрова И.И., Болтянского В.Г., Великиной П.Я., Даниловой Е.Ф., Жарова В.А., Саранцева Г.И., Сенникова Г.П., Соболевой В.Г., Перепелкина Д.И., Четверухина Н.Ф., Яглома Й.М. и др., посвященные геометрическим задачам. В этих работах основное внимание уделяется подбору и систематизации задач, описанию методов их решения, что, безусловно, способствует совершенствованию задачного материала по геометрии средней школы.
Как отмечается в объяснительной записке к программе, улучшение качества обучения учащихся решению задач связано с изучением математических методов. Особое значение приобретает сближение традиционных методов решения задач с современными методами, одно из ведущих мест среди которых принадлежит методу геометрических преобразований. В связи с тем, что задачи курса геометрии УІ-УШ классов "заключаются в систематическом изучении основных фактов планиметрии и применяемых в ней методов..."
/9, с* ЮУ, можно сделать вывод о том, что основной целью изучения геометрических преобразований в восьмилетней школе следует считать обучение учащихся методу геометрических преобразований, который имеет общеобразовательное, воспитательное и практическое значение. Эта значимость обусловлена тем, что геометрические преобразования дают метод изучения геометрии, метод решения геометрических задач, метод изучения объектов окружающего мира, метод решения прикладных задач.
Необходимость изучения геометрических преобразований .в вооьмилетней школе предъявляет определенные требования к математической подготовке учащихся: они должны иметь представления о равенстве и подобии фигур, представления об основных типах геометрических преобразований и их применении в геометрии. Учащиеся должны уметь выводить следствия утверждений о равенстве и подобии фигур* строить фигуру, в которую переходит данная при рассматриваемом геометрическом преобразовании, находить в конкретных ситуациях равные (подобные) фигуры, уметь доказывать их равенство (подобие). Эти умения должны быть доведены у них до уровня, обеопечивающего возможнооть самостоятельного решения задач..
Практика показывает, что учащиеся успешно справляются с решением задач на построение образов фигур при заданном геометрическом преобразовании; вместе с тем они испытывают значительные затруднения при решении задач на доказательство с использованием свойств движения.
В связи с этим требуется дальнейшее совершенствование методики обучения решению задач на геометрические преобразования, причем в направлении сочетания репродуктивных и продуктивных методов обучения. Такое совершенствование методики обучения
учащихся решению задач на геометрические преобразования составляет проблему диссертационного исследования. Объектом исследования выбран процесс обучения учащихся решению задач на геометрические преобразования. Предметом исследования явилась методика обучения учащихся решению задач на геометрические преобразования.
Методика обучения учащихся решению задач до сих пор остается традиционной со всеми ее недостатками, раскрытыми довольно подробно в работах Крутецкого В.А. /86/, Давыдова В.В. /60/ и др. В частности, как отмечают авторы, учителя чаще всего показывают учащимся образцы решения некоторых типовых задач, а затем предлагают аналогичные задачи для самостоятельного решения, перекладывая тем самым обобщение способа решения типовых задач на учащихся. Однако самостоятельно перейти от одной-двух задач к способу их решения при такой методике могут только сильные учащиеся.
Анализ психолого-педагогичеокой литературы показывает, что одним из путей совершенствования обучения учащихся решению задач является управление их деятельностью через ориентировочную оонову действия. Одним из наиболее эффективных путей быстрого и качественного формирования действий учащихся является такое управление их деятельностью, при котором ориентиры представлены в общем виде, в полном составе и получены учащимися самостоятельно (Леонтьев А.Н., Гальперин П.Я., Талызина Н.Ф.). Ориентировочная основа действия может быть выражена в виде алгоритмического предписания или эвристической программы (схемы) решения как отдельной математической задачи, так и задач целого вида0 Если каждая команда в их последовательности представляет собой точное (однозначное и всегда выполнимое) предписание,
то эту последовательность называют алгоритмическим предписанием для решения задач данного вида. Если же в последовательности есть команды, требующие для своего выполнения некоторого творческого поиска, то это - эвристическая программа или схема решения задач данного вида.
Изучение опыта лучших учителей позволило сделать вывод, что в их практике находят широкое применение алгоритмические предписания и эвристические программы решения типовых задач. Вместе с тем учителя чаще всего вводят алгоритмические предписания и эвристические программы в готовом виде, а если и предлагают учащимся самостоятельно составить алгоритмическое предписание или эвристическую программу, то не обучают учащихся приемам их составления.
В научно-методической литературе, в основном, дано описание использования алгоритмических предписаний для решения задач некоторых видов и описание использования эвристичеоких программ решения любой математической задачи: показаны возможности применения алгоритмических предписаний при изучении алгебраического материала /78, 115/; дано описание применения алгоритмических предписаний при решении конкретных задач на построение, при доказательстве конкретных теорем /115/; раскрыто применение алгоритмических предписаний в начальной школе /74/. Некоторые алгоритмические предписания приведены и в школьных учебных пособиях /15, 23, 41/. Кроме того описаны эвриотические программы решения любой математической задачи /61, 84, 126, 165/. Однако их применение требует большого творческого поиска со стороны учащихся, к чему они на ранних этапах обучения еще не готовы. Поэтому целесообразно предварительно обучить учащихсячфпользо-ванию эвристических программ решения задач некоторых видов, а
затем уже обучать их применению эвристических программ решения любой математической задачи.
В рассматриваемой литературе имеет место описание лишь отдельных алгоритмических предписаний и эвристических программ решения некоторых видов задач на геометрические преобразования; алгоритмические предписания и эвристические программы даются в готовом виде или вводятся на основе некоторого теоретического положения или решения одной-двух задач. Деятельность учителя по обучению учащихся их составлению не нашла должного отражения в научно-методической литературе. Таким образом, необходимость дальнейшего теоретического исследования по совершенствованию методики обучения учащихся решению задач на геометрические преобразования и практические потребности школы определяют актуальность проблемы диссертационного исследования.
По проблеме сочетания репродуктивных и продуктивных методов обучения проведено исследование іуровой Л.Л. /59/ о соотношении формальных и эвристических компонентов в решении задач, в результате которого был сделан вывод, что указанное соотношение можно охарактеризовать как отношение взаимного соподчинения; кроме того, ориентировочная деятельность по третьему типу (ориентиры представлены в полном составе, в общем виде и получены учащимися самостоятельно) по ряду признаков совпадает с эвристической деятельностью. Тем самым подтверждается правильность выбранного подхода к совершенствованию методики обучения учащихся решению задач на геометрические преобразования, который состоит в применении алгоритмических предписаний и эвристических программ.
Разработка проблемы диссертационного исследования потребовала решения ряда задач:
выделения видов задач, способствующих овладению учащимися методом геометрических преобразований;
конструирования алгоритмических предписаний и эвристических программ решения выделенных задач;
определения путей и возможностей обучения учащихся ре-шению задач на геометрические преобразования с использованием алгоритмических предписаний и эвристических программ;
разработки методических рекомендаций по обучению учащихся методу геометрических преобразований.
В основе решения задач исследования лежат закономерности . диалектико-материалистического метода познания, а также основные положения советской педагогики и психологии. Обучение решению задач должно вестись в соответствии с принципами советской дидактики, а именно:
характер задач должен способствовать развитию логического и творческого мышления учащихся;
при обучении составлению и применению алгоритмических предписаний и эвристических программ использовать методы анализа и синтеза, обобщения и конкретизации, индукции и дедукции;
при конструировании алгоритмических предписаний и эвристических программ, а также при подборе задач, учитывать их
' доступность для учащихся.
В процессе проведения исследования использовались следующие методы: анализ психолого-педагогической и научно-методической литературы по теме, изучение опыта лучших учителей, практическое и экспериментальное преподавание, наблюдение, беседы о учащимися и учителями.
Проведенный анализ психолого-педагогической литературы и практическое преподавание позволили выдвинуть гипотезу:
- ю -
обучение решению задач с помощью алгоритмических предписаний и эвристических программ, в составлении которых учащиеся принимают активное участие, будет способствовать овладению методом геометрических преобразований и развитию логического и творческого мышления учащихся, повышению их самостоятельности.
Обучение учащихся методу геометрических преобразований осуществляется на протяжении всего курса геометрии; весьма существенная роль в этом отводится осевой и центральной симмет-риям. На примере этих преобразований происходит знакомство учащихся с методом геометрических преобразований; длительное их изучение способствует формированию умений учащихся по овладению методом геометрических преобразований. Наконец, в процессе обучения учащихся на примере осевой и центральной симметрии создаются эвристические программы, которые могут быть использованы при изучении других геометрических преобразований. Это позволяет проводить обучение учащихся методу геометрических преобразований на примере осевой и центральной симметрии.
В первой главе освещается состояние вопроса о методике обучения учащихся решению задач на геометрические преобразования в соответствии с тремя направлениями: цели обучения учащихся решению задач на геометрические преобразования; виды задач на геометрические преобразования; управление деятельностью учащихся в процессе решения задач на геометрические преобразования,
В данной главе выделены виды задач с использованием геометрических преобразований, обоснована необходимость обучения учащихся решению задач с использованием алгоритмических предписаний и эвристических программ. Выделенные задачи разделены на две группы: задачи, направленные на формирование метода геометрических преобразований, и задачи, направленные на его
- II -
применение.
Во второй главе раскрыты пути и возможности обучения учащихся решению задач на геометрические преобразования: показаны пути обучения учащихся самостоятельному составлению алгоритмических предписаний и эвристических программ, описана общая методика обучения учащихся составлению и применению алгоритмических предписаний и эвристических программ, приведена система алгоритмических предписаний и эвристических программ решения задач на геометрические преобразования.
В данной главе приведены задачи, способствующие овладению методом геометрических преобразований и развитию логического и творческого мышления учащихся, которые объединены в комплексы заданий, удовлетворяющие следующим требованиям: комплексы заданий имеют определенное целевое назначение; комплексы заданий связаны, в основном, с рассмотрением определенных геометрических фигур; в комплексы заданий включаются как прямые, так и обратные задачи; задачи поискового и проблемного характера.
В этой главе показана методика обучения учащихся решению задач каждого вида в соответствии с изучаемыми темами курса математики ІУ-У классов и курса геометрии УІ-УШ классов. Приведенная методика заключается в использовании алгоритмических предписаний и эвристических программ, в составлении которых учащиеся принимают активное участие.
Организация и результаты экспериментальной работы описаны е третьей главе. Предлагаемые методические рекомендации прошли экспериментальную проверку в средних школах I, 2, 3, 6 и 2-ой восьмилетней школе г. Клинцы Брянской области, в средней школе К'і 10 г. Брянска, в средней школе В 306 г. Москвы.
Научная новизна исследования оостоит в
раскрытии путей и возможностей обучения учащихся решению задач на геометрические преобразования с использованием системы алгоритмических предписаний и эвриотических программ.
Практическая значимость работы состоит в том, что в ней:
а) показаны пути и разработана общая методика обучения
учащихся составлению алгоритмических предписаний и эвристических
программ, что может быть использовано при обучении учащихся ре
шению типовых задач;
б) выделены виды задач и приведены комплексы заданий по
осевой и центральной симметриям, способствующие овладению мето
дом геометрических преобразований, являющиеоя основой для со
вершенствования задачного материала школьных учебных пособий;
в) разработаны методические рекомендации по обучению уча
щихся методу геометрических преобразований, которые могут быть
использованы и при рассмотрении других математических методов
решения задач;
г) приведена сиотема алгоритмических предписаний и эврис
тических программ решения задач на геометрические преобразования
и разработаны методичеокие рекомендации по обучению учащихся
методу геометрических преобразований, которые могут оказать
определенную помощь учителю в практике его работы,
Ооновные результаты исследования были доложены на Ш научно-практической конференции "Укрупнение дидактических единиц" в г. Элисте, на научно-методических семинарах кафедры методики преподавания математики МГПИ им, В.И.Ленина, а также освещены в статьях У95, 96, 97, 98/.
- ІЗ -
Роль, место и функции задач на геометрические преобразования
Роль, место и функции задач можно определить, исходя из общеобразовательных, воспитательных и практических целей изучения геометрических преобразований, которые в свою очередь вытекают из целей обучения геометрии в средней школе. Цели обучения геометрии определяются целями обучения математике. Последние обусловлены требованиями, предъявляемыми к школе на современном этапе, "Б современных условиях, - отмечалось на ХХУ съезде КПСС, - когда объем необходимых для человека знаний резко и быстро возрастает, уже невозможно делать ставку на усвоение определенной суммы фактов. Важно прививать умение самостоятельно пополнять свои знания, ориентироваться в стремительном потоке научной и политической информации" /5, с, 77/. В соответствии с этим вносятся определенные изменения в общеобразовательные, воспитательные и практические цели обучения математике»
На современном этапе общеобразовательные цели обучения математике состоят, главным образом, в обеспечении прочного и сознательного овладения учащимися основными математическими знаниями и навыками, в формировании у них "правильных представлений о природе математики, сущности и специфике ее методов, о месте математики в системе наук и ее роли в науке, технике, производстве" /9, с. 77. Среди воспитательных целей обучения математике в объяснительной записке к программе по математике отмечается общее развитие учащихся, формирование у них навыков логического мышления, развитие пространственных представлений, воображения, творческого мышлениям Практические цели обучения математике определяются тем, что в условиях современной научно-технической революции математика становится необходимой в любой профессии, в развитии любой науки, любой отрасли народного хозяйства. В силу этого возникает задача выделения в математике того общего, что необходимо каждому специалисту народного хозяйства в его деятельности. Этим общим являются математические методы.
Из общих целей обучения математике вытекают пели изучения курса геометрии, которые заключаются в систематическом изучении основных фактов геометрии и применяемых в ней методов, среди которых достойное место занимает метод геометрических преобразований. Общеобразовательные цели изучения геометрических преобразований обусловлены их важностью для самой геометрии и для методики преподавания, так как одна из основных ролей в геометрии принадлежит движениям и подобиям: весь теоретический курс можно построить на общей идее - идее геометрических преобразований; в основе решения большого числа задач лежит метод геометрических преобразований. Важны не только общеобразовательные, но и воспитательные и практические цели использования геометрических преобразований в школе. Включение геометрических преобразований в програшу средней школы способствует реализации воспитательных целей обучения математике, так как они обогащают идейное содержание курса геометрии, помогают показать один из путей применения диалектического метода познания окружающего мира, состоящего в изучении становления, развития материальных объектов, их взаимных связей друг с другом.
Виды задач на геометрические преобразования
Относительно Еыбора теоретического материала по данной теме, места этого материала в курсе геометрии и последовательности его изучения нет единого мнения в имеющейся учебной и научно-методической литературе. В одних работах геометрические преобразования являются основой курса геометрии /48, 87, 112, 155, 157/, в других - идея геометрического преобразования хотя и находит большое отражение, однако основой не является /23, 46/; необходимо отметить и такие работы, где идее геометрического преобразования не уделяется достаточного внимания /79, 117, 125/.
В выборе последовательности изучения отдельных видов геометрических преобразований наблюдаются также различные подходы, а именно:
1) сначала изучается общее понятие о движении, а потом его виды /87, 1557;
2) сначала изучается осевая симметрия, а через композицию осевых симметрии вводятся все остальные виды движения /76, 112, 138/;
3) все виды движения изучаются последовательно /23, 46/;
4) сначала изучается один вид движения, затем делается обобщение и рассматривается общее понятие движения, после чего изучаются остальные его виды /31, 48/,
Проанализируем каждый из подходов. Начинать изучение с понятия движения, значит, сразу вводить высокий уровень абстракции, к чему учащиеся на первых этапах изучения геометрии еще не готовы. Изучение всех видов движения через композицию осевых симметрии, конечно, облегчает изучение свойств центральной симметрии, поворота и параллельного переноса, так как делается ссылка на уже известные учащимся свойства, однако оамо понятие композиции требует дополнительной работы, Е то время как наглядно центральная симметрия, поворот и параллельный перенос легче представляются без композиции. На третьем пути возникает трудность в обучении учащихся общему методу решения задач, так как нет общего подхода в изучении теории. Последний путь способствует более успешному введению понятия движения, так как у учащихся уже есть конкретная опора для обобщения; кроме того, введение общего понятия движения в доступной форме на ранних этапах изучения помогает формировать общий подход к изучению других видов движения, а также вести работу по ознакомлению с методом геометрических преобразований.
Методика обучения учащихся составлению и применению алгоритмических предписаний и эвристических программ
Предлагаемая методика обучения учащихся решению задач на геометрические преобразования основана на применении алгоритмических предписаний и эвристических программ, в составлении которых учащиеся принимают активное участие.
Анализ научно-методической литературы показал, что введе ние алгоритмических предписаний и эвристических программ может осуществляться тремя путями; на основе определения некоторого понятия, на основе некоторой теоремы, на основе решения одной-двух задач. Применение системы алгоритмических предписаний и эвристических программ позволяет составлять новые алгоритмические предписания и эвристические программы на основе уже известных. Такой путь составления алгоритмических предписаний и эвристических программ представляется весьма важным для развития теоретического мышления учащихся.
В предлагаемой методике используются все четыре пути составления алгоритмических предписаний и эвристических программ. Так, из определения точек, симметричных относительно прямой (точки), следует способ их построения; из определения фигуры, имеющей ось (центр) симметрии, следует способ доказательства симметричности фигуры относительно оси (центра).
Из теоремы о параллельности центрально оимметричных прямых выведена схема решения задач на доказательство параллельности прямых с использованием центральной симметрии; из признака параллелограмма выведена схема решения задач на определение вида четырехугольника по наличию в нем центра оимметрии.
На основе решения одной-двух задач введена схема построения образов фигур при заданной центральной симметрии, схема доказательства равенства фигур с использованием осевой симметрии, схема доказательства симметричности точек (фигур), схема построения соответственных точек на соответственных (произвольных) фигурах, схема решения конструктивных задач с применением геометрических преобразований.
На основе схемы доказательства равенства фигур с использованием осевой симметрии получена схема доказательства равен ства фигур с использованием центральной симметрии; на основе схем решения задач на доказательство равенства фигур с использованием осевой или центральной симметрии получена схема решения задач на доказательство равенства фигур с использованием движения; на основе схемы доказательства равенства фигур с использованием осевой симметрии и схемы доказательства параллельности прямых с использованием центральной симметрии составлена схема решения задач на доказательство с использованием свойств движения; на основе схемы построения образов фигур при заданной центральной симметрии получена схема построения образов фигур при заданной осевой симметрии; на основе схемы определения вида четырехугольника по наличию в нем центра симметрии составлена схема определения вида фигурдпо наличию в ней оси (центра) симметрии.
Соответственно каждому отмеченному способу введения схем и алгоритмических предписаний описывается общая методика обучения учащихся самостоятельному их составлению,
I. При использовании определения некоторого понятия вначале выделяются все условия, которым должна удовлетворять определяемая фигура, условия упорядочиваются, и на этой основе создается соответствующая схема или алгоритмическое предписание для решения задач,
г. При использовании теоремы вначале записывается ее формулировка в условной форме, выделяется условие и заключение, потом составляется схема применения теоремы:
1) доказать, что выполняется условие теоремы;
2) сделать вывод, что выполняется заключение теоремы. 3, При использовании определенных задач проводится их анализ с целью выделения плана их решения, а от плана решения переходят к общей схеме,
4. При использовании уке известных эвристических программ или алгоритмических предписаний проводится анализ каждого их шага с целью применения аналогии или обобщения для составления новых эвристических программ или алгоритмических предписаний.
При первом знакомстве с каждым из указанных путей введения алгоритмических предписаний и эвристических программ учащиеся под руководством учителя составляют нужное предписание или программу, после чего, анализируя ход их создания, выделяют общий прием использования определения некоторого понятия, некоторой теоремы, определенных задач или известных алгоритмических предписаний и эвристических программ для создания новых. В дальнейшем, применяя уке известный им прием, самостоятельно составляют алгоритмические предписания и эвристические программы.
