Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА 1. ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА НАУЧНЫХ ИССЛЕДОВАНИЙ И ОБЩИЕ ВОПРОСЫ ИХ МОДЕЛИРОВАНИЯ 22
1. Теоретические вопросы моделирования научных исследований
2. Исследовательские аспекты работы учителя 48
3. Принцип моделирования научных исследований 60
4 Сборник задач по математике в свете требований современной методики 75
5 Принципы построения задачника по математике 88
6. Многофункциональность упражнения и многофакторность умения . 97
ГЛАВА 2. ТЕХНОЛОГИЯ ПОСТРОЕНИЯ БАНКА УПРАЖНЕНИЙ 102
7 Отношения эквивалентности и восстановительная дифференциация 104
8. Отступление: восстановительная дифференциация и теорема о гомоморфизмах групп 121
9 Отношения эквивалентности и пропедевтическая дифференциация: геометрическое мышление на школьном уровне 128
10. Отношения эквивалентности: пропедевтика, развитие и внутри предметные связи как средство построения задачника 148
11. Базовая индивидуализация при изучении линейной алгебры: вычислительные алгоритмы 189
12. Базовая индивидуализация при изучении линейной алгебры: теоретические вопросы 205
13 Принципы построения задачника и концепция профессионально-педагогической направленности в преподавании математики 223
ГЛАВА 3. МОДЕЛИРОВАНИЕ НАУЧНЫХ ИССЛЕДОВАНИЙ НА ЗАДАЧНОМ
МАТЕРИАЛЕ 228
14. Индуктивность математического творчества
15 Моделирование процессов информационного обмена: линейная алгебра 250
16. Моделирование процессов информационного обмена: теория групп 260
17. Банк упражнений как отражение современного состояния науки 275
18. Опыт использования концепции моделирования научных исследований 304
19- Подготовка академической группы студентов к исследовательской деятельности 329
ГЛАВА 4. ЕДИНСТВО БАНКА УПРАЖНЕНИЙ И МЕТОДИКИ ЕГО ИСПОЛЬЗОВАНИЯ 335
20. Методический раздел задачника по математике
21. Компьютерная поддержка 344
ЗАКЛЮЧЕНИЕ 352
ЛИТЕРАТУРА 3 58
РИСУНКИ 379
- Теоретические вопросы моделирования научных исследований
- Отношения эквивалентности и восстановительная дифференциация
- Индуктивность математического творчества
Введение к работе
Актуальность данного исследования вызвана тем, что развитие творческой активности учителя современной школы оказалось в настоящее время тесно связанным с необходимостью разрешения ряда противоречий, существующих в теории и практике педагогического образования.
История российского образования сложилась так, что, начиная с середины прошлого века и в течение по крайней мере ста лет, целый ряд школьных учебников был написан школьными учителями. Наибольшее количество школьных учебников создали учителя математики (А.Н.Барсуков, Н.К.Вальцов, О.А.Вольберг, А.П.Киселев, П.А.Ларичев, К.Ф.Лебединцев, А.Н.Шапошников и другие). Этот факт свидетельствует о традиционно высоком уровне российских учителей и налагает на современное педагогическое образование обязательства по его поддержанию.
Система школьных олимпиад, например, по математике, приобрела общемировое значение, поскольку практически все страны участвуют в ежегодных всемирных олимпиадах. Традиционно высокий рейтинг российской команды невозможен без широкого охвата учащихся на всей территории станы, а значит, без исследовательской работы их руководителей - учителей школ. Помимо олимпиад все более широкое распространение приобретают другие формы исследовательской активности детей: научные конференции, телеконференции в системе Интернет и проч.
Появляются школьные учебники, которые с первого класса ориентированы на формирование умственных действий, характерных для исследовательской работы (Л.В.Занков, Н.Б.Истомина).
Развивается сеть профильных школ и классов, преподавание в которых имеет целью развитие способностей и творческого опыта учащихся. Возникает, но еще не сформировалась система магистратуры, которая призвана готовить учителей-исследователей в рамках специальности "магистр образования".
На фоне перечисленных явлений, невозможных без активной инновационной деятельности учителей, мы можем констатировть отсутствие общепризнанной системы подготовки (пусть даже чисто эмпирической) учителя с профессиональными навыками научного работника, участвующего в создании новых педагогических технологий. Тем самым проявляется первое из группы специфических противоречий, которое можно определить как противоречие между явлениями в сфере образования, объективно вовлекающими учителя в исследовательскую деятельность, и отсутствием общепризнанной системы подготовки учителя высшей квалификации с профессиональными навыками научного работника.
Второе противоречие обусловлено взаимодействием двух обстоятельств: накоплением научных данных о том, что преподавание в школе неразрывно связано с исследовательской работой в специфической области знания, с одной стороны, и отсутствием общепризнанной теории подготовки учителя высшей квалификации с профессиональными навыками научного работника, с другой стороны.
Общепризнано и доказано теоретически, что учитель должен иметь хорошую предметную подготовку. Это означает, что он должен владеть обеими сторонами преподаваемой дисциплины, наличие которых вытекает из общего определения науки: некоторой суммой знаний и опытом деятельности по их получению. Возможность приобретения такого опыта вытекает как из анализа творческой методологии соз дателей науки, так и из исследований в области образования. В работах классиков - Болыдано, Гаусса, Декарта, Клейна, Лапласа, Лейбница, Ньютона, Римана, Пуанкаре и в особенности Эйлера - математика предстает как эвристическая наука, для которой характерны наблюдение, эксперимент, гипотеза, аналогия, неполная индукция и другие методы исследования, применяемые в естественных науках. Методические работы (С.А.Генкин, В.А.Гусев, О.А.Иванов, Д.Пойа, Г.Фройденталь и другие) показывают, что индуктивно-дедуктивный дуализм математики, равноправие интуиции и логики могут быть проиллюстрированы на материале всех областей математики и на всех ее уровнях, начиная с элементарного. В силу этого вполне естественно, что дидактические работы прямо ставят вопрос об исследовательской деятельности учителей, о целенаправленном обучении педагогическому творчеству, о соавторстве учителей в создании новых педагогических технологий, о получении школьных учебников нового поколения с участием учителей, о формировании в исторически короткий срок нового учителя (Б.З.Вульфов, В.И.Загвязинский, Л.В.Занков, В.М.Монахов, М.Н.Скаткин, В.А.Сластенин Л.Ф.Спирин и другие). Работы по педагогике творчества (В.И.Андреев, Н.С.Лей-тес, И.Я.Лернер, М.И.Махмутов, В.С.Шубинский, И.С.Якиманская и другие) показывают необходимость развития творческого опыта обучаемых, что может быть выполнено только таким учителем, который имеет личный опыт творческой и, в частности, исследовательской деятельности. В концентрированном виде описанная система представлений может быть выражена словами Г.Спенсера: "Что значит преподавать? - Это значит систематически побуждать учащихся к собственным открытиям".
На этом фоне мы можем констатировать отсутствие общепризнан ной теории подготовки учителя высшей квалификации с профессиональными навыками научного работника- Тем самым выявляется второе противоречие, обуславливающее актуальность настоящего исследования.
Названные противоречия являются ведущими во множестве противоречий процесса формирования исследовательских навыков у студента педагогического вуза и имеют многообразные проявления. Одно из них - противоречие между целесообразностью иллюстрации эвристического характера науки, в частности, математики и отсутствием методического обеспечения базовых курсов для педагогического вуза, предназначенного для этой цели.
Другое противоречие, важное для данной работы, состоит в разнонаправленности и неодинаковости скоростей эволюции у вузовских учебников и задачников, рассматриваемых как виды учебной литературы. Анализ университетских учебников математики показывает, что в течение 70-х годов произошла смена их поколений, которая выразилась в значительном обновлении содержания, используемой символики, во внимании к контексту, в который включен изучаемый материал, и в ряде других черт. В отличие от учебников, задачники на протяжении многих лет сохраняют некоторые свои характеристические черты, такие, как ориентированность на технические навыки, завуалированность принципов составления, изолированность взаимосвязанных задач, что не позволяет говорить о смене их поколений. Данная диспропорция вызвана тем, что учебники, вольно или невольно, следуют за развитием науки, а для задачников отражение новых научных явлений не считается обязательным, они не рассматриваются как инструмент для выработки навыков исследовательской деятельности.
Отмеченные противоречия указывают новое направление исследований и позволяют сформулировать проблему: каковы теоретико-методические основы подготовки учителя со сформированными умениями и навыками исследовательской деятельности?
Настоящее исследование посвящено решению данной проблемы и имеет перед собой следующую цель: разработать теоретико-методические основы моделирования научных исследований в процессе обучения студентов педагогического вуза и обосновать методику воспроизведения базовых свойств научных исследований в учебном процессе как средство улучшения качества подготовки специалиста.
Объектом исследования выступает оптимизация процесса научной подготовки студента педагогического вуза.
Предмет исследования - подготовка учителя со сформированными умениями и навыками исследовательской деятельности.
Гипотеза исследования состоит в том, что существует принципиальная возможность оптимизации процесса подготовки специалистов на основе целенаправленного воспроизведения базовых свойств научных исследований в учебном процессе. Она окажется справедливой, если
- среди фундаментальных свойств научных исследований, не зависящих от уровня исследования и их предметной области, удастся выделить педагогически значимые;
- будут обоснованы принципы построения учебной литературы, предназначенной для воспроизведения этих свойств в учебном процессе;
- содержание предметной области изучаеемой дисциплины допускает создание соответствующей учебной литературы;
- теоретические положения и практические разработки окажутся
многофункциональными, обеспечивающими профессионально-педагогическую направленность обучения в вузе и потребности послевузовской научной деятельности.
По поводу первого из пунктов гипотезы заметим следующее. Список характристических свойств научных исследований весьма велик (или бесконечен), поэтому при их выборе мы будем руководствоваться теоретико-прагматическими критериями обоснованности, конструктивности, реализуемости.
В соответствии с проблемой, объектом, предметом и целью исследования решались следующие задачи.
1. Разработать концептуальные положения, способствующие воспроизведению базовых свойств научных исследований в учебном процессе.
2. Обосновать принципы построения учебной литературы (задачников ), предназначенной для моделирования свойств научных исследований в учебном процессе.
3. Доказать принципиальную возможность моделирования выделенных свойств в рамках государственных образовательных стандартов для педагогических вузов.
4. Выявить целесообразность и эффективность такого моделирования с точки зрения концепции профессионально-педагогической направленности обучения в педагогическом вузе.
5. Доказать возможность полной реализации теоретических положений в отношении подготовки учителей одной из специальностей.
Методологическую основу исследования составляет общефилософский системный подход, который базируется на положении о всеобщей связи явлений, на поиске целостных характеристик изучаемых явлений и их модификаций в частных случаях и который интегрирует на учно-теоретическую и практическую подготовку будущего педагога.
Настоящее исследование носит междисциплинарный характер и одновременно затрагивает общие вопросы теории и методики профессионального образования, конкретные вопросы подготовки учителя математики и вопросы собственно математики. Есть основания считать, что теоретические положения, выявленные на стыке далеких друг от друга научных дисциплин, носят общий характер и могут быть экстраполированы на другие области.
В основу психолого-педагогической составляющей методологии положена концепция личностно-ориентированного педагогического образования, опирающаяся на гуманистический и деятельностный подходы к человеку и процессам его онто- и филогенеза, концепция развивающего обучения. В качестве критерия применимости основных положений к практике высшей школы используется концепция психолого-педагогической направленности обучения в педагогическом вузе.
В основу математической составляющей методологии положено представление об индуктивно-дедуктивном дуализме математики и о ее органической связи с естественными науками.
Для решения поставленных задач был использован комплекс взаимодополняющих методов исследования: теоретический анализ литературы, анализ и синтез отечественного и зарубежного педагогического опыта, математическое и педагогическое моделирование, педагогический эксперимент и математические методы его обработки.
Базой исследования являлись Ярославский государственый педагогический университет, Ярославский государственный университет, Высший педагогический институт г. Пинар-дель-Рио (Куба).
Источники исследования. Междисциплинарный характер исследования вызвал необходимость двукратного изучения вопроса с различ ных точек зрения: сначала автор работал как математик внутри некоторых современных математических теорий, а затем сопоставлял содержание этих теорий и особенности работы математика с теорией и практикой вузовского учебного процесса.
В соответствии с этим были использованы материалы из монографий по ряду математических дисциплин: геометрии (Д.В.Алексеев-ский, Ш.Кобаясии, С.П.Новиков, Б.А.Розенфельд и другие), математическому анализу (Ж.Дьедонне), алгебре (С.Ленг, М.Холл), теории групп и алгебр Ли (Э.Б.Винберг, Л.С.Понтрягин, Ж.-П.Серр), теории представлений групп (А.А.Кириллов), теории супералгебр (Ф.А.Березин, Д.А.Лейтес, Ю.И.Манин) и некоторых других.
Затрагивая вопросы философии математики, касающиеся природы математического творчества, настоящее исследование аппелирует к трудам Ж.Адамара, Н.Бурбаки, Г.Вейля, Р.Декарта, Дж. фон Неймана, А.Пуанкаре, А.Н.Колмогорова и других авторов.
Касаясь вопросов истории математики, настоящее исследование использует работы М.Клайна, Ф.Клейна, А.Н.Колмогорова, П.Я.Кочи-ной, Д.Я.Стройка. Сведения по истории математического образования в России получены из книги И.К.Андронова, а по персоналиям - из книги А.Н.Боголюбова.
Д.Пойа был первым, кто показал, что эвристичность математического творчества, равноправие логики и интуиции могут быть продемонстрированы на элементарном математическом материале и активно использоваться в преподавании. За ним последовало чрезвычайно большое количество авторов, из которых настоящее исследование обращается к работам С.А.Генкина, В.А.Гусева, О.А.Иванова, Г.Фройденталя, П.М.Эрдниева, а из ученых ярославской школы - к работам В.В.Афанасьева и З.А.Скопеца.
Работы авторов из предыдущей группы сравнивались с задачниками по базовым математическим курсам (Г.Н.Берман, Н.Я.Виленкин, Б.П.Демидович, Х.Г.Икрамов, И.В.Проскуряков, В.А.Садовничий, А.С.Солодовников, Д.К.Фаддеев и ряд других).
Работы авторов из двух предыдущих групп сравнивались с учебниками разных типов. Во-первых, рассматривались учебники, в которых изложение материала организовано в виде серии специальным образом подобранных задач (В.Б.Алексеев, А.В.Архангельский, В.Ф.Бутузов, М.М.Глазман и другие). Во-вторых, рассматривались стандартные учебники по базовым математическим курсам, написанные в разное время (И.М.Гельфанд и Ю.М.Манин по линейной алгебре, А.Г.Курош и А.И.Кострикин по общей алгебре, П.К.Рашевский и С.П.Новиков по дифференциальной геометрии и ряд других). В-третьих, рассматривались некоторые школьные учебники (Н.Б.Истомина, А.П.Киселев и другие).
Синтезирующую роль по отношению к информации, полученной из всех предыдущих источников, сыграли психолого-педагогические труды: методологические работы (Л.С.Выготский, П.Я.Гальперин, В.В.Давыдов, В.А.Лекторский, А.Н.Леонтьев), дидактические работы (Б.З.Вульфов, В.И.Загвязинский, Л.В.Занков, В.М.Монахов, Л.Ф.Спирин), работы по педагогике творчества (Дж.Брунер, В.А.Крутецкий, Д.Пойа, Я.А.Пономарев, С.М.Шалютин, В.С.Шубинский, П.М.Эрдниев), работы по изучению мотивационного тренинга (М.Ксикзентмихали, Д.Макклелланд, А.К.Маркова, Р.де Чармс, Р.Райан). Отдельную группу образуют работы Л.Д.Кудрявцева и А.Г.Мордковича по педагогике высшей школы.
Иностранные исследования по педагогике высшей школы представлены статьями группы авторов, работающих под руководством Эда
Дубински.
Организация и этапы исследования
Первый этап (1982-1988 гг.). Изучение литературы и определение исходных параметров исследования. Накопление эмпирических данных. Сравнительный анализ работы математика-исследователя и математика-педагога. Первая версия общих утверждений.
Второй этап (1989-1990 гг.). Проверка полученных результатов в условиях другого государства, в котором система образования сложилась под влиянием российскго образования (Куба). Коррекция первоначальных результатов.
Третий этап (1991-1995 гг.). Детальная разработка концепции, ее теоретической и практической направленности. Апробация и внедрение в России.
Четвертый этап (1996-1997 гг.). Повторная проверка полученных результатов в условиях другого государства с развитой системой образования, которая сформировалась независимо от российского образования (США). Систематизация и обобщение материалов исследования. Издание монографии. Литературное оформление диссертации.
На защиту выносятся следующие основные положения.
1. Принцип моделирования научных исследований: подготовка учителя должна целенаправленно осуществляться как модель научных исследований с первых дней обучения в вузе. При этом воспроизведению в учебном процессе подлежит группа педагогически значимых свойств научной работы, которая обеспечивает определенную степень характеризации научной деятельности и подчинена требованиям обоснованности, конструктивности и реализуемости: уникальность научного пути исследователя, современность ведущихся исследований, индуктивность научного творчества, обмен самостоятельно получен ной научной информацией.
2. Технология написания учебной литературы, адекватной целям подготовки учителя-исследователя, базирующаяся на двух осйовных принципах: целеполагающем принципе моделирования научных исследований и комплексообразующем принципе единства банка упражнений и методики его использования. Данные принципы формулируются следующим образом:
- учебная литература, в частности, задачники, может и должна служить инструментом моделирования базовых свойств научных исследований в учебном процессе;
- следует создавать целостную методику изучения материала на практических занятиях, составной частью которой служит задачник в традиционном понимании.
3. Интегративная методика изучения предмета на практических занятиях, воспроизводящая базовые свойства научных исследований в учебном процессе, где под интегративностыо понимается целостное описание различных характеристик банка упражнений: его происхождения, внутренних связей его элементов, внешних связей с программами вуза и школы и с продвинутыми научными теориями и, наконец, собственно инструкций по его применению.
Предметная область науки (математики) допускает создание интегративной методики ее изучения на практических занятиях. Разработанная и обоснованная методика изучения алгебры и теории чисел является средством моделирования свойств научных исследований в учебном процессе, т.к. она, оставаясь в рамках государственных стандартов,
- обеспечивает полную персонификацию заданий;
- знакомит студентов с элементами современных математических
теорий (алгебры Ли, супералгебры, представления, флаговые пространства) ;
- предлагает широкий выбор задач с элементами эвристики;
- предоставляет группе студентов возможность усвоения части материала в процессе обмена самостоятельно полученной информацией.
4. Многофункциональность теоретических положений и разработанной на их базе методики определяется тем, что они
- обеспечивают выполнение государственного стандарта;
- раскрывают глубокие взаимосвязи изучаемого материала с содержанием школьной программы, удовлетворяя тем самым требованиям концепции профессионально-педагогической направленности обучения;
- несут серьезную пропедевтическую нагрузку по отношению к последующим этапам обучения студента в магистратуре и аспирантуре.
Такое единство функций оказывается возможным благодаря целенаправленному моделированию базовых свойств научных исследований в учебном процессе.
Научная новизна исследования определяется следующим.
1. Разработаны концептуальные положения о моделировании научных исследований в учебном процессе, применимые ко всем годам обучения, ко всем студентам, к базовым курсам. Определены условия раскрытия этих положений в виде списка свойств научных исследований, подлежащих воспроизведению в учебном процессе.
2. Обоснованы принципы построения учебной литературы (задачников), предназначенной для моделирования свойств научных исследований.
3. Доказана принципиальная возможность моделирования свойств
научных исследований в учебном процессе в рамках государственных образовательных стандартов для педагогического вуза. Более того, доказана целесообразность и эффективность такого моделирования с точки зрения концепции профессионально-педагогической направленности преподавания в педагогическом вузе.
4. Выявлена возможность полной реализации концепции моделирования научных исследований в отношении подготовки учителей математики.
Теоретическое значение исследования, рассматриваемое в общем плане, состоит в том, что возможность широкомасштабного и раннего моделирования свойств научных исследований вскрывает глубокое единство в процессах подготовки исследователей в классическом университете и учителей в педагогическом вузе.
Результаты исследования могут служить методологической основой по крайней мере для двух направлений профессионального образования: для плановой подготовки учителей-исследователей в педагогических вузах и на педагогических специальностях классических университетов; для целенаправленной подготовки магистрантов и аспирантов, в особенности в педагогических вузах, к будущей преподавательской деятельности.
Авторский подход вводит представление о скорости эволюции учебной литературы и предлагает технологию ее увеличения на современном этапе.
Основные положения дают критерий оценки проектируемых реформ различных компонентов образования (стандартов, учебных планов, программ, лекционных курсов, учебников и пр.): намечаемую реформу можно считать целесообразной, если ее результатом станет более полное моделирование характеристических свойств научной работы.
Полученные результаты открывают некоторые другие направления исследований: способы применения их вне математики, в особенности в естественных науках; поиск другой, более широкой группы педагогически значимых свойств научных исследований, которая достигала бы большей степени характеризации при сохранении их обоснованности, конструктивности и реализуемости; реализацию сформулированных принципов на основе чисто компьютерных технологий.
Практическая значимость исследования непосредственно вытекает из положений предыдущего пункта, поскольку каждое из них может быть развито в чисто практическом направлении. Дополнительно можно указать следующее.
Практическое значение исследования проявляется в том, что к настоящему моменту созданы и опубликованы:
- монография по моделированию свойств научных исследований в учебном процессе;
- задачник по линейной алгебре для студентов и преподавателей высших педагогических учебных заведений;
- дидактические материалы для одного из разделов курса алгебры и теории чисел;
- серия методических указаний по математическому анализу;
- альтернативная программа по математическому анализу для первой ступени обучения.
Реализация основных положений в отношении подготовки учителя математики, указанная в качестве одной из задач исследования, носит прикладной характер, поскольку представляет собой авторскую методику проведения практических занятий. Совершенствование качества подготовки достигается за счет целенаправленного моделирования базовых свойств научных исследований в учебном процессе.
Прикладная эффективность исследуемых принципов выражается в их бифункцональности: их применение к математическому материалу позволяет сформировать специальный банк упражнений, а а повторное применение, теперь уже к построенному банку, порождает методику проведения практических занятий. Тем самым данные принципы оказываются для преподавателей вузов инструментом разработки их собственных авторских методик.
Исследование показало, что при соотвествующем подходе преподаватели имеют возможность быстрого формирования весьма большого количества упражнений с заранее заданными педагогическими и математическими свойствами. Следствием этого является возможность повышения степени индивидуализации обучения и оптимизации процесса усвоения знаний, другое следствие - методическая поддержка преподавателя, своего рода рационализация педагогического труда, которая освобождает много времени и позволяет использовать его для творческой работы. Возможность генерирования практически неограниченного количества упражнений алгоритмического характера позволяет перевести задачники, как вид учебной лиетратуры, на качественно новый уровень, полностью удалив из них алгоритмические задания и насытив освободившуюся часть теоретическим заданиями различной направленности.
Текст настоящей работы, рассматриваемый как единое целое, может служить одним из вариантов курса "Технологии профессионально ориентированного обучения", предназначенного для подготовки магистрантов к работе в вузе.
Достоверность результатов исследования обеспечивается, прежде всего, многократной проверенноетью тех методологических основ, на которых базируется данная работа. Она обеспечивается обосно ванностью используемых автором базовых положений педагогики высшей школы и философии образования, выдвинутых специалистами в сфере подготовки преподавательских кадров, опорой на отечественные традиции и опыт. Специфика данной работы, лежащей на стыке математики и гуманитарных наук, состоит в том, что достоверность содержащихся в ней утверждений поддается логическому анализу в той же мере, в какой поддаются логическому анализу доказательства в математических исследованиях. Вместе с тем, соответствующие положения проверены экспериментально.
Апробация и внедрение результатов исследования. Основные содержательные элементы предлагаемого подхода прошли апробацию и внедрены в учебный процесс в таких вузах, как Ярославский государственный педагогический университет, Ярославский государственный университет, Высший педагогический институт г.Пинар-дель-Рио (Куба), Дейтонский университет (Дейтон, Огайо, США).
Результаты исследования освещены в монографии автора (объемом 8,56 п.л.), в учебном пособии (2,75 п.л.), в дидактических материалах (2 п.л.), в четырех учебно-методических пособиях (общий объем 8 п.л.), в 9 статьях и 14 сборниках тезисов конференций.
По мере получения результатов они регулярно докладывались на конференциях различного уровня. Региональные конференции: Ярославль (1988, 1990, 1997), Сыктывкар (1988); всероссийские конференции: Улан-Удэ (1989), Рязань (1991), Коломна (1992), Липецк (1993), Елабуга (1994). Орск (1995), Ульяновск (1995), Петербург (1996), Новгород (1997); международные конференции: Гавана (1990; Куба), Казань (1992), Акрон (1996; Огайо, США), Ульяновск (1997).
Структура диссертации. Настоящая работа состоит из введения,
четырех глав, заключения, раздела, содержащего рисунки, и списка цитируемых источников.
В первой главе "Характеристические свойства научных исследований и общие вопросы их моделирования" суммированы исследовательские аспекты работы современного учителя и вытекающая из них необходимость введения принципа моделирования научных исследований. Выявлены базовые свойства научной работы, подлежащие моделированию. Сформулированы принципы построения задачника, предназначенного для этих целей.
Во второй главе "Технология построения задачника по математике" показано, что исследуемые принципы служат эффективным инструментом насыщения задачника конкретными упражнениями. Это достигается путем описания процесса построения ряда оригинальных коллекций упражнений, адекватных поставленным целям. Показана полная совместимость исследуемых принципов и концепции профессионально-педагогической направленности обучения в вузе.
В третьей главе "Моделирование научных исследований на за-дачном материале" показано, что применение концепции моделирования научных исследований позволяет воссоздать на практических занятиях характеристические свойства научной работы. Предложены модели подготовки к исследовательской деятельности для отдельного студента и для академической группы в целом.
В четвертой главе "Единство банка упражнений и методики его использования" предложен один из способов соединения в единый комплекс задачника в традиционном понимании и описания методики его применения на практических зянятиях.
В заключении изложены выводы, которые позволяет сделать решение поставленных исследовательских задач, и рассмотрены некото рые из возможных направлений развития настоящего исследования. Некоторые терминологические соглашения.
Мз сказанного выше ясно, что мы будем иметь дело как с отдельными упражнениями и задачами, так и с их совокупностями, имеющими определенное назначение. Для удобства примем ряд соглашений об употреблении некоторых общеизвестных слов.
Упражнение - задание, выполняемое с помощью алгоритма.
Задача - задание, для выполнения которого необходимы нефор-мализуемые действия.
Коллекция - множество упражнений и/или задач, структурированное на основе тех или иных принципов.
Заметим, что слово "коллекция", употребляемое в обычном смысле по отношению растениям, минералам, бабочкам, маркам, картинам и т.п., предполагает наличие разветвленной классифицирующей структуры.
Группа - совокупность однотипных заданий.
Цикл - последовательность связанных друг с другом заданий; "одномерная" коллекция.
Блок - совокупность циклов, связанных общей идеей; "двумерная" коллекция.
Банк - коллекция коллекций; задачник в традиционном понимании, снабженный описанием его структуры и методики его использования.
Причиной введения данной терминологии служит необходимость отражения в задачном материале реальных сочетаний проблем, которые стихийно возникают в математике.
В дальнейшем выражение "профессионально ориентированный" означает ориентацию на потребности будущего учителя.
Теоретические вопросы моделирования научных исследований
Структура настоящего параграфа в определенной мере отражает структуру определения науки: "Наука - сфера человеческой деятельности, функцией которой является выработка и теоретическая систематизация объективных знаний о действительности... Понятие науки включает в себя как деятельность по получению нового знания, так и результат этой деятельности - сумму полученных к данному моменту научных знаний ..." ([115]; БСЭ. Т. 17. С. 323. Курсив мой. -А.Я.). В соответствии с этим будут рассмотрены две группы литературных источников: работы, относящиеся к математической и педагогической деятельности, и работы, касающиеся содержания образования. В свою очередь, первая группа источников разбивается на две подгруппы: работы по философии математики и работы, связанные с исследованиями в области образования. Вторая группа источников включает в себя монографическую литературу по математике, вузовские учебники и задачники, а также отдельные школьные учебники. Некоторые историко-математические работы, связанные с темой данного исследования, также найдут свое отражение в нашем обзоре. Каждое положение, извлеченное из того или иного источника, будет рассматриваться под следующим углом зрения: что может и чего не может оно дать для организации обычного, повседневного преподавания математики в вузе. Под "обычным и повседневным" мы понимаем в буквально смысле то, что означают эти слова: обычный, а не столичный и не экспериментальный педагогический вуз; подготовка учителей для массовой, а не профильной школы; базовый курс алгебры, геометрии или математического анализа, а не специальный курс или спецсеминар; обычная академическая группа, а не специально сформированная группа талантливых студентов. Для контраста процитируем одного из ведущих математиков нашего века Н.Винера: "Лучший и, пожалуй, единственный способ обучать хорошо подготовленных студентов, занимающихся наукой, - это делать что-то вместе с ними" ([25]. С. 336). Соглашаясь по существу с высказанной мыслью, автор обращает внимание на то, что Н.Винер не задается вопросом о том, кто и как хорошо подготовит студентов и привлечет их к занятиям наукой. Настоящая работа концентрируется на первоначальных этапах высшего образования, на которых особенно трудно воспроизводить базовые свойства научных исследований и вырабатывать у студентов соответствующие навыки.
Для того, чтобы еще отчетливее выразить специфику настоящего иследования, сравним сказанное в предыдущем абзаце с подходом О.А.Иванова [57-59, 208]. Его основное теоретическое исследование [57] посвящено подготовке учителей профильных школ, о которой сказано следующее: "Обучение на математических факультетах университетов должно быть направлено на подготовку специалиста -учителя высшей квалификации - с профессиональными навыками научного работника, и учмтюля-летодиста". (С. 31.) При этом во главу угла ставятся так называемые интегративные курсы, которые отличаются двумя особенностями: во-первых, изложение материала происходит не строго последовательно, а группируется вокруг определенных понятий, математических идей и утверждений; во-вторых, в этом изложении понятия и идеи элементарной математики связываются с общими математическими понятиями, идеями и утверждениями, известными студентам по базовым университетским курсам. (С. 54). При таком подходе невольно происходит сужение вопроса! учитель высшей квалификации с навыками научного работника оказывается учителем профильной школы, хотя массовая школа нуждается в таких учителях в той же, если не в большей, мере и имеет огромное поле деятельности для учителя-исследователя; подготовка учителя высшей квалификации становится прерогативой математических факультетов университетов, хотя педагогический институт не только может, но и должен ставить перед собой такую задачу; чтение интегративных курсов откладывается до завершения базовых курсов, тем самым задерживая начало формирования исследовательских навыков. Повторимся: настоящее исследование ориентировано на воспроизведение свойств научных исследований в условиях изучения базовых курсов математики в обычном педагогическом вузе. Тем самым два подхода взаимно дополняют и усиливают друг друга.
Отношения эквивалентности и восстановительная дифференциация
По мнению автора, отношения эквивалентности принадлежат к числу таких понятий, которые должны быть с особой тщательностью проработаны студентами и способы изучения которых должны обсуждаться в педагогических коллективах. Столь пристальное внимание к данной теме во многом определяется ее свойствами. С одной стороны, школьный курс математики насыщен бинарными отношениями, и в частности, отношениями эквивалентности: равенство (чисел, функций, векторов); отношения порядка (строгого и нестрогого); равносильность (уравнений и неравенств); конгруэнтность (отрезков, треугольников); гомотетичность и подобие треугольников; параллельность, перпендикулярность и скрещиваемость прямых; параллельность и перпендикулярность плоскостей; сонаправленность и проти-вонаправленность лучей. С другой стороны, с помощью отношений эквивалентности строятся многие объекты институтского курса: числовые множества Z, О и К, кольца классов вычетов, линейные многообразия, фактор-группы, проективные пространства. Наконец, отношения эквивалентности изучаются в начале курса алгебры. Все сказанное позволяет считать, что естественной целью изучения данной темы является обеспечение преемственности обучения в школе и в вузе. Необходимо, чтобы в результате изучения данного раздела студент приобрел новую, более широкую точку зрения на объекты школьного курса и увидел, что многие разнородные объекты этого курса являются отношениями эквивалентности. На основе этой новой точки зрения студент движется дальше, конструируя с помощью отношений эквивалентности новые математические понятия.
Отметим, что раннее изучение отношений эквивалентности делает эту тему тем рубежом, на котором целесообразно начать изучение алгебры по предлагаемой автором методике.
В данном параграфе мы предложим оригинальную коллекцию упражнений, которая позволит организовать индивидуальную работу со студентами в каждом из направлений, перечисленных в 4. Кроме того, мы обсудим происхождение этих упражнений и их возможные применения на более поздних стадиях изучения математики.
Как уже упоминалось, многие студенты, поступившие в инсти тут, недостаточно хорошо знают школьную программу. Кроме того, значительная часть из них не имеет навыков самостоятельной работы, удовлетворяющих потребности вуза. При таких "начальных условиях" деятельность педагога должна иметь максимально возможную эффективность во всех аспектах процесса преподавания: педагогических, психологических и собственно математических. Укажем в этой связи на некоторые общепринятые приемы оптимизации учебного процесса: выработку у студента прочных навыков самостоятельной работы, ориентацию обучения на потребности будущего учителя, пропедевтическую направленность изучаемой темы по отношению к последующим темам курса. Конечно, список приемов оптимизации обучения можно было бы существенно расширить, однако мы ограничимся именно этими приемами по двум причинам. Во-первых, их удачное применение достаточно для качественного усвоения знаний, разумеется, при положительной мотивации студента по отношению к процессу обучения. Во-вторых, мы предполагаем обсудить применение указанных приемов к изучению отношений эквивалентности.
Автором разработана методика изучения темы "Отношения экви валентности", позволяющая устранить некоторые недостатки в школь ных знаниях первокурсников с помощью указанных выше приемов опти мизации. Основу методики составляют строго индивидуальные домаш ние задания, которые оформлены в виде дидактических материалов [168]. Эти материалы отличаются двумя особенностями: а) задачи подобраны таким образом, что процесс их решения помимо своей ос новной цели выработки "институтских" навыков - заставляет сту дента повторятьте или иные разделы школьной программы; б) задачи скомпонованы таким образом, что любой преподаватель легко может составить из них индивидуальные работы другого объема и уровня сложности, чем предложено в материалах [168]. Опишем процесс соз дания такого задачника, то есть попытаемся объяснить, почему мы предлагаем именно такие, а не иные,упражнения. Подчеркнем, что для читателя бу-дет важен не только окончательный набор упражне ний, но и процесс формирования задачника.
class3 МОДЕЛИРОВАНИЕ НАУЧНЫХ ИССЛЕДОВАНИЙ НА ЗАДАЧНОМ
МАТЕРИАЛЕ class3
Индуктивность математического творчества
Часто ли встречаются в практике преподавания такие темы, которые допускают формирование двусторонне ориентированного набора упражнений? Автор-убежден, что да. Развернутый ответ на этот вопрос должен был бы состоять в предъявлении большого списка тем и сопутствующих им коллекций упражнений, каждая из которых обладает теми же педагогическими возможностями, что и Большой Банк. Приведем одну из тем такого списка - отношения эквивалентности. Анализ 7, 9, 10 показывает, что при формировании системы упражнений на отношения эквивалентности используются все основные разделы математики - алгебра, геометрия и анализ. Ориентация на школу выражается, прежде всего, в возможности использования упражнений для восстановления технических навыков, а именно, навыков работы с тригонометрическими уравнениями, с уравнениями различной алгебраической природы, с системами линейных уравнений, с графиками функций и уравнений. Кроме того, построенные упражнения позволяют существенно углубить наглядные геометрические представления, а именно, представления о расстоянии от точки до геометрической фигуры (не только до прямой), о внутренности сложной геометрической фигуры, о методах изображения пространственных фигур, о компонентах связности фигуры, о границе фигуры, об особых точках на границе. Наконец, производится строгое построение изучаемых в школе числовых множеств. Научная ориентация системы упражнений выражается в знакомстве с современным математическим языком (диаграммы, орбиты, инварианты), с характерной для математики логической соподчиненностыо фактов, с типичными задачами классификации, с комплексным алгебро-геометрическим взглядом на классические геометрии и даже с нерешенными проблемами (см. меню 10, раздел 6).
Дает ли Большой Банк реальную возможность воссоздавать в процессе преподавания характеристические свойства научной работы? Утвердительный ответ на этот вопрос будет полностью обоснован в следующей главе, однако аргументы общего характера в его пользу могут быть приведены уже сейчас. Дело в том, что Большой Банк формировался как результат целенаправленного применения принципов МНИ и У+М. Во-первых, из громадного списка векторных пространств, используемых в математике, были удалены те, которые по принципиальным соображениям не могут быть включены в базовые математические курсы для педагогических вузов. Естественно ожидать, что система упражнений, порожденная реальными научными процессами, в свою очередь может быть применена для их моделирования. Во-вторых, Большой Банк представляет собой нечто большее, чем аморфное, неструктурированное множество изолированных упражнений. В соответствии с принципом У+М строилась летодика изучения линейной алгебри на практических занятиях, составной частью которой и является Большой Банк. Теперь мы приступаем к обсуждению вопросов методики.
