Содержание к диссертации
Введение
1. Конечно-элементный алгоритм исследования нелинейного деформирования и устойчивости некруговых цилиндрических оболочек .
1.1. Конечный элемент 23
1.2. Алгоритм исследования нелинейного деформирования и устойчивости 29
1.3. Тестирование алгоритма 35
2. Исследование эллиптических цилиндрических оболочек.
2.1. Раздельное нагружение,
2.2.1. Крутящий момент 37
2.2.2. Поперечная сила 45
2.2.3. Изгибающий момент 54
2.2. Комбинированное нагружение.
2.2.1. Крутящий момент и внутреннее давление 61
2.2.2. Изгибающий момент и внутреннее давление 70
2.2.3. Крутящий и изгибающий момент 79
2.2.4. Изгибающий момент и поперечная сила 89
2.2.5. Крутящий и изгибающий моменты с внутренним давлением 97
2.2.6. Крутящий момент и поперечная сила 107
3. Исследование овальных цилиндрических оболочек 110
3.1. Раздельное нагружение.
3.1.1. Крутящий момент 111
3.1.2. Поперечная сила 116
3.1.3. Изгибающий момент 121
3.1.4. Внутреннее давление 127
3.1.5. Осевое сжатие 132
3.2.Комбинированное нагружение.
3.2.1. Крутящий момент и внутреннее давление 138
3.2.2. Изгибающий момент и внутреннее давление 146
3.2.3. Поперечная сила и внутреннее давление 153
3.2.4. Крутящий и изгибающий моменты 159
3.2.5. Изгибающий момент и поперечная сила 165
3.2.6. Крутящий и изгибающий моменты с внутренним давлением 172
3.2.7. Изгибающий момент и поперечная сила с внутренним давлением 181
3.3.Подкрепленная оболочка.
3.3.1. Изгибающий момент с внутренним давлением 191
3.3.2. Крутящий и изгибающий моменты с внутренним давлением 194
4. Исследование влияния нелинейности
4.1. Эллиптическая оболочка 199
4.2. Овальная оболочка 204
Заключение 209
Литература 211
Приложение 220
- Алгоритм исследования нелинейного деформирования и устойчивости
- Крутящий и изгибающий моменты с внутренним давлением
- Изгибающий момент и внутреннее давление
- Крутящий и изгибающий моменты с внутренним давлением
Введение к работе
Развитие авиационной техники во многом связано с применением при проектировании фюзеляжей самолетов и корпусов ракет оболочек с некруговыми поперечными сечениями. Такие оболочки оказываются выгоднее оболочек с круговыми поперечными сечениями. В ракетах, например, применяют обтекатели с эллиптическими поперечными сечениями, обладающие лучшими аэродинамическими свойствами. В грузопассажирских самолетах в последнее время все больше применяют оболочки с эллиптическими и овальными поперечными сечениями, позволяющими повысить их экономические показатели за счет повышения пассажироемкости, комфортности и лучшего использования внутреннего объема гермокабин. В ряде случаев нагружения они оказываются более прочными, устойчивыми и легкими, что также повышает конкурентоспособность самолетов. Примером может служить суперсамолет А-380 на 500 пассажиромест с двухпалубной гермокабиной овального поперечного сечения.
Задача определения напряженно-деформированного состояния и устойчивости некруговых оболочек под действием возникающих в полете нагрузок значительно усложняется по сравнению с таковой для круговых оболочек. Это связано с переменностью радиуса кривизны поперечных сечений, что приводит к переменным коэффициентам в дифференциальных уравнениях оболочек. Аналитическое решение задач прочности и устойчивости весьма затруднительно. Эффективными здесь оказались численные методы с реализацией их на современных компьютерах: метод конечных разностей, метод численного интегрирования, вариационно-разностный метод, метод конечных элементов (МКЭ). Наибольшее распространение получил метод конечных элементов. Это объясняется неограниченными возможностями его применения к любым сложным конструкциям под действием различного вида нагрузок и условий закрепления. Имеется обширная литература по МКЭ и его применению к решению задач прочности. Среди отечественных работ следует отметить работы
5 В.А. Постнова, B.A. Комарова, Ю.И. Иванова, З.И. Бурмана, В.Д. Чубаня, А.Б.
Кудряшева, Ю.А. Шевченко, А.И. Голованова, К.П. Горбачева, В.В. Кабанова,
Л.П. Железнова, Ю.И. Бадрухина, СВ. Астрахарчика, В.В. Кузнецова, Х.С.
Хазанова, Л.М. Савельева, Р.Б. Рикардса, А.С. Сахарова, ЯМ. Григоренко и др.
Современное состояние проблемы устойчивости оболочек освещено в книгах и обзорах Э.И. Григолюка и В.В. Кабанова [8,12,13,17]. В настоящее время опубликовано несколько тысяч статей, книг, монографий по устойчивости круговых цилиндрических оболочек и оболочек вращения. По некруговым цилиндрическим оболочкам, однако, число публикаций исчисляется десятками. Такое поразительное несоответствие публикаций можно объяснить упомянутыми выше трудностями при аналитическом решении задач и меньшей востребованностью некруговых оболочек по сравнению с круговыми. Однако в последние годы прошлого и настоящего веков интерес к некруговым оболочкам сильно повысился, особенно^ в зарубежной практике проектирования пассажирских самолетов. В России некруговые оболочки используются в гермокабинах самолетов Ту-204, 334, в ракетах в виде обтекателей, в самолетах легкой авиации, в самолетах самодельной постройки.
Ведущее место в решении проблемы устойчивости оболочек занимают работы СП. Тимошенко, В.В. Новожилова, В.З. Власова, Х.М. Муштари, Э.И. Григолюка, В.В. Болотина, А.С. Вольтмира, В.М. Даревского, Л.М. Куршина, А.В. Саченкова, В.И. Мяченкова, 10.В. Липовцева, В.В. Кабанова, Л.П. Железнова, Ю.В. Немировского, Л.И. Шкутина, Н.А. Алфутова, Лява, Доннелла, Альмрота, Бушнела, Стейна, Хуана, Фишера и др.
Ниже приводиться обзор работ по устойчивости некруговых цилиндрических оболочек, в которых получены наиболее важные результаты. Обзор построен по случаям нагружения по принципу «от простого к сложному». Осевое сжатие
Первая работа по устойчивости при осевом сжатии цилиндрических оболочек с эллиптическим контуром поперечного сечения была выполнена в 1935 г Х.М. Муштари [18], получившим в классической постановке (при безмоментном
напряженном состоянии) формулу для критических усилий сжатия бесконечно длинной оболочки с малым эксцентриситетом. В монографии [5] Х.М. Муштари и К.З. Галимов приводят формулу для осевого сжатия, аналогичную формуле СП. Тимошенко для круговой цилиндрической оболочки с радиусом, равным максимальному ( у малой полуоси) радиусу кривизны эллипса. Следует отметить, что рекомендация использовать для приближенной оценки такую формулу была высказана раньше СП. Тимошенко [2] (стр. 405).
Долгое время эти работы не имели продолжения. Следующие работы появились только в шестидесятых годах.
В 1967 И.Н. Гинзбург [25] в классической постановке получил формулу критической нагрузки для эллиптической оболочки с малым эксцентриситетом. Кемпнер [19] также в классической постановке исследовал овальные свободно опертые оболочки средней длины. Прогибы аппроксимировались тригонометрическим рядом по направляющей и синусом по образующей. Исходное состояние оболочек считалось безмоментным. Решение получено методом Релея - Ритца. Результаты представлены графиками линейных зависимостей, показывающими нижнюю границу для критических напряжений, из которых видно, что овальная оболочка существенно неустойчива по сравнению с эквипериметрической оболочкой (круговая оболочка с периметром сечения, равным периметру круговой оболочки). Хатчинсон [26] исследовал овальные и эллиптические оболочки и получил оценки использования упомянутых выше приближенных формул. СН. Каи и Ю.И. Каплан [34] решали задачу для свободно опертых овальных оболочек, составленных из двух пар дуг окружностей, энергетическим методом с дополнительными допущениями о равенстве нулю коэффициента Пуассона, сдвиговых и окружных деформаций и симметричной относительно обеих осей форм потери устойчивости. Исходное состояние безмоментное. Прогибы аппроксимировались тригонометрическими рядами по направляющей. Результаты исследования представлены графиками критических усилий в зависимости от параметров овализации оболочек. Приводится сравнение
7 с решением И.Н. Гинзбурга. Б.Х. Иноземцев [24] для той же овальной оболочки в
классической постановке получил приближенную формулу для критических
усилий. ФаЙнштфейн, Чен и Кемпнер [45] исследовали устойчивость
защемленной овальной оболочки с учетом моментности линейного исходного
состояния. Задача решалась в тригонометрических рядах по направляющей и в
конечных разностях по образующей. Влияние моментности, в отличие от
круговой оболочки, проявляется по-разному в зависимости от степени
овализации. Выявлено, что моментность понижает критическую нагрузку при
малой овализации, а при большой овализации моментность значительно
повышает критическую нагрузку. Это объясняется различной степенью влияния
напряжений краевого эффекта и искривлений поверхности оболочки при
различной овализации. Напряжение понижает, а искривление повышает
устойчивость оболочки. Комбинация этих влияний, изменяющихся с изменением
овализации, и приводит к сложному влиянию моментности.
Вольпе, Чен, Кемпнер [46] в такой же постановке исследовали овальную оболочку при трех вариантах граничных условий. Для случая защемленной оболочки их результаты качественно близки к результатам [45]. В случае шарнирного закрепления критическая нагрузка за счет влияния граничных условий и моментности снижается при малой овализации, а при большой овализации увеличивается. В случае свободного опирання снижение критической нагрузки присутствует во всем диапазоне овализации.
Е.М. Королева овальную оболочку исследовала с учетом моментности линейного исходного состояния численно с использованием метода конечных разностей [35].
В работах [26, 32] исследовалось начальное закритическое поведение эллиптической оболочки и влияние начальных прогибов. В рамках теории Койтера были определены зависимости от эллиптичности коэффициента, характеризующего понижение устойчивости оболочки за счет влияния начальных прогибов. Этот коэффициент отрицательный, он увеличивается при уменьшении эллиптичности, так что наиболее чувствительные к начальным прогибам
8 оказываются оболочки, близкие к круговым. Была замечена существенная
разница в поведении круговых и некруговых оболочек после потери
устойчивости.
В.И. Гуляев и Г.И. Мельчинко [39] исследовали нелинейное деформирование эллиптической оболочки. Задача решалась переходом к задаче Коши с продолжением решения через особые точки сменой ведущего параметра. На каждом шаге ведущего параметра использовался конечно-разностный метод. Построены характеристики нелинейного деформирования с двумя особыми точками, соответствующими первой и второй потерями устойчивости. При этом дополнительно к бифуркационным и предельным точкам были обнаружены и особые точки, соответствующие перегибу характеристики деформирования. Потеря устойчивости сопровождается «прощелкиванием» и скачкообразным нарастанием деформаций срединной поверхности оболочек. При этом форма послекритической деформации существенно отличается от докритической и бифуркацонных форм.
Л.П. Железнов, В.В. Кабанов методом конечных элементов [70] исследовали устойчивость эллиптических оболочек с учетом их нелинейного докритического напряженно деформированного состояния. Получены графические зависимости критических усилий сжатия от параметра эллиптичности, формы потери устойчивости и проверены формулы критических усилий. Оценено влияние нелинейности деформирования оболочек. Приводиться сравнение расчетов с известными экспериментами. Эксперименты при осевом сжатии
В работе [26] испытывались две эллиптические оболочки из майлара. У некруговых оболочек первичная потеря устойчивости не приводит к исчерпанию несущей способности, поскольку участки большой кривизны оказывают поддерживающее влияние. Потеря несущей способности происходит при вторичной потери устойчивости, когда волнообразование распространяется на весь периметр оболочки. При этом вторая критическая нагрузка превышала первую в некоторых случаях на 25 %. Обе оболочки теряли устойчивость при
9 нагрузках в пределах одной трети до одной четверти нагрузок классического
решения.
Данные экспериментов с овальными оболочками содержатся и в [33]. Здесь также была зафиксирована разница первой и второй критических нагрузок,
В работе [32] испытывались эллиптические пластмассовые оболочки. Исследовалось влияние начальных прогибов. Чувствительность к начальным прогибам примерно такая же, как для круговой цилиндрической оболочки с радиусом, равным большему радиусу эллиптической оболочки.
В работе [36] испытывались эллиптические оболочки из нержавеющей стали, мало отличающиеся от круговых. В докритической стадии происходило развитие начального прогиба в области минимальной кривизны. Исчерпание несущей способности оболочек происходило хлопком. Форма потери устойчивости, как и у круговых оболочек, имела 9-10 вмятин по окружности, располагающихся в двух поясах в средней части оболочек. Внутреннее давление
В отличие от круговых, некруговые оболочки теряют устойчивость и от внутреннего давления, что объясняется возникновением сжимающих усилий в области максимальной кривизны. Докритическое состояние некруговых оболочек при внутреннем давлении не обладает осевой симметрией, является моментным и нелинейным. Максимальный прогиб в зонах малой кривизны может достигать несколько толщин оболочек. Все это значительно осложняет аналитическое решение задачи устойчивости. В работе [47] Ю.Г. Коноплев и А.В. Копп впервые проводили испытания изготовленных из алюминиевой фольги эллиптических оболочек. Было испытано 128 оболочек. Процесс деформирования оболочек протекает следующим образом. В начальный момент времени прогибы малы, давление распирает оболочку, на торцевые диафрагмы действует растягивающая оболочку сила. Окружные усилия тоже растягивают оболочку. С ростом давления в зонах малой кривизны возрастают большие прогибы, возникают мембранные осевые усилия, стремящиеся сблизить торцы оболочки. Этому препятствуют зоны большой кривизны, в которых возникают сжимающие усилия, которые вместе с
10 касательными усилиями и приводят к потере устойчивости. Волнообразование, в
виде косых вмятин, начинается недалеко от зон с большой кривизной вблизи
торцов (первая критическая нагрузка). При дальнейшем увеличении давления
происходит образование одного пояса ромбовидных вмятин на середине оболочки
в зоне большой кривизны (вторая критическая нагрузка), сопровождающееся
хлопком и падением давления. При этом докритический прогиб достигает
толщины оболочки в зоне большой кривизны и нескольких толщин в зоне малой
кривизны. В результате были получены эмпирические зависимости для первой и
второй критических нагрузок.
Первое теоретическое решение этой задачи получено методом конечных элементом Л.П. Железновым и В.В. Кабановым [71]. В этой работе исследована эллиптическая оболочка в широком диапазоне изменения параметра эллиптичности. Исходное напряженно-деформированное состояние оболочки считалось моментным и нелинейным. Определены критическое внутреннее давление и форма потери устойчивости. Качественно результаты согласуются с результатами [47]. Исследовано влияние нелинейности деформирования и эллиптичности оболочек. Кручение
Для бесконечно длинной эллиптической оболочки малого экцентрисетета Х.М. Муштари в классической постановке получил приближенную формулу [18] критического усилия сдвига эллиптической оболочки.
Теоретико-экспериментальное исследование при кручении моментами провели Ю.Г. Коноплев и А.В. Копп [41]. Испытывались эллиптические оболочки из алюминиевой фольги. Результаты эксперимента представлены графиками критических усилий сдвига. Согласно полученным результатам эллиптическая оболочка оказывается слабее эквипериметрической круговой оболочки. Внешнее давление
По-видимому, первым исследовал эту задачу Б.И. Слепов [23] в случае безмоментного исходного состояния свободно опертой оболочки с эллиптическим
контуром поперечного сечения. Радиус кривизны и прогиб аппроксимировались тригонометрическим рядом. В ряде прогиба удерживался один член.
Позднее с удержанием достаточного количества членов в рядах решали задачу Яо и Дженкинс [28], используя метод Бубнова-Галерки на. Они же испытывали оболочки из поливинил хлорида. Оболочки теряли устойчивость с образованием трех вмятин по дуге в зоне малой кривизны, по длине наблюдалась одна вмятина. Расчеты по минимальной кривизне, в отличие от случая осевого сжатия, дают сильно заниженные значения критического давления. Эллиптическая оболочка в сравнении с эквивалентной по минимальной кривизне круговой оболочки оказывается более жесткой.
Бушнел [30] исследовал устойчивость эллиптической свободно опертой оболочки с учетом линейного моментного исходного состояния. Использовался вариационно-разностный метод и разложение прогибов в ряды Фурье. Оболочка рассматривалась как часть тора большого радиуса. Оценено влияние изменений кривизны контура. Это влияние увеличивается с увеличением длины и толщины оболочки. Наибольшее изменение критического давления за счет моментности составляет около 30%. Влияние моментности зависит как от эллиптичности, так и от толщины и длины оболочки. Отмечено также необходимость учета нелинейности деформирования оболочек.
Марлоу и Броган [31] исследовали задачу методом конечных разностей с учетом нелинейности деформирования и начальных прогибов эллиптической оболочки. Для линеаризации уравнений использовался метод Ныотона-Рафсона. Учет нелинейности снижает критическое давление и приводит к лучшему соответствию с экспериментом. Начальные прогибы тоже приводят к снижению критического давления, так что эллиптические оболочки и при внешнем давлении чувствительны к несовершенству формы.
Л.В. Андреев, Н.И, Ободан, А.Г. Лебедев [15] получили решение нелинейной задачи для эллиптической оболочки с использованием метода и Ныотоиа-Канторовича и путем перехода от краевой задачи к задаче Коши. Здесь же содержится обзор и анализ предыдущих работ.
12 Н.Н. Крюков [58] решал нелинейную задачу для свободно опертых
эллиптических слоистых ортотропных оболочек, используя метод Власова-Канторовича для сведения двумерной задачи к одномерной и метод линериазации одномерных задач, сводящих нелинейную задачу к последовательности линейных задач. Линейные задачи решались методом численного интегрирования с использованием дискретной ортогонализации. Для эллиптической ортотропной оболочки переменной по направляющей толщины получены нелинейные характеристики с предельной точкой.
Приближенное решение для овальных оболочек, собранных из дуг окружностей, получено А.Н. Чемерисом [37]. Исходное состояние считалось безмоментным, продольные и сдвигающие усилия не учитывались. Получена зависимость давления от числа окружных волн и параметров оболочки.
В такой же постановке для критического давления получена приближенная формула Б.Х. Иноземцевым [24].
Я.М. Григоренко и Н.Н. Крюков [56] исследовали эту задачу в нелинейной постановке в случае действия на ортотропную оболочку неоднородного по длине давления. Ими получены нелинейные характеристики деформирования с предельными точками. Отмечено, что в отличии от эллиптической оболочки, вмятины развиваются с местах сопряжения дуг окружностей. При этом осевые напряжения в предельных точках по величине в среднем сечении превосходили окружные напряжения. Их максимальная величина наблюдается на внутренней поверхности.
Эксперименты с эллиптическими оболочками проводились в работах [15,28,47]. В [20] испытывались оболочка из рулонной алюминиевой фольги. В результате обработки экспериментальных результатов авторы получили формулу для критического давления. В [15] испытывались изготовленные сваркой эллиптические оболочки из нержавеющей стали. Изгиб моментами
Решение нелинейной задачи чистого изгиба длинных эллиптических труб получено Вейничке [29]. Использовался асимптотический и метод интегральных
13 уравнений. Построены нелинейные характеристики деформирования в виде
зависимостей момента от изменения кривизны. Критические моменты
относительно малой оси превышают таковые относительно большой оси.
Величина превышения увеличивается с увеличением эллиптичности.
Овальные оболочки с длиной, равной одной - двум длинам большой оси сечения, рассматривались в работе Чена и Кемпнера [38]. Задача устойчивости решалась в классической постановке. Форма потери устойчивости при этом была кососимметичной относительно большой оси овала. Максимальные вмятины с ростом овализации сдивигались от большой оси к малой, т.е. при значительной овализации потеря устойчивости происходила не в зоне действия максимальных напряжений, а в зоне минимальной кривизны овала у нейтральной оси.
В работе Л.П. Железнова, В.В. Кабанова [77] рассматривалась эллиптическая оболочка. В зависимости от параметра эллиптичности определены величины критических моментов и формы потери устойчивости. Исследовано влияние нелинейности исходного напряженно-деформируемого состояния. В случае действия изгибающего момента в плоскости большой оси эллипса с увеличением эллиптичности критический момент сначала возрастает, а потом снижается. В случае действия изгибающего момента в плоскости малой оси эллипса критическая нагрузка уменьшается с увеличением эллиптичности. Поперечный изгиб
В работе [54] Ю.Г. Коноплевым, А.А. Саченковым теоретико-экспериментальным методом исследовалась устойчивость консольных эллиптических оболочек при изгибе силой. Полученная формула для критической силы эллиптической оболочки выражалась через критическую силу эквипериметрической круговой оболочки и подбираемую экспериментально функцию от эллиптичности оболочки. Испытывались оболочки из алюминиевой фольги. Картина волнообразования в этом случае имеет сложный характер и зависит от направления вектора силы и эллиптичности оболочки. Начальная потеря устойчивости происходит плавно с образованием косых волн в зоне меньшей кривизны при прямом изгибе в плоскости большой оси, или внизу
14 оболочки при изгибе в плоскости малой оси. С ростом нагрузки вмятины
увеличиваются, исчерпание несущей способности происходит хлопком с
образованием ромбовидных вмятин в зоне большой кривизны. Эллиптическая
оболочка при прямом изгибе устойчивее эквипериметрической круговой
оболочки. При боковом и косом изгибах картина обратная, устойчивее
оказывается эквипериметрическая круговая оболочка.
Поперечный изгиб с кручением
Экспериментальное исследование проводил А.А. Саченков [55]. Испытывались консолыю-закрепленные эллиптические оболочки из алюминиевой фольги. Сначала прикладывался крутящий момент. До потери устойчивости оболочки доводились изгибом силой, приложенной на свободном крае. Процесс деформирования оболочек протекал следующим образом. Начало волнообразования при изгибе силой вдоль большой оси происходит плавно с образованием косых вмятин в зоне малой кривизны, в которой направление сдвига от силы и момента совпадают. Общая потеря устойчивости происходит хлопком с образованием ромбовидных вмятин в зоне большой кривизны. При изгибе вдоль малой оси начало потери устойчивости происходит плавно с образованием косых волн в зоне малой кривизны, в которой направление волн при раздельном действии момента и силы совпадают. Общая потеря устойчивости происходит с образованием наклонных ромбовидных вмятин в зоне, в которой направление начальных вмятин от кручения и изгиба совпадают. Кручение с внутренним давлением
Задача устойчивости эллиптической оболочки экспериментально исследована Ю.Г. Коноплевым [48]. Испытывались оболочки из алюминиевой фольги и лавсана. Кривые взаимодействия критических нагрузок имеют выпуклый вид. Выпуклость кривых уменьшается с увеличением эллиптичности. Осевое сжатие с изгибом моментом.
Теоретическое исследование овальных оболочек в линейной постановке выполнено Ченом и Кемпнером [38]. При изгибе в плоскости большой оси овала, они сильно сопротивляются изгибу. Если изгиб происходил в плоскости малой
15 оси, то овалы в этом случае слабые. Изгиб в промежуточных плоскостях
осуществлял переход от сильных овалов к слабым. Кривые взаимодействия для
сильных овалов выпуклые, то есть наблюдается сильное взаимодействие
нагрузок. У слабых овалов кривые взаимодействия имеют вид прямых - слабое
взаимодействие нагрузок.
Осевые усилия и поперечное давление
При действии осевого сжатия и внешнего давления на эллиптические оболочки взаимодействие критических нагрузок близко к прямолинейному [15]. Характеристики деформирования с предельными точками. Нелинейность их зависит от порядка нагружения. Если оболочка доводиться до потери устойчивости внешним давлением при предварительном сжатии, то характеристика линейная с резким переходом у предельной точки на горизонтальный участок. В этом случае достаточно хороший результат дает бифуркационный расчет при линеаризации исходного состояния оболочки. Если же оболочка доводилась до потери устойчивости осевым усилием, то характеристики существенно нелинейные. Расчет с линеаризацией исходного состояния в этом случае возможен только при малых значениях внешнего давления. Форма волнообразования во всех случаях неоднородная по направляющей с наибольшей глубиной вмятин в зонах малой кривизны. По длине образуются одна полуволна.
В работе [72] методом конечных элементов исследовались эллиптические оболочки при действии осевого сжатия с внутренним давлением. Построены кривые взаимодействия критических нагрузок, определены формы потери устойчивости. Ромбовидная форма наблюдается в случае преобладании осевого сжатия. При малых осевых усилиях имеет место характерное волнообразование в виде косых вмятин. При других комбинациях внутреннего давления и осевых усилий наблюдается смешанная форма потери устойчивости оболочек.
Экспериментальное исследование эллиптических оболочек проводилось в работе [53]. Испытывались оболочки из нержавеющей стали, изготовленные точечной сваркой, при различных комбинациях сжатия, растяжения, внешнего и
внутреннего давления. Отмечено поддерживающее влияние внутреннего
давления.
Осевое сжатие с локальным изгибом и внешним давлением
В работе [35] использовалась задача устойчивости овальной оболочки при осевом сжатии, внешнем давлении и действии в середине оболочки кольцевой сжимающей нагрузки. Учитывалась моментность исходного состояния оболочки. Задача решалась численно конечно-разностным методом. Подкрепленные оболочки
Подкрепленные овальные оболочки при осевом сжатии исследовались в работах [34, 46]. В работе [34] в рамках классической схемы оболочки трактовались как конструктивно-анизотропные, т.е. подкрепления «размазывались» по оболочкам. Исходное состояние оболочек считалось безмоментным. Результаты исследований представлены графиками. Влияние овализации исследовано в широком диапазоне изменения параметров овализации, длин и толщин оболочек. В работах [46] учитывались моментность исходного состояния оболочек, дискретность и эксцентриситет расположенных шпангоутов, различные варианты граничных условий. Как и в случае круговой оболочки, выгодными оказываются наружные подкрепления. Степень выгодности уменьшается по мере увеличения овализации оболочек. Влияние граничных условий также зависит от овализации.
Из приведенного краткого обзора следует, что число работ, посвященных исследованию устойчивости некруговых оболочек, является недостаточным, как с научной, так и с прикладной точек зрения. В большинстве работ рассмотрены простейшие случае нагружения: осевое сжатие, внешнее давление, кручение. Из этих случаев наиболее полно исследованы эллиптические и овальные оболочки при действии внешнего давления и осевого сжатия. Получены решения задач как в классическом приближении, так и с учетом моментности и нелинейности их докритического напряженно-деформированного состояния. В других же случаях имеются единичные преимущественно экспериментальные работы. В реальных условиях оболочки конструкций находятся в сложных напряженно-
17 деформированных состояниях. Они, как правило, нелинейны, моментны с
наличием комбинации нормальных и касательных напряжений. Для дальнейшего развития теории оболочек, для эффективного использования научных исследований в проектировании, например, фюзеляжей современных самолетов следует продолжить исследования устойчивости оболочек с некруговым контуром поперечного сечения от воздействия различных нагрузок. Выявить влияние нелинейности деформирования исходного напряженно-деформированного состояния, геометрических размеров оболочки и формы поперечного сечения оболочек. Число работ посвященных исследованию устойчивости оболочек при действии комбинированных нагрузок исчисляется единицами, поэтому необходимо провести исследования для случаев комбинированных нагружений, близкие к существующим нагрузкам в полете. Актуальность настоящей работы определяется отсутствием работ, посвященных комплексным исследованиям устойчивости оболочек с некруговым контуром поперечного сечения при действии различных простых и комбинированных нагрузок, и необходимостью создания более точных и надежных методов расчета на прочность и устойчивость конструкций перспективных самолетов для повышения их весового и аэродинамического совершенства и конкурентноспособности.
Целью работы является развитие методов исследования нелинейного деформирования и устойчивости некруговых цилиндрических оболочек на основе метода конечных элементов при неоднородном раздельном и комбинированном нагружениях с учетом моментности и нелинейности исходного напряженно-деформированного состояния. Для достижения поставленной цели в работе ставятся следующие задачи:
- разработка конечно-элементного алгоритма для численного исследования нелинейного деформирования и устойчивости цилиндрических оболочек с овальным контуром поперечного сечения с учетом моментности и нелинейности исходного напряженно-деформированного состояния;
- модификация существующего комплекса программ для добавления
возможности исследования нелинейного деформирования и устойчивости цилиндрических оболочек с овальным контуром поперечного сечения;
решение и численное исследование задач нелинейного деформирования и устойчивости овальных цилиндрических оболочек при раздельном и комбинированном нагружениях крутящим и изгибающим моментами, поперечной силой, внутренним давлением и осевым сжатием;
решение и численное исследование задач нелинейного деформирования и устойчивости эллиптических цилиндрических оболочек при раздельном и комбинированном нагружениях крутящим и изгибающим моментами, поперечной силой и внутренним давлением.
Работа выполнялась в рамках Федеральной целевой программы «Развитие гражданской авиационной техники России на 2002 - 2010 годы и на период до 2015 года». Научная новизна работы заключается в следующих результатах:
- разработанный конечно-элементный алгоритм и модифицированый
комплекс программ Л.П. Железнова для исследования устойчивости овальных
цилиндрических оболочек с учетом моментности и нелинейности напряженно-
деформированного состояния при раздельном и комбинированном нагружениях
крутящим, изгибающим моментами, поперечной силой, внутренним давлении и
осевым сжатием;
результаты исследования двадцати трех задач нелинейного деформирования и устойчивости эллиптических и овальных цилиндрических оболочек, перечисленных в пунктах 2, 3 оглавления;
результаты определения области применимости линейных и приближенных классических решений.
Практическая ценность: полученные результаты исследований и программы могут быть использованы как при проектировании фюзеляжей самолетов некругового поперечного сечения, так и при дальнейшем развитии теории оболочек.
19 Достоверность полученных результатов подтверждается тестирование
алгоритма, исследованиями сходимости решений, сравнением с известными экспериментами и исследованиями других авторов и.
Реализация работы. Полученные результаты реализованы в «Рекомендациях по расчетам» в авиационных ОКБ и внедрены в ОАО «Туполев». Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на XVIII Межреспубликанской конференции по численным методам решения задач теории упругости и пластичности (г. Кемерово, 2003 г.), на Российско-китайской научной конференции (ЦАГИ, г. Жуковский, 2003 г.), на Всероссийской научно-технической конференции, посвященной 60-летию отделений аэродинамики летательных аппаратов и прочности авиационных конструкций (СибНИА, г. Новосибирск, 2004 г.).
Публикации. По теме диссертации опубликовано восемь работ, из них: четыре в ведущих рецензируемых журналах из перечня ВАК, одна в трудах международной, одна в трудах межреспубликанской, одна в трудах всероссийской конференций и одна в сборнике трудов ФГУП «СибНИА им. С.А. Чаплыгина».
Объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, перечня условных обозначений, четырех глав, заключения, списка литературных источников, приложения. Содержит 221 страницу, 133 рисунка, 43 таблицы. Содержание работы. В первой главе изложен конечно-элементный алгоритм исследования нелинейного деформирования и устойчивости некруговых оболочек при произвольном нагружении и граничных условиях.
Во второй главе исследуются задачи нелинейного деформирования и устойчивости цилиндрических эллиптических оболочек при раздельном нагружении кручением, изгибе моментом, поперечном изгибе и комбинированном нагружении крутящим моментом с внутренним давлением, изгибающим моментом с внутренним давлением, крутящим и изгибающим моментами, изгибающим моментом и поперечной силой, крутящим и изгибающим моментами с внутренним давлением, крутящим моментом и
20 поперечной силой. Проведено сравнение полученных результатов с
исследованиями других авторов и известными экспериментами. Исследовано
влияние на величину критической нагрузки геометрических параметров
оболочки. Приведены графики и формулы критических нагрузок оболочек,
формы деформирования их в докритическом состоянии, формы потери
устойчивости, изолинии усилий.
В третьей главе исследуются задачи нелинейного деформирования и устойчивости овальных цилиндрических оболочек при раздельном нагружении кручением, изгибом моментом, поперечном изгибе, внутреннем гидростатическом давлении, осевом сжатии и при комбинированном нагружении крутящим моментом с внутренним давлением, изгибающим моментом с внутренним давлением, поперечной силой с внутренним давлением, крутящим и изгибающим моментами, изгибающим моментом и поперечной силой, крутящим и изгибающим моментами с внутренним давлением, изгибающим моментом и поперечной силой с внутренним давлением. Приведены формы потери устойчивости оболочек, формы деформирования их в докритическом состоянии, изолинии усилий, кривые зависимости критических нагрузок от геометрических параметров оболочки и кривые взаимодействия критических нагрузок.
В четвертой главе представлен полный анализ влияния нелинейности и погрешности линейного решения. Результаты исследования влияния нелинейности представлены в виде таблиц в случаях деформирования овальных и эллиптических оболочек при раздельных и комбинированных нагружениях, при различных геометрических параметрах оболочек.
На защиту выносятся: конечно-элементный алгоритм исследования нелинейного деформирования и устойчивости овальных оболочек, результаты решения и численного исследования в двадцати трех задачах нелинейного деформирования и устойчивости цилиндрических эллиптических и овальных оболочек при раздельном и комбинированном нагружении изгибающим, крутящим моментами, поперечной силой, внутренним давлением и осевым сжатием.
Алгоритм исследования нелинейного деформирования и устойчивости
Подкрепленные овальные оболочки при осевом сжатии исследовались в работах [34, 46]. В работе [34] в рамках классической схемы оболочки трактовались как конструктивно-анизотропные, т.е. подкрепления «размазывались» по оболочкам. Исходное состояние оболочек считалось безмоментным. Результаты исследований представлены графиками. Влияние овализации исследовано в широком диапазоне изменения параметров овализации, длин и толщин оболочек. В работах [46] учитывались моментность исходного состояния оболочек, дискретность и эксцентриситет расположенных шпангоутов, различные варианты граничных условий. Как и в случае круговой оболочки, выгодными оказываются наружные подкрепления. Степень выгодности уменьшается по мере увеличения овализации оболочек. Влияние граничных условий также зависит от овализации.
Из приведенного краткого обзора следует, что число работ, посвященных исследованию устойчивости некруговых оболочек, является недостаточным, как с научной, так и с прикладной точек зрения. В большинстве работ рассмотрены простейшие случае нагружения: осевое сжатие, внешнее давление, кручение. Из этих случаев наиболее полно исследованы эллиптические и овальные оболочки при действии внешнего давления и осевого сжатия. Получены решения задач как в классическом приближении, так и с учетом моментности и нелинейности их докритического напряженно-деформированного состояния. В других же случаях имеются единичные преимущественно экспериментальные работы. В реальных условиях оболочки конструкций находятся в сложных напряженно деформированных состояниях. Они, как правило, нелинейны, моментны с наличием комбинации нормальных и касательных напряжений. Для дальнейшего развития теории оболочек, для эффективного использования научных исследований в проектировании, например, фюзеляжей современных самолетов следует продолжить исследования устойчивости оболочек с некруговым контуром поперечного сечения от воздействия различных нагрузок. Выявить влияние нелинейности деформирования исходного напряженно-деформированного состояния, геометрических размеров оболочки и формы поперечного сечения оболочек. Число работ посвященных исследованию устойчивости оболочек при действии комбинированных нагрузок исчисляется единицами, поэтому необходимо провести исследования для случаев комбинированных нагружений, близкие к существующим нагрузкам в полете. Актуальность настоящей работы определяется отсутствием работ, посвященных комплексным исследованиям устойчивости оболочек с некруговым контуром поперечного сечения при действии различных простых и комбинированных нагрузок, и необходимостью создания более точных и надежных методов расчета на прочность и устойчивость конструкций перспективных самолетов для повышения их весового и аэродинамического совершенства и конкурентноспособности.
Целью работы является развитие методов исследования нелинейного деформирования и устойчивости некруговых цилиндрических оболочек на основе метода конечных элементов при неоднородном раздельном и комбинированном нагружениях с учетом моментности и нелинейности исходного напряженно-деформированного состояния. Для достижения поставленной цели в работе ставятся следующие задачи: разработка конечно-элементного алгоритма для численного исследования нелинейного деформирования и устойчивости цилиндрических оболочек с овальным контуром поперечного сечения с учетом моментности и нлинейности исходного напряженно-деформированного состояния; модификация существующего комплекса программ для добавления возможности исследования нелинейного деформирования и устойчивости цилиндрических оболочек с овальным контуром поперечного сечения; решение и численное исследование задач нелинейного деформирования и устойчивости овальных цилиндрических оболочек при раздельном и комбинированном нагружениях крутящим и изгибающим моментами, поперечной силой, внутренним давлением и осевым сжатием; решение и численное исследование задач нелинейного деформирования и устойчивости эллиптических цилиндрических оболочек при раздельном и комбинированном нагружениях крутящим и изгибающим моментами, поперечной силой и внутренним давлением.
Работа выполнялась в рамках Федеральной целевой программы «Развитие гражданской авиационной техники России на 2002 - 2010 годы и на период до 2015 года». Научная новизна работы заключается в следующих результатах: разработанный конечно-элементный алгоритм и модифицированый комплекс программ Л.П. Железнова для исследования устойчивости овальных цилиндрических оболочек с учетом моментности и нелинейности напряженно деформированного состояния при раздельном и комбинированном нагружениях крутящим, изгибающим моментами, поперечной силой, внутренним давлении и осевым сжатием; результаты исследования двадцати трех задач нелинейного деформирования и устойчивости эллиптических и овальных цилиндрических оболочек, перечисленных в пунктах 2, 3 оглавления; результаты определения области применимости линейных и приближенных классических решений.
Крутящий и изгибающий моменты с внутренним давлением
Учитывая условия совместности перемещений элементов и граничные условия согласно [42], получаем систему нелинейных уравнений для всех узловых неизвестных оболочки: где К- матрица жесткости оболочки ленточной структуры, получается суммированием элементов матрицы P = K + Kj + 2K[+К2 отдельных конечных элементов с использованием матрицы индексов [85]; Q - вектор обобщенных узловых сил оболочки, получается суммированием элементов векторов Q отдельных конечных элементов и использованием той же матрицы индексов; и - вектор узловых неизвестных оболочки. Систему (1.45) решаем шаговой процедурой по нагрузке с использованием на каждом шаге метода линеаризации Ньютона - Канторовича, уравнение которого имеет вид (1.46) где Н - матрица Гессе, элементами которой являются вторые производные потенциальной энергии деформации, G - градиент потенциальной энергии деформации, состоящий из первых производных потенциальной энергии деформации. Таким образом, решение системы (1.45) отыскивается следующим образом. Задается небольшое значение параметра нагрузки. За нулевое приближение берется решение линейной задачи. Для последующих шагов по нагрузке начальным приближением является решение с предыдущего шага по нагрузке. Выполняется итерационный процесс, в котором на каждой итерации система линейных уравнений (1.46) решается методом Краута [83] с использованием LrDL разложения матрицы Н, где L, D - треугольная и диагональная матрицы. Решив систему (1.45), по формулам (1.26), (1.27), (1.34) найдем все компоненты нелинейного исходного напряженно-деформированного состояния оболочки.
Критическая нагрузка определяется либо как предельная нагрузка по расходимости итерационного процесса, либо как биффуркационная с использованием энергетического критерия устойчивости, согласно которому равновесное состояние устойчиво, если 8 П 0, и неустойчиво, если 8 П 0. Отсюда согласно критерию Сильвестра [84] для устойчивого состояния требуется положительная определенность матрицы Н, что в свою очередь требует положительности всех главных миноров определителя матрицы II, или всех диагональных коэффициентов матрицы D в разложении L DL матрицы Н. Изменение знака какого-либо коэффициента матрицы D на противоположный означает переход оболочки из устойчивого равновесного состояния в неустойчивое. Это легко контролируется в вычислительном алгоритме без дополнительных затрат машинного времени. Определив критическую нагрузку, находим форму потери устойчивости оболочки из решения системы где d - вектор узловых перемещений формы потери устойчивости, при этом матрица Н вычисляется для значения параметра нагрузки, несколько большего критического. Для этого определяется одна линейно зависимая (вырожденная) строка матрицы II, соответствующая первому отрицательному элементу матрицы D. Элементы этой строки и соответствующего столбца матрицы Н полагаются равными нулю. На место диагонального коэффициента заноситься единица, а в правую часть системы - соответствующий столбец, умноженный на докритическое перемещение, соответствующее вырожденной строке.
Из решения полученной таким образом системы и отыскивается форма потери устойчивости. В случае предельной точки форма потери несущей способности отыскивается из нелинейного исходного напряженно-деформированного состояния для нагрузки, близкой к предельной. Алгоритм реализован программой на языке Фортран для персональных компьютеров, с использованием которой проводились численные исследования задач. а) Круговая цилиндрическая оболочка под действием приложенных в середине диаметрально противоположных сжимающих сил N. Прогибы под силой определяются известной формулой w = 0,149РЯ3 IDL, где D = Eh3 /12(1 — v2). Для оболочки с L = 2000 мм, R = 1000 мм, h = 10 мм, v = 0,3, = 0,7-105 МПа , при N = 32HH mx л = 40x40 получено ш = 3,8221 мм. По формуле w = 3,719мм. б) Эллиптическая оболочка под действием приложенных в середине по малой оси двух противоположных сжимающих сил N. Для оболочки с L = 208 мм, А = 0,482мм, 2а = 208мм, 26 = 104мм, v = 0,37, = 0,33-102 МПа , при N = 10H ниже показан характер сходимости погрешности решения для относительного прогиба (w = wmax/100мм) под силой (числитель - расчет без учета, а Учет жестких смещений приводит к значительному ускорению сходимости решения. Потеря устойчивости происходит при N = 224. с образованием четырех локальных выпучин у краев в зоне действия наибольших сжимающих усилий. в) Эллиптическая оболочка под действием однородного внешнего бокового давления p{L = 204 мм, h = 0,4825 1,24 мм, 2а = 200 мм, 2Ь = 100мм, v = 0,37, Е = 0,33 -10 МПа). Погрешность решения, в зависимости от тхп, характеризующая скорость сходимости, и относительное критическое давление к - pi р0 (р0 = 9,04 Ю Н/мм ) в зависимости от толщины оболочки показаны ниже В числителе показана погрешность без учета, а в знаменателе с учетом жестких смещений элементов. В числителе для кр показаны результаты, полученные без учета, а в знаменателе с учетом нелинейности деформирования оболочки. Во второй строчке приведены значения кр работы [28]. Оболочка теряет устойчивость в зоне минимальной кривизны с образованием одной продольной вмятины по всей длине оболочки. Для оболочки с L = 1000 мм, /і = 10мм, 2а 2600мм, 2Ь = 1500мм, v = 0,3, Е = 0,7 10 МПа критическое давление при линейном и нелинейном докритических состояниях равнялась 0,4Ро и 0 38р0 (р0= 694Н/см ), В работе [15] для этого случая получено 0,3р0, г) Эллиптическая оболочка при внутреннем боковом давлении р (L = 90 мм, h = 0,053 мм, 2а = 114,5 мм, 26 = 57мм, v = 0,3, = 0,7-10 МПа), При линейном докритическом состоянии оболочки получены значения критического давления 0,56р0 (р0 = 6,94 Н/см ) в случае граничных условий v = w = 0 и 0,48р0 в случае u = v = w = 0.B работе [54] для этих случаев теоретико-экспериментальным методом соответственно получено 0,55р0 и 0,47р0. Оболочка от внутреннего давления в докритическом состоянии сильнее деформируется в зоне минимальной кривизны, а теряет устойчивость у краев в зоне действия максимальных касательных усилий с образованием четырех локальных вмятин у каждого края. Ограничение продольных смещений приводит к росту касательных усилий и снижению критического давления.
Изгибающий момент и внутреннее давление
Избыточное давление в одну атмосферу увеличивает критическую нагрузку в два раза для оболочек с малой и с большой эллиптичностью. Влияние нелинейности деформирования не превышает 14% и увеличивается при увеличении внутреннего гидростатического давления и при увеличении эллиптичности оболочки. На рисунках 2.30 - 2.31 представлены изолинии нормальных Тх и касательных Тху (кГ/мм) усилий в оболочках, полученные при значении нагрузок МК = MK0(l-l/(pq +1)), q = qe/(kpq +1), kpq = kp/kq =0,5; 20,0. Характер распределения усилий сложный, он зависит от отношения kp/kq. На рисунках 2.32 - 2.33 представлены характерные формы потери устойчивости и формы деформирования их в докритическом состоянии от действия комбинированного нагружения крутящим моментом и внутренним давлением при различных отношениях kpq = kp/kq =0, 5; 5,0; 20,0. На рисунке 2.32 представлены формы потери устойчивости оболочек. Формы потери устойчивости существенно зависят от эллиптичности оболочки и отношения kp/kq.
Круговая оболочка при действии крутящего момента теряет устойчивость с образованием косых волн, которые с увеличением внутреннего давления увеличивают свое количество и угол наклона. Эллиптическая оболочка теряет устойчивость с образованием формы деформирования подобной от действия внутреннего давления, а при преобладающем значении крутящего момента форма потери устойчивости подобная от действия крутящего момента с меньшим числом волн. На рисунке 2.33 представлены характерные формы деформирования оболочки в докритическом состоянии. Наблюдается некоторое равномерное выпучивание поверхности по всей оболочки. Все результаты получены с полной сходимостью решения по числу конечных элементов. Характер сходимости значений кр для оболочки с L = 2800 мм, h = 3,3 мм, RQ = 1000 мм, Е = 0,7 105 МПа, v = 0,3, b = 0,6 и характер сходимости значений kq для оболочки с L = 192 мм, h = 0,05 мм, 7 = 44 мм, Е = 0,67 х 105 МПа, v = 0,3, Ь = 0,67 соответственно показаны в таблицах 2.3 и 2.4. Рассмотрим задачу нелинейного деформирования и устойчивости защемленной с двух сторон (v = w = wx = 0) цилиндрической оболочки эллиптического поперечного сечения при действии внутреннего давления q и изгибающего момента М. Оболочка имеет, длину L = 2800 мм, толщину h = 3,3 мм, эквипериметрический радиус поперечного сечения R j=\000 мм, модуль упругости =0,7х105МПа, коэффициент Пуассона v=0,3. С учетом симметрии нагрузки и оболочки в расчете рассматривалась одна четвертая часть оболочки, которая разбивалась конечно-элементной сеткой шх«=30х60. На рисунке 2.34 для случая раздельного действия нагрузок показаны зави симости параметров кф-ц$Це, kmQ=MQ/M0, где q$, М0 - критические значения внутреннего давления и изгибающего момента при раздельном нагру-жении, qe=qEy2, 7=(24,1 _1+130,2 3+276,Зц-5)ГУ 6, Х= 1// , y = h/R0, fi = alb,a b; = b/a,a b, MQ= ERQH /д/3(1 — v ) - критическое значение внутреннего давления и изгибающего момента круговой цилиндрической оболочки с радиусом RQ , от параметра эллиптичности а в случае линейного (пунктирные кривые) и нелинейного (сплошные кривые) исходных напряженно- деформированных состояний. Из рисунка видно, что при действии внутреннего давления влияние нелинейности исходного напряженно-деформированного состояния существенно в диапазоне 0,6 а 0,8 и 1,675 а 1,25, а при действии изгибающего момента влияние нелинейности наибольшее при а 0,8. В диапазоне 0,8 а 1,25 оболочка вообще не теряет устойчивость от действия внутреннего давления. Нелинейность в случае действия внутреннего давления повышает, а при действии изгибающего момента снижает критическую нагрузку. На рисунке 2.35 показаны кривые взаимодействия Rq(Rm) критических значений внутреннего давления и изгибающего момента для случая линейного (рисунок 2.35а) и нелинейного (рисунок 2356) исходных напряженно Рисунок 2.34, Зависимости параметров qo, кто ОТ параметра а Кривые взаимодействия критических нагрузок существенно зависят от параметра эллиптичности оболочек. У них имеются участки, на которых внутреннее давление повышает (йт 1) критические значения изгибающего момента, а также участки, где оно понижает (ЙП1 1) эти значения. Очевидно, что в первом случае возможна потеря устойчивости, как при повышении, так и при понижении внутреннего давления. На рисунке 2.111 показаны кривые взаимодействия -fiqi(/?ml) критических значений внутреннего давления и крутящего момента для случая линейного (пунктирные кривые) и нелинейного (сплошные кривые) исходных напряженно-деформированных СОСТОЯНИЙ, (Rq\=kq/kq0\, ЯщГ пДтОЬ qOl, т01 - КрИТИЧЄСКИЄ значения параметров /rq, кт при раздельном нагружении и линейном исходном напряженно-деформированном состоянии).
Крутящий и изгибающий моменты с внутренним давлением
Влияние нелинейности для овальных и эллиптических оболочек незначительное, оно не превышает 15%. На рисунке 3.7 для овальных оболочек с параметрами L = 1100 мм, h - 5 мм, До = 1000 мм, Е = 0,7 х 105 МПа, v = 0,3 представлены изолинии касательных Тху (кГ/мм) усилий оболочках, полученные при Q = QQ. Распределение усилий в овальных оболочках отличается от распределения усилий в эквипериметрических эллиптических (2.1.2) оболочках. На рисунке 3,8 для оболочек с разной овализацией представлены формы потери устойчивости (рисунок слева) и формы деформирования их в докритическом состоянии (рисунок справа). Эти формы деформирования для овальных и для эллиптических оболочек немного различаются и зависят от параметра а. Результаты исследования сходимости для овальных оболочек с параметрами L = 1100 мм, h = 5 мм, Но = 1000 мм, Е = 0,7 Ю3 МПа, v = 0,3 с разными а приведены в таблицах 3.1, 3,2. Приведенные результаты исследований получены на сетке конечных элементов, обеспечивающей сходимость решения. Рассмотрим задачу нелинейного деформирования и устойчивости защемленной с двух сторон (v=w=zvx=0) цилиндрической оболочки овального поперечного сечения при действии изгибающего моментам Оболочка имеет следующие параметры: L = 2800 мм, h = 3,3 мм, % = 1000 мм, Е = 0,7 105 МПа, v = 0,3. С учетом симметрии нагрузки и оболочки в расчете рассматривалась одна четвертая часть оболочки, которая разбивалась конечно-элементной сеткой тхп=30 60. В разрезах ставились условия симметрии. Значения a, R, г, а в зависимости от а для рассматриваемых оболочек с #0=1000 мм приведены в 3.1.2. На рисунке 3.9а для этой оболочки показаны зависимости параметра кт=М IMQ, М - критическое значение изгибающего момента, М = лЕН$к /д/3(1-к ), от параметра овализации а для случая линейного (штриховые кривые) и нелинейного (сплошные кривые) исходных напряженно-деформированных состояний. На этом же рисунке нанесены аналогичные зависимости для эквипериметрической эллиптической оболочки с такими же параметрами.
Рассмотрим задачу нелинейного деформирования и устойчивости кон-сольно-защемленной с одного края (и=і;=ш=ну=0) цилиндрической оболочки овального поперечного сечения с параметрами: L = 1100 мм, h = 5 мм, RQ = 1000 мм, Е = 0,7 х Ю5МПа,у = 0,3. при действии изгибающего момента М. С нагруженной стороны оболочка подкреплена шпангоутом с большой жесткостью па изгиб в своей плоскости. С учетом симметрии оболочки и нагрузки рассматривалась половина оболочки, которая разбивалась конечно-элементной сеткой тхл=26 77. На рисунке 3.96 для оболочки с этими параметрами овального и эквипе-риметрического эллиптического поперечного сечения показаны зависимости параметра кт от параметра а для случая линейного (пунктирные кривые) и нелинейного (сплошные кривые) исходных напряженно- деформированных состояний. Влияние нелинейности составляет для овальных оболочек 1-41%, а для эллиптических Овальные оболочки в диапазоне 0,б а 1, как и эквипериметриче-ские эллиптические, оказываются более устойчивыми по сравнению с круговыми. Разница между критическими значениями изгибающего момента для эллиптической и овальной оболочки с а 0,8 незначительна, но овальные оболочки с 5 0,8 оказываются менее устойчивыми по сравнению с эллиптическими на 20-40%. Это объясняется тем, что оболочки теряют устойчивость от сжимающих усилий Б верхней части оболочки, где в случае высоких оболочек при одинаковом а радиус кривизны в верхней части овальной оболочки больше радиуса кривизны эллиптической на 20-ьб0% . Влияние отношения L/RQ на параметр критической нагрузки у овальных оболочек незначительно, и оно меньше, чем у эллиптических.
На рисунке 3.11 для этих же оболочек представлены формы потери устойчивости и формы деформирования их в докритическом состоянии. Эти формы деформирования для овальных и для эллиптических оболочек имеют некоторые различия, которые существенны при а=0,8; 1,25. У высоких овальных оболочек (а 0,8) потеря устойчивости происходит в районе близком к поверхности с большой кривизной в виде поперечных вмятин. Эквипериметрическая эллиптическая оболочка при этом же а теряет устойчивость на верхней поверхности оболочки в зоне большой кривизны в виде ромбовидных вмятин. У низких овальных оболочек (5=1,25) потеря устойчивости происходит на верхней поверхности оболочки в виде поперечных складок, а у эквипериметрических эллиптических - в виде ромбовидных вмятин. Формы потери устойчивости оболочек сильно зависят от параметра а. Формы деформирования овальных и эквипериметрических эллиптических оболочек в докритическом состоянии немного различаются и мало зависят от параметра а. Результаты исследования сходимости для овальных оболочек с параметрами L = 1100 мм, h = 5 мм, R0 = 1000 мм, Е = 0,7 х 10 МПа, v = 0,3 с разными а приведены в таблицах 3.3, 3.4.
