Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА I. ФИЗИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ С СИШОЙ ПРОСТРАНСТВЕННОЙ НЕОДНОРОДНОСТИ) ЭЛЕКТРШРШОДНОСТИ (ОБЗОР)... 20
1.1. Поликристаллические полупроводники ...... 20
1.2. Прыжковая проводимость слабо легированных кристаллических и аморфных полупро-
в одников 33
ГЛАВА 2. НЕОМШЕСКАЯ ПРОВОДИМОСТЬ ПОЛИКРИСТАЛЛШЕСКИХ ПОЛЭДРСВДНЙКОВ.......... 67
2.1. Перколяционшй расчет 67
2.2. Алгоритм моделирования.................. 76
2.3. Результаты расчета......... 80
ГЛАВА 3. МОДЕЛИРОВАНИЕ ВЫСОКОТЕМПЕРАТУРНОЙ ПРЫЖКОВОЙ
ПРОВОДИМОСТИ 86
3.1. Алгоритм моделирования... ....... 86
3.2. Результаты моделирования.. 91.
ГЛАВА 4. МОДЕЛЬ СЕТКИ МИЛЛЕРА И АЕРАХАМСА В ТЕОРИИ
ПРЫЖКОВОЙ ПРОВОДИМОСТИ s9
4.1. Постановка задачи "
4.2. Алгоритм моделирования.... -^3
4.3. Вычисление электропроводности в модели Миллера и Абрахамса. 109
4.4. Результаты моделирования...
ГЛАВА 5. МОДЕЛИРОВАНИЕ НИЗКОТЕМПЕРАТУРНОЙ ПРЫЖКОВОЙ
ПРОВОДИМОСТИ 115
115
5.1. Алгоритм моделирования .;.
5.2. Обсуждение результатов
5.3. Сравнение с экспериментом... .... 127
ГЛАВА 6. ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ШТЕШРЕТМЩ РЕЗУЛЬТАТОВ МОДЕЛИ ФОРМИРОВАНИЯ НИЗКОТЕМПЕРАТУРНОЙ ПРЫЖКОВОЙ ПРОВОДИМОСТИ 131
6.1. Теория низкотемпературной прыжковой проводимости Шкловского 131
6.2. Моделирование "мягкой системы" 135
6.3. Плотность распределения величин % ц и ее влияние на гешетрию критической подсетки. 139
6.4. Проводимость одномерной мягкой цепочки.... 142
6.5. Проводимость трехмерной мягкой системы.... 148
ЗАКЛЮЧЕНИЕ 151
ЛИТЕРАТУРА 154
ПРИЛОЖЕНИЕ Г....... 161
- Поликристаллические полупроводники
- Перколяционшй расчет
- Алгоритм моделирования...
- Вычисление электропроводности в модели Миллера и Абрахамса.
- Сравнение с экспериментом...
Введение к работе
Объектом исследования настоящей диссертации является неомическая статическая электропроводность материалов, облада -вдих следующими двумя характерными свойствами:
Экспоненциально широкий случайный разброс локальных значений омической электропроводности.
Сильная зависимость локальной электропроводности от электрического поля.
В диссертации рассматриваются две физические системы, обладающие такими свойствами. Первая - поликристаллические полупроводники с высокими межкристаллическими барьерами. Ток через один барьер пропорционален гиперболическому синусу падающего на нем напряжения, что обеспечивает зависимость локальной электропроводности от поля, а разброс локальных значений омической электропроводности создается дисперсией барьеров по высоте. Вторая рассматриваемая система - полупроводники (аморфные или слабо легированные кристаллические) проводимость которых при данной температуре имеет прыжковый характер. Эта "классическая" неоднородная система, явившаяся первой неоднородной системой, при исследовании электропроводности которой были применены методы теории протекания, также удовлетворяет сформулированным выше свойствам.
Актуальность работы определяется большой практической значимостью рассматриваемых материалов. Поликристаллические и аморфные полупроводники широко применяются в различных твердотельных электронных приборах, в электрографии, в приборах для преобразования солнечной энергии и многих других. Важность исследования неомических свойств материала обусловлена двумя причинами: во-первых, неомичность таких материалов наступает в сравни- тельно слабых полях, и во многих практических применениях эти материалы работают в неомическом режиме, а, во-вторых, измере-^ ние зависимости электропроводности от приложенного поля может дать ценную информацию о важнейших характеристиках исследуемого материала, таких как радиус локализации волновой функции примесного состояния и плотность состояний в аморфных полупроводниках и функция распределения межкристаллических барьеров по высоте в поликристаллических.
К моменту начала работы над диссертацией существовало до -вольно большое число теорий, претендовавших на правильное они -сание неомической проводимости различных сильно неоднородных сред, причем многие из этих теорий явно противоречили друг дру -гу. В то же время, экспериментальные данные, особенно по прыжковой проводимости, не позволяли сделать однозначный выбор между претендовавшими на их описание теориями, поскольку для сравнения эксперимента с теорией необходимо детально знать микроскопические параметры образца, которые в большинстве случаев были известны лишь весьма приближенно. Поэтому для проверки правильности различных теорий, а также для выяснения того, какие именно физические причины определяют тот или иной вид зависимости электропроводности материала от поля, было необходимо иметь возможность ставить эксперименты на материалах, обладающих точно известными и легко варьируемыми микроскопическими свойствами . Іїіцинственннй из известных методов, позволяющий ставить такого рода "эксперименты", - метод математического моделирования, который и был принят в качестве основного в данной работе. Данные, полученные методом математического моделирования, являются идеальным материалом для проверки правильности той или иной теории, описывающей моделируемую систему, поскольку математический эксперимент всегда является "чистым" в том смысле, что он исходит из тех же самых предположений о микроскопических свойствах материала,, что и теория, а все параметры модели, в отличие от физических экспериментов, точно известны. Проверка существующих теорий,не является, однако, единственной или главной пользой, которую можно извлечь из анализа результатов численного моделирования. Располагая рассчитанными на ЭВМ зависимостями электропроводности б от электрического поля Б для различных значений микроскопических параметров материала (например, радиуса локализации волновой функции примесного состояния и плотности состояний на уровне Ферми), мы получаем возможность решать обратную задачу: сравнивая расчетные зависимости с результатами реальных физических экспериментов, можно определить параметры материала (или, если такое сравнение приводит к противоречиям, сделать вывод, что проводимость данного материала нельзя рассматривать в рамках модели, использованной при расчете - такая информация тоже может быть весьма ценной).
Кроме задач, связанных с численным моделированием, в диссертации рассматриваются задачи и более теоретического плана. Предложенная в 1976 году Шкловским теория низкотемпературной неомической прыжковой проводимости /20/ (справедливость которой мы надеялись подтвердить численным моделированием) была, по существу, асимптотической, то есть предсказывала вид зависимости 6(E) только в пределе очень сильного разброса омической электропроводности и достаточно сильного электрического поля. Предсказания этой теории в большинстве случаев сильно расходились с экспери -ментальными данными. Это скорее всего означало, что параметры реальных полупроводниковых материалов просто не попадают в об -ласть ее справедливости. Поскольку при построении этой теории систематически опускались "численные множители порядка единицы", точная оценка области ее применимости была затруднительна. С другой стороны, мы не могли признать правильными теории других авторов /35,27,50/, поскольку они не давали полученной Шкловским асимптотики, справедливость которой нам представлялась несомнен -ной. Поэтому еще одной целью работы было обобщение теории Шклов -ского на неасимптотическую область.
Резюмируя выше сказанное, перечислим цели настоящей работы: разработка и реализация алгоритмов расчета неомической проводимости поликристаллических полупроводников и полупроводников, проводимость которых носит прыжковый характер, исходя из,по возможности, наиболее общей модели микроструктуры этих материалов; расчет зависимости проводимости указанных материалов от электрического поля для значений микроскопических параметров модели, соответствующих их реальному экспериментальному диапазону; анализ правильности существующих теорий неомической электропроводности сильно неоднородных сред путем сравнения их предсказаний с результатами нашего расчета; устранение противоречий между теорией неомической прыжковой проводимости Шкловского /20/ и данными физических и числен -ных экспериментов путем обобщения теории на неасимптотическуго область; сравнение данных, полученных путем численного моделирования, с экспериментальными данными, анализ применимости моделей, использованных в данной работе, выработка рекомендаций по практическому применению полученных результатов.
Диссертация состоит из введения, шести глав и заключения. Первая глава: "Физические системы с сильной пространственной неоднородностью электропроводности (обзор)".
В этой главе описываются микроскопические свойства исследуемых в диссертации материалов и их математические модели, положенные в основу дальнейшего рассмотрения. Показано, что для нахождения электропроводности поликристаллического полупроводника достаточно рассмотреть проводимость эквивалентной сетки нелинейных со -противлении, которая строится путем замены каждого микрокристалла на узел, а каждого межкристаллического барьера - на нелинейное сопротивление, включенное между соответствующий узлами. Для прыжковой проводимости эквивалентную сетку можно построить только воспользовавшись приближением средних чисел заполнения (СЧЗ). Это приближение состоит в том, что входящее в выражение для тока среднее значение произведения чисел заполнения двух примесей,между которыми течет ток, заменяется на произведение средних значе -ний этих чисел заполнения (аналогично тому, как это делается в приближении среднего поля в теории магнетизма). В омическом пределе приближение СЧЗ приводит к широко известной модели эквива -лентной сетки Миллера и Абрахамса. В неомическом случае приближение СЧЗ приводит к эквивалентной сетке нелинейных элементов (мы будем избегать называть их "сопротивлениями", так как ток через такой элемент не выражается через падающее на нем напряжение, а зависит по отдельности от значений электрохимического потенциала на его концах) с довольно сложной вольт-амперной характеристикой (ВАК). В этой главе приведен также обзор существовавших к моменту начала работы над диссертацией теорий неомической электропроводности этих материалов.
Вторая глава: "Неомическая проводимость поликристаллических полупроводников". В этой главе описывается разработанный автором алгоритм моделирования неомической проводимости поликрис- сталлических полупроводников и приводятся результаты расчетов по этому алгоритму.
На основе модели СВДЖ (модель Скал, Шкловского /18/ и де Жена /34/, модель одножильной сетки) строится вариационная процедура, позволяющая вычислять плотность одножильной сетки, оптимальной в данном поле. При помощи этой процедуры показано, что геометрия токовых путей в поликристаллическом полупроводнике практически не меняется при увеличении приложенного к нему поля, и в этом приближении построена простая теория неомической электропроводности поликристаллических полупроводников, которая хорошо описывает результаты как численных, так и физических экспериментов. И численные расчеты, и теоретическое рассмотрение подтверждают основной вывод теории Шкловского о том, что степень неомичности неоднородной системы пропорциональна степени ее неоднородности.
Третья глава: "Моделирование высокотемпературной прыжковой проводимости". В этой главе описан алгоритм моделирования прыжковой проводимости в области сравнительно высоких температур ( кТ порядка ширины примесной зоны) и приведены результаты моделирования. Показано, что в области асимптотически сильных по -лей, при степени компенсации материала равной половине, результаты моделирования хорошо описываются в терминах ориентированного протекания, а при малых степенях компенсации электропроводность определяется механизмом захвата на "ловушки", теория которого развита в /46/. Показано, что в области умеренных полей при высоких температурах вольт-амперные характеристики имеют сублинейный вид, при понижении температуры спрямляются, и, при температурах ниже некоторой, становятся суперлинейными.
Четвертая глава: "Модель сетки Миллера и Абрахамса в теории прыжковой проводимости". Эта глава посвящена подробному анализу применимости модели эквивалентной сетки сопротивлений Миллера и Абрахамса, основанной на приближении (ИЗ. Этот вопрос важен не только для теории несмической прыжковой проводимости, но и для теории прыжковой проводимости в целом, так как модель эквивалентной сетки лежит в основе всех теоретических работ на эту тему. В этой главе рассматривается только омическая проводимость, специфика применения СЧЗ в неомическсм случае описана в следующей главе. Приводится качественное объяснение того факта, что приближение СЧЗ, дающее абсолютно неверные результаты для упорядоченных систем, хорошо описывает неупорядоченные неоднородные системы. Описан разработанный автором алгоритм моделирования методом Монте-Карло прыжковой проводимости при низких температурах и алгоритм вычисления омической прыжковой электропро -водности в рамках приближения СЧЗ. Сравнение точных результатов, полученных методом Монте-Карло, с приближенными результатами, полученными в приближении СЧЗ, подтверждает возможность применения модели эквивалентной сетки для расчета омической электропроводности.
Пятая глава: "Моделирование низкотемпературной прыжковой проводимости". Эта глава содержит описание разработанного авторш алгоритма расчета неомической прыжковой электропроводности, основанного на приближении СЧЗ, и результаты расчетов по этому алгоритму. Приводятся также точные результаты, полученные методом Монте-Карло без использования приближения СЧЗ (при помощи алго -ритма, описанного в главе 4) и показано, что при увеличении поля, приложенного к полупроводнику, точность приближения СЧЗ возрастает. Показано, что в области температур, в которой омическая электропроводность описывается законом Мотта, при 15 ^ |с^ 30 (с-показателъ экспоненты критических сопротивлений сетки Миллера и Абрахамса) зависимость логарифма электропроводности от электриче- ского поля близка к линейной. Это противоречит теории Шкловского /20/, которая предсказывала, что логарифм электропроводности должен быть пропорционален квадратному корню из поля. Проводится сравнение полученных нами данных с экспериментальными результатами. Показано, что результаты моделирования хорошо согласуются с данными по проводимости твердых кристаллических растворов Gex 5/у_х , но противоречат данным по аморфным полупроводникам (&-Ge , (Х-SB ,CL- nS), на основании чего делается вывод,что, в противоречии с общепринятой точкой зрения, прыжковая проводимость в этих аморфных полупроводниках не может быть описана в рамках модели с постоянной плотностью состояний.
Шестая глава: "Интерпретация результатов моделирования низкотемпературной прыжковой проводимости при помощи модели СПЩЖ". В этой главе разбирается причина противоречий между результатами численных экспериментов и теорией Шкловского. При помощи вариационной процедуры, разработанной в главе 2 для поликристаллических полупроводников, и предложенной Шкловским в работе /20/ "мягкой модели" прыжковой проводимости построена теория неомической прыжковой проводимости, хорошо описывающая результаты моделирования в неасимптотической области и приводящая к ответам,ранее полученным в асимптотической. Показано, что как степень нео-мичности материала, так и геометрия критической подсетки (той части эквивалентной сетки Миллера и Абрахамса, по которой течет основная часть тока) сильно зависят от вида плотности распределения логарифмов сопротивлений эквивалентной сетки Миллера и Абрахамса - этот эффект ранее никем не учитывался.
В заключении сформулированы основные результаты работы, а также направления дальнейших исследований неомической прыжковой проводимости.
Еа защиту выносятся следующие основные положения:
Зависимость электропроводности поликристаллического полупроводника от электрического поля может быть количественно описана в приближении, что геометрия токовых путей не зависит от поля и описывается моделью СЩЩ.
Результаты моделирования высокотемпературной прыжковой проводимости в асимптотически сильных полях находятся в согласии с теориями, построенными на моделях ориентированного протекания и захвата электронов на ловушки.
Существует критическая температура Тс, такая, что при температурах выше Т. прыжковая электропроводность слабо легированно-го полупроводника убывает от омического значения при увеличении поля, а при температурах ниже Тс - растет. Тс равна примерно одной десятой ширины примесной зоны в энергетических единицах.
Приближение СЧЗ и основанная на этом приближении модель Миллера и Абрахамса позволяют достаточно точно вычислять прыжковую электропроводность полупроводников; точность полученных в этом приближении результатов растет с повышением температуры и увеличением электрического поля.
При низких температурах, когда омическая электропровод -ностъ описывается законом Мотта, при значениях $ от 15 до 30, зависимость логарифма прыжковой электропроводности от поля практически линейна.
Линейную зависимость логарифма электропроводности от поля можно объяснить теоретически, приняв во внимание реальное распределение логарифмов сопротивлений эквивалентной сетки Миллера и Абрахамса.
7) Прыжковая проводимость аморфных германия, сурьмы и мышь яка не может быть интерпретирована в модели с постоянной плотно стью состояний.
Научная новизна работы определяется тем, что это первое целенаправленное комплексное исследование несшческой электро -проводности сильно неоднородных сред методами математического моделирования, в котором впервые:
На основе общей идеи (замедления быстрой подсистемы) разработан целый ряд алгоритмов расчета нелинейной электропроводно -сти сильно неоднородных сред, работоспособных при любой степени неоднородности среды.
Методом численного моделирования проведено широкое исследование неомической электропроводности изучаемых систем, позволившее сделать заключения, сформулированные выше в "положениях, выносимых на защиту".
Предложена простая вариационная процедура, позволяющая аналитически вычислять зависимость 6"( Е) для сильно неоднородных систем типа поликристаллических полупроводников.
Проверена точность приближения СЧЗ, лежащего в основе всей теории прыжковой проводимости.
Показано сильное влияние вида плотности распределения логарифмов сопротивлений эквивалентной сетки Миллера и Абрахамса на геометрические свойства критической подсетки и нешические свойства прыжковой проводимости.
Разработана теория низкотемпературной неомической прыжковой проводимости в неасимптотической области значений параметров.
Практическая значимость работы состоит в том, что при помощи разработанных в ней методов и на основе ее результатов могут быть созданы простые экспериментальные методики для определения микроскопических параметров неоднородных полупроводниковых материалов, имеющих чрезвычайно широкий спектр практических применений.
Результаты работы докладывались на Школе-семинаре по электродинамике гетерогенных систем (Киев 1984), XI Всесоюзном совещании по теории полупроводников (Ужгород 1984).и семинарах теоретического отдела ЛФТИ АН СССР им. А.Ф. Иоффе. Основные результаты опубликованы в 4 статьях.
Всего в диссертации 122 страницы текста, 29 рисунков и 3 таблицы, приложение - 6 стр. Список литературы содержит 58 наименований (из них 34 иностранных). Отдельно' приведен список (А) работ, в которых опубликованы основные материалы диссертации (5 наименова -ний).
Поликристаллические полупроводники
Электропроводность поликристаллического полупроводника обычно бывает на много порядков меньше, чем электропроводность монокристаллов того же состава Это явление объясняется следующим образом. Граница раздела двух микрокристаллов (кристаллитов) содержит, как правило, большое количество локализованных поверхност -них состояний с энергиями, распределенными по всей запрещенной зоне. Допустим, что микрокристаллы сильно легированы (как это и бывает на практике) и имеют, для определенности, IX - тип. Тогда уровень Ферми лежит в районе дна зоны проводимости, и поверхностные состояния оказываются занятыми электронами, и, следовательно, заряженными отрицательно. Отрицательный заряд поверхности раздела двух микрокристаллов приводит к возникновению в этом месте симметричного барьера Шоттки с высотой, определяемой плотностью поверхностных состояний и концентрацией легирующей примеси. Как правило, эти барьеры достаточно высоки (порядка I эВ), и именно они определяют низкую электропроводность всего образца. Мы будем рассматривать случай, когда ширина обедненного слоя Шоттки много меньше среднего размера микрокристалла (что, как правило, выполняется на практике). В этом случае поверхностные слои обеднения не захватывают всего объема кристаллита, и в его центре имеется большая электронейтральная область, характеризующаяся постоянным значением потенциальной энергии электрона (Р (далее, для кратности, мы будем называть потенциальную энергию электрона в электростатическом поле просто потенциалом);
В отсутствие внешнего электрического поля система находит -ся в равновесии, потоки электронов, пересекающих барьер справа налево и слева направо, равны между собой, и полный ток через барьер равен нулю. Внешнее поле изменяет потенциалы микрокристаллов и приводит к возникновению тока между ними. Зависимость тока, текущего через один барьер, от разности потенциалов Л (р , падающей на этом барьере, должна вычисляться в различных приближениях в зависимости от соотношения длины свободного пробега Д и толщины обедненного слоя W . При выполнении условия
Перколяционшй расчет
В настоящей главе излагается аналитический метод, позволяющий достаточно просто вычислять зависимости &(Е) в системах, подобных поликристаллическим полупроводникам (раздел 2Л), они -сывается алгоритм расчета О (В) на ЭВМ методами, математического моделирования (раздел 2,2) и приводится сравнение аналитических формул, результатов моделирования и экспериментальных данных, показывающее их хорошее согласие (раздел 2.3).
Перколяционный расчет неомической электропроводности поликристалла
Одномерный поликристалл. Рассмотрим, в качестве заготовки, задачу о вычислении проводимости длинной одномерной цепочки, сое -тавленной из нелинейных сопротивлений с ВАХ (Г.9). Поскольку все сопротивления такой цепочки включены последовательно, через каждое из них течет один и тот же ток 1 , который мы запишем в виде
Разность, потенциалов, падающая на одном сопротивлении, в одно -мерном случае однозначно определяется величиной ъ этого; сопротивления: Величина 5Т имеет смысл границы по ь между сопротивлениями работающими в омическом и неомическом режиме: если и для сопротивления выполняется закон Ома; если и сопротивление работает в неомическом режиме.
Вычислим среднюю разность потенциалов на одном сопротивлении й(0 . Если величины распределены равномерно от нуля до некоторого 5 т » то
class3 МОДЕЛИРОВАНИЕ ВЫСОКОТЕМПЕРАТУРНОЙ ПРЫЖКОВОЙ
ПРОВОДИМОСТИ class3
Алгоритм моделирования...
Идея моделирования прыжковой проводимости методом Монте-Карло состоит в том, чтобы, взяв конкретную реализацию случайно рас-положенных доноров и задав значение поля Е, разнгрнвать в тече -ние некоторого времени случайные переходы электронов между ними в соответствии с вероятностями (1.28). Тогда плотность тока j( ), усредненную за интервал времени от "D до t-hA t , включающий много переходов, можно вычислить по формулеj-AryAt , где А г - изменение дипольного момента единицы объема системы за это время. Электропроводность же системы находится как отношение среднего по времени значения j(t)к Моделирование прыжковой проводимости по случайно расположенным донорам методом Монте-Карло ранее производилось Маршаллом и Овергофом /36/ для ситуации, когда электронов настолько мало, что каждый электрон двигается независимо от других. В настоящей главе предлагается алгоритм,учитывающий запрет на нахождение двух электронов на одном доноре. Программа моделирования работала следующим образом. Сначала при помощи генератора случайных чисел задавались координтнМ=800 доноров, равномерно распределенных по кубику объема У=г1Л/а. За I , лежащие в интервале от Л/2 до Л/2 . Числа заполнения /2(. выбирались случайно таким образом, чтобы число занятых электронами доноров было равно (І-К)М , пустых -КМ , а вероятность реализации набора М{1 была пропорциональна 6Х,р -(1. ftc&cj/kТі . Расчеты производились при двух значениях К - 0.5 и 0.05. Считалось, что к кубику приложено электрическое поле Е , направленное по осиХпер -пендикулярно одной из его граней, и по формуле {,= 6 +eEXj, вычислялись энергии донорных уровней в поле.
Следующая задача состояла в вычислении вероятностей переходов между парами доноров. Это делалось только для пар с длиной где Длина ext принималась равной 1,5 / . Дело в том, что при не очень низких температурах ток определяется парами с длиной, близкой к перколяционному радиусу / . . Наши расчеты производились при таком значении параметра Nab, что2г0/а=/ При этом множители eXjb ( 2ґц I(X) в (1.28) для двух пар с плечами
Ґс и 1,5 Ґс различаются в ехр (7,5") раз. Таким образом, пере -ходами в парах доноров с длиной больше f t = 1.5 ґс можно было пренебречь. Увеличивая Ґех+ , мы проверяли, что: ток при этом практически не меняется. При вычислении вероятностей прыжков для пар с Г; Г хЬ ш предполагали периодические граничные условия: были разрешены переходы между донорами, расположенными около грани ЭС= U ((, - длина ребра кубика), и донорами, расположенными около грани Х= U . Если донор U расположен около грани ОС- U ,а донор J . -около Х= V t то расстояние между ними и разность энергий, входящих в (1.28), вычислялись по формулам
Вычисление электропроводности в модели Миллера и Абрахамса
Для сравнения с расчетом методом Монте-Карло мы в точности для того же набора координат доноров и энергий 8 вычисляли сопротивление сетки МА по законам Кирхгофа. Вычисление производилось- методом верхней релаксации /17/, и главное; отличие от обычных вычислений таким методом (см. например, /25/) состояло в том, что для полной идентичности системы с рассмотренной методом Монте-Карло предполагались такие же периодические граничные условия, т.е. вводились сопротивления, связывающие доноры, находящиеся вблизи противоположных граней куба. С этой же целью считалось, что ток может идти только по б/ =4096 наименьшим сопротивлениям, а большие сопротивления разорваны, и что все сопротивления Rn , мень-шие кТ/е2 Г8ир , заменены на сопротивления,равные kT/eZ Гвор . Таким образом, отличие между значениями &ом , вычисленными методом Монте-Карло и значениями, вычисленными с помощью сетки МА (будем обозначать их 6 . ),должно быть связано лишь с ХТК.
Для нахождения электропроводности системы при помощи уравнений Кирхгофа обычно (см., например, /25/ ) задают приложенное на-прдаение в виде граничных условий на потенциал: на одном контакте все потенциалы равны нулю, на другом - единице, и уравнения Кирхгофа решаются только для внутренних узлов. При периодических граничных условиях такая постановка задачи невозможна, и, поэтому мы решали уравнения Кирхгофа, не относительно потенциалов узлов, а,так1же, как и в главе 2 относительно "добавок к однородному значению" у.. .Разность потенциалов между узлами и) задается в этом случае формулой (2.22). После этого задача о вычислении д оказывается точной копией уже рассмотренной нами задачи о вычислении (Ґ(Е) поликристалла, с той только разницей, что ток через одно сопротивление описывается не формулой (1.9), а законом Ома. Поэтому в этом случае нет необходимости вводить дополнительные переменные V t- (2.23), т.к. формула, аналогичная (2.27), может быть написана сразу для потенциалов
МОДЕЛИРОВАНИЕ НИЗКОТЕМПЕРАТУРНОЙ ПРЫЖКОВОЙ ПРОВОДИМОСТИ
МОДЕЛИРОВАНИЕ НИЗКОТЕМПЕРАТУРНОЙ ПРЫЖКОВОЙ ПРОВОДИМОСТИ
Как уже говорилось в разделе 1.2, в аморфных полупроводниках в области не очень сильных полей почти всегда наблюдается зависимость 6 (t),близкая к (1.80). Мы.выбрали четыре наиболее "чис -тые" экспериментальные работы /23,31,39,49/, посвященные аморфным германию, сурьме и мышьяку, в которых хорошо выполняется закон Мотта, и достаточно точно известен радиус локализации волновой функции: Q. (Некоторые зависимости Є ом(Т ) и 6YL), измеренные в этих работах, приведены на рис. 1.7, 1.8 и I.II). Из наклона графиков ОгЄ(Е) можно) найти длину =.Сґт , как функцию температуры. Обработка температурной зависимости омической электропроводности по формуле (1.58) позволяет определить с . После этого величина С находится согласно формуле С=2/ЯЁ. Полу -ченные таким образом значения ё. , и С приведены в таблице 5.2 (для Or бе ECL-AS МЫ использовали значение &= Wn , а для Из.сопоставления таблиц .5.1 и 5.2 видно, что, как правило, в согласии с расчетом коэффициент С растет с ростом с Однако, экспериментальные величины С при тех же значениях примерно в 4 раза меньше, чем расчетные. Мы думаем, что это расхождение можно будет объяснить,.предположив, что в аморф -ных полупроводниках плотность состояний не постоянна, а достаточно быстро растет- при удалении от уровня Ферми. Ортуно и Поллак /47/ использовали такую модель с целью объяснения, аномально большой- величины предэкспоненциального множителя в (1.48). Они показали,, что можно выбрать, такую плотность .состояний,, что. в экспериментально исследуемой довольно узкой области температур, зависимость (50М(Т ) будет близка к (1.58), в то время как показатель экспоненты с будет, значительно меньше значения .( 0 / Т ) t которое получается, если считать, что закон (1.58) выполняется вплоть доХ= .. В результате.лредэкспоненпиальной множитель уменьшается и приобретает разумную.величину. То, что фактические значения с меньше ( o/Tj , очевидно приводит к ослаблению нелинейности ВАХ. .
До сих пор мы говорили об области VR п . Однако при 2 /#=15 и КГ/А «1/28 мы имеем дело с з - проводимостью. В таб-лицу5.1мы включили также данные для еще большей температуры kl/a=l/l6, полученные методом Монте-Карло в главе 3 (в этом случае коэффициент ОС определялся по более узкой области полей, где 6 (Е) меняется от 1.3 б м до 2.5 С0Л1). Расчетные значения ОС интересно сравнить со значениями, которые получаются из анализа ВАХ нейтронно легированного. образца раствора &&оэч оов в области j - проводимости (рис.1.10). Этот образец удобен для сравнения с расчетом, во-первых, потому, что в нем оґс/.СІ =14, т.е; близко к значениям 2. fJ(X =15", для которого рассчитывалась ВАХ. Во-вторых, его степень.компенсации, близка к принятой в расчетах К.=0,5. В-третьих, поскольку в нем Ъ в 2.5 раза больше, чем в одинаково легированных образцах чистого германия, естест -венно считать, что значительная часть разброса энергий создается в нем флуктуациями состава раствора в. объеме примесного состоя -ния,. а яе кулоновским взаимодействием.. В таких условиях энергии различных примесей независимы друг от.друга, однако, распределены не равномерно от -Л/2 до А/2. , как в нашем расчете, а по гаус.совому,закону /8/.
