Содержание к диссертации
Введение
1 Метод дискретных элементов 14
1.1 Введение 14
1.2 Алгоритм для модели деформируемых частиц 15
1.3 Об эффективности обнаружения столкновений 17
1.4 Механика контактного взаимодействия 20
1.4.1 Особенности контактного взаимодействия 20
1.4.2 Перемещения, деформации и силы 21
1.5 Интегрирование уравнения движения 26
1.5.1 Метод Верле 28
1.5.2 Метод Нордсика—Гира предиктор-корректор 29
1.6 Несферические частицы 31
1.7 Способы задания геометрии стенок 39
2 Моделирование контактного взаимодействия сфер 44
2.1 Моделирование вязкоупругого взаимодействия 44
2.1.1 Линейная вязкоупругая модель 44
2.1.2 Нелинейная вязкоупругая модель 46
2.2 Инкрементальные модели тангенцального взаимодействия
2.2.1 Модель Миндлина—Дерисевича 48
2.2.2 Модель Уолтона—Брауна 49
2.2.3 Сравнение моделей тангенцального взаимодействия 49
2.3 Моделирование упругопластичного взаимодействия 51
2.3.1 Начало пластического течения 52
2.3.2 Зависимость сила-смещение при нормальном упругопластичном контакте 53
2.3.3 Тангенцальный упругопластичный контакт 55
2.3.4 Линейная модель Уолтона—Брауна 57
2.3.5 Нелинейная модель Торнтона 59
2.3.6 Сравнение моделей упругопластического взаимодействия 59
2.4 Особенности многочастичного взаимодействия 61
3 Оптимизация процедуры обнаружения столкновений в задаче многих тел 64
3.1 Замечания относительно базовой структуры программы моделирования МДЭ. 65
3.2 Метод разбиения пространства регулярной сеткой 66
3.3 Метод ограничивающих объемов 71
3.4 Управление списком взаимодействий 74
4 Течение сыпучего материала в реакторе фильтрационного горения твердого топлива 76
4.1 Введение 76
4.2 Течение монодисперсного сыпучего материала в вертикальном реакторе 78
4.3 Течение бидисперсного сыпучего материала в вертикальном реакторе 83
4.4 Течение бидисперсного сыпучего материала в наклонном вращающемся реакторе 89
Заключение 95
Выводы 96
Приложение А. К задаче о вязкоупругом контакте 97
А.1 Анализ размерностей в задаче о вязкоупругом контакте 97
А.2 Аналитическое решение линейной вязкоупругой задачи 98
А.З Решение нелинейной вязкоупругой задачи Kuwabara—Копо 99
Приложение Б. Контакт абсолютно упругих сфер 103
Приложение В. Аппарат кватернионов и трехмерные вращения 104
Литература
- Об эффективности обнаружения столкновений
- Инкрементальные модели тангенцального взаимодействия
- Метод разбиения пространства регулярной сеткой
- Течение бидисперсного сыпучего материала в наклонном вращающемся реакторе
Введение к работе
Актуальность темы.
Сыпучие материалы повсеместно встречаются в природе, в промышленности, в повседневной жизни. Несмотря на своё широкое распространение и даже, казалось бы, "обыденность", сыпучие материалы до сих пор являются объектом, изучение которого ещё далеко не закончено, наоборот, оно представляет всё более возрастающий интерес как само по себе, так и в связи с наличием большого количества задач, в которых сыпучая среда является одной из составляющих изучаемой системы.
Примером может служить фильтрационное горение твердого топлива — процесс, описание которого включает фильтрацию, горение и динамику сыпучей среды, которой в существующих теориях фильтрационного горения пренябрегается. Между тем, выгорая частицы топлива уменьшаются в размере, а это приводит не только к росту газопроницаемости слоя (что справедливо в случае, когда твердая фаза имеет развитый инертный каркас), а к перемещению частиц относительно друг друга, уплотнению материала в одной области и образованию полостей в другой. Как следствие, горение идет более интенсивно в тех областях, где выше газопроницаемость, в результате чего образуются прогары и застойные зоны; свод выгоревшей полости может обрушиться, что приведет к резкой смене газодинамической ситуации в реакторе. Всю эту сложную динамику горения невозможно описать не учитывая движение частиц твердой фазы.
С помощью управления течением твердой фазы в реакторе можно эффективно решать разнообразные технологические задачи, такие как обеспечение однородности засыпки шихты, ликвидация прогаров и стабилизация фронта фильтрационного горения, оптимизация производительности реактора и др. Компьютерное моделирование позволит проанализировать альтернативные варианты конструкции оборудования, выяснить критические значения управляющих параметров, определить наиболее благоприятные условия для проведения процесса.
Сыпучая среда демонстрирует богатый спектр явлений — она может течь подобно жидкости, может оставаться в покое при наличии напряжений подобно твердому телу, при высокой интенсивности воздействия может вести себя подобно газу. Множество попыток было предпринято с целью теоретически описать отдельные аспекты поведения сыпучей среды
используя аппарат механики сплошных сред. Но общей теории, способной предсказать изменение поведения сыпучего материала от, например, твердоподобного к ожижженому и обратно, всё ещё нет. В этой ситуации компьютерное моделирование, основанное на подходе Лагранжа и заключающееся в решении динамической задачи и отслеживании траектории каждой отдельной частицы, является практически единственным инструментом, с помощью которого возможно изучение поведения сыпучей среды во всём его многообразии и при наличии сложного окружения. В данном методе — методе дискретных элементов (МДЭ) — сложная задача о движении сыпучей среды как целого сводится к сумме множества простых и хорошо исследованных задач о механическом контакте между отдельными частицами.
Использование МДЭ требует относительно простых, но очень интенсивных компьютерных вычислений. Как следствие, на современном уровне вычислительной техники размер моделируемого ансамбля обычно ограничен тысячами и десятками тысяч элементов без использования продвинутого оборудования, сложных алгоритмов и оптимизированного кода. Как правило, этого достаточно при моделировании начального и среднего уровней, но здесь также требуется применение современных технологий программирования для того, чтобы обеспечить гибкость системы — качество, обязательное практически для любой программы моделирования, поскольку часто уже в процессе исследования возникает необходимость существенного изменения параметров модели, добавления в модель свойств, не предполагавшихся па начальной стадии разработки и просто тестирования ряда алгоритмов с целью выбора оптимального. При таких изменениях желательно, чтобы не затрагивалась та значительная доля программного обеспечения, которая касается задания начальной конфигурации модели, организации главного цикла, визуализации результатов вычислений и т.д. Это позволит значительно сократить время разработки и сосредоточиться непосредственно на моделировании.
В рамках МДЭ могут быть смоделированы мультифазные течения, такие как фильтрация газа или жидкости сквозь подвижный сыпучий материал. Для моделирования сплошной среды используется метод гидродинамики сглаженных частиц, который также основан на подходе Лагранжа и, на самом деле, составляет с МДЭ одно семейство численных методов. Альтернативный подход может заключаться в сопряжении МДЭ с методом вычислительной гидродинамики, который принадлежит уже семейству сеточных методов, основанных на подходе Эйлера.
Обладая огромным потенциалом как инструмент исследователя, МДЭ, как уже отмечалось выше, опирается на значительные вычислительные ресурсы и продвинутые алгоритмы. Поэтому, несмотря на уже практически тридцатилетнюю историю, период интенсивного
развития метода приходится именно на наши дни, что связано как с достигнутым необходимым уровнем вычислительной техники, так и с развитием методов программирования. И хотя отдельные аспекты МДЭ, такие как модели контакта или алгоритмы поиска ближайших соседей, давно и активно развиваются, на сегодняшний день практически не существует программных пакетов, позволяющих без существенных затрат решать задачи легкого и среднего классов, т.е. того инструмента, который наиболее необходим при изучении поведения сыпучих материалов отдельными исследователями и научными группами, не занимающимися непосредственно крупномасштабным промышленным моделированием. Разработка подобного инструмента, включая обзор и анализ моделей и алгоритмов, его применение к моделированию задач описания поведения сыпучей среды в реакторе и составляет предмет настоящего исследования.
Цель работы.
Анализ в едином ключе существующих математических моделей механического контакта, выбор и обоснование простейших моделей, определение возможных путей их дальнейшего развития; анализ эффективности алгоритма МДЭ и способов его оптимизации; развитие подхода, позволяющего учитывать сложную геометрию частиц сыпучей среды и ограничивающего пространства.
Разработка программного обеспечения для проведения вычислительных экспериментов по исследованию реологии сыпучей среды в условиях реактора фильтрационного горения твердого топлива. Дальнейшее развитие разрабатываемого программного обеспечения предполагает возможность моделирования фильтрующейся газовой фазы, межфазного тепломассообмена и химических реакций.
Моделирование гравитационного течения сыпучей среды в условиях, характерных для реактора фильтрационного горения, проводимое с целью исследовать особенности течения и определить возможное влияние характеристик течения на устойчивость фронта фильтрационного горения.
Научно-практическая значимость работы.
Развиваемый в работе подход позволяет моделировать статику и динамику сыпучих сред на уровне взаимодействия между отдельными частицами. Проделанный критический анализ существующих моделей механического контакта позволяет более адекватно оценивать результаты такого моделирования и открывает пути дальнейшего развития моделей.
Возможность моделирования сложной геометрии частиц и ограничивающего объема позволяет строить модели, максимально приближенные к своим реальным прототипам.
Работа закладывает основу для создания модели фильтрационного горения, учитывающей динамику частиц твердой фазы. Предложены метод и способ анализа для расчета характеристик реактора фильтрационного горения твердого топлива, выбора оптимальных значений управляющих параметров. Полученные результаты использовались при разработке и реализации нового типа реактора.
Объем и структура диссертации.
Диссертация состоит из введения, четырех глав, выводов, трех приложений и списка цитируемой литературы.
В первой главе приводится обзор метода дискретных элементов и его применения при моделировании сыпучих сред. Обосновывается выбор варианта метода, рассматриваются общие вопросы механики контактного взаимодействия, моделирования геометрии частиц и ограничивающего объема, интегрирования уравнений движения.
Во второй главе на основе критического рассмотрения и анализа существующих моделей контактного взаимодействия производится выбор моделей и их представления.
В третьей главе рассматриваются существующие способы оптимизации процедуры обнаружения взаимодействующих объектов, приводится структура программы моделирования и обсуждаются вопросы реализации.
В четвертой главе приводятся результаты моделирования гравитационного течения сыпучей среды в условиях реактора фильтрационного горения твердого топлива. Рассмотрены три задачи: течение монодисперсного и бидисперсного материала в вертикальном реакторе и течение бидисперсного материала в наклонном вращающемся реакторе.
Работа изложена на 114 листах машинописного текста, содержит 177 формул, 2 таблицы, 34 рисунка и 106 библиографических ссылки.
Об эффективности обнаружения столкновений
Здесь происходит подготовка программы к запуску главного цикла — задают начальное состояние ансамбля N частиц и инициализируют все внутренние структуры, используемые при моделировании.
2. Определить пары взаимодействующих частиц.
Начало главного цикла. Для того, чтобы не проверять на контакт все из N(N — 1)/2 потенциальных пар частиц, предварительно определяют их взаимное расположение в пространстве, после чего перекрывание рассчитывают уже только между соседними частицами. Такая тактика позволяет в общем случае понизить сложность данного шага с 0(N2) до 0(NNn), где Nn sc N — среднее количество соседей на частицу.
3. Рассчитать силы взаимодействия.
После того как между частицами установлено наличие контакта, необходимо рассчитать силу взаимодействия. Для этого применяют различные модели контактных сил, использующие величину перекрывания, относительные нормальную и тангенциальную скорости, тип частиц и т.д. Данный шаг имеет сложность 0(NNc), где Nc N„ — среднее количество фактических контактов на частицу.
4. Интегрировать уравнения движения.
После расчета сил взаимодействия, для каждой частицы вычисляют результирующую действующих на неё сил, после чего интегрируют уравнения движения для определения новых значений линейной и угловой скорости, положения и ориентации частицы. Сложность данного шага 0(N).
5. Обновить информацию о потенциальных контактах.
Так как частицы движутся и информация об их взаимном расположении, используемая на шаге 2, со временем устаревает, необходимо её периодически обновлять. При этом период обновления (10-100 шагов) необходимо выбирать таким, чтобы исключить появление пропущенных столкновений. Таким образом достигается дополнительное снижение вычислительной стоимости алгоритма.
6. Перейти на шаг 2.
На рис. 1.1 представлена блок-схема данного алгоритма.
Очевидно, что оптимальным будет алгоритм, имеющий минимально возможную сложность 0(NNc). В приведенном выше алгоритме наиболее критичен шаг 2 — он выполняется в главном цикле и имеет максимальную сложность. Этот шаг, в свою очередь, состоит из двух подшагов. Во-первых, для каждой частицы / необходимо найти множество N,- её ближайших соседей. Во-вторых, рассчитать перекрывание этой частицы с частицами j є N,-, в результате получив множество Е,- фактических контактов данной частицы.
Операция точного расчета перекрывания двух частиц в пространстве выполняется во время моделирования многократно. Для сферических частиц она имеет минимальную сложность и заключается в вычитании из суммы радиусов расстояния между их центрами, однако для частиц более сложной формы (например, полиэдров) точный расчет перекрывания — задача нетривиальная.
Ясно, что снижение стоимости вычислений перекрывания связано с уменьшением мощности множества N,- (в идеальном случае N,- = Е,-), которое обусловлено эффективностью алгоритма определения ближайших соседей. В следующем параграфе будут рассмотрены особенности ряда наиболее широко используемых алгоритмов обнаружения столкновений.
Простейшим методом оптимизации процедуры определения взаимодействующих частиц является список Верле [1, 5.3.1]. В методе Верле для каждой частицы /, / = l,...,N—l, создается список N,- ближайших частиц j, таких, что j і и d;j Rc + Rj, где йц — расстояние между центрами частиц і и j, Rj — радиус частицы j, Rc — радиус потенциального взаимодействия (см. рис. 1.2а). После этого расчет перекрывания производится уже только между частицей ( и частицами, попавшими в список N,. Недостатком такого подхода является то, что при обновлении списков все N(N - 1)/2 вычислений dy должны быть выполнены заново.
Методом, обеспечивающим линейную сложность процедуры обновления, является разбиение пространства регулярной сеткой на прямоугольные ячейки, как показано на рисунке 1.26. При этом в каждой ячейке хранится список частиц, центры которых расположены внутри данной ячейки. Таким образом, расчет перекрывания осуществляется только между частицами, попавшими в одну и ту же ячейку, и в соседние с ней. Подробное обсуждение метода ячеек, алгоритм и выбор размера элементарной ячейки приводится в 3.2. К недостаткам метода относится его низкая эффективность при полидисперсном составе сыпучей среды, особенно при большом неравенстве размеров крупных и мелких частиц, так как в этом случае невозможно выбрать оптимальный размер ячейки.
В случае полидисперсных материалов представляется более эффективным использование таких структур данных как Q-деревъя при 2D моделировании или О-деревьл при 3D моделировании (25,26). Здесь сетка строится с учетом плотности распределения частиц сыпучей среды по пространству: в 2D квадрат, содержащий все частицы, разбивается на 4 равные части, называемые квадрантами, если в нем находится более 4 частиц. Дальнейшее рекурсив
Инкрементальные модели тангенцального взаимодействия 47
Очевидно, что точный расчет для каждой частицы напряжений и деформаций, вызванных контактным взаимодействием, на данный момент невозможен, хотя бы по чисто техническим причинам. С другой стороны, очевидно также, что реалистичность поведения модельной сыпучей среды зависит (помимо геометрии частиц) от точности представления процессов межчастичного взаимодействия.
В общем случае взаимодействие при механическом контакте можно разделить на три основных составляющих: упругая реакция, диссипация энергии и трение, которое, помимо диссипации, приводит также к вращению сферических частиц. Основными возможными механизмами диссипации энергии являются [31] пластическая деформация, вязкость материала и трение скольжения. Трением качения и диссипацией энергии вследствие возбуждения волн напряжения в телах при столкновении (генерацией шума) в большинстве задач можно пренебречь.
В случае парного столкновения все процессы, приводящие к рассеянию энергии, могут быть эффективно просуммированы в коэффициенте восстановления [31,32], феноменологически определяемом как отношение скоростей частиц после и до столкновения. В идеале это отношение должно выбираться исходя из реальных характеристик материалов сталкивающихся частиц, а численная модель контакта должна точно воспроизводить заданную величину. Однако коэффициент восстановления в общем случае зависит, помимо свойств материала, также от скорости и угла соударения [32-34], а при низких скоростях столкновения также от массы частиц [34]. Более того, в плотных системах ситуация осложняется наличием циклических нагружений, что не учитывается в большинстве существующих моделей (это приводит к отсутствию в модели диссипации при повторных нагружениях [35,36]).
В широком классе систем необходим также учет адгезии и влияния окружающей среды (обычно воздух или вода) [37-41]. Например, при моделировании мелкодисперсных порошков большую роль играет влажность частиц и окружающего воздуха, приводящие к слипанию и образованию агломератов, а также наличие у частиц электрического заряда [42-44]. Для нанопорошков необходим учет Ван-дер-Ваальсова притяжения и трения качения [45,46].
Большой практический и научный интерес представляют задачи исследования мультифаз-ных течений,газ-твердое, жидкость-твердое, в которых твердая фаза представлена плотной сыпучей средой. Решение таких задач возможно при комбинации дискретных методов с методами сплошной среды, например, методами вычислительной гидродинамики [29,47,48].
Мы будем рассматривать взаимодействие сухих деформируемых сферических частиц без адгезии но с учетом кулоновского трения. Деформации, которым подвергаются частицы в процессе контакта, имеют характерные размеры, много меньшие размеров самих частиц, что позволяет рассматривать каждый контакт независимо от условий нагружения вдали от области взаимодействия [31]. После снятия нагрузки форма частиц полностью восстанавливается, но часть кинетической энергии оказывается рассеяной в соответствии с механизмом диссипации, заложенным в модель.
Усилия, передаваемые через область контакта, пропорциональны величине и скорости деформации. Поэтому в следующем параграфе рассматриваются общие вопросы, касающиеся относительного движения частиц в процессе контакта, деформаций и действующих сил, а подробное обсуждение наиболее распространенных моделей взаимодействия, позволяющих учесть такие физические свойства материалов, как вязкость и пластичность, а также диссипацию при циклических нагружениях в случае многочастичных контактов, приводится в главе 2.
Рассхмотрим контакт двух сферических частиц / и j с радиусами /?,-, Rj, массами тп/, irij, моментами инерции /,-, /,-, координатами центра масс х,-, х;, линейными скоростями V,-, v, и угловыми скоростями ш,-, Ю; соответственно. При столкновении первоначально частицы соприкасаются в одной точке — точке контакта С, как показано на рисунке 1.3а, где Р — контактная плоскость, касательная к і и j в точке С.
В ходе соударения частицы сжимаются, их центры сближаются, а поверхности вблизи-точки С деформируются, в результате чего образуется пятно контакта, размер которого, вообще говоря, мал по сравнению с размерами частиц. На рисунке 1.36 сплошной линией изображены поверхности деформированных частиц, а пунктирном — поверхности, какими они были бы при отсутствии деформации.
Результирующая сила F,j, передаваемая через пятно контакта от одной частицы на другую, состоит из нормальной компоненты Fn, действующей вдоль общей нормали в точке С, и тангенциальной компоненты F,, действующей в плоскости контакта Р. Согласно [31, 11.4] тангенцальные напряжения не влияют на нормальные компоненты движения, если где S;„ — относительное нормальное смещение частиц (сжатие в нормальном направлении); и„ — нормальная компонента относительной скорости; , — относительное тангенцальное смещение частиц (упругое тангенцальное смещение точки контакта); v, — тангенцальная компонента относительной скорости.
Необходимо отметить, что тангенцальная сила целиком обусловлена силами трения, поэтому для случая отсутствия трения между поверхностями частиц касательные и вращательные движения нечувствительны к контакту. При наличии трения тангенцальная сила приводит к появлению момента вращения, действующего относительно центров масс частиц и изменяющего их угловые скорости.
Кроме того, поскольку пятно контакта имеет конечные размеры, становится возможной передача дополнительно к силам еще и результирующего момента (см. [31, 1.3]). Две составляющие этого момента, действующие в плоскости контакта, называются моментами качения и предопределяют сопротивление движению относительного перекатывания контактирующих тел, называемое трением качения, величина которого в большинстве практических задач достаточно мала для того, чтобы им пренебречь.
Метод разбиения пространства регулярной сеткой
Основой всех моделей механического контакта в МДЭ является расчет пересечения геометрических поверхностей взаимодействующих тел. Интерпретируя такое пересечение как деформацию при взаимодействии, можно рассчитать силы, необходимые для приведения тел в физически естественное раздельное состояние (см. гл. 2).
Очевидно, что при простой проверке на пересечение "всех-со-всеми" сложность данной процедуры будет расти как 0(N2), где N — количество элементов в системе. Вычислительные затраты при этом становятся недопустимо высокими уже в простейших случаях моделирования систем сферических частиц при ./V 1000. Естественный путь снижения вычислительных затрат (при отсутствии в системе дальнодействующих потенциалов — кулоновского, ван-дер-ваальсова, полярного и т.д.) — проверять на пересечение только объекты, расположенные в пространстве непосредственно рядом друг с другом.
Таким образом, прежде чем рассчитывать деформации и силы, необходимо выяснить взаимное расположение тел, т.е. определить отношения соседства между ними. В настоящей главе детально рассматриваются два метода пространственного упорядочивания объектов — метод разбиения пространства регулярной сеткой и метод ограничивающих объемов с использованием алгоритма пирамидальной сортировки. Оба метода основаны на концепции сортировки объектов вдоль осей декартовой системы координат; они достаточно эффективны и просты в реализации, что определяет их широкое применение (обзор различных методов см. в 1.3). Кроме того, в настоящей главе приводится пример реализации управления списком контактов, в котором хранится информация о текущих взаимодействиях. Список контактов необходим, если силы зависят от предыстории взаимодействия и позволяет избежать непроизводительных затрат, связанных с инициализацией модели контакта, особенно в случае моделирования плотных систем, когда контакты сохраняются относительно продолжительное время. В первом параграфе главы приводятся некоторые сведения о базовой структуре программы моделирования МДЭ
В качестве основы для собственных разработок был взят пакет YADE1, предоставляющий каркас для моделирования, основанного на подходе Лагранжа (например, моделирование методом дискретных элементов, методом конечных элементов, методом гидродинамики сглаженных частиц, методом подпружиненных масс и др.). Пакет YADE является программным обеспечением с открытыми исходными кодами, права на использование которого регулируются лицензией GPL.
Пакет YADE состоит из центрального ядра, служебных библиотек, оболочки и подключаемых модулей — плагинов (plugins) — с помощью которых реализуется всё то, что имеет отношение к модели. Ядро, служебные библиотеки и графическая оболочка обеспечивают реализацию главного цикла, различных вспомогательных средств (например, геометрических векторов), базовых средств ввода/вывода, интерфейс пользователя, визуализацию результатов моделирования и т.д.
В рамках YADE моделируемая система сводится к объектам следующих типов: bodies — физические тела; interactions — взаимодействия между этими телами; physical actions — результаты взаимодействия, такие как, например, сила; engines — механизмы, определяющие взаимодействующие тела, рассчитывающие силы, интегрирующие уравнения движения и т.д. Каждый из этих типов (классов) объектов реализуется в виде соответствующего плагина, который может использовать другие плагины для решения собственных задач. В виде плагинов реализованы также контейнеры, необходимые для хранения объектов (такие как Body Container, InteractionContainer, PhysicalActionContainer); эффективность реализации таких контейнеров в значительной мере определяет общую эффективность программы. Разработка плагинов осуществляется на языке программирования C++ [79].
Классы типа bodies, interactions и physical actions являются "пассивными" классами или классами данных. Они практически не содержат методов, только данные и предназначены для хранения информации. Классы типа engine являются "активными" классами. Они производят чтение/запись данных из/в соответствующие контейнеры, выполняя необходимые вычисления и обеспечивая требуемое поведение системы. Таким образом, используется разделение данных и методов; при этом методы класса типа engine можно рассматривать как "внешние" виртуальные методы соответствующего класса (или двух и более классов) данных.
Течение бидисперсного сыпучего материала в наклонном вращающемся реакторе
Развиваемый в настоящей работе подход и ПО может применяться как при исследовании поведения сыпучей среды на характерном масштабе порядка размера отдельной частицы, так и при анализе эффективности различных технологических решений и конструкций оборудования, призванных обеспечить требуемое поведение сыпучего материала в промышленном процессе. Необходимо отметить, что, поскольку единственной физической основой моделирования является контактное взаимодействие между частицами, результаты моделирования (для частиц заданной геометрии) будут целиком определяться выбором модели взаимодействия. Простые модели, обладая вычислительной привлекательностью, могут привести к ряду артефактов в поведении модельной сыпучей среды. В связи с этим может быть интересно исследование обоснованности делаемых упрощений путем сравнения результатов, полученных с помощью разных моделей. Отдельно следует отметить важность и недостаток экспериментальных данных, необходимых для проверки результатов моделирования.
Одним из путей дальнейшего развития может быть реализация дополнительно к МДЭ метода гидродинамики сглаженных частиц (SPH), позволяющего решать гидродинамические уравнения в бессеточной лагранжевой форме и моделировать динамику сплошной среды как ансамбля дискретных частиц. В методе SPH частицы являются "каплями" дискретизирован-ной сплошной среды, которые могут свободно передвигаться в рамках наложенных законами сохранения связей. Каждая такая псевдочастица имеет массу, координату, плотность и скорость, а для того чтобы получить значение любого параметра в произвольной точке среды используется интерполяция с помощью функции ядра по частицам, расположенным в радиусе сглаживающей длины от этой точки. Одинаковая природа методов ДЭ и SPH позволяет выделить общую структуру программы, в рамках которой необходимо реализовать модели взаимодействия между частицами сыпучей среды и псевдочастицами сплошной среды.
В результате совместной реализации методов ДЭ и SPH появится возможность моделирования фильтрации газовой фазы сквозь движущийся сыпучий материал, что, при дополнительном включении межфазного тепломассообмена, позволит построить модель фильтрационного горения с замкнутой системой обратных связей, что, в свою очередь, позволит исследовать трехмерную структуру волн фильтрационного горения и развитие газодинамических неустойчивостей, а также разрабатывать способы управления процессом. Выводы
Разработан комплекс программ, предназначенный для моделирования сыпучих сред методом дискретных элементов.
Проведено моделирование течения монодисперсной сыпучей среды в вертикальном цилиндрическом реакторе с конусообразной разгрузочной частью. Установлено наличие двух режимов течения (плоского и воронкообразного); обнаружен пульсирующий характер течения.
Проведено моделирование течения бидисперсной сыпучей среды. Установлено, что в зависимости от параметров системы происходит совместное течение либо разделение мелкой и крупной фракций; при добавлении мелкой фракции в монодисперсную систему происходит уменьшение эффективной вязкости.
Проведено моделирование течения сыпучей среды в наклонном вращающемся реакторе. Установлено, что в случае бидисперсного материала течение мелкой фракции однородно в осевом направлении, при этом происходит интенсивное перемешивание мелких частиц по радиусу. Такой режим течения благоприятен для стабилизации плоского фронта горения. Приложение А. К задаче о вязкоупругом контакте
Анализ размерностей в задаче о вязкоупругом контакте Здесь мы будем следовать анализу нормального контакта, проделанному в [67]. Опуская индекс п, запишем упругую Fe и диссипативную F" силы взаимодействия частиц в следующем виде Fe = т,АГ\ F" = m.D2 P. (А.1)
Зависимость F" от следует, как минимум, из того факта, что диссипативная сила должна исчезать при ; = 0. На основании (А.1) запишем уравнение движения частиц t + D + D t o (А.2) с начальными условиями (0) = 0, (0) = v0 (А.З) где VQ — начальная скорость столкновения. Выберем как характерную длину задачи максимальное сжатие при контакте абсолютно упругих частиц, Ц,м, которое может быть найдено из условия равенства начальной кинетической энергии m v /2 максимальной упругой энергии mtD\ x/(а +1), откуда получим
