Содержание к диссертации
Введение
1. Единое уравнение для низкочастотных возмущений электронных пучков в непотенщальном приближении 13
1.1. Равновесное состояние электронного пучка 13
1.2. Вывод уравнения для возмущений электронного пучка 16
1.3. Понятие предельного вакуумного тока пучка 21
2. Неустойчивость улжтронного пучка в дрейфовом пространстве конечной длины. задача пирса 25
2.1. Пирсовская неустойчивость в .идинных системах 25
2.2. Пирсовская неустойчивость в коротких системах 29
2.3. Об экспериментальном наблюдении неустойчивости Пирса 32
3. Неустойчивости электронных пучков, не связанные с колебательным движением ионов компенсирующего фона 35
3.1. Диокотронная неустойчивость трубчатого пучка в системе конечной длины 35
3.2. Условия развития диокотронной неустойчивости пучка в коаксиальном волноводе 43
3.3. Slipping,- неустойчивость коротковолновых по радиусу пучка возмущений 49
3.4. Влияние степени зарядовой компенсации элект ронного пучка на Stippinn - неустойчивость 55
3.5. Обсуждение результатов и сравнение с имеющи мися экспериментами. 58
4. Неустойчивости электронных пучков, связанные с возбуждением колебаний ионного фона 61
4.1. Токово-конвективная неустойчивость.Влияние степени зарядовой компенсации пучка на характер неустойчивости 61
4.2. Бунемановская неустойчивость 65
4.3. Влияние собственного магнитного поля пучкана будкеровскук неустойчивость 70
4.4. Экспериментальные исследования токово-ковективной и бунемановской неустойчивостей 74
Заключение 76
- Вывод уравнения для возмущений электронного пучка
- Об экспериментальном наблюдении неустойчивости Пирса
- Влияние степени зарядовой компенсации элект ронного пучка на Stippinn - неустойчивость
- Экспериментальные исследования токово-ковективной и бунемановской неустойчивостей
Введение к работе
В последние годы сильноточные релятивистские электронные пучки находят все большее применение в СВЧ-электронике, управляемом термоядерном синтезе, в установках по колективному ускорению тяжелых заряженных частиц, газовых лазерах с электронной накачкой и лазерах на свободных электронах. Перспективно использование мощных релятивистских электронных пучков и для передачи энергии на большие расстояния. При решении этих задач наряду с получением мощных электронных пучков встает проблема их транспортировки в дрейфовых системах, связанная с реализацией равновесных конфигураций пучков и их устойчивостью. Поэтому вопросы равновесия и устойчивости различных конфигураций электронных пучков на сегодняшний день представляются весьма актуальными и в прикладном отношении важными. Не напрасно этим вопросам как для релятивистских, так и нерелятивистских электронных пучков в литературе посвящено огромное число работ.
В отсутствие внешнего магнитного поля возможно единственное равновесное состояние релятивистского электронного пучка- стабилизированный пучок Будкера, в котором при частичной нейтрализации объемного заряда ионным фоном происходит компенсация сил растаскивания между электронами. При наличии достаточно сильного внешнего магнитного поля, предотвращающего пространственное расплывание частиц, число возможных конфигураций пучков оказывается бесконечным. Выбор той или иной равновесной конфигурации зависит от таких параметров, как неоднородность профиля пучка, тепловой разброс, величина внешнего магнитного поля, нейтрализация объемного заряда и тока, и в конечном счете влияет на значение предель ного тока в пучке.
Уже в первой работе Пирса / I / было показано, что основным препятствием на пути получения сильноточных электронных пучков в вакуумных системах является объемный заряд,, ограничивающий предельный ток пучка. При токах пучка, близких к предельному, провисание потенциала в сечении пучка становится значительным и распределения плотности и скорости электронов оказываются сильно неоднородными. В условиях нейтрализации заряда электронов ионами степень неоднородности параметров пучка уменьшается вследствие уменьшения потенциала пучка / 2 /. Это приводит к увеличению предельного тока пучка, который оказывается неограниченно большим в случае простейшей равновесной конфигурации бесконечно длинного электронного пучка, полностью нейтрализованного по заряду и помещенного в достаточно сильное продольное магнитное поле. Но здесь уже в силу вступают ограничения на величину тока, связанные с устойчивостью пучка.
Проблема устойчивости сильноточного электронного пучка сводится к решению задачи временного нарастания и пространственного усиления малых возмущений на фоне той или иной равновесной конфигурации. Общие понятия неустойчивости и её характера, а также способы исследования приведены в работах / 3-17/. Следуя этим общим методам ниже будут рассмотрены наиболее опасные неустойчивости коротко импульсных релятивистских электронных пучков с быстрым временным или пространственным развитием.. Пороговые токи, необходимые для возбуждения таких неустойчивостей, по существу оказываются предельными.
В ограниченных по длине системах с нейтрализованным по заряду электронным пучком может проявиться одна из наиболее опасных неустойчивостей- пирсовская, обусловленная положительной обратной связью между торцевыми сечениями пучка / 1,2,16-22/. Роль положительно заряженных ионов фона при этом сводится к пассивной компенсации пространственного заряда пучка и не оказывает влияния на развитие неустойчивости. Тем самым,, предполагается, что все процессы в пучке протекают быстрее характерного времени, определяемого ионной частотой.
При учете движения ионов в возмущенном электромагнитном поле пучок электронов может стать неустойчивым и в отсутствие обратной связи между его торцами. Такая неустойчивость, обусловленная относительным движением электронов и ионов конечной массы во внешнем магнитном поле, в литературе получила название неустойчивости Буне-мана / 16-19,23-28/. Аналогичная неустойчивость стабилизированного релятивистского пучка, бессиловое равновесие которого достигается в отсутствие внешнего магнитного поля, получила название неустойчивости Будкера / 29 /.
Помимо ограничения на продольные размеры реальных установок необходимо учитывать и конечную величину внешнего магнитного поля, а вместе с ней и отличные от нуля возмущения поперечной скорости электронов. При этом в пучках может проявиться: еще один тип весьма опасных неустойчивостей- так называемые конвективные неустойчивости, обусловленные поперечной неоднородностью плотности и скорости электронов.
Так, в трубчатых электронных пучках возможна диокотронная неустойчивость, обусловленная положительной обратной связью между проскальзывающими в азимутальном направлении друг относительно друга отдельными электронными слоями / 13,30-51/. Вращение пучка в собственных электрическом и магнитном и внешнем магнитном полях, также как и наличие градиента плотности с переменным знаком в поперечном сечении пучка, является необходимым условием для её развития.
При учете относительного движения электронов и ионов конечной массы в таких пучках может проявиться токово-конвективная (дрейфово-пучковая) неустойчивость, обусловленная поверхностным дрейфовым током на границе пучка / 16-19, 52-54/. Заметим, что эта неустойчивость возможна только в пучках со свободной границей и неустойчивыми оказываются моды, в то время как неустойчивость, имеющая ту же физическую природу, может развиваться в пучках с и частичным заполнением металлического волновода, и наиболее неустойчивой оказывается аксиально-симметричная мода возмущений.
Наконец, по разным причинам профиль продольной скорости электронов в поперечном сечении пучка может стать неоднородным. Проскальзывание различных электронных слоев друг относительно друга в продольном направлении, а следовательно и перенос электромагнитных возмущений относительно отдельных слоев, обеспечивает положительную обратную связь, может привести к так называемой - неустойчивости / 16, 52-55/.
В зависимости от параметров и геометрии пучка в нем могут возбуждаться один или одновременно несколько видов из отмеченных выше низкочастотных неустойчивостей, частота и инкремент нарастания которых по величине меньше ленгмюровской частоты электронов пучка. Эти неустойчивости в конечном счете и ограничивают достижимый предельный ток пучка, который оказывается меньше, чем определяемый из идеальной модели равновесия пучка с однородными параметрами в сильном внешнем магнитном поле.
Как уже отмечалось, проблеме неустойчивости релятивистских пучков по отношению к указанным низкочастотным возмущениям посвящено огромное число работ и о них ниже подробно пойдет речь. Что касается эксперимента, то в литературе накоплен сравнительно небольшой материал по исследованию макроструктуры релятивистских электронных пучков при их транспортировке через цилиндрический волновод. Наиболее широко представлены эксперименты по диокот ронной неустойчивости вакуумных / 60 - 64 / и частично нейтрали - 8 зованных по заряду / 39,65,66/ пучков. Результаты исследований структуры трубчатого электронного пучка в зависимости от длины транспортировки и величины внешнего магнитного поля позволяют провести детальное сравнение экспериментальных результатов с теорией этой неустойчивости. Совершенно не представлены в литературе эксперименты по исследованию SEcPpcno. - неустойчивости, которую в чистом виде можно наблюдать в вакуумных пучках, полностью заполняющих волновод. Отметим ранние работы по пучковым электрон-ионным неустойчивостям / 56-58/, в которых обнаружены длинноволновые аксиально-симметричные (бунемановского типа) и аксиально-несимметричные (дрейфово-пучкового типа) колебания в нерелятивистских пучках. Лишь недавно были проведены эксперименты/59 / по идентификации токово-конвективной неустойчивости релятивистского электронного пучка. Ниже проводится анализ всех указанных экспериментальных работ, причем основное внимание уделяется релятивистским электронным пучкам. При этом отмечаются ошибки и неточности, допущенные при обсуждении эксперимента на основе ранее развитых теоретических представлений.
Обзор работ по теории низкочастотных неустойчивостей электронных пучков во внешнем магнитном поле содержится в монографиях / 16,17/ (см. также обзоры / 18,19/,). Исследования проводились в рамках магнитной гидродинамики, так как при описании устойчивости электронных пучков по отношению к быстронарас-таюшим колебаниям тепловым движением частиц можно пренебречь. Была предпринята попытка представить возмущенное релятивистским пучком поле в потенциальном приближении. Обоснование такого приема заключалось в том, что при наложении на систему достаточно сильного магнитного поля его энергия будет значительно больше энергии пучка, поэтому возмущением магнитного поля можно пренебречь.
Таким образом, использование электростатического (потенциального) приближения для возмущений релятивистского электронного пучка (даже когда их . фазовая: скорость меньше скорости света) выглядит более чем необоснованным и приводит, как будет показано ниже, к увеличению значений инкрементов нарастания неустойчивостей и занижению соответствующих пороговых токов, т.е. к облегчению условий развития отдельных неустойчивостей. Следовательно, учет поправок на поля возмущений и определение более правильных условий развития неустойчивостей вплотную связаны с актуальной проблемой получения устойчивых сильноточных электронных пучков. Более того, ниже показывается, что не потенциальность поля возмущений как правило не существенна в слаботочном пучке и сильно влияет на характер неустойчивостей при токах пучка, намного превосходящих предельный вакуумный ток.
Отметим также, что в литературе практически не рассматривалось влияние равновесного состояния, т.е. степени зарядовой компенсации электронного пучка на характер развития конвективных неустойчивостей ( за исключением диокотронной / 43 /). Как будет показано ниже, равновесное состояние пучка в ряде случаев играет определяющую роль, и выводы об устойчивости пучка без учета равновесия, строго говоря, не состоятельны.
Таким образом, целью настоящей диссертационной работы является построение строгой не потенциальной теории низкочастотных неустойсивостеи релятивистских электронных пучков во внешнем магнитном поле и сравнение её результатов с известными в литературе, полученными в рамках потенциального приближения, а также исследование влияния степени зарядовой компенсации (вращения) пучка на характер развития этих неустойчивостей. Как непотенциальность поля возмущений, так и самосогласованное равновесие пучка существенным образом влияют на характер развития низкочастотных неустойчивостей в релятивистских электронных пучках и, тем самым, существенно изменяют выводы теории потенциального приближения.
В первой главе диссертации приводится метод получения единого уравнения для низкочастотных возмущений электронных пучков с компенсирующим ионным фоном в непоитенпиальном приближении. Такому уравнению удовлетворяет эффективный потенциал, учитывающий возмущения магнитного поля. Введено понятие предельного вакуумного тока пучка.
Во второй главе рассматривается пирсовская неустойчивость электронного пучка конечной длины. Показано, что учет непотенпиальности наиболее существенен для релятивистских пучков в коротких системах. Обнаружено существование периодической пирсовской неустойчивости наряду с чисто апериодической.
В третьей главе исследуются конвективные неустойчивости электронных пучков, не связанные с колебательным движением ионов. Найдено правильное условие развития диокотронной неустойчивости в системах конечной длины, учитывающее степень зарядовой компенсации и непотенциальность возмущений. Показано, что в коаксиальном канале транспортировки облегчаются условия развития диокотронной неустойчивости по сравнению с цилиндрическим волноводом. В этой же главе рассмотрена неустойчивость сплошного цилиндрического пучка с плавным неоднородным профилем продольной скорости электронов ($€Сррспд, - неустойчивость). В рамках геометрической оптики найден локальный инкремент нарастания SCippino - неустойчивости такого пучка и определены условия её развития, из вида которых следует, что потенциальное приближение справедливо только в нерелятивистском пределе. Выяснено влияние степени зарядовой компенсации (вращения) пучка на характер развития неустойчивости.
Четвертая глава диссертации посвящена неустойчивостям электронных пучков, обусловленных колебаниями ионного фона. Показано, что учет непотенпиальности возмущений приводит к увеличению порогового тока, необходимого для возбуждения токово-конвективной неустойчивости, и не влияет на пороговый ток бунема-новской неустойчивости. Выяснено влияние равновесного состояния (вращения) пучка на характер токово-конвективной неустойчивости. Показывается, что учет собственного азимутального магнитного поля пучка может привести к уменьшению инкремента нарастания будке-ровской неустойчивости.
Для всех рассмотренных в диссертации низкочастотных неустойчивостей проводится сравнение выводов теории с имеющимися экспериментальными данными по исследованию устойчивости релятивистских электронных пучков и дана критика выводов теории потенциального приближения. Из этих сравнений с экспериментальными данными и выводами теории потенциального приближения следуют обоснованность и новизна полученных в диссертации результатов.
В заключении приведены основные результаты диссертационной работы, даны выводы и утверждения, выносимые на защиту.
Основные результаты диссертации опубликованы в работах / 68, 70-74/ и докладывались на научных семинарах кафедры электроники Физического факультета МТУ, Физического института им.П.Н. Лебедева АН СССР и Института общей физики АН СССР, а также на Ш и ІУ Всесоюзных семинарах по релятивистской высокочастотной электронике в г.Горьком в 1983г. и г.Москве в 1984г., на Всесоюзном семинаре по плазменной электронике в г.Харькове в 1983 и на Всесоюзном семинаре по коллективному взаимодействию электронных пучков с плазмой в г.Новосибирске в 1983г.
Вывод уравнения для возмущений электронного пучка
Перейдем теперь к выводу уравнения для малых возмущений равновесного состояния электронного пучка (1.1.8) в непотенциальном приближении. Вначале пренебрежем движением ионов, нейтрализующих заряд электронов пучка. Поперечное возмущение скорости электронов в условиях достаточно сильного, но конечного магнитного поля, будем описывать в дрейфовом приближении где имеет компоненты , ІІ - равновес- ная скорость электронов с продольной U/, и азимутальной C0e(t) 2 составляющими, и О - составляющие электромагнитного поля возмущений. Уравнение для продольной состашиющей возмущения скорости 5# и уравнение непрерывности в первом приближении по возмущениям скорости ОV и плотности о fog электронов записываются в виде: возмущений (1.2.2) и (1.2.3) необходимо учитывать члены, пропорциональные малой неоднородности продольной составляющей равновесной скорости электронов, которые по порядку величины могут быть сравнимы с остальными. Самосогласованное электромагнитное поле, определяющее движение электронов, с помощью соотношений удобно выразить через скалярный и векторный А потенциалы, которые удовлетворяют калибровке Лоренца: Для потенциалов при этом справедливы уравнения: 1L где 0=Д Щ1"оператор Даламбера, Д= 2-- + + 2- - оператор Лапласа. Все возмущенные величины будем полагать пропорциональными множителю время, продольная координата и азимутальный угол, а СО , Кц и ь = О, і I, ±2... - частота, продольная составляющая волнового вектора и азимутальное волновое число. Тогда используя соотношения (І.І.7, 1.2.1-7) и полагая для величин получим следующие за- цепляющиеся уравнения: (І.2.ІІ) В условиях сильного магнитного поля, зацепление уравнений (І.2.9-ІІ) слабое, так как поперечные составляющие векторного потенциала Az)пв "ТГ7і » В этом случае эффективный потенциал а электрическое и магнитное поля выражаются через эффективный потенциал с помощью соотношений: При выводе уравнения (1.2.12) пренебрегалось неоднородностью продольной скорости электронов в его знаменателях, поэтому помимо условий (I.I.8) необходимо также потребовать выполнение неравенства (1.2.14) Учтем теперь возмущения ионного фона, которые описываются следующими линеаризованными уравнениями движения и непрерывности: где &1 и М-заряд и масса ионов, ohi и 2 их возмущение плотности и скорость.
Для этого необходимо, оставаясь в рамках калибровки Лоренца, подобрать некоторую функцию 4у так, чтобы выполнялось еще одно условие, налагаемое на одну из четырех величин: % fiZ) А в » Это связано с произволом, существующим в определении потенциалов. Преобразования ( _ . if _ оставляют неизменными значения составляющих электромагнитного поля Е ив. Такого дополнительного условия ( его не потребовалось при рассмотрении чисто электронных возмущений) не удается найти в общем случае. Тогда перейдем от потенциалов к электромагнитному полю и с помощью уравнений Максвелла и (1.2.I, 1.2.3, 1.2.15, 1.2.16) без учета поверхностного тока, связанного с градиентом плотности электронов, получим следующую систему зацепляющихся уравнений для его продольных компонент Ел и Оз. : предполагаются незамагниченными, т.е. Qi Od , где jQt = р. 5 мп ионная Циклотронная частота. Зацепление этих уравнений слабое по той же причине, что и в (I.2.9-II). Второе уравнение с нулевой правой частью интереса не представляет, так как дает устойчивые решения. Решая же первое уравнение без правой части совместно с граничным условием на поверхности пучка, которое определяется из исходных уравнений с учетом градиента плотности электронов, можно получить дисперсионные уравнения для всех типов неустойчивостей. С другой стороны, согласно (1.2.13), такому же уравнению удовлетворяет величина x = " 4? . При (0 =0 оно пере-ходит в уравнение (1.2.12), в котором еще учтены ток и заряд на границе пучка, обусловленные градиентом плотности электронов. Не нарушая общности выкладок, по аналогии с (1.2.12) можно записать уравнение для эффективного потенциала х с учетом колебаний ионов, справедливое во всем дрейфовом пространстве: Уравнение (1.2.19) описывает неустойчивости частично компенсированного электронного пучка с неоднородным распределением его параметров и учитывает электрон-ионное взаимодействие. Найденные инкременты временного нарастания и пространственного усиления того или иного типа возмущений позволят определить пороговые токи для развития соответствующих неустойчивостей, которые фактически являются предельными. В физике электронных пучков для их классификации по току применяется очень важный параметрчлаксималъно достижимый равновесный ток в вакуумном дрейфовом пространстве или предельный вакуумный ток, обусловленный провисанием потенциала в поперечном сечении пучка / 16, 18,67/. Поэтому, прежде чем решать уравнение (1.2.19), необходимо ввести понятие предельного вакуумного тока, с величиной которого и будем сравнивать пороговые токи исследуемых неустойчивостей.
Для пучка моноэнергетических электронов в бесконечно сильном магнитном поле, когда ларморовским радиусом вращения электронов также как и самым вращением вообще можно пренебречь и считать их прикленными к силовым линиям поля, в равновесном состоянии справедлива следующая система уравнений: Здесь $ R - релятивистский фактор электрона на стенке волновода, определяемый энергией инжекции, }[г) - плотность тока, Щ,($ - кусочно однородная функция плотности, %{ $ - потенциал объемного заряда, удовлетворяющий условию %(Rt)=0. Движение электронов во всем дрейфовом пространстве считается продольно однородным. При заданной кинетической энергии электронов $р система уравнений (1.3.1-І.3.3) становится замкнутой и для тонкого цилиндрического пучка ( Rp4/?c ), когда можно пренебречь падением потенциала внутри него, находим следующее выражение для полного тока: Видно, что зависимость тока от энергии электронов носит немоно тонный характер (см.рис.1.1). Он равен нулю при fr(Rp)- ff# и ff{Rp) i , а при ft"(R.f )-)fn b принимает максимальное значение Если Kp Rc , то в знаменателе формулы (1.3.5) вместо необходимо писать / /. Для тонкого же трубчатого пучка, когда 4 =Rf,-R , -& Rj имеем / 16 / Существование предельного вакуумного тока можно объяснить следующим образом. На входе в дрейфовое пространство электроны испытывают взаимное отталкивание от ранее вошедших туда электронов, и вследствие этого их кинетическая энергия уменьшается. Степень торможения электронов зависит от их плотности, т.е.тока пучка. С ростом тока инжекции до значения ±о кинетическая энергия электронов монотонно уменьшается от значения до fo й а знтем скачком падает до нуля, и происходит запирание тока пучка. Состояние пучка, имеющего энергию электронов /y(Rp) if n , является неустойчивым относительно колебаний релаксавдонного типа. Впервые такие колебания, приводящие к образованию виртуального катода, в нерелятивистском пучке наблюдал Бурсиан. С уменьшением величины внешнего магнитного поля в условиях, когда происходит незначительное увеличение предельного вакуумного тона, обусловленное появлением степени свободы поперечного движения электронов.
Об экспериментальном наблюдении неустойчивости Пирса
Явление ограничения тока в электронном пучке, пространственный заряд которого нейтрализован ионами, известно давно. Однако первоначальные экспериментальные данные / I / по этой проблеме были неполными и противоречивыми. Б них указывалось на совпадение предельного тока неитрализоваїшого пучка с предельным вакуумным, хотя по теории Пирса / 20 / эти токи различаются по меньшей мере в 5-6 раз. В последнее время в работах / 18,56-58/ было предпринято систематическое экспериментальное исследование вопроса о предельных токах в квазинейтральных пучках и механизмах их ограничения. Результаты эксперимента / 56 / сводятся к следующему (см.рис.2.2): кривая зависимости предельного тока Іпред. от энергии электронов пучка W лежит ниже теоретической кривой Пирса / 2 / и выше кривой, дающей предельные токи lo (1.3.5) в пучке без ионов. Существует диапазон условий, в котором предельный ток квазинейтрального электронного пучка равен току Пирса или близок к нему. Эти условия следующие: достаточно сильное внешнее магнитное поле, и малый зазор между пучком и окружающим его металлическим кожухом. В этом случае ограничение (срыв) тока вызывается пирсовской неустойчивостью. При выполнении обратных условий предельный ток пучка заметно меньше порога Пирса, и его срыв вызывается токово-конвективной неустойчивостью, обусловленной раскачкой аксиально-несимметричных электрон-ионных колебаний пучка. К сожалению эксперименты по наблюдению пирсовской неустой- чивости проводились на нерелятивистских пучках малого поперечного сечения, поэтому основной результат настоящей главы об изменении характера этой неустойчивости в пучках большого поперечного сечения, связанном с непотенщальностыо поля возмущений, нельзя сравнивать с экспериментальными данными. Ниже рассмотрим конвективные неустойчивости частично компенсированного электронного пучка, обусловленные конечным внешним магнитным полем и не связанные с колебаниями ионного фона. Вначале проведем анализ устойчивости азимутальных возмущений диокотронного типа, возникающих из-за неоднородности (шира) угловой скорости вращения пучка.
Такие возмущения в пучке с постоянной продольной скоростью U„- constt согласно (1.2.12),описыва- ются уравнением До сих пор все исследования диокотронной неустойчивости ограничивались приближением с нулевой продольной составляющей волнового вектора К и , что, строго говоря, справедливо в бесконечно длинных системах. Предпринятую в работе / 64 / попытку учесть конечную длину системы нельзя считать полностью успешной, так как полученное в ней дисперсионное уравнение основано на потенциальности поля возмущений в системе покоя пучка и неполностью учитывает непотенциальные слагаемые с конечной продольной составляющей волнового вектора. Это обстоятельство привело к х) Зцесь для удобства сравнения с известными результатами заряд электрона выбран отрицательным, так что Q I Ws, 6 :rJ // )//-/ /) а волновое число I -положительным. неточному условию развития диокотроннои неустойчивости в системах с конечной длиной. Уравнение (3.1.I) отличается от соответствующего уравнения работы / 64 / последним членом в левой части. Легко можно пока зать, что если этот член велик, то пучок устойчив. Обратное усло вие является необходимым для существования диокотроннои неустой чивости и при ( справедливость этого соотношения будет показана ниже) имеет вид: Отсюда находим, что если или то из (3.1.2) следует ограничение на величину полного тока электронного пучка: Соотношение из работы / 64 / близко к (3.1.2) ( с точностью до множителя 4(Р+і) ) только в частном случае Сд х/, » ёСОе(Др)% Найдем теперь дисперсионное соотношение диокотроннои неустойчивости с учетом последнего члена левой части уравнения (3.1.1), полагая его малым. При этом решение уравнения (3.1.1) в области пучка i0 лу записывается в виде где А и В -константы, а малые функции oi(t) и fiC ) и их производные ol(Z); j3 ф найденные методом последовательных приближении, равны: Видно, что равновесное состояние компенсировшзного электронного пучка существенным образом влияет на характер неустойчивости. При достаточно большом значении параметра frff можно подавить все возбуждаемые моды, максимальное азимутальное волновое число которых определяется условием (3.1.14). Анализ выражения (3.1.13) показывает, что в пучке с толщиной А - Rp R0 R0 происходит селекция неустойчивых возмущений по параметру ftf f . На рисунках 3.1 и 3.2 представлена зависимость безразмерного инкремента нарастания — от этого параметра для электронного пучка с Влияние Кц на величину инкремента нарастания будет замет- ным только при Кц$ -—- Учитывая в таком приближении Послед ний член левой части уравнения (3.1.1) в пределе і/пге і ( что для г = 5,6 выполняется даже при Л =0,8) для тонкого пучка из (3.1.13) получим следующую зависимость JmU) от Кц (см.рис.3.3): Вследствие сносового характера диокотронной неустойчивости её развитие возможно в системах, в которых инкремент нарастания возмущений превышает обратное время пролета электронов, т.е. 1тСО у— э где L - длина системы. Полагая в выражении (3.1.16) Киты -Г 5 отсюда находим условие При ImCO O решение (3.1.13) определяет пространственный инкремент усиления возмущений. Выражение для него записывается аналогично (3.1.16): Коэффициент усиления возмущений пучка по. амшштуде на длине системы и равен и усиление становится существен- ным, когда ІтКц-L i. Если положить в (3.I..I9) тг еК//) т то в качестве критерия развития диокотронной неустойчивости опять получаем неравенство (3.1.18). Сравнение двух членов в скобках правой части условия (3.1.18) показывает, что в вакуумном пучке (ї=о) , вкладом второго из них можно всегда пренебречь, так как его учет становится важным только при достаточно большом токе пучка I : Поскольку же ток некомпенсированного электронного пучка не может превышать предельный вакуумный, выполнение условия (3.1.20) невозможно. Таким образом, следует, что увеличение продольной составляющей волнового вектора приводит к уменьшению временного и пространственного инкрементов нарастания возмущений. Однако в вакуумных системах конечной длины это уменьшение не является определяющим, и расстояние от места инжекции, на котором происходит заметное усиление начальных возмущений, совпадает с найденным в работе / 64 /.
Это утверждение остается справедливым и для компенсированного электронного пучка. Действительно, если первый член в выражении (3.1.17) больше второго, то предельный ток пучка незначительно отличается от предельного вакуумного, и опять вкладом второго члена в (3.1.18) можно пренебречь, а при обратном неравенстве неустойчивость отсутствует (см. (3.1.15)). Вместе с тем учет непотенциальности возмущений приводит к изменению условия развития диокотронной неустойчивости (3.1.4), а также к уменьшению инкремента в 1 раз при К„-О (поскольку множитель в знаменателе правой части уравнения (3.1.I) обусловлен именно непотенциальностью) и к дополнительному его изменению при КЦФО (величина Щ уменьшается в fc раз) по сравнению с потенциальным приближением. В экспериментальных установках нередко используются коаксиальные каналы транспортировки, в которых внутренняя стенка может оказать существенное влияние на условия развития диокотронной неустойчивости пучка. Исследования, приведенные для коаксиального случая в работе / 34 /, нельзя считать достаточно полными, так как в ней не вычислялся инкремент нарастания и не определялись условия возникновения неустойчивости- единственным результатом является получение дисперсионного соотношения! при нерелятивистской скорости электронов пучка. В настоящем параграфе проводится более полный анализ диокотронной неустойчивости релятивистского электронного пучка в вакуумном коаксиальном канале транспортировки с изолированным или заземленным внутренним цилиндром. Уточним вначале равновесное состояние трубчатого электронного пучка. Средняя угловая скорость вращения электронов в азимутальном направлении СОе(ъ) зависит от погонной плотности заряда Q. , который может наводиться самим пучком на внутренним цилиндре в случае его заземления (предполагается, что ток по внутреннему проводнику не протекает).
Влияние степени зарядовой компенсации элект ронного пучка на Stippinn - неустойчивость
В предыдущем параграфе исследование StCbPt no, - неустойчивости проводилось в условиях достаточно большой поперечной неоднородности направленной.скорости электронов, когда выполняется первое неравенство (3.3.II) и можно пренебречь вращением пучка. Если же эта неоднородность скорости обусловлена провисанием потенциала %(ъ) в сечении моноэнергетического частично компенсированного электронного пучка, то, как будет показано ниже, помимо вращения пучка необходимо учитывать и его азимутальное собственное магнитное поле. Полагая провисание потенциала малым, так что с помощью закона сохранения энергии (1.3.2) определим профиль скорости электронов и её степень неоднородности в сечении пучка: Связь потенциала %(г) с плотностью электронов / , которую в сечении пучка предполагаемых постоянной, дает уравнение Пуассона (1.3.I). Окончательно для степени неоднородности продольной скорости имеем: При получении уравнения для эффективного потенциала пренебрегалось влиянием азимутального собственного магнитного поля DQ на возмущения. Строгий его учет в уравнении движения электронов приводит к тому, что в правой части уравнения (1.2.12) вместо множителя -т должен стоять 2І-И- „Щ, , где ±2.1о -- -в- » а Е р определяется формулой (1.1.3) .Легко видеть, что только в условиях слабой неоднородности продольной скорости, т.е. малого провисания потенциала %( ) (3.4.1), учет собственного магнитного поля становится существенным ( и не важен при исследовании всех других неустойчивостей), так что Для сплошного цилиндрического пучка щж этом уравнение (1.2.12) допускает точное решение X AJ IKL J , где к± о- поперечное волновое число при полном заполнении пуч-ком волновода.
Подстановка решения в уравнение с учетом (3.3.2) приводит к следующему соттношению между СО и Кц , В дисперсионном уравнении 1,3.4.6) необходимо учитывать угловую скорость вращения СОе --W j-fi fj пучка, так как. степень неоднородности направленной скорости (3.4.4) не удовлетворяет первому из неравенств (3.3.II). Из (3.4.6) в общем случае следует квадратное уравнение относительно Сд : В условиях oi l , что эквивалентно неравенству: решение уравнения (3.4.7) имеет вид Из анализа этого решения следует, что в случае -(і" ііу 0 где v = - I, ± 2 .... неустойчивыми могут быть возмущения с продольной составляющей волнового вектора f-Полагая Кц т , где L - длина системы, отсюда находим следующий пороговый ток: При выполнении обратного неравенства неустойчивыми могут оказаться возмущения с кц из интервала: и пороговый ток их возбуждения увеличивается в 2$, Л раз по сравнению с (3.4.II). Максимальный же инкремент нарастания достигается при K tJ&fl-?$)(%-?). Знесь ( $) 0, если f? \ и "(іф2ф 0 если / . Из формул (3.4.10)- (3.4.13) следует, что рассматриваемая неустой- чивость существенным образом связана с вращением пучка и не должна проявляться при $=: 1-2 . (fll Заметим, что в потенциальном приближении равновесное состояние с cfZ- /fj O устойчиво. Учет непотенциальности поля возмущений (т.е. члена в уравнении (3.3.1) и соответ-ственно члена — в (3.4.9)1 приводит к возникновению SCtbpino - неустойчивости такого равновесного состояния пучка с пороговым током меньшим, чем в случае і ( i- n-rj 0. Результаты оценочных расчетов основных характеристик диокотронной неустойчивости по формулам (3.1.15) и (3.1.18) количественно хорошо согласуются с результатами известных экспериментов / 39, 63-66 /. Расстояние и от катода, на котором происходит заметное усиление начальных возмущений и фактически наблюдается неустойчивость (развал пучка на нити), определяемое из формулы (3.1.15), совпадает с соответствующим выражением для вакуумного пучка в работе / 64/. При этом зарядовая компенсация: электронного пучка ионным фоном не приводит к изменению найденного характерного расстояния L . Однако более точное решение уравнения (3.1.I) для ограниченных по длине систем приводит к уменьшению значения инкремента нарастания этой неустойчивости, по сравнению с бесконечно длинными системами. Проведенные в работе / 66 / эксперименты также показывают полное количественное согласие с оценками формулы (3.1.15). Действительно, при заданных радиальных размерах пучка и приво- дящего кожуха =0,62, _ =0,45 диокотронная неус- тойчивость возникает в интервале давлений нейтрального газа (водород Р=2.І0 9.І0 тор, что соответствует области степени зарядовой компенсации -f =0,024-0,18. Это находится в согласии с (3.1.15), определяющей области неустойчивости на плоскости ( faf , 2 ) при - =0,45.
Профиль пучка и колебания были сняты при плотности пучка П. =1,2.10 см и энергии W =60 кэВ, Во = 1270 Гс, Р =8,2.Ю"5тор. Сопоставление сигналов с различных зондов указывало на структуру моды, соответствующей ь =3, что также подтверждалось разбиением пучка на три сгустка, заметные на снимке. Для рассматриваемой геометрии расчетная по (3.1.15) зависимость . - от степени нейтрализации f имеет вид, представленный на рис.3.5. Видно, что при % =0,02-0,18, удовлетворяющих условиям эксперимента, преимущественно возбуждается мода с с =3, что соответствует зондовым измерениям и фотографии неустойчивого пучка. Отметим, что оценки при обсуждении экспериментов по диокот-ронной неустойчивости в работах / 39, 65/ не справедливы, так как рассчитывались на основе неправильного дисперсионного уравнения. Если сравнить дисперсионное уравнение этих работ с (3.1.12) при ol , р -0 , видно, что в нем не учтена непотенциальность поля возмущений, и поэтому "полоса" неустойчивых видов (мод с азимутальным числом -с ) диокотронных колебаний зависит от энергии вакуумного пучка. С другой стороны, как следует из (3.1.15), область неустойчивых видов колебаний связана только с поперечной геометрией вакуумной системы. В заключение этого параграфа отметим, что в литературе нет сведений об экспериментах по наблюдению S&PPt riQ - неустойчивости электронных пучков. Перейдем к исследованию неустойчивостей частично компенсированного электронного пучка, связанных с электрон-ионным взаимодействием. Рассмотрим вначале так называемую токовэ- конвективную (дрейфово-пучковую) неустойчивость, обусловленную конечным внешним магнитным полем и свободной границей частично компенсированного пучка. Будем предполагать щгчок электронов моноскоростным и для простоты сплошным щлиндрическим, углов ое вращение которого в равновесии дается формулой х (I.I.7 ): ДЛЯ описания малых возмущений равновесного состояния воспользуемся уравнением (1.2.19). Интегрируя его по бесконечно малому отрезку в радиальном направлении, включающему границу пучка Z = Rp , находим граничные условия, которым удовлетворяет эффективный потенциал: При больших значениях последнего члена в левой части уравнения (1.2.19) характер возможной неустойчивости аналогичен бунемановской / 16 /, причем правая часть несущественна и ею можно пренебречь, положив равной нулю. Если возмущения обладают азимутальной симметрией ( t 0 ), то определяющей также является бунемановская неустойчивость системы, поскольку правая часть уравнения (1.2.19) обращается в нуль.
Экспериментальные исследования токово-ковективной и бунемановской неустойчивостей
Впервые электрон-ионные неустойчивости исследовались в работах / 56,57 /, в которых были обнаружены два типа длинноволновых колебаний. В поперечном сечении их пространственная структура различна: колебания одного из укаєанннх типов обладают аксиальной симметрией (бунемановская неустойчивость), а колебания другого типа оказываются аксиально-несимметричными (токово-кон-вективная неустойчивость). Неустойчивость Бунемана в отличие от токово-конвективной не приводит к образованию в пучке " виртуального катода". Нелинейное насыщение неустойчивости происходит в результате захвата частиц пучка волной большой амплитуды,которая еще далека от образования в пучке " виртуального катода". Эти два типа неустойчивостей в экспериментальных условиях легко отделить от пирсовскои: при достаточно сильном внешнем магнитном поле, замагничивающем электроны (но не замагничивающем ионы) порог неустойчивости Бунемана для не очень дяинной системы несколько ниже порога неустойчивости Пирса; в условиях слабого внешнего магнитного поля и наличия зазора между пучком большой длины и металлическим кожухом пороговый ток токово-конвективной неустойчивости также меньше пирсовского тока. К сожалению указанные эксперименты по токово-конвективной неустойчивости проводились на нерелятивистских пучках, поэтому пороговый ток этой неустойчивости, найденный в настоящей главе с учетом непотенциальности поля возмущений, нельзя сравнить с звестным экспериментальным его значением. Недавно был поставлен эксперимент / 59 / по идентификации токово-конвективной неустойчивости релятивистского электронного пучка. Параметры установки были следующими W =0,8 My , Joe 6 кА, Х 150 нс, RpOf 1,8 см, L- 250 см, Rc 6 см, В0 =2,1 кГс, остаточній: газ в дрейфовой трубе-водород. Исследования показали, что при давлениях остаточ- ного газа 1 г )0, в пучке развивается токово-конвективная неустойчивость, что хорошо согласуется с теоретическими оцен ками / 75/. В 4.1 уже отмечалось, что пренебрежение непотен циальностью поля возмущений при рассмотрении релятивистских пучков в работе / 75 / привело к облегчению условий развития этой неустойчивости.
Однако для пучка электронов относительно малых энергий V/ - 0,8 Mv ( Г 2»6) поправки на непотенциальность поля возмущений существенно не изменяют диапазон давления остаточного газа, при котором возможна рассматриваемая неустойчивость. В настоящей работе построена непотенциальная.теория низкочастотных неустойчивостей релятивистских электронных пучков во внешнем магнитном поле. Получено единое уравнение для эффективного потенциала, учитывающего возмущения магнитного поля. Исследования этого уравнения дали следующие результаты: I. Пирсовская неустойчивость электронного пучка представляется в виде чередующихся областей апериодической и периодической неустойчивости и устойчивости имеющих место при любой равновесной скорости движения электронов и любом поперечном сечении пучка. Учет поправок на непотенциальность поля возмущений не приводит к изменению порога возникновения пирсовской неустойчивости, а также к изменению положения точек обращения частоты в нуль. Вместе с тем инкремент нарастания может существенно уменьшиться, что наиболее сильно проявляется в условиях сильного превышения порога неустойчивости или в случае релятивистских пучков большого поперечного сечения. И. Найдено правильное условие развития диокотронной неустойчивости в системах конечной длины, учитьшающее степень зарядовой компенсации и непотенциальность возмущений. Показано, что неустойчивость носит пороговый характер в зависимости от величины продольной составляющей волнового вектора и может развиваться только при малых её значениях, т.е. при достаточно большой длине пучка. Определено расстояние от места инжекции пучка, на котором происходит заметное усиление начальных возмущений и может проявляться диокотронная неустойчивость. Увеличение продольной составляющей волнового вектора приводит к уменьшению временного и пространственного инкрементов нарастания возмущений (вплоть до нулевого значения), но это уменьшение инкрементов не является определяющим в условиях развития диокотронной неустойчивости в системах конечной длины и при токах пучка, меньших предельного вакуумного. Показано, что в коаксиальном канале транспортировки улучшаются условия развития диокотронной неустойчивости по сравнению с цилиндрическим волноводом. 3. В рамках геометрической оптики найден локальный инкремент нарастания SOippincj - неустойчивости сплошного цилиндрического пучка и определены условия её развития, из вида которых следует, непотенциальность поля возмущений приводит к уменьшению инкремен та нарастания в fa раз и к увеличению порогового тока в jfi, раз, т.е. к затруднению развития неустойчивости. Особенность StCbpina - неустойчивости в непотенциальном приближении заключается в том, что с неограниченным ростом тока пучка происходит сужение области неустойчивости и её локализация в окрестности точки достижения максимума инкремента в ультрарелятивистском случае. Максимальное же значение инкремента нарастания монотонно увеличивается и при достаточно большой плотности пучка выходит на постоянный уровень. Выяснено влияние степени зарядовой компенсации (вращения) пучка на характер развития неустойчивости. Учет непотенциальности поля возмущений приводит к возникновению S&bpino - неустойчивости равновесного состояния электронного пучка с l[i nt) 0. При этом пороговый ток её возбуждения меньше, чем в случае равновесия, определяемого обратным неравенством. 4. Показано, что учет непотенциальности поля возмущений приводит к уменьшению инкремента нарастания токово-конвективной неустойчивости в $7, раз и к увеличению порогового тока Зленою тронного пучка в /f/f раз, т.е. к затруднению условий её развития.
Выяснено влияние степени зарядовой компенсации пучка на характер развития неустойчивости: приперекомпенсации ионами сил расталкивания электронов происходит снижение порога неустой- чивости, и наоборот, при недостаточной компенсации сил расталкивания -его увеличение. 5. Поправки на непотенциальность поля возмущений не влияют на величину порогового тока и инкремента нарастания бунемановской неустойчивости. В бесконечно сильном магнитном поле инкремент нарастания этой неустойчивости может быть существенно меньше, чем в случае незамагниченных ионов. Рассмотрена бунемановская неустойчивость электронного пучка в отсутствие внешнего магнитного поля. Показано, что с учетом собственного азимутального магнитного поля такого пучка происходит уменьшение инкремента нарастания колебаний. Из приведенных результатов следует вывод общего характера: при исследовании неустойчивостей релятивистских электронных пучков нельзя ограничиваться лишь потенциальньш (электростатическим) приближением, поскольку поправки на непотенпиальность рассматриваемых колебаний являются существенными даже тогда, когда фазовая скорость колебаний меньше скорости света (т.е. непотенциальность существенна в статическом пределе). Поэтому все результаты теории, основанной на непотенциальном приближении, справедливы только для нерелятивистских пучков. Учет поправок на непотенциальность колебаний приводит к уменьшению значений инкрементов нарастания неустойчивостей и увеличению соответствующих пороговых токов, т.е. к затруднению условий развития этих колебаний. При этом в пределе сильноточных пучков, ток которых превышает предельный вакуумный, происходит сильное изменение характера развития неустойчивостей (зависимости инкремента нарастания от плотности пучка и границ области существования). Необходимо также учитывать влияние равновесного состояния (вращения) электронного пучка на характер развития конвективных неустойчивостей. Выполнив определенное условие на степень зарядовой компенсации электронного пучка, можно пропустить через него значительно больший по величине ток, чем тот, который дают оценки потенциальной теории. итметим еще ряд новых результатов, полученных в настоящей работе: обнаружено существование периодической пирсовской неустойчивости наряду с чисто апериодической; найдено условие развития диокотроннои неустойчивости в системах конечной длины, учитывающее степень зарядовой компенсации пучка и непотенциаль-ность поля возмущений; показано, что в коаксиальном канале транспортировки облегчаются условия развития диокотроннои неустойчивости по сравнению с цилиндрическигл волноводом.
