Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Апериодические неустойчивости и генерация магнитного поля в анизотропной плазме 28
1.1. Простейшая модель вейбелевской неустойчивости. Гидродинамическое описание 28
1.2. Тензор диэлектрической проницаемости и дисперсионные уравнения для бесстолкновительной релятивистской плазмы 31
1.3. Критерий апериодической неустойчивости и ее порог 36
1.4. Дисперсионные особенности плазмы с моноэнергетическими пучковыми распределениями частиц 41
Глава 2. Точно решаемые задачи о неустойчивости вейбелевского типа в анизотропной плазме с учетом разброса импульсов частиц 56
2.1. Плоские распределения одномерного пучкового-сегментного типа 56
2.2. Дисперсионные соотношения для цилиндрически симметричных распределений частиц 61
2.3. Сферически-сегментное моноэнергетическое распределение частиц 66
2.4. Трубчатые распределения частиц 69
2.5. Двухпотоковое цилиндрическое распределение частиц 81
2.6. Некоторые общие свойства апериодических неустойчивостей, порождающих магнитное поле в неравновесной плазме 89
Глава 3. Насыщение вейбелевской неустойчивости и оценка величины установившегося магнитного поля 92
3.1. Физические факторы, ограничивающие неустойчивость, и величина насыща ющего магнитного поля 92
3.2. Совместный анализ данных о структурах в космической и лазерной плазме и результатов численных расчетов 95
Глава 4. Анализ самосогласованных нейтральных токовых конфигураций методом инвариантов движения частиц при произвольном распределении по энергии 101
4.1. Простейшее нелинейное гармоническое решение 102
4.2. Метод инвариантов и нелинейное уравнение типа Грэда-Шафранова для стационарных токовых структур 106
4.3. Потенциал Грэда-Шафранова и тензор давления в анизотропной плазме. Случай произвольного шира магнитного поля 112
4.4. Степенное разложение функции распределения частиц 115
4.5. Экспоненциально-полиномиальное разложение 118
4.6. Негладкие разложения 122
Глава 5. Нейтральные токовые слои 128
5.1. Качественный анализ возможных периодических и локализованных одномерных решений 128
5.2. Периодические токовые слои 131
5.3. Пример изолированного токового слоя с ограниченной величиной максимального импульса частиц 137
5.4. Экранированный токовый слой 139
5.5. Двойной токовый слой 142
5.6. Обобщение токового слоя Харриса на произвольное распределение частиц по энергиям 146
5.7. Двухмасштабные и расщепленные токовые слои 148
5.8. Токовые слои во внешнем магнитном поле на границе плазмы с различными параметрами 161
Глава 6. Нейтральные токовые филаменты 173
6.1. Качественный анализ возможных цилиндрически симметричных решений 173
6.2. Обобщение пинча Беннетта 174
6.3. Бесселево и аналогичные ему решения 177
6.4. Экранированные токовые филаменты 179
6.5. Неэкранированные токовые филаменты 182
6.6. Решетки и цепочки токовых филаментов 186
Глава 7. Спектрально-угловые особенности синхротронного излучения частиц самосогласованных токовых структур 193
7.1. Излучение частиц токовых структур, обладающих моностепенным усредненным по углам распределением 193
7.2. Сравнение излучения двух ансамблей частиц с подобными полистепенными распределениями — самосогласованным и несамосогласованным с магнитным полем 200
Заключение 206
Список литературы 2
- Критерий апериодической неустойчивости и ее порог
- Сферически-сегментное моноэнергетическое распределение частиц
- Совместный анализ данных о структурах в космической и лазерной плазме и результатов численных расчетов
- Потенциал Грэда-Шафранова и тензор давления в анизотропной плазме. Случай произвольного шира магнитного поля
Критерий апериодической неустойчивости и ее порог
В разделе 1.4 проведено детальное исследование, с учетом всех поляризаций полей, явления неустойчивости для простейших предельных моноэнергетических распределений частиц — двухпучкового и четырехпучкового — для всех возможных направлений волновых векторов возмущений, для которых применим критерий (5). Неустойчивости обоих распределений в случае общего положения выходят за рамки вейбелевского типа, а именно, либо не являются апериодическими, то есть имеют ненулевую действительную часть частоты колебаний (для достаточно коротковолновых возмущений), либо не сводятся к неустойчивости одной мягкой моды, а характеризуются двумя апериодически нарастающими возмущениями (для достаточно больших длин волн). Для обоих распределений изучена также связь рассмотренных неустойчивостей с неустойчивостями плазменных колебаний, которые в определенной области параметров обладают даже большим инкрементом, но практически не дают вклад в нарастание магнитного поля в наиболее интересной для его генерации области направлений волновых векторов возмущений, почти поперечных скорости частиц. Показано также, что для четырехпучкового распределения достаточный критерий неустойчивости (5) оказывается неинформативным, поскольку она не является апериодической неустойчивостью одной мягкой моды (рис. 1.8).
Во второй главе аналитически решен ряд задач о неустойчивости вейбелевского типа и вычислены инкременты нарастания пространственных гармоник магнитного поля в анизотропной релятивистской плазме для представительного класса функций распределения частиц [24, 25, 84-86], значительно расширяющего набор распределений, использовавшихся ранее для аналогичных исследований (ср., например, [2, 12, 21, 23, 82]). Анализ ограничен наиболее интересным случаем функций распределения, обладающих плоскостью симметрии, а также волновых векторов и направлений магнитного поля, лежащих в этой плоскости. Как правило, именно в этом случае неустойчивость имеет характер мягкой моды и к ней применим универсальный критерий (5).
Раздел 2.1 включает анализ неустойчивости в двух простейших случаях плоского распределения частиц, включающего два ортогональных волновому вектору симметричных встречных пучка, в которых импульсы частиц имеют одномерный разброс либо по углу (без нарушения моноэнергетичности пучка), либо по проекции импульс вдоль волнового вектора (с сохранением поперечной проекции р±). Найденные зависимости инкрементов от волнового числа оказываются существенно различными при достаточно большом разбросе импульсов частиц. При этом для моноэнергетического распределения порог неустойчивости фактически отсутствует, тогда как в немоноэнергетическом случае неустойчивость имеет место только при не слишком большом разбросе (в нерелятивистском пределе — при рф± 1/л/2).
Раздел 2.2, как и большинство последующих разделов, за исключением 4.1, 4.2, 4.4, 4.6 и 5.8, ограничен случаем цилиндрически симметричных функций распределения частиц. Рассмотрены общие дисперсионные соотношения, причем, как и в ряде известных работ других авторов, посвященных вейбелевской неустойчивости (см., например, [2, 21]), особо выделена исследуемая далее ситуация, в которой волновой вектор возмущений направлен вдоль оси цилиндрической симметрии, а магнитное поле и токи, его генерирующие, — поперек указанной оси.
В разделе 2.3 изучены особенности неустойчивости в многокомпонентной релятивистской плазме со сферически-сегментными моноэнергетическими распределениями частиц (допускающими разную энергию для частиц разных компонент). Особое внимание уделено зависимостям инкремента и диапазона неустойчивых волновых чисел от степени анизотропии в пределе слабой анизотропии, когда функции распределения близки к сферическим и неустойчивы только длинноволновые возмущения.
Раздел 2.4 посвящен анализу порогов, областей неустойчивых волновых чисел и профилей инкремента для релятивистских функций распределения в виде по-разному профилированных трубок, начиная от предельно тонкой, включая трубку конечной толщины со специальными профилями краев и кончая неоднородными цилиндрами с произвольным распределением по поперечному импульсу. Проведено сравнение результатов с известными ранее для частных случаев трубчатых распределений. Так, показано отличие инкрементов и областей устойчивости и неустойчивости (рис. 2.10) для случаев предельно тонкого трубчатого распределения и цилиндрического распределения релятивистских электронов (на фоне неподвижных протонов с массой mi = 1837те) ограниченного поверхностями рх = i ymgC2 + рх + р\- В нерелятивистском пределе первое имеет значительно более широкую область неустойчивых волновых чисел и больший инкремент, а в релятивистском отличия от второго случая практически нивелируются. Кроме того, показано, что при отклонении волнового вектора возмущений от оси симметрии трубчатого распределения инкремент неустойчивости может, в зависимости от параметров распределения, как нарастать, так и убывать. В разделе 2.5 проведен анализ неустойчиво-стей для поперечных и продольных возмущений, распространяющихся вдоль оси симметрии в релятивистской многокомпонентной плазме с двухпотоковыми цилиндрическими распределениями частиц, допускающими произвольное распределение по поперечному импульсу. Показано, что неустойчивость поперечных возмущений имеет порог и возникает аналогично неустойчивости типа мягкой моды, но не сводится к апериодической неустойчивости вейбе-левского типа, поскольку описывается либо одной модой с ненулевой действительной частью частоты, либо двумя апериодическими модами (рис. 2.13). Это усложнение неустойчивости связано с отсутствием частиц с малыми продольными скоростями, обуславливающим наличие двух парциальных (вырождающихся на пороге неустойчивости) мод колебаний, в каждой из которых задействованы частицы с одним знаком продольной скорости. Указанное обстоятельство принципиально и для рассмотренной в данном разделе неустойчивости продольных возмущений, являющейся разновидностью известных плазменно-пучковых неустойчивостей и обладающей инкрементом, который в зависимости от параметров может быть как больше, так и меньше инкремента для поперечных возмущений. Раздел 2.6 содержит описание некоторых общих свойств апериодических неустойчивостей как неустойчивостей типа мягкой моды, порождающих квазистатическое магнитное поле в неравновесной плазме с различными функциями распределения частиц.
Третья глава посвящена вопросам насыщения вейбелевской неустойчивости, ограничивающим ее физическим факторам и результатам натурных наблюдений, лабораторных исследований и численных расчетов формируемых в процессе развития неустойчивости токовых структур [24, 25, 87].
Сферически-сегментное моноэнергетическое распределение частиц
Иначе инкремент может опускаться до величины порядка шру/с, определяемой плазменной частотой шр и скоростью v наиболее представительной фракции нерелятивистских частиц. Указанный результат легко уточняется в случае сильной анизотропии а С 1, когда частицы всех сортов а, как релятивистские, так и нерелятивистские, вносят однотипный вклад в инкремент:
В противоположном случае слабой анизотропии, когда 1- а 1, профиль инкремента имеет вид достигается для волнового числа fcmax/v3 с- Если неустойчивость обусловлена в можно показать, что влиянием частиц других сортов (или того же сорта, но с другими скоростями), имеющих плазменную частоту шр, лоренц-фактор 7 и параметр анизотропии , можно пренебречь при условии
Подобный анализ неустойчивости в релятивистской многокомпонентной плазме можно провести и для непрерывного шарообразного распределения частиц по энергиям с симметрично изъятыми конусами, задаваемыми параметрами а: произвольные функции, заданные в области р $ тас и нормированные на единицу, J Fa(p)dp = 1. Действительно, поскольку в соответствующем дисперсионном уравнении, обобщающем уравнение (2.41) для моноэнергетических распределений (2.37), отсутствует зависимость от а величин Ма = —iuj/kxva —іш/кхс, вышеприведенные утверждения остаются в силе, если va заменить на с, а 7« — на средний лоренц-фактор
Более того, условие (2.50) отсутствия влияния частиц на профиль инкремента оказывается справедливым даже для нерелятивистских частиц и сохраняет силу при любом распределении по скоростям этих частиц и любом параметре их анизотропии .
Из-за связи продольного и поперечного движения частиц плазмы через релятивистский фактор 7) интегралы, входящие в (2.27) и (2.28), удается аналитически вычислить лишь для весьма ограниченного набора функций распределения. Одним из таких распределений является "трубчатое" распределение, которое в англоязычной литературе часто называется "waterbag". Пусть импульсы всех электронов лежат на цилиндре с р± = ро = const и равномерно распределены по продольной проекции
Подставляя распределение (2.53) в дисперсионное соотношение (2.28) для поперечных волн, распространяющихся вдоль оси анизотропии х (kz = ку = 0), и выполняя интегрирование, получаем
Сравнив последнее выражение со (2.13) можно увидеть, что отличие состоит лишь в численном множителе 1/2 перед зависящим от кх слагаемым. Уравнение опять является квадратным относительно ио2 и его решение легко выписывается: Как и формула (2.17), выражение (2.58) согласуется с положением границы неустойчивости, определяемым универсальным критерием (1.44).
Заметим, что поскольку jm = (1-/ — /З2)-1/2, правая часть (2.59) содержит (3±. Уравнение границы области неустойчивости сводится к уравнению третьей степени на /3"j_, результат его численного решения показан на рис. 2.6. Из (2.58) легко видеть, что с ростом 7т при конечной массе ионов и фиксированном не близком к нулю отношении /Зх//3± неустойчивость пропадает при 7т mi/me. В нерелятивистском случае /Зх,/3± С 1 условие неустойчивости (2.59) переходит в /3j_ л/2/Зж (в пренебрежении малой поправкой me/mi).
Дисперсионные кривые для уравнения (2.55) при jm = 10, ггц/те = 1837 и различных значениях отношения f3±/f3x. Частота Rew и инкремент неустойчивости Г нормированы на (4irNe2/me 7m)1/2, волновое число к = кх нормировано на (1/с)(4-7ГІУе2/те7т)1/2- Пунктирная линия соответствует прямой ш = ск.
Максимальное значение инкремента молено найти из условия обращения в ноль дискриминанта уравнения (2.55), рассматриваемого как квадратное относительно кх:
При равенстве дискриминанта нулю квадратное уравнение решается тривиально, и из 0.7 Рис. 2.6. Области параметров (Зх, (3±, при которых плазма с функцией распределения электронов (2.53) подвержена или не подвержена вейбелевской неустойчивости с волновым вектором, параллелв-нвім оси симметрии распределения. Пунктирная кривая отвечает уравнению f3x-\-f3± = 1. Отношение масс ионов и электронов т,і/тє = 1837. этого решения получается, что максимальный инкремент достигается при значении квадрата волнового числа и стремится к ней при Дц — 0. Отличие в у2 раз от результата (1.69) можно связать с тем, что для рассматриваемого сейчас цилиндрически симметричного распределения лишь половина энергии частиц связана с движением вдоль направления электрического поля.
Рассмотрим на этом примере зависимость максимального (по всем кх) инкремента неустойчивости от степени анизотропии распределения частиц. Степень анизотропии Xaniso естественно определить как отношение энергии движения вдоль оси z (см. рис. 1.1) к энергии движения вдоль оси х, так что для сферически симметричного распределения степень анизотропии получается равной единице (движение частиц вдоль оси у, то есть вдоль генерируемого магнитного поля, не влияет на развитие неустойчивости2). В релятивистском случае нет естественного разделения энергии на продольную и поперечную, поэтому вместо энергии будем использовать р2 — эта величина естественным образом разделяется на сумму компонент вдоль осей системы координат, а в нерелятивистском случае пропорциональна энергии:
Для возмущений с волновым вектором, образующим небольшой угол с направлением оси х, kz кх (в силу цилиндрической симметрии функций распределения без ограничения общности можно считать ку = 0), в дисперсионном уравнении нужно учесть слагаемые, пропорциональные к2 (2.27). Для рассматриваемой здесь функции распределения частиц соответствующие интегралы вычисляются аналитически, и после довольно громоздких вычислений старший член по kz, который следует дописать в левую часть (2.55), записывается
За исключением того, что эта у-компонента скорости частиц наравне с остальными компонентами даёт вклад в их лоренц-фактор. Численное решение дисперсионного уравнения с учетом поправки (2.65) для некоторых конкретных значений параметров приведено на рис. 2.8. Из представленных графиков видно, что изменение угла наклона волнового вектора тем больше влияет на дисперсионную кривую, чем более анизотропна функция распределения (больше отношение /3 //). Для случая сильной анизотропии отклонение волнового вектора от оси анизотропии функции распределения частиц приводит к уменьшению максимального инкремента и к расширению диапазона волновых чисел, при которых развивается неустойчивость (это согласуется, в частности, с результатами ее исследования в предельном случае кольцевого распределения частиц, когда — 0 [124]). При слабой анизотропии (правый график) возможно увеличение инкремента неустойчивости по сравнению со случаем строго поперечных возмущений, однако величина
Совместный анализ данных о структурах в космической и лазерной плазме и результатов численных расчетов
Таким образом, для цилиндрически симметричных функций распределения, разложенных по степеням проекции обобщенного импульса, в случае конечного числа целых неотрицательных степеней также имеется универсальный полиномиальный вид потенциала Гр-эда-Шафранова, а энергетические распределения частиц определяет лишь конечный набор коэффициентов указанного полинома.
Аналитически провести интегрирование по pz в уравнении Грэда-Шафранова (4.41) удается также в случае, когда зависимости функций распределения от проекции обобщенного импульса экспоненциальные: где (а — безразмерные постоянные, a Fao(p) — произвольная функция от модуля импульса, на которую наложено лишь то ограничение, что fa неотрицательно при всех значениях импульса. Для этого достаточно потребовать выполнения условия Fao(p) 0. Интегрирование выполняется элементарно:
Нетрудно убедиться, что при (а 0 выражение в квадратных скобках положительно при всех р. Это позволяет получить непосредственные обобщения слоя Харриса, пинча Беннета и ряда других известных решений, также использующих экспоненциальный вид потенциала Грэда-Шафранова, на немакселловские распределения частиц по энергиям, в том числе релятивистские.
Более общий случай — разложение функций распределения в виде произведения экспоненты на многочлен:
Подставляя его в (4.41) и интегрируя по частям d раз, после весьма громоздких преобразований приходим к уравнению Грэда-Шафранова в виде (4.43) с потенциалом U(AZ), также имеющим экспоненциально-полиномиальное разложение
С обычной Гамма-функцией она связана соотношением T(s,0) = T(s). В интересующем нас случае целых неотрицательных і и / (і I) множитель ехр(6)Г(г — / + 1, Ъ) представляет собой многочлен степени і — 1 от Ъ. В явном виде выражения для неполной Гамма-функции для первых пяти натуральных значений первого аргумента таковы:
Таким образом, и в этом случае мы имеем универсальный функциональный вид потенциала Грэда-Шафранова, а функции распределения определяют лишь набор коэффициентов.
Отдельно рассмотрим ещё случай, когда в выражении функции распределения через инварианты движения показатель экспоненты квадратично зависит от проекции обобщенного импульса (подобный случай с несколько других позиций был рассмотрен в работе [194]). Пусть
Поскольку подынтегральное выражение содержит спецфункции, интегрирование по р в (4.89) не удается аналитически провести, кроме тривиальных случаев, в которых весовой множитель Fa0(p) является, например, суммой -функций.
Однако, получить уравнение для Az в виде, не содержащем интегралов, можно ещё в одном случае — для максвелловской зависимости функций распределения от энергии частиц, когда Ра0(р) = С«7аРа3ехр(-р2/Ра) гДе Са ж ра — константы. Для этого не будем переходить к сферическим координатам, как это было сделано при получении уравнения (4.89), а проведем тройное интегрирование по компонентам импульса в декартовых координатах непосредственно в уравнении (4.39). Тогда интегралы в правой части уравнения
Провести интегрирование в элементарных функциях удается опять для случая Fai(p) = для общности писать Az — Аа с разными константами Аа для разных сортов частиц, но для краткости мы не будем этого делать. Тогда взяв в правой части уравнения Грэда-Шафрано-ва тривиальные интегралы по ру и рх, заменив интегрирование по pz на интегрирование по Р = pz + eaAz/c и проинтегрировав подынтегральное выражение по Az, получаем
Оставшийся интеграл есть многочлен от Az степени і, что видно из того, что после раскрытия бинома степени Az выносятся за знак интеграла. Коэффициенты этого многочлена можно вычислить, воспользовавшись формулой с некоторыми весами. Для зависимости от проекции импульса ру рассмотрим два варианта: когда явной зависимости нет (цилиндрически симметричный случай с осью pz) и когда она имеет вид -функции 5{ру) (случай плоскослоистого движения частиц). Начнем с первого варианта: где Piip) — некоторые функции, которые могут быть выбраны по существу произвольно, Fai — неотрицательные функции, что гарантирует неотрицательность функций распределения частиц fa. Плотность тока, создаваемого частицами сорта а, вычисляется с помощью перехода в сферическую систему координат в пространстве импульсов:
Таким образом, использование инвариантов движения частиц в бесстолкновительной многокомпонентной плазме (релятивистской и нерелятивистской) позволяет строить и аналитически исследовать широкий класс одномерных и двумерных нелинейных нейтральных токовых структур (локализованных и нет). Ниже это продемонстрировано в основном на примере аксиально симметричных анизотропных функций распределения частиц в пространстве импульсов, допускающих практически произвольное распределение частиц по энергиям. Последнее означает возможность описания самосогласованных токовых слоев и филаментов, не сводящихся к обычно используемым моделям нейтрального слоя Харриса и пинча Беннетта или их известным обобщениям, по существу эксплуатирующим максвелловское распределение, отнюдь не свойственное неравновесной бесстолкновительной плазме.
Потенциал Грэда-Шафранова и тензор давления в анизотропной плазме. Случай произвольного шира магнитного поля
Рассмотрим разложение цилиндрически симметричных функций распределения по -функциям от проекции обобщенного импульса (4.104) и соответствующий потенциал Грэда-Шафранова (4.106) в моноэнергетическом случае, когда зависимости Fai(p) так же имеют вид -функций, Тогда плотность тока (4.105) (точнее, ее составляющая для каждого отдельного г) линейно зависит от векторного потенциала в интервале от с(РДро) — Ро)/єа до с(РДро) + Ро)/єа (причем производная dja/dAz отрицательна) и равна нулю вне этого интервала. Потенциал Грэда-Шафранова (4.106) на том же интервале имеет вид параболы, выпуклой вверх, с вершиной при Az = Piip). Из-за того, что парабола выпукла вверх, решение с локализованным магнитным полем, в котором ток определяется лишь одним сортом моноэнергетических частиц с одним слагаемым в сумме (4.104), построить невозможно (если таких парабол хотя бы две, между их вершинами может быть "потенциальная яма" и возможно локализованное решение), и все решения имеют вид либо симметричного токового слоя с антисимметричным магнитным полем — аналогично слою Харриса (когда значение интеграла Щ ниже вершины указанной параболы), либо антисимметричного токового слоя, помещенного во внешнее однородное магнитное поле (когда значение интеграла UQ выше вершины параболы), либо токового слоя на границе между однородной незамагниченной плазмой и магнитным полем (когда значение Щ совпадает с высотой вершины параболы). Рассмотрим последний случай, положив для краткости записи Pi = 0. Тогда при Az — 0 магнитное поле тоже стремится к нулю, и разложение потенциала (4.106) в окрестности Az = 0 тогда имеет вид Если 7« У всех токонесущих частиц одинаковое, то интеграл в последнем выражении можно записать через локальную концентрацию частиц па в той области, где Az и магнитное поле откуда видно, что масштаб затухания магнитного поля при углублении в плазму составляет с/шра. Заметим, что в построенном решении даже в однородной области плазма является сильно анизотропной.
Аналогичные решения можно построить в моноэнергетическом случае для плоских функций распределения (4.107), положив Fai(p) ос 8{р — ро). Тогда в потенциале Грэда-Шафранова (4.109) слагаемое для каждого определенного і на отрезке от с(РДро) —ро)/еа до с{Рг{ро) +Ро)/еа имеет вид полуэллипса (выпуклого вверх), а вне этого отрезка равно нулю. Для заданного і в каждой точке пространства у частиц фиксированы полный импульс р = ро, проекция ру = 0 и проекция pz = Piipo) — eaAz/c. Это с точностью до знака единственным образом определяет и оставшуюся проекцию рх = ±л/р2 — (Р?(ро) — eaAz/c) . То есть для заданного і через каждую точку пространства, в которой значение Az попадает в интервал от с(Рі(ро) — Ро)/єа ДО с(Рі(ро) +Ро)/е«, проходят две симметричные траектории частиц. На границах этого интервала находятся "точки поворота", в которых рх = 0, а плотность тока обращается в бесконечность.
С помощью метода инвариантов для такой функции распределения можно описать структуру границы между однородной двухпучковой плазмой (аналогичной рассмотренной в разделе (1.4.1) и вакуумом с постоянным магнитным полем. Для этого положим для одного слагаемого в сумме (4.107) и Fai = 0 для остальных слагаемых, а все Д(Ро) для простоты записи положим равным нулю. Функция распределения fa при этом имеет вид и равен нулю при А\ р с2/е , где подкоренное выражение отрицательно. Поскольку мы сейчас хотим описать случай, в котором часть пространства занимает однородная плазма без магнитного поля, нужно выбирать такое решение уравнения Грэда-Шафранова, при котором в точке максимума потенциала, то есть при Az — 0, производная dAz/dx равна нулю.
Более тонким является вопрос о том, почему эти формулы дают разный масштаб нарастания магнитного поля при конечной массе ионов, хотя ионы в обоих случаях считались покоящимися и лишь обеспечивали электрическую нейтральность плазмы. Электрическое поле в построенном токовом слое, описываемом уравнением (5.123), отсутствует, поэтому покоящиеся заряженные частицы любой массы, распределенные таким образом, что плотность заряда плазмы в каждой точке равна нулю, удовлетворяют всем уравнениям физики плазмы, поэтому пространственный масштаб, определяемый (5.123), никак не зависит от массы этих покоящихся частиц. Можно последовательно включать в рассмотрение ионы с самого начала, используя для них ту же зависимость функции распределения от инвариантов движения (4.107), что и для электронов, так как именно в этом случае можно ожидать, что пространственный профиль концентрации ионов будет совпадать с профилем концентрации электронов, обеспечивая квазинейтральность. Локальная концентрация частиц с распределением (4.107) определяется формулой из которой ясно, что для обеспечения электронейтральности необходимо потребовать выполнения условий Ne = Ni и рое = РОІ- Тогда потенциал Грэда-Шафранова с учетом конечной массы ионов записывается как
Заметим, что в построенном решении магнитное поле вдали от токового слоя при х — +оо и х — — оо отличается не только знаком, что означает, что в нем присутствует доля "внешнего" поля, то есть создаваемого какими-то токами, текущими "на бесконечности" и не входящими в описываемую нами систему. где UQ — значение первого интеграла уравнения Грэда-Шафранова, UQ = U{AZ) + В2/2. За исключением случая, когда рассматриваемая токовая структура находится по внешнем однородном магнитном поле, выполняется неравенство Щ /І7тМарІ/та/уа, с учетом которого из (5.128) получаем, что ев 1/4.
Получим аналогичную оценку в общем случае, когда в рассматриваемой токовой структуре есть частицы с различными энергиями, а потенциал Грэда-Шафранова имеет общий вид (4.109). Соотношение между локальной плотностью энергии магнитного поля и локальной плотностью энегрии частиц тогда записывается как (5.129) где интегрирование чисто вещественное и интегралы вычисляются только по тем областям, в которых подкоренное выражение положительно. Пользуясь тем, что взвешенное среднее гармоническое положительных величин не превышает их среднего арифметического, можно записать оценку
Заметим, что проведенные оценки являются точными, в том смысле, что значения ев-, близкие к 1/4, возможны. Последнее неравенство из (5.132) справедливо при условии, что функции распределения Fai(p) отличны от нуля только внутри множеств Sai — иное означало бы, что магнитное поле в данной точке определяется в том числе частицами, траектории которых не проходят через плоскость с тем же х, и сравнивать локальные значения плотности тока и магнитного поля было бы бессмысленно (в частности, в ситуации, изображенной на рисунке 5.17, магнитное поле существует и в той области, где вообще нет частиц).
Рисунок 5.17 соответствует ситуации, в которой величина Щ в точности равна высоте максимума потенциала Грэда-Шафранова, UQ = Umax = AnNap /ma a. Кратко рассмотрим, что изменится, если Uо будет больше или меньше указанного значения. Если Щ Umax, то изображающая точка отразится от склона профиля потенциала Грэда-Шафранова, и мы будем иметь локализованную в пространстве токовую структуру и антисимметричное создаваемое ей самосогласованное магнитное поле, как показано на рис. 5.18. Профиль плотность тока симметричный, магнитного поля — антисимметричный. Ширина токовой структуры может быть как много больше гирорадиуса частиц в создаваемом ими на бесконечности магнитном поле (при UQ близком к Um3jX), так и порядка гирорадиуса, и даже много меньше его при UQ Umax. В последнем случае частицы движутся преимущественно вдоль оси z и в процессе движения отклоняются от нее лишь на малые углы.
