Содержание к диссертации
Введение
1 Низкочастотные моды непрерывного МГД спектра во вращающейся плазме осесимметричных токамаков 34
1.1 Равновесие вращающейся плазмы 40
1.1.1 Чисто тороидальное вращение, р = р(ф) 46
1.1.2 Ненулевое полоидальное вращение, к ф 0 47
1.2 ГАМ и зональные течения в плазме токамака с чисто тороидальным вращением 52
1.3 Осесимметричные электростатические моды в плазме с полоидальным вращением 58
1.3.1 Уравнения осесимметричных электростатических возмущений 58
1.3.2 Возмущения массовой плотности и продольной скорости 62
1.3.3 Дисперсионное уравнение мод непрерывного спектра 63
1.4 Моды непрерывного МГД спектра с (т,п) Ф 0 вовращающейся плазме 73
1.4.1 Разложение по ортогональному базису, связанному с силовой линией магнитного поля 73
1.4.2 Обобщенные уравнения для мод непрерывного спектра 77
1.4.3 Дисперсионное уравнение мод непрерывного спектра 80
2 Генерация крупномасштабных структур в плазме мелкомасштабной дрейфовой турбулентностью 90
2.1 Генерация крупномасштабных зональных течений и магнитных полей в плазме дрейфово-альфвеновской турбулентностью 95
2.1.1 Исходные уравнения 95
2.1.2 Усредненные уравнения крупномасштабных зональных течений и магнитных полей 97
2.1.3 Уравнение для спектральной функции дрейфово- альфвеновских волн и его инварианты 100
2.1.4 Неустойчивости крупномасштабных зональных возмущений в плазме 107
2.2 Роль эффектов конечного ларморовского радиуса ионов в проблеме генерации зональных течений в плазме кинетической дрейфово-альфвеновской турбулентностью 113
2.2.1 Описание кинетической дрейфово-альфвеновской турбулентности плазмы с пространственным мас штабом, сравнимым по величине с ларморовским радиусом ионов 113
2.2.2 Уравнения эволюции зональных возмущений и спектральной функции мелкомасштабной турбулентности 115
2.2.3 Турбулентная генерация зональных течений в плазме 120
2.3 Генерация крупномасштабных структур в плазме сильной дрейфовой турбулентностью 123
2.3.1 Уравнение эволюции крупномасштабного поля 124
2.3.2 Спектры турбулентности в инерционном интервале 134
2.3.3 Турбулентные коэффициенты в случае сильной
дрейфовой турбулентности 138
3 Неустойчивости во вращающихся жидких металлах и плазме 146
3.1 Магнитовращательная неустойчивость жидких металлов в осевом магнитном поле 152
3.1.1 Формулировка задачи и порог МВН 154
3.1.2 Минимизация порога неустойчивости по отношению к волновым числам и магнитному полю 157
3.1.3 Минимизация порога неустойчивости по отношению к волновым числам возмущений при
фиксированном магнитном поле 163
3.2 Неустойчивости сильнорезистивных вращающихся жидкостей в спиральном магнитном поле 165
3.2.1 Локальное дисперсионное уравнение осесимметричных возмущений 167
3.2.2 Анализ дисперсионного уравнения 171
3.2.3 Результаты численных расчетов по минимизации порога неустойчивости 175
3.3 О влиянии диссипативных эффектов на неустойчивости дифференциально-вращающейся плазмы 180
3.3.1 Локальное дисперсионное уравнение осесимметричных возмущений 181
3.3.2 Влияние вязкости на устойчивость вращающейся плазмы 185
3.3.3 Влияние резистивности на устойчивость вращающейся плазмы 187
4 Спонтанное усиление крупномасштабных магнитных полей в плазме электронной турбулентностью 192
4.1 Электронная магнитная гидродинамика (ЭМГД) 195
4.2 Турбулентная генерация крупномасштабных полей в плазме в 2^-мерной ЭМГД модели 198
4.2.1 ЭМГД турбулентность с I > с/сире 199
4.2.2 Случай мелкомасштабной турбулентности с / < с/шре 206
4.3 Длинноволновая неустойчивость периодических ЭМГД течений в диссипативной плазме 213
4.3.1 Исходные уравнения и постановка задачи 213
4.3.2 Устойчивость ЭМГД течения колмогоровского типа в плазме 214
4.3.3 Устойчивость спирального течения в плазме 221
4.3.4 Устойчивость анизотропного спирального течения в плазме 226
Заключение
- Осесимметричные электростатические моды в плазме с полоидальным вращением
- Усредненные уравнения крупномасштабных зональных течений и магнитных полей
- Минимизация порога неустойчивости по отношению к волновым числам и магнитному полю
- Турбулентная генерация крупномасштабных полей в плазме в 2^-мерной ЭМГД модели
Введение к работе
Актуальность темы.
Диссертация посвящена исследованию ряда теоретических проблем, представляющих интерес для физики плазмы и управляемого термоядерного синтеза, астрофизики, физики ионосферы. К числу таких проблем, вызывающих повышенное внимание в современной мировой литературе, относится проблема спонтанного возникновения локального вращения плазмы в системах магнитного удержания плазмы (токамаках, стеллараторах) в омическом и L-режимах. Это явление весьма многоплановое и не имеет общепринятого исчерпывающего описания. С одной стороны, плазма часто демонстрирует присутствие низкочастотных зональных течений и геодезических акустических мод (ГАМ), которое в соответствии с многочисленными экспериментальными результатами строго коррелирует с уровнем мелкомасштабной турбулентности плазмы. Возникновение зональных течений и ГАМ часто связывают с нелинейными механизмами, обусловленными их взаимодействием с мелкомасштабной дрейфовой турбулентностью плазмы. С другой стороны, скорости глобального вращения плазмы в современных термоядерных установках могут достигать довольно высоких значений. В диссертации рассматривается влияние глобального равновесного вращения плазмы на различные моды возмущений плазмы (в первую очередь - на ГАМ и зональные течения) и их линейную устойчивость. Также находит свое развитие теория турбулентной генерации зональных течений с учетом электромагнитных эффектов, которые являются существенными в условиях, характерных для современных систем магнитного удержания плазмы. Эта проблема актуальна и для плазмы ионосферы Земли на высоких широтах, в которой спутниковые измерения указывают на существование зональных течений. Большой интерес в астрофизическом сообществе вызывает явление магнитовращательной неустойчивости (МВН), особенно в связи с проблемой аномально быстрого переноса момента импульса вещества в аккреционных дисках. Эта неустойчивость возникает в дифференциально-вращающейся плазме в слабом магнитном поле. Для изучения свойств этой предсказанной в теории неустойчивости предпринимаются усилия по ее экспериментальному наблюдению в лабораториях с использованием вращающихся во внешнем магнитном поле жидких металлов и низкотемпературной плазмы. Поскольку для таких сред диссипативные эффекты существенны, весьма важной и актуальной задачей является развитие теории МВН и тесно к ней
примыкающих конвективных неустойчивостей именно в диссипативной плазме и, в более общем контексте, в проводящих диссипативных средах.
Цель и задачи диссертационной работы.
Целью настоящей диссертационной работы является теоретическое выявление влияния равновесного вращения проводящих сред (плазмы, жидких металлов, жидкостей) во внешних магнитных полях на некоторые типы магнитогидродинамических волн и неустойчивостей и условий спонтанной генерации регулярных структур в плазме мелкомасштабной турбулентностью. Целью и актуальностью темы обусловлены следующие задачи диссертационой работы:
1. Исследование влияния равновесного тороидального и полоидального
вращения плазмы на низкочастотные электростатические и
электромагнитные МГД моды и их линейную устойчивость в
осесимметричных токамаках.
2. Изучение спонтанной генерации зональных течений плазмы в
токамаках и в земной ионосфере мелкомасштабной дрейфовой и
дрейфово-альфвеновской турбулентностью.
-
Развитие теории линейной устойчивости дифференциально-вращающихся проводящих сред (жидких металлов и плазмы) во внешних аксиальных и азимутальных магнитных полях с учетом как диссипативных эффектов (магнитной диффузии и вязкости), так и сжимаемости среды (эффекта стратификации) применительно к существующим и планируемым лабораторным экспериментам по моделированию магнитовращательной неустойчивости.
-
Анализ механизмов спонтанного усиления крупномасштабных магнитных полей в космической и ионосферной плазме мелкомасштабными электронными движениями и их связи с топологическими свойствами этих движений.
Научная новизна работы.
В работах, положенных в основу диссертации, автором получены следующие новые научные результаты:
-
Аналитически показано существование низкочастотной линейно-неустойчивой электростатической осесимметричной моды в токамаке для равновесия плазмы с чисто тороидальным вращением и изохорическими магнитными поверхностями. Найдено, что неустойчивость обусловлена полоидальной стратификацией плазмы на магнитных поверхностях в поле центробежной силы. В приближении токамака с большим аспектным отношением и круглыми концентрическими магнитными поверхностями вычислен инкремент неустойчивости.
-
Для осесимметричных равновесий токамака с общим вращением плазмы - суперпозицией тороидального и полоидального вращения - в приближении круглых концентрических магнитных поверхностей получено дисперсионное уравнение, описывающее низкочастотный непрерывный МГД спектр. Выведено условие существования апериодически-неустойчивой ветви электростатических осесимметричных МГД мод в токамаке с доминирующим полоидальным вращением плазмы. Показано, что при выполнении этого условия неустойчивыми являются и асимметричные электромагнитные моды, локализованные на рациональных магнитных поверхностях. При локализации асимметричных мод вне рациональных магнитных поверхностей они становятся устойчивыми, благодаря зацеплению медленной звуковой и альфвеновской мод.
3. В квазилинейном приближении выведена система связанных
уравнений, описывающих взаимодействие крупномасштабных
зональных течений и зональных магнитных полей с мелкомасштабной
дрейфово-альфвеновской турбулентностью в плазме конечного давления
me/mi < /3 <С 1. Получены критерии генерации зональных течений в
токамаках мелкомасштабной дрейфово-альфвеновской турбулентностью
в различных режимах. Показано, что турбулентность приводит
к генерации зональных течений с длиной волны, превышающей
ларморовский радиус ионов.
4. Методами двухмасштабного приближения прямого взаимодействия
в приближении кинематического динамо исследовано взаимодействие
сильной дрейфовой турбулентности плазмы с крупномасштабными
вихревыми структурами. Показана возможность спонтанной
генерации крупномасштабных вихрей турбулентностью. Механизмом
неустойчивости является отрицательная турбулентная вязкость.
Найдено, что в режиме сильной турбулентности существование этого механизма определяется видом ее спектра.
-
Показано, что низкопороговая неустойчивость азимутального течения сильнорезистивнои проводящей среды в спиральном магнитном поле имеет диссипативную природу, а неустойчивой является мода инерционных колебаний. Получен критерий, определяющий класс неустойчивых профилей угловой скорости вращения среды, и вычислен порог неустойчивости.
-
Получены необходимые и достаточные условия линейной устойчивости осесимметричных возмущений азимутального течения низкотемпературной плазмы в аксиальном внешнем магнитном поле при совместном учете эффектов диссипации плазмы (вязкости и резистивности) и ее радиальной тепловой стратификации. Показано, что в комбинации с магнитной диффузией и вязкостью тепловая стратификация оказывает существенное влияние на устойчивость плазмы. Найдено, что при неблагоприятной стратификации плазмы имеет место диссипативная неустойчивость плазмы, обусловленная ее магнитной диффузией.
-
В приближении кинематического динамо показана возможность спонтанного усиления крупномасштабного магнитного поля электронной 22-мерной турбулентностью. Детально проанализирована роль двух физических эффектов: эффекта ненулевой микроспиральности и эффекта отрицательной диссипации, связанного с анизотропией турбулентности. Найдено, что электронная инерция приводит к анизотропизации коэффициентов турбулентной вязкости и эффекта микроспиральности. Показано, что турбулентность, микроспиральность которой содержится на масштабах, меньших толщины бесстолкновительного скин-слоя, не приводит к усилению крупномасштабного поля.
-
Показано, что стационарные периодические ЭМГД течения в слабостолкновительной плазме подвержены развитию вторичных неустойчивостей с генерацией крупномасштабных диссипативных структур. В зависимости от топологии течений механизмами неустойчивостей служат эффекты отрицательной магнитной диффузии и микроспиральности. Получены соответствующие критерии устойчивости периодических электронных течений.
Автор выносит на защиту следующие положения:
-
Вывод о линейной неустойчивости низкочастотной электростатической осесимметричной МГД моды в токамаке с тороидальным вращением плазмы и изохорическими магнитными поверхностями.
-
Условие существования неустойчивой ветви низкочастотных МГД мод в токамаке с полоидальным вращением плазмы и вывод о возможности ее стабилизации в случае асимметричных мод.
-
Условия генерации разномасштабных зональных течений плазмы в токамаках и в ионосфере дрейфово-альфвеновской турбулентностью.
-
Выводы о возможности генерации крупномасштабных вихрей в токамаке в режиме сильной дрейфовой турбулентности за счет механизма отрицательной турбулентной вязкости и о существенной зависимости этого эффекта от спектра турбулентности.
-
Вывод о диссипативной природе экспериментально наблюдаемой неустойчивости вращения сильнорезистивной проводящей среды в спиральном магнитном поле и критерий этой неустойчивости.
-
Аналитическое выражение для критического числа Гейнольдса, определяющего порог неустойчивости диссипативной проводящей среды, вращающейся в аксиальном магнитном поле.
7. Критерии устойчивости вращения диссипативной плазмы в
аксиальном магнитном поле с учетом ее радиальной тепловой
стратификации.
8. Критерии спонтанного усиления крупномасштабного магнитного поля
в плазме за счет эффектов спиральности и анизотропии электронной
турбулентности.
9. Условия генерации крупномасштабных диссипативных структур
в плазме вторичной неустойчивостью ЭМГД течений с различными
топологическими свойствами.
Научная и практическая ценность.
Полученные в диссертационной работе результаты по влиянию вращения плазмы на низкочастотные моды в токамаке и по турбулентной генерации зональных течений актуальны в связи с таким явлениями, наблюдаемыми в современных установках по магнитному удержанию плазмы, как возникновение в омических и L-режимах локального спонтанного вращения плазмы, которое ассоциируется с геодезическими акустическими модами и зональными течениями, и коррелирующее с ним уменьшение уровня мелкомасштабной турбулентности плазмы и турбулентного переноса. Выведенные в диссертационной работе общие уравнения, описывающие низкочастотные моды непрерывного МГД спектра во вращающейся плазмы и исследованные аналитически в приближениии токамака с круглыми магнитными поверхностями и низким давлением плазмы, являются основой для дальнейшего численного анализа применительно к условиям, соответствующим реальным установкам. Результаты по спонтанной генерации зональных течений дрейфово-альфвеновской турбулентностью также представляют интерес для геофизических приложений в связи с наблюдаемыми зональными течениями в ионосфере Земли. Результаты по магнитовращательной неустойчивости и тесно с ней связанным конвективным неустойчивостям в цилиндрически вращающихся проводящих средах и в плазме представляют интерес для интерпретации экспериментальных результатов на лабораторных установках по изучению МВН. В частности, они качественно объясняют неустойчивые моды с конечной частотой, растущей с увеличением скорости вращения, которые наблюдаются в эксперименте PROMISE (Россендорф, Германия) по изучению неустойчивости течения Куэтта между вращающимися цилиндрами в спиральном магнитном поле. Результаты, полученные при рассмотрении МВН в жидких металлах, легли в основу практических рекомендаций относительно параметров лабораторной установки по экспериментальному исследованию МВН при вращении жидкого натрия радиальным током в аксиальном магнитном поле (ФЭИ, Обнинск, Россия). Результаты по устойчивости вращения столкновительной плазмы в аксиальном магнитном поле могут быть интересны и важны для планируемых экспериментов по вращению низкотемпературной плазмы в цилиндре в аксиальном магнитном поле, а также для экспериментов по центробежному удержанию плазмы МСХ (Мэрилэнд, США). Полученные в диссертации результаты по генерации регулярных структур электронной турбулентностью и
по неустойчивостям электронных течений могут найти применение при изучении процессов в хвостах магнитосферы Земли и ионосферной плазме и в связи с экспериментами по их лабораторному моделированию (UCLA, США), в солнечном ветре и в солнечной короне.
Публикации, апробация работы.
Полученные автором оригинальные научные результаты докладывались и обсуждались на семинарах в НИЦ "Курчатовский институт" (Москва), в Институте физики плазмы (Райнхаузен, Нидерланды), в Астрофизическом институте (Потсдам, Германия), в Центре атомной энергии Кадараш (Кадараш, Франция), а также на специализированных российских и международных конференциях, таких как Конференция МАГАТЭ по термоядерной энергии (2002, 2010), Конференция Европейского физического общества по управляемому синтезу и физике плазмы (1999, 2007, 2011), XXV Генеральная ассамблея Европейского геофизического общества (Ницца, Франция, 2000), Варенно-Лозаннское международное совещание по теории термоядерного синтеза (Варенна, Италия, 2012), Звенигородская конференция по физике плазмы и управляемому термоядерному синтезу (2007, 2011, 2012, 2013), Международный семинар по магниторотационной неустойчивости в астрофизике и физике Земли (2005, 2006), Международный семинар "МГД: лабораторные эксперименты для геофизики и астрофизики" (Катания, Италия, 2007), Ежегодная конференция Американского физического общества по Отделению физики плазмы (Чикаго, США, 2010), Международный симпозиум "Плазма в лаборатории и во Вселенной: взаимодействия, модели и турбулентность" (Комо, Италия, 2009), Международное рабочее совещание по нелинейным структурам в замагниченной плазме (Таруса, Россия, 2000). Результаты работы опубликованы в ведущих специализированных отечественных и зарубежных журналах, в трудах международных конференций.
Личный вклад автора.
Все результаты, изложенные в диссертации, были получены при самом активном и непосредственном участии автора на всех этапах работы (постановка задачи, разработка методов ее решения, получение решения, написание и публикация статьи) с внесением им решающего вклада. По теме диссертации автором опубликована 21 работа (не считая тезисов докладов), в том числе, 4 работы без соавторов.
Структура и объем работы.
Осесимметричные электростатические моды в плазме с полоидальным вращением
Четвертая глава диссертации посвящена проблеме спонтанного усиления крупномасштабных магнитных полей электронными движениями. Исследования являются развитием высказанной в книге [108] идеи о том, что высокочастотные мелкомасштабные электронные колебания могут приводить к генерации крупномасштабных магнитных полей в космической плазме. Рассмотрение проводится в рамках уравнений электронной МГД (ЭМГД модели). В первом разделе главы приводится стандартное уравнение несжимаемой электронной магнитной гидродинамики и вкратце обсуждаются условия его применимости при описании плазмы. Наряду с общей трехмерной моделью в этом разделе обсуждается система двух скалярных уравнений, сооответствующая так называемой 22-мерной ЭМГД модели, в которой магнитное поле является трехмерным, но зависит лишь от двух пространственных координат. Такая модель представляется разумной, если, благодаря какому либо фактору, к примеру, сильному внешнему магнитному полю, самосогласованное магнитное поле значительно слабее зависит от одной из координат, чем от двух других.
Во втором разделе четвертой главы рассматривается проблема генерации крупномасштабных магнитных полей в плазме в рамках 22-мерной ЭМГД модели, которая является предметом активных исследований [119]- [128]. С одной стороны такая модель, подобно трехмерной модели допускает описание электронных движений с ненулевой перекрестной спиральностью (или микроспиральностью), В rot В ф 0, а с другой стороны она обладает свойствами, характерными для двумерных моделей (сохраняет дополнительные квадратичные по амплитуде величины и описывает двойные турбулентные каскады). В силу простоты и большей наглядности в интерпретации результатов в подразделе 4.2.1 рассматривается проблема спонтанного усиления крупномасштабных возмущений ЭМГД турбулентностью с характерным пространственным масштабом, превышающим толщину электронного бесстолкновительного скин-слоя / с/ире. В этом случае эффекты инерции электронной жидкости пренебрежимо малы. В приближении кинематического динамо выводится уравнение эволюции крупномасштабного магнитного поля с учетом влияния мелкомасштабной электронной турбулентности и обсуждается два возможных механизма генерации крупномасштабных возмущений - механизм, обусловленный ненулевой микроспиральностью турбулентности (а-эффект), и механизм, связанный с турбулентной магнитной диффузией. Турбулентная магнитная диффузия представляет собой новый эффект, обусловленный эффектами двумерности турбулентности. Для однородной турбулентности эффективная магнитная диффузия обусловлена анизотропией турбулентности, отлична от нуля в отсутствие равнораспределения энергии между аксиальной и полоидальной компонентами мелкомасштабного магнитного поля и может быть отрицательной. Рассматриваются неустойчивости крупномасштабных возмущений, обусловленные обоими упомянутыми механизмами и вычисляются их максимальные инкременты и характерные длины волн. В подразделе 4.2.2 теория обобщается на случай более мелкомасштабной турбулентности / с/ире. Показывается, что электронная инерция приводит к анизотропизации коэффициентов турбулентной вязкости и эффекта микроспиральности. Выводятся критерии генерации крупномасштабного магнитного поля, в разных режимах обусловленной либо спиральным механизмом, либо эффектами отрицательных турбулентных резистивности и вязкости. Показано, что турбулентность, микроспиральность которой содержится на масштабах, меньших толщины бесстолкновительного скин-слоя, не приводит к усилению крупномасштабного поля, обусловленному спиральным механизмом.
Крупномасштабные регулярные структуры могут генерироваться не только турбулентностью плазмы (или жидкости), но и при наличии столкновительной диссипации среды появляться в результате вторичной неустойчивости регулярных мелкомасштабных течений плазмы. Неустойчивость течений возникает, если их скорость превышает некоторую критическую величину [129]. Такая неустойчивость приводит к образованию крупномасштабных диссипативных структур. Интересным представляется вопрос о механизмах таких вторичных неустойчивостей, о том, как они соотносятся с топологическими свойствами электронных течений, такими как их спиральность и анизотропия, о существовании аналогии с механизмами усиления крупномасштабных магнитных полей ЭМГД турбулентностью. Такой анализ может представлять интерес при изучении явлений в плазме в z-пинчах, в магнитосферной и ионосферной плазме. В третьем разделе четвертой главы в рамках уравнений диссипативной электронной магнитной гидродинамики представлено исследование устойчивости периодических ЭМГД течений плазмы различных типов. Предполагается, что либо в результате какой-либо неустойчивости (первичной неустойчивости), либо внешним источником в плазме создано периодическое течение, амплитуда которого поддерживается стационарной за счет постоянно действующего внешнего источника, и анализируется устойчивость такого течения по отношению к крупномасштабным возмущениям (вторичные неустойчивости). Рассмотрение проблемы проводится аналитически с использованием методов асимптотических масштабных разложений и подкрепляется результатами численных расчетов. В подразделе 4.3.1 приводятся исходные уравнения и формулируется постановка задачи. В подразделах 4.3.2 - 4.3.4 дается анализ устойчивости трех различных типов стационарных периодических ЭМГД течений. В подразделе 4.3.2 рассматривается течение колмогоровского типа (В = cos:rez) в случаях большого и малого чисел Рейнольдса. Спиральное течение типа течения Бельтрами (В = еу sin х + ez cos х) исследуется в подразделе 4.3.3, а анизотропное спиральное течение В = еу sin х cos а + ez cos х sin а, сочетающее в себе свойства первых двух - в подразделе 4.3.4. Детально обсуждаются механизмы, приводящие к неустойчивостям, и их связь с топологическими свойствами первичный течений. Показывается, что такими механизмами являются эффект отрицательной резистивности, связанный с анизотропией течения, и механизм, обусловленный микроспиральностью течения и подобный «-эффекту в теории магнитного динамо. Таким образом, для ЭМГД модели прослеживается тесная аналогия между факторами, приводящими к спонтанному нарастанию крупномасштабных возмущений в бездиссипативной турбулентной плазме и в резистивной плазме со стационарными периодическими течениями. Наряду с результатами, полученными аналитически, приводятся результаты численного моделирования ЭМГД уравнений с начальными условиями, соответствующими аналитической постановке задачи. Показывается их хорошее соответствие с аналитическими результатами в области параметров, в которой последние применимы.
Усредненные уравнения крупномасштабных зональных течений и магнитных полей
Для равновесия плазмы в токамаках с общим вращением тороидальным и полоидальным - показано существование трех ветвей электростатических осесимметричных мод непрерывного спектра. При малых скоростях полоидального вращения, характерных для современных токамаков, vp С (r/qRo)cs, все три ветви мод устойчивы и идентифицированы как зональное течение с частотой и = 0, геодезическая акустическая мода и продольная звуковая волна. Для равновесий с большими скоростями полоидального вращения, vp (r/qRo)cs, показано, что низкочастотная ветвь спектра, являющаяся продолжением продольной звуковой волны, апериодически неустойчива в некотором диапазоне полоидальных и тороидальных скоростей вращения плазмы. Выведено достаточное условие неустойчивости. Для равновесия с доминирующим полоидальным вращением аналитически получено необходимое и достаточное условие этой неустойчивости.
Получено дисперсионное уравнение для низкочастотных асимметричных мод непрерывного МГД спектра с (т,п) ф 0 в токамаках с общим вращением плазмы. При локализации мод вне рациональных магнитных поверхностей исследовано тороидальное зацепление медленных звуковых мод с косыми альфвеновскими. Доказано, что при медленном полоидальном вращении плазмы, Vp С (г/ qRo)cs, все три ветви спектра устойчивы. Для равновесий с доминирующим полоидальным вращением со скоростями Vp (r/qRo)cs и асимметричных возмущений локализованных на магнитных поверхностях, на которых k?\(fo)v\ С C /RQ, показано существование двух неустойчивых ветвей непрерывного МГД спектра. При локализации мод на больших расстояниях от рациональных магнитных поверхностей аналитически и численно предсказана стабилизация этих неустойчивостей, обусловленная тороидальным зацеплением медленных звуковых и косых альфвеновских мод. Глава 2
Генерация крупномасштабных структур в плазме мелкомасштабной дрейфовой турбулентностью
Другим механизмом, который может приводить к спонтанной генерации зональных течений в токамаках, является их нелинейное взаимодействие с низкочастотными волнами, раскачиваемыми посредством какого-либо из известных линейных механизмов (первичная неустойчивость). Как правило, в качестве таких волн рассматривается один из типов дрейфовых волн в плазме. В литературе исследуется два основных сценария генерации зональных течений. Эти сценарии не являются взаимоисключающими и при некоторых условиях могут сосуществовать. Можно полагать, что степень, до которой один из механизмов доминирует над другим, определяется режимом, в котором находится плазма.
Согласно первому сценарию, механизмом генерации является модуляционная неустойчивость волны, которая раскачивается в результате первичной неустойчивости плазмы, обусловленной неоднородностями плотности, температуры или другими факторами [175]- [187]. Этот сценарий основывается на идеях и методах классической теории когерентных параметрических неустойчивостей (см., напр., [188]). Начало такому подходу к генерации зональных течений положили исследования модуляционной неустойчивости дрейфовых волн в работах [175,181]. В них изучалось взаимодействие коротковолновых дрейфовых волн с длинноволновыми конвективными ячейками, а в сущности зональное течение является асимметричной конвективной ячейкой. В обсуждаемом сценарии рассматриваются процессы взаимодействия конечного числа волн - волны накачки, зонального течения (которое в отсутствие нелинейного взаимодействия может рассматриваться как волна с нулевой частотой), одного или двух сателлитов волны накачки, а также иногда второй гармоники зонального течения. В качестве волны накачки рассматривались дрейфово-резистивные баллонные моды [177], дрейфовые волны [180,187] на основе хорошо известной модели Хасегавы-Мимы [189], ионная температурно-градиентная и электронная температурно-градиентная моды, мода на запертых электронах [142, 182, 184], дрейфово-альфвеновские волны [185,186].
Второй сценарий предполагает турбулентный механизм генерации через нелокальную передачу энергии мелкомасштабной турбулентности зональному течению с большим пространственным масштабом (нелокальный обратный каскад энергии) [30], [84]-[87], [94]- [96]. По-видимому, первыми обратили внимание на нелокальный характер дрейфовой турбулентности В.Е. Захаров с соавторами [30]. На основе анализа колмогоровских спектров слабой дрейфовой турбулентности в рамках модели Хасегавы-Мимы в этой работе было показано, что доминирующим является взаимодействие дрейфовых колебаний с крупномасштабным зональным течением, а не с дрейфовыми колебаниями близких масштабов. Со временем укоренилось представление о том, что зональные течения являются неотъемлемым элементом практически всех режимов дрейфовой турбулентности, так что зачастую говорят о турбулентности системы дрейфовые волны-зональные течения (drift wave-zonal flow turbulence) [18]. Разница пространственных масштабов турбулентности (мелкие масштабы) и зонального течения (крупный масштаб) позволяет использовать при исследовании их взаимодействия метод многомасштабных разложений. Как правило, применяется подход, разработанный еще в работе А.А. Веденова и Л.И. Рудакова [81]: мелкомасштабная турбулентность описывается волновым кинетическим уравнением, в котором учитывается влияние зонального течения, и одновременно в гидродинамических уравнениях, описывающих зональное течение, учитываются усредненные по мелким масштабам нелинейные эффекты, обусловленные турбулентностью. Такой подход успешно применялся, в частности, в работах [84]- [87]. Основы обсуждаемого подхода были заложены в работе [84] на основе простейших моделей: уравнения Хасегавы-Мимы [189] и его модификации [190], в которой учитывается неадиабатичность отклика плотности электронов на возмущение в виде зонального течения, позволяющая надлежащим образом учесть зональное течение в нелинейной модели. На основе выведенных в работе [84] уравнений, описывающих взаимодействие зональных течений с дрейфовой турбулентностью, в работах [38], [85], [191] исследовались неустойчивости, приводящие к генерации зональных течений дрейфовой турбулентностью для различных режимов турбулентности. Были получены критерии спонтанного возникновения зональных течений в предельных случаях большой и малой по отношению к инкременту неустойчивости ширины частотных спектров турбулентности. В первом случае неустойчивость носит резонансный характер, и в ее основе лежит резонансное взаимодействие квазичастиц, которыми в рамках волнового кинетического уравнения описывается дрейфовая турбулентность, с длинноволновым возмущением в виде зонального течения. Во втором случае рассматривался предельный случай турбулентности в виде монохроматического волнового пакета и по сути исследовалась его модуляционная неустойчивость. С использованием аналогичного подхода в работе [86] в рамках двужидкостной гидродинамической модели был получен критерий генерации крупномасштабных зональных течений другим типом дрейфовых волн - тороидальными модами, обусловленными градиентом ионной температуры (ИТГ модами). В работе [192] изучалось взаимодействие крупномасштабных регулярных структур с дрейфовой турбулентностью в столкновительной плазме на основе модели, предложенной в работе [193]. Была найдена неустойчивость, в результате которой энергия перетекает от мелкомасштабной турбулентности к регулярным крупномасштабным структурам.
Для современных токамаков характерными являются такие температуры и плотности плазмы, что /3 me/mi. Аналогичные условия характерны и для ионосферы Земли, в которой на высоких широтах наблюдают зональные течения [31, 32]. В этих условиях существенную роль начинают играть возмущения магнитного поля, и в плазме могут раскачиваться волны альфвеновского типа. Наряду с электростатическими возмущениями, они также могут приводить к неустойчивости зональных течений. Развитию теории турбулентной генерации зональных течений на случай электромагнитной турбулентности были посвящены работы [87], [194] - [196]. В работе [194] в рамках двужидкостной гидродинамической модели [82, 83] в пренебрежении дрейфовыми эффектами исследовались проблемы генерации альфвеновской турбулентностью зонального течения и зонального магнитного поля (быстрое динамо). Проблема генерации крупномасштабного зонального магнитного поля альфвеновской турбулентностью также изучалась в работе [195]. В отличие от [194], в работе [195] для описания электронов использовалось дрейфовое кинетическое уравнение. Генерация зональных течений и зональных магнитных полей коротковолновой дрейфово-альфвеновской турбулентностью
Минимизация порога неустойчивости по отношению к волновым числам и магнитному полю
Для получения замкнутой системы уравнений необходимо выразить нелинейные члены в системе уравнений для усредненных полей (2.70)-(2.72) через спектральную функцию турбулентности 1 . Подставляя выражения (2.65) в уравнения (2.70)-(2.72), в главном порядке по отношению пространственных масштабов турбулентности и крупномасштабного возмущения приходим к уравнениям
Ограничиваемся анализом условий, при которых дрейфово-альфвеновская турбулентность приводит к генерации зональных течений в токамаке. Поэтому остаемся строго в рамках идеальной модели (2.57)-(2.59) и не учитываем никаких неидеальных эффектов. Тогда все коэффициенты, определяемые уравнением (2.66), являются действительными и ак = а_к = а, пк = П-к, Ак = А_к. Это означает, что в рамках идеальной двужидкостной МГД модели плазмы отсутствует вклад от дрейфово-альфвеновской турбулентности в усредненный продольный закон Ома (2.73), и турбулентность не приводит к генерации зонального магнитного поля, А = 0. Аналогично, второй член в усредненном уравнении непрерывности (2.74) равен нулю. Тогда уравнения для крупномасштабных зональных возмущений записываются в виде
Сравнивая уравнения (2.76) и (2.77), заключаем, что в случае, когда для типичного волнового числа дрейфово-альфвеновской турбулентности выполняется неравенство ak/L С \пк — ак\, где L - характерный пространственный масштаб зонального течения, возмущение плотности плазмы зональным течением пренебрежимо мало. В этом случае можно положить N = 0 и описывать зональное течение уравнением (2.77). Учитывая определения (2.66), находим, что это имеет место при выполнении условия
В случае, когда члены под знаком квадратного корня сравнимы по порядку величины, условие (2.78) выполняется для зонального течения с длиной волны, существенно превосходящей ларморовский радиус ионов, L 1. Такая турбулентность представляет интерес для физики ионосферы. В случае же почти двумерной турбулентности с Щ\к\{1 + т) С (си е — u; j)2, которая может иметь место в плазме токамака, две ветви коротковолновых колебаний имеют частоты, которые близки к ионно-дрейфовой и электронно-дрейфовой частотам, соответственно:
Это условие выполняется даже для течений с длиной волны порядка ларморовского радиуса ионов (при L 1). Для турбулентности, обусловленной существенно электромагнитной электронно-дрейфовой модой, возмущение плотности пренебрежимо мало, если зональное течение является длинноволновым, L 1.
Противоположный предельный случай ак/L \пк — ак\ может иметь место только для режимов, в которых турбулентность является существенно электромагнитной (ак ф 0), а длина волны зональных течений мала по сравнению с ионным ларморовским радиусом, L С 1. В этом случае N —ф/т, и зональное течение описывается уравнением
Детали перехода от уравнения (2.67) к уравнению (2.82) приведены в работе диссертанта [96]. Величина Nk является обобщенным инвариантом действия. Для коротковолновой турбулентности с к\т 1 выражение для f% упрощается и принимает вид
Режимы взаимодействия длинноволновых зональных течений с коротковолновой турбулентностью ранее никем не исследовались.
В режиме взаимодействия коротковолновой турбулентности с коротковолновым зональным течением, N = —ф/т, уравнение эволюции спектральной функции (2.67) принимает вид закона сохранения (2.82), в котором
При переходе от уравнения (2.67) к уравнению (2.82) учтено, что, поскольку турбулентность коротковолновая и N = —ф/т, то пк = 9к = 0. Турбулентная генерация зональных течений в плазме Исследуем условия, при которых мелкомасштабная дрейфово-альфвеновская турбулентность приводит к генерации длинноволновых (N = 0) и коротковолновых (N = —ф/т) по отношению к ларморовскому радиусу ионов зональных течений.
Взаимодействие турбулентности с длинноволновым зональным течением описывается уравнениями (2.77) (cN = 0) и (2.82). Полагая пространственно-временную зависимость зонального возмущения в виде ехр(—ШТ + iqX) и линеаризуя эти уравнения относительно возмущений, получаем дисперсионное уравнение где N = fk k значение обобщенного инварианта действия в отсутствие зонального течения. При ширине частотного спектра турбулентности AuJk, превышающей инкремент неустойчивости 7? может иметь место резонансная неустойчивость, инкремент которой определяется уравнением
С точки зрения генерации зональных течений в токамаке интерес представляет турбулентность, близкая к двумерной - электронно-дрейфовая и ионно-дрейфовая. Для электронно-дрейфовой коротковолновой турбулентности из условия (2.89) следует, что она приводит к генерации зонального течения с пространственным масштабом, превышающим ларморовский радиус ионов, L 1 , при выполнении условия дТЦдк , 0. С учетом того, что для такой турбулентности lj? ос Ц2, неустойчивость зонального течения представляется малореалистичной. Для коротковолновой ионно-дрейфовой турбулентности критерий неустойчивости принимает вид
Турбулентная генерация крупномасштабных полей в плазме в 2^-мерной ЭМГД модели
Для получения замкнутой системы уравнений необходимо выразить нелинейные члены в системе уравнений для усредненных полей (2.70)-(2.72) через спектральную функцию турбулентности 1 . Подставляя выражения (2.65) в уравнения (2.70)-(2.72), в главном порядке по отношению пространственных масштабов турбулентности и крупномасштабного возмущения приходим к уравнениям
Ограничиваемся анализом условий, при которых дрейфово-альфвеновская турбулентность приводит к генерации зональных течений в токамаке. Поэтому остаемся строго в рамках идеальной модели (2.57)-(2.59) и не учитываем никаких неидеальных эффектов. Тогда все коэффициенты, определяемые уравнением (2.66), являются действительными и ак = а_к = а, пк = П-к, Ак = А_к. Это означает, что в рамках идеальной двужидкостной МГД модели плазмы отсутствует вклад от дрейфово-альфвеновской турбулентности в усредненный продольный закон Ома (2.73), и турбулентность не приводит к генерации зонального магнитного поля, А = 0. Аналогично, второй член в усредненном уравнении непрерывности (2.74) равен нулю. Тогда уравнения для крупномасштабных зональных возмущений записываются в виде
Сравнивая уравнения (2.76) и (2.77), заключаем, что в случае, когда для типичного волнового числа дрейфово-альфвеновской турбулентности выполняется неравенство ak/L С \пк — ак\, где L - характерный пространственный масштаб зонального течения, возмущение плотности плазмы зональным течением пренебрежимо мало. В этом случае можно положить N = 0 и описывать зональное течение уравнением (2.77). Учитывая определения (2.66), находим, что это имеет место при выполнении условия
В случае, когда члены под знаком квадратного корня сравнимы по порядку величины, условие (2.78) выполняется для зонального течения с длиной волны, существенно превосходящей ларморовский радиус ионов, L 1. Такая турбулентность представляет интерес для физики ионосферы. В случае же почти двумерной турбулентности с Щ\к\{1 + т) С (си е — u; j)2, которая может иметь место в плазме токамака, две ветви коротковолновых колебаний имеют частоты, которые близки к ионно-дрейфовой и электронно-дрейфовой частотам, соответственно:
Это условие выполняется даже для течений с длиной волны порядка ларморовского радиуса ионов (при L 1). Для турбулентности, обусловленной существенно электромагнитной электронно-дрейфовой модой, возмущение плотности пренебрежимо мало, если зональное течение является длинноволновым, L 1.
Противоположный предельный случай ак/L \пк — ак\ может иметь место только для режимов, в которых турбулентность является существенно электромагнитной (ак ф 0), а длина волны зональных течений мала по сравнению с ионным ларморовским радиусом, L С 1. В этом случае N —ф/т, и зональное течение описывается уравнением
Детали перехода от уравнения (2.67) к уравнению (2.82) приведены в работе диссертанта [96]. Величина Nk является обобщенным инвариантом действия. Для коротковолновой турбулентности с к\т 1 выражение для f% упрощается и принимает вид
Режимы взаимодействия длинноволновых зональных течений с коротковолновой турбулентностью ранее никем не исследовались.
В режиме взаимодействия коротковолновой турбулентности с коротковолновым зональным течением, N = —ф/т, уравнение эволюции спектральной функции (2.67) принимает вид закона сохранения (2.82), в котором
При переходе от уравнения (2.67) к уравнению (2.82) учтено, что, поскольку турбулентность коротковолновая и N = —ф/т, то пк = 9к = 0. Турбулентная генерация зональных течений в плазме Исследуем условия, при которых мелкомасштабная дрейфово-альфвеновская турбулентность приводит к генерации длинноволновых (N = 0) и коротковолновых (N = —ф/т) по отношению к ларморовскому радиусу ионов зональных течений.
Взаимодействие турбулентности с длинноволновым зональным течением описывается уравнениями (2.77) (cN = 0) и (2.82). Полагая пространственно-временную зависимость зонального возмущения в виде ехр(—ШТ + iqX) и линеаризуя эти уравнения относительно возмущений, получаем дисперсионное уравнение где N = fk k значение обобщенного инварианта действия в отсутствие зонального течения. При ширине частотного спектра турбулентности AuJk, превышающей инкремент неустойчивости 7? может иметь место резонансная неустойчивость, инкремент которой определяется уравнением
С точки зрения генерации зональных течений в токамаке интерес представляет турбулентность, близкая к двумерной - электронно-дрейфовая и ионно-дрейфовая. Для электронно-дрейфовой коротковолновой турбулентности из условия (2.89) следует, что она приводит к генерации зонального течения с пространственным масштабом, превышающим ларморовский радиус ионов, L 1 , при выполнении условия дТЦдк , 0. С учетом того, что для такой турбулентности lj? ос Ц2, неустойчивость зонального течения представляется малореалистичной. Для коротковолновой ионно-дрейфовой турбулентности критерий неустойчивости принимает вид
