Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА 1. Обзор современных представлений о динамике тиринг-моды в токамаке 11
1.1. Явление перезамыкания магнитных силовых линий и образования магнитных островов в плазме 11
1.2. Вращение магнитных островов в присутствии винтового магнитного поля, создаваемого сторонним током 19
1.3. Экспериментальные исследования особенностей вращения магнитных островов в токамаках 22
ГЛАВА 2. Организация экспериментов на установке Т-10 ...27
2.1. Описание МГД диагностики установки Т-10 27
2.2. Возбуждение гало-токов в пристеночной плазме 37
ГЛАВА 3. Методики обработки сигналов магнитных зондов на основе спектрального анализа и сингулярного разложения 44
3.1. Применение преобразования Фурье в обработке сигналов 44
3.2. Использование функции когерентности в анализе сигналов магнитных зондов 49
3.3. Изучение спектральных характеристик МГД - возмущений методами теории частотно-временных распределений 52
3.4. Определение пространственно-временной структуры МГД-возмущения методом разложения по сингулярным значениям 57
ГЛАВА 4. Применение преобразования гильберта и метода эмпирического модового разложения в мгд диагностике плазмы токамака 63
4.1. Определение амплитудных и частотных характеристик нестационарного колебательного процесса путем построения аналитического сигнала 63
4.2. Метод эмпирического модового разложения сложного колебательного процесса 68
4.3. Определение пространственной структуры МГД-возмущения с помощью преобразования Гильберта-Хуанга 77
ГЛАВА 5. Программный комплекс обработки данных МГД диагностики токамака Т-10 85
5.1. Комплекс программ визуализации и предварительной обработки данных TDF Browser 85
5.2. Спектральный анализ данных в пакете Spectrum Manager 90
ГЛАВА 6. Экспериментальное исследование влияния магнитных полей внешних токов на вращение МГД возмущений в токамаке Т-10 94
6.1 Воздействие переменного гало-тока на вращение МГД возмущения..94
6.2. Воздействие квазистационарного гало-тока, возбуждаемого внешним источником ЭДС, на динамику МГД возмущения 100
6.3. Связь неравномерности вращения МГД возмущения в присутствии паразитного магнитного поля с величиной амплитуды этого возмущения. 105
6.4. Совместная динамика вращения МГД мод с т/п=2/\ и т/п=3/2 в присутствии внешнего магнитного поля 110
Заключение 119
Литература 121
- Вращение магнитных островов в присутствии винтового магнитного поля, создаваемого сторонним током
- Изучение спектральных характеристик МГД - возмущений методами теории частотно-временных распределений
- Определение пространственной структуры МГД-возмущения с помощью преобразования Гильберта-Хуанга
- Воздействие квазистационарного гало-тока, возбуждаемого внешним источником ЭДС, на динамику МГД возмущения
Введение к работе
Актуальность работы
Важную роль в удержании плазмы в токамаке играют происходящие в ней магнитогидродинамические (МГД) процессы. Многие из них связаны с явлением перезамыкания магнитных силовых линий, имеющем место в плазме с конечной проводимостью. В частности, это явление ответственно за развитие в плазме токамака т.н. тиринг-неустойчивости. Ее развитие сопровождается изменением топологии магнитного поля с образованием в окрестности рациональных магнитных поверхностей т.н. магнитных островов. Возникающие при этом возмущения магнитного поля имеют вид винтовьтх магнитных структур. Наличие магнитных островов приводит к ухудшению удержания энергии и частиц в плазме вследствие повышенного переноса через область острова. Понимание законов их развития и влияния на параметры плазмы, а также изучение возможности воздействия на их поведение необходимо для обеспечения требуемого режима разряда,
Наиболее простым и прозрачным способом изучения МГД процессов в плазме токамака является регистрация МГД возмущений полоидального магнитного поля снаружи плазменного шнура с помощью магнитных датчиков. Многочисленные исследования, выполненные на различных токамаках, указывают на связь экспериментально наблюдаемых квазистационарных осцилляции полоидального магнитного поля в диапазоне частот менее 10 кГц с винтовыми магнитными структурами, сопровождающими развитие магнитных островов. Эти винтовые структуры имеют вид бегущих волн, распространяющихся вдоль поверхности плазмы, что указывает на вращение связанных с ними магнитных островов.
На характер вращения магнитных островов сильное влияние оказывают винтовые магнитные поля, источники которых находятся снаружи плазмы. Такие квазистационарные паразитные магнитные поля, связанные с
рос. национальная
бч5лі;отекл з
С-Петербург ОЭ 'Ж<км (Р
неидеальностыо сборки магнитной системы, всегда присутствуют в токамаках. Воздействие этих полей вызывает неравномерность вращения магнитных островов, а при достаточно большой амплитуде приводит к снижению частоты, вплоть до полной остановки вращения. При этом исчезает стабилизирующее действие проводящей стенки вакуумной камеры токамака, в результате в процессе роста магнитные острова достигают большего размера, что может приводить к развитию неустойчивости срыва. Замедление вращения магнитных островов также должны вызывать переменные магнитные поля, связанные с наводимыми МГД возмущениями токами в стенке вакуумной камеры и гало-токами, текущими в пристеночной области плазмы (SOL).
Экспериментальное изучение взаимодействия вращающихся магнитных островов с внешними магнитными полями дает возможность, во-первых, получить информацию о физических механизмах влияния магнитного поля на вращение магнитных островов, а во-вторых, использовать неравномерность вращения для идентификации паразитного поля в токамаке. Кроме этого, полученные результаты могут быть востребованы при разработке систем стабилизации классической и неоклассической тиринг-неустойчивости в токамаке-реакторе. Цель работы
Разработка методов анализа пространственно-временных характеристик МГД возмущений в токамаке.
Изучение влияния на вращение магнитного острова переменных гало-токов в пристеночной области плазмы, наводимых МГД возмущением, связанным с этим островом.
Исследование динамики вращения винтовых магнитных структур, связанных с магнитными островами, в присутствии квазистационарных внешних магнитных полей и токов в пристеночной области плазмы токамака.
Научная новизна
Автором впервые было применено преобразование Гильберта-Хуанга для анализа пространственно-временной структуры МГД возмущений в токамаке.
Впервые экспериментально продемонстрировано замедление вращения магнитного острова под воздействием гало-токов, наведенных МГД возмущением, связанным с этим островом.
Впервые экспериментально осуществлено воздействие на частоту вращения и степень неравномерности вращения магнитных островов квазистационарным гало-током, возбуждаемым внешним источником в пристеночной области плазмы.
Впервые экспериментально исследована зависимость степени неравномерности вращения магнитных островов от амплитуды связанных с ними полей МГД возмущения.
Впервые показано наличие связи между двумя пространственно ортогональными МГД возмущениями, определяющей совместную динамику их неравномерного вращения. Научная и практическая ценность
Экспериментальные результаты данной диссертации могут быть использованы для уточнения теоретических моделей, описывающих динамику тиринг-моды в токамаке, а также при разработке систем стабилизации классической и неоклассической тиринг-неустойчивости в токамаке-реакторе.
Новая методика обработки экспериментальных данных МГД диагностики может быть применена в любом измерительном комплексе, предназначенном для исследования не стационарных нелинейных колебательных процессов.
Разработанное программное обеспечение также может быть применено в составе различных измерительных комплексов. Автор выносит на защиту:
1. Разработанный аппаратно-программный комплекс регистрации, сбора и
архивации данных МГД-диагностики токамака Т-10.
Методики обработки экспериментальных данных, использующие понятие аналитического сигнала и метод эмпирической модовой декомпозиции для анализа пространственно-временных характеристик МГД возмущений.
Программный комплекс обработки данных МГД диагностики токамака Т-10.
Результаты экспериментальных исследований воздействия на вращение магнитных островов переменного гало-тока, возбуждаемого МГД возмущением втокамакеТ-10.
Результаты экспериментов по воздействию квазистационарного гало-тока, возбуждаемого внешним источником ЭДС в пристеночной области плазмы, на вращение МГД возмущений в токамаке Т-10,
Результаты исследования зависимости степени неравномерности вращения МГД возмущения от его амплитуды в токамаке Т-10.
Результаты экспериментального исследования совместной динамики вращения пространственно ортогональных мод МГД возмущения в токамаке Т-10.
Апробация работы
Результаты, изложенные в работе, докладывались на 18-ой Международной конференции по энергии синтеза (2000), 30-ой, 32-ой и 33-ей Европейских конференциях по физике плазмы и управляемому термоядерному синтезу (2003-2006). Результаты исследований неоднократно докладывались на научных семинарах ИЯС РНЦ «Курчатовский Институт». Публикации
По материалам диссертации опубликовано 9 научных работ, в том числе З в реферируемых журналах. Список работ приведен в конце автореферата. Структура и обьем диссертации
Диссертация состоит из введения, шести глав, заключения и списка цитируемой литературы (125 стр., 61 рис., 54наим. цит. лит.).
Вращение магнитных островов в присутствии винтового магнитного поля, создаваемого сторонним током
Экспериментальное изучение взаимодействия вращающихся магнитных островов с внешними магнитными полями дает возможность, во-первых, получить информацию о физических механизмах влияния магнитного поля на вращения магнитных островов, а во-вторых, использовать особенности вращения для идентификации паразитного поля в токамаке. Кроме этого, полученные результаты могут быть востребованы при разработке систем стабилизации классической и неоклассической тиринг-неустойчивости в токамаке-реакторе.
Целью работы является исследование динамики вращения винтовых магнитных структур, связанных с магнитными островами, при наличии внешних винтовых магнитных полей и токов в токамаке Т-10. Диссертация состоит из введения, шести глав и заключения.
В работе используется следующая терминология. Пространственная гармоника тиринг-неустойчивости с полоидальным волновым числом т и тороидальным волновым числом п называется тиринг-модой т/п. Магнитный остров, возникающий при развитии тиринг-моды т/п, называется магнитным островом т/п или просто островом т/п. Возникающие при развитии тиринг-неустойчивости возмущения магнитного поля снаружи плазменного шнура называются тиринг-возмущениями. Их пространственная гармоника, соответствующая тиринг-моде, называется тиринг-возмущением т/п. Когда в тексте речь идет об экспериментально наблюдаемых при развитии МГД неустойчивости возмущениях полоидального магнитного поля, то используется термин МГД возмущение. Соответственно пространственная гармоника т/п называется МГД возмущением т/п. В ряде мест из стилистических соображений обозначение т/п ставится не после, а перед соответствующим термином, например т/п тиринг-мода или т/п МГД возмущение.
При анализе временной эволюции сигналов магнитных зондов используется термин частота вращения или просто частота моды или частота МГД возмущения. В тех случаях, когда в тексте обсуждается движение магнитных островов или соответствующих им тиринг-мод, используется термин угловая скорость вращения.
Употребляющийся в ряде параграфов термин "вжтовостъ" является калькой с английского термина "helicity" и отражает угол наклона силовой линии общего магнитного поля плазмы относительно направления тороидального магнитного поля.
В первой главе дан обзор современных представлений о неустойчивости тиринг-моды в токамаке. Рассмотрены теоретические модели, описывающие рост и динамику магнитных островов. Особое внимание уделено вращению магнитных островов в присутствии внешних винтовых магнитных полей. Дан краткий обзор экспериментальных исследований особенностей вращения магнитных островов в токамаках.
Во второй главе описана организация экспериментов на установке Т-10. Приводятся основные параметры установки Т-10, описан программно-аппаратный комплекс сбора и регистрации данных МГД диагностики. Рассмотрена методика возбуждения гало-токов в пристеночной плазме.
В третьей главе описаны современные методики анализа пространственных и временных реализаций сигналов МГД диагностики, применяемые на современных установках. Рассмотрены вопросы спектральной обработки данных и частотной фильтрации. Описаны методы построения частотно-временных распределений для экспериментальных данных с помощью оконного Фурье-преобразования и вейвлет-анализа, а также метод разложения по сингулярным значениям (SVD).
Четвертая глава посвящена применению в МГД диагностике новых методик обработки сигналов магнитных зондов на основе понятия аналитического сигнала и преобразования Гильберта-Хуанга. Особое внимание уделено временному и пространственному разделению компонент МГД-возмущения с помощью алгоритма эмпирической модовой декомпозиции.
В пятой главе приведен обзор программного комплекса обработки данных МГД-диагностики установки Т-10. Описаны функциональные возможности и интерфейсы программных компонент разработанного комплекса. Даны примеры обработки сигналов магнитных датчиков диагностического комплекса.
В шестой главе описаны результаты исследования особенностей динамики вращения МГД возмущений в присутствии внешних магнитных полей. Рассмотрено воздействие на вращение МГД возмущения переменного гало-тока, возбуждаемого полями МГД возмущения, и квазистационарного гало-тока, возбуждаемого внешним источником ЭДС. Исследуются особенности вращения в случае больших и малых амплитуд поля МГД возмущения. Анализируются особенности совместной динамики вращения двух пространственно ортогональных мод МГД возмущения. Обсуждается качественное соответствие экспериментальных результатов выводам из теоретической модели, описывающей эволюцию тиринг-моды в присутствии внешних токов, которая представлена в главе 2.
Автором впервые были использованы понятие аналитического сигнала и метод эмпирической модовой декомпозиции для анализа пространственно-временной структуры МГД возмущений в токамаке. Впервые экспериментально продемонстрировано замедление вращения магнитных островов под воздействием гало-токов, наведенных МГД возмущением. Впервые экспериментально осуществлено воздействие на частоту вращения и степень неравномерности вращения магнитных островов квазистационарным гало-током, возбуждаемым внешним источником. Впервые показана возможность компенсации паразитного магнитного поля полем гало-тока. Впервые экспериментально исследована зависимость степени неравномерности вращения магнитных островов от амплитуды связанных с ними полей МГД возмущения. Впервые экспериментально исследованы особенности совместной динамики неравномерного вращения двух пространственно ортогональных тиринг-мод в токамаке, указывающие на наличие связи между ними.
Изучение спектральных характеристик МГД - возмущений методами теории частотно-временных распределений
Данная методика, примененная для исследования особенностей динамики т/п = 2/1 моды тиринг-возмущения на токамаке Т-10 в режимах с периодическим повторением mode locking, позволила изучить зависимость мгновенной частоты вращения от ее пространственной фазы и амплитуды [20]. При этом было показано, что при пульсациях амплитуды возмущения mode locking происходит обычно при больших значениях амплитуды, причем значения полоидальной пространственной фазы возмущения в моменты mode locking остаются приблизительно постоянными. В качестве возможной причины постоянства фазы в [20] назывались стационарные возмущения магнитного поля, вызванные неидеальностью сборки магнитной системы токамака. В работе [22] данная методика использовалась при изучении воздействия возбуждаемого контактным способом в SOL гало-тока на вращение магнитных островов. Было показано, что поле гало-тока при одном его направлении суммируется с паразитным рассеянным полем (error field) и увеличивает неравномерность вращения магнитных островов, а при противоположном может его частично компенсировать и уменьшать неравномерность вращения островов. При достаточных величинах гало-тока любого направления удавалось полностью останавливать вращение магнитного острова.
Другая экспериментальная методика исследования особенностей вращения магнитных островов в присутствии внешнего квазистационарного магнитного поля соответствующей пространственной структуры была реализована на токамаке TEXT-U [21]. Она базировалась на модифицированном методе комплексной демодуляции для обработки сигналов магнитных зондов [23]. С помощью данной методики продемонстрировано уменьшение средней частоты вращения и рост отношения первой высшей гармоники сигналов магнитных зондов к основной гармонике при увеличении внешнего магнитного поля. Эти зависимости находились в хорошем согласии с результатами, полученными при анализе поведения тиринг-моды в присутствии магнитного поля в рамках простой физической модели.
Еще один метод анализа нестационарных сигналов магнитных зондов, использующий формализм так называемого аналитического сигнала, недавно предложен для изучения особенностей вращения тиринг-мод в токамаках [24]. Он успешно применялся в экспериментах по воздействию электромагнитной системы управления на магнитные острова в токамаке НВТ-ЕР [25, 26]. Дальнейшее развитие этого метода, связанное с понятием мгновенной частоты аналитического сигнала, позволило определить вариацию мгновенной частоты вращения тиринг-моды в течение одного периода осцилляции [27].
На практике, при вычислении квадратурных компонент Bc(t) и Bs(i) сталкиваются с искажениями пространственного распределения возмущения полоидалыюго поля из-за тороидальности плазменного шнура, его возможного смещения относительно центра камеры, а также одновременного наличия нескольких тиринг-мод. При этом простое пространственное Фурье разложение на косинусные и синусные компоненты гармоник в цилиндрическом приближении может приводить к существенным ошибкам в вычислении квадратурных компонент. В ряде случаев данная проблема может быть решена применением метода эмпирической модовой декомпозиции для разложения многомодового возмущения на отдельные моды с последующей их идентификацией, а также определением амплитуд и пространственных фаз путем построения пространственного аналитического сигнала [28, 29].
Эксплуатация установки Т-10 была начата в 1975 году. Установка представляет собой токамак с круглым поперечным сечением, вакуумная камера которого имеет большой радиус Я = 1,5 м и малый радиус 0,41 м. Плазменный шнур ограничивается по малому радиусу кольцевой диафрагмой, расположенной на расстоянии 0,33 м от центра камеры, а также подвижной рельсовой диафрагмой. Величина магнитного поля в рабочих режимах составляет 1,6 -f 2,5 Т, ток плазмы 60 -г 330 кА, длительность разряда « 1 с. Средняя электронная плотность плазмы варьируется в пределах (пе) = (0.6 -г 3)»1019 т 3.
Комплекс МГД диагностики на токамаке Т-10 включает две системы магнитных датчиков (магнитных зондов), блок усилителей, аналоговый Фурье-анализатор, две рабочих станции (рис. 7). Первая система зондов состоит из 24 датчиков, расположенных равномерно по периметру полоидального сечения внутри трубчатого контейнера, изготовленного из нержавеющей стали. Влияние контейнера на сигнал эквивалентно воздействию RC-цепи с постоянной времени 14 мкс. Магнитный датчик представляет собой катушку с nS = 243 см -виток, в которой магнитное поле МГД возмущения наводит ЭДС. Вторая система состоит из 5 высокочастотных датчиков с nS = 10 см2-виток, находящихся в керамических контейнерах на расстоянии 2,5 см друг от друга.
Сигналы датчиков усиливаются блоком предварительных усилителей, частотный диапазон которых для первой системы зондов составляет 0-50 кГц, а для системы высокочастотных датчиков 0 - 500 кГц. После усиления сигналы зондов поступают в АЦП рабочей станции РС-1, расположенной непосредственно в зоне установки для уменьшения помех, наводимых на коммуникационных линиях. 32-хканальное АЦП L-783 производства L-card, Россия, является 12-ти разрядным, с последовательным опросом.
Определение пространственной структуры МГД-возмущения с помощью преобразования Гильберта-Хуанга
Наличие в технологической схеме формирования разряда токамака Т-10 ограничивающей плазменный шнур подвижной рельсовой диафрагмы предоставляло возможность возбуждать в пристеночной области плазмы (SOL) контактным образом гало-ток. При этом в качестве одного электрода использовались изолированная от камеры рельсовая диафрагма, а в качестве другого - стенка разрядной камеры, которые соединялись внешней электрической цепью (рис. 13).
Естественно предположить, что в экспериментах на Т-10 гало-ток протекал в области поверхности плазмы от рельсовой диафрагмы вдоль винтовой силовой линии магнитного поля, постепенно ослабляясь за счет утечки на какие либо ограничивающие сечение плазмы элементы вакуумной камеры и на ее стенку вследствие наличия поперечной электропроводности плазмы в SOL. Эта утечка определяла эффективную длину участка цепи гало-тока в плазме. Ограниченность размеров участка гало-тока в полоидальном и тороидальном направлениях приводила к довольно богатому спектру пространственных гармоник. При таком рассмотрении можно считать, что вблизи границы плазмы, контактирующей с рельсовой диафрагмой, формировался плазменный проводник с винтовостью, соответствующей q(a), вдоль которого протекал гало-ток.
В экспериментах внешняя электрическая цепь имела различную конфигурацию. В одном случае она представляла собой простую короткозамкнутую цепь, содержащую только измеряющий гало-ток шунт с сопротивлением 0.01 Ом. При этом источником ЭДС являлся плазменный шнур. В другом случае внешняя цепь содержала источник ЭДС в виде конденсаторной батареи с управляемым контактором или в виде мощного усилителя, возбуждаемого внешним программируемым сигналом. В последнем случае источником питания усилителя служила конденсаторная батарея. В зависимости от целей эксперимента величина емкости конденсаторной батарей варьировалась в пределах от 100 мкФ до 32 мФ. Усилитель мог возбуждать гало-токи с амплитудой до 500 А в диапазоне частот 0-20 кГц. Уменьшение во времени амплитуды гало-тока определялось разрядкой конденсатора в его системе питания. Для снижения влияния плавающего электрического потенциала рельсовой диафрагмы при разомкнутом положении контактора диафрагма была постоянно замкнута на камеру активным сопротивлением 3 Ом.
Для оценки электротехнических характеристик винтового плазменного проводника были проведены измерения максимальной величины возбуждаемого тока при различных значениях напряжения на ёмкости. Возбуждение гало-тока внешней ЭДС проводилось при выдвинутой рельсовой диафрагме, ограничивающей малый радиус плазмы до 27 - 28 см.
Результаты измерений представлены на рис. 14. Из рисунка видно, что во всём диапазоне используемых нами напряжений не наблюдается тенденция к насыщению возбуждаемого тока. Величина активного сопротивления «гало»-проводника, полученная из анализа приведённой зависимости составляет -0.45 Ом.
Для определения пространственной структуры магнитного поля гало-тока вдоль малого обхода тора использовались магнитные зонды, расположенные в сечении, удалённом на четверть большого обхода тора от рельсовой диафрагмы. Для проведения измерений подбирался режим разряда с q(a) 3 и малым уровнем МГД возмущений, имеющих частоты в области -10 кГц. Длительность возбуждаемого импульса гало-тока составляла около 200 мкс, а величина достигала нескольких сотен ампер. В этих условиях спектры МГД активности и тока перекрывались относительно слабо, что позволило надёжно выделять сигналы отклика с магнитных датчиков, соответствующие импульсу гало-тока.
На рис. 15 представлены результаты измерений нормированных на амплитуду гало-тока пространственных распределений возмущений полоидального поля, возбуждаемых гало-током для двух разрядов, различающихся направлением тороидального магнитного поля, т.е. винтовостью. Моменты времени, которым соответствуют распределения, показаны на верхних графиках пунктиром.
Как видно из рисунков, при изменении знака винтовости магнитного поля пространственное распределение возмущений полоидального магнитного поля, связанное с возбуждением гало-тока, проворачивается вдоль азимутального угла. Это согласуется с предпосылкой, что гало-ток течёт вдоль магнитного поля преимущественно по плазменному проводнику.
Фурье анализ пространственных распределений возмущения полоидального магнитного поля показал наличие пространственных гармоник с полоидальными числами т = 1 - 6 . Амплитуды гармоник, нормированные на амплитуду гало-тока, представлены на рис. 16.
Таким образом, на основании проведенных исследований можно сделать вывод о возможности достаточно эффективного возбуждения низших пространственных гармоник с т = 1, 2, 3 и амплитудами в несколько сотен мкТ при гало-токах в несколько сотен ампер.
Воздействие квазистационарного гало-тока, возбуждаемого внешним источником ЭДС, на динамику МГД возмущения
Для преодоления упомянутого в предыдущем параграфе ограничения на монокомпонентность исследуемого сигнала можно использовать недавно разработанную методику преобразования Гильберта-Хуанга (Hilbert-Huang Transform или ННТ), основанную на разложении исходной функции x(t) в набор монокомпонентных составляющих /(/) и построении для каждой из них соответствующего аналитического сигнала [40, 41]. Это дает возможность определить такие текущие спектральные параметры монокомпонентных составляющих x,{t), как амплитуда, фаза и мгновенные частота, позволяющие судить о динамических характеристиках объекта, поведение которого описывает x(t). Следует заметить, что монокомпонентные составляющие анализируемого сигнала МГД-диагностики часто соответствуют отдельным, в общем случае нестационарным нелинейным колебательным процессам, связанным с МГД-неустойчивостями плазмы.
Сам метод разложения, получивший название Empirical Mode Decomposition (EMD), заключается в последовательном вычислении компонент Xi(t), имеющих вид амплитудно- и частотно- модулированных осцилляции. Поскольку сигналы магнитных зондов в токамаке представляют собой осцилляции с переменной амплитудой и частотой, метод EMD подходит для их обработки.
На начальном этапе с помощью EMD производится разложение на монокомпонентные составляющие исходной функции x(t), t є [a, b] с помощью предложенного в [40, 41] алгоритма, в основе которого лежит следующая идея. На отрезке [а, Ь] находятся все экстремумы функции x(t). Через локальные максимумы и минимумы функции x(t) путем интерполяции кубическими сплайнами проводятся соответственно верхняя u(i) и нижняя d(t) огибающие, как показано на рис. 32-я. Далее вычисляется среднее значение огибающих m(t)=[u(t)+d(t)]/2, которое затем вычитается из исходной функции x(t), устраняя в первом приближении локальный тренд (рис. 32-6). Далее функция x(t) - m(t) (рис. 32-е) рассматривается как исходная, и к ней применяется описанная выше процедура по устранению локального тренда. Цикл этих итераций продолжается до тех пор, пока среднее значение огибающих в очередной итерации не будет достаточно мало, чтобы удовлетворять некоторому критерию на отрезке [а, Ь]. В результате окончания цикла итераций имеем функцию x0(t), удовлетворяющую условию монокомпонентности (рис. 32-г). Вычитая полученную монокомпонентную составляющую из исходного сигнала x(t) и применяя к остатку x(t) - xo(t) описанный выше цикл итераций, получаем вторую монокомпонентную составляющую X](t). Вычитая ее вместе с ранее определенной составляющей из исходного сигнала и снова применяя к остатку x(f) - Xo(t) - xi(t) вышеописанный цикл итераций, получаем следующую монокомпонентную составляющую X2(t). Данный процесс продолжается до тех пор, пока остаток не будет представлять собой неосциллирующий на отрезке [а, Ь] глобальный тренд, или остаток не будет удовлетворять условию малости отклонения от нуля среднего значения огибающих m{t). Таким образом, в результате EMD получаем разложение исходной функции на сумму монокомпонентных составляющих и остаток в виде тренда, в котором осцилляции отсутствуют или их амплитуда не превышает заранее заданного порогового значения.
Одной из серьезных проблем, возникающих при практической реализации алгоритма, является наличие расходимости на концах отрезка задания функции при вычислении верхней и нижней огибающих с помощью сплайн интерполяции. В процессе работы алгоритма расходимость распространяется от концов отрезка внутрь, искажая выделяемые компоненты, а для функций, заданных на коротком отрезке, это может приводить к недостоверным результатам разложения. Для решения этой проблемы может быть применен ряд способов, начиная от сглаживания функции на краях и заканчивая экстраполяцией функции за пределами исследуемого отрезка методами зеркального отражения или нейронных сетей [44, 46, 47]. При анализе данных МГД диагностики установки Т-10 длительность экспериментального сигнала, как правило, значительно превышала длительность исследуемого отрезка времени. Для устранения влияния концевых эффектов исследуемый отрезок времени увеличивался на 5% в обе стороны, проводилось сглаживание на краях и применялась линейная экстраполяция компонент при сплайн-интерполяции. В результате появляющаяся на краях расходимость не распространялась внутрь исследуемого отрезка далее чем на 5% с обеих сторон. По окончании разложения добавленные раннее участки сигнала отбрасывались, так что расходимость не влияла на сигнал в интересующем нас диапазоне времени.
Сравнивая методику EMD со спектральными методами, следует заметить, что в первом случае разложение производится в пространстве временных реализаций, а во втором случае в пространстве спектральных образов. При этом отсутствует заранее заданный набор базисных функций, по которому производится разложение, в отличие от спектральных методов с набором гармонических функций в качестве базиса разложения. Таким образом, использование методики EMD не накладывает априорных требований к форме осцилляции отдельных компонент, кроме весьма слабого условия монокомпонентности. Как показано в [40, 41], получаемые в результате EMD монокомпонентные составляющие с достаточной точностью взаимно ортогональны. Это обстоятельство позволяет рассматривать EMD как разложение по базисным функциям, определяемым самим характером анализируемого сигнала, то есть используемый базис в некотором смысле является адаптивным.
