Содержание к диссертации
Введение
Глава 1 Описание динамики заряженных частиц в нелинейной теории бесстолкновительной плазмы .
1.1 Основные исходные положения.
1.2 Решение задачи Коши для линейного однородного уравнения в частных производных первого порядка с помощью первых интегралов.
1.3 Решение задачи Коши методом интегрирования по начальным данным.
1.4 Решение начальной задачи Коши для уравнения Власова методом интегрирования по начальным данным .
1.5 Решение граничной задачи Коши для уравнения Власова методом интегрирования по начальным данным.
1.6 Метод интегрирования по начальным данным и неоднородные кинетические уравнения
1.7 Примеры решения начальных и граничных задач для уравнения Власова методом интегрирования по начальным данным.
Глава 2 Нелинейная нерелятивистская теория резонансного пучково - плазменного взаимодействия .
2.1 Основные уравнения нелинейной теории. 42
2.2. Метод разложения траекторий. 50
2.3. Нелинейная динамика коллективного эффекта Черенкова. 56
2.4. Резонансное возбуждение вторых гармоник возмущения плотности плазмы и пучка. Нелинейные спектры ленгмюровских волн . 63
2.5. Некоторые вопросы теории пучково - плазменной неустойчивости, развивающейся в режиме одночастичного эффекта Черенкова. 71
Глава 3 Нелинейная динамика параметрических неустойчивостей при коллективном эффекте Черенкова .
3.1 Нелинейные уравнения трёхволнового взаимодействия. 76
3.2 Разложение траекторий с точностью до нелинейности третьего порядка. Общая структура нелинейного потенциала . 82
3.3 Нелинейная динамика распадной неустойчивости. 87
3.4 Нелинейная динамика взрывной неустойчивости. 89
3.5 Резонансное четырёхволновое взаимодействие. 92
Глава 4. Нелинейная динамика неустойчивости Бунемана .
4.1 Вывод нелинейных уравнений бунемановской неустойчивости. 94
4.2 Линейный анализ. 97
4.3 Численное моделирование бунемановской неустойчивости в поперечно неоднородной системе. Режим сильного взаимодействия. 99
4.4 Нелинейная динамика неустойчивости Бунемана в приближении кубичной нелинейности. Режим слабого взаимодействия . 103
4.5 Качественный учёт постоянной составляющей электрического поля в случае нерелятивистских пучков. 108
4.6 Вывод общего непотенциального дисперсионное уравнения линейной теории бунемановской неустойчивости. Порог развития неустойчивости Бунемана. 113
4.7 Качественный учёт постоянной составляющей электрического поля при неустойчивости Бунемана в случае релятивистских электронов. 118
Глава 5 Релятивистские нелинейные уравнения взаимодействия прямолинейного электронного пучка с плазмой. Непотенциальная линейная теория .
5.1 Вывод основных нелинейных уравнений релятивистской теории черенковской пучковой неустойчивости в плазме. 121
5.2 Законы сохранения. 130
5.3 Дисперсионное уравнение линейной теории. 132
5.4 Классификация режимов черенковских пучковых неустойчивостей в плазменных волноводах. 134
Глава 6 Релятивистская нелинейная теория пучково-плазменного взаимодействия в режиме коллективного эффекта Черенкова .
6.1 Нелинейные уравнения высокочастотной черенковской неустойчивости плотного релятивистского электронного пучка в линейной плазме. 149
6.2 Нелинейная динамика высокочастотной неустойчивости в приближении кубичной нелинейности. Метод разложения импульсов. 152
6.3 Результаты численного моделирования высокочастотной неустойчивости. 157
6.4 Нелинейные уравнения низкочастотной черенковской неустойчивости плотного релятивистского электронного пучка в плазме. 166
6.5 Нелинейная динамика низкочастотной неустойчивости в приближении кубичной нелинейности. 171
6.6 Результаты численного моделирования низкочастотной неустойчивости. 175
Глава 7 Нелинейная теория высокочастотной черенковской неустойчивости плотного релятивистского электронного пучка в плотной нелинейной плазме. Режим коллективного взаимодействия .
7.1 Формулировка задачи и исходные нелинейные уравнения. 182
7.2 Разложение траекторий и импульсов электронов с точностью до нелинейности третьего порядка. 185
7.3 Нелинейная динамика коллективного черенковского взаимодействия релятивистского электронного пучка с плотной нелинейной плазмой в приближении кубичной нелинейности. 192
7.4 Результаты численного моделирования. 197
Глава 8 Релятивистская теория рассеяния линейно поляризованных электромагнитных волн на незамагниченном пучке электронов .
8.1 Нерелятивистская нелинейная теория. 208
8.2 Релятивистская теория: вывод нелинейных уравнений. 215
8.3 Линейная теория. 222
8.4 Механизмы нелинейной стабилизации. 225
8.5 Разложение траекторий и импульсов в режиме коллективного рассеяния. 227
8.6 Эффект энергетической группировки. 233
Приложение 1. Численное моделирование одночастичной резонансной черенковскои неустойчивости ультрарелятивистского электронного пучка в плазме вблизи порога.
- Решение начальной задачи Коши для уравнения Власова методом интегрирования по начальным данным
- Резонансное возбуждение вторых гармоник возмущения плотности плазмы и пучка. Нелинейные спектры ленгмюровских волн
- Разложение траекторий с точностью до нелинейности третьего порядка. Общая структура нелинейного потенциала
- Нелинейная динамика неустойчивости Бунемана в приближении кубичной нелинейности. Режим слабого взаимодействия
Введение к работе
Актуальность работы
Впервые явление резонансной пучково-плазменной неустойчивости, представляющее собой вынужденное черенковское излучение прямолинейным электронным пучком собственных электромагнитных волн плазмы, было описано в работах А.И. Ахиезера, Я.Б. Файнберга [1] и Д. Бома, Е. Гросса
И-
Начало создания последовательной нелинейной теории резонансного пучково-плазменного взаимодействия относится к основополагающим работам В.Д. Шапиро, В.И. Шевченко с соавторами [3-9], а также Р.И. Ковтуна, А.А. Рухадзе [10]. В данных работах исследовалось взаимодействие нерелятивистских или слаборелятивистских электронных пучков малой плотности с потенциальными ленгмюровскими волнами плазмы. Полученные результаты показали, что насыщение неустойчивости связано с захватом электронов пучка плазменной волной и приводит к полной модуляции пучка по плотности. Отсутствие в уравнениях пучково-плазменного взаимодействия малого параметра фактически свидетельствовало о невозможности создания строгой аналитической нелинейной теории явления пучковой неустойчивости в плазме. Так, например, предпринятая в [11] попытка получить приближённые аналитические решения, основанная на предположении о наличии у замоду-лированного пучка в плазме равновесных состояний, оказалась не вполне успешной, поскольку, вследствие сателлитной неустойчивости равновесные состояния пучка сами оказываются неустойчивыми.
Последующие теоретические исследования физических механизмов электромагнитного взаимодействия пучков с плазмой показали, что существуют различные режимы пучково-плазменных неустойчивостей [12-24]. Выяснилось, что в зависимости от значений плотностей электронов пучка и плазмы, их пространственного распределения и других геометрических фак-
торов, степени релятивизма пучка, величины внешнего магнитного поля, могут реализовываться следующие основные режимы [25-28]: одночастичный вынужденный эффект Черенкова, коллективный вынужденный эффект Че-ренкова, томсоновское излучение и рассеяние, рамановское излучение и рассеяние, аномальный эффект Доплера, а также многие разновидности и комбинации перечисленных режимов резонансных неустойчивостей.
Оказалось, что многие из перечисленных выше неустойчивостей стабилизируются при достаточно слабой нелинейности, при малых амплитудах плазменной и пучковой волн. Это говорит о наличии в теории малого параметра, определяющего связь пучковой и плазменной подсистем, и делает возможным аналитическое описание нелинейной динамики соответствующих режимов пучково-плазменных неустойчивостей.
В связи со сказанным разработка, развитие и обоснование аналитических методов описания нелинейной динамики пучково-плазменных неустойчивостей представляются весьма актуальными. Актуально и применение развитых аналитических методов к решению конкретных задач физики плазмы и плазменной СВЧ-электроники. Данным вопросам и посвящена настоящая диссертационная работа.
Цели и задачи работы
Разработка аналитических методов нелинейной теории резонансных неустойчивостей плотных электронных пучков в пространственно - ограниченных плазменных системах.
Последовательный учет релятивистских и непотенциальных эффектов в нелинейной теории пучково-плазменных неустойчивостей.
Применение разработанных аналитических методов для описания нелинейных процессов, в которых реализуются коллективные режимы пучково-плазменных и электрон-ионных взаимодействий, а также процессов рассеяния плазменных и электромагнитных волн на электронных пучках.
Основная идея работы
Наиболее общее описание нелинейных стадий пучково-плазменных не-устойчивостей в отсутствии столкновений основано на кинетическом уравнении Власова для одночастичных функций распределения частиц - электронов пучка, электронов (и ионов) плазмы.
Мощный и универсальный метод решения кинетического уравнения Власова основан на представлении одночастичной функции распределения в виде интеграла по начальным данным фазовых (координата - импульс) траекторий частиц. Метод удобен как при численном моделировании, так и при аналитических исследованиях пучково-плазменных неустойчивостей.
Аналитическое описание пучково-плазменных неустойчивостей и других процессов, развивающихся в коллективных режимах, должно проводиться посредством разложения фазовых (координата - импульс) траекторий частиц по степеням малого параметра взаимодействия пучковой и плазменной подсистем.
Проверка эффективности аналитических решений, полученных разложением фазовых траекторий частиц, осуществляется сравнением с численными решениями, основанными на представлении одночастичной функций распределения в виде интегралов по начальным данным.
Научная новизна
В ходе выполнения работы впервые:
Разработан и строго обоснован метод решения задачи Коши для кинетического уравнения Власова с начальными и граничными условиями, заключающийся в представлении одночастичной функции распределения в виде интеграла по начальным данным фазовых траекторий частиц.
Разработаны и строго обоснованы методы разложения уравнений поля по возмущениям траекторий и импульсов частиц, позволяющие аналитически описывать неустойчивости, развивающиеся в режимах типа коллективного эффекта Черенкова нерелятивистского и релятивистского пучков.
3. Методами разложения траекторий и импульсов аналитически исследована
нелинейная динамика следующих процессов:
коллективного черенковского взаимодействия плотного нерелятивистского электронного пучка с нелинейной плазмой;
трехволновых и четырёхволновых резонансных взаимодействий двух электромагнитных волн с одной и двумя пучковыми волнами плотности заряда при слабой дисперсии последних;
резонансной бунемановской неустойчивости в условиях слабой связи электронных и ионных ленгмюровских полей;
высокочастотной и низкочастотной неустойчивостей релятивистского электронного пучка, развивающихся в режиме коллективного эффекта Че-ренкова в линейной плазме.
Исследована нелинейная динамика резонансной бунемановской неустойчивости в существенно не одномерной электрон-ионной плазме с учётом электромагнитных полей, создаваемых изменяющейся постоянной составляющей электронного тока в нерелятивистском и релятивистском случаях.
Разработана релятивистская теория рассеяния линейно поляризованных волн на незамагниченном пучке электронов.
Получены точные граничные условия для полной нестационарной системы уравнений электромагнитного поля в цилиндрическом плазменном резонаторе с коаксиальной системой вывода излучения.
Практическая и научная значимость работы
Разработанные в диссертационной работе методы решения кинетического уравнения Власова, а также методы разложения траекторий и импульсов частиц могут быть использованы:
при теоретическом исследовании резонансных нелинейных явлений, возникающих при взаимодействии электронных пучков с волнами в плазме и иных диспергирующих средах;
при решении прикладных задач в релятивистской СВЧ-электронике;
при разработке источников электромагнитного излучения, принцип действия которых основан на коллективных режимах развития пучково-плазменного взаимодействия;
при разработке новых теоретических курсов по физике плазмы и плазмо-подобных сред, использующих новые методы исследования в области нелинейной плазмы и учитывающих современные достижения в этой области.
Достоверность результатов диссертации устанавливается:
сравнением результатов, полученных с помощью предложенных в работе аналитических методов с результатами численного моделирования;
сравнением с результатами расчётов, проводимых другими исследователями.
На защиту выносится
Метод решения кинетического уравнения Власова в постановке начальной и граничной задач, основанный на представлении одночастичной функции распределения в виде интеграла по начальным данным фазовых траекторий частиц. Критерием применимости метода является отсутствие в системе дис-сипативных сил. В случае граничной задачи (задача инжекции) метод интегрирования по начальным данным применим приближённо в случае малого изменения скорости частиц в направлении инжекции.
Метод разложения траекторий частиц, основная идея которого состоит в представлении координат частиц пучка и плазмы в виде суммы двух слагаемых, описывающих, соответственно, поступательное (усреднённое) движе-ниє данных частиц и их колебательное движение. Для амплитуд гармоник колебательного движения получаются бесконечные зацепляющиеся системы обыкновенных дифференциальных уравнений с алгебраическими рациональными нелинейностями бесконечного порядка. При коллективных режимах развития неустойчивостей есть малый параметр теории, позволяющий оборвать цепочки уравнений и понизить порядок нелинейностей. Метод разложения траекторий является основным при аналитическом исследовании нели-
нейных коллективных процессов нерелятивистских пучков.
3. Метод разложения релятивистских импульсов частиц пучка, заключаю
щийся в представлении импульсов в виде суммы двух функций, одна из ко
торых описывает действие средней силы реакции излучения, а другая харак
теризует колебательное движение частиц. Для амплитуд гармоник колебаний
импульса получаются системы обыкновенных дифференциальных уравнений
первого порядка с алгебраическими иррациональными нелинейностями. В
случае процессов типа коллективного эффекта Черенкова иррациональные
нелинейности раскладываются до кубических. Метод разложения импульсов
является основным методом нелинейной теории коллективных неустойчиво-
стей релятивистских пучков.
Нелинейные физико-математические модели низкочастотной и высокочастотной неустойчивостей плотных прямолинейных релятивистских электронных пучков, развивающихся в условиях коллективного вынужденного эффекта Черенкова в поперечно-неоднородных плазменных волноводах. Модели, отличающиеся большой общностью и универсальностью, получены методами разложения исходных уравнений Власова-Максвелла по возмущениям фазовых (координаты - импульсы) траекторий электронов по малому параметру взаимодействия пучковой и плазменной подсистем.
Аналитические результаты исследования с помощью указанных выше методов и моделей, нелинейной динамики следующих процессов:
коллективного черенковского взаимодействия плотного нерелятивистского электронного пучка с плотной нелинейной плазмой в случае резонансного и нерезонансного взаимодействия гармоник пучковых и плазменных волн;
трехволновых и четырёхволновых резонансных взаимодействий двух электромагнитных волн с одной и двумя пучковыми волнами плотности заряда;
резонансной бунемановской неустойчивости в условиях слабой связи электронных и ионных ленгмюровских полей;
нелинейной динамики резонансной бунемановской неустойчивости в су-
щественно неодномерной электрон-ионной плазме с учётом электромагнитных полей, создаваемых изменяющейся постоянной составляющей электронного тока в нерелятивистском и релятивистском случаях (при этом частично были использованы также и численные методы);
высокочастотной и низкочастотной неустойчивостей релятивистского электронного пучка, развивающихся в режиме коллективного эффекта Че-ренкова в волноводе с линейной плазмой;
рассеяния линейно поляризованных электромагнитных волн на незамаг-ниченном релятивистском пучке электронов в режимах коллективного (ра-мановского) рассеяния и релятивистской энергетической группировки.
Классификация режимов электромагнитных релятивистских черенковских пучково-плазменных неустойчивостей в поперечно-неоднородных волноводах. Установлены физические особенности исследованных режимов неустойчивостей, найдены резонансные условия их возникновения, вычислены инкременты нарастания.
Нестационарные парциальные граничные условия излучения для полной нестационарной системы уравнений электромагнитного поля в цилиндрическом плазменном резонаторе с коаксиальной системой вывода излучения. Показана практическая применимость этих условий для постановки и решения характерных задач, возникающих в нелинейной электродинамике плазмы.
Апробация и структура работы
Основные результаты диссертации опубликованы в 24 работах, в числе которых 3 обзорных статьи (включая статью в "Энциклопедии низкотемпературной плазмы") и 21 публикация в центральных рецензируемых журналах.
Материалы диссертационной работы докладывались и обсуждались: на научных семинарах кафедры физической электроники физического факультета МГУ, на семинарах по плазменной электронике отдела физики плазмы и
теоретического отдела в Институте общей физики РАН.
Основные аналитические методы и ряд результатов, полученных в работе, использованы в учебном пособии, допущенном МО РФ для студентов Вузов, обучающихся по специальностям "Физика" и "Радиоэлектроника и электроника" (В частности, в МГУ им. М.В. Ломоносова и МГТУ им. Н.Э. Баумана.)
Диссертационная работа содержит 288 страниц машинописного текста, 74 рисунка, 3 таблицы и состоит из введения, восьми глав, двух приложений и заключения. Список литературы включает 111 наименований.
Решение начальной задачи Коши для уравнения Власова методом интегрирования по начальным данным
Запишем теперь интеграл по начальным данным для случая, рассматриваемой граничной задачи. Структура векторов q0,q,nQ была установлена при получении (1.5.3)-(1.5.8). Подстановка их в общее выражение (1.3.1) приводит к следующему результату: где T,PZ,RX и PL -решения (1.5.6) нормальной системы (1.5.4) с дополнительными условиями (1.5.5) (чтобы сократить запись их аргументы в (1.5.9) опущены). Для того, чтобы функция распределения (1.5.9) действительно являлась решением задачи Коши (1.5.1)-(1.5.2) должны выполняться условия (1.3.12). Проверим это для уравнения Власова в постановке граничной задачи.
В первой строке указан номер производной от fa в том порядке, как записано в уравнении (1.5.1). Во второй строке приведены коэффициенты при соответствующих производных. В третьей строке выписаны независимые переменные, по которым вычисляются соответствующие производные. Заметим, что vw не независимые переменные, а функции независимых переменных рху2. Условия (1.3.12) означают, что: 1. коэффициент из второй строки в первом столбце зависит только от переменной, находящейся в этом столбце; 2. коэффициенты из второй строки таблицы, стоящие в столбцах 2 - 7, не зависят от переменной, находящейся в том же столбце. Видно, что не выполнено уже первое условие: коэффициент vr от переменной z как раз не зависит, но зависит от pz, а в релятивистском случае -и от рху. Следовательно, в постановке граничной задачи функция распределения в виде интеграла по начальным данным (1.5.9) представлена быть не может. (Единственным исключением из этого правила является не имеющий практического интереса случай, когда vz = const, соответствующий движению нерелятивистских частиц по инерции вдоль оси инжекции.) Убедиться, что (1.5.9) не удовлетворяет уравнению (1.5.1) легко непосредственной подстановкой. Не сохраняются в граничной задаче и якобианы преобразований (1.5.6) и (1.5.7).
Существенное отличие в постановке начальной и граничной задач Копій для уравнения Власова непосредственно видно и из сравнения характеристических систем уравнений (1.4.5) и (1.5.4). Для уравнений (1.5.4) точка vz = 0 является особой. Обращение же в каких-то точках z скорости в нуль означает поворот (отражение) в этих точках частиц в сторону места инжек-ции. В этих точках преобразования (1.5.6) и (1.5.7) не являются взаимно однозначными. На Рис. 1.1 представлено характерное поведение решения нормальной системы уравнений в случае начальной задачи - функции Z(t,z0) (Рис. 1.1 а) и решения нормальной системы уравнений в случае граничной задачи - функции T(z,t0) (Рис.1.16). Разница очень значительна ция Z(t,zQ) всегда однозначна. Ее неоднозначность (и даже обращение в бесконечность производной) означает нарушение принципа причинности. Для T(z,t0) неоднозначность означает только отражение, показанное на рисунке в точке "О". Но даже если исключить появление отраженных частиц, просто не рассматривая соответствующие случаи, якобианы преобразований от (t0,pz0) к (t,pz) и обратно не сохраняются, а функция распределения в граничной задаче в виде интеграла по начальным данным представлена быть не может. Но в важном случае системы частиц, у которых скорость в направлении инжек-ции достаточно велика и изменяется незначительно, метод интегрирования по начальным данным можно применять (приближенно) и при решении граничной задачи. Это очень существенно, поскольку именно граничная задача представляет основной интерес для приложений [82].
Итак, пусть все частицы плазмы имеют большую среднюю направленную скорость и0, параллельную оси z. Такая плазма представляет собой пучок, инжектируемый через плоскость z = О в полупространство z О. Предположим, что отклонения скорости частиц от средней скорости и0, обусловленные тепловым разбросом и действием силы F, vz = v2 - щ малы, так. Такого же порядка малости считаем и отношения \vXJ/\/u0. Другими словами величины vz,vXJI являются малыми возмущениями скорости инжекции щ. В нерелятивистском случае малыми будут и возмущения среднего импульса р0 = тащ, с которым осуществляется инжекция. В релятивистском же случае малым возмущениям скорости могут соответствовать значительные изменения импульса.
Резонансное возбуждение вторых гармоник возмущения плотности плазмы и пучка. Нелинейные спектры ленгмюровских волн
Одночастичный эффект Черенкова возможен только когда плотность электронного пучка мала по сравнению с плотностью плазмы (см. неравенство (2.1.27)). При этом фазовая скорость возбуждаемой пучком плазменной волны близка к скорости электронов пучка (несколько меньше её, что и обуславливает избыток энергии пучка в системе волны и служит энергетическим источником неустойчивости при одночастичном эффекте Черенкова) и далека от скорости электронов плазмы. Поэтому можно предположить, что нелинейные эффекты в первую очередь важны при описании движения электронов пучка, а электроны плазмы могут быть описаны в линейном приближении. Критерий линейности плазмы можно записать в виде где р - амплитуды гармоник возмущения плотности плазмы (2.1.9) (в еди-ницах невозмущенной плотности пр). Предположим, что неравенство (2.5.1) выполнено и применим для решения уравнений (2.1.13) известный метод неполного численного моделирования [27,28], в рамках которого электроны плазмы в линейном приближении описываются аналитически, а для пучка используются численные методы.
Линеаризуя в (2.1.13) уравнения движения электронов плазмы и оставляя без изменений уравнения для электронов пучка, получим следующие уравнения: Заметим, что гармоники плазменной волны рт в (2.5.2) непосредственно между собой не связаны, но они взаимодействуют с рЬп. Последние же в свою очередь связаны из-за нелинейности пучка. Для дальнейшего преобразования (2.5.2) сделаем замены Первая из них аналогична второй (2.1.19), но линеаризации по y{y0,t) естественно не предполагает. Вторая замена в (2.5.3) сделана для введения амплитуд гармоник плазменной волны р1 , которые в силу (2.1.22) и неравенства (2.1.23) являются медленными по сравнению с экспоненциальным множителем exp(-inkzut), то есть имеется малый параметр Подставляя (2.5.3) в уравнения (2.5.2) с указанной точностью до малого параметра (2.5.4) получим медленные амплитуды гармоник пучковой волны (какими бы они наблюдались в системе покоя пучка). Дальнейший анализ (2.5.5) можно провести для следующих двух предельных случаев. Первый случай соответствует ситуации, когда в точном че-ренковском резонансе с пучком находится только одна гармоника плазменных колебаний, например, первая. Для остальных же более высоких гармоник резонанс отсутствует. Отсюда следует, что в уравнениях (2.5.5) выражение gpl -к)иг = 0, но если п = 2,3,---, то g -{nkzuf 0, что позволяет (с точностью до малого параметра (2.5.4)) выразить все рр\ с п = 2,3,— из соответствующих уравнений и подставить в уравнение для у. Это даёт только некоторые числовые поправки в коэффициентах при амплитудах высших гармоник пучка и оказывается, что учёт высших гармоник в данном случае вообще не существенен.
Описанная ситуация развития неустойчивости в одночастичном режиме, когда в черенковском резонансе с пучком находится только первая гармоника плазменных колебаний, а более высокие нет, типична в коротковолновой области, если к] » к\ и достаточно подробно рассмотрена в литературе [6-9,27,28]. Поэтому, далее не останавливаясь на ней, проанализируем второй предельный случай, имеющий место в длинноволновом пределе. А именно, пока пгк) к[, все гармоники резонансны с пучком и для всех этих п имеем gpn - {nkzuf 0 (если конечно резонанс выполняется хоть для одной гармоники). а всеми нерезонансными гармониками пренебрежем (число резонансных гармоник пока не конкретизируем). В первом уравнении (2.5.7) специально оставлены разности gpn -(nk2uf, поскольку из-за нелинейного закона дисперсии плазменных волн все эти разности одновременно в ноль обращаться не могут. Кроме того, при переходе к (2.5.7) во втором уравнении было пренеб-режено вторым слагаемым в правой части, описывающим часть силы от электрического поля, порожденного модуляцией по плотности электронного пучка. В СВЧ электронике подобную силу называют силой высокочастотного пространственного заряда пучка. В силу малой плотности пучка при описании одночастичного эффекта Черенкова высокочастотный пространственный заряд пучка можно не учитывать.
Пологая для простоты в уравнениях (2.5.7) коэффициенты Цп = 1 (Яп - Чп- рЛьп - см- (2.1.14)), что возможно, поскольку сейчас будет рассматривать только одночастичный эффект Черенкова и используя безразмерные переменные
Разложение траекторий с точностью до нелинейности третьего порядка. Общая структура нелинейного потенциала
Бунемановскую неустойчивость с инкрементами (4.2.8) и (4.2.10) будем называть неустойчивостью в режиме, соответственно, сильного и слабого взаимодействия. Нелинейная динамика неустойчивости в этих режимах оказывается совершенно различной и будет нами подробно описана в следующих параграфах данной главы.
В заключении определим ещё порог развития неустойчивости Бунема-на, обусловленный конечностью поперечного размера системы. Для этого рассмотрим разность кги- g e --Jg ,, которая в резонансе (см. (4.2.5)) должна обращаться в ноль. Из выражений (4.1.6) для Ren следует, что при к2 - » данная разность больше нуля. Поэтому пройти через ноль она может только, если при kz - 0 имеет другой знак. Условие же смены знака при кг - 0 или что то же самое, условие развития неустойчивости имеет, очевидно, вид Соотношение (4.2.11) записано с точностью до малого по параметру v ионного вклада. Из этого условия видно, что превышение порога неустойчивости Бунемана означает, что ток пучка электронов превышает предельный вакуумный ток [49]. Для уменьшения числа свободных параметров в системе (4.3.2) при проведении расчётов, без нарушения общности, на коэффициенты уравнений (4.3.2) (см. (4.1.6)) можно наложить следующие условия. Коэффициенты Кп № Rm геометрические же факторы, определяющие связь пучков, считая Se = S,, положим равными: в режиме сильного взаимодействия Gen Gin 1; в режиме слабого взаимодействия Gen»Gin=G«l. Значение параметра v выберем v = 0,000544 (водородная плазма). Таким образом, в режиме сильного взаимодействия в системе (4.3.2) остаётся только один малый параметр v. В режиме же слабого взаимодействия к нему добавляется ещё один малый параметр - параметр связи G. Значительное и плавное уменьшение электронного тока, что обусловлено возбуждением медленной волны и передачей импульса от электронов ионам. В дальнейшем наблюдается резкий срыв тока, что связано с захватом электронов их медленной волной (самозахват [23]). При этом структура волны разрушается, а электроны термализуются: средняя их скорость осциллирует около нуля, а разброс по скоростям приближается к невозмущённой скорости и [58]. На Рис.4.2а и Рис.4.2б приведены зависимости от времени трёх первых гармоник возмущения плотности заряда для электронов \pej\ и ионов / (/-1,2,3) соответственно. Рис.4.2а при этом отражает термализацию электронов пучка, сопровождающую полный срыв тока. На Рис.4.3 приведены результаты интегрирования системы (4.3.3) для различных значений параметра G: Кривая 1 соответствует G = 0,3; Кривая 2 -G = 0,25 и Кривая 3 - G = 0,2. Данный рисунок иллюстрирует переход от режима сильного взаимодействия к режиму слабого взаимодействия. Видно, что с ослаблением связи электронной и ионной подсистем срыв тока уменьшается и при малых G происходит лишь очень незначительное (практически незаметное в масштабах рисунка) его изменение. Именно случай слабой связи электронной и ионной подсистем, может быть аналитически описан в рамках метода разложения траекторий частиц, чему и посвящен следующий параграф. В режиме слабого взаимодействия инкремент, определяемый формулой (4.2.10), мал, как по сравнению с л/#7, так и по сравнению с /g7 - (4.2.9). В этих условиях даже незначительное нарушение условия резонанса может привести к прекращению взаимодействия и стабилизации неустойчивости, причём ещё при малой модуляции электронов и ионов по плотности. Причины же нарушения резонанса связаны с торможением электронов, ускорением ионов и нелинейной зависимостью частот ленгмюровских волн от амплитуд. Всё это известно в теории взаимодействия волн как нелинейные сдвиги частот [38]. Именно эти сдвиги и стабилизируют неустойчивость в данном случае.
Будем исходить из уравнений (4.1.5). Слабая связь обеспечивает малость коэффициентов связи в этих уравнениях и делает возможным применение метода разложения траекторий. Следуя этому методу, представим траектории электрона и иона в виде где Wa(t) - смещение, связанное с поступательным движением пучка, а %{y0a,t) - "2л-" периодическая функция у0, обусловленная взаимодействием волн. В соответствии с Главой 2 разлагаем далее %{y0a,t) ряды Фурье и, подставив (4.4.1) и (4.4.2) в (4.1.5), получим выражения для амплитуд гармоник возмущения плотности электронного и ионного пучков, соответственно, аналогичные приведенным в Главе 2:
Нелинейная динамика неустойчивости Бунемана в приближении кубичной нелинейности. Режим слабого взаимодействия
Если электронный пучок является релятивистским, то, как было показано в 4.6, при у удовлетворяющих неравенству (4.6.18) для описания зависящих от координаты z составляющих поля, как и в нерелятивистском случае можно использовать потенциальное приближение. В связи с этим вывод релятивистских нелинейных уравнений бунемановской неустойчивости практически полностью повторяет выкладки, проведённые в 4.5 при получении системы (4.5.7). Поэтому, не воспроизводя данные преобразования, запишем сразу окончательный результат - вместо системы (4.5.7) будем иметь
Кривые 1 на этих рисунках соответствуют Я, = 0,2, Кривые 2 - А, = 1 и Кривые 3 - Д, = оо. На Рис.4.5 у = 2, на Рис.4.6 у = З.На Рис.4.7 -/ = 4, что находится на грани применимости системы (4.7.1) (в силу неравенства (4.6.19)). Из этих рисунков видно, что с увеличением у для 1, = оо осцилляции тока вначале возрастают по амплитуде, а затем практически исчезают. Последнее связано с релятивистским увеличением массы электронов. С уменьшением А,, при у = 2 и у = Ъ происходит значительное уменьшение электронного тока. При этом вместо осцилляции с большой амплитудой, что имело место в нерелятивистском случае, возникают слабые осцилляции и со временем устанавливается некоторый стационарный ток. Когда же у = 4, как видно из Рис.4.7, практически все электроны приобретают отрицательные скорости и ток начинает течь в обратную сторону (как для Я, =0,2, так и для Я, = 1 - различия между этими случаями практически стираются). Следовательно, при малых значениях параметра Я, увеличение у вначале приводит вначале к достаточно плавному и глубокому уменьшению тока, а при ещё больших / происходит срыв, и, фактически, полное отражение электронного тока. Таким образом, сделанные в 4.5 выводы остаются справедливыми и для релятивистских пучков, релятивизм электронов качественного изменения в картину развития бунемановской неустойчивости не вносит.
Что же касается гармоник плотности электронного и ионного пучков, то их временная динамика качественно практически не отличается от приведенной на Рис.4.2 и Рис.4.3 и поэтому здесь не приводится.
Рассмотрим такой же, как и в Главе 2 замагниченный плазменный волновод с пучком, но пучок теперь считаем релятивистским, а возмущения предполагаем непотенциальными. Эволюция непотенциальных возмущений в таком волноводе может быть описана с помощью уравнений для поляризационного потенциала волн -типа и кинетического уравнения Власова где -поляризационный потенциал, а остальные обозначения совпадают с использованными ранее. В начальный момент времени функции распределения удовлетворяют условиям где п0а -невозмущенные плотности частиц сорта а, р0а их невозмущенные импульсы: р0р=0, роь = т{\-и2/с2)12, а и- невозмущённая скорость электронов пучка. Следуя методу интегрирования по начальным данным, общее решение уравнения Власова для функций распределения fa запишем в виде Предположим, как и в Главе 2, что начальное возмущение в рассматриваемой системе имеет характерный продольный размер L, и, кроме того, считаем, что известны собственные функции рт и собственные значения к2 поперечного сечения волновода. Тогда, поляризационный потенциал у/ можно представить в виде двойного ряда
