Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Некоторые свойства спектра собственных и квазисобственных волн регулярных диэлектрических волноводов 30
1.1. Представление спектральных точек мод НЕІП на римановой поверхности функции Макдоналъда и особенности их поведения вблизи критической частоты.. 37
1.2. Особенности поведения дисперсионных кривых мод НЕі2 на листах римановой поверхности функции Макдональда 47
1.3. Особенности переноса энергии собственными и квазисобственными волнами 55
1.4. Анализ применимости скалярного приближения для собственных и квазисобственных волн слабонаправляющего волновода с учетом материальных потерь 63
1.5. Основные результаты и выводы 72
Глава 2. Распространение световых пучков в диэлектрических волноводах с яеоднородностями: физические особенности и математические методы моделирования 76
2.1. Физические особенности распространения световых пучков в линейных и нелинейных диэлектрических волноводах с макроскопическими неоднородностями 78
2.2. Математические методы моделирования распространения стационарных и нестационарных световых пучков в линейных и нелинейных диэлектрических волноводах с макроскопическими неоднородностями 82
2.3. Анализ применимости параксиальной модели в задачах распространения стационарных световых пучков в диэлектрических волноводах с резкими неоднородностями 101
2.3.1 Метод функций Грина. Непараксиальная модель распространения полного поля 102
2.3.2. Метод конечных разностей. Параксиальная модель распространения полного поля 107
2.3.3.Численное моделирование и анализ результатов 111
2.4. Основные результаты и выводы ...118
Глава 3. Пространственная динамика стационарных лазерных пучков в нелинейных диэлектрических волноводах с неоднородностями 121
3.1. Пространственная динамика лазерного пучка в нелинейном волноводе при его возбуждении модой линейного волновода 125
3.2. Пространственное ограничение лазерного пучка в нелинейных волноводах с бесконечным параболическим поперечным профилем показателя преломления 141
3.3. Нелинейное пропускание ступенчатого перехода в диэлектрическом волноводе со ступенчатым поперечным профилем показателя преломления. Приближенные аналитические оценки 146
3.4. Нелинейное пропускание ступенчатого перехода в диэлектрическом волноводе со ступенчатым поперечным профилем показателя преломления. Численное моделирование 154
3.5. Основные результаты и выводы 165
Глава 4. Пространственно- временная динамика лазерных импульсов в нелинейных диэлектрических волноводах с неоднородностями 168
4.1. Метод моделирования и исследования пространственно-временной динамики лазерных импульсов в нелинейных диэлектрических волноводах 172
4.2. Распространение лазерного импульса в нелинейном волноводе со ступенчатым поперечным профилем показателя преломления в области нулевой дисперсии. Квазистатическое приближение 179
4.3. Распространение лазерного импульса в нелинейном волноводе со ступенчатым поперечным профилем показателя преломления в области нулевой дисперсии. Эффекты волновой нестационарности. 187
4.4. Распространение лазерного импульса в волноводе с бесконечным параболическим поперечным профилем показателя преломления и дисперсией материала 195
4.5. Распространение лазерного импульса в нелинейном волноводе со ступенчатым поперечным профилем показателя преломления и дисперсией материала 198
4.6. Распространение лазерного импульса в ступенчатом переходе нелинейного диэлектрического волновода. Квазистатическое приближение 206
4.7. Основные результаты и выводы 209
Глава 5. Ограничение мощности лазерного излучения в волноводах с периодически распределенной керровскои нелинейностью 213
5.1. Пространственная и пространственно-временная динамика лазерного пучка при его распространении через двуступенчатый переход в диэлектрическом волноводе 218
5.2. Ограничение мощности стационарного лазерного пучка в диэлектрическом волноводе с нелинейной решеткой 225
5.3. Ограничение мощности, преобразование формы и длительности импульса при распространении нестационарного лазерного пучка в волноводе с нелинейной решеткой 229
5.4. Основные результаты и выводы .235
Глава 6. Нелинейные волноводы с резкими неоднородностями как внутрирезонаторные элементы для керровскои синхронизации мод в волоконных лазерах 237
6.1. Сравнительный анализ внутрирезонаторных элементов лазеров с керровскои и аддитивной синхронизацией мод 241
6.2. Влияние усиления на характеристики неоднородности в нелинейном волноводе как внутрирезонаторного устройства для керровскои синхронизации мод 255
6.3. Основные результаты и выводы 258
Заключение 260
Приложение 267
Литература 269
- Особенности поведения дисперсионных кривых мод НЕі2 на листах римановой поверхности функции Макдональда
- Математические методы моделирования распространения стационарных и нестационарных световых пучков в линейных и нелинейных диэлектрических волноводах с макроскопическими неоднородностями
- Пространственное ограничение лазерного пучка в нелинейных волноводах с бесконечным параболическим поперечным профилем показателя преломления
- Распространение лазерного импульса в нелинейном волноводе со ступенчатым поперечным профилем показателя преломления в области нулевой дисперсии. Квазистатическое приближение
Введение к работе
Актуальность темы. В настоящее время наблюдается значительный интерес к разработке и исследованию новых волноводных структур и материалов для оптоэлектроники. Такой интерес обусловлен, прежде всего, появлением источников мощного нестационарного лазерного излучения, которое может быть использовано в информационно-телекоммуникационных системах, устройствах для оптической обработки информации, а также в лазерных методах обработки материалов. В поле сверхкоротких лазерных импульсов наблюдаются различные нелинейные эффекты, которые сопровождаются сложной пространственно-временной динамикой излучения.
Вместе с тем, в последние годы возросла роль компьютерного моделирования, которое теперь является неотъемлемой частью промышленных разработок. Развитие методов моделирования становится таким же фактором прогресса в оптоэлектронике, как и развитие новых технологий . Цели данной работы направлены на то, чтобы заполнить имеющийся пробел в моделировании и исследовании сложных пространственно - временных явлений, возникающих в мощных нестационарных оптических полях. Таким образом, цели данной работы вытекают непосредственно из потребностей современной оптоэлектроники.
Диэлектрические (оптические) волноводы широко используются в настоящее время в информационных системах и оптоэлектронных приборах, включая оптическиеквантовые генераторы (лазеры). Основная специфика диэлектрических волноводов состоит в том, что они являются открытыми и, в отличие от закрытых металлических волноводов, могут излучать часть направляемой мощности в окружающее пространство в виде поля излучения. Исследование задач возбуждения и преобразования электромагнитного поля на макроскопических неоднородностях в открытых волноводах до сих пор не потеряло своей актуальности, несмотря на то, что многие вопросы теории таких волноводов активно разрабатывались в течение последних десятилетий [1]. * Перечень критических технологий Российской Федерации до 2010г.
Поскольку электромагнитное излучение, распространяющееся в диэлектрическом волноводе, сконцентрировано в области с микронными размерами, его интенсивность может быть весьма высокой на большой длине, что позволяет наблюдать такие нелинейные эффекты, как генерация второй гармоники, рамановское рассеяние и генерация суперконтинуума, формирование и распространение оптических солитонов [2,3].Получение сверхсильных световых полей и их применение является одним из приоритетных направлении фундаментальных научных исследований.
Однако, вплоть до настоящего времени исследование дифракции света на нерегулярных волноводных структурах, с одной стороны, и исследование нелинейных эффектов в оптических волноводах, с другой, существовали как два независимых научных направления. Так, в настоящее время нет общего подхода к решению задач распространения света в нелинейной среде в рамках обобщенных методов вычислительной электродинамики, которые уже давно используются в теории открытых волноводов для исследования дифракции электромагнитного излучения на неоднородностях. Вместе с тем, в достаточной степени развиты методы нелинейной оптики, и в частности, методы теории солитонов, основанной на формализме нелинейного уравнения Шредингера. В рамках этой теории пространственные и временные самовоздействия рассматриваются, в основном, отдельно, как задачи распространения пространственных и временных солитонов.
Между тем, в последнее время заметно возрос интерес к исследованию пространственно-временных эффектов в нелинейных волноводах, что, в первую очередь, обусловлено появлением источников мощных фемтосекундных импульсов. Развитие фемтосекундной оптики, создание физических основ нелинейно-волновых технологий являются одними из основных пунктов целевой программы развития российской науки и техники1.
Поскольку в кварцевых стеклах значение керровской постоянной щ-ЮЛ6см2/Вт., нелинейная добавка к показателю преломления при интенсивности в пике импульса до ЮОГВт/см может достигать значений ~10" (в халькогенидных стеклах мз~ЮЛ4см2/Вт, а нелинейная добавка, соответственно, -КГ*). Экспериментально было f Федеральная целевая научно-техническая программа "Исследования и разработки по приоритетным направлениям развития науки и техники" на 2002-2006гг. показано [4], что самофокусировка мощных фемтосекундных импульсов в однородном блоке плавленого кварца приводит к их заметным пространственно-временным изменениям. Теоретическое исследование таких эффектов основывается на решении нелинейного волнового уравнения параболического типа с учетом производных по пространственным координатам. Такое уравнение не относится к классу интегрируемых, и для его решения используются численные методы [5,6].
Для оптических волноводов подобные теоретические исследования прежде не проводились, поскольку предполагалось, что при предельных пиковых мощностях пикосекундных импульсов ~МВт/см2 в волноводе поперечный профиль пучка не зависит от интенсивности, в связи с чем нелинейную фазовую самомодуляцию импульсов и их дифракцию можно рассматривать отдельно [2]. В случае мощных фемтосекундных импульсов такое предположение не является достаточно обоснованным и требует соответствующих исследований пространственно-временнной динамики нестационарного лазерного пучка.
Нелинейные эффекты наиболее сильно проявляются в устройствах с кольцевым волноводным контуром - волоконных интерферометрах и волоконных лазерах. В таких устройствах эффекты самовоздействия накапливаются в результате многократного распространения излучения через нелинейные элементы.
В кольцевых волоконных лазерах с пассивной синхронизацией мод используется эффект вращения эллипса поляризации в волноводе с керровской нелинейностью [7]. Такие лазеры способны генерировать импульсы с пиковой мощностью выше 1 кВт и длительностью ~ 70фс и являются перспективными, надежными, дешевыми и компактными источниками сверхкоротких импульсов. Наличие поляризационно-чувствительных элементов несколько усложняет изготовление таких лазеров и может приводить к поляризационным шумам генерируемого излучения. В связи с этим актуальной является разработка других внутрирезонаторных элементов. Для этого, в частности, можно воспользоваться идеей жесткого диафрагмирования, используемого в схемах твердотельных импульсных лазеров с керровской синхронизацией мод, и исследовать возможность использования нелинейных неоднородностеи как внутрирезонаторных элементов, осуществляющих футгкцию жесткого диафрагмирования в контуре волоконного лазера.
Одной из проблем, возникающих при распространении мощного лазерного излучения, является необходимость ограничения его мощности в информационных сетях и оптических датчиках. Среди различных устройств, используемых или разрабатываемых в настоящее время для ограничения мощности лазерного излучения, можно выделить так называемые нелинейные решетки, состоящие из слоев с периодически изменяющимся в направлении распространения излучения коэффициентом керровской нелинейности и с постоянным линейным показателем преломления. В настоящее время разработана только одномерная модель таких структур [8]. Между тем, нелинейные решетки являются перспективными элементами волоконной и интегральной оптики, в связи с чем возникает необходимость разработки модели нелинейной решетки в диэлектрическом волноводе.
Таким образом, при растущей потребности в более совершенных приборах волоконной и интегральной оптики, а также появлении новых технологических возможностей, в настоящее время еще не сформирован общий подход, в рамках которого молено было бы моделировать и исследовать пространственно-временные эффекты, возникающие при распространении лазерных пучков в нелинейных волноводных структурах. Формирование такого подхода, разработка моделей распространения и исследование новых явлений, обусловленных спецификой оптических волноводов, является актуальной и одной из важнейших проблем современной лазерной физики и других направлений оптоэлектроники.
Объектами исследования в диссертации являются физические явления пространственно-временного преобразования стационарных (гармонических во времени) и нестационарных лазерных пучков в одномодовых диэлектрических волноводных структурах со ступенчатым поперечным профилем показателя преломления, показанных на Рис.ВІ. К таким структурам относятся двумерные макроскопические неоднородности в пленарных волноводах и в волноводах круглого поперечного сечения, а именно: резкие неоднородности, когда параметры волновода изменяются скачком - ступенчатый переход (структура А) и двуступенчатый переход (структуры В и С); плавные неоднородности (конусный переход, структура D). шшші
D .V'" *& ІІІ1ІІШ
РисВІ
Макроскопические неоднородности в диэлектрических волноводах. п\1'2 - линейный показатель преломления; п21,2 - керровская постоянная.
Эти структуры являются основными элементами более сложных оптоэлектронных устройств: волноводных решеток, разветвителей, устройств для ввода излучения, диэлектрических резонаторов и т.д. В структурах (A-D) исследуется эффект керровской нелинейности (нелинейность третьего порядка). Волноводы с пространственно-распределенной керровской нелинейностью (структуры N1 и N2) представляют собой новый класс перспективных структур оптоэлектроники, в которых керровская постоянная имеет различное значение в разных волноводных сегментах.
Метод исследования. Для исследования рассматриваемых волноводных структур с керровской нелинейностью используется подход, основанный на сведении исходной краевой задачи к нелинейному волновому уравнению параболического типа. Для численного решения двумерного стационарного (2D) или нестационарного (2D+T) нелинейного волнового уравнения применяется метод конечных разностей [9]. Сравнение с диэлектрическими структурами, в которых не возбуждается поле излучения (волноводы с бесконечным параболическим поперечным профилем показателя преломления) используется для интерпретации и объяснения явлений, обусловленных эффектом вытекания поля излучения. Для таких структур с помощью модифицированного обобщенного метода моментов [10] выводятся приближенные аналитические решения нелинейного волнового уравнения.
Цели и задачи работы:
Выбор подхода к исследованию и моделированию пространственно-временной динамики лазерных пучков в рассматриваемых нелинейных структурах на основе анализа математических методов, используемых в задачах распространения стационарных световых пучков в линейных диэлектрических волноводах с макроскопическими неоднородностями, с одной стороны, и в задачах распространения света в диэлектрических волноводах (или однородной среде) с керровской нелинейностью, с другой стороны.
Исследование особенностей спектральных задач и задач возбуждения в теории открытых волноводов, и на этом основании оценка применимости некоторых приближений, используемых в теоретическом подходе, основанном на сведении исходной краевой задачи к нелинейному волновому уравнению параболического типа.
Исследование пространственной динамики стационарных лазерных пучков в рассматриваемых волноводных структурах с керровской нелинейностью.
Разработка модели распространения сверхкоротких лазерных импульсов в рассматриваемых волноводных структурах с керровской нелинейностью и исследование их пространственно-временной динамики.
Исследование возможности практического применения эффекта пространственного и пространственно-временного преобразования лазерных пучков в рассматриваемых волноводных структурах с керровской нелинейностью в целях совершенствования и разработки оптоэлектронных приборов, и в частности, импульсных волоконных лазеров, а также оптических ограничителей мощности.
Научная новизна полученных результатов состоит в следующем:
Впервые теоретически исследована пространственно-временная динамика сверхкоротких лазерных импульсов в нелинейных волноводах со ступенчатым профилем показателя преломления. Ранее пространственно-временная динамика сверхкоротких лазерных импульсов исследовалась только для случая однородной нелинейной среды [4]. Впервые показано, что в результате возбуждения нелинейного волновода нестационарным лазерным пучком в оболочке формируется импульс, длительность которого значительно меньше длительности импульса в области сердцевины. Впервые показано, что эффекты волновой нестационарности и дисперсии групповой скорости препятствуют формированию пространственно-временного солитона в нелинейном волноводе со ступенчатым поперечным профилем показателя преломления.
Впервые детально исследованы особенности формирования полей лазерных пучков при возбуждении нелинейного волновода со ступенчатым профилем показателя преломления его линейной модой. До этого так называемые "нелинейные моды" рассматривались как решения нелинейного уравнения Гельмгольца в поперечной плоскости такого волновода [11].
Впервые определены закономерности пространственного преобразования полей стационарных лазерных пучков на резких неоднородностях нелинейных диэлектрических волноводов со ступенчатым профилем показателя преломления как планарной, так и цилиндрической геометрии.
Впервые показано, что эффект дифракции лазерного пучка на неоднородностях нелинейной решетки в диэлектрическом волноводе может быть использован для ограничения мощности лазерного излучения, а также для стабилизации формы и длительности лазерного импульса. До этого нелинейные решетки рассматривались как одномерные брэгтовские отражатели [8]. Проведено моделирование распространения стационарных и нестационарных лазерных пучков в нелинейных решетках в планарном и цилиндрическом волноводах, исследованы их характеристики.
Впервые установлено, что резкие нелинейные неоднородности определенной конфигурации в диэлектрическом волноводе могут быть использованы как внутрирезонаторные элементы кольцевых волоконных лазеров с синхронизацией мод. Установлено, что неоднородности другой конфигурации в волноводном контуре могут препятствовать выходу лазера в режим синхронизации мод.
Впервые детально исследованы дисперсионные характеристики высших мод HEin цилиндрического диэлектрического волновода со ступенчатым профилем показателя преломления и круглым поперечным сечением ниже критической частоты с учетом материальных потерь. Для этих мод проведены оценки применимости скалярного приближения, используемого в теории слабоналравляющих волноводов, и рассчитаны точные значения поляризационных поправок для моды НЕ^. До этого поляризационные поправки были получены методом возмущений лишь для направляемых НЕіп мод волновода без потерь [1].
В результате анализа поведения дисперсионных кривых впервые показано, что известный в теории открытых волноводов результат [1,12,13], согласно которому характеристическое уравнение для HEi„ волновода без потерь не имеет численных решений в некоторой области частот ниже критической, является артефактом, поскольку в работе [1] в итерационном численном методе решения характеристического уравнения было использовано начальное приближение, неадекватное характеру поведения дисперсионных кривых ниже критической частоты.
Впервые в задаче распространения стационарного светового пучка в линейном диэлектрическом волноводе с резкими неоднородностями проведен анализ применимости параксиальной модели, основанной на приближении медленно меняющейся амплитуды полного поля.
Проведен систематический анализ математических методов, используемых в настоящее время для моделирования распространения стационарных (гармонических во времени) световых пучков в линейных диэлектрических волноводах с макроскопическими неоднородностями, а также методов моделирования распространения света в диэлектрических волноводах (или однородной среде) с керровской нелинейностью. Обзоры такого плана в настоящее время имеются только в работах соискателя.
Практическая значимость результатов работы. Результаты диссертационной работы показывают, что при определенных условиях взаимное влияние пространственных и временных эффектов самовоздействия лазерных пучков в нелинейных диэлектрических волноводах с неоднородностями является существенным и должно быть учтено в соответствующих моделях при разработке устройств интегральной и волоконной оптики. Развитый автором подход к изучению пространственно-временных эффектов и модель распространения сверхкоротких лазерных импульсов в нелинейных волноводах с неоднородностями могут быть использованы для компьютерного моделирования и исследования структур сложной пространственной конфигурации, являющихся основными элементами таких устройств.
В работе показано, что специфический для диэлектрических волноводов эффект излучения части поля из сердцевины волновода при дифракции лазерных пучков на макроскопических неоднородностях нелинейных волноводов может быть использован для разработки новых методов сжатия сверхкоротких лазерных импульсов, ограничения мощности лазерного излучения, а также для синхронизации мод в импульсном волоконном лазере. Эти результаты могут быть полезны и при разработке принципиально новых устройств для оптической обработки информации, а также оптоэлектронных компонент лазерных технологических машин. Реализация таких методов и устройств требует развития соответствующих технологий и создания новых нелинейных материалов.
Представленные в диссертации оценки применимости некоторых приближений, используемых в методах нелинейной оптики, справедливы не только для рассматриваемого в данной работе класса структур, но и для других нелинейных диэлектрических структур сложной пространственной конфигурации.
Проводимые по теме диссертации исследования были частично поддержаны фондом CRDF, грант REC-006, английским обществом поддержки физических и инженерных наук EPSRC, Королевским обществом Великобритании и НАТО. Результаты работы были использованы при проведении ряда бюджетных НИР и целевых комплексных программ Гособразования СССР "Лазеры-2" и "Лазерные системы".
Достоверность полученных в работе результатов подтверждается согласием результатов, полученных различными математическими методами; исследованием применимости используемых приближений; согласием с теоретическими и экспериментальными результатами, полученными другими исследователями; совпадением результатов с предсказаниями более простых приближений, в тех случаях, когда такое сравнение возможно.
На защиту выносятся следующие положения и результаты:
1. Приближение медленно меняющейся амплитуды, которое используется в традиционном для методов нелинейной оптики подходе, основанном на решении скалярного нелинейного волнового уравнения параболического типа, ограничивает применимость такого подхода в задачах распространения лазерных пучков в нелинейных диэлектрических волноводах с неоднородностями. Это приближение дает значительную погрешность в расчете полного поля светового пучка в волноводе, если относительный вклад поля излучения, возбуждаемого на неоднородности, в полное поле соизмерим с вкладом поля направляемой моды.
Погрешность скалярного приближения, используемого в теории слабонаправляющих диэлектрических волноводов с круглым поперечным сечением, возрастает при моделировании структур с переходом моды через отсечку по мере приближения характеристической частоты волновода к частоте отсечки, а также при возрастании материальных потерь в оболочке волновода.
Характеристическое уравнение для НЕ]П мод диэлектрического волновода без потерь при любом значении характеристической частоты имеет решение, соответствующие направляемым или вытекающим модам.
В результате несогласованного возбуждения нелинейного волновода (например, его линейной модой) формируется латеральная часть полного поля, которая может распространяться вдоль оси волновода на большие расстояния. Взаимодействие латеральной и центральной части полного поля приводит к периодическим осцилляциям лазерного пучка вдоль оси волновода. Латеральная часть полного поля образована преимущественно полями вытекающих мод, расходимость которых уменьшается с ростом мощности пучка. В случае возбуждения нелинейного волновода нестационарным лазерным пучком латеральная часть полного поля в волноводе формирует импульс, длительность которого значительно меньше длительности импульса в области сердцевины.
Вытекание поля излучения из сердцевины волновода вследствие изменения поперечного профиля нестационарного лазерного пучка при изменении его временнбго распределения под действием эффектов волновой нестационарности и дисперсии групповой скорости препятствует формированию пространственно-временного солитона в нелинейном волноводе со ступенчатым профилем показателя преломления.
Поскольку длительность импульса в нелинейном волноводе зависит от поперечной координаты, результаты измерения длительности в среднем по некоторой области поперечного сечения волновода зависят от размеров этой области. Длительность импульса, измеренная при усреднении интенсивности по площади сердцевины, соответственно, уменьшается или увеличивается в ступенчатом переходе с уменьшением или увеличением диаметра (толщины).
Эффект дифракции лазерного пучка на границах линейных и нелинейных сегментов нелинейной волноводной решетки может быть использован для ограничения мощности лазерного излучения, а также для стабилизации формы и длительности сверхкоротких лазерных импульсов.
Нелинейные диэлектрические волноводы с резкими неоднородностями, нелинейное пропускание которых больше линейного, могут быть использованы в качестве внутрирезонаторных элементов для синхронизации мод в кольцевых волоконных лазерах. Такие элементы имеют не меньшую эффективность, чем другие известные в настоящее время внутрирезонаторные устройства, но в то же время позволяют разрабатывать новые конструктивные решения схем волоконных лазеров с пассивной синхронизацией мод.
Апробация работы. Результаты исследований, изложенные в диссертации, бьши представлены на следующих конференциях:
International Conference Photonics West'96, January, 1996, San Jose, California, USA.
International Conference Photonics West'97, January, 1997, San Jose, California, USA.
International Conference Photonics West'98, January, 1998, San Jose, California, USA. Saratov Fall Meeting (SFM)'98 International School for Young Scientists and Students on Optics, Laser Physics & Biophysics, October, 1998, Saratov, Russia.
International Conference on Transparent Optical Networks (ICTON)'1999, June 1999, Kelce, Poland. Saratov Fall Meeting (SFM)'99 International School for Young Scientists and Students on Optics, Laser Physics & Biophysics, October 1999, Saratov, Russia.
Международная конференция молодых ученых и специалистов "Оптика-99", октябрь 1999, Петербург, Россия.
International Conference on EuroElectromagnetics (EUROEM)'2000, June 2000, Edinburgh, Scotland.
International Conference on Transparent Optical Networks (ICTON)'2000, June 2000, Gdansk, Poland. First International Conference for Young Scientists on Laser Optics (LO-YS)'2000, June 2000, St-Petersburg, Russia. Progress In Electromagnetics Research Symposium (PIERS)'200O, July 2000, Cambridge, Massachusetts, USA.
International Conference on Mathematical Methods in Electromagnetic Theory (MMET)'2000, September 2000, Kharkov, Ukraine.
13th Annual Lasers and Electro Optics Society Meeting (LEOS)'2000, November 2000, Puerto-Rico, USA. Saratov Fall Meeting (SFM)'OO International School for Young Scientists and Students on Optics, Laser Physics & Biophysics, October 2000, Saratov, Russia.
International Workshop on Direct and Inverse Wave Scattering, October 2000, Gebze, Turkey. Third Annual Meeting of the COST Action P2, October 2000, Enschede, the Netherlands. European Conference on Integrated Optics (ECIO)'2001, April 2001, Paderborn, Germany.
International Workshop on Optical Waveguides Theory and Numerical Modeling (OWTNM)'2001, April 2001, Paderborn, Germany.
International Conference on Transparent Optical Networks (ICTON)'2001, June 2001, Cracow, Poland. Asia-Pacific Radio Science Conference (AP-RASC)'200I, August 2001, Tokyo, Japan.
International Workshop on Advanced Electromagnetics, July 2001, Tokyo, Japan. OSA Annual Meeting, October 2001, Long Beach, California, USA.
14th Annual Lasers and Electro Optics Society Meeting (LEOS)'2001, November 2001, San Diego, USA.
International Workshop on Optical Waveguides Theory and Numerical Modeling (OWTNM)'2002, April 2002, Nottingham, UK.
International Conference on Transparent Optical Networks (ICTON)'2002, April 2002, Warsaw, Poland.
International Quantum Electronics Conference (IQEC)'2002, June 2002, Moscow, Russia.
International Conference on Mathematical Methods in Electromagnetic Theory (MMET)'2002, September 2002, Kiev, Ukraine. Saratov Fall Meeting (SFM)'2002 International School for Young Scientists and Students on Optics, Laser Physics & Biophysics, October 2002, Saratov, Russia. European Conference on Integrated Optics (ECIO)'2003, April 2003, Prague, Czech Republic.
International Workshop on Optical Waveguides Theory and Numerical Modeling (OWTNM)'2003, April 2003, Prague, Czech Republic. European Quantum Electronics Conference (EQEC)'2003, June 2003, Munich, Germany.
International Conference on Laser Optics'2003, June 2003, St-Petersburg, Russia. The XVIIth International Workshop High Energy Physics and Quantum Field Theory, September 2003, Samara-Saratov, Russia.
International Conference on Advanced Optoelectronics and Lasers (CAOL)'2003, September 2003, Alushta, Ukraine. Saratov Fall Meeting (SFM)'2003 International School for Young Scientists and Students on Optics, Laser Physics & Biophysics, October 2003, Saratov, Russia.
Результаты диссертационной работы докладывались на научных семинарах в Саратовском государственном университете, в университетах г.Ноттингем (Великобритания), г.Данди (Шотландия), в Варшавском Институте
Телекоммуникаций (Польша).
Личный вклад соискателя. Все основные результаты, на которых базируется диссертация, получены лично автором. В работах с соавторами соискателю принадлежит ведущая роль в выборе направлений исследований, постановке задач, разработке алгоритмов и методов их решения, объяснении изучаемых явлений.
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, 6 глав, заключения, приложения и списка литературы из 240 наименований. Общий объем диссертации - 287 страниц текста, иллюстрированного 79 рисунками. Нумерация рисунков и формул двойная: первая цифра означает номер главы, вторая - номер рисунка (формулы) в этой главе. В каждой главе имеется обзор литературы, введение в проблему, краткое изложение основных результатов и выводы.
Во Введении обосновывается актуальность темы диссертации. Здесь же сформулированы задачи исследования, научная новизна и основные положения, выносимые на защиту. Отмечена практическая значимость работы, приведены сведения об апробации материалов диссертации.
В Первой главе исследуются особенности обобщенного дискретного спектра волн открытых волноводов, элементами которого являются собственные и квазисобственньге волны, а также оценивается применимость скалярного приближения применительно к задачам дифракции волн на неоднородностях диэлектрических волноводов с круглым поперечным сечением. Поведение спектральных точек мод НЕ),, такого волновода анализируется на римановой поверхности функции Макдональда в зависимости от характеристической частоты путем численного решения характеристического уравнения методом Ньютона-Рафсона, а также с использованием асимптотической формы этого уравнения вблизи отсечки. Рассчитываются дисперсионные кривые моды НЕ12 волновода с поглощением в оболочке и на основании анализа их поведения на листах римановой поверхности делается вывод об особенностях поведения дисперсионных кривых диэлектрического волновода без потерь. Рассчитываются компоненты вектора Пойнтинга в цилиндрической системе координат, а также строятся каустики собственных и квазисобственных волн.
Как известно, характеристическое уравнение для мод НЕ]п диэлектрического волновода без потерь, записанное в асимптотической форме вблизи критической частоты, не имеет решений при частотах, несколько меньших критической [12,13]. В результате анализа поведения дисперсионных кривых на листах римановой поверхности с учетом материальных потерь сделан вывод о том, что ни на одном листе с конечным номером нет непрерывного продолжения дисперсионных кривых собственных волн ДВ без потерь в область квазисобственных волн. Молено сказать, что в асимптотическом смысле такое продолжение находится на "бесконечном листе". Вместе с тем, ниже критической частоты НЕіпМодьі ДВ без потерь на каждом листе с конечным номером имеются спектральные точки квазисобственных волн, дисперсионные кривые которых не иметот непрерывного продолжения в области направляемых мод.
Этот вывод позволил уточнить результат, который был получен путем численного решения точного характеристического уравнения и представлен в [1], В данной диссертационной работе показано, что отсутствие решений характеристического уравнения для НЕіп мод ДВ без потерь в некоторой области частот ниже критической является артефактом, связанным с тем, что в [1] было использовано начальное приближение, неадекватное характеру поведения дисперсионных кривых ниже критической частоты.
В целях исследования применимости скалярного приближения в теории слабонаправляющих диэлектрических волноводов круглого поперечного сечения проводится сравнение численных решений точного и приближенного характеристических уравнений, соответственно, для гибридных мод НЕі2 и скалярных мод LP02. Рассчитываются поляризационные поправки к волновым числам скалярных мод в области как собственных, так и квазисобственных волн с учетом материальных потерь в оболочке волновода. Наибольших значений поляризационные поправки достигают в области квазисобственных волн. Погрешность расчета волновых чисел скалярных мод (относительные поляризационные поправки) наиболее велика вблизи отсечки и в области квазисобственных волн. Показано, что в области направляемых мод расчет поперечного профиля поля в скалярном приближении дает меньшую погрешность по сравнению с расчетом поперечного профиля в оболочке. В качестве примера рассчитывается пропускание ступенчатого перехода, состоящего из двух- и одномодового волноводов как в приближении слабонаправляющего волновода, так и без него, при преобразовании моды НЕі2 в основную (без учета отраженного поля направляемой моды и рассеянного излучения). Показано, что погрешность результата, полученного в скалярном приближении, увеличивается по мере приближения моды HEi2 к отсечке, а также с ростом поглощения в оболочке.
Во Второй Главе обсуждаются особенности дифракции стационарных световых пучков на макроскопических неоднородностях ДВ, а также особенности распространения как стационарных, так и нестационарных световых пучков в нелинейной среде. Проводится анализ математических методов моделирования, используемых в настоящее время для решения таких задач и обсуждаются возможные подходы к исследованию пространственно-временной динамики лазерных импульсов в нелинейных диэлектрических волноводах.
При дифракции на неоднородности в диэлектрическом волноводе мощность светового пучка частично переходит в мощность отраженных и прошедших направляемых мод, а частично излучается в окружающее пространство. Возбуждение поля излучения вносит определенные сложности в теорию диэлектрических волноводов по сравнению с теорией закрытых волноводов. Как известно, в закрытом волноводе электромагнитное поле может быть представлено как сумма дискретных мод. В случае ДВ задача усложняется необходимостью рассмотрения не только дискретных направляемых мод, но и поля излучения.
В сильном световом поле показатель преломления среды обнаруживает зависимость от интенсивности волны - проявляется нелинейность. Пропускание неоднородности в волноводе с керровскои нелинейностью зависит от начальной мощности лазерного пучка. Увеличение нелинейного пропускания по сравнению с линейным означает улучшение условий распространения для пучка с большей интенсивностью, что может быть использовано, например, для сжатия лазерных импульсов.
В представленном обзоре математических методов моделирования рассматриваются как полуаналитические, так и численные методы электродинамики. Приводятся примеры использования этих методов для решения нелинейных задач. До последнего времени эффекты преобразования оптических полей на неоднородностях нелинейных диэлектрических волноводов не рассматривались, хотя вопросы самофокусировки световых пучков в нелинейной однородной среде достаточно подробно обсуждались в ряде работ. В задачах распространения оптических импульсов в нелинейных волноводах использовался традиционный для нелинейной оптики подход, основанный на сведении исходной краевой задачи к нелинейному волновому уравнению параболического типа для медленно меняющейся амплитуды электрического поля. Поскольку при этом не учитывались производные по пространственным координатам, в итоге использовался формализм нелинейного уравнения Шредингера и методы теории солитонов.
В данной Главе проводятся оценки применимости параксиальной модели распространения, основанной на приближении медленно меняющейся амплитуды, в задачах дифракции стационарных световых пучков на резких неоднородностях диэлектрических волноводов. В параксиальной модели в качестве метода численного решения волнового уравнения используется метод конечных разностей, а в непараксиальной модели для определения полного поля используется метод функций Грина. Проводится сравнительный анализ результатов моделирования распространения полного поля, а также поля излучения, для двух типов ступенчатого перехода: 1. оба волновода одномодовые, 2. первый волновод двухмодовьтй, второй -одномодовый. Поскольку контраст профиля показателя преломления слабонаправляющего волновода мал, отраженным полем можно пренебречь. Это позволяет выделить свойство параксиальности (непараксиальности) как единственный фактор, определяющий различие результатов, полученных разными методами. Результаты моделирования показывают, что в параксиальной модели не учитывается высокочастотная интерференция направляемой моды и поля излучения. Однако, это не влияет на величину линейного пропускания структуры - в дальней зоне, в области пространственно-установившегося режима, амплитуды полей, рассчитанные в обеих моделях, асимптотически совпадают. Погрешность приближения медленно меняющейся амплитуды зависит от типа перехода и определяется относительным вкладом в полное поле как поля направляемой моды, так и поля излучения.
В Третьей Главе исследуется пространственная динамика стационарного лазерного пучка при его распространении через неоднородность, состоящую из двух последовательно соединенных линейного и нелинейного отрезков диэлектрического волновода (структура N1, Рис.ВІ), а также через ступенчатый переход (структура А, Рис.ВІ) в нелинейном диэлектрическом волноводе. Исходная краевая задача сводится к решению нелинейного волнового уравнения параболического типа (параксиального волнового уравнения) для медленно меняющейся амплитуды электрического поля.
Вначале, с использованием модифицированного обобщенного метода моментов выводятся приближенные аналитические решения нелинейного параксиального волнового уравнения для лазерного пучка, распространяющегося в волноводе с бесконечным параболическим поперечным профилем показателя преломления (в такой структуре поле не может излучаться из волноводной области). Затем, путем численного решения параксиального волнового уравнения методом конечных разностей, моделируется распространение ТЕ мод пленарного волновода и LP0tl мод волновода с круглым поперечным сечением в нелинейной структуре N1 (Рис.ВІ) со ступенчатым профилем показателя преломления. В таком волноводе часть поля может излучаться из волноводной области, что предопределяет особенности пространственной динамики лазерного пучка в случае несогласованного возбуждения нелинейного волновода. В отличие от волновода с бесконечным параболическим профилем показателя преломления, где, как известно [14], и как показано в данной работе, стационарный профиль пучка устанавливается только при определенных условиях возбуждения, в волноводе со ступенчатым профилем стационарная нелинейная мода устанавливается всегда при условии, что эффективное изменение показателя преломления в поле пучка сравнимо с контрастом линейного профиля волновода. Вследствие нелинейного самовоздействия полного поля часть поля излучения может распространяться вдоль оси волновода на большие расстояния, образуя латеральную часть пучка. Взаимодействие центральной и латеральной части приводит к осцилляциям полного поля.
Далее в данной главе делаются приближенные оценки и численно исследуется пропускание ступенчатого перехода (структура А, Рис.ВІ) в нелинейном волноводе со ступенчатым поперечным профилем показателя преломления в зависимости от мощности пучка, а также от характеристических частот составляющих переход волноводов. Для сравнения рассматриваются эффекты изменения пропускания, возникающие при пространственном ограничении лазерного пучка с помощью гауссовой диафрагмы в нелинейном волноводе с бесконечным параболическим поперечным профилем показателя преломления, а также в однородной нелинейной среде. Проводится сравнительный анализ рассматриваемых структур и обсуждается возможность использования нелинейных волноводов с неоднородностями для сжатия лазерных импульсов и в качестве внутрирезонаторных элементов лазеров с пассивной синхронизацией мод.
В Четвертой Главе дается подробное описание метода моделирования пространственно-временной динамики нестационарного лазерного лучка в нелинейном волноводе со ступенчатым поперечным профилем показателя преломления, анализируется его точность и эффективность в приложении к рассматриваемым задачам. Нелинейное нестационарное волновое уравнение параболического типа решается численно с использованием продольно-поперечной конечно-разностной схемы.
Затем исследуются особенности пространственно-временной динамики импульса в нелинейном волноводе со ступенчатым поперечным профилем показателя преломления в квазистатическом приближении. Как и в нелинейной однородной среде, распространение нестационарного лазерного пучка в нелинейном волноводе начинается с эффекта самофокусировки, приводящего к компрессии импульса. Однако, в таком волноводе самофокусировка сопровождается излучением части мощности из сердцевины. В результате на некотором расстоянии от торца формируется пространственно - временное распределение полного поля, которое имеет центральную и латеральную части. В оболочке латеральная часть поля образует импульс, который может распространяться вдоль оси волновода на большие расстояния. Длительность импульса в оболочке значительно меньше, чем в области сердцевины. В результате взаимодействия центральной и латеральной частей импульса в пространственно-временном распределении полного поля наблюдаются осцилляции, как и в случае стационарного пучка.
Далее анализируется роль эффектов волновой нестационарности (зависимость групповой скорости импульса от его интенсивности и инерционность нелинейного отклика) в пространственно-временной динамике поля в нелинейном волноводе в области нулевой дисперсии. Показано, что излучение части поля из сердцевины волновода вследствие изменения поперечного профиля нестационарного лазерного пучка при изменении его временного распределения под действием эффектов волновой нестационарности ослабляет действие этих эффектов.
Влияние эффекта дисперсии групповой скорости второго порядка на пространственно-временную динамику импульса анализируется для волновода как с бесконечным параболическим, так и со ступенчатым поперечным профилем показателя преломления (без учета эффектов волновой нестационарности). Для волновода с бесконечным параболическим профилем показателя преломления с помощью модифицированного обобщенного метода моментов выводится система уравнений, описьшающих пространственно-временную динамику поля, и обсуждаются ее стационарные и нестационарные решения. Затем рассматривается волновод со ступенчатым профилем показателя преломления и проводится детальный анализ взаимного влияния эффектов самофокусировки и дисперсии групповой скорости, определяющих характер пространственно-временной динамики импульса.
Делается вывод о том, что изменение временного распределения поля вследствие эффектов волновой нестационарности или эффекта дисперсии групповой скорости нарушает баланс между дифракционным уширением пучка и нелинейной рефракцией, так что часть поля постоянно вытекает из сердцевины волновода. Это, в свою очередь, создает дополнительную нелинейную фазовую модуляцию импульса и нарушает баланс между фазовой самомодуляцией и дисперсионным уширением. Таким образом, вытекание части мощности из волноводной области в виде поля излучения препятствует формированию пространственно-временного солитона.
В Пятой Главе исследуется возможность использования эффекта дифракции лазерного пучка на границах линейных и нелинейных сегментов диэлектрического волновода с периодически распределенной керровской нелинейностью в целях разработки новых методов и устройств для ограничения мощности лазерного излучения.
Рассматривается двумерная периодическая структура, состоящая из последовательно соединенных линейных и нелинейных волноводных сегментов (нелинейная решетка). Такая структура представляет собой, по сути, цепочку двуступенчатьгх переходов, каждый из которых состоит из последовательно соединенных линейного, нелинейного и линейного волноводов (структура N2, Рис.ВІ). Вначале рассматривается пространственное преобразование лазерного пучка в результате его распространения через двуступенчатый переход, в котором оба линейных волновода имеют одинаковый радиус (толщину), а радиус (толщина) нелинейного сегмента может быть произвольным. Если радиус (толщина) нелинейного сегмента отличается от радиуса (толщины) линейных волноводов, пропускание такой структуры не является полным и для слабого сигнала. Однако, в оптимальном ограничителе мощности пропускание слабого сигнала должно быть полным, что возможно в рассматриваемой структуре с одинаковым радиусом (толщиной) всех волноводов.
На основании оценок нелинейного пропускания двуступенчатого перехода, полученных для стационарного лазерного пучка, можно сделать определенные выводы о пространственно-временном преобразовании лазерного импульса в квазистатическом приближении. В целях уточнения полученных оценок проводится численное моделирование распространения спектрально-ограниченного импульса через двуступенчатыи переход и расчет изменения мощности и длительности импульса при его распространении. Затем моделируется распространение как стационарного, так и нестационарного лазерного пучка в нелинейной решетке и демонстрируется действие такой структуры как оптического ограничителя мощности.
Таким образом, показано, что эффект дифракции лазерного пучка на границах сегментов нелинейной решетки может быть использован для ограничения мощности лазерного излучения. Этот эффект обеспечивает ограничение мощности в широкой полосе частот, поэтому подходит для ограничения мощности сверхкоротких импульсов. Однако, в связи с тем, что керровская константа оптических стекол мала, порог ограничения мощности в таком ООМ сравнительно высок: пиковая мощность импульса ~ ГВт/см в кварцевых волноводах и ~ МВт/см в халькогенидных волноводах. Динамический диапазон ООМ на основе оптических стекол, соответственно, невелик, поскольку уже при пиковых интенсивностях фемтосекундных импульсов свыше ЮОГВт/см начинается разрушение материала волновода. Динамический диапазон такого ООМ можно несколько увеличить, уменьшая порог ограничения путем изменения характеристической частоты волновода, длины сегментов и их числа.
При достаточно большом числе нелинейных сегментов такая структура действует как стабилизирующее устройство не только в отношении мощности импульса, но также и в отношении его формы и длительности.
В Шестой Главе исследуется возможность использования неоднородностей в нелинейном диэлектрическом волноводе, действие которых эквивалентно действию насыщающегося поглотителя, в качестве внутрирезонаторных элементов волоконного кольцевого лазера с синхронизацией мод.
Сравнительный анализ используемых в настоящее время внутрирезонаторных элементов для керровскои синхронизации мод в твердотельных лазерах и аддитивной синхронизации мод в волоконных лазерах, с одной стороны, и предлагаемого в данной работе эффекта вытекания поля излучения на резкой неоднородности в нелинейном волноводе, с другой стороны, представлен в данной главе с использованием различных критериев, позволяющих сравнить рассматриваемые внутрирезонаторные элементы в отношении эквивалентности их действия действию насыщающегося поглотителя. Оцениваются величина и знак относительного изменения пропускания вследствие нелинейного самовоздействия в зависимости от геометрии структур. Рассчитывается отношение коэффициентов амплитудной и фазовой модуляции и, таким образом, стабильность режима генерации с синхронизацией мод. Коэффициент амплитудной модуляции поля в среднем по сердцевине в ступенчатом переходе нелинейного волновода на порядок превышает соответствующий коэффициент для используемых в настоящее время внутрирезонаторных устройств. Это позволяет повысить, соответственно, на порядок отношение амплитудной самомодуляции к фазовой и, таким образом, обеспечить большую стабильность режима синхронизации мод в волоконном лазере.
Таким образом, показно, что макроскопические неоднородности в нелинейных волноводах могут быть использованы как стабильные внутрирезонаторные элементы, осуществляющие функцию жесткого диафрагмирования и позволяющие разрабатывать схемы кольцевых волоконных лазеров с керровскои, а не аддитивной, синхронизацией мод.
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [15-53], из них 15 статей в реферируемых отечественных и зарубежных журналах и 14 статей в международных сборниках.
Особенности поведения дисперсионных кривых мод НЕі2 на листах римановой поверхности функции Макдональда
В соответствии с аналитическими оценками, представленными в п.1.1.2., эти дисперсионные кривые на плоскости w "закручиваются" вокруг точки w=0, причем, число оборотов определяется величиной n cl. Диапазон характеристических частот, соответствующий соответствующих такому "закручиванию", зависит от величины n cl. Действительно, первое и последнее пересечение дисперсионной кривой 2 на Рис. 1.4а с осью и происходит при К;=3.91-І0.06 и =3.84-10.06, соответственно. Для дисперсионной кривой 4 на Рис.1.4а получаем другие значения: F;=3.89-i0.03 и f =3.84-i0.03. Дисперсионные кривые направляемых мод волновода с большим поглощением в оболочке пересекаются с осью w " один раз и имеют продолжение в Ш квадранте на нулевом листе плоскости w (например, кривая 1 на Рис.1.3, 1.4). Дисперсионная кривая направляемых мод ДВ без потерь не имеет непрерывного продолжения ни на одном листе с конечным номером римановои поверхности функции Макдональда. Численное решение характеристического уравнения позволяет исследовать поведение спектральных точек, находящихся далеко от центра плоскости w.
Как известно [66], во II и IV квадрантах плоскости w расположены седловые области функции Макдональда. На Рис. 1.5а, где представлена качественная картина поведения спектральных точек на нулевом и первом листах римановои поверхности функции Макдональда, эти седловые области обозначены как S32 (спектральные точки, расположенные на нулевом листе (направляемые и вытекающие моды), обозначены значком о, а на первом листе (псевдособственные волны- значком ).
Дисперсионные кривые НЕіг моды на плоскостях поперечных волновых чисел w и и, а также продольного волнового числа Д Стрелками указано направление уменьшения параметра ка; n"cl =0.001(1),0.0004(2),0.0003(3),0.0002(4). "Звездочками" отмечены точки пересечения с осью w". п со = \.47, п ы 1.455,п"ео = 0. В этих областях на каждом листе римановой поверхности имеется некоторое число спектральных точек моды НЕіг, соответствующих заданному значению параметра ка и величине п"ы. Поэтому помимо дисперсионных кривых 1-5 на Рис.1.5а можно построить еще несколько кривых при заданной величине я", которые могут находиться как в физической, так и в нефизической областях. Например, на Рис.1.5а это линии 2 , соответствующие дисперсионной кривой 2. При увеличении номера листа седловые области Si 2 перемещаются ближе к центру плоскости w.
Результаты расчета корней характеристического уравнения в седловых областях представлены на Рис.1.5Ь. Видно, что дисперсионные кривые направляемых мод, непрерывно продолжающиеся в область квазисобственных волн, не пересекают граничных линий между физической и нефизической областями (на Рис.1.5Ь эти граничные линии совпадают с разрезами fi"=0). Во ТІ и IV квадрантах плоскости w дисперсионные кривые псевдомод пересекаются с этими граничными линиями, так что часть спектральных точек находится в области нефизических решений характеристического уравнения.
В п.1.1.2 показано, что дисперсионная кривая моды НЕі2 ДВ без потерь делает бесконечное число оборотов вокруг центра плоскости w, так что ниже частоты отсечки она не имеет непрерывного продолжения ни на одном листе с конечным номером N. Вместе с тем, на каждом ненулевом листе имеются 2 дисперсионных кривых псевдомод, лежащие в I и 111 квадрантах, и 2 дисперсионных кривых несобственных волн, лежащие во II и IV квадрантах (например, кривые 5 на Рис.1.5Ь), которые перемещаются к центру плоскости w по мере увеличения N (Рис. 1.6а). В пределе ЛГ=со эти дисперсионные кривые попадают в точку ветвления w=0 при V= Vc (в случае ДВ без потерь значение характеристической частоты на отсечке Vc 3.83). В этой точке на "бесконечном" листе (лист с номером ЛГ=оо) происходит соединение дисперсионной кривой направляемой моды и дисперсионных кривых псевдомод и несобственных волн.
Дисперсионные кривые моды НЕі2 на нулевом {сплошные линии) и первом (штриховые линии) листах плоскости w. n d: 0.0016 (1), 0.0015 (2), 0.0013 (3), 0,0008 (4), 0.0 (0,5). Цифрами с подчеркиванием отмечены некоторые значения V. С - разрез функции Макдональда, разрезы /ї"=0 (пунктирные линии) построены при пс1 =0.0015. В отличие от листов с конечным номером, расположение спектральных точек на этом листе имеет простой вид: 4 центрально-симметричных дисперсионных кривых. При V VC дисперсионные кривые на "бесконечном листе" совпадают с осями плоскости w (и с граничными линиями физической и нефшической областей). При V=VC спектральные точки оказываются в центре плоскости w, где они соединяются с дисперсионной кривой направляемой моды (при V VC спектральные точки направляемых мод ДВ без потерь находятся на положительной части действительной оси нулевого листа). Затем, при V VC, происходит расхождение дисперсионных кривых в квадрантах плоскости w. Можно сказать, что, в асимптотическом смысле, дисперсионные кривые направляемых мод ДВ без потерь имеют непрерывное продолжение ниже частоты отсечки на "бесконечном листе" римановой поверхности функции Макдональда.
В целях сравнения с зависимостями u (V) и u"(V), представленными на Рис.24.3 в [1], определялись значения и и и" из соотношения (1.7с) для значений w, рассчитанных для ДВ без потерь на нескольких листах, включая и "бесконечный лист" (Рис. 1.7). Кривые для и на Рис.24.3 в [1,57] имеют разрыв, так что в некоторой области частот ниже частоты отсечки спектральные точки отсутствуют. Однако, в численном методе Ньютона-Рафсона, использованном в [57], начальное приближение задавалось для волнового числа и, исходя из соотношения и V и w 0. При этом рассматривались только те спектральные точки, которые соответствуют Ш квадранту нулевого листа римановой поверхности функции Макдональда. Поскольку на этом листе, как и на всех листах с конечным номером N, нет непрерывного продолжения дисперсионных кривых направляемых мод ДВ без потерь, результаты, представленные в [1,57], были получены для дисперсионной кривой вытекающих мод, которая не имеет непрерывного продолжения в области направляемых мод (кривая 0 наРис.1.5Ь).
Математические методы моделирования распространения стационарных и нестационарных световых пучков в линейных и нелинейных диэлектрических волноводах с макроскопическими неоднородностями
В рамках того же дискретно-непрерывного (модового) представления был развит вариационный подход, преимущественно для расчета интегральных характеристик -коэффициентов пропускания и отражения ступенчатого перехода [80, 81]. Однако, трудности, порождаемые непрерывностью спектра ДВ, давали возможность получить аналитические оценки только для некоторых предельных случаев: при малых скачках толщины (радиуса) волновода Да или в ступенчатых переходах с предельно малыми, либо большими значениями характеристических частот волноводов. "Точное" численное решение, использующее вариационный подход Галеркина - Ритца, в сочетании с представлением непрерывного спектра дискретной последовательностью функций Лагерра и не связанное с малостью величины Ла, получено в [82].
Одним из наиболее общих методов для моделирования нерегулярных структур в теории закрытых волноводов является метод поперечных сечений (или метод связанных мод), который был развит в работах Каценеленбаума [83]. Согласно этому методу, в каждой поперечной плоскости нерегулярного волновода поле разлагается по системе волн регулярного волновода сравнения, что эквивалентно представлению неоднородности в виде последовательности ступенчатых переходов. Если неоднородность является плавной (структура D, Рис.В 1 на стр. 11), можно использовать представление о связанных локальных волнах, что, в случае ОВ, приводит к системе интегро-дифференциальных уравнений для коэффициентов разложения [60] (в отличие от закрытых волноводов, где в этом случае имеем систему дифференциальных уравнений). При этом связь между различными модами излучения, а также связь вперед распространяющихся мод с модами отраженного поля игнорируется. В отдельных случаях метод связанных волн позволяет получить приближенные аналитические решения [64,84,85]. В случае резкого изменения параметров используется описанная выше процедура дискретизации непрерывного спектра и сшивания полей в плоскости ступенчатого перехода каждого из поперечных сечений.
Следует отметить, что метод связанных мод широко используется для анализа взаимодействия встречных мод в нелинейных волноводных решетках в одномерном приближении [86]. Адекватным методом изучения задач дифракции на компактных неоднородностях типа В или С (Рис.В 1 на стр. И), нагруженных на ДВ, является метод аналитических оператор-функций в сочетании с методами регуляризации, т.е. сведения исходной краевой задачи для уравнений Максвелла к эквивалентному интегральному операторному уравнению Фредгольма - метод интегральных уравнений (ИУ) [9,87]. Возникающие здесь интегралы имеют смысл обобщенных объемных потенциалов, а их ядра выражаются через функции Грина двумерных задач Дирихле и Неймана для однородной среды. Контур интегрирования в интеграле Фурье проходит вдоль вещественной оси "физического" листа поверхности Римана. Особенности функций Грина определяются решениями однородного уравнения Фредгольма и совпадают с собственными функциями однородной исходной задачи, удовлетворяющими на бесконечности обобщенному условию излучения. Продолжение условия излучения в комплексную плоскость позволяет построить элементы спектральной теории задач дифракции на неоднородностях ДВ (как было показано в Главе I, задачу отыскания спектральных точек и соответствующих им обобщенных собственных волн можно поставить и изучить вне задачи возбуждения ДВ).
Метод интегральных уравнений в сочетании с методом функций Грина был применен для исследования компактных неоднородностеЙ в планарном диэлектрическом волноводе, причем, рассматривалось резкое изменение диэлектрической проницаемости [88], а также цилиндрическая неоднородность произвольного размера в сердцевине с постоянной толщиной [89]. В обоих случаях задача была сведена к объемным ИУ, а затем использовалось разлоясение полного поля по пространственным гармоникам - плоским волнам или иилиндрическим функциям, в зависимости от геометрии задачи. Обпщй подход к задаче рассеяния на неоднородностях произвольной формы в ДВ любого поперечного сечения, основанный на спектральном разложении полного поля, представлен в работе [90], где, в частности, с использованием метода моментов рассчитаны коэффициенты отражения и пропускания для резкого изменения диэлектрической проницаемости в сердцевине. Задача рассеяния поля плоской волны на диэлектрически-неоднородных цилиндрах кругового и прямоугольного сечения, расположенных в слоистой диэлектрической среде, рассмотрена в работе [91]. Поперечное сечение рассеивателя было поделено на малые ячейки и поле полагалось постоянным в пределах каждой ячейки. Двойные интегралы по площади каждой ячейки от функции Грина, имеющей логарифмическую особенность, были преобразованы в однократные интегралы с использованием уравнения Гельмгольца.
Пространственное ограничение лазерного пучка в нелинейных волноводах с бесконечным параболическим поперечным профилем показателя преломления
Наиболее сильные изменения поперечного профиля пучка при самофокусировке происходят в сердцевине волновода (Рис.3.8а). При V Vm эффект увеличения интенсивности поля на оси волновода, как и мощности пучка в сердцевине, меньше при больших V. Это означает, что и норма нелинейной моды в сердцевине уменьшается. При V Vm эффект увеличения интенсивности поля на оси больше при больших V, а эффект увеличения мощности в сердцевине - наоборот, меньше. Это означает, что сужение и "вытягивание" профиля пучка приводит к уменьшению нормы моды в сердцевине. "Полная" мощность сильнее уменьшается при малых V (Рис.3.8Ь) поскольку в этом случае поле моды слабее удерживается волноводом, так что значительная его часть распространяется в оболочке.
Таким образом, эффект самофокусировки сильнее выражен в волноводах с малой характеристической частотой. Действительно, при малых V профиль моды сильнее меняется при изменении параметров волновода, о чем говорит, к примеру, зависимость относительной ширины поля основной линейной моды (ширины, нормированной на толщину (радиус) волновода) от характеристической частоты. Как известно, относительная ширина поля основной моды уменьшается с ростом V [1], причем, если при малых V уменьшение происходит быстро, то при больших V относительная ширина поля основной моды практически не меняется.
Представленные выше результаты получены при следующих значениях основных параметров: длина волны Х=\.ЪЪмкм, профиль показателя преломления планарного волновода: псо=\Л9\, ис/=1.487; цилиндрического волновода: пт=\Л1, wd=1.458. Заметим, что количественное различие результатов для волноводов разной геометрии связано, прежде всего, с различием контраста профиля показателя преломления $n-(n2co-nl,)/2n2co. Для планарного волновода: Зп=0.003, а для цилиндрического ди=0.01. Поэтому волноводные свойства планарной структуры слабее и параметры светового пучка сильнее меняются при его нелинейном самовоздействии.
Показано, что при возбуждении нелинейного волновода его стационарной линейной модой возможно установление поля, поперечный профиль которого не меняется при распространении.
В соответствии с известными результатами [14], в случае волновода с бесконечным параболическим поперечным профилем показателя преломления стационарный пучок формируется только при некотором начальном распределении поля, которое определяется как мощностью пучка, так и геометрией волновода. При других условиях возбуждения параметры пучка периодически меняются воль оси волновода, но полная мощность сохраняется. Период изменения пространственных параметров меньше в волноводах с большей характеристической частотой.
В отличие от волновода с бесконечным параболическим профилем, при несогласованном возбуждении нелинейного волновода со ступенчатым поперечным профилем показателя преломления всегда формируется стационарный пучок ("нелинейная мода") при условии, что эффективное изменение показателя преломления в поле пучка сравнимо с контрастом линейного профиля волновода. Пространственная динамика лазерного пучка с начальным поперечным профилем, соответствующим линейной моде, начинается в нелинейном волноводе с самофокусировки (сужение ширины пучка в пределах Ь #) и излучения части поля из сердцевины волновода в оболочку, что приводит к уширению и осцилляциям пучка в области ПНР. По мере вытекания излучения из сердцевины пучок сужается, и его ширина, а также мощность, принимают стационарное значение. В связи с тем, что часть поля излучается из сердцевины, мощность и поперечное распределение нелинейной моды зависят от условий возбуждения.
В результате несогласованного возбуждения в нелинейном волноводе формируется латеральная часть лазерного пучка, которая может распространяться вдоль оси волновода на большие расстояния как часть полного поля. Латеральная часть пучка образована преимущественно полями вытекающих мод, расходимость которых уменьшается с ростом мощности пучка. Взаимодействие центральной и латеральной части приводит к периодическим осцилляциям полного поля.
Сравним результаты, полученные для обеих структур. В той и другой структурах максимальное значение ДГ1"3 = q/(}-q). Согласно формуле (3.12), в волноводе с бесконечным параболическим профилем показателя преломления AT- - дТ при wo, wd — 0. В случае однородной среды АТ АТпшх при w /w0 - Оиг- со (формула (3.16)). Однако, пропускание Т в этом случае стремится к нулю в обеих структурах (см. формулы (3.9) и (3.14)). Сравнение Рис.3.10а и 3.10b показывает, что в волноводе с параболическим профилем показателя преломления для получения сравнительно большой величины AT достаточно, чтобы хотя бы один из параметров (w0 или wj) был мал, в то время как в однородной среде размер диафрагмы должны быть значительно меньше размера перетяжки гауссового пучка.
Отметим, что представленные выше результаты получены для случая, когда диафрагма расположена в таких точках волновода с параболическим профилем показателя преломления, где рассматриваемый эффект максимален. Как отмечалось выше, в некоторых точках АТ=0. Таким образом, как в однородной среде, так и в волноводе с параболическим профилем показателя преломления рассматриваемый эффект в значительной степени зависит от юстировки.
Распространение лазерного импульса в нелинейном волноводе со ступенчатым поперечным профилем показателя преломления в области нулевой дисперсии. Квазистатическое приближение
В области ПНР ширина поперечного распределения пучка периодически меняется в результате взаимодействия поля направляемой моды с полем излучения. После того, как часть мощности излучится в оболочку, дифракционное уширение светового пучка компенсируется эффектом самофокусировки, и в области сердцевины наблюдается пространственно-временное распределение поля, которое не меняется при распространении (при условии, что эффективное изменение показателя преломления в сильном поле сравнимо с контрастом линейного профиля волновода). Мощность излучения, распространяющегося в сердцевине, увеличивается вследствие эффекта самофокусировки, а длительность импульса уменьшается, как и средне-квадратичная ширина поперечного распределения поля (РисАЗа). В квазистатическом случае этот эффект не зависит от начальной длительности импульса. Полные потери зависят от мощности входного импульса так же, как и при распространении стационарного излучения, а именно - растут с ее увеличением (Рис.4.ЗЬ).
В нелинейном волноводе форма и длительность импульса зависят от поперечной координаты лазерного пучка (Рис.4.4). Если на оси волновода длительность импульса всегда меньше начальной, а распределение по времени близко к гауссовому, то в других точках сердцевины и в некоторой области оболочки среднеквадратичная длительность импульса может быть больше начальной. Однако, это связано с изменением формы импульса, что хорошо видно на Рис.4.4с - вместо начального гауссовою распределения в плоскостях x=const формируется "раздвоенное" распределение по t. Этот эффект обусловлен большим сужением и вытягиванием поперечного распределения лазерного пучка в области пика импульса, чем на краях.
Вслед за уширением, начиная с некоторого Хт, в оболочке начинается уменьшение длительности импульса, причем, длительность импульса в оболочке значительно меньше, чем в области сердцевины. В области ПНР величина Хт зависит от z (кривые 1-3 на Рис.4.4а). На больших расстояниях от торца зависимость т(х) имеет вид кривой 4 и слабо зависит от z. Уменьшение длительности импульса в оболочке обусловлено тем, что эффект излучения поля из сердцевины волновода максимален в области пика импульса. Согласно полученным результатам, а также результатам, представленным в п.ЗЛЛ, импульс в оболочке формируется преимущественно полями вытекающих мод и соответствует латеральной части нестационарного лазерного пучка. Такой импульс может распространяться в оболочке вдоль оси волновода на большие дистанции.
Поскольку в квазистатическом приближении амплитуда импульса зависит от времени, как от параметра, то вследствие эффекта самофокусировки ширина поперечного распределения в нелинейном волноводе также зависит от временной координаты и имеет минимальное значение в пике импульса (Рис.4.7а, сплошные линии). Однако, в квазистатическом приближении осевая симметрия сохраняется как в продольном, так и в поперечном распределении поля.
Согласно результатам, представленным на Рис.4.4а, среднеквадратичная длительность импульса зависит от поперечной координаты. Поэтому интегральная длительность импульса зависит от размеров области поперечного сечения Хь, в которой производится усреднение интенсивности по формуле (4.10d) при ;=0. Результаты расчета длительности импульса по формуле (4.10а) при различных Хь представлены на Рис.4.6. Если усреднение производится в пределах области сердцевины волновода, получаем сужение импульса, и в наибольшей степени на оси (Хь=0). При усреднении в области \х\ а на том же расстоянии от торца нелинейного ДВ можно получить противоположный результат: длительность импульса становится больше начальной в связи с тем, что "полные" потери на излучение в области пика импульса больше, чем на краях.
Путем численного моделирования установлено, что при возбуждении нелинейного волновода со ступенчатым профилем показателя преломления нестационарным лазерным пучком в оболочке волновода формируется импульс, длительность которого значительно меньше длительности импульса в области сердцевины. Образование такого импульса в оболочке связано с тем, что эффект излучения поля из сердцевины больше в пике импульса, чем на краях. При больших мощностях импульс в оболочке, образованный преимущественно полями вытекающих мод, может распространяться на большие дистанции вдоль оси волновода, как латеральная часть поля нестационарного лазерного пучка.
В результате самофокусировки в ДВ уменьшается как ширина пучка, так и длительность импульса, причем, этот эффект зависит от величины входной мощности и не зависит от начальной длительности. Однако, при допустимых значениях мощности, пиковая интенсивность фемтосекундных импульсов больше, чем пикосекундных, поэтому при распространении фемтосекундных импульсов следует ожидать больших пространственно-временных изменений.
Среднеквадратичная длительность импульса в нелинейном волноводе, рассчитанная в некоторой области поперечного сечения посредством усреднения интенсивности лазерного пучка, зависит от размеров этой области. Если усреднение производится в области сердцевины, длительность импульса меньше начальной. При увеличении области усреднения длительность импульса растет и при некоторых достаточно больших размерах области усреднения становится больше начальной.
