Содержание к диссертации
Введение
1 Приближенная модель распространения внеосевого пучка в нелинейной среде 16
1.1 Полуаналитические методы описания пучков света в нелинейных средах 16
1.2 Модифицированный обобщенный метод моментов 19
1.3 Применение модифицированного обобщеного метода моментов к внеосе-вым пучкам 21
1.4 Модель среды и матричные элементы восприимчивости 25
2 Внеосевои гауссов пучок в квадратично-неоднородной среде с керовской нелинейностью: аналитическое исследование 28
2.1 Общие свойства системы 29
2.2 Стационарные режимы 32
3 Внеосевои гауссов пучок в нелинейных средах: анализ сложных динамических режимов 39
3.1 Прозрачные волноводные среды параболического профиля 40
3.1.1 Круглый волновод 40
3.1.2 Эллиптический волновод 44
3.2 Гауссов волновод: основные особенности 48
3.3 Волноводные среды с диссипацией 51
4 Границы применимости и качество описания динамики пучков на основе модифицированного метода моментов 56
4.1 Область моделируемых физических явлений 56
4.2 Динамика поля и его моментов в прямом численном эксперименте: сравнение с результатами МОММ 58
4.3 Соответствие модели на основе МОММ физическому эксперименту: возможные параметры оптических систем 63
5 Примеры возможных областей практического использования результатов диссертации 66
5.1 Измерение керровской константы 66
5.2 Новые возможности повышения эффективности керровской синхронизации мод 67
5.3 Метод снижения локальной интенсивности световых пучков высокой мощности 70
Заключение и выводы 74
Список литературы 78
Приложение 86
- Применение модифицированного обобщеного метода моментов к внеосе-вым пучкам
- Гауссов волновод: основные особенности
- Динамика поля и его моментов в прямом численном эксперименте: сравнение с результатами МОММ
- Новые возможности повышения эффективности керровской синхронизации мод
Введение к работе
Предмет исследования и актуальность проблемы
Задача о распространении светового пучка в нелинейной неоднородной среде в подавляющем большинстве работ решается в аксиально симметричной постановке. Вместе с тем, в системах с естественной осью симметрии (волноводы, резонаторы, нелинейные оптические схемы с встречными пучками и т.п.) большое значение имеют эффекты, связанные с разъюстировкой, то есть с отклонением оси пучка от естественной оптической оси системы. В некоторых случаях, как например, в схемах спектроскопии суб-доплеровского разрешения, такая разъюстировка вводится сознательно, например, для устранения паразитной обратной связи между задающим лазером и встречной пробной волной. В других случаях разъюстировка возникает как побочный нежелательный эффект, влияние которого на функционирование оптической схемы должно учитываться при ее математическом моделировании. И, наконец, представляет интерес поиск особенностей распространеніш внеосевых пучков, могущих найти специальное практическое применение. Во всех перечисленных случаях при значительной интенсивности рассматриваемого пучка могут проявляться эффекты самовоздействия, связанные с оптической нелинейностью среды, что, с одной стороны, приводит к заметному усложнению задачи, а с другой - к появлению новых интересных физических свойств. Сами эффекты самовоздействия, связанные с поперечной ограниченностью световых пучков хорошо известны и играют существенную роль в динамике лазеров, задачах спектроскопии высокого разрешения в газах, в экспериментах по лазерному разделению изотопов и
физике нелинейных оптических волноводов. Однако, особенности самовоздействия аксиально несимметричных пучков изучены недостаточно.
Основой моделирования волновых пучков в средах с крупномасштабными (по сравнению с длиной волны) неоднородностями является скалярное параболическое (параксиальное) волновое уравнение. Его численное решение в случае отсутствия аксиальной симметрии усложняется из-за повышения размерности задачи. Несмотря на прогресс вычислительной техники и рост памяти и быстродействия современных компьютеров, продолжает оставаться актуальной задачей разработка приближенных методов сокращенного описания пучков при помощи конечного числа зависящих от продольной координаты переменных. Интерес к такого рода подходам связан не только с потребностью в упрощении численных расчетов, но и, в гораздо большей степени, с их преимуществами по сравнению с прямыми численными методами в плане физической интерпретации результатов. Распространенные в литературе подходы указанного типа, как правило, связаны либо с грубыми допущениями (безаберрационное приближение), либо с теми или иными ограничениями на характер нелинейности и/или неоднородности среды (например, отсутствие диссипации). Как правило, рассматривались аксиально-симметричные пучки, а оценка эффектов разъюстировки проводилась либо в линейной среде, либо в частных случаях, либо в грубых приближениях.
При сведении параксиального волнового уравнения к системе обыкновенных дифференциальных уравнений для параметров пучка фактически происходит хорошо известное в физике нелинейных волн сведение распределенной динамической системы к системе с сосредоточенными параметрами конечной размерности. В получающейся динамической системе продольная координата пучка играет роль эволюционной переменной - времени. Предварительный анализ показывает, что даже в отсутствие оптической нелинейности среды динамическая система, описывающая пучок, является нелинейной. Естественно возникающей задачей является исследование этой системы с применением хорошо разработанного математического аппарата нелинейной динамики. Для аксиально несимметричных пучков со сдвигом, астигматизмом и кручением такое исследование
ранее не проводилось.
Таким образом, актуальной задачей является развитие методов сокращенного описания аксиально несимметричных пучков в волноводных средах с нелинейностью, неоднородностью и диссипацией, проведение детальных численных исследований, сложного поведения пучков, включающего сдвиги, пульсации и вращения, а также систематическое рассмотрение модели пучка как нелинейно-динамической системы с использованием современного математического аппарата.
Цель диссертационной работы
Целью диссертационной работы является построение конечномерной математической модели, описывающей распространение обобщенных гауссовых пучков в нелинейных волноводных средах, и исследование ее как динамической системы.
Для реализации поставленной цели решаются следующие основные задачи:
Обобщение модифицированного обобщенного метода моментов (МОММ) (В.Л. Дербов, Л.А.Мельников, А.Д.Новиков. Кв. электрон., 14, 2529 (1987)) на случай обобщенных гауссовых пучков со сдвигом, астигматизмом и кручением в аксиально симметричной среде с неоднородностью, нелинейностью и диссипацией.
Выяснение особенностей поведения внеосевых пучков в градиентных волноводных, средах на конкретных примерах путем численного моделирования в рамках МОММ.
Анализ конечномерной модели, описывающей распространение внеосевого пучка в градиентной волноводной среде с оптической нелинейностью, в терминах нелинейной динамики.
Исследование применимости МОММ с точки зрения как аппроксимации поля, так и описания динамики моментов пучка на основе сравнения с результатами прямого численного решения волновой задачи с использованием абсолютно устойчивой схемы.
На защиту выносятся следующие основные результаты и положения
Конечномерная математическая модель, позволяющая описывать распространение обобщенных гауссовых пучков в нелинейных волноводных средах в терминах нелинейной динамики.
Результаты численных экспериментов, которые указывают на сложное поведение внеосевых пучков в волноводных средах с нелинейностью и диссипацией, включающее поперечное смещение пучка как целого, колебания его интенсивности и размеров, а также вращение вокруг собственной оси.
В среде с квадратичным профилем показателя преломления и керровской нелинейностью динамика интенсивности, размеров пятна, кривизны волнового фронта и углов вращения не зависит от поперечного движения пучка в целом.
В волноводной среде указанного выше типа возможна динамически устойчивая структура астигматического пучка, пятно которого сохраняет фиксированный размер и вращается вокруг своей оси с постоянной угловой скоростью.
Научная новизна
Научная новизна результатов диссертации состоит в развитии новой математической модели и обнаружении ранее не исследованных физических эффектов и особенностей динамики обобщенных гауссовых пучков в градиентных волноводных средах с нелинейностью и диссипацией.
1. На основе МОММ построена новая приближенная математическая модель распространения обобщенного гауссова пучка с астигматизмом и кручением в градиентной нелинейной среде, лишенная принципиальных недостатков безаберрационного подхода.
Динамическое рассмотрение астигматического пучка в нелинейных волноводных средах впервые выполнено с одновременным учетом всех степеней свободы, в том числе при наличии диссипации.
В среде с квадратичным профилем показателя преломления найдены условия стационарного распространения пучка с учетом нелинейности. Исследованы особенности поведения системы вблизи состояний равновесия.
Обнаружена и исследована динамически устойчивая структура астигматического пучка, пятно которого сохраняет фиксированный размер и вращается вокруг своей оси с постоянной угловой скоростью.
С использованием результатов численного эксперимента продемонстрирована устойчивость периодических режимов распространения пучка в линейном случае.
Впервые исследованы квазипериодические режимы динамики параметров обобщенного гауссова пучка в параболической среде с керровской нелинейностью, неоднородной либо нелинейной диссипацией, а также в волноводе с гауссовым профилем линейной рефракции.
Впервые предложено использовать особенности распространения астигматических пучков со сдвигом и кручением в керровской среде для измерения константы Кер-ра, повышения эффективности устройств для синхронизации мод в лазерах, а также для повышения максимальной мощности излучения, передаваемой по волноводам при наличии ограничений на предельную напряженность поля.
Достоверность результатов диссертации
Для тестирования приближенной динамической модели, рассматриваемой в диссертации, проводились специальные расчеты пучков на основе численного решения параболического волнового уравнения с использованием различных методов (разложение
по модам Гаусса-Лагерра, схема Кранка-Николсона с покоординатным расщеплением и комплексным скейлингом). Оценены условия применимости гауссовой аппроксимации поля в нелинейной среде. Показано, что в ряде случаев динамика моментов пучка правильно описывается предложенной моделью даже тогда, когда профиль пучка заметно отличается от гауссова. Результаты расчетов совпадают с известными для частных случаев.
Научная и практическая ценность результатов
Моделирование внеосевых пучков в поперечно-неоднородных нелинейных средах важно для учета и интерпретации эффектов, возникающих при несоосном возбуждении оптических волноводов, а также в активных и пассивных элементах разъюстированных резонаторов. С вычислительной точки зрения разработанная модель сочетает простоту описания, свойственную безаберрационным моделям, с отсутствующей у них внутренней непротиворечивостью. При небольших деформациях поля она вполне пригодна для оценки слабых проявлений самовоздействия. Более того, именно для слабой разъюсти-ровки и малых нелинейных искажений первоначально гауссова пучка, что часто имеет место на практике, наша модель имеет преимущество перед прямыми численными решениями волновой задачи, требующими выделения малых сдвигов поля на фоне неизбежных численных ошибок.
Проведенные исследования расширяют представления о сложном поведении внеосевых астигматических пучков в волноводных средах, что может оказаться полезным как при учете неизбежных, хотя и нежелательных разъюстировок в реальных оптических устройствах, так и при поиске возможностей полезного применения разъюстировки, вводимой сознательно.
С более общей познавательной точки зрения важно то, что рассмотренная модель представляет собой результат сведения волновой задачи к дискретной нелинейно-динамической системе, которая затем исследуется стандартными методами нелинейной динамики. Мы одними из немногих предприняли попытку применить анализ динамики
моментов к задаче о распространении лазерных пучков. Следует отметить, что аналогичные подходы (сведение к дискретным переменным и численное исследование их динамики) вообще-то достаточно традиционны для физики волн и сплошных сред (достаточно вспомнить модель Лоренца). Недавно они не без успеха применялись, например, в задаче о когерентных состояниях квантовых осцилляторов [1]. В широком плане развитие подобных подходов важно для установления междисциплинарных связей, выявления единых закономерностей протекания различных физических процессов и развития единого языка их описания, основанного на нелинейно-динамическом подходе. Для нелинейной динамики оптика лазерных пучков, как продемонстрировано в нашей работе, может рассматриваться как источник новых физически содержательных моделей.
В работе специально рассматриваются и оцениваются возможности .использования обнаруженных особенностей распространения астигматических пучков со сдвигом и кручением в керровской среде для прикладных целей. К ним относятся измерение константы Керра, повышение эффективности устройств для синхронизации мод в лазерах. Показано, что использование пучков с равномерным вращением астигматического пятна постоянных размеров перспективно с целью передачи максимальной мощности по волноводам при наличии ограничений на предельную напряженность поля.
Апробация работы
Результаты работы докладывались на следующих научных конференциях:
Проблемы фундаментальной физики (Саратов, 1996)
Школа по оптике, лазерной физике и оптоэлектронике, (Саратов, 1997)
Saratov Fall Meeting'98: Light Scattering Technologies for Mechanics, Biomedicine, and Material Science, (Saratov, Russia, 1998)
International Conference on Transparent Optical Networks (Kieice, Poland, 1999)
Saratov Fall Meeting'99: Laser Physics and Spectroscopy (Saratov, Russia, 1999)
6. 2nd International Conference on Transparent Optical Networks (Gdansk, Poland, 2000)
Работа выполнена в Саратовском государственном университете.
Публикации
Результаты диссертации опубликованы в 12 работах, из них 3 статьи в реферируемых отечественных и зарубежных журналах и 7 статей в международных сборниках.
Личное участие автора
Результаты, составившие основу диссертации, получены лично автором. Ряд работ выполнен совместно с В.Л.Дербовым и Л.А.Мельниковым при совместной постановке задач и обсуждении полученных результатов. При этом автору принадлежит проведение теоретических исследований и физическая интерпретация результатов; численные эксперименты проводились на основе программного обеспечения, разработанного автором. В проведении тестовых численных экспериментов участвовал В.В.Серов. Вклад автора в работы, выполненные совместно с этими и другими соавторами, отмечен в тексте диссертации.
Объем и структура работы
Диссертация состоит из введения, 5 глав, заключения, списка литературы, включающего 68 наименований и приложения. Общий объем диссертации - 92 страницы текста (в том числе 30 рисунков).
КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ
Во Введении обозначен предмет исследования, обоснована актуальность темы, дан сжатый анализ состояния проблемы к моменту начала исследований, сформулированы
цель и задачи работы, основные положения, выносимые на защиту, охарактеризованы новизна полученных в диссертации результатов, их научное и практическое значение, апробация работы, публикации по ее теме, личное участие автора в выполнении работы, ее объем и структура, а также кратко изложено содержание диссертации.
Первая глава включает четыре раздела. В первом разделе приводится краткий обзор используемых в литературе методов теоретического описания распространения лазерных пучков в нелинейных средах. Основной акцент делается на приближенных полуаналитических подходах. Второй раздел начинается с изложения основных положений модифицированного обобщенного метода моментов (МОММ), предложенного Л.А.Мельниковым. В этом методе решение параксиального волнового уравнения ищется в виде пробной функции (например, гауссовой), параметры которой зависят от продольной координаты z. Уравнения для этих параметров получаются из условий ортогональности невязки функциям ортонормированного базиса. Моды этого базиса содержат те же зависящие от z параметры, что и пробная функция, и в этом смысле являются гибкими, что в итоге позволяет резко уменьшить их число, необходимое для удовлетворительной аппроксимации поля.
Центральное место в главе занимает третий раздел, в котором МОММ применяется для построения математической модели, описывающей распространение обобщенного астигматического гауссова пучка со сдвигом и кручением в среде, имеющей естественную ось симметрии. При этом общий метод не накладывает ограничений на функциональный вид восприимчивости среды, что дает принципиальную возможность рассматривать среды с произвольным типом неоднородности, нелинейности и диссипации.
В последнем разделе главы определяются модели сред, соответствующие целям настоящей работы, динамические свойства которых могут представлять практический интерес. Вычисляются соответствующие матричные элементы от восприимчивостей, входящие в правые части уравнений системы.
Во второй главе с помощью аналитических приемов изучаются общие свойства системы. Выводятся условия стационарного распространения пучков в различных ере-
дах, делаются оценки их устойчивости. Наряду с классическим стационарным состоянием волноводной моды (плоский волновой фронт, неизменное вдоль z поперечное распределение поля) для волновода параболического профиля с керровской нелинейностью обнаружен нетривиальный режим равномерно вращающегося пятна с неизменными размерами. При этом неплоский фазовый фронт также сохраняет свои размеры и форму, знаки главных значений кривизны противоположны а угол поворота пятна относительно волнового фронта постоянен и составляет 7г/4.
Третья глава посвящена численному анализу сложных динамических режимов системы с использованием фазовых портретов и отображений Пуанкаре. Для определенных значений параметра керровской нелинейности среды обнаружены явления резонанса частот колебаний переменных. Описан также нелинейный эффект появления новых частот в спектре осцилляции переменных. На соответствующих фазовых портретах он проявляется в форме рождения циклов. В различных двумерных проекциях отображения Пуанкаре на плоскость равной интенсивности можно наблюдать резонанс более сложного вида, в частности частот колебаний трех переменных. Исследованы особенности движения центра астигматического пучка в эллиптическом волноводе. Показано, что имеет место зависимость размера области, которую заполняет проекция траектории центра пятна на поперечную плоскость волновода, от мощности пучка. Далее модель волноводной среды дополнена неоднородной нелинейной диссипацией гауссова вида, что приводит к усложнению динамики пучка, благодаря одновременному проявлению линзовых и апертурных эффектов. Демонстрируется, что при фиксированной длине распространения в зависимости от параметров волновода и начальных условий малые изменения неоднородного поглощения весьма различным образом влияют на выходные значения переменных пучка, причем в некоторых случаях это влияние незначительно, а в других весьма велико.
Принципиальным недостатком модели бесконечной среды с квадратичным профилем рефракции является не имеющий физического смысла бесконечный рост показателя преломления при значительном удалении от оси. Более реалистичной в этом смы-
еле является модель с гауссовым профилем рефракции. Ограничения применимости МОММ к данной модели волновода проанализированы в главе 4.
Анализ достоверности результатов и области применимости используемых моделей и приближений проводится в четвертой главе. Для этого решение параксиального волнового уравнения было выполнено прямыми численными методами (разложение поля по поперечным модам Гаусса-Лагерра, схема Кранка-Николсона с использованием покоординатного расщепления и комплексного скейлинга). Приближенный характер основной модели, основанной на МОММ, требует ответа на два вопроса: 1) какова точность аппроксимации поля в случае, когда первоначально гауссов пучок испытывает негауссовы искажения из-за неоднородности или нелинейности среды; 2) насколько точно уравнения МОММ воспроизводят динамику моментов, рассчитанных по результатам прямого численного решения. Показано, что в случае прозрачной среды с квадратичной линейной неоднородностью и керровской нелинейностью результаты МОММ хорошо согласуются с прямыми численными расчетами. Для среды с гауссовым профилем линейной рефракции аппроксимация одной обобщенной гауссовой модой, как и следовало ожидать, дает приемлемые результаты в двух случаях. Первый соответствует почти свободной дифракции широкого пучка, второй - режиму сильной локализации пучка в центральной области сердцевины волновода, когда вытеканием излучения можно пренебречь. Таким образом, применимость используемой версии МОММ для детального воспроизведения поля ограничена. Целью данной работы, однако, является исследование динамики переменных пучка. Далее приводится корректное определение моментов таблично заданного поля, соответствующих переменным модели МОММ. Это поле может быть найдено численно или измерено экспериментально. На ряде примеров показано, что модель МОММ способна правильно описывать динамику моментов даже в тех случаях, когда профиль поля испытывает заметные негауссовы искажения. Приведены оценки, демонстрирующие физическую реализуемость исследованных режимов распространения пучка.
Пятая глава содержит примеры практических приложений изученных особенно-
стей динамики пучков. Предлагается способ измерения керровской константы, основанный на зависимости скорости равномерного вращения пятна (в режиме, описанном в главе 2) от мощности пучка. На основе этого, и некоторых других эффектов далее рассматриваются возможные пути повышения эффективности керровской синхронизации мод. Наконец, показано, что особенности режима равномерно вращающегося пятна могут быть использованы для снижения локальной интенсивности световых пучков высокой мощности. В натурном эксперименте последнее приводит к снижению вероятности появления мелкомасштабной неустойчивости.
В Заключении резюмируются основные результаты и оцениваются перспективы работы.
В Приложение вынесено описание использованных методов прямого численного решения параболического волнового уравнения на основе разложения поля по поперечным модам Гаусса-Лагерра, а также схемы Кранка-Николсона покоординатного расщепления с комплексным скейлингом.
Применение модифицированного обобщеного метода моментов к внеосе-вым пучкам
Моделирование распространения волновых пучков в средах с крупномасштабными по сравнению с длиной волны неоднородностями, как известно, можно проводить на основе скалярного параболического волнового уравнения [2, 3]. Прямое численное решение многомерной волновой задачи (см., например, [4, 5,6, 7, 8, 9,10,11,12]) является наиболее общим подходом, но требует значительных компьютерных ресурсов и представляет известные трудности для интерпретации результатов. Общие выводы о динамике пучка при этом носят характер эмпирических наблюдений, которые далее нуждаются в теоретическом доказательстве. При описании реального эксперимента подлежащие учету искажения пучка (неаксиальность, астигматизм и пр.) часто являются малыми. Для прямого численного интегрирования эта малость не только не дает упрощения задачи и экономии машинных ресурсов, но и вызывает дополнительные трудности, связанные с распознаванием малых отклонений величин на фоне неизбежных численных ошибок.
Поэтому, несмотря на наличие универсальных методов прямого численного решения, продолжает развиваться область нелинейной оптики, активно использующая приближенные аналитические подходы. Используются различные варианты упрощенного описания: предел лучевой оптики [13, 14, 15, 16], приближение ВКБ [17], метод обратной задачи [18], дающей асимптотическое поведение пучка. Следует отметить ряд работ, использующих методы симметрийного анализа [19, 20], а также сводящих задачу к полностью интегрируемым классам уравнений [21, 22], где используется безаберрационное приближение, специальные граничные условия и изначально фиксируется вид восприимчивости среды.
Для описания результатов натурных и численных экспериментов обычно используют некоторый набор переменных, характеризующих поперечное распределение поля в каждом сечении пучка (мощность, пиковая интенсивность, размеры пятна, смещение, поворот и т.д.). Упрощение волновой задачи достигается за счет сведения распределенной системы к системе с конечным числом усредненных характеристик (моментов), зависящих от продольной координаты [23, 24, 25, 26, 27, 28]. Преимущества такого полуаналитического описания использованы в многочисленных работах по расчету пучков в различных оптических системах, включая разъюстированные резонаторы [29, 30, 31, 32, 33, 25, 27, 34, 35]. В работе [35] метод моментов применен к описанию динамики поперечных солитонов, связанных G дефектами типа дислокаций фазового фронта. Класс задач о распространении гауссовых пучков в среде с керровской нелинейностью, приводящий к гамильтоновым системам Ермакова [36], может быть решен точно ([37]).
Нужно отметить, что простые уравнения для моментов пучка удавалось получить ценой значительного огрубления модели. Так, точные решения параболического уравнения в виде гауссовых мод получаются в линейной однородной среде, либо в линейной среде с квадратичной зависимостью показателя преломления от поперечной координаты. Попытки учета нелинейности, как правило, осуществлялись в рамках так называемого безаберрационного приближения, в основе которого лежит квадратичное разложение нелинейной части показателя преломления по поперечной координате [38, 2]. Ряд нелинейных эффектов, даже при очень малых полях, при этом моделируется некорректно, что заставляет прибегать к искусственным допущениям (см., например, [39]).
В наиболее общей постановке задачи должна быть предусмотрена возможность моделирования пучков в диссипативных средах. Вариационный подход для таких задач применить невозможно ввиду того, что не удается разумно определить процедуру варьирования комплекснозначного функционала. Классический вариант метода моментов оказывается также неприменим ввиду отсутствия сохраняющихся величин ([40]). В связи с этим в работах [41, 42], предшествующих настоящему исследованию, был предложен модифицированный обобщенный метод моментов (МОММ), свободный от указанных ограничений.
Особенно перспективным представляется полуаналитическое описание в том случае, когда среда (волновод, лазер) обладает аксиальной симметрией, а распространяющийся в ней пучок - нет. Моделирование внеосевых пучков в поперечно-неоднородных нелинейных средах является необходимым элементом корректного описания лазеров при наличии разъюстировки или оптических волноводов при несоосном возбуждении. Различные приближенные подходы к данной задаче рассматривались в многочисленных публикациях (см., например, [43, 44, 45, 32, 33, 30, 26]). Однако, всем этим работам, как и цитированным выше, присущи ограничения, связанные с использованием безаберрационного приближения, упрощенных начальных условий, частных моделей среды и т.д.
Таким образом, в литературе отсутствуют приближенные методы расчета пучков, одновременно удовлетворяющие следующим требованиям: Возможность учета разъюстировки наиболее общего вида, включающей астигматизм, кручение и сдвиг пучка относительно осесимметричной среды; Применимость к средам с произвольно задаваемой нелинейной восприимчивостью; Отказ от безаберрационного приближения, обеспечивающий правильную асимптотику наведенной неоднородности среды на периферии пучка; Применимость к диссипативным средам; Простота численного решения уравнений для параметров пучка. В настоящей работе для восполнения указанного пробела предлагается использовать подход, ранее предложенный в [41, 42]. Обобщение этого подхода автором диссертации, впервые представленное в [46], заключается в расширении класса пробных функций, позволяющем описать не только сдвиг пучка в плоскости, проходящей через ось среды [47], но и его кручение. В результате получается система обыкновенных дифферен-. циальных уравнений [48], описывающих эволюцию параметров обобщенного гауссова пучка, обеспечивающего наилучшее приближение к точному решению параболического волнового уравнения в смысле критерия Галеркина. Рассмотрим этот метод более подробно. Как уже говорилось выше, задача состоит в построении варианта метода моментов, не требующего действительности функционалов и позволяющего рассматривать среды с произвольной нелинейностью. В обычной формулировке метода Галеркина приближенное решение уравнения где Н - оператор, вообще говоря, нелинейный, ищется как конечная сумма вида где С„ -коэффициенты, в общем случае зависящие от координат и времени, „ - полный набор базисных функций. Пользуясь условием ортогональности невязки Нф некоторым базисным функциям полного набора vn, получаем iV уравнений для неизвестных С„. Приближение состоит в ограничении числа базисных функций N в разложении (1.2), что делает задачу конечномерной. В некоторых задачах оптимальный выбор базисов vn и ри позволяет разумно ограничить число базисных функций, однако, в задаче о распространении пучков число членов разложения (1.2), необходимых для удовлетворительной аппроксимации поля, оказывается очень большим.
Гауссов волновод: основные особенности
Для визуализации и качественного анализа динамических эффектов, будем использовать методы фазовых портретов и отображений Пуанкаре. Вывод о квазипериодическом характере динамики системы при Хпі ф 0 вблизи стационарных точек, сделанный во второй главе, может быть расширен на основе большого числа исследованных численных решений (1.16)-(1.26) до всего физически разумного диапазона значений параметров среды и начальных условий, накладываемых на переменные пучка. Нелинейная связь уравнений, приводящая к взаимной модуляции колебаний переменных обогащает спектр колебаний системы новыми частотами, в общем случае не кратными друг другу. Как уже было упомянуто, существует значительное качественное отличие динамики системы в случаях круглого и эллиптического волноводов. Поэтому рассмотрим особенности каждого случая отдельно. Анализ решений для Rx = Ry = RQ проводился при использовании следующего набора стартовых значений:
Параметры волновода следующие: хо = 5, RQ = 1.5, постоянная Керра Xni варьируется в пределах отрезка [0,0.08].
Начнем с демонстрации типичных эффектов, имеющих место при начальном условии 5(0) = 0. В этом случае 5{z) = 0 для любого г, т.е. (p(z) = 6(z) = const и пятно и волновой фронт сохраняют первоначальное положение. Изменяя значение параметра Xni в интервале (0.06,0.08) можно наблюдать ряд нелинейных резонансов колебаний двух и более переменных, возникающих при рациональном соотношении частот. Такой эффект имеет место при различных значениях Хпі Для произвольных пар динамических переменных и легко фиксируется на соответствую-кидайся. щих фазовых портретах. Среди множества примеров этого явления, очевидно наибольший интерес представляет резонанс частот колебаний переменных пространственного сдвига (0:/,1//,0:,7) по отношению к переменным (т/,/3,є, ), отвечающим "внутрен-ним"степеням свободы пучка. Один из подобных примеров демонстрируют рис. 3.1(а,Ь). Благодаря тому, что секущая поверхность Пуанкаре может быть выбрана произвольно, оказывается возможным наблюдение резонанса трех и более переменных. Пусть эта поверхность удовлетворяет требованию вида / = const. Такой выбор обусловлен, прежде всего, тем, что получаемые результаты имеют легко интерпретируемый физический смысл. Рождение квазипериодического режима будет отвечать трансформации периодической орбиты в инвариантный тор, что может быть представлено как трансформация стационарной точки отображения Пуанкаре в некоторую всюду плотно заполненную область (рис. 3.2(а,Ь)). Резонансные явления приводят к вырождению инвариантного тора в приблизительно замкнутую орбиту. Для отображения Пуанкаре это проявляется в виде значительного сокращения различимых точек (см., например, рис. 3.2(c)). При увеличении Xni, взаимная модуляция переменных (т/, ) (или (/3, є)) приводит к появлению новых циклов на соответствующих фазовых портретах. Например, в проекции фазовой траектории на плоскость (т/, ) это явление имеет вид, представленной на рис. 3.3(а,Ь). Для лучшего понимания механизма рождения циклов полезно рассмотреть спек Как легко видеть, рост Xni вызывает смещение максимума распределения спектральной интенсивности. Этот эффект качественно был предсказан в предшествующей главе, когда были найдены частоты колебаний порождаемых системой в нелинейной среде вблизи стационарной точки и показано, что они пропорциональны Xni- Из рис. 3.4(а,Ь) можно также заключить, что появление новых циклов связано не только с нелинейным фазовым сдвигом колебаний динамических переменных, а есть следствие генерации новых частот. Перейдем к рассмотрению более общего случая, когда пучок имеет ненулевое кручение (S ф 0). Формально можно ожидать большей сложности в поведении пучка в связи с появлением дополнительных степеней свободы. В действительности динамика оказывается даже более простой. Выводы, относящиеся к эффекту нелинейного резо нанса частот колебаний переменных, остаются верными и при S ф 0. Другие эффекты испытывают качественные изменения. Вне точек резонанса эффект сильного фазового рассогласования (рис. 3.1(a)) для пучка с кручением исчезает рис. 3.5. Согласно проведенным расчетам, этот вывод верен при любом физически допустимом значении показателя нелинейной рефракции. Генерация новых циклов для тех же начальных условий, что и в рассмотренных выше примерах существенно ослабляется. Вместо этого наблюдается незначительная амплитудная модуляция переменных, например, // и (см. рис. 3.6). Эффект генерации циклов удается наблюдать только в том случае, когда начальные значения г] и 0 значительно отличаются друг от друга. Следует отметить ряд особенностей динамики переменной S. При распространении пучка, исходные характеристики которого лежат в области использованных в работе : Типичная картина в проекции фазовой траектории на плоскость {г],) при 8 0. График приведен для случая Xni — 0.08. значений, амплитуда осцилляции 5 постоянна. Уменьшение начального относительного поворота 5, равно как и появление нелинейности, приводит к росту этой амплитуды. Принимая во внимание ослабление эффектов рождения циклов и фазового рассогласования вне резонанса для случая 5 0 можно заключить, что кручение пучка является синхронизирующим фактором.
Динамика поля и его моментов в прямом численном эксперименте: сравнение с результатами МОММ
Ряд изначально введенных упрощений, связанных, прежде всего, с приближениями медленной амплитуды и параксиального -пучка, очевидно, требует определения круга задач, решаемых на основе системы (1.16)-(1.26). Хорошо известно, что в средах с керровской нелинейностью пучки, ограниченные в обоих поперечных измерениях, при мощностях, превышающих некоторое пороговое значение, становятся неустойчивыми и претерпевают самофокусировку [54, 55]. В параксиальной теории интенсивность пучка в точке самофокуса обращается в бесконечность, а размер пятна - в нуль; на опыте пучок может распадаться на нити и/или вызывать оптический пробой. Важно отметить, что приведенные в настоящей работе расчеты выполнены для условий, когда пороговая мощность самофокусировки не достигается, и нелинейная рефракция дополняет фокусирующее действие градиента линейного показателя преломления, не вызывая катастрофического коллапса пучка. За пределами данного исследования остались также вопросы, связанные с флуктуациями среды и возмущающего поля и, следовательно, с мелкомасштабной самофокусировкой [54, 56].
К ограничениям предлагаемого способа моделирования на основе МОММ динамики пучков необходимо отнести случаи, когда оказывается принципиально невозможным удовлетворительно аппроксимировать реальное поле обобщенной гауссовой модой. Это происходит, очевидно, если профиль пучка на входе в среду значительно отличается от гауссового или среда устроена таким образом, что обеспечивает преимущественное распространение высших мод, имеющих профиль, отличный от гауссового (рис. 4.1).
Примером среды, продуцирующей значительные негауссовы искажения пучков, может быть модель гауссового волновода с восприимчивостью вида х = Хо ехр[ г2/Щ\ + Хпі\Ф\2- Р"с- 3.12 из главы 3 демонстрирует пример эффекта.
Тлко-я среди лгсчшочлот «о тадико режим злхяата лучка, но и тик илзываеыъгЯ режим вытекания. На языке мод это означает дискриминацию одних мод по сравнению с другими, благодаря чему начальный этап распространения пучка в такой среде протекает в виде переходного процесса (см. рис. 4.2).
Некоторая часть мощности неограниченно дифрагирует, оставляя только суперпозицию собственных мод, формирующих устойчивое образование, с поведением, подобным динамике "захваченного"пучка. МОММ оказывается не в состоянии описать такой переходной процесс, что подтверждает проведенное сравнение результатов, полученных на основе решения системы (1.16)-(1.26) и прямого численного интегрирования параболического волнового уравнения. Тем не менее, возвращаясь к результатам главы 3, можно заметить, что, накладывая некоторые ограничения на вид пучка и параметры среды, удается получить хорошее согласие МОММ с численным решением.
Сведение распределенной системы к системе с сосредоточенными параметрами предполагает, очевидно, уменьшение числа степеней свободы системы. Поэтому вид приближенных решений и используемых моделей сред должны принадлежать определенному классу, для которого такой переход будет с требуемым качеством соответствовать результатам прямого численного решения исходного волнового уравнения. К сожалению, строгого критерия выбора таких сред и соответствующих решений найти не удается, поэтому проверку корректности перехода к системе (1.16)- (1.26) приходится решать отдельно для каждого случая. Для этой цели, очевидно, требуется проводить сравнение результатов прямого численного эксперимента и моделирования на основе (1.16)-(1.26). Такое сравнение выполним двумя способами: прямой оценкой точности воспроизведения самого поля и путем анализа качества описания системой (1.16)- (1.26) динамики соответствующих моментов. В зависимости от поставленной задачи может быть полезна информация, полученная в ходе сравнения как первым, так и вторым путем. Однако, в рамках модели поля как обобщенного гауссова пучка, наиболее корректен, видимо, последний способ. Для прямого интегрирования параболического волнового уравнения в настоящей работе была использована схема Кранка-Николсона покоординатного расщепления с комплексным скейлингом (см. Приложение).
Сначала проведем общую оценку качества аппроксимации "реального"поля Tpnum гауссовой моделью ф„,тп пользуясь первым из названных способом, т.е. с помощью прямого сравнения распределений интенсивности пучков в поперечной плоскости и вычисления среднеквадратичного отклонения (MSD) для ф пош — $LTO. В приведенных ниже примерах начальные значения переменных системы типичны для настоящего исследования. Отметим лишь, что интенсивность в центре пучка, являющаяся характерным масштабом MSD, на входе в среду /0 = 50, а при распространении достигает значений порядка 200.
Как известно, гауссов пучок является собственным в параболическом волноводе, благодаря чему можно легко оценить не связанные с реальными физическими процессами численные эффекты выбранной схемы, которые (если она достаточно устойчива) обычно являются следствием накопления ошибок округления. Используемый метод расчета дает немонотонную кривую зависимости MSD(z), причем ее амплитуда не превышает 0.003 (рис. 4.3).
Новые возможности повышения эффективности керровской синхронизации мод
Поскольку в этом режиме размеры пятна и кривизна волнового фронта не изменяются, из (5.1) следует, что вращение пятна равномерно, причем, согласно условиям реализации данного режима (2.7), (2.8), угол поворота p(z), определяемый значениями Л)ХоіХпЬ может быть вычислен по стационарным значениям т], (3. Формула (5.1) совместно с условиями (2.7), (2.8) дают рецепт способа измерения керровского параметра нелинейности по углу поворота эллиптического пятна.
Схема возможного эксперимента выглядит следующим образом. На входе образца нелинейного волновода, керровская константа которого подлежит измерению, создается гауссов пучок с параметрами, реализующими режим с равномерно вращающемся пятном. Далее, на выходе из образца определяется угол поворота пятна p(z). С помощью (5.1), (2.7), (2.8) можно найти %„/.
Точность подобного способа, учитывая, что амплитуда колебаний переменных при удалении начальной точки от формально стационарной 2-го типа растет плавно от реализации к реализации (см. раздел 2.2), фактически ограничена только тем, насколько близко удается реализовать режим равномерно вращающегося пятна и ошибкой при измерении угла поворота пятна. Неточность, вносимая искажениями гауссова профиля в нелинейной среде (глава 4), может быть сведена к минимуму оптимальным выбором интенсивности зондирующего пучка. Зависимость от Хы может быть приближенно найдена в аналитическом виде. Например, для следующего набора начальных значений динамических переменных и параметров линейной части восприимчивости среды / = 50, = 0.3, хо = 5, До = 1.5, она имеет вид: % = 0.745448 + 1.2907х„, + 5.43963 Классическая схема керровской синхронизации мод, служащая для генерации ультракоротких световых импульсов (см., например, [57, 58, 59]), строится на том, что за счет нелинейной рефракции размер пятна при высокой интенсивности пучка гораздо меньше, чем при низкой. Подавление генерации слабой составляющей лазерного поля обеспечивает диафрагма, которая располагается так, чтобы разница в поглощении сильной и слабой частей импульса была максимальной. В результате при многократном прохождении длительность импульса уменьшается. Другая возможная схема синхронизации мод основана на эффекте зависимости угла поворота плоскости колебаний электрического вектора лазерного излучения от интенсивности пучка в нелинейной среде. Функциональным аналогом диафрагмы, в этом случае, служит поляризатор, главная плоскость которого ориентирована так, чтобы создать оптимальные условия для прохождения сильной составляющей импульса.
Однако, достижимая степень дискриминации слабых полей по сравнению с сильными при использовании механизмов нелинейной рефракции (для аксиально симметричных пучков круглого сечения) и вращения плоскости поляризации оказывается порядка константы Керра, т.е. весьма малой. Покажем, что для внеосевых астигматических пучков с кручением можно использовать не только нелинейную фокусировку, но и зависимость скорости вращения пятна от интенсивности (см. рис. 5.1), что позволяет существенно повысить поглощение слабого пучка по сравнению с сильным на оптимально подобранной диафрагме [60].
В качестве выходной диафрагмы используем прямоугольное отверстие, размеры которого совпадают с размерами осей эллиптического пятна интенсивной компоненты пучка. Отверстие располагается так, чтобы обеспечить максимальное пропускание сильного пучка, при этом его потери составляют около 8% от полной мощности. Слабый пучок испытывает большое поглощение в двух случаях: 1) когда размеры его пятна из-за нелинейной фокусировки больше, чем у сильного; 2) когда у обоих пучков пятна имеют вид сильно вытянутых эллипсов, большие оси которых перпендикулярны друг другу.
Механизм первого типа не отличается от классической аксиально-симметричной схемы, его эффективность пропорциональна константе Керра. Благодаря зависимости скорости вращения пятна от мощности лучка оказывается возможной реализация механизма второго типа. Для нахождения соответствующего положения диафрагмы построим вспомогательную функцию f(z) = sm( /?i -(/)(f?i_ 2)(/4 -/). Большая дискриминация слабого пучка достигается при максимальных по модулю отрицательных значениях f(z). Ввиду многомерности задачи, такой критерий лишь приблизительно указывает наиболее эффективные положения диафрагмы на оси л, причем в отсутствие смещения пучка относительно оси волновода. Численный анализ показывает, что интересующее нас расположение пятен достигается на достаточно длинных дистанциях, составляющих около 10-15 дифракционных длин. Большие длины распространения делают данную методику трудно реализуемой экспериментально, поскольку в этом случае неизбежно накапливаются искажения динамики пучка. пятна в эллиптическом волноводе. Очевидно, что в круглом волноводе невозможно управлять динамикой переменных г\ и /3 независимо. В эллиптическом волноводе появляется дополнительный параметр 4К варьируя который можно добиться необходимой геометрии пятна для достижения максимального поглощения слабой компоненты пучка.
Так, например, при условиях, указанных в подписи к рис. 5.2, удается наблюдать 30% поглощение слабого пучка при 8% поглощении сильного на расстояниях всего 2-3 дифракционных длины. Для практической реализации важен также продольный по оси z размер области, в которой дискриминация слабого пучка диафрагмой остается значительной. В эллиптическом волноводе, как видно из рис. 5.2, протяженность этих областей порядка 0,3 дифракционной длины. Это примерно в 5 раз больше, чем в круглом волноводе.
