Введение к работе
Предмет исследования и актуальность проблемы
Задача о распространении светового пучка в нелинейной неоднородной среде в юдавляющем большинстве работ решается в аксиально симметричной постанов-се. Вместе с тем, в системах с естественной осью симметрии (волноводы, резона-'оры, нелинейные оптические схемы с встречными пучками и т.п.) большое зяа-іение имеют эффекты, связанные с разъюстировкой, то есть с отклонением оси [учка от естественной оптической оси системы. В некоторых случаях, как напри-іер, в схемах спектроскопии субдоплеровского разрешения, такая разъюстиров-а вводится сознательно, например, для устранения паразитной обратной связи іежду задающим лазером и встречной пробной волной. В других случаях разъ->стировка возникает как побочный нежелательный эффект, влияние которого на >ункционирование оптической схемы должно учитываться при ее математиче-іом моделировании. И, наконец, представляет интерес поиск особенностей рас-ространения внеосевых пучков, могущих найти специальное практическое при-енение. Во всех перечисленных случаях при значительной интенсивности рас-латриваемого пучка могут проявляться эффекты самовоздействия, связанные оптической нелинейностью среды, что, с одной стороны, приводит к заметному ложнению задачи, а с другой - к появлению новых интересных физических юйств. Сами эффекты самовоздействия, связанные с поперечной ограниченно-ъю световых пучков хорошо известны и играют существенную роль в динамике ізеров, задачах спектроскопии высокого разрешения в газах, в экспериментах і лазерному разделению изотопов и физике нелинейных оптических волновода. Однако, особенности самовоздействия аксиально несимметричных пучков учены недостаточно.
Основой моделирования волновых пучков в средах с крупномасштабными (по авнению с длиной волны) неоднородностями является скалярное параболиче-ое (параксиальное) волновое уравнение. Его численное решение в случае от-гствия аксиальной симметрии усложняется из-за повышения размерности за-чи. Несмотря на прогресс вычислительной техники и рост памяти и быстро-Яствия современных компьютеров, продолжает оставаться актуальной задачей зработка приближенных методов сокращенного описания пучков при помощи їєчного числа зависящих от продольной координаты переменных. Интерес к сого рода подходам связан не только с потребностью в упрощении численных ;четов, но и, в гораздо большей степени, с их преимуществами по сравнению с
прямыми численными методами в плане физической интерпретации результатов Распространенные в литературе подходы указанного типа, как правило, связань либо с грубыми допущениями (безаберрационное приближение), либо с теми илі иными ограничениями на характер нелинейности и/или неоднородности средь (например, отсутствие диссипации). Как правило, рассматривались аксиально симметричные пучки, а оценка эффектов разъюстировки проводилась либо : линейной среде, либо в частных случаях, либо в грубых приближениях.
При сведении параксиального волнового уравнения к системе обыкновенны: дифференциальных уравнений для параметров пучка фактически происходи хорошо известное в физике нелинейных волн сведение распределенной дина мической системы к системе с сосредоточенными параметрами конечной pas мерности. В получающейся динамической системе продольная координата пучк играет роль эволюционной переменной - времени. Предварительный анализ ж казывает, что даже в отсутствие оптической нелинейности среды динамическа система, описывающая пучок, является нелинейной. Естественно возникающе: задачей является исследование этой системы с применением хорошо разрабс тайного математического аппарата нелинейной динамики. Для аксиально неси* метричных пучков со сдвигом, астигматизмом и кручением такое исследовашз ранее не проводилось.
Таким образом, актуальной задачей является развитие методов сокращение го описания аксиально несимметричных пучков в волноводных средах с нелі нейностью, неоднородностью и диссипацией, проведение детальных численны исследований сложного поведения лучков, включающего сдвиги, пульсации вращения, а также систематическое рассмотрение модели пучка как нелинейн< динамической системы с использованием современного математического аппар, та.
Цель диссертационной работы
Целью диссертационной работы является построение конечномерной матем тической модели, описывающей распространение обобщенных гауссовых пучке в нелинейных волноводных средах, и исследование ее как динамической систем]
Для реализации поставленной цели решаются следующие основные задачи:
Обобщение модифицированного обобщенного метода моментов (МОММ (В.Л.Дербов, Л.А.Мельников, А.Д.Новиков. Кв. электрон., 14, 2529 (1987 на случай внеосевых гауссовых пучков со сдвигом, астигматизмом и кру«
ниєм в аксиально симметричной среде с неоднородностью, нелинейностью и диссипацией.
Выяснение особенностей поведения внеосевых пучков в градиентных волно-водяых средах на конкретных примерах путем численного моделирования в рамках МОММ.
Анализ конечномерной модели, описывающей распространение обобщенного гауссова пучка в градиентной волноводпой среде с оптической нелинейностью, в терминах нелинейной динамики.
Исследование применимости МОММ с точки зрения как аппрокимации поля, так и описания динамики моментов пучка на основе сравнения с результатами прямого численного решения волновой задачи с использованием абсолютно устойчивой схемы.
На защиту выносятся следующие основные результаты и положіення
-
Конечномерная математическая модель, позволяющая описывать распространение обобщенных гауссовых пучков в нелинейных волноводных средах в терминах нелинейной динамики.
-
Результаты численных экспериментов, которые указывают на сложное поведение внеосевых пучков в волноводных средах с нелинейностью и диссипацией, включающее поперечное смещение пучка как целого, колебания его интенсивности и размеров, а также вращение вокруг собственной оси.
-
В среде с квадратичным профилем показателя преломления и керровской нелинейностью динамика интенсивности, размеров пятна, кривизны волнового фронта и углов вращения не зависит от поперечного движения пучка в целом.
-
В волноводной среде указанного выше типа возможна динамически устойчивая структура астигматического пучка, пятно которого сохраняет фиксированный размер и вращается вокруг своей оси с постоянной угловой скоростью.
Научшгая новизна
Научная новизна результатов диссертации состоит в развитии новой математической модели и обнаружении ранее не исследованных физических эффектов и особенностей динамики внеосевых гауссовых пучков в градиентных волноводных средах с нелинейностью и диссипацией.
-
На основе МОММ построена новая приближенная математическая модель распространения обобщенного гауссова пучка с астигматизмом и кручением в градиентной нелинейной среде, лишенная принципиальных недостатков безаберрационного подхода.
-
Динамическое рассмотрение астигматического пучка в нелинейных волноводных средах впервые выполнено с одновременным учетом всех степеней свободы, в том числе при наличии диссипации.
-
В среде с квадратичным профилем показателя преломления найдены условия стационарного распространения пучка с учетом нелинейности. Исследованы особенности поведения системы вблизи состояний равновесия.
-
Обнаружена и исследована динамически устойчивая структура астигматического пучка, пятно которого сохраняет фиксированный размер и вращается вокруг своей оси с постоянной угловой скоростью.
-
С использованием результатов численного эксперимента продемонстрирована устойчивость периодических режимов распространения пучка в линейном случае.
-
Впервые исследованы квазипериодические режимы динамики параметров обобщенного гауссова пучка в параболической среде с керровской нелинейностью, неоднородной либо нелинейной диссипацией, а также в волноводе с гауссовым профилем линейной рефракции.
-
Впервые предложено использовать особенности распространения астигматических пучков со сдвигом и кручением в керровской среде для измерения константы Керра, повышения эффективности устройств для синхронизации мод в лазерах, а также для повышения максимальной мощности излучения, передаваемой по волноводам при наличии ограничений на предельную напряженность поля.
Достоверность результатов диссертации
Для тестирования приближенной динамической модели, рассматриваемой в диссертации, проводились специальные расчеты пучков на основе численного решения параболического волнового уравнения с использованием различных методов (разложение по модам Гаусса-Лагерра, схема Кранка-Николсона с покоординатным расщеплением и комплексным скейлингом). Оцепены условия применимости гауссовой аппроксимации поля в нелинейной среде. Показано, что в ряде случаев динамика моментов пучка правильно описывается предложенной моделью даже тогда, когда профиль пучка заметно отличается от гауссова. Результаты расчетов совпадают с известными для частных случаев.
Научная и практическая ценность результатов
Моделирование внеосевых пучков в поперечно-неоднородных нелинейных средах важно для учета и интерпретации эффектов, возникающих при несоосном возбуждении оптических волноводов, а также в активных и пассивных элементах разъюстированных резонаторов. С вычислительной точки зрения разработанная модель сочетает простоту описания, свойственную безаберрационным моделям, с отсутствующей у них внутренней непротиворечивостью. При небольших деформациях поля она вполне пригодна для оценки слабых проявлений самовоздействия. Более того, именно для слабой разъюстировки и малых нелинейных искажений первоначально гауссова пучка, что часто имеет место на практике, наша модель имеет преимущество перед прямыми численными решениями волновой задачи, требующими выделения малых сдвигов поля на фоне неизбежных численных ошибок.
Проведенные исследования расширяют представления о сложном поведении внеосевых астигматических пучков в волноводных средах, что может оказаться полезным как при учете неизбежных, хотя и нежелательных разъюстировок в реальных оптических устройствах, так и при поиске возможностей полезного применения разъюстировки, вводимой сознательно.
С более общей познавательной точки зрения важно то, что рассмотренная модель представляет собой результат сведения волновой задачи к дискретной нелинейно-динамической системе, которая затем исследуется стандартными методами нелинейной динамики. Мы одними из немногих предприняли попытку применить анализ дипамики моментов к задаче о распространении лазерных
пучков. Следует отметить, что аналогичные подходы (сведение к дискретным ' переменным и численное исследование их динамики) вообще-то достаточно тра-диционны для физики волн и сплошных сред (достаточно вспомнить модель Лоренца). Недавно они не без успеха применялись, например, в задаче о когерентных состояниях квантовых осцилляторов (Горохов А.В., Рогачева Е.В., Ширяев А.В., Динамика когерентных состояний в моделях квантовой оптики //.Дифференциальные уравнения и их приложения: тез.докл. - Самара, 1996. - С. 18.). В широком плане развитие подобных подходов важно для установления междисциплинарных связей, выявления единых закономерностей протекания различных физических процессов и развития единого языка их описания, основанного на нелинейно-динамическом подходе. Для нелинейной динамики оптика лазерных пучков, как продемонстрировано в нашей работе, может рассматриваться как источник новых физически содержательных моделей.
В работе специально рассматриваются и оцениваются возможности использования обнаруженных особенностей распространения астигматических пучков со сдвигом и кручением в керровской среде для прикладных целей. К ним относятся измерение константы Керра, повышение эффективности устройств для синхронизации мод в лазерах. Показано, что использование пучков с равномерным вращением астигматического пятна постоянных размеров перспективно с целью передачи максимальной мощности по волноводам при наличии ограничений на предельную напряженность поля.
Апробация работы
Результаты работы докладывались на следующих научных конференциях:
-
Проблемы фундаментальной физики (Саратов, 1996)
-
Школа по'оптике, лазерной физике и оптоэлектронике, (Саратов, 1997)
-
Saratov Fall Meeting' 98: Light Scattering Technologies for Mechanics, Bio-medicine, and Material Science, (Saratov, Russia, 1998)
-
International Conference on Transparent Optical Networks (Kieice, Poland, 1999)
-
Saratov Fall Meeting'99: Laser Physics and Spectroscopy (Saratov, Russia, 1999)
-
2nd International Conference on Transparent Optical Networks (Gdansk, Poland, 2000)
Работа выполнена в Саратовском государственном университете.
Публикации
Результаты диссертации опубликованы в 12 работах, из них 3 статьи в реферируемых отечественных и зарубежных журналах и 7 статей в международных сборниках.
Личное участие автора
Результаты, составившие основу диссертации, получены лично автором. Ряд работ выполнен совместно с В.Л.Дербовым и Л.Л.Мельниковым при совместной постановке задач и обсуждении полученных результатов. При этом автору принадлежит проведение теоретических исследований и физическая интерпретация результатов; численные эксперименты проводились на основе программного обеспечения, разработанного автором. В проведении тестовых численных экспериментов участвовал В.В.Серов. Вклад автора в работы, выполненные совместно с этими и другими соавторами, отмечен в тексте диссертации.
Объем и структура работы
Диссертация состоит из введения, 5 глав, заключения, списка литературы, включающего 68 наименований и приложения. Общий объем диссертации - 92 страницы текста (в том числе 30 рисунков).
