Введение к работе
Актуальность темы. Усиление интереса к изучению дискретных нелинейных моделей в последние годы связано с ростом числа практических приложений, таких как системы связанных оптических световодов; модели переноса энергии в биофизических системах; нелинейные электрические сети; дискретные нелинейные системы, моделирующие динамику ДНК. Дискретный подход к решению таких задач, развитый в диссертации, может быть более адекватен и интересен в приложениях, чем континуальный, т.к. последний часто описывает только предельные случаи дискретных задач.
Помимо многочисленных практических приложений дискретные нелинейные модели представляют интересный класс фундаментальных проблем. Это задачи, в которых характерный масштаб фиксирован и не может рассматриваться как малый параметр. Дискретизация непрерывных уравнений Шредингера, Кортевега-де Фриза и других ранее использовалась для построения разностных схем при численном моделировании. Следует подчеркнуть, что в диссертации не рассматривается дискретизация непрерывных задач. Речь идет о классах моделей, где дискретность принципиально важна. Впервые вопросы влияния дискретности в стационарной постановке рассматривались Холстейном (1959 г.) при изучении поляронов. Затем этот подход был развит Давыдовым (1976 г.) в рамках дискретного нелинейного уравнения Шредингера (ДНУШ) для
описания переноса энергии в биологических системах. Идея "солитонов Давыдова" связана с дискретностью атомарной структуры в протеине. Позднее Кенкре, Кэмпбелом (1986 г.) и Циронисом (1989 г.) было проанализировано влияние асимметрии на волновую динамику в рамках ДНУШ. Горшков, Островский, Степанянц и др. (1972 г.) изучали дискретные системы в приложении к нелинейным электрическим сетям.
Основной целью диссертации является описание новых свойств, которые дискретность вносит в динамику нелинейных оптических систем. Известно, что непрерывные нелинейные системы с дисперсией демонстрируют три основных типа динамики волн в зависимости от соотношения нелинейности и дисперсии: самофокусировка или коллапс, - если нелинейность доминирует, солитоны - если нелинейность и дисперсия уравновешивают друг друга, и квазилинейное поведение, если дисперсия преобладает. Дискретность вносит вклад в дисперсию системы и одновременно играет роль механизма насыщения нелинейности. Этим объясняются новые свойства динамики дискретных систем, которые интересны как с точки зрения фундаментальной науки, так и в приложениях.
Научная новизна работы заключается в том, что в ней последовательно отражено влияние дискретности на волновую динамику. Объяснена важная новая черта дискретных задач - совместное существование устойчивых и неустойчивых со-
стояний; изучено влияние диссипации на волновую динамику дискретных моделей; предложены новые разностные методики для численного решения дискретных уравнений.
На защиту выносятся следующие основные положения:
1) Установлен критерий неустойчивости солитонов двумерно
го дискретного уравнения Шредингера, описывающего попе
речную структуру поля в системе связанных волоконных све
товодов.
-
Показано, что солитоны двумерного дискретного уравнения Шредингера могут быть устойчивыми. Коллапс в дискретной системе невозможен, а самофокусировка приводит к квази-коллапсу, т.е. к локализации энергии в нескольких модах системы за конечное время.
-
Аналитически определен порог по амплитуде волны накачки (как функции частоты) в электрических дискретных передающих линиях. Для любой амплитуды накачки, превышающей этот порог, происходит усиление солитонного сигнала.
-
С помощью численного моделирования найден колмогоров-ский спектр слабой оптической турбулентности, сохраняющий поток энергии. Показано, что в системе волн с конечным дискретным набором частот должны существовать как источники, так и стоки энергии волн для реализации Колмогоров ского спектра. Время установления колмогоровского спектра в конечной волновой системе уменьшается с ростом числа мод.
-
Обнаружено, что в волновой системе с конечным дискрет-
ным набором частот происходит накопление волн с определенной частотой, обусловленное эффектом типа "узкого горла".
Практическая ценность. Результаты диссертации применимы для анализа широкого круга нелинейных явлений в различных средах, так как получены либо в рамках кинетического уравнения для волн, в котором специфика среды отразкена только в виде матричного элемента, либо в рамках нелинейных уравнений Шредингера и Кортевега - де Фриза, имеющих универсальный характер. Результаты диссертации могут быть использованы при проектировании широкополосных оптических линий связи. Предложенные оптимальные режимы компрессии солитонов в электрических передающих линиях могут быть использованы для передачи и хранения информации. В качестве информационных битов могут применяться новые объекты - устойчивые многомерные солитоны, свойства которых изучены в работе. Обнаруженный эффект взрывообразной локализации энергии в ДНУШ может играть роль механизма сжатия и переключения оптических импульсов в волоконных световодах.
Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на семинаре института Динамических систем в Бре-менском университете (Германия, 1993), на семинаре кафедры Оптоэлектроники в Дуисбургском университете (Германия, 1995), на семинаре под руководством проф. Д.А. Шапиро
в Институте автоматики и электрометрии СО РАН (т.г.1-1-4, 1995), а также на конференциях " Nonlmearity and Disorder" (Мадрид, Испания, сентябрь 1994), "Nonlinear Coherent Structures in Physics and Biology" (Эдинбург, Шотландия, апрель 1995), "Complex Dynamics in Spatially Extended Systems" (Копенгаген, Дания, сентябрь 1995).
Публикации. По материалам диссертации опубликовано 5 печатных работ [I-V], перечень которых приведен в конце автореферата.
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав и заключения, 27 рисунков и списка цитированной литературы из 78 наименований. Общий объем диссертации -105 страниц.
