Содержание к диссертации
Введение
1 Обобщенные когерентные состояния групп, их свойства и динамика многоуровневых систем 13
1.1 Метод когерентных состояний в квантовой оптике и лазерной физике 13
1.2 Обобщенные когерентные состояния для произвольной группы Ли. ОКС группы SU{2), их свойства и некоторые приложения 18
1.3 Обобщенные когерентные состояния группы 5/(3), их свойства и приложение к динамике трехуров невой неэквидистантной системы 25
1.4 Интегралы по траекториям, обобщенные когерентные состояния группы SU(n), и динамика n-уровневых систем 38
2 Когерентная релаксация квантовых систем, имеющих компактную группу динамической симметрии 46
2.1 Уравнение Фоккера-Планка для когерентной релаксации системы двухуровневых атомов 46
2.2 Когерентная релаксация двухуровневой системы в термостате со "сжатыми" флуктуациями 54
2.3 Уравнение Фоккера-Планка для когерентной релаксации системы трехуровневых атомов с неэквидистантным спектром 60
2.4 Точное решение уравнения Фоккера - Планка для случая изолированного атома 64
2.5 Вычисление наблюдаемых величин. Одновременные и двух-временные корреляционные функции 70
3 Релаксация двухуровневой системы, взаимодействующей с внешним стохастическим полем 78
3.1 Уравнение Фоккера-Планка для описания двухуровневой системы, взаимодействующей со стохастическим полем 78
3.2 Вычисление пропагатора уравнения Фоккера - Планка. Метод теории возмущений 80
3.3 Конкретные реализации стохастических процессов: оптический белый шум и процессы Кубо-Андерсона. Вычисление наблюдаемых 86
3.3.1 Оптический белый шум 87
3.3.2 Процессы Кубо-Андерсона 91
3.4 Марковские дихотомические процессы. Подход на основе дифференцирования статистических средних 97
3.5 Точно решаемая модель релаксации двухуровневой системы, взаимодействующей со стохастическим полем 104
3.5.1 Модель оптического белого шума 108
3.5.2 Процессы Кубо-Андерсона 108
4 Когерентная релаксация ансамблей большого числа квантовых систем 113
4.1 Теория возмущений для уравнения Фоккера - Планка 113
4.2 Когерентная релаксация ансамбля двухуровневых атомов 115
5 Релаксация квантовых систем, имеющих некомпактную группу динамической симметрии 122
5.1 Релаксация гармонического осциллятора с однокванто-выми переходами в "сжатом" термостате 122
5.2 Кинетика параметрического осциллятора в термостате со сжатыми флуктуациями 127
Заключение 132
Приложение 134
Список литературы 136
- Обобщенные когерентные состояния для произвольной группы Ли. ОКС группы SU{2), их свойства и некоторые приложения
- Когерентная релаксация двухуровневой системы в термостате со "сжатыми" флуктуациями
- Марковские дихотомические процессы. Подход на основе дифференцирования статистических средних
- Релаксация гармонического осциллятора с однокванто-выми переходами в "сжатом" термостате
Введение к работе
Актуальность проблемы
В последние годы в лазерной физике и квантовой оптике наблюдается существенный прогресс, вызванный совершенствованием экспериментальной техники. Появились лазеры, способные создавать ультракороткие импульсы достаточной мощности, регистрирующая аппаратура фемтосекундного диапазона, возможность передавать и регистрировать сверхслабые сигналы, наблюдать в эксперименте взаимодействие одного или нескольких атомов как с квантованным полем в резонаторе, так и между собой. В "шумовой" лазерной спектроскопии важной задачей является исследование отклика атомов на внешние случайные поля, поскольку он содержит, например, информацию о временах релаксации, то есть о величинах, представляющих первоочередной спектроскопический интерес. Теоретический аспект проблемы состоит как в получении уравнений, описывающих динамику атомов в случайных полях с разным типом статистики, так и в выводе зависимостей наблюдаемых величин от параметров стохастических процессов.
Интенсивно развиваются экспериментальные и теоретические методы исследования взаимодействия простейших атомных систем с лазерным излучением, действующим вблизи атомных переходов [1, 2], физика микромазера и спектроскопия изолированного атома [3]. Активно разрабатываются схемы квантовых вычислений на одиночных атомах и ансамблях из небольшого числа атомов. В теории сверхизлучения и нелинейных оптических явлений [4, 5, 6] объектом исследования являются как единичные атомы, так и коллективы атомов, находящихся в специально приготовленных кооперативных состояниях.
В работах [7, 8, 9] было показано, что такие ансамбли п—уровневых атомов, взаимодействующих с классическим электромагнитным полем или спонтанно распадающихся из возбужденного состояния, описы- ваются полносимметричными представлениями группы динамической симметрии SU(n), причем спонтанный распад происходит внутри одного и того же неприводимого представления, определяемого заданием начального состояния.
При исследовании когерентных кооперативных явлений необходимо учитывать взаимодействие квантовых ансамблей с окружением -термостатом и при последовательном квантовомеханическом подходе переходить от операторных уравнений для матрицы плотности к с— числовым. Обычно такими уравнениями как, например, в теории лазера и спонтанной релаксации, являются уравнения Фоккера - Планка (УФП), получение которых и поиск методов их решения является самостоятельной и актуальной задачей. Важной является также проблема выбора удобного и адекватного физической модели базиса для вычисления квантовомеханических средних от операторов физических величин. Последние приводят к одновременным и разновременным корреляционным функциям, измеряемым экспериментально.
Использование глауберовских когерентных состояний (КС) и бозон-ного представления атомных операторов дает возможность рассматривать задачи динамики и релаксации квантовых систем с единых позиций [8, 10, 11]. Однако, такой подход, эффективный в осциллятор-ных моделях, приводит для п—уровневых систем к сложной проблеме проектирования из пространства произведений глауберовских КС на инвариантное подпространство неприводимого представления группы SU{n) [9].
В работе [12] были построены атомные КС, связанные с представлениями группы 5С/(2), и использованы для анализа процессов спонтанной релаксации ансамбля двухуровневых атомов. A.M. Переломовым [13, 14] был предложен метод построения когерентных состояний для произвольных групп Ли - обобщённых когерентных состояний (ОКС). Привлекательной чертой использования ОКС для описания динамики и спонтанной релаксации ансамбля двухуровневых атомов является то, что уравнения динамики не зависят от числа атомов, а в УФП для релаксации, число атомов входит как параметр. Это даёт возможность применения методов теории возмущений для нахождения приближённых решений.
Модель двухуровневого атома является одной из простейших. На- пример, последовательное рассмотрение резонансного взаимодействия между двумя уровнями, в том случае, когда нижний уровень не является основным, а радиационно уширен, требует введения третьего уровня. Модель трехуровневого атома, в общем случае с неэквидистантным спектром, является основой для описания таких явлений как когерентное пленение населенностей, квантовые биения, эффект пересечения уровней. Группой динамической симметрии трехуровневого атома, является группа SU(3). Получение уравнений, описывающих динамику коллектива таких атомов, с помощью ОКС группы 5/(3), позволило бы изучать вопросы приготовления атомов в определенных суперпозиционных состояниях и процессов их декогеренции (распада), важных в квантовой инженерии, связанной с проблемой построения квантовых компьютеров и кодированием и декодированием сигналов, передаваемых по квантовому каналу (квантовая криптография).
Возвращение к более детальному изучению этих фундаментальных процессов и разработка адекватных методов их описания вновь являются весьма актуальными [6].
Цель диссертационной работы
Целью диссертационной работы является исследование особенностей когерентной динамики и релаксации в системах из двух- и трёхуровневых атомов, взаимодействующих с внешним классическим электромагнитным полем и диссипативным окружением.
Для реализации поставленной цели решаются следующие основные задачи:
Построение системы ОКС группы SU(3) для модели трёхуровневых атомов, исследование их свойств и обобщение для п—уровневых атомов (группа SU(n)). Получение интеграла по траекториям в представлении ОКС группы SU(n), вывод из него уравнений движения для системы п— уровневых атомов и нахождение временной зависимости населенностей трёхуровневых атомов.
Вывод УФП для когерентной релаксации системы двух- и трёхуровневых атомов, их точное решение в случае изолированного атома, вычисление двухвременных корреляционных функций и формы контуров линий излучения.
Разработка метода решения уравнения Фоккера-Планка, описывающего когерентную спонтанную релаксацию большого числа двухуровневых атомов.
Применение метода КС для описания релаксации квантовых систем, имеющих некомпактную группу динамической симметрии для квантового параметрического усилителя.
Научная новизна
Научная новизна результатов состоит в том, что:
Построена система ОКС на однородном пространстве SU(3)/11(2) группы S/(3), изучены их свойства и дано обобщение для системы ОКС на однородном пространстве SU(n)/U(n — 1) группы SU(n). Построен интеграл по траекториям в представлении ОКС группы SU(n), получены квазиклассические уравнения, описывающие динамику квантовой системы, гамильтониан которой является линейной функцией генераторов полносимметричного представления этой группы.
Найдено точное решение уравнений динамики трехуровневого атома во внешнем лазерном гармоническом и бигармоническом полях и найдены явные выражения для населенностей уровней через параметры ОКС.
Найдено точное выражение для пропагатора уравнения Фоккера -Планка, описывающего релаксацию трехуровневого атома, вычислена характеристическая функция и рассчитаны одновременные корреляционные функции и контуры линий излучения.
Выведено уравнение Фоккера-Планка для Р— символа матрицы плотности двухуровневого атома в термостате со сжатыми флук-туациями, найдено его точное решение и выявлено влияние параметров сжатия термостата на контур линии излучения.
Точно решена задача о двухуровневом атоме во внешнем стохастическом поле, получена связь наблюдаемых, таких, как вероятности нахождения атома в верхнем и нижнем состоянии и формы контура линии излучения, с параметрами стохастических процессов.
Построена теория возмущений для уравнения Фоккера-Планка, описывающих квантовую когерентную релаксацию ансамбля двухуровневых атомов, вычислены поправки первого порядка к функции Грина и контуру линии излучения.
Исследована кинетика вырожденного параметрического усилителя в термостате со " сжатыми" флуктуациями и в случае точного резонанса найдено решение.
Достоверность результатов диссертации обеспечивается использованием строгих математических методов; детальным анализом общих физических принципов, лежащих в их основе; тестированием общих алгоритмов по результатам, полученных в других работах для частных случаев; сравнением с экспериментом, а также совпадением результатов, полученных разными методами.
Научная и практическая ценность результатов
Развит общий подход описания динамики и релаксации многоуровневых квантовых систем, основанный на применении метода ОКС. Изученная динамика трехуровневого атома, взаимодействующего с лазерными полями, может быть использована для исследования оптимальных режимов приготовления атомов в когерентных состояниях и оценки времени декогерентизации в микромазерах, в теории квантовой информации и криптографии.
Предсказанный эффект утончения контура линии излучения двухуровневого атома при спонтанной релаксации в "сжатом" термостате, по сравнению с релаксацией в обычном термостате, дает принципиальную возможность экспериментального определения степени сжатия света. Использование данного эффекта может привести к созданию лазерных систем с более высокой степенью монохроматичности излучения.
Полученные формулы контуров линий излучения трехуровневого атома для спонтанной релаксации при Г ^ 0 позволяют более точно определять константы релаксации или радиационного уширения уровней в экспериментах по спектроскопии изолированного атома.
Развитая теория релаксации двухуровневого атома во внешних стохастических полях дает принципиальную возможность экспериментального определения параметров статистики поля и оценки времён релаксации.
На защиту выносятся следующие основные результаты . и положения:
Уравнение Фоккера - Планка и его решение для когерентной релаксации ансамбля двухуровневых атомов в термостате со сжатыми флуктуациями, точный пропагатор для случая изолированного атома, форма контура линии излучения.
Уравнения Фоккера - Планка для двухуровневой системы, взаимодействующей с внешним стохастическим полем и их пропагаторы, полученные методом теории возмущений, методом дифференцирования статистических средних и для точно решаемой модели.
Зависимости контура линии излучения и вероятностей нахождения атома в верхнем и нижнем состоянии от параметров стохастических полей для дельта - коррелированного процесса, процесса Кубо - Андерсона, сильных и слабых столкновений. Выражения для времен продольной и поперечной релаксации через параметры стохастических полей.
Метод построения асимптотического разложения для уравнения Фоккера - Планка, описывающего спонтанную релаксацию ансамбля большого числа двухуровневых атомов, функцию Грина такой системы в первом порядке малости по параметру разложения и поправку того же порядка к выражению для формы контура линии излучения.
Апробация работы
Основные результаты работы докладывались и обсуждались на Всесоюзном совещании молодых ученых Математические проблемы статистической механики и квантовой теории поля (Куйбышев, 1987г.), на IV Всесоюзном симпозиуме Световое эхо и пути его практического применения (Куйбышев, 1989г.), на Всесоюзной школе - семинаре
Представления групп в физике (Тамбов, 1989), на XIII международном коллоквиуме по теоретико- групповым методам в физике (Москва, 1990г.), на IV и V рабочих совещаниях Рассеяние, реакции, переходы в квантовых системах и методы симметрии (Обнинск, 1991г., 1992г.), на IV международном семинаре Квантовая оптика (Раубичи, 1992г.), на XII международном рабочем совещании Физика высоких энергий и квантовая теория поля (Самара, 1997г.), на семинаре по теоретико-групповым методам ФИАН СССР им. П.Н.Лебедева.
Работа выполнена в Самарском государственном университете.
Публикации.
По результатам работы опубликовано 14 печатных работ.
Личное участие автора
Все результаты, составившие основу диссертации, получены лично автором или при его определяющем участии.
Объем и структура работы
Диссертация состоит из введения, 5 глав, заключения,приложения и списка литературы, включающего 106 наименований. Общий объем диссертации - 145 страницы текста (в том числе 23 рисунков).
СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ:
Во введении показана актуальность настоящего исследования, сформулирована цель работы, выбор объекта и методов исследования.
В первой главе для описания многоуровневых квантовых систем строится система ОКС группы SU(3) и исследуются их свойства. Рассматривается динамика трехуровневого атома с неэквидистантным спектром во внешнем классическом поле. Подробно изучается динамика трехуровневого V- атома в бигармоническом лазерном поле и находятся вероятности нахождения атома в нижнем, среднем и верхнем состояниях. Строится интеграл по траекториям для ковариантного символа оператора эволюции, и методом перевала находятся квазикласси- ческие уравнения движения. Показывается, что в случае трехуровневого атома, взаимодействующего с внешним полем, эти уравнения совпадают с уравнениями, найденными методом ОКС. Дается обобщение метода для группы SU(n), приводится вид ОКС на однородном пространстве SU(n)/U(n — 1) группы SU(n) и рассматривается динамика п- уровневой системы во внешних классических полях.
Во второй главе строятся операторные кинетические уравнения, описывающие когерентную спонтанную релаксацию системы двухуровневых атомов в термостате — фотонной бане. Методом ОКС строятся соответствующие им уравнения Фоккера- Планка для ковариантного символа матрицы плотности, которые затем решаются точно в случае изолированного атома. Вычисляется характеристическая функция и одновременные корреляционные функции. Выводится формула для корреляционной функции первого порядка на языке символов операторов, что делает ее удобной при использовании полученного решения уравнение Фоккера-Планка. Вычисляются контуры линии излучения.
В третьей главе изучается релаксация двухуровневой системы, которая взаимодействует не только с фотонным термостатом, но и с окружающими ее атомами, взаимодействие с которыми рассматривается как стохастический процесс. Получено операторное кинетическое уравнение, в котором взаимодействие со стохастическим полем учитывается точно. Соответствующее ему уравнение Фоккера-Планка, полученное методом ОКС, решается точно по стохастическому полю, приводящему к сдвигу уровней и методом теории возмущений, учитывая поправку второго порядка малости по стохастическому полю, приводящему к переходу между уровнями рассматриваемой системы. Рассматривается подход к решению полученного уравнения Фоккера-Планка методом дифференцирования статистических средних, который в общем случае приводит к необходимости обращения к методам теории возмущений. Другой рассматриваемый подход основан на получении операторного кинетического уравнения, в котором учитывается только необратимость воздействия стохастических полей на исследуемую систему. Показывается, что это уравнение является точным, если ограничиться информацией о стохастических процессах, находящихся только в двухвременных корреляционных функциях. Строится соответствую- щее ему уравнение Фоккера-Планка и его точное решение. Вычисляются и сравниваются вероятности нахождения атома в верхнем и нижнем состояниях и форма контура линии излучения.
В четвертой главе развивается метод теории возмущений для уравнений Фоккера-Планка, описывающих спонтанную релаксацию ансамбля N невзаимодействующих между собой атомов. Изучается система двухуровневых атомов, для которой вычисляются поправки первого порядка малости ~ ^ для пропагатора и формы контура линии излучения.
В пятой главе, с помощью метода КС, изучается релаксация квантовых систем, имеющих некомпактную группу динамической симметрии. Рассматривается релаксация гармонического осциллятора и вырожденного параметрического усилителя в "сжатом" термостате, для которых получено точное решение.
В заключении сформулированы основные результаты работы.
В Приложение вынесены формулы, использованные при вычислении поправки первого порядка для пропагатора УФП ансамбля из N двухуровневых атомов.
Обобщенные когерентные состояния для произвольной группы Ли. ОКС группы SU{2), их свойства и некоторые приложения
Когерентные состояния были введены Глаубером [15] для описания поля излучения лазера, которое моделировалось набором гармонических осцилляторов. Операторы переходов между соседними уровнями осциллятора а+, а, есть операторы рождения и уничтожения квантов поля излучения. Они, вместе с единичным оператором 7, порождают алгебру Ли W\ - алгебру Гейзенберга-Вейля. КС \а) определяются как собственные состояния оператора уничтожения
Эти состояния разлагаются по стационарным состояниям \п) гармонического осциллятора и описывают нерасплывающийся волновой пакет с амплитудой а. Другой способ введения системы КС состоит в действии оператора на вакуумный вектор 0), определяемый условием а0) = 0, (00) = 1: В (1.3) a - величина комплексно сопряженная а. Заметим, что оператор представления группы Гейзенберга-Вейля W\ может быть записан в виде [14] Тогда, учитывая что оператор егвІ является центром группы W\ и стационарной подгруппой вектора 0) систему КС можно определить как Когерентные состояния обладают рядом замечательных свойств: они являются неортогональными друг другу, для них выполняется "разложение единицы", система КС является сверхполной, т.е. содержит больше состояний, чем необходимо для разложения произвольного состояния. КС минимизируют соотношение неопределенностей Гейзен-берга (для них ДрДд = ), поэтому они являются квантовыми состояниями, наиболее близкими к классическим. Они являются удобным базисом для разложения векторов состояния и операторов по проекторам а)(о!. Используя свойство (1.1), нетрудно видеть, что действие произвольной операторной функции /(а) на \а) сводится к его умножению на обычную комплексную функцию /(а)
В [16, 17] рассматриваются математические аспекты свойств КС и их применения для вычисления функций корреляции различных порядков при описании статистических свойств оптических полей. Например, в [18] корреляционные функции используются для анализа явлений группировки и антигруппировки фотонов.
Одной из основных задач лазерной физики и квантовой электроники является описание взаимодействия внешнего поля с веществом. В простейшей модели вещество представляется совокупностью большого числа невзаимодействующих неподвижных атомов. Если поле излучения является высокомонохроматическим как, например, излучение лазера, то существенными в атоме являются переходы между двумя уровнями, которые попадают в резонанс с полем излучения, при условии, что все остальные переходы далеки от резонанса. В этом случае атом можно рассматривать как двухуровневую систему.
В работе [19] были построены спиновые когерентные состояния, возникающие при описании частицы со спином S, изучены их свойства и показано, что при S 1 они переходят в глауберовские. Рассматривалось приложение таких когерентных состояний для вычисления статистической суммы частицы со спином в магнитном поле, описания спиновых волн и взаимодействие двух спинов в гейзенберговской модели ферромагнетика.
Важные результаты получены в [12], где построены КС для двухуровневой системы, названные атомными, как КС углового момента. Эво-люция этих состояний описывается точкой на единичной двухмерной сфере, что эквивалентно эволюции конца вектора энергетического спина на сфере Блоха [17, 18]. Поэтому атомные КС в угловой параметризации часто называют блоховскими. В этой же работе показана идентичность двухуровневой системы и частицы со спином \ как систем имеющих два стационарных состояния. Исследовалась связь атомных КС с неприводимыми представлениями группы SU(2), описание ансамбля из большого числа двухуровневых атомов и показана связь с состояниями Дике в теории сверхизлучения.
Метод КС особенно эффективен для тех физических задач, которые имеют группу динамической симметрии [21, 26], т.е. группу G, унитарное неприводимое представление Т(д) (д Є G) которой действует в гильбертовом пространстве Н всех состояний рассматриваемой квантовой системы. В [21] методом интегралов движения строятся КС для произвольных квантовых систем и рассматриваются многочисленные применения метода КС для решения квантовомеханических задач, имеющих группу динамической симметрии.
В работе [7] метод энергетического спина применяется для описания динамики изолированной n-уровневой молекулы и показывается, что группа SU(n), в данном случае, является группой динамической симметрии. Швингером [22] был предложен метод представления операторов углового момента, которые являются генераторами группы 50(3) и локально изоморфной ей группе SU(2), через бозонные операторы рождения и уничтожения двух сортов: На основе этого метода были построены [23] КС глауберовского типа двухуровневой системы другой стороны, так как представление реализовано с помощью операторов рождения и уничтожения двух независимых гармонических осцилляторов, то КС (1.9) будут описывать и двухмодовое поле излучения. Обобщение на случай конечного или бесконечного счетного числа степеней свободы электромагнитного поля можно найти в [24]: При = 3 когерентные состояния (1.10) использовались в [8] для получения уравнений движения макроскопических векторов поляризации для трехуровневой неэквидистантной квантовой системы в задаче Дике. Многие задачи современной квантовой оптики описываются с помощью модели связанных осцилляторов. Укажем, в нашем контексте, только на [25], где на основе метода динамической симметрии, с привлечением для конкретных расчетов представления КС, изучалась динамика двух связанных осцилляторов. Гамильтониан двух взаимодействующих линейных осцилляторов имеет вид билинейной формы по операторам рождения и уничтожения квантов.
Когерентная релаксация двухуровневой системы в термостате со "сжатыми" флуктуациями
Таким образом, метод ОКС позволяет квантовомеханическую задачу нахождения волновой функции свести к более простой классической задаче, при этом плоскость Z (или единичная сфера S2) играют роль фазового пространства для классического аналога динамической системы и описывают динамику когерентных состояний. Подробности вывода этих соотношений можно найти в [14], а о методе дальнейшего решения уравнения (1.48) в [10].
Возможности двухуровневой системы в качестве модельного приближения в известном смысле ограничены и рассмотрение физических процессов на основе трехуровневой системы приводит к качественному и количественному описанию более тонких эффектов и явлений. Так, первые исследования трехуровневых систем привели к открытию комбинационного рассеяния в жидкостях и газах, позволили осуществить оптическую накачку атомов, что имело принципиальное значение для создания квантовых генераторов. На основе трехуровневой модели атома объясняются такие эффекты нестационарной оптики как эффект Ханле, квантовые биения и пересечение уровней.
Результаты работ по исследованию особенностей поведения трехуровневых систем в поглощении слабого (пробного) поля при условии, что на смежном переходе действует интенсивное, насыщающее этот переход, электромагнитное поле, лежат в основе лазерной спектроскопии сверхвысокого разрешения [37]. Другой интересной особенностью поведения трехуровневых систем в ситуации, когда на каждый разрешенный смежный переход действует свое резонансное поле и расстройки частот равны, система в целом не переходит в верхнее состояние и практически не взаимодействует с этим полем.
Это явление получило название когерентного пленения населеннос-тей и широко исследовалось в последние годы [38]. Напомним, что в [7] было установлено, что группой динамической симметрии при рассмотрении взаимодействия п - уровневой системы с электромагнитным полем, является группа SU(n). Частный случай полуклассического описания взаимодействия трехуровневой системы с электромагнитным полем рассматривался в [40], где были в общем виде построены уравнения движения для компонент вектора, квадрат которого на константу отличается от оператора Казимира второго порядка. Эти уравнения аналогичны уравнениям Блоха для вектора энергетического спина в случае двухуровневой системы. Временной эволюции трехуровневых систем, взаимодействующих с бигармоническим полем, с полем лазерных импульсов, посвящено огромное количество работ, например, [41, 42, 43] и ссылки в них. Построим систему ОКС для группы 517(3), исследуем их свойства и используем для описания динамики трехуровневых систем, следуя работе [39]. Группа SU(3) состоит из унитарных унимодулярных преобразований 3-х мерного комплексного пространства. Из ее генераторов можно построить алгебру повышающих и понижающих операторов, которые в матричном представлении записываются в виде образуют пространство, в котором действуют операторы (1.51). Векторы (1.52) преобразуются по полносимметричному представлению D(1,0) группы 57/(3). Инфинитезимальные операторы L+,L-,Hi действуют в пространстве, натянутом на векторы 0), 2) и являются генераторами подгруппы SU(3) D 577(2). Такие же SU{2) подгруппы образуют операторы {J+,J-, ЗН2 — 2Яі}, которые действуют в подпространстве, натянутом на векторы 0) и 1) и операторы {К+, К , 4Н\ — ЗН2}, действующие в подпространстве, натянутом на векторы 1) и 2). Эти подгруппы могут быть расширены, так, например, оператор Н2 коммутирует с К+,К- и оператором АН\ — ЗН2. Эта четверка операторов образует прямое произведение Из сказанного выше следует, что операторы {К+, К-, 4Hi — 3H2j Н2} являются стационарной подалгеброй вектора 0), т.к. первые три оператора действуют в подпространстве векторов 1), 2), а для оператора Н2 вектор 0) является собственным. Отметим, что эта стационарная подалгебра является максимальной. Следовательно, ОКС будет задаваться точкой фактор-пространства SU(3)/U(2), на котором можно ввести однородную комплексную структуру. Это пространство изоморфно единичной четырехмерной сфере и двумерному комплексному проективному пространству: Действие операторов стационарной подгруппы U(2) на вектор 0) сводится, согласно (1.15), к умножению на несущественный фазовый множитель. Оператор представления можно записать в виде который получается из оператора представления группы 67/(3) при исключении из него генераторов, образующих максимальную стационарную подалгебру U(2) вектора 0). Оператор (1.53) можно привести к нормальному виду:
Марковские дихотомические процессы. Подход на основе дифференцирования статистических средних
Один из способов описания динамики n-уровневых квантовых систем состоит в бозонном представлении генераторов группы SU(n), которая является группой динамической симметрии [7], и формулировке динамики с помощью уравнений Гейзенберга для бозонных операторов [44]. Другой способ состоит в использовании в качестве удобного базиса многомодовых глауберовских КС (1.10) или когерентных состояний группы 5/(п), построенных с помощью техники производящих инвариантов этой группы [9].
Динамику n-уровневой системы во внешних классических полях можно описывать, построив ОКС группы SU(n), подобно тому, как это было сделано в разделе 1.3 для трехуровневой системы. В этом разделе для изучения вопросов динамики квантовых систем, имеющих группу динамической симметрии, применяется метод интегралов по траекториям.
В работах [45, 46, 47] были введены интегралы по траекториям в представлении ОКС для группы 5С/(2), которые оказались тесно связаны с классической динамикой в искривленном фазовом пространстве — двумерной сфере 5г- Интегралы по траекториям в представлении ОКС на динамических группах в связи с задачей нахождения фейнма-новского пропагатора квантовой системы, взаимодействующей с бозон-ным полем, рассматривались в [10, 48, 50]. В качестве приложений в [10, 50] рассматривался фазовый переход в сверхизлучающее состояние в модели Дике. Однако в этих работах континуальные интегралы не были приведены к стандартному виду интегралов по траекториям на фазовом пространстве классического аналога исследуемой квантовой системы.
В работах [11, 51] приведение к стандартному виду было проведено для модельных квантовых систем в тех случаях,когда существуют квадратично-интегрируемые КС на динамической группе симметрии гамильтониана. Была исследована квазиклассическая асимптотика, которая приводит к классической динамике в многообразиях Кэлера и учтена вторая вариация функционала действия для квазиклассическо го пропагатора. В [52] построена в явном виде система ОКС группы SU(n) и фейнмановский интеграл по траекториям в их представлении. Группой динамической симметрии SU(n), кроме n-уровневых атомов, описываются процессы рождения пар фермионов со спином j во внешнем поле (n = 2(2 j + 1), ядерные модели со спариванием. Используя результаты [11, 52] для квантовой системы с произвольной группой динамической симметрии ?, построим интеграл по траекториям для ковариантного символа оператора эволюции.
Рассмотрим квантовую систему, гамильтониан которой можно представить в виде операторнозначной функции генераторов унитарного неприводимого представления некоторой группы Ли — структурные константы группы G — динамической группы симметрии гамильтониана Н. Пользуясь соотношением (1.15), можно построить систему ОКС группы G. На фактор-пространстве X = G/GQ можно ввести однородную комплексную структуру, т.е. х — дх — z — (zi, ...„) — локальные комплексные координаты на X = G/GQ И dim = G/GQ = In. В результате гильбертово пространство состояний И квантовой системы можно реализовать в виде голоморфных функций на X со скалярным произведением голоморфная по z и антиголоморфная по w, выполняет в гильбертовом пространстве % роль 5-функции, т.е. для любой голоморфной функции Ф(г) выполняется условие Следовательно, K(z, ги) является воспроизводящим ядром, причем выполняется соотношение Каждому самосопряженному оператору F, определенному в пространстве векторов состояния, поставим в соответствие ковариантный символ (w\z) причем Формула (1.77) является основной для построения фейнмановского пропагатора в виде интеграла по траекториям для квантовых систем с гамильтонианами вида (1.73). Формально, оператор эволюции можно записать в виде и оператору эволюции ставится в соответствие ковариантныи символ . где H(z, z\r) — ковариантныи символ гамильтониана. Если t — to не мало, то для нахождения ковариантного символа U(z, z\to + Лі, tо).разбиваем интервал [to, t] на т частей (At = 1) и используем групповое свойство оператора эволюции Сопоставляя каждому оператору U(tk tk-\) ковариантныи символ вида (1.78) и многократно используя формулу (1.77), получим после формального перехода At —У 0, m - со a 2 д« a 2 dz Символ гамильтониана H(z(r, z(r + 0))т) в (1.80) записан со сдвигом аргумента, что отражает способ задания его допредельного выражения и то, что интеграл по траекториям (1.79) понимается как предел конечнократного интеграла [53].
Релаксация гармонического осциллятора с однокванто-выми переходами в "сжатом" термостате
В лазерной спектроскопии, квантовой оптике и радиофизике одной из центральных является задача описания малой динамической подсистемы, находящейся в контакте с термодинамически равновесной подсистемой — термостатом, с которой она слабо взаимодействует. В данной главе рассматривается применение ОКС для сведения операторных управляющих уравнений, описывающих поведение динамической подсистемы, к "классическим" уравнениям типа Фоккера-П ланка и находятся их точные решения. Важность рассмотрения в квантовой теории релаксации моделей, имеющих точное "квантовое" решение, отмечалась в [11], где это связывалось с рассмотрением физической кинетики как раздела общей теории открытых систем [56, 57] и проблемой природы необратимости. Кроме того, разработка методов точного решения уравнения Фоккера-Планка (УФП) обусловлена их широким применением в теории броуновского движения, статистических теориях газа и жидкости, в теории лазеров, квантовой электронике, в моделях химических реакций и в теории фазовых переходов.
Общие вопросы теории релаксации квантовых систем, стандартная техника получения операторных кинетических уравнений рассматри ваются в [58, 59], приложения к процессам в твердых телах в [60], к квантовой оптике и физике лазеров [61, 62, 63]. Детальному рассмотрению релаксации квантового осциллятора и квантовых систем с эквидистантным спектром посвещены работы [64, 66], в которых рассматриваются методы решения квантовых операторных уравнений и, в частных случаях, находится их точное решение; для случая больших квантовых чисел рассматривается метод сведения кинетических уравнений к уравнениям Фоккера-Планка, а также вычисление формы контура линии излучения. Обзор различных методов в теории спонтанного излучения дан в [67], где на основе операторных и кинетических уравнений, а также уравнений Ланжевена, рассматривается излучение от систем невзаимодействующих идентичных двухуровневых и трехуровневых (с эквидистантным или вырожденным спектром) атомов, для случая, когда температура термостата Т = 0.
Метод сведения операторных кинетических уравнений к уравнение Фоккера-Планка предложен в [68], где рассматривается релаксация произвольного спина j или коллектива двухуровневых атомов. Метод основан на "удобном" представлении с помощью дифференциальных операторов, членов кинетического уравнения вида J+ J-p, в случае когда редуцированная матрица плотности р записана в представлении Глаубера-Сударшана (1.12), т.е. сводится к установлению соответствия Применение метода ОКС для квантовых систем, имеющих группу динамической симметрии, когда ее гамильтониан линеен по генераторам этой группы, особенно эффективно [14, 11]. Отметим также [69], где методом когерентных состояний из операторного кинетического уравнения, описывающего релаксацию ансамбля n-уровневых молекул, взаимодействующих с многомодовым полем излучения, было получено многомерное уравнение типа УФП. Методам решения уравнения Фоккера-Планка посвящена [70], построение приближенных решений для многомерного УФП с помощью квазистационарных функций распределения рассматривается в [71]. Следуя [11], изложим метод построения решения задачи о релаксации квантовой системы, состоящей из набора N идентичных атомов, находящихся первоначально в одинаковых условиях (например, все в верхнем энергетическом состоянии), которую будем называть динамической подсистемой, слабо взаимодействующей с большой диссипатив-ной подсистемой, имеющей бесконечно большое число степеней свободы - термостатом. Гамильтониан полной системы "атом + термостат" запишем в виде (2.3) - гамильтониан термостата, который в случае радиационного меха низма релаксации моделируется бесконечным набором гармонических ОСЦИЛЛЯТОРОВ С ЧаСТОТОЙ li7j. a=lj=l v - оператор взаимодействия между атомом и термостатом, записанный в приближении вращающейся волны (ПВВ), где fj— константа взаимо действия j— то осциллятора с атомом на переходе 1 —У 2, а Jg , J± — генераторы неприводимого представления группы SU(2). Таким об разом, полный гамильтониан системы (2.1) реализован в виде линей ной комбинации инфинитезимальных операторов группы динамической симметрии, которой в данном случае является группа SU(2). Переходя в представление взаимодействия по свободной атомной подсистеме и термостату, получаем Эволюция матрицы плотности такой системы определяется уравнением Лиувилля формальное интегрирование которого дает До включения взаимодействия в момент t = О состояния атомной подсистемы и термостата не коррелированы, поэтому После включения взаимодействия, учитывая его малость и то, что диссипативная система велика, можно пренебречь влиянием атомной подсистемы на термостат. В этом случае pr(t) = Усредняя (2.8) по переменным термостата, используя (2.9) и (2.10) в марковском приближении, учитывающем, что атомная подсистема из-за взаимодействия "забывает" свою предисторию с момента t = 0 до момента t — t, что выражается условием pa(t ) » pa(t), получим кинетическое уравнение для матрицы плотности pa(t) атомной системы или редуцированной матрицы плотности pa(t) = p(t) = SprpaT Здесь 7 = 2 7Г \fj\29(( j)\wj=u o " константа, определяющая затухание в динамической (атомной) подсистеме, g{ujj) — плотность состояний в термостате, v = J\f = (exp(ttu o/kT) — 1) — среднее число фотонов в термостате на частоте и = UJQ. Матрица плотности p(t) атомной подсистемы действует в подпространстве неприводимого полносимметричного представления полносимметричное представление группы перестановки. В этом случае диагональные представления Глаубера-Сударшана запишется в виде где V(z, z, t) — контравариантный символ матрицы плотности, \z)— ОКС группы SU(2), a dp,(z,z) — инвариантная мера на однородном пространстве SU(2)/U(l), определяемые согласно выражениям (1.29) и (1.33). Действие операторов группы на проектор г)(;г, составленный из векторов ОКС известно
