Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Численное решение волнового уравнения с учтом зависимости диэлектрической проницаемости от пространственных координат 27
1.1 Общее аналитическое решение краевой задачи для волнового уравнения 27
1.2 Конечно–разностная схема 32
1.3 Моделирование процесса отражения ультракороткого импульса с помощью численного решения волнового уравнения 35
1.4 Выводы к главе 1 39
Глава 2. Численное решение волнового уравнения с учтом зависимости диэлектрической проницаемости от частоты излучения 41
2.1 Учт частотной дисперсии в волновом уравнении 42
2.2 Моделирование распространения импульса в среде из кварцевого стекла с учтом трхпараметрической модели дисперсии 45
2.3 Моделирование фокусировки ультракороткого импульса 47
2.3.1 Фокусировка фемтосекундного импульса ступенькой 48
2.3.2 Фокусировка фемтосекундного импульса элементами микрооптики 50
2.4 Передача фемтосекундного оптического импульса через цепочку микросфер 63
2.6 Распространение фемтосекундного оптического импульса через щель в серебряной пластинке 66
2.5 Выводы к главе 2 68
Глава 3. Моделирование оптических предвестников ультракоротких импульсов 72
3.2 Моделирование оптического предвестника в материале с модельной дисперсией 73
3.2 Моделирование оптических предвестников в кварцевом стекле 77
3.3 Исследование характеристик оптического предвестника 80
3.4 Уточннная модель дисперсии кварцевого стекла 91
3.5 Выводы к главе 3. 99
Заключение 103
Список цитируемой литературы
- Конечно–разностная схема
- Моделирование процесса отражения ультракороткого импульса с помощью численного решения волнового уравнения
- Моделирование распространения импульса в среде из кварцевого стекла с учтом трхпараметрической модели дисперсии
- Исследование характеристик оптического предвестника
Введение к работе
Диссертация посвящена математическому моделированию линейного распространения фемтосекундных электромагнитных импульсов в дисперсионной среде (в кварцевом стекле).
Актуальность темы. Современная оптика сделала значительный шаг в области уменьшения длительности генерируемых импульсов. Разработаны и продемонстрированы методы генерации импульсов с длительностью менее 5 фс (B. Schenkel, 2003; K. Yamane, 2003). Максимальная мощность фемтосекундных лазерных импульсов на данный момент может превышать 1 ПВт, а интенсивность при фокусировке пучка достигает 1021 Вт/см2 (K. Zhao, 2012). Линейное распространение импульсов происходит при мощности менее 1012 Вт/см2. Огромные интенсивности в сфокусированных пучках и связанные с нею напряжённости электрических и магнитных полей дают возможность изучать процессы взаимодействия света с веществом в режимах, прежде недоступных экспериментаторам. Высокая концентрация энергии при фокусировке пучков фемтосекундных лазеров открывает новый путь в прецизионной микрообработке материалов (X. Liu, 1997; П.Г. Крюков, 2012), а в медицине обеспечивает возможность проведения тонких операций в офтальмологии и нейрохирургии (Н.Н. Бочкарёв, 2007). Фемтосекундные импульсы нашли широкое применение в волоконной оптике (М. Block, 2012). Так же ультракороткие импульсы нашли свое применение в фемтосекунд-ной и электронной микроскопии (A. Povolotskiy, 2005). Фемтосекундные импульсы используются для генерации ультрафиолетового света (Z. Liu, 2012) и в качестве «оптических пуль» (B. Piglosiewicz, 2011). С появлением лазерных фемтосекундных импульсов, которые позволили наблюдать и контролировать быстропротекающие молекулярные взаимодействия, получило свое развитие новое направление в химии – фем-тохимия (J.S. Baskin, 2001). Ввиду достаточно широкого применения ультракоротких импульсов в различных областях науки и техники множество работ посвящено способам их пространственно–временного преобразования и фокусировки (B. Piglosiewicz, 2011). Однако длительность ультракоротких импульсов составляет всего несколько фемто-секунд (а иногда и несколько десятков аттосекунд) и такие импульсы обладают очень большим спектром. Это явление называется явлением сверхуширения спектра, когда ширина спектра становится соизмерима с его центральной частотой (W.L. Chan, 2008). Благодаря сверхуширнию спектра возможно наблюдать влияние дисперсии на процесс распространения электромагнитного излучения в среде. Ввиду этого актуальным является исследование распространения фемтосекундных импульсов в различных оптических волокнах (M.B. El_Mashade, 2009). Однако установки по генерации и пространственно–временному преобразованию фемтосекундных импульсов являются достаточно сложными, наукоёмкими и дорогостоящими, что приводит к целесообразности первоначальных численных расчётов по моделированию распространения таких импульсов в различных средах, предворяющих экспериментальные исследования (Z.L. Horvath, 2001).
Для моделирования распространения света в дисперсных материалах были разработаны различные модификации разностного метода решения уравнений Максвелла (FDTD-метода), позволяющие в процессе вычислений учитывать зависимость диэлектрической проницаемости от частоты. Все эти модификации могут быть разделены на три группы. К первой группе относятся алгоритмы (R.J. Luebbers, 1990), которые используют преобразованную в дискретную форму временную свёртку Фурье-образа от диэлектрической проницаемости и напряжённости электрического поля. Некоторые алгоритмы (R.J. Luebbers, 1990; D.F. Kelley, 1996) вычисляют свёртку рекурсивно. Так же существует модификация этого метода, в основу которой положено предположение о том, что Фурье-образ от функции диэлектрической проницаемости
является кусочно–линейным на временном шаге (R.J. Hawkins, 1993). Это позволяет повысить точность метода. Ко второй группе относятся алгоритмы (T. Kashiwa, 1990; Yu. Liu, 2012), использующие вспомогательное уравнение, связывающее вектор плотности электрической индукции поля и вектор напряжённости. Основным их преимуществом является высокая точность. Однако, в дополнение к тем ресурсам, что использует стандартный FDTD–метод, требуется дополнительный объём памяти для хранения промежуточных переменных. К третьей группе относится алгоритм (D.M. Sullivan, 1992), в котором используется Z–преобразование уравнений Максвелла. Недостатком данного метода, как и в случае использования дополнительного дифференциального уравнения, является проблема ресурсоёмкости, высокой вычислительной сложности и высоких временных затрат на получение решения. Несмотря на необходимость учёта зависимости диэлектрической проницаемости от частоты при моделировании распространения ультракороткого импульса и большое количество разработанных методов, позволяющих производить такой учёт, этим требованием часто пренебрегают, так как применение «дисперсных» методов значительно усложняет процедуру расчёта и увеличивает время работы программы.
Одним из фундаментальных свойств коротких импульсов, распространяющихся в среде с частотной дисперсией, является то, что высокочастотная составляющая импульса распространяется в среде со скоростью света в вакууме. Это явление было предсказано Зом-мерфельдом и Бриллюэном в 1914 году. Данный феномен называется оптическим предвестником (K.E. Oughstun, 1994). Зоммерфельд и Бриллюэн асимптотическим методом седло-вой точки рассмотрели распространение синусоидального импульса, умноженного на функцию Хевисайда (резкий передний фронт импульса), в среде с одним резонансом Лорентца. Они нашли, что раньше всех в точку наблюдения приходит высокочастотный предвестник (предвестник Зоммерфельда – ПЗ), который распространяется со скоростью света в вакууме, следом за ним приходит другой предвестник (предвестник Бриллюэна – ПБ) с низкочастотной составляющей сигнала, который распространяется с фазовой скоростью сигнала, а за ним уже приходит основной сигнал (несущий импульс – НИ) с групповой скоростью. Моделирование распространения предвестников, как правило, проводят с помощью FDTD– метода, обобщённого на случай учёта дисперсии (R. Safian, 2006; H. Jeong, 2009). Предвестники моделировались в однополюсной (один резонанс) дисперсионной среде Лорентца с помощью 1D FDTD-метода (R. Safian, 2006). Также моделировались предвестники в промежуточном спектральном режиме (H. Jeong, 2009): несущая частота импульса не была равна частоте резонанса поглощения Лорентца, и не была много меньше его. Предвестники исследовались аналитически также для однополюсной среды Лорентца (B. Macke, 2013). Было показано, что амплитуда ПЗ описывается функцией Бесселя первого порядка, а ПБ – функцией Эйри.
Вследствие широкого (сотни нанометров) спектра ультракоротких импульсов и их особого взаимодействия с веществом стало необходимо (и возможно) уточнять зависимость диэлектрической проницаемости (коэффициентов преломления и поглощения) от частоты. Развиваются методы измерения и уточнения диэлектрической проницаемости материалов (P. Banerjee, 2011; J. Krupka, 2006). Результаты по изучению свойств пропускания и поглощения материалов отражены в большом количестве работ (Е.В. Балашова, 2010; Н.Н. Кононов, 2011), в том числе и результаты по оценке показателя преломления и коэффициента поглощения кварцевого стекла (K. Kajihara, 2007). Из результатов экспериментального анализа оптических свойств кварцевого стекла следует, что общепринятая (трёхпараметрическая) модель Селлмейера применима в диапазоне от 0,21 до 7 мкм (A. Couairon, 2005). При анализе процессов распространения ультракоротких импульсов, длительностью менее 3 фс, необходимо ис-
пользовать модель, учитывающую все особенности диэлектрической проницаемости кварцевого стекла. Был проведён анализ и обобщение большого числа экспериментальных данных (R. Kitamura, 2007), полученных в ходе экспериментов по измерению показателя преломления и коэффициента поглощения кварцевого стекла, в результате чего были построены экспериментальные дисперсионные "кривые" (облако экспериментальных значений для показателя преломления и коэффициента поглощения) для кварцевого стекла. Была предложена модель дисперсии для кварцевого стекла, однако её область применимости охватывает диапазон от 7 до 50 мкм (R. Kitamura, 2007). Для других материалов только начинают производить такие экспериментальные исследования (Е.В. Балашова, 2010; Н.Н. Кононов, 2011). Их результаты являются достаточно разрозненными, что является весомым аргументом для исследования распространения ультракоротких импульсов именно в кварцевом стекле.
Из приведенного обзора современных публикаций следует, что остаются нерешенными следующие проблемы:
-
Не исследовалась пространственно–временная дифракция коротких импульсов на основе численного решения линейного волнового уравнения с учетом дисперсии среды. Решать волнового уравнения легче и быстрее, чем систему уравнений Максвелла.
-
Не исследовались параметры фокальной области при острой фокусировке фемтосекундных импульсов с помощью компонент микрооптики.
-
Не исследовались оптические предвестники в средах с несколькими резонансами дисперсионной кривой (в многополюсных дисперсных средах).
Цель диссертационной работы. Анализ линейного распространения фемтосе-кундных электромагнитных импульсов в среде с частотной дисперсией, на основе численного моделирования.
Задачи диссертационной работы.
-
Разработать метод разностного решения линейного волнового уравнения, описывающего распространение ТЕ–поляризованного электромагнитного импульса в пла-нарном волноводе с учетом дисперсии материала; сравнить полученное решение с аналитическим и с решением, полученным с помощью коммерческой программы FullWAVE, реализующей разностный метод решения системы уравнений Максвелла с учетом дисперсии вещества.
-
Численно исследовать острую фокусировку фемтосекундного лазерного импульса с помощью компонентов микрооптики: сферы, полусферы, полупараболоида и полуэллипсоида.
-
Исследовать эффект образования предвестников при распространении электромагнитного импульса с резким передним фронтом в среде с частотной дисперсией (кварцевое стекло) с помощью численного моделирования.
Научная новизна. В диссертационной работе впервые получены следующие результаты.
1. Для моделирования линейного распространения ТЕ-поляризованных фемтосе-кундных лазерных импульсов в планарном волноводе разработана явная конечно-разностная схема решения волнового уравнения с дисперсионным слагаемым, записанного в оригинальной и упрощающей расчёт форме. Получено аналитическое решение волнового уравнения без дисперсии в виде ряда из нестационарных тригонометрических мод планарного волновода. Среднеквадратическое отклонение численного решения от аналитического составило 0,005%. При одинаковых параметрах сетки отсчётов разностное решение волнового уравнения на порядок точнее, чем решение, полученное
с помощью коммерческого пакета FullWAVE, реализующего разностное решение системы уравнений Максвелла.
-
Численно исследована острая фокусировка фемтосекундных лазерных линейно–поляризованных импульсов (длительностью по полуспаду интенсивности 1,24 фс и 2,98 фс с несущей длиной волны 0=532 нм) с помощью компонент микрооптики из кварцевого стекла с учетом частотной дисперсии. Показано, что микросфера с диаметром 2 мкм формирует у своей поверхности эллиптический фокус с размерами по осям (0,42 ± 0,04)0 и (0,52 ± 0,04)0; глубина фокуса для микросферы почти не зависит от длительности импульса 0,20; максимальная интенсивность в фокусе микросферы увеличивается с ростом длительности импульса; при фокусировке микросферой пространственное уширение больше для менее короткого импульса, а временного ушире-ния импульса не наблюдается.
-
С помощью разностного решения волнового уравнения с учётом дисперсии показано, что интенсивность предвестников Зоммерфельда и Бриллюэна увеличивается, если несущая длина волны начального импульса приближается к значению резонанса; при этом длины волн предвестников оказываются меньше, чем длина волны самого высокочастотного резонанса: для кварцевого стекла длина волны предвестников лежит в области экстремального ультрафиолета и меньше 60 нм. Получена уточненная модель частотной дисперсии для кварцевого стекла, которая учитывает шесть резонансов (в отличие от известной модели Селлмейера, которая учитывает только три резонанса) дисперсионной кривой и дает более точное совпадение модельных кривых показателей преломления и поглощения с экспериментальными данными в диапазоне от 20 нм до 1000 мкм (СКО 6%).
Практическая значимость. Полученные в диссертации результаты по моделированию распространения ультракороткого лазерного излучения в дисперсионных средах могут использоваться в микро– и нанолитографии, оптических системах памяти с увеличенной плотностью записи информации, в оптической микроскопии и оптической манипуляции микрочастицами, в системах передачи информации.
Достоверность полученных результатов. Достоверность полученных результатов подтверждается соответствием результатов расчетов экспериментальным данным, полученным другими авторами, а также совпадением результатов моделирования, полученных с помощью независимых программ. Например, проводилось сравнение результатов программы, разработанной автором, и коммерческой программы FullWAVE.
Основные положения, выносимые на защиту.
-
Среднеквадратическое отклонение (СКО) теоретических и рассчитанных с помощью разностного решения волнового уравнения коэффициентов отражения и пропускания Френеля для фемтосекундного импульса света с ТЕ–поляризацией длительностью 4,22 фс и с несущей длиной волны 633 нм при прохождении через стеклянную пластину (нормальное падение) без учета дисперсии материала составило 0,47%. При полном внутреннем отражении ультракороткого импульса (1 фс) с несущей длиной волны 633 нм от раздела двух сред (кварц и вакуум) даже без учета дисперсии материала происходит искажение (похожее на дифференцирование импульса) и уширение импульса (почти в два раза), что согласуется с результатом эксперимента, полученным другими авторами.
-
При прохождения линейно–поляризованного фемтосекундного импульса длительностью по полуспаду интенсивности 2,98 фс и с несущей длиной волны 532 нм через волновод без оболочки в виде цепочки из четного числа кварцевых микросфер диаметром 2 мкм на расстоянии 8 мкм импульс не уширяется по времени по
полуспаду интенсивности, в то время как, при распространении этого импульса через волновод без оболочки в виде кварцевого цилиндра с круглым сечением диаметром 2 мкм, импульс уширяется более, чем в 2 раза.
3. Оптические предвестники появляются как в случае импульсного излучения, так и в случае полубесконечной волны с резким передним фронтом (передний фронт импульса и волны всегда начинается с нулевой интенсивности). В случае «обрыва» заднего фронта входящего излучения на ненулевом значении интенсивности, интенсивность предвестника увеличивается. В случае выбора несущей длины волны близко к резонансу дисперсионной кривой относительная интенсивность предвестника (по сравнению с несущим импульсом) увеличивается и предвестники могут сравняться по интенсивности с несущим импульсом. При удалении точки наблюдения от источника (начала координат) интенсивность предвестников увеличивается.
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 8 статьях в реферируемых отечественных журналах, рекомендованных ВАК, а также в материалах 9 научных конференций.
Апробация работы. Результаты, вошедшие в диссертационную работу, представлялись на 9 конференциях, в том числе на шести международных и трёх всероссийских. На Международной молодёжной конференции посвящённой 50-летию первого полета человека в космос «Королёвские чтения» (г. Самара: СГАУ, 4-6 октября, 2011 г.). На IX, X, XI Всероссийских молодежных Самарских конкурсах-конференциях научных работ по оптике и лазерной физике. (г. Самара: СФ ФИАН, ноябрь 2011, 2012, 2013 гг.). На Молодежной научной школе по нанофотонике 20го международного конгресса Nanostructures: Physics and Technology. (г. Самара: ИСОИ РАН, 30 июня, 2012 г.). На VII Международной конференции «Фундаментальные проблемы оптики - 2012». (г. Санкт-Петербург: НИУ ИТМО, 15-19 октября, 2012 г.). На Международной конференции «The International Conference on Coherent and Nonlinear Optics/The Lasers Aplications, and Technologies (ICONO/LAT:2013)» (г. Москва, 18-22 июня, 2013г.). На VIII Международной конференции молодых ученых и специалистов «Оптика - 2013» (г. Санкт-Петербург, 14-18 октября, 2013 г.). На 11 международной конференции "Распознавание образов и анализ изображений - 2013" (г. Самара: СГАУ (НИУ), 23-28 сентября, 2013 г.).
Объем и структура диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, списка цитируемой литературы (167 наименований). Работа изложена на 128 страницах и содержит 48 рисунков.
Конечно–разностная схема
Данный метод широко используется в различных программных пакетах, например, в коммерческом пакете BeamPROP компании RSoft.
Применяют и различные гибридные методы. К примеру, для решения однонаправленного (по координате z) волнового уравнения используют метод TD–BPM [38–43]. Суть метода заключается в том, что расчт пространственного распределения электромагнитного поля производится во временном окне, которое постоянно следует за импульсом, распространяющимся в пространстве в одном направлении. TD–BPM имеет свои достоинства и недостатки. Достоинствами метода являются: 1) невысокие требования к вычислительным ресурсам (благодаря бегущему временному окну); 2) расчт в пространственно–временной области. Недостатками метода являются: 1) ограничение на шаг дискретизации (должен подчиняться условию устойчивости); 2) отсутствие учта отражения энергии (т.к. уравнение однонаправленное); 3) неустойчивость при использовании неявных схем; 4) неприменимость для случая быстро осциллирующих вдоль направления распространения волн.
Прежде чем выбирать метод описания процесса распространения ультракоротких (фемтосекундных) импульсов в среде, необходимо определить их временные и спектральные характеристики, которые приводят к различным особенностям взаимодействия таких импульсов с веществом. Для этого обратимся к истории появления ультракоротких импульсов и подробно рассмотрим современные способы генерации импульсов с предельно короткой длительностью (длительностью от нескольких фемтосекунд до десятков аттосекунд).
С 1960 года, когда Мейман создал первый лазер на рубине (длительность импульса составляла 1 мс), по 1981 год, когда Форк, Грин и Шенк при использовании струйного лазера на красителе с кольцевым резонатором и сталкивающимися импульсами в струе насыщающегося поглотителя впервые получили импульс длительностью менее 100 фс (65 фс), технологии лазерной физики произвели значительный рывок вперед, уменьшив длительность импульса в 109 раз [44 – 54]. Использование волоконно–рештчатых компрессоров позволило ещ уменьшить длительность импульса сначала до 30 фс [55], потом до 16 фс [56], 8 фс [57] и наконец до 6 фс [58]. В 1997 году была получена длительность импульса 5,5 фс [59]. Излучение титан–сапфирового лазера длительностью 13 фс и энергией одиночного импульса 45 нДж направлялось в одномодовое волокно, сохраняющее поляризацию, длинной 3–4 мм. Для компрессии применялись призменный и решетчатый компрессоры. Длительность фиксировалась сканирующим автокоррелятором.
В 2003 году был получен импульс длительностью 3,8 фс [60]. Излучение от титан–сапфирового усилителя длительностью 25 фс и энергией импульса 0,5 мДж вводилось в полый, заполненный аргоном капилляр длиной 60 см и диаметром 0,5–0,3 мм. Компрессия так же осуществлялась при помощи чирпированных зеркал. Полученный импульс длительностью 10 фс вводился в следующий полый, заполненный аргоном капилляр длинной 60 см и диаметром 0,3 мм. Компрессия второго каскада осуществлялась шейпером [61]. Длительность и фаза импульса измерялась с помощью метода SPIDER (Spectral Phase Interferometry for Direct Electric–Field Reconstruction) и передавалась в компьютер, который управлял жидкокристаллическим модулятором, находящимся внутри шейпера, и вносил соответствующую поправку для максимального сжатия импульса [60].
Так же в 2003 году был получен импульс длительностью 3,4 фс [62]. Излучение от титан–сапфирового усилителя длительностью 30 фс и энергией импульса 94 мкДж фокусировалось в полое, заполненное аргоном волокно длиной 34 мм и диаметром 100 мкм. Компрессия так же осуществлялась шейпером. Длительность и фаза импульса измерялась с помощью метода M – SPIDER (Modified SPIDER), разработанного на основе метода SPIDER [62]. На Рисунке 1 приведена схема для генерации ультракороткого импульса длительностью 3,4 фс [62].
Из Рисунка 1 видно, что генерация и измерение характеристик фемтосекундных импульсов требует сложных оптических установок и возможна только в специально оборудованных лабораториях. Существуют различные установки, которые генерируют фемтосекундные импульсы с несущей длиной волны 532 нм [63], 655 нм [62], 1300 нм [60], а так же перестраиваемые системы, способные генерировать ультракороткие импульсы с несущей длиной волны от 290 до 2600 нм (OperA Solo) [64].
Моделирование процесса отражения ультракороткого импульса с помощью численного решения волнового уравнения
Кристаллический кварц и кварцевое стекло не что иное как различные формы диоксида кремния (SiO2). Кварцевое стекло обладает рядом замечательных свойств. Одним из них является устойчивость к резкому перепаду температур. Данный факт объясняется тем, что в кварцевом стекле оксид кремния находится в аморфной форме. Кварцевое стекло имеет очень низкий коэффициент температурного расширения (примерно в 20 раз меньше по сравнению с обычным стеклом) и теплопроводности. В кварцевом стекле содержится очень небольшое количество примесей других химических элементов, а его основу составляет оксид кремния. Данный факт приводит еще к множеству полезных свойств: кварцевое стекло обладает очень широким спектром пропускания, малым поглощением света, высокой оптической гомогенностью, стойкостью к ионизирующим излучениям и лазерному излучению высокой интенсивности, высокой рабочей температурой (более 1200 С, что в 4 раза больше, чем для обычного стекла), и т.д. Все эти свойства обуславливают широкое применение кварцевого стекла в оптических приборах [131–133].
Диоксид кремния имеет различные формы, включая три основные кристаллические разновидности: кварц, тридимит и кристобалит [134,135]. Кремнезм может также существовать в некристаллической форме в виде кварцевого стекла [134], а также он упоминается как аморфный кремнезм и стекловидный кремнезм [136,137]. Есть четыре основных типа промышленных стекол кремнезма. Тип I получается электрической плавкой природного кристалла кварца в вакууме или в атмосфере инертного газа при низком давлении. Тип II производится из кварцевого порошка с помощью газопламенного способа. Тип III является синтетическим и получается путм гидролиза SiCl4 при распылении в кислородно–водородном пламени [138]. Тип IV также синтетический и изготовлен из SiCl4 в паровой плазме, свободной от воды [138,139].
Каждый тип кварцевого стекла имеет свой собственный уровень примесей и оптических свойств. Например, тип I, как правило, содержит металлические примеси [136,137]. При этом типы III и IV намного чище, чем тип I и лучше пропускают в ультрафиолетовом диапазоне частот [136,137]. Тем не менее, тип III имеет, более высокое содержание воды, что приводит к высокому поглощению в инфракрасном диапазоне [136,137,140]. Тип IV аналогичен типу III, но содержит меньшее количество воды и, таким образом, лучше пропускает в инфракрасном диапазоне [140].
Как отмечалось ранее, в связи с широким применением кварцевого стекла в науке и производстве, уточнению его показателя преломления и коэффициента поглощения посвящено множество работ [127–130]. Из результатов экспериментального анализа оптических свойств кварцевого стекла следует, что общепринятая (трхпараметрическая) модель Селлмейера применима в диапазоне от 0,21 до 7 мкм [141]. При анализе процессов распространения ультракоротких импульсов, длительностью менее 3,5 фс, необходимо использовать модель, учитывающую все особенности диэлектрической проницаемости кварцевого стекла. В работе [133] проведн анализ и обобщение большого числа экспериментальных данных, полученных в ходе экспериментов по измерению показателя преломления и коэффициента поглощения кварцевого стекла, в результате чего были построены экспериментальные дисперсионные "кривые" (облако экспериментальных значений для показателя преломления и коэффициента поглощения) для кварцевого стекла. Так же в работе [133] была предложена модель дисперсии для кварцевого стекла, однако е область применимости охватывает диапазон от 7 до 50 мкм. Для других материалов только начинают производить такие экспериментальные исследования [122–125]. Их результаты являются достаточно разрозненными, что является весомым аргументом для исследования распространения ультракоротких импульсов именно в кварцевом стекле. Из приведенного обзора современных публикаций следует, что остаются нерешенными следующие проблемы: 1. Не исследовалась пространственно–временная дифракция коротких импульсов на основе численного решения линейного волнового уравнения с учетом дисперсии среды. Решать волновое уравнение легче и быстрее, чем систему уравнений Максвелла. 2. Не исследовались параметры фокальной области при острой фокусировке фемтосекундных импульсов с помощью компонент микрооптики. 3. Не исследовались оптические предвестники в средах с несколькими резонансами дисперсионной кривой (в многополюсных дисперсных средах). Цель и задачи диссертационной работы. Анализ линейного распространения фемтосекундных электромагнитных импульсов в среде с частотной дисперсией, на основе численного моделирования.
Моделирование распространения импульса в среде из кварцевого стекла с учтом трхпараметрической модели дисперсии
В данной главе моделируется распространение ПЗ и ПБ в 2D среде из кварцевого стекла и в 2D модельной среде типа кварца с тремя резонансами в модели Селлмейера [141]. Обычно амплитуда предвестников очень мала и составляет 10–4 от максимальной амплитуды начального импульса. Поэтому для наджного обнаружения предвестников (чтобы их амплитуда была больше амплитуды ошибки вычислений) в модели дисперсии Селлмейера были подобраны резонансные частоты и амплитуды резонансов таким образом, что интенсивность ПЗ составляла 10–2 от интенсивности основного импульса, и интенсивность ПБ соответственно – 310–2. Моделирование распространения фемтосекундного прямоугольного и полубесконечного импульсов с резким передним фронтом в планарном волноводе из кварцевого стекла с учтом дисперсии показало наличие ПЗ и ПБ, разделнных в пространстве. Частотный режим использовался промежуточный, как в [117], но в отличие от [116] несущая частота была дальше от частоты резонанса.
Во второй части главы моделируется распространение ПЗ и ПБ в 2D волноводе из кварцевого стекла, модель которого также описывается трхполюсной моделью Селлмейера [141]. Проведено численное исследование зависимости формы оптического предвестника и его количественных характеристик от параметров входного излучения: длительности, несущей частоты, формы. Показано, что возможно увеличить интенсивность оптического предвестника вплоть до того, что его интенсивность станет величиной одного порядка с интенсивностью несущего импульса [158 ].
В третьей части главы найдены параметры (резонансные длины волн, амплитуды и коэффициенты демпфирования) модели Селлмейера для более точного согласования (СКО 6%) модельных кривых показателя преломления и коэффициента поглощения с облаком экспериментальных значений дисперсионных кривых кварцевого стекла, приведнных в [133]. Сравнение результатов моделирования распространения гауссова (по пространству и по времени) импульса длительностью 3,35 фс в волноводах из кварцевого стекла, дисперсия которых описывалась стандартной и уточннной моделями Селлмейера [159 ], показало существенное влияние дисперсии на процесс распространения импульса: высокое поглощение (в 10 раз больше) и замедление (на 0,35 мкм за 7 мкм). Уточннная модель дисперсии приводит к тому, что фемтосекундный импульс в кварце теряет 90% своей энергии на расстоянии 7 мкм. Моделирование распространения фемтосекундного прямоугольного импульса с резким передним фронтом в планарном волноводе из кварцевого стекла с учтом дисперсии (с помощью новой уточннной модели) так же показало наличие ПЗ и ПБ, разделнных в пространстве.
Моделирование оптического предвестника в материале с модельной дисперсией В случае распространения в диспергирующей среде ультракороткого светового импульса с резким фронтом можно наблюдать появление предвестников [113,114]. Чем круче фронт, тем большая доля энергии переносится спектральными компонентами, которые распространяются практически со скоростью света. Предвестник Зоммерфельда (ПЗ) – это высокочастотная часть импульса, которая распространяется в среде со скоростью света в вакууме (как будто среды нет). Предвестник Бриллюэна (ПБ) – это тоже высокочастотная часть начального импульса, которая распространяется в среде с фазовой скоростью света в данной среде (то есть, как будто в среде нет частотной дисперсии). И основная (несущий импульс НИ) часть начального импульса распространяется в среде с групповой скоростью. Так в точку z0 сначала в момент времени tZ придт ПЗ, потом в момент времени tB придт ПБ и лишь в момент времени tGR приходит НИ, содержащий основную энергию. Формулы для расчта времени прибытия каждого из импульсов приведены ниже [113]: h =
Следует отметить, что описанная выше временная картина появления предвестников справедлива только для сред без пространственной дисперсии, а амплитуда этих предвестников достаточно мала по сравнению с амплитудой входного импульса.
Для того чтобы повысить амплитуду предвестников надо увеличить степень дисперсии материала. Рассмотрим модельный материал, в котором диэлектрическая проницаемость будет меняться более значительно, чем диэлектрическая проницаемость для кварцевого стекла (Рисунок 2.11). Для моделирования так же воспользуемся моделью Селлмейера (2.12), новые параметры которой представлены в Таблице 3.1.
Для моделирования были выбраны следующие параметры: ts=3,36 фс, Х0=0,532 мкм, /х=7 мкм, lz=8 мкм, Т=50,4 фс, hx=A(/266 мкм, Ъ2=У354 мкм, ht=X(/886 мкм. На Рисунке 3.2 приведена интенсивность начального импульса с резким фронтом и его спектр. 3, Риcунок 3.2. Интенсивность и спектр входного импульса с резким фронтом длительностью 3,36 фс в точке (x,z)=(0,0) мкм На Рисунке 3.3 приведена зависимость интенсивности импульса от времени в точке (x,z)=(0,7) мкм, полученная после распространения ультракороткого импульса вида (3.2) с резким фронтом и длительностью 3,36 фс внутри волновода из материала, диэлектрическая проницаемость которого показана на Рисунке 3.1. Ошибка в расчтах составила - 0,0(Ш0. Ct,MKM
Временная зависимость интенсивности импульса в точке (x,z)=(0,7) мкм Из Рисунка 3.3 видно, что основному импульсу предшествуют два предвестника. Однако интенсивность этих предвестников (в особенности ПЗ) много меньше интенсивности входного импульса (в 100 раз). В Таблицах 3.2 и 3.3 приведено время tmeop и tpac4 появления ПЗ и ПБ и основного импульса в точках (x,z)=(0,3) и (x,z) =(0,7) мкм, полученные с помощью выше приведнных формул (3.1), а также рассчитанные на основе данных моделирования.
Исследование характеристик оптического предвестника
1. Моделирование распространения фемтосекундного импульса длительностью 3, 66 фс с несущей длиной волны 532 нм с резким передним и задним фронтами в планарном волноводе из модельного материала, диэлектрическая проницаемость которого в диапазоне 274 нм - 806 нм меняется более значительно, чем диэлектрическая проницаемость для кварцевого стекла, и частотная дисперсия которого описывается на базе модели Селлмейера, показало наличие разделенных во времени ПЗ и ПБ, интенсивность которых всего в 100 раз меньше интенсивности основного импульса; СКО времени появления предвестников, 100 полученного с помощью теоретических формул, от времени, полученного при моделировании, составило для ПЗ и ПБ 5%.
2. Моделирование распространения фемтосекундного прямоугольного импульса длительностью 3,55 фс с несущей длиной волны 532 нм в планарном волноводе из кварцевого стекла, частотная дисперсия которого описывается известной моделью Селлмейера, показало наличие разделенных во времени ПЗ и ПБ, интенсивность которых в 103 раз меньше интенсивности основного импульса; СКО времени появления предвестников, полученного с помощью теоретических формул, от времени, полученного при моделировании, составило для ПЗ и ПБ 7% и 8%.
3. Моделирование распространения полубесконечного импульса с резким передним фронтом и длиной волны 532 нм в планарном волноводе из кварцевого стекла, частотная дисперсия которого описывается известной моделью Селлмейера, показало наличие разделенных во времени ПЗ и ПБ, интенсивность которых в 105 раз меньше интенсивности основного импульса; СКО времени появления обоих предвестников, полученного с помощью теоретических формул, от времени, полученного при моделировании, составило около 7% .
4. Численное моделирование предсказывает появление оптического предвестника как в случае импульсного излучения, так и в случае полубесконечной волны с резким передним фронтом (передний фронт всегда начинается с нулевой интенсивности). В случае «обрыва» заднего фронта входящего излучения на ненулевом значении интенсивности, интенсивность предвестника увеличивается в среднем в 230 раз для 0 =532 нм (далеко от резонанса) и в среднем в 10 раз для 0 =120 нм (близко к резонансу). В случае выбора несущей длины волны близко к резонансу дисперсионной кривой, описываемой известной моделью Селлмейера, относительная интенсивность предвестника (по сравнению с несущим импульсом) увеличивается в среднем в 2500 раз, предвестники становятся сравнимы по интенсивности с несущим импульсом, а в некоторых случаях даже превосходят его в 2–4 раза. При удалении точки наблюдения от источника (начала координат) интенсивность предвестников увеличивается в среднем в 200 раз для 0 =532 нм (далеко от резонанса) и в среднем в 2 раза для 0 =120 нм (близко к резонансу).
5. Получена уточненная модель дисперсии для кварцевого стекла, то есть найдены параметры (резонансные длины волн, амплитуды резонансов и коэффициенты демпфирования для шести резонансов) модели Селлмейера для более точного согласования (СКО 6%) модельных кривых показателей преломления и поглощения с облаком экспериментальных значений дисперсионных кривых кварцевого стекла.
6. Моделирование распространения фемтосекундного прямоугольного импульса длительностью 0,7 фс с несущей длиной волны 120 нм (вблизи резонанса) в планарном волноводе из кварцевого стекла, частотная дисперсия которого описывается уточннной моделью Селлмейера с шестью резонансами, показало наличие разделенных во времени ПЗ и ПБ, интенсивность которых в 8 раз меньше интенсивности основного импульса; среднеквадратическое отклонение времени появления предвестников, полученного с помощью теоретических формул, от времени, полученного при моделировании, составило для ПЗ и ПБ 7% и 2 %.
7. Сравнение результатов моделирования распространения гауссова (по пространству и по времени) импульса длительностью 3,35 фс в волноводах из кварцевого стекла, дисперсия которых описывалась стандартной и уточннной моделями Селлмейера, показало 102 существенное влияние дисперсии на процесс распространения импульса: высокое поглощение (в 10 раз больше) и замедление (на 0,32 мкм) за 7 мкм. Фемтосекундный импульс теряет 90% энергии в кварце на расстоянии 7 мкм.
