Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА 1. Математика: философский ракурс 18
1.1. Эволюция философского и математического знания 20
1.2. Проблемы понимания в философии и математике 31
1.3. Специфика философского и математического мышления 42
1.4. Типы философско-математического взаимодействия 50
ГЛАВА 2. Философско-математический синтез в духовной культуре современности 65
2.1. Философско-математические концепции в русской культуре XX века (П.А. Флоренский, А. Белый, Н.Н. Лузин, А.Ф. Лосев) 67
2.2. Роль философско-математического синтеза в обосновании математического знания 98
2.3. Взаимосвязь философии и математики - путь к расширению границ мировосприятия 110
2.4. На пути к целостному образу математики: философско- математический синтез как фактор гуманизации математического знания 120
Заключение 131
Список литературы 135
- Эволюция философского и математического знания
- Специфика философского и математического мышления
- Философско-математические концепции в русской культуре XX века (П.А. Флоренский, А. Белый, Н.Н. Лузин, А.Ф. Лосев)
- Взаимосвязь философии и математики - путь к расширению границ мировосприятия
Введение к работе
Актуальность темы диссертационного исследования
В современном мире мы оказались «разбросанными» по видам деятельности. Даже в такой области, как наука, люди достаточно часто не понимают друг друга. Эта проблема усугубляется, если говорить о людях, работающих в разных сферах человеческой культуры. Оказавшись в рамках узких специальностей, мы удаляемся друг от друга в решении частных проблем, в результате мы не видим их общечеловеческого значения. Расщепление жизни на самодостаточные, замкнутые в себе области деятельности ведет к взаимному непониманию и отчуждению, это является одной из главных причин глобальных проблем современности.
В этих условиях особенно актуальными становятся любые теоретические усилия по взвешенному осмыслению проблемы. Наиболее значимым аспектом указанной проблемы является «разрыв между наукой и философией», «утерянная связь между естественными и гуманитарными науками»1 Изучение проблемы взаимодействия философии и математики, как мы покажем в исследовании, было актуально на протяжении всей истории человеческой культуры. Разрыв в культуре мы наблюдаем на примере современной ситуации в основаниях математики, которая характеризуется разделением математического знания на конфликтующие направления.
Философия и математика были рождены благодаря усилиям человеческого духа, предпринятым в попытках выяснить возможности и пути познания истины. Эти феномены предложили различные и во многом противоположные друг другу пути познания. В результате они стали стремиться к обособлению. Взгляд на историю математики и на историю философии позволяет заключить, что драма отношений этих двух творений человечества разворачивается на протяжении тысячелетий и далека до
1 Франк Ф. Философия науки. Связь между наукой и философией. - М., 1960. - С. 38; О разрыве между естественными и гуманитарными науками писал также Ч. Сноу (см.: Сноу Ч.П. Портреты и размышления: Художественная публицистика. - М., 1985).
завершения. Нельзя не согласиться со словами Эдвандо Агацци, специалиста в области философии математики, что «проблема взаимосвязи философии и математики существовала всегда - по меньшей мере, в Западной культуре — с тех пор, как эти два феномена духовной культуры человека родились на свет»2.
Европейская культура демонстрирует стремление философской мысли определить свое отношение к мысли математической. Без преувеличения можно сказать, что «проблема математики» входит в золотой фонд вечных философских вопросов.
Притягательность математики для философии связана, в первую очередь, с удивительной устойчивостью математических результатов. «Непостижимая эффективность математики» (Е. Вигнер)3 во все времена не давала покоя философски настроенным умам. Сопоставление математики и философии приводило одних к систематическому использованию в* философских целях, наработанных в математике результатов, других же заставляла констатировать непригодность для философии математического1 способа мышления. Тем не менее, тема «философия и математика» проходит через всю историю европейской философии.
Математика, особенно в кризисные периоды своего существования, просила помощи у философии, и многие исследователи выказывали неравнодушие к проблемам философского характера, хотя среди мнений о пользе философии для математики часто встречаются отрицательные.
Итак, на протяжении длительного времени существования философия и математика вступали и вступают в сложные взаимоотношения: от полного слияния до их абсолютного противопоставления.
Разброс во взглядах на соотношение этих двух феноменов связан с различными трактовками, как философии, так и математики. Для того чтобы
2 Agazzi Е. The rise of the foundation research in mathematics//Synthese. - Dordreht, 1974. -
Vol.27.- №l-2.-P.7
3 Вигнер E. Этюды о симметрии. - M., 1971. - С. 192.
ответить на вопрос, как возможно взаимодействие философии и математики, в данной работе проводится философский анализ исторического развития математического знания, выявляются и описываются способы понимания философии и математики в истории мысли, выделяются и анализируются основные типы философско-математического взаимодействия, исследуются философско-математические концепции в русской культуре XX века.
Взаимодействие философии и математики является предметом осмысления в предлагаемой работе, отражает одну из тенденций, проявляющих себя на протяжении всей истории человеческой культуры. Мыслительная процедура разложения целого на части и дифференциация процесса освоения человеком мира представляют необходимый компонент в структуре познавательной деятельности. Увлеченность аналитической* составляющей, начиная с XVII века, выразившаяся сначала в идее автономной философии, а затем в превращении науки в самодостаточную сферу с делением её на все более узкие и специализированные области, обернулась утратой целостного взгляда на мир и уходом от главной цели любой деятельности - раскрытия человеческого в человеке.
Культура превратилась в совокупность самодостаточных областей человеческой деятельности, что привело к взаимному непониманию и невозможности диалога не только между представителями естественнонаучной и гуманитарной культуры, но и между специалистами, работающими в разных разделах одной и той же науки.
«Культура есть язык, объединяющий человечество; но разве не находимся мы в Вавилонском смешении языков, когда никто никого не понимает и каждая речь служит только, чтобы окончательно удостовериться и закрепить взаимное отчуждение?»4 - вопрос Павла Флоренского своим современникам можно с тем же беспокойством задать и нашему поколению. Сосредоточенность на решении частных вопросов приводит к неспособности
4 Флоренский П.А. У водоразделов мысли/УФлоренский П.А. Сочинения: В 2-х т. -М.Л990.-Т. П.- с. 346.
смотреть на проблему с позиции целого, к утрате связей с другими областями культуры и самой действительностью, влечет взаимное отчуждение, что в конечном счете представляет основу всех глобальных проблем современности.
«Современность возжаждала синтеза более, чем всякая другая эпоха. Философская мысль расплачивается теперь своей беспомощностью и тоской по высшему синтезу за слепое самоотдание технике и открытиям XIX века, за долгое блуждание в лабиринте гносеологической схоластики, за безрелигиозность, под знаком которой протекла вся новая культура. Утомленные, подошли мы к XX веку все с тем же вековечным вопросом: что есть истина?»5 - эти слова А.Ф. Лосева характеризуют духовную ситуацию начала третьего тысячелетия. Не случайно проблема взаимосвязи философии и математики, занимавшая умы величайших мыслителей в разные периоды человеческой истории, находится и сегодня в центре внимания многих философов и математиков. Необходимость конструктивного диалога во всех сферах человеческой деятельности является общей тенденцией современной духовной культуры.
Данная работа рассматривает особый тип взаимодействия философии и математики: философско-математический синтез. «Философско-математический синтез» - особый тип философско-математического взаимодействия, здесь философия и математика, участвуют в построении целостной картины действительности, соединяясь тем или иным образом в процессе рассуждения. Взаимодействия этих двух феноменов способствует расширению границ мировосприятия и выработке цельного мировоззрения. Философско-математическое взаимодействие есть система, включающая философские и математические компоненты. Видимо, впервые это словосочетание встречается в речи П.А. Некрасова «Московская
5 Лосев А.Ф. Эрос у Платона//Лосев А.Ф. Бытие - Имя - Космос. - М., 1993. - С. 32.
философско-математическая школа и ее основатели»6 при характеристике взглядов основных представителей этой школы и их идейных предшественников, которые предприняли попытку преодолеть раздробленность в познании, проложить пути к формированию цельного мировоззрения. Духовное состояние, переживаемое нашей страной на рубеже XIX - XX веков, близко к современному, поэтому внимание к процессам, происходившим в отечественной культуре того времени, поможет пролить свет на проблемы сегодняшнего дня.
Степень научной разработанности проблемы, поставленной в исследовании состоит в выявлении методологических оснований и в осмыслении философско-математического синтеза, определяется совокупностью результатов, полученных в работах, так или иначе касающихся проблемы взаимосвязи философии и математики.
Определим ряд тематических групп, которые составляют проблемное поле диссертации.
Исследования, посвященные вопросам философии и методологии науки, содержатся в трудах таких отечественных и зарубежных авторов, как Гайденко П.П., Ильин В.В., Гайзенберг В., Кун Т., Лакатос И., Пуанкаре А., Рейхенбах Г., Франк Ф. и др. ;
Работы по философии математики, среди которых отметим принадлежащие следующим авторам: Арепьеву Е.И., Бурбаки Н., Вейлю Г., Вигнеру Е., Панову М.И., Пойа Д., Рузавину Г.И., Френкелю А., Бар-Хиллелу И., Целищеву В.В. и др.
Труды по истории математики и философии, в той или иной степени касающиеся проблемы взаимосвязи философии и математики, принадлежат таким исследователям как Клайн М., Волошинову А.В., Гайденко П.П., О.И., Майорову Г.Г., Расселу Б., Шпенглеру О. и др.
6 См.: Некрасов П.А. Московская философско-математическая школа и ее основатели. -М., 1904. - С.18. Некрасов (1858-1924) - русский математик, профессор Московского университета, специалист в области теории вероятностей, представитель Московской философско-математической школы
Исследования философско-математических работ Н.В. Бугаева и ПА.Флоренского и некоторых представителей Московской философско-математической школы, принадлежат Демидову С.С, Панову М.И, Шапошникову В.А. и др.
Исследования философско-математических работ Лосева А.Ф, Лузина Н.П., Белого А. принадлежат Тахо-Го ди А. А., Троицкому В.П., Демидову С.С, Панову М.И., Розову М.А., Гайденко П.П. и др.
Исследования, которые отражают современное состояние проблемы обоснования математического знания мы находим в трудах ЦелищеваВ.В., Яглома И.М. Налимова В.В. и др.
Группы 1-3 составляют «базис» диссертации. В этой литературе под разными углами зрения дан историко-философский анализ становления и развития научного знания. Здесь выявлены различные аспекты взаимосвязи философии и математики. Следует заметить, что в этой группе слабо представлены философско-математические концепции русских мыслителей.
В литературе 4-ой группы проанализированы философские взгляды П.А. Флоренского, дана краткая характеристика философии Н.В. Бугаева, анализ его математических работ. В некоторых исследованиях представлена роль математики в миросозерцании Н.В. Бугаева и П.А. Флоренского.
В работах, относящихся к группе 5, исследуется проблема взаимосвязи философии и математики в творчестве русских мыслителей.
Исследования группы 6 свидетельствуют о важности построения новых, более удовлетворительных вариантов обоснования математического знания, высоком интересе к проблемам гуманизации науки и образования, разработке нового видения действительности, расширению границ миропонимания. Эти труды служат базой для определения места философско-математического синтеза в духовной культуре XX - начала XXI веков.
Таким образом, имеется определенная база, составляющая литературу по истории философии и философии математики, посвященная проблеме взаимосвязи философии и математики.
Цель диссертационного исследования состоит в выявлении взаимосвязи философского и математического знания в контексте исторического развития европейской культуры. В работе раскрывается понятия философско-математического синтеза в истории философской мысли. Философско-математическое взаимодействие есть система, включающая философские и математические компоненты. «Философско-математический синтез» - особый тип философско-математического взаимодействия, здесь философия и математика, участвуют в построении целостной картины действительности, соединяясь тем или иным образом в процессе рассуждения. Взаимодействия этих двух феноменов способствует расширению границ мировосприятия и выработке цельного мировоззрения. Философско-математический синтез - вид знания формирующийся на основе реконструкции разновидностей исследуемого феномена в истории философии и обладающий наглядной целостностью. В работе анализируется место философско-математического синтеза в духовной культуре, связь с родственными процессами, происходящими в различный сферах духовной деятельности, в частности налаживанием диалога между различными направлениями в основаниях математики, гуманизацией математического знания и т.д.
В соответствии с целью в диссертации решаются следующие задачи:
выявление оснований для философско-математического взаимодействия и выделение различных способов понимания философии и математики в истории мысли;
выделение и характеристика типов философско-математического взаимодействия;
раскрытие понятия «философско-математический синтез», выделение разновидностей философско-математического синтеза;
- раскрытие влияния сложившихся в истории философии вариантов
философско-математического синтеза на тенденции и идеи в духовной
культуре XX - начала XXI вв.;
— определение статуса философско-математического синтеза в
процессе гуманизации математики и мировоззренческих трансформаций
современной цивилизации, в решении проблемы обоснования
математического знания.
Реализация цели исследования и решение поставленных задач требуют соответствующей методологической базы. В диссертации используется метод историко-философской реконструкции, который включает в себя методики первичного (при изучении источников) и вторичного (при привлечении различного рода критической литературы) исследования при сборе данных, методы имманентного интерпретирующего анализа (при анализе той или иной философской концепции) и компаративистского анализа (при сравнении различных концепций) и метод синтеза как соединения интерпретированного материала в новом качестве.
Цель и задачи исследования определили его структуру. Диссертация состоит из введения, двух глав, разбитых на восемь параграфов, заключения и списка литературы.
Для достижения поставленной цели в диссертации предпринимается исследование эволюции философского и математического знания в европейской культуре, а также исследование основ взаимодействия философии и математики в процессе познания. В первой главе выявляются методологические основания философско-математического взаимодействия, которые обнаруживаются в специфике философского и математического мышления, а также в различных способах понимания целей философии, предмета математики и математической деятельности. В этой главе выявляются уровни взаимодействия философии и математики на основе единства этимологического, логического и исторического подходов к раскрытию понятия «философско-математический синтез». В работе
рассматривается классификация разновидностей философско-
математического синтеза, утверждается, что варианты всех разновидностей могут быть обнаружены в истории философии.
Вторая глава «погружает» философско-математический синтез в контекст духовной культуры XX - начала XXI веков. Для этого рассматривается влияние творчества П.А. Флоренского на тенденции и идеи в русской культуре XX века, а конкретно на философско-математические концепции, представленные в творчестве А. Белого, Н.П. Лузина, А.Ф. Лосева. В исследовании раскрывается потенциал философско-математического синтеза в процессе гуманизации математического знания и в преодолении противостояния между различными направлениями, которые сложились в основаниях математики. На современном этапе смены парадигм мировосприятия определяется место философско-математического синтеза на пути к цельному мировоззрению.
Основные положения, выносимые на защиту 1. Философско-математическое взаимодействие.
Для выявления типов взаимодействия философии и математики служит то обстоятельство, что математический и философский виды рациональности представляют собой необходимые компоненты процесса духовного освоения мира в русской и западной культуре XX века. Характер философско-математического взаимодействия определяется сочетанием способа понимания целей философии и трактовки сущности математики. Например, сочетание софийной трактовки философии (ориентированной на мудрость, от греч. «мудрость») и понимания математики как науки в общепринятом смысле слова, имеющей свои специфические предмет и метод, порождает точку зрения о неприменимости математических результатов и методов для решения философских вопросов и непригодности философского подхода в рамках математики. Сочетание эпистемического типа философии (ориентированной на науку, от греч. «точно установленное, достоверное знание»), видения в математике точной и наиболее разработанной науки,
метод которой универсален и приложим к любым областям познания,
приводит к активному использованию математического метода в
метафизических построениях. Софийный тип философствования в сочетании
с «метафизической» трактовкой математики, отражающей замысел Творца
при построении мироздания, как первой и необходимой предпосылки
мировоззрения, порождает виды философско-математического
взаимодействия, результатом которых являются системы, обязательно включающие математические и философские компоненты.
2. «Философия математики» и «философия и математика» - типы
философско-математического взаимодействия.
В многообразии взаимосвязей философии и математики, наблюдаемых в истории человеческой мысли, достаточно отчетливо выделяются два типа философско-математического взаимодействия: «философия математики» и «философия и математика». Первый тип характеризуется тем, что математика является предметом философских размышлений, объектом философско-методологической рефлексии. Философско-методологическая рефлексия вычленяет математику и ее связи из научного и культурного контекста и осмысливает с теоретико-мировоззренческой точки зрения сущность математических объектов, их статус и отношение к объектам теоретического естествознания, к чувственно воспринимаемому миру, соотношение математики и логики, природу математического доказательства и т.д. «Философия и математика» характеризуется «равно-уровневым» участием философии и математики в построении целостной картины мира. В рамках второго типа более распространенными точками зрения являются «разведение функций философии и математики» и «философско-математический синтез». «Разведение функций философии и математики» (характерное для концепций Б. Паскаля, И. Канта, Г. Гегеля, Л. Фейербаха, А. Бергсона и др.) представляет тип философско-математического взаимодействия. Философия и математика рассматриваются как абсолютно
автономные области духовной культуры, результаты и методы которых имеют самодовлеющее значение, они не могут быть применены вне своей области. «Философско-математический синтез» (выраженный в трудах представителей классического рационализма, П.В. Бугаева, П. А. Флоренского и др.) является типом взаимодействия философии и математики, при котором результирующее знание есть система, включающая философские и математические компоненты.
3. Классификация разновидностей философско-математического синтеза.
В рамках философско-математического синтеза формы соединения
философии и математики служат основанием для следующей классификации разновидностей философско-математического синтеза:
слияние философских и математических компонентов, которые относятся к единой предметной области (синкретизм);
соединение философии и математики в единое целое для построения всеобъемлющей дедуктивной системы;
диалектическое взаимодействие философии и математики (диалог);
способ рассуждения, в котором математические элементы участвуют в раскрытии философских вопросов;
антиномическое соединение двух противоположностей (философии и математики) по принципу дополнительности.
4. Философско-математические концепции П.А. Флоренского и их влияние
на сознание современников (А. Белый, Н.Н. Лузин, А.Ф. Лосев).
П.А. Флоренский не был ученым, стремившимся получать результаты, воспринимаемые научным сообществом как математические. Математические образы, понятия, модели интересовали его, поскольку рассматривались им как «конституитивные элементы философии». Флоренский смотрел на математику глазами романтика и поэта.
В произведениях русского мыслителя математическое сближается с поэтическим, музыкальным, религиозным, магическим. «Ритм» и «форма» являются ключевыми категориями, через которые осуществляется это
сближение. Для Флоренского было важно показать математические понятия и утверждения в их образном аспекте (чувственной видимости и осязаемости). Мыслитель в математике искал «конкретно созерцаемого».
Эволюция взглядов на математику в творчестве П.А. Флоренского представляет собой постепенное уточнение позиции мыслителя по отношению к математике: от видения в ней онтологического «скелета» реальности до понимания ее как символического описания. Однако на протяжении всей эволюции Флоренский сохранил твердое убеждение в мировоззренческом значении математики, ее тесной связи с философией.
Философско-математические воззрения П.А. Флоренского повлияли на сознание его современников А. Белого, Н.Н. Лузина и А.Ф. Лосева. Труды Флоренского отразилось на их творчестве в поисках новых поэтических приемов и построении теории символизма (А. Белый), разработке диалектических основ математики и философии музыки (А.Ф. Лосев), построении новых математических теорий с использованием идей, затронутых еще в античной философии (Н.Н Лузин).
5. Философско-математический синтез как фактор формирования цельного мировоззрения.
Философско-математический синтез способствует формированию цельного мировоззрения, которое может стать фундаментом для конструктивного диалога в философии, науке, культуре и политике. Этот момент является важным условием для сохранения динамического равновесия в современном мире. Философско-математический синтез позволяет рассматривать конфликтующие между собой направления не как исключающие друг друга, а как взаимосвязанные и взаимодополнительные точки зрения. Эти точки зрения вскрывают различные аспекты феномена математики, обогащают ее образ и ' раскрывают новые грани для соприкосновения математики с другими областями культуры, взаимосвязи с философией и расширения границ нашего мировосприятия. Философско-математический синтез способствует раскрытию гуманитарной
составляющей математического знания, он вносит свой вклад в восстановление многопланового, но в то же время целостного образа феномена культуры и содействует гармонизации технической и гуманитарной тенденций современной цивилизации как одному из важнейших аспектов в решении глобальных проблем.
Научная новизна исследования Научная новизна диссертации состоит в раскрытии понятия «философско-математический синтез» (особый тип взаимодействия философии и математики), отражающего линию специфического понимания философии, математики и их взаимосвязи. В ходе исследования сформулированы методологические основания философско-математического синтеза, выявлены типы взаимодействия философии и математики в развитии духовной культуры, определены особенности философско-математического синтеза в истории философской мысли. Конкретнее:
установлено, что философский и математический виды рациональности представляют собой необходимые компоненты процесса духовного освоения мира; выявлено, что характер философско-математического взаимодействия определяется сочетанием трактовки сущности математики и способа понимания целей философии;
выделены два типа философско-математического взаимодействия: «философия математики» (математика является объектом философского осмысления) и «философия и математика» («равноуровневое» участие философии и математики в построении целостной картины действительности). В рамках второго типа выделены и охарактеризованы две распространенные точки зрения: «разведение функций философии и математики» (рассматривающая философию и математику как абсолютно автономные области духовной культуры) и «философско-математический синтез» (вбирающая варианты ' философско-математического взаимодействия, при котором результирующее знание есть система, которая включает с необходимостью философские и математические компоненты);
предложена следующая классификация разновидностей философско-математического синтеза: ' слияние математических и философских компонентов, которые относятся к единой предметной области (синкретизм); соединение философии и математики в единое целое для построения всеобъемлющей дедуктивной системы; диалектическое взаимодействие философии и математики (диалог); способ рассуждения, в котором математические элементы участвуют в раскрытии философских вопросов; антиномическое соединение двух противоположностей (философии и математики) по принципу дополнительности;
на основе построенной теоретической модели выявлена «философско-математическая» тенденция, выразившаяся в поисках новых поэтических приемов и построении теории символизма (А. Белый), разработке диалектических основ математики и философии музыки (А.Ф. Лосев), построении новых математических теорий с использованием идей, затронутых еще в античной философии (Н.Н Лузин) в русской культуре XX века;
определен статус философско-математического синтеза в духовной культуре современности: философско-математический синтез позволяет рассматривать конфликтующие между собой направления не как исключающие друг друга, а как взаимодополнительные и взаимосвязанные точки зрения; философско-математический синтез способствует формированию цельного мировоззрения, которое может стать фундаментом для конструктивного диалога в науке, философии, политике и культуре в целом (этот факт является важнейшим условием для сохранения динамического равновесия в современном мире); философско-математический синтез способствует раскрытию гуманитарной составляющей математического знания, содействует гармонизации технической и гуманитарной тенденций современной цивилизации как одному из важнейших аспектов в решении'глобальных проблем.
Таким образом, диссертация вносит свой вклад в решение актуальных проблем в области современной культуры.
Результаты диссертации могут' применяться в разработке исследовательских программ, посвященных проблемам взаимосвязи философии и математики, в учебных курсах, затрагивающих историко-философские аспекты осмысления философии, в спецкурсах по философским вопросам математики и курсах по истории математики.
Основное содержание диссертации отражено в следующих работах автора:
«Дискутировать или вычислять». // Журнал «Духовность», 2006 г., объем 0,6 п/л.
«Математическое моделирование как метод познания окружающего мира». // Сборник материалов по итогам научно-исследовательской деятельности профессорско-преподавательского состава, аспирантов и студентов Сергиево-Посадского Гуманитарного Института 2005/2006, 2006г., объем 1 п/л.
«На пути к целостному образу математики: философско-математический синтез в контексте гуманизации математического знания». // Вестник ассоциации ВУЗов туризма и сервиса №3, 2008г., объем 0,4 п/л.
«История эволюции взглядов П.А. Флоренского на математику». // в печати, объем 0,8 п/л.
«Философско-математические концепции в русской культуре XX века». // Сборник материалов по итогам научно-исследовательской деятельности профессорско-преподавательского состава, аспирантов и студентов Сергиево-Посадского Гуманитарного Института 2007/2008, 2008 г., объем 0,5 п/л.
«Взаимосвязь философии и математики - путь к расширению границ мировосприятия». // в печати, объем 0,5 п/л?
Эволюция философского и математического знания
Математика - область знания, имеющая свой особый статус в системе наук; своеобразный способ теоретического описания действительности.
Истоки математики уходят глубоко в древность. Из дошедших до нас математических документов можно заключить, что в Древнем Египте были развиты отрасли математики, связанные с решением экономических задач. Математические познания египтян предназначались для удовлетворения конкретных потребностей материального производства и насущных нужд.
Греки вводят процесс обоснования как необходимый компонент математической действительности, доказательность является отличительной чертой их математики. Сам факт наличия доказательства говорит о том, что математические знания воспринимаются не догматически, а в процессе размышления.
В том, что обоснование не остановилось на эмпирической проверке , а приняло именно форму доказательства, решающим является появление новой, мировоззренческой функции науки. Отдельные, наиболее абстрактные элементы математики вплетаются в натурфилософскую систему и играют роль антипода мифологическим и религиозным верованиям. Эмпирическая подтверждаемость для элементов философской системы была недостаточной в силу общности их характера и скудности подтверждающих их фактов. Математические знания к тому времени достигли такого уровня развития, что между отдельными положениями можно было установить логические связи.
Математика как теория получила развитие в школе Пифагора (571-479 гг. до н.э.). Главной заслугой пифагорейцев в области науки является существенное развитие математики как по содержанию, так и по форме. По содержанию - открытие новых математических фактов, по форме — построение геометрии и арифметики как теоретических, доказательных наук, изучающих свойства отвлеченных понятий о числах и геометрических формах.
Пифагореизм рассматривал математическое знание как фундаментальную основу другого знания и как наиболее истинную его часть. Как философское течение пифагореизм выходит за рамки собственно философии математики, но в его центре, тем не менее, лежит определенное истолкование сути математического знания. Основной тезис пифагореизма состоит в том, что «все есть число». Греческая философия того времени ориентировалась на отыскание первоосновы мира, начала, из которого можно было бы объяснить все происходящее.
Для исследования довольно интересна элейская школа, в трудах которой математика и философия достаточно тесно и разносторонне взаимодействуют. Основными ее представителями считают Парменида и Зенона. Важно заметить, что в концепции элеатов фундаментальные философские представления существенно опирались на математические принципы. Наибольшей известностью во все времена пользовались зеноновы доказательства против движения; например, «движения не существует на том основании, что перемещающееся тело должно прежде дойти до половины, чем до конца, а чтобы дойти до половины, нужно пройти половину этой половины и т.д.». Аргументы Зенона приводят к парадоксальным, с точки зрения «здравого смысла», выводам, но их нельзя было просто отбросить как несостоятельные, так как и по форме, и по содержанию удовлетворяли математическим стандартам той поры.
Целый ряд важнейших математических построений, которые считались до этого несомненно истинными, в свете зеноновских построений выглядели как противоречивые. Рассуждения Зенона привели к необходимости переосмыслить такие важные методологические вопросы, как природа бесконечности, соотношение между прерывным и непрерывным и т.п. Эти моменты обратили внимание математиков на непрочность фундамента их научной деятельности и таким образом оказали стимулирующее воздействие на прогресс этой науки.
Следует обратить внимание и на обратную связь - на роль математики в формировании элейской философии. Так, установлено, что апории Зенона связаны с нахождением суммы бесконечной геометрической прогрессии. Огромное значение для последующего развития математики имело повышение уровня абстракции математического познания. Итак, был сделан шаг к становлению математики как дедуктивной науки, созданы некоторые предпосылки для ее аксиоматического построения. Таким образом, философские рассуждения элеатов, с одной стороны, явились мощным толчком для принципиально новой постановки важнейших методологических вопросов математики, а с другой стороны послужили источником возникновения качественно новой формы обоснования математических знаний.
Аргументы Зенона вскрыли внутренние противоречия, которые имели место в сложившихся математических теориях. Простейшим выходом из создавшегося положения был отказ от абстракций в пользу того, что можно непосредственно проверить с помощью ощущений. Таким путем математику можно сделать неуязвимой для рассуждений Зенона, хотя при этом практически упраздняется теоретическая математика. Значительно сложнее было построить систему фундаментальных положений математики, в которой бы выявленные Зеноном противоречия не имели бы места. Эту задачу решил Демокрит, который разработал концепцию математического атомизма.
Вводной частью научной системы Демокрита была «каноника», в которой формулировались и обосновывались принципы атомистической философии. За каноникой следовала физика, как наука о различных проявлениях бытия, и этика. Согласно Демокриту, задача научного познания заключается в том, чтобы свести наблюдаемые явления к области «истинного сущего» и дать им объяснение исходя из общих принципов атомистики. Это может быть достигнуто посредством совместной деятельности ощущений и разума.
Демокрит, руководствуясь положениями математического атомизма, проводит ряд конкретных математических исследований и достигает выдающихся результатов (например, теория математической перспективы и проекции). Выдающимся достижением Демокрита в математике явилась также его идея о построении теоретической математики как системы. В зародышевой форме она представляет собой идею аксиоматического построения математики, которая затем была развита в методологическом плане Платоном и получила логически развернутое положение у Аристотеля.10
Между эпохами Пифагора и Платона и эпохой Нового времени -простирается почти два тысячелетия. Этот длинный интервал ознаменован выдающимися успехами математики. Прогресс двигался в основном по технической линии. Философия математики также стояла на мертвой точке: она не вышла за рамки пифагореизма в его платонической и неоплатонической интерпретации.
Специфика философского и математического мышления
Выясним, в чем специфика философского мышления, которое отличает философию от других форм самовыражения человеческого духа, то есть от науки, искусства и религии. Античная доксография связывает с именем Пифагора, который первый назвал себя философом, введение термина «космос» (от греч. «порядок», «мир», «красота»). Философ не просто созерцает жизнь - он стремится осмыслить мировое целое как упорядоченное единство. Мышление философа направлено на прорисовку глобальных смысловых связей, которые позволяют мыслить мир в его полноте, умозреть его как красоту и гармонию. Утрата этого ориентира означает уход из области философии.
Примером переключения внимания с «глобального» на «локальное» служит наука, которая сосредотачивается на том или ином срезе реальности, делая его своим объектом исследования. Она детально изучает этот срез, используя для этого свой инструментарий (средства и методы, как эмпирические, так и теоретические). Философия, в отличие от науки, мыслит свой предмет не как объект, а как субъект, аналогичный тому, который мы ощущаем в самих себе как свое собственное «я». Другими словами, она мыслит его в абсолютном его бытии, во всей его полноте, при этом отдает себе отчет в том, что познаваемая его часть несоизмерима в своей ничтожности с неявленной. В этом смысле философия - особый род мышления, нежели род познания, хотя она и имеет своей целью познание того, что она мыслит, т.е. познание «вещей в себе», и мобилизует для этой цели все средства и результаты науки, без которой философское мышление было бы пусто.
Еще одной особенностью философии, отличающей ее от науки, является ее индивидуальность. Философствуя, человек всегда остается один на один с миром, и, пропуская через себя разнообразие предлагаемых культурой концепций и учений, сочетая взаимодействие с внешней действительностью и внутренний опыт, формирует свое собственное мировидение. Следовательно философия всегда личностна, в то время как наука - творчество коллектива. Уровень развития науки определяется совокупной деятельностью ученых, и открытия в науке в большой степени зависят от ее состояния в данный исторический момент.
В аспекте индивидуальности философия родственна искусству. Эти два феномена сближает и то, что интеллектуальная интуиция философа, усматривающая целостность и одновременно бесконечную противоречивую сложность всего конкретного, соответствует чувственной интуиции художника, тоже проникающей за поверхность явлений и прозревающей в своем предмете таящуюся в нем целостную бесконечность.
И все же философия и искусство существенно отличаются друг от друга, так как философия стремится к истине, в то время как искусство устремлено к высшей своей цели — художественному совершенству. Различие усматривается еще и в том, что философское мышление — словесное, языковое, т.е. вырастающее из стихии естественного языка, и понятийное, в то время как художественное мышление может быть языковым, но необязательно понятийным (например, поэзия), а может быть и вовсе неязыковым (живопись, танец, музыка и т.д.), используя для своих целей невербальные средства (звуки, краски, телодвижения и пр.). Хотя философское мышление часто пользуется средствами искусства (отметим диалоги Платона, насыщенные богатством художественных образов), однако эти стредства служат для наведения мысли на искомую идею для последующего выражения ее в понятиях и играют безусловно вспомогательную роль.
Что же касается специфики философии по отношению к религии, то, несмотря на устремление как верующего, так и философствующего сознания к недостижимой цели, для философии все таки характерен свободный поиск и апелляция к разуму; религия же скована рамками догматов, она в своих утверждениях ссылается на авторитет Священного писания, его канонических толкований. Более того, философ стремится обосновать создаваемую картину глобальных смысловых связей, объяснить, почему так, а не иначе, следует строить эту картину, убедить себя и других в правильности избранного похода. Если религиозные догматы, повседневная жизнь верующих или особенности организации культа начинают обосновываться в указанном смысле, то это признак того, что мы вступили в сферу религиозной философии и покинули область религии как таковой.
Поставим перед собой вопросы: в чем специфика математического мышления, какие черты сближают его с философским мышлением, художественным и научным, в чем заключаются отличительные особенности математического мышления, позволяющие рассматривать математику как самостоятельный феномен культуры.
Математическая деятельность в отвлеченном и очищенном виде выражает познавательную направленность человека, которая проявляется в определении, оформлении, упорядочивании действительности (в которой человек себя обнаруживает). Продуктами этой познавательной активности являются математические объекты. Человеческий разум своими корнями уходит глубоко в реальный мир, его творения определенным образом соотносятся с этим миром. Выяснение характера этого отношения, которое представляет серьезную философско-методологическую проблему, требует отдельного рассмотрения, но этот процесс выходит за рамки данного исследования. Следует отметить, что важным для нас является тот факт, что математик в своей деятельности конструирует, создает мысленную модель действительности, а затем изучает ее средствами логики и анализа.
Философско-математические концепции в русской культуре XX века (П.А. Флоренский, А. Белый, Н.Н. Лузин, А.Ф. Лосев)
В настоящем параграфе мы рассматриваем творчество выдающихся мыслителей XX столетия, которые предложили в своих произведениях идеи, основанные на признании «положительного» взаимодействия философии и математики. Анализируются четыре этапа эволюции взглядов на математику в творчестве П.А. Флоренского, представляющие собой постепенное уточнение позиции мыслителя по отношению к математике: от видения в ней онтологического «скелета» реальности до понимания ее как символического описания. Однако на протяжении всей эволюции Флоренский сохранил твердое убеждение в мировоззренческом значении математики, ее тесной связи с философией. Ученые, к чьим трудам мы обращаемся, продемонстрировали эффективность взаимодействия философии и математики для решения задач в самых разных областях духовной культуры: построении теории символизма и поисках новых поэтических приемов (А. Белый); разработке диалектических основ математики и философии музыки (А. Ф. Лосев); создании новых математических теорий (Н.Н Лузин).
П.А. Флоренский (1882 - 1937) не был ученым, стремившимся получать результаты, воспринимаемые научным сообществом как математические. Математические образы, понятия, модели интересовали его, поскольку рассматривались им как «конституитивные элементы философии». Флоренский смотрел на математику глазами романтика и поэта.
В произведениях русского мыслителя математическое сближается с поэтическим, музыкальным, религиозным, магическим. «Ритм» и «форма» являются ключевыми категориями, через которые осуществляется это сближение. Для Флоренского было важно показать математические понятия и утверждения в их образном аспекте (чувственной видимости и осязаемости). Мыслитель в математике искал «конкретно созерцаемого», что позволило «перебросить мост от математических схем теории функций к наглядным образам геометрии и к явлениям природы».65
Принцип наглядности был частью творческого кредо Флоренского. Присущие ему с детства особая острота зрения и способность видеть форму явления, сыграли важную роль в становлении его личности. В почитании Флоренским идеи формы («форма для меня была реальностью»)66 выразилось огромное влияние И. Гете. Приверженность принципу наглядности вплотную примыкает к проблеме пространства. Понимание проблемы пространства для мыслителя равноценно пониманию мира. Математика станет воистину «познанием форм в их чистоте» и обретет смысл только тогда, когда мы сделаем ее геометрически наглядной, образной, до этого она содержит лишь мертвые схемы. Стремление сделать понятия и утверждения геометрически наглядными и даже связать с ними всевозможные нематематические наглядные образы и преставления оказывается методологическим принципом, который позволяет постигать, делать осмысленными соответствующие положения математики. «Наблюдения и эксперименты получают свой смысл, лишь когда они оформлены математически, - писал Флоренский сыну Кириллу с Соловков в 1937 году, - а для этого не всегда требуется тонкость анализа, часто удается получить хорошие результаты примитивными средствами. Поэтому приучайся формулировать итоги работы хотя бы просто кривыми и их уравнениями». Внимание к математической графике есть проявление общей тенденции мыслителя к наглядно-образному пониманию математики.
Флоренский, характеризуя в работе «Пути и средоточия» методологические принципы своего творчества, сближает свойственный ему стиль мышления и построение произведений с «полифонией Средних веков или контрапунктическим стилем» в музыке, для которого характерно «взаимоподчинение всех голосов друг другу и «гетерофонией», состоящей в полной свободе всех голосов, «сочленений» их друг с другом, в противоположность подчинению».68 В. А. Шапошников, ссылаясь на положение Флоренского о том, что «развиваемое им мировоззрение строится контрапунктически, из некоторого числа тем миропонимания, тесно сплоченных особою диалектикою»69, предлагает рассматривать математику существующей в «полифоническом» творчестве мыслителя на правах целого спектра тем и выделяет главные из них: прерывность, форма, бесконечность, ритм, антиномичность, пространственность.70
Каждая тема в творчестве Флоренского имеет историю своего развития, она зарождается, достигает высшей точки, становится ведущей, а затем постепенно отходит на задний план, делается еле уловимой, но все же продолжает звучать, преломляясь в призме других тем. Прерывности посвящены ранние работы мыслителя, в том числе, «Об одной предпосылке мировоззрения», материалы к диссертации «Идея прерывности как элемент миросозерцания». Тема бесконечности звучит преимущественно в произведениях «Спиритизм и антихристианство», «О типах возрастания», «О символах бесконечности». Антиномичность раскрывается, в основном, в книге «Столп и утверждение Истины», особенно в связи с рассмотрением парадоксов теории множеств и некоторых вопросов из математической логики. Анализ формы, ритма и пространственности наблюдается в поздних работах мыслителя, составляющих цикл «У водоразделов мысли» и курс лекций «Анализ пространственности и времени в художественных произведениях». Веру в фундаментальную значимость математики для построения цельного мировоззрения Флоренский сохранял на протяжении всей своей жизни. Он искал мировоззренческое применение математических результатов, методов и идей, стремился обосновать их философское значение. Можно условно выделить четыре этапа эволюции взглядов мыслителя на понимание им математики.
Первый этап хронологически охватывает годы студенчества Флоренского в Московском университете. В этот период творчества здание математических теорий мыслилось им как «онтологический» скелет, содержащий «прототипы всяких отношений между бытиями» и в основных чертах предопределяющий ту «мировоззренческую плоть», которая на этот «скелет» должна быть «наращиваема». Молодой ученый стремился согласовать естественнонаучные и религиозные представления, примирить их в едином целостном миросозерцании. «Обе эти области равно необходимы человеку, равно ценны и святы, и отсутствие антиномии между ними, по крайней мере, вера в возможность устранить эту антиномию, -необходимый постулат всякой деятельности, направленной на реализацию добра... И в основе всякой деятельности лежит убежденность, хотя бы бессознательная, что диссонансы нашего понимания мира не лежат в сущности вещей, что настоящее искание уничтожит двойственность в миропонимании».71
Взаимосвязь философии и математики - путь к расширению границ мировосприятия
Проблемы современности - угроза ядерной катастрофы, опустошение естественной окружающей среды, беспомощность перед голодом и бедностью во всем мире, неспособность остановить терроризм... - различные грани единого кризиса, кризиса мировосприятия. Его сущность состоит в том, что большинство придерживается понятий и ценностей мировоззрения, принципы которого несостоятельны перед проблемами перенаселенного и переплетенного неразрывными связями глобального мира.
Парадигма, сдающая свои позиции, доминировала в западноевропейской культуре несколько столетий. За этот период она сформировала нынешнее западное общество, оказала серьезное влияние на остальной мир. Данная парадигма включает ценности, среди которых — рассмотрение Вселенной как системы, составленной из элементарных «кирпичиков мироздания»; представление о жизни как о конкурентной борьбе за выживание; вера в бесконечный материальный прогресс, осуществляемый в форме экономического и технологического развития. Сегодня очевидно, что все эти предположения весьма ограничены и нуждаются в пересмотре. Прогрессивные группы ученых, социальные движения, различные альтернативные объединения разрабатывают новое видение действительности.
Рождающуюся парадигму можно назвать холистическим, или экологическим мировоззрением. Экологическое видение означает признание фундаментальной взаимозависимости всех явлений, «вложенности» каждого индивида и общества в циклический процесс Природы. Выделим критерии новой парадигмы: - осознание единства и взаимосвязи вещей и событий, восприятие любого феномена как проявления фундаментальной целостности, т.е. «налаживание симметричности» между частью и целым; - каждая наблюдаемая нами структура — проявление лежащего в ее основе процесса, т.е. переход от мышления в терминах структуры к мышлению в терминах процесса; - включение описания процесса познания в рисуемые модели познаваемых явлений, т.е. «размывание» границ между субъектом и объектом; - взгляд на природу как связанную изменяющуюся сеть отношений, описание природных явлений сетью понятий, ни одно из которых не является фундаментальнее другого, т.е. отказ от «фундаментализма»; - признание Тайны Мира, которую не надо пытаться окончательно разгадать, ибо это разрушит Ее - вульгаризирует, упростит, - а можно приближаться к Ней, стремясь «стать» Ею, непрестанно расширяя и углубляя Ее образ, так как объяснить нечто означает показать, как это нечто связано со всем остальным; отдельно взятое явление нельзя объяснить полностью142, т.е. принятие факта, что существует приблизительное знание. Новое, рождающееся мировоззрение требует серьезных перемен в системе ценностей - целевой переориентации: от намерения удерживать контроль над природой пора отказаться в пользу ненасилия, сотрудничества. При выработке критериев новой парадигмы обратимся к духовному опыту Востока (вспомним, например, «Дао физики» Ф. Капра). Тексты индуистов, буддистов, даосов свидетельствуют о представлении мира как потока, движения, неразделенности на субъект и объект в процессе постижения тайн бытия, взгляде на природу как систему взаимоотношений без каких-либо фундаментальных сущностей. Внимательно изучая творения культуры Запада, можно обнаружить и в них богатейшие возможности для расширения границ мировосприятия. Огромный потенциал, как это ни парадоксально, скрыт в собственном произведении западного духа -математике. Платон в поздних диалогах раскрывал содержание идеи как «единого во многом», множественность он рассматривал не как дробные части единого, а как его множественную проявленность, реализуемую через числа.1 Теория множеств создана в конце XIX века Г. Кантором в результате развития платоновской концепции. К поразительнейшим с точки зрения привычных представлений результатам привело исследование бесконечных множеств. Счетнобесконечное множество может быть равномощно своему бесконечному подмножеству. П.А. Флоренский в версии философско-математического синтеза дал интерпретацию этому результату. Прояснив философскую проблему соотношения микрокосма и макрокосма, человека и Мира, а В.В. Налимов развивает идеи Платона, согласуя их с современными представлениями об информационном поле Вселенной. Значит, в математике содержатся огромные возможности нетрадиционного рассмотрения отношения «часть-целое», которое способствует оформлению критерия ««налаживание симметричности между частью и целым» новой парадигмы мировосприятия.
Символ новоевропейской математики - понятие функции. Аналитическая геометрия, разработанная Декартом, представляла синтетический процесс, который определял посредством чисел положение точек в каком-нибудь пространстве (позже необязательно трехмерном), или аналитический процесс, определяющий число положением точек. «Функция, правильно понятая, есть бытие, мыслимое в деятельности» (И. Гете). Освободить геометрию от наглядности, алгебру от понятия величины, объединить обе в здании теории функций - таков путь западной математики. Постоянное число растворилось в изменяющемся. Фундаментальное понятие теории функций - предел - представляет собой приближение, процесс, операцию, поведение, а не состояние. По словам Шпенглера, «здесь, в решающей проблеме западной математики неожиданно вскрывается, что наша душа предрасположена исторически».
Переход от мышления в терминах структуры к мышлению в терминах процесса (второй критерий новой парадигмы) был осуществлен еще в классической математике. Расширение теории функций, трансформация ее в теорию групп характеризует превращение математики переменных величин в математику переменных отношений. «Разворачивание» математических структур намекает на процессуальную природу мира. Действительный мир является для математика источником творческого вдохновения, как модель для художника.
В связи с уже сказанным, обратим внимание на так называемые всюду разрывные функции, не имеющие производных ни в одной своей точке. Эти функции были открыты еще в XIX веке К. Вейерштассом, но их отвергли математиками того времени по эстетическим соображениям.145 Через сто лет после работ Бенуа Мандельброта эти «патологически некрасивые» функции оказались великолепным аппаратом для представления новых геометрических фигур - фракталов. Фракталы в настоящее время признаются наиболее подходящими для описания реальных объектов (очертаний извилин рек, береговых линий, горных хребтов, изломанных поверхностей, раскидистых ветвей деревьев, разветвленных сетей кровеносных сосудов и нейронов и т.д.). Есть предположение, что преобразования, формирующие фрактальные структуры, заложены в генетическом коде человека.
