Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Становление геометрии как науки .
Становление геометрии как научной дисциплины 18
Геометрия, астрономия и физика античности (Архимед – Птолемей)
Геометрия Евклида .
Аксиомы евклидовой геометрии
Категориальный аппарат геометрии Развитие геометрии как разрешение внутренних противоречий
2.1. Логический базис геометрии
2.2. Эмпирический базис геометрии
Глава 3. Исторические и эпистемологические предпосылки возникновения неевклидовой геометрии
3.1. Аналитическая геометрия П. Ферма и Р. Декарта
3.2. Начертательная геометрия Г. Монжа
3.3. Теоретико-групповой метод и объединение различных геометрий. Эрлангенская программа Ф. Клейна
Глава 4. Геометрия, астрономия и физика Нового времени специальной и общей теории относительности
4.3. Соотношение геометрического и аналитического в меняющих друг друга физических картин мира
4.1. Механика Галилея – Ньютона и геометрия
4.2. Геометрия и физика Э. Маха - априорные предпосылки
Глава 5. Неевклидова геометрия и современное естествознание
5.1. Неевклидова геометрия и классическая электродинамика –эмпирический базис постклассической геометрии
5.2. Геометрия специальной теории относительности. Пространственно-временной континуум. 147
Пространство Минковского
5.3. Геометрия общей теории относительности 162
5.4. Геометрия физики микромира. Философские проблемы геометродинамики 183
5.5. Философские аспекты формирования математического аппарата теории физических структур 192
Заключение 198
Библиографический список
- Геометрия Евклида
- Эмпирический базис геометрии
- Теоретико-групповой метод и объединение различных геометрий. Эрлангенская программа Ф. Клейна
- Геометрия и физика Э. Маха - априорные предпосылки
Геометрия Евклида
Тригонометрия Лобачевского полностью совпала с гиперболической тригонометрией. Совокупность ее формул оказалась подобной совокупности формул сферической тригонометрии в системе Евклида для сферы мнимого радиуса. Вслед за тригонометрией Лобачевский разработал для своей системы аналитическую и дифференциальную геометрии. ометриче
Лобачевским была построена геометрическая система, не страдающая логическими погрешностям, столь же богатая фактами, как и геометрия Евклида. Тем самым показано, что мыслима не одна только система геометрии, но и другие системы можно получать путем видоизменений основных высказываний в геометрических разделах математики, начиная с геометрии Евклида. Вместе с тем меняется и онтология соответствующих геометрий.
Лобачевского на основе геометрии Евклида. Путь Лобачевского в поисках Задача, которую не смог решить Лобачевский, это задача обоснования построенной им геометрии. Задача была решена при интерпретации геометрии решения проблемы обоснования состоял в попытках отыскания материальных объектов, для которых осуществлялась бы его геометрия. Вспомогательный путь приложения геометрических фактов и соображений к математическому анализу, в частности к вычислению трудных интегралов, был также использован Лобачевским. Несмотря на неудачи с экспериментами, Лобачевский находился на верном пути. Его идеи — это идеи интерпретации. Данные всякой теории должны проверяться опытом. Геометрия Евклида возникла, как обобщение многовекового опыта и подтверждена практикой. Возможная конструкция, данная Лобачевским, должна опереться на систему реально существующих объектов, чтобы быть признанной непротиворечивой. Удалось вывести все формулы гиперболической тригонометрии. Тригонометрия геодезических треугольников на поверхности постоянной отрицательной кривизны оказалась гиперболической тригонометрией. Лобачевский показал, что требование аксиомы параллельности можно свести к вопросу о справедливости соотношений гиперболической
тригонометрии. Результат этот означал, что внутренняя геометрия псевдосферы изоморфна планиметрии Лобачевского. Ф. Клейн доказал, что проективная метрика Кэли, определяемая действительной кривой 2-го порядка, совпадает с метрикой пространства постоянной отрицательной кривизны. Теперь Клейн может отобразить плоскость Лобачевского на внутренность точки абсолюта, например, внутрь круга. С этой точки зрения геометрию Лобачевского следует считать относящейся к той подгруппе группы проективных преобразований, в которой абсолют отображается сам в себя. Интерпретация Клейна явилась полным доказательством непротиворечивости геометрии Лобачевского.
Отыскание интерпретаций означало доказательство непротиворечивости геометрии Лобачевского. Так была доказана возможность сведения указанной проблемы к вопросу о непротиворечивости геометрии Евклида, а через неё к данным человеческого опыта.
В свою очередь, определившаяся равноправность, по крайней мере, двух геометрий - евклидовой и Лобачевского — привела к появлению других различных геометрических систем, к необходимости выработать единые принципы классификации этих систем, к разработке аксиоматического метода и укреплению его положения как важнейшего метода всей геометрии и всей современной математики вообще.
Ф. Клейн внес в классификацию геометрических систем идеи теории групп. В более общей постановке вопроса оказывается, что геометрия пространства вообще характеризуется группами движений этого пространства. Именно движение есть такое преобразование, которое позволяет сравнивать фигуры с одинаковыми свойствами. Таким образом, выделяется совокупность свойств пространственных объектов, инвариантных относительно задаваемого движения. Наука об этих свойствах и является геометрией. топол ют бес Эти воззрения были развиты Ф. Клейном в его Эрлангенской программе. П Клейну, для построения геометрии необходимо задать: а) многообраз элементов; б) группу преобразований, дающую возможность отображать элементы заданного многообразия друг на друга. Геометрия будет изучать те отношения элементов, которые окажутся инвариантными при всех преобразованиях данной группы. С этих позиций возможны следующие геометрии: а) геометрия Евклида, изучающая инварианты группы перемещений; б) аффинная геометрия, объектами изучения которой являются инварианты так называемых аффинные преобразований и другие. При такой постановке проблемы классификации, геометрия Лобачевского рассматривается как частный вид проективной геометрии, где изучаются инварианты подгруппы проективных преобразований, переводящих в себя точки некоторого круга. Помимо, уже указанных геометрий, в классификацию Клейна входят и другие. Например, конформная геометрия охватывает группу таких преобразований, которые переводят круги в круги, а также сохраняют значения углов; Другим примером может послужить топология — геометрия непрерывных преобразований, т.е. таких, что сохраняют бесконечную близость точек, непрерывность объектов. Идея Клейна о том, что геометрию можно строить для любого многообразия, в котором установлена группа преобразований, является руководящей не только при классификации, но и при построении новых геометрий.
В середине XIX века появился другой общий принцип. Он был сформулирован Б. Риманом, его принято называть метрическим принципом. Он з задается предпосылкой, что геометрическое пространство в бесконечно малых частях линейно. Это означает, что в самом общем виде задан лилейный элемент дуги, определяемый дифференциальной квадратичной формой. Указанная форма, появилась как обобщение гауссовой квадратичной формы во внутренней геометрии поверхностей.
Движения определены как преобразования, относительно которых линейный элемент ds инвариантен. Вслед за ds остаются инвариантными длина кривой и другие соотношения, относящиеся к метрике пространства. Само понятие пространства приобретает общие трактовки (например, фазово пространство, пространство цветов и др.). Это понятие быстро эволюционировало вплоть до современных представлений о римановых пространствах как общих дифференциально-геометрических многообразиях с необходимыми всякий раз уточнениями. Теорию римановых пространств в настоящее время называют римановой геометрией (или римановыми геометриями).
Б. Риман не построил аналитического аппарата, адекватного столь широко задуманной системе геометрий, базирующейся на метрическом принципе. Только в начале XX века, когда в трудах итальянских математиков Р. Риччи-Курбастро и Т. Леви-Чивита оформилось тензорное исчисление, как синтез теории алгебраических форм и теории квадратичных дифференциально-геометрических форм.
Идея Лобачевского о том, что мыслима логически не одна только геометрия Евклида, получила во второй половине XIX в. подтверждение. Возникли многочисленные геометрии. Воплотилась в жизнь идея разных интерпретаций; а затем и приложений. Другая его идея: истинность геометрии проверяется лишь опытом и что расширяющийся опыт требует введения не только евклидовой геометрии.
Третья идея Лобачевского, состояла в том, что новые геометрии могут быть построены путем видоизменений систем понятий и исходных высказываний евклидовой геометрии. Г. Гельмгольц ввел движение в качестве основного понятия геометрии. Г. Кантор и Р. Дедекинд исследовали понятие непрерывности и исходные высказывания о ней. М. Паш, добиваясь решения проблемы включения метрической геометрии в проективную, исследовал две труппы аксиом: порядка и принадлежности. Д. Гильбертом была построена система аксиом, полная и достигающая уровня строгости, принятого в наши дни.
К концу XIX в. в геометрии укоренился аксиоматический метод, который был распространен и на другие области математики. Геометрические теории оказались самыми удобными для становления аксиоматической структуры.,
Эмпирический базис геометрии
Математика является одной из древнейших областей человеческого знания. Арифметика и геометрия – исторически первые ее области, возникшие из потребностей общественной хозяйственной деятельности.
«Математическое познание движется в рамках определенной научной абстракции, определенного «среза» реальности, зафиксированного в аппарате этой науки, в системе средств выражения предметных отношений, моделирующей эти последние. При этом сама математика не задается вопросом о природе этой абстракции. А до тех пор, пока она не задается этими вопросами, все ее проблемы остаются собственно математическими. Выявление этого собственно математического аспекта составило важную заслугу неевклидовой геометрии»1.
Геометрия — часть математики, первоначальным предметом которой являются пространственные отношения и формы тел. В последующем развитии предметом геометрии становятся также и другие отношения и формы действительности, сходные с пространственными. В современном общем смысле геометрия объемлет любые отношения и формы, которые возникают при рассмотрении однородных объектов, явлений, событий вне их конкретного содержания и которые оказываются сходными с обычными пространственными отношениями и формами.
И. Кант дает следующее определение геометрии: «Геометрия есть наука, определяющая свойства пространства синтетически и тем не менее a priori»2. В развитии геометрии принято выделять четыре этапа. Переходы от одного этапа к другому являлись, в полном смысле, научными революциями. В результате которых, появляются новые объекты и новые методы исследования. у «… важнейшей характеристикой подавляющего большинства научных революций является не просто переход к исследованию новых объектов, применение средств и методов исследования, а создание новых теоретических структур для понимания и объяснения новых фактов. Именно благодаря этому было достигнуто не только расширение горизонта научного познания, но и раскрытие более глубоких и существенных свойств и закономерностей исследуемых явлений и процессов».1
Первый этап – предыстория (... – VII–VI до н.э.). Появление термина «геометрия» греческий ученый Евдем Родосский (IV в. до н.э.) объяснил следующим образом: «Геометрия была открыта египтянами и возникла при измерении земли, которое было необходимо им вследствие разлива реки Нила, постоянно смывающего границы...»2. Всякое возникающее знание из несовершенного состояния переходит в совершенное. Зарождаясь путем чувственного восприятия, оно постоянно становится предметом рассмотрения и наконец делается достоянием разума В этой связи Кант пишет: «С самых ранних времен, до которых т: простирается история человеческого разума, математика пошла верным путем беск науки у достойных удивления древних греков. Однако не следует думать, что математика так же легко нашла или, вернее, создала себе этот царский путь, как логика, в которой разум имеет дело только с самим собой; наоборот, я полагаю, что она долго действовала ощупью (особенно у древних египтян), и перемена, равносильная революции, произошла в математике благодаря чьей-то счастливой догадке, после чего уже нельзя было не видеть необходимого направления, а верный путь науки был продолжен и предначертан на все времена и в онечную даль»3. Все теории математики строятся дедуктивным методом. Основу теории, прежде всего, составляет категориальный аппарат. В понятиях зафиксированы идеализированные объекты теории. Их можно разделить на два класса: основные и производные. Первые вводятся операциональным способом. Вторые выводятся из первых по определенным правилам.
Понятие математической теории как некой формы мышления уточняется введением представления реляционной системы S, объединяющей множество произвольных объектов, находящихся друг с другом в определенных отношениях R1, R1, ..., R„ или в более компактной символической записи S = (ju, R1, R1, ..., R„).
Помимо собственно математических теорий, составляющих «тело» математики, в ее состав в качестве каркаса, «скелета» входит аппарат логики (L) как средство придания математике статуса дедуктивной науки.
К числу гносеологических особенностей математики относятся следующие. Отсутствие непосредственной (жесткой) соотнесенности с каким-то фиксированным фрагментом действительности, что обуславливает большую абстрактность математики сравнительно с другими областями знания.
С точки зрения популярного теоретико-множественного подхода, математика изучает формальные отношения определенных классов множеств, абстрагируясь от их фактической, «материальной» природы. Мотивом в пользу этого послужило то обстоятельство, что математика не нуждается в объектах, не являющихся классами. Все математические объекты и отношения могут быть выражены в терминах одних классов.
С этих позиций математика, представляя анализ онтологически неспецифицированных систем, изучает абстрактные структуры.
Такой подход детализируется Н. Бурбаки1. Чтобы определить структуру, задают отношения, в которых находятся элементы множества, затем постулируют, что эти отношения удовлетворяют некоторым условиям (которые перечисляют и которые являются аксиомами рассматриваемой структуры). В дальнейшем из аксиом структуры выводятся логические следствия, получается математическая теория, которая непосредственно не связана с действительностью (поскольку представлениям о природе описываемых элементов нет места). Бурбаки Н. Очерки по истории математики. — М.: Иностранная литература. 1963. - С. 28— 37. и
Первые геометрические знания возникали на ранних ступенях развития общества, в процессе абстрагирования от всех свойств и отношений тел, кроме их взаимного расположения и величины. То же самое касалось и пространственных тел: они являлись абстракцией, при которой сохранились лишь их формы мени размеры без учета всех других свойств. Геометрические знания того вре представлялись в виде правил эмпирического происхождения, а логические доказательства носили примитивный характер1.
Второй периоду начинается с VI в. до н.э. Объем геометрических знаний к этому времени значительно вырос. В связи с этим требовалась их систематизация, обобщение и представление в виде целостного учения. На этом этапе геометрия приобретает характер самостоятельной научной дисциплины с ее специфическим предметом, понятийным аппаратом, аксиоматическим методом и дедуктивным характером изложением.
«Математика в Древней Греции вступила в совершенно новый этап логического развития. Проявилась потребность в отчётливых математических доказательствах, были сделаны первые попытки систематического построения математической теории. Это изменение характера математической науки объясняется более развитой общественно-политической и культурной жизнью греческого государства, приведшей к высокому развитию диалектики, искусства спора, к привычке отстаивать свои утверждения в борьбе с противником»2.
Сущность научных революций в математике образно и ярко выражена в следующем высказывании Канта: «Но свет открылся тому, кто впервые доказал теорему о равнобедренном треугольнике (безразлично, был ли это Фалес или кто-то другой); он понял, что его задача состоит не в исследовании того, что он или в одном лишь ее понятии, как бы прочитывая в ней ее свойства, а в том, что бы создать фигуру посредством того, что он сам a priori сообразно понятиям мысленно вложил в нее и показал (путем построения).
Теоретико-групповой метод и объединение различных геометрий. Эрлангенская программа Ф. Клейна
Период эллинизма характеризуется бурным развитием науки и техники. «Из единой греческой натурфилософии выделяются, прежде всего, науки физико-математического цикла. Оформляются как самостоятельные науки математика и астрономия, хотя последняя ещё долгое время тесно связана с общими натурфилософскими представлениями. Появляются зародыши механики — учение о равновесии тел и жидкостей — и зачатки оптики»1.
Яркую характеристику сложившейся ситуации даёт в своей работе С. Я. Лурье2. Он пишет о том, что ученые, к кругу которых примкнул Архимед, группировались вокруг Александрийского Музея. С древнейших времен греческие монархи имели обычай собирать при своем дворе виднейших поэтов и ученых. Эти ученые не только непосредственно обслуживали потребности двора (врачи, инженеры, поэты и музыканты, организаторы празднеств и т. д.), но и увеличивали международное значение и популярность государства. С другой стороны, поэты и музыканты с древнейших времен образовывали особые религиозные союзы с состязаниями в пении и музыке.
Такого типа учреждение, но в грандиозном масштабе, и было организовано Птолемеем I в Александрии. С юридической стороны это было религиозное сообщество при храме Муз, но на структуру его оказала большое влияние платоновская Академия. Впрочем, никаких видных философов Александрийский Музей в свои ряды не привлек: центром философских занятий остались, как и прежде, Афины. Но все прочие отрасли науки и искусства были здесь представлены очень широко. Идея, легшая в основание организации Музея, была весьма гуманной: собрать в Александрии крупных, зарекомендовавших себя ученых, освободить их от всяких жизненных забот, предоставить им максимальный досуг и дать им, таким образом, возможность заниматься, чем каждый желает, без всякого давления с чьей бы то ни было стороны. Знаменитые ученые, собранные с различных концов мира, жили при храме Муз на полном иждивении царя; они обедали совместно, и эти обеды сопровождались научными беседами на самые различные темы. Серьезная научная работа и тогда уже требовала больших расходов: историки и литературоведы нуждались в хорошей библиотеке; астрономы, физики, естествоиспытатели и географы — в сложном инструментарии и дорогостоящих экспедициях. На все эти нужды щедро выдавались деньги из царской казны. Так, географ и математик Эратосфен, измерил земной радиус на основании астрономических наблюдений, произведенных в Родосе, Александрии и Сиене; на это предприятие понадобились огромные средства, и они были даны александрийским двором1.
Наиболее ценной частью Музея была библиотека. Частью путем покупки, частью путем переписывания здесь были собраны почти все греческие книги, начиная с Гомера. Ряд ученых занимался выправлением текста книг и их комментированием. В Музее были сделаны блестящие открытия в области физики, астрономии и математики.
Расцвет науки в эту эпоху носил односторонний характер. В области ряда гуманитарных наук, например истории, философии, наблюдается отсутствие оригинальных трудов, усталость мысли и упадок. В классическую эпоху наука была продуктом творчества сравнительно широких групп населения; борьба между классами и группами отражалась в борьбе между научными группировками, и в этой непрестанной борьбе рождалась научная мысль. В это время наука, как и все прочие отрасли общественной жизни, получила придворный характер, развиваясь при покровительстве царей. Не удивительно, что принципиальные противоречия в основном стираются; если все еще продолжается спор между различными течениями, то он посвящен вопросам, не имеющим большого принципиального значения. Мы ничего, например, не сл ышим о том, чтобы кто-либо из ученых Музея проводил в своих сочинениях материалистические взгляды, чтобы, например, в Музее работал кто-либо из эпикурейских ученых. Поскольку нам известны взгляды ученых Музея, все они стояли на платоновских, академических или стоических позициях. В ряде областей эти позиции делали невозможным дальнейший прогресс науки. Как мы Лурье С. Я. Архимед. – С. 44. ь ской видим, как раз наиболее выдающиеся ученые в ряде вопросов, не связанных тесно с материалистическим мировоззрением, фактически возвращаются к позициям Демокрита, но при этом следы заимствования стираются. Взгляды Демокрита перерабатываются и приспособляются так, чтобы по возможности устранит противоречия между ними и основными предпосылками идеалистиче философии; разумеется, это не всегда удавалось. Большинство же александрийских ученых вовсе не читало Демокрита и знакомилось с его взглядами и открытиями только из тенденциозной выборки, изложения и критики их у Аристотеля и его последователей, несмотря на то, что в александрийской библиотеке, при ее исключительной полноте, конечно, были налицо все сочинения Демокрита. Так, применявшиеся Демокритом приемы примитивного интегрирования были близки к подобным же приемам, применявшимся впоследствии Архимедом; однако Архимед, как мы увидим ниже, познакомился с математическими работами Демокрита лишь значительно позже, после возвращения из Александрии в Сицилию.
Греческая геометрия в то время, когда к её изучению приступил Архимед, была уже вполне сложившейся дисциплиной. Она уже имела свою каноническую книгу — дошедшие до нас «Начала» Евклида, завершившие собой целую эпоху, в течение которой вырабатывалась стройная система греческой геометрии. М. Н. Веселовский отмечает три характерные черты греческой геометрии: это, во-первых, геометрические построения при помощи циркуля, во-вторых, воззрение на геометрические фигуры и тела как на некоторые величины и, наконец, в-третьих, строгие логические доказательства в изложении геометрии1.
Слабым местом евклидовой геометрии можно считать отсутствие метрики. Метрические отношения исследуются другой греческой математической школой чертой пифагорейской геометрии является математический атомизм — целочисленные отношения между геометрическими величинами. «Не следует смешивать атомизм как физическое учение с математической теорией атомистов. Атом представляет собою, по мнению Демокрита, сплошную частицу массы самой различной формы; внутри нее отсутствует пустота, и она абсолютно тверда; поэтому атом нельзя разрезать или разделить никаким инструментом, но потенциально, в воображении, его можно, конечно, делить. Атомы вовсе не должны обязательно быть чрезвычайно малыми. Между атомами находятся промежутки пустоты. Эти физические атомы можно (только в уме, в воображении, теоретически) разделить на неделимые частицы — амеры. Эти амеры имеют минимальное протяжение, лишены формы, не имеют верха, низа, переда, зада и т. д.; амеры неделимы даже в воображении. На этих-то амерах и строится математическая теория атомистов»1.
Поставленная Гиппократом задача о квадратуре круга была одним из предметов геометрических исследований Архимеда; последний в сочинении «О спиралях»2 дал способ построения прямой, длина которой равна длине окружности некоторого круга, а в «Измерении круга»3 вычислил (конечно, приближённо) отношение между длиной окружности и её диаметра.
Открытие иррациональных чисел продемонстрировало всю несостоятельность концепции математического атомизма и привело, в конечном итоге, Архимеда к созданию геометрической алгебры. В указанный период синтез геометрических и арифметических методов решения прикладных задач привёл к зарождению элементов математического анализа4.
Геометрия и физика Э. Маха - априорные предпосылки
К началу XV века сформировалось гелиоцентрическое представление о солнечной системе, которое в дальнейшем уточнялось. Но не могло быть пересмотрено. Условием создания общей картины мира было объединение гелиоцентрической астрономии с земной механикой1.
Исходным положением картины мира в это время было учение Коперника. Оно содержало кинематическую схему солнечной системы, ставшую отправной точкой развития небесной механики и позволившую применить понятие земной механики к космосу.
В течение трёх веков система Коперника стояла не только в центре астрономических исследований, но и в центре общественно-философской борьбы.
«После Коперника астрономия встала на путь отказа от мистических аргументов, теологических критериев, соображений о «совершенстве» неба и т. п. Этот путь вёл астрономию к сближению с земной механикой. Коперник отбросил схоластические категории, которые доказывали абсолютное различие между Землёй и небом»2
Для истории науки особенно важен принцип относительности движения, высказанный Коперником. Первая научная работа Кеплера «Космографическая тайна» (1596 г) посвящена доказательствам коперниканства при помощи геометрической схемы правильных многогранников.
В XV веке механика вышла за пределы задач статики. Галилей совершил переворот в мировоззрении и методе науки, показав, что вся Вселенная является бесконечным полем для исследования, пользующегося рациональными методами земной механики. Он применил к изучению космоса новый, навеянный техникой метод научного мышления и дал образец нового стиля научного исследования.
Б. Г. Кузнецов2 отмечает, что концепция Галилея — это оптимистическая проповедь всепобеждающего научного прогресса, не имеющего границ, бесконечного, как бесконечна сама природа. По мнению Галилея, человеческий разум, экстенсивно, т. е. по количеству знания, всегда будет охватывать бесконечно малую часть истины, так как природа бесконечна, а знания конечны. Но интенсивно, т. е. по уровню объективной достоверности, разум абсолютно постигает природу.
Основа представления об инерционном движении как о круговом состоит в том, что Галилей не рассматривает тяготения. Действительное объяснение движения небесных тел при помощи земной механики могло быть получено лишь после того, как Декарт чётко сформулировал идею прямолинейности инерциального движения, а Ньютон, дополнив принцип инерции законом тяготения, построил механику, объединившую законы криволинейного движения Кеплера с принципами механики Галилея. Здесь, на наш взгляд, лежат корни общей теории относительности. Разрешение указанного противоречия привело в конечном итоге Эйнштейна к идее физической реальности искривлённого пространства3. Коперник Н. О вращении небесных сфер. –закономерности бытия. Представления о мгновенном ускорении — предел отношения приращения скорости к приращению времени, при стягивании последнего в мгновение, о мгновенной скорости — отношении пройденного пути ко времени, когда первый стягивается в точку и второе — в мгновение, это представление было строго сформулировано после Галилея, но у последнего были для этого все необходимые понятия»1.
«В основе мировоззрения Галилея лежит идея, которая была и остаётся стержневой идеей науки: вся совокупность процессов во Вселенной образует некоторое гармоничное, упорядоченное целое, всё в мире пронизано объективным ratio. Эта идея также стара, как сама наука, она появилась вместе с наукой, она отличает науку от донаучных представлений, и развитие науки состоит в последовательном выяснении каузальной связи, объединяющей мироздание и превращающей его в упорядоченное целое»2.
Математика, говорил далее Галилей, раскрывает связь явлений, их причинную обусловленность, «приходит к пониманию их необходимости, а высшей степени достоверности не существует»3.
Галилей и Ньютон с помощью научного метода заложили основы механической картины мира — целостного образа окружающего мира. Теоретической составляющей этой картины мира является классическая механика, математический аппарат которой составляют дифференциальные уравнения второго порядка. Представления о пространстве и времени строятся на основе евклидовой геометрии. Став составной частью классической механики, она приобрела ряд специфических особенностей этой физической теории. В
Основным положением классической механики является принцип относительности Галилея, математическим выражением которого являются преобразования Галилея. В преобразованиях Галилея х мыслится как время, а у — как координата н прямой. Указанные преобразования есть не что иное, как преобразования инерциальных систем отсчёта.
Тем самым, вертикальные и невертикальные прямые, неразличимые обычной геометрией, в геометрии Галилея являются разными объектами. Невертикальные прямые называют просто прямыми, вертикальные — особыми прямыми. Физическая сущность этих прямых: обычная прямая представляет из себя график равномерного движения, особая — момент времени1. Очень важное отличие от евклидова расстояния в том, что теперь расстояние между точками может быть о т р и ц а т е л ь н ы м2.
Геометрия Галилея, таким образом, является первым шагом на пути создания представлений о пространственно-временном континууме. Дальнейшее развитие эти идеи получили в специальной теории относительности.
Совпадение большого количества теорем в обеих геометриях заставляет думать, что это влияние общих аксиом. Возможно, в этих геометриях есть существенная общая часть, подобно тому, как абсолютная геометрия является частью и геометрии Евклида, и геометрии Лобачевского3.
Благодаря механике Ньютона картина мира стала несравненно более достоверной, она строгим и однозначным образом обобщила проверенные экспериментом эмпирические сведения, она стала чёткой, потеряла свой расплывчато-качественный характер, включила точные количественные ношения.
