Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Теоретические основы моделирования 9
1.1 .Сущность моделирования в философской и психолого-педагогической литературе 9
1.1.1. Основные понятия «модель», «моделирование» 9
1.1.2. Характерные особенности учебных моделей и моделирования 14
1.2. Возможности использования моделирования в обучении 22
1.2.1. Моделирование в содержании и построении учебной деятельности 22
1.2.2. Использование моделирования при решении задач в существующей практике обучения 29
1.2.3.0бзор методических подходов при формировании обобщённых умений и способов решения задач 34
Глава 2. Программа обучения младших школьников обобщённому умению решать задачи на основе моделирования 58
2.1. Опыт использования знаково-символических средств при обучении решению задач в психолого-педагогической литературе 58
2.2,Основные принципы формирующей программы 67
2.3.Содержание и организация деятельности на подготовительном этапе..68
2.4.Содержание и организация деятельности на основном этапе 74
Глава 3. Процесс обучения младших школьников умению решать задачи на основе моделирования 102
3.1. Констатирующий эксперимент и его результаты 103
3.2. Ход и результаты формирующего эксперимента 114
3.3. Результаты контрольного эксперимента 137
Заключение 161
Литература 165
Приложение 176
- Основные понятия «модель», «моделирование»
- Возможности использования моделирования в обучении
- Опыт использования знаково-символических средств при обучении решению задач в психолого-педагогической литературе
- Констатирующий эксперимент и его результаты
Введение к работе
Актуальность исследования. Проблема моделирования в обучении младших школьников умению решать задачи всегда вызывала интерес, как в педагогике, так и в психологии. Именно оно многими рассматривается как важнейшее среди тех, которыми должны владеть учаш,иеся в средней школе.
Это связано с возрастанием роли теоретических знаний в науке, что вызывает необходимость повышения теоретического уровня знаний, формируемых на разных этапах обучения. Из анализа литературы следует, что одним из нзо^ей формирования теоретических знаний является моделирование, использование моделей, которые выступают как «абстракции особого рода»
(В.В.Давыдов), позволяющие выявить внутренние связи и , отношения объектов. Проведено большое количество исследований, посвященных проблемам моделирования, раскрывающих применение моделей и методов моделирования в отдельных науках: философии, психологии, педагогике. В философии средства познания рассматриваются с точки зрения их места, функций в процессе познания (Б.С.Грязнов, Б.С.Дынин, И.Б. Новик, В.А.Штофф и др.). В психолого-педагогических исследованиях решение этой проблемы определяется психологической теорией учения (П.Я. Гальперин, В.В.Давыдов, Д.Пойа, Н.Ф.Талызина, Л.М.Фридман). В психологии придается исключительрюе значение освоению знаковых систем в психическом развитии ребенка. Л.С. Выготский, А.Р. Лурия и др. писали об особенностях психического развития человека: «подобно тому, как в процессе исторического развития человек изменяет не свои естественные органы, а орудия, в процессе своего психического развития человек совершенствует работу своего интеллекта главным образом за счет развития особых технических вспомогательных средств мышления и поведения».
Психическое развитие человека осуществляется через усвоение предшествующего опыта, культуры, включающей, в том числе, и различные знаково - символические системы. Несмотря на то, что моделирование используется в учебно-познавательном процессе современной начальной школы (учебники И.И.Аргинской, Э.А.Александровой, Т.Е.Демидовой, Н.Б.Истоминой, Г.Г.Микулиной, Л.Г.Петерсон и др.), в методических пособиях для начальной школы проблема обучения моделированию не нашла должного отражения. В системе Д.Б.Эльконина-В.В.Давыдова моделирование выделено в качестве з^ебного действия, входящего в состав учебной деятельности, которое должно быть сформировано к концу начальной школы. Анализ моделирования и его роль в развитии исследуется в теории поэтапного формирования умственных действий (П.Я.Гальперин,
Н.Ф.Талызина), теории учебной деятельности (Д.Б.Эльконин, В.В.Давыдов,
И.И.Ильясов), проведены экспериментальные исследования на языковом и математическом материалах в начальных классах школы (Л.И.Айдарова, И.А.Володарская, Н.Г.Салмина, Л.М.Фридман, и др.). Вместе с тем специальных программ по формированию моделирования, как и экспериментальных исследований, показывающих роль моделирования в процессе обучения решению задач, недостаточно. Всё это выступило основанием для постановки исследования о роли моделирования при решении задач.
В условиях образования, ориентированного на развитие теоретического мышления у младших школьников, особое значение в обучении и, прежде всего, при решении задач, приобретает овладение действием моделирования, поскольку, как показали исследования В.В.Давыдова, оно способствует формированию обобщённых знаний. Это определяет и основные пути организации деятельности учащихся, направленных на развитие мышления в процессе анализа задачи и поиска плана решения на основе моделирования, формирование необходимых для осуществления этого умений и способов действий. Моделирование в данной работе рассматривается не только как способ формирования обобщённого умения решать задачи, но и как одна из целей обучения математике.
Объект исследования - процесс обучения младших школьников умению решать задачи.
Предмет исследования - моделирование как способ формирования у младших школьников обобщённого умения решать задачи.
Цель исследования - разработать способы и средства формирования обобщённого умения решать задачи на основе моделирования.
Замысел и организация исследования предполагали проверку следующей гипотезы: при определённых условиях организации учебной деятельности моделирование может выступать в качестве универсального способа формирования обобщённого умения решать задачи.
Задачи исследования:
1.Анализ проблемы обучения младших школьников умению решать задачи на основе моделирования в психолого-педагогической литературе.
2.Выявление возможностей моделирования в обучении.
3.Определение содержания действия моделирования в структуре общего метода решения задач.
4.Разработка программы по формированию у младших школьников обобщённого умения решать задачи на основе моделирования, экспериментальная проверка её эффективности.
Методологической основой исследования является:
• современные представления об общих методах познания и их применении в практике обучения (В.А.Штофф, И.Б.Новик, В.В.Давыдов);
• теория поэтапного формирования умственных действий (П.Я. Гальперин, Н.Ф. Талызина); Для поставленных задач использовался комплекс методов исследования: теоретический анализ философской, психолого-педагогической, методической литературы; экспериментальные методы (психологопедагогический эксперимент); методы изучения продуктов деятельности; методы статистической обработки данных.
Опытно-экснериментальная база. Экспериментальная работа проводилась на базе МОУ «Гимназия №2», МОУ «СОШ №55», МОУ «СОШ №63» г.
Брянска. В эксперименте участвовало 200 учащихся.
Работа выполнялась в три этапа.
Первый этап (1998 - 1999г.) Анализ современного состояния проблемы моделирования в теории и практике с целью конкретизации задач исследования.
Второй этап (2000 - 2001г.) Разработка комплексной программы исследования.
Третий этап (2001 - 2008г.) Проведение констатирующего, формирующего и контрольного экспериментов.
Новизна исследования:
•Исходя из структуры учебного моделирования (анализ текста задач, перевод текста на язык моделей, работа с моделью, соотнесение результатов) и типов трудностей учащихся при решении задач было определено содержание обобщённого умения решать задачи, в которое включены следующие действия, выступившие в качестве показателей сформированности этого умения: анализ структзфных компонентов задач, осознание общих принципов при анализе и решении; решение задач с разными типами текстов; преобразование и нахождение различных способов решения с обоснованием оптимального, их классификация; составление и решение задач по знаково-символическим и математическим моделям (по графической модели, по выражению).
•Показано, что уже у младших школьников можно сформировать обобщённое умение решать задачи (по выделенным показателям).
•Выявлена связь уровня сформированности учебного моделирования и общего умения решать задачи.
Теоретическое значение исследования.
Проведенное исследование позволяет конкретизировать представления о моделировании как универсальном учебном действии, выступающем в качестве способа обучения решению задачи.
Содержащиеся в исследовании данные, теоретические положения и выводы расширяют имеющиеся представления о решении задач на основе моделирования, дают возможность выделить основные этапы и средства его формирования.
Практическое значение работы. Разработанная система обучающих заданий, направленных на формирование анализа, сравнения, выбора, преобразования, конструирования моделей и реализующих комплекс методических приемов, способствует формированию умения решать текстовые задачи обобщенным способом. Разработанная в диссертации программа и методические рекомендации по её реализации могут быть использованы в системе повышения квалификации педагогов, в практике работы учителей.
Обоснованность и достоверность полученных в диссертации результатов и выводов обеспечиваются опорой на фундаментальные психологические исследования закономерностей и условий психического развития; применением комплекса методов, соответствующих цели, объекту, предмету, задачам, гипотезе исследования; проведением экспериментальной проверки разработанной методики.
Положения, выносимые на защиту.
1.Учащиеся младшего школьного возраста могут овладеть обобщенным умением решать задачи, показателями которого являются:
•умение проводить анализ и выделять структурные компоненты задач, решать задачи при соответствии хода решения и арифметических операций условию;
•умение преобразовывать задачи и находить различные способы решения с обоснованием оптимального;
•проводить классификацию задач по способу решения, осознавать общий подход при анализе и решении задач;
•уметь подбирать способы решения к задачам с нечётко выраженной структурой, включающих несколько типов разных отношений;
•уметь составлять и решать задачи по знаково-символическим и математическим моделям (по графической модели, по выражению).
в роли способа формирования этого умения выступает моделирование как универсальное учебное действие, так как анализ структуры умения решать задачи и моделирования показал, что есть общие компоненты в деятельности решения задач и моделирования, что делает целесообразным параллельное формирование обоих умений.
2.Выявлена взаимосвязь между уровнем сформированности учебного моделирования и общим умением решать задачи: чем выше уровень моделирования, тем выше уровень решения задач. Однако степень умения моделировать не является безусловным фактором умения решать задачи.
В ходе исследования выявлены данные, позволяющие судить о несовпадении взаимосвязи (5 - 10%) между уровнем учебного моделирования и уровнем решения задач.
3.Разработана программа по формированию обобщённого умения решать задача, включающая предметно-специфическую, логическую, символическую пропедевтику, направленную на формирование обобщённых умений, необходимых не только для анализа и решения задач, построения моделей, усвоения математики, но и для изучения других учебных предметов; Разработаны методические рекомендации к обучению, в основании которых - приёмы выбора, конструирования, преобразования моделей.
Апробация и внедрение результатов исследования.
Основные положения и материалы исследования апробировались в работе отдельных школ г. Брянска (2000 - 2005г.г.), в работе на дневном и заочном отделениях социально-педагогического факультета Брянского государственного университета, в публикациях тезисов доюгадов и статей по теме исследования, на межвузовских и международных научнопрактических конференциях г.Брянск, г.Орёл, г.Мозырь, г.Брест, г.Донецк.
Структура работы. Диссертация состоит из введения, трёх глав, заключения, списка использованной литературы и приложения.
Основные понятия «модель», «моделирование»
Проблема моделирования как способа научного познания широко разрабатывается не только в философии, но и получила признание практически во всех отраслях современной науки. В настоящее время термин «модель» широко используется в различных сферах человеческой деятельности и имеет множество смысловых значений. Рассматривая понятие «модель» в той или иной области научного знания, можно отметить некоторую общность основополагающих идей. Одно из первых определений понятия «модель» принадлежит Г.Клаусу: «...под моделью понимается отображение фактов, вещей и отношений определенной области знания в виде простой, более наглядной материальной структуры этой области или другой области» [52, с.262]. В более поздних определениях акценты ставятся уже на моделировании «скрытых внутренних свойств» объекта (В.М.Глушков, Ю.А.Гастев и др.).
В.В.Давыдов утверждает, что модели - это форма абстракции особого рода, в которой существенные отношения предметов выражены в наглядно-воспринимаемых и представляемых связях и отношениях знаковых элементов. Это своеобразное единство единичного и общего, при котором на первый план выдвинуто общее, существенное [29, с. 128]. Л.М.Фридман моделью называет объект или систему, исследование которой служит средством для получения знаний о другом объекте - оригинале или прототипе модели [115, с. 131].
Вместе с тем во всех случаях употребления понятия «модель» можно выделить следующие общие моменты [26, с. 140]: модель - это средство научного познания; модель — это представитель, заместитель оригинала в познании или на практике; модель - это система со структурными свойствами и определёнными отношениями; модель охватывает существенные свойства прототипа, которые в данный момент являются объектом исследования; модель однозначно соответствует оригиналу (это соответствие устанавливается внутри определённых промежутков времени). Выделяются типы моделей: физические, вещественно -математические и логико - математические [64].
Физические модели, как правило, имеют физическую, химическую или биологическую природу, сходную с природой изучаемого оригинала. Данные модели сохраняют геометрическое, физическое, динамическое и функциональное (т.е. относящееся к функционированию, поведению) подобие оригиналу и отличаются лишь размерами, скоростью течения исследуемых явлений, иногда материалом: аэродинамические испытания модели самолета, исследование злокачественных новообразований на лабораторных животных и т.д.
Вещественно - математические модели имеют отличную от прототипов физическую, химическую или биологическую природу, но допускают одинаковое с оригиналом математическое описание: электромеханические, гидротепловые модели и т.д.
В логико - математических моделях физическая, химическая или биологическая природа оригинала и модели уже не играет никакой роли. Здесь важны только абстрактные, логические и математические свойства. При логико - математическом, то есть знаковом моделировании исчезает возможность экспериментирования (как это было возможно при физическом и вещественно - математическом моделировании), а новые знания об интересующем объекте могут быть получены только путем логических и математических выводов. Моделями в этом случае являются существенные образы, выраженные схемами, чертежами, графиками и т.д.
В литературе отмечается, что одним из основных недостатков логико -математических (знаковых) моделей является трудность учета в них качественных показателей объекта. Основные требования к логико -математической модели: простота в обращении и понятность для пользователей; представительность во всем диапазоне возможного использования; достаточная сложность для отражения изучаемой системы [64]. Наиболее подходящим для нашего исследования является определение модели и классификация моделей, которые даёт В.А.Штофф. Под моделью он понимает такую мысленно представляемую или материально реализуемую систему, которая, отображая или воспроизводя объект исследования, способна замещать его так, что ее изучение дает нам новую информацию об этом объекте [124,с.19]. Иными словами, под моделью подразумевается специально созданный человеком предмет или определенная система, устройство, которое в определенном отношении имитирует, воспроизводит реально существующие предметы или системы, являющиеся объектом научного исследования.
В.А.Штофф делит все существующие модели, в зависимости от средств построения моделей, на два класса: материальные (реальные, вещественные) и идеальные (мысленные, логические).
Вещественные модели допускают предметное преобразование, идеальные, естественно, лишь мысленное преобразование. Первый тип подразделяется на три подтипа: 1) модели, отображающие пространственные особенности объектов (например, макеты); 2) модели, имеющие физическое подобие с оригиналом (например, модель плотины); 3) математические и кибернетические модели, отображающие структурные свойства объектов. Назначение реальных моделей состоит в том, чтобы изучить с их помощью структуру, характер, сущность исследуемого процесса.
Идеальные модели делятся на три подтипа: 1) образные или иконические, картинные (чертежи, рисунки, географические карты и.т.д.); 2) знаковые (знаково-символические) модели (например, формула алгебраического уравнения и.т.п.), требующие специальной интерпретации, без которой - сами по себе - они теряют функцию моделей; 3) мысленные модели - это воображаемые представления о каких- либо явлениях, процессах. Назначение мысленных моделей состоит в том, что они дают возможность раскрыть такие связи и отношения действительности, которые другими средствами обнаружить очень трудно. В любом случае идеальные модели служат главным средством получения наглядных, образных представлений об изучаемых объектах.
Любая модель, по мнению В.А.Штоффа, должна быть наглядной. Но это своеобразная наглядность. Значение наглядности моделей состоит не только в том, что они являются отправным пунктом познания, но и в том, что модель является подлинным промежуточным звеном, соединяющим в научном познании пары полюсов: чувственное и логическое, конкретное и абстрактное [124, с.298].
Понятие модели органически связано с понятием моделирования, так как моделирование есть процесс создания (выбора) и использования модели. В свою очередь понятие моделирования невозможно определить, не фиксируя в нем те или иные признаки модели. Моделирование имеет огромное значение в научном исследовании, т.к. с его помощью можно добыть знания, которые никаким другим способом получить невозможно. В настоящее время этот термин используется широко и часто в разных значениях.
Возможности использования моделирования в обучении
В концепции учебной деятельности Д.Б.Эльконина-В.В.Давыдова моделирование включено как учебное действие, которое должно быть сформировано у учащихся. Рассмотрим его содержание в структуре учебной деятельности.
Содержанием учебной деятельности выступают теоретические знания, овладение которыми развивает основы теоретического сознания и мышления, а также творчески-личностный уровень осуществления практических видов деятельности. Изложение научных знаний осуществляется способом восхождения от абстрактного к конкретному, в котором используются содержательные абстракции, обобщения и теоретические понятия.
Характеристики способа восхождения мысли от абстрактного к конкретному описываются следующим образом. Приступая к овладению каким-либо учебным предметом, школьники анализируют содержание учебного материала, выделяют в нем некоторое исходное общее отношение, обнаруживая вместе с тем, что оно проявляется во многих других частных отношениях. Фиксируя в какой-либо знаковой форме выделенное исходное общее отношение, дети тем самым строят содержательную абстракцию изучаемого предмета. Продолжая анализ учебного материала, они раскрывают закономерную связь исходного отношения с его различными проявлениями и тем самым получают содержательное обобщение. Затем используют содержательную абстракцию и обобщение для выведения других, более частных абстракций. Указанный путь усвоения знаний имеет две характерные черты.
Во-первых, мысль школьников при таком усвоении целенаправленно движется от общего к частному (учащиеся первоначально ищут и фиксируют исходную общую «клеточку» изучаемого материала, а затем, опираясь на нее, выводят многообразные частные особенности данного предмета).
Во-вторых, такое усвоение направлено на выявление школьниками условий происхождения содержания усваиваемых ими понятий. П.Ф.Каптерев отмечал в своё время следующее: «Наиболее удобная в педагогическом отношении форма изложения есть генетическая, когда знание не только разлагается на элементы, но и сообщается история происхождения знания, показывается, как знание возникло и развивалось. Здесь на глазах учащихся знание образуется: видны его исходные точки, процесс его развития, его заключительный период - формулировка.»[50, с.575].
Учебная деятельность реализуется посредством выполнения школьниками соответствующих действий. Согласно общей закономерности интериоризации, первоначальной формой учебных действий является их развернутое коллективное выполнение на внешне представленных объектах. «...Овладение мыслительными действиями, - писал А.Н.Леонтьев, лежащими в основе присвоения, «наследования» индивидом выработанных человечеством знаний, понятий необходимо требует перехода субъекта от развернутых вовне действий к действиям в вербальном плане и, наконец, постепенной интериоризации последних, в результате чего они приобретают характер свернутых умственных операций, умственных актов».
Учебные действия направлены на решение учебных задач, которые требуют анализа и содержательного обобщения. Учебная задача направлена на анализ учащимися условий происхождения теоретических понятий и на овладение соответствующими обобщенными способами действий. В концепции учебной деятельности выделяются следующие учебные действия: - принятие от учителя или самостоятельная постановка учебной задачи; - преобразование условий задачи с целью обнаружения всеобщего отношения изучаемого объекта; - моделирование выделенного отношения в предметной, графической и буквенной формах; - преобразование модели отношения для изучения его свойств в «чистом» виде; - выделение и построение системы частных конкретно - частных задач, решаемых общим способом; - контроль за выполнением предыдущих действий; - оценка усвоения общего способа как результата решения данной учебной задачи.
Первоначально учащиеся не умеют ставить учебные задачи и самостоятельно выполнять действия по их решению. Эти компоненты находятся в руках учителя, но по мере формирования учебной деятельности они постепенно переходят к ученику, характеризуя уровень «умения учиться». Знания «не передаются учащимся в готовом виде, а приобретаются, или в процессе самостоятельной познавательной деятельности или в условиях проблемной ситуации». Остановимся на главных особенностях учебных действий. Принятие школьниками учебной задачи или ее самостоятельная постановка должны быть обеспечены мотивацией у учащихся. Преобразование условий учебной задачи с целью обнаружения некоторого всеобщего отношения того объекта, который должен быть отражен в соответствующем теоретическом понятии. Преобразование условий задачи ориентировано на поиск, обнаружение и выделение определенного отношения некоторого целостного объекта. Поиск такого отношения и есть содержание мыслительного анализа, которое в своей учебной функции выступает первоначальным моментом процесса формирования требуемого понятия. Данное учебное действие, в основе которого лежит анализ, вначале имеет форму преобразования предметных условий учебной задачи (это мыслительное действие первоначально осуществляется в предметно-чувственной форме). Моделирование выделенного всеобщего отношения в предметной, графической или знаковой (буквенной) форме. Учебные модели составляют необходимое звено процесса усвоения теоретических знаний и обобщенных способов действия. Поскольку в учебной модели изображается некоторое всеобщее отношение, найденное и выделенное в ситуации путем ее преобразования, то содержание этой модели фиксирует внутренние характеристики объекта, не наблюдаемые непосредственно. Учебная модель, выступая как продукт мыслительного анализа, затем сама может сделаться особым средством мышления человека. Преобразование модели с целью изучения свойств выделенного всеобщего отношения объекта. Это отношение в условиях учебной задачи как бы «заслоняется» многими частными признаками, что в целом затрудняет его специальное рассмотрение. В модели это отношение выступает можно сказать в «чистом виде». Поэтому, преобразовывая и переконструируя учебную модель, школьники получают возможность изучать свойства всеобщего отношения без его «затемнения» привходящими обстоятельствами. Работа с учебной моделью выступает как процесс изучения свойств содержательной абстракции всеобщего отношения.
Опыт использования знаково-символических средств при обучении решению задач в психолого-педагогической литературе
Моделирование используется для интерпретации действий с объектами, чтобы сделать представление об использовании этих объектов более доступным. Под моделированием задачи понимается замена действий с обычными предметами действиями с их моделями - уменьшенными образцами, муляжами, макетами, а также с их графическими изображениями: рисунками, чертежами, схемами. Важность графического моделирования при формировании умения анализировать и решать задачи объясняется тем, что модели: -наглядно отображают каждый элемент отношения, что позволяет им оставаться простыми при любых преобразованиях данного отношения; -позволяют увидеть структурные компоненты в тексте в «чистом» виде, без отвлечения на частные конкретные характеристики (числовые значения величин, яркие изображения и др.); -обладают свойствами предметной наглядности, конкретизируют абстрактные отношения, что нельзя увидеть, например, выполнив краткую запись задачи; -обеспечивают поиск плана решения, что позволяет постоянно соотносить физическое (или графическое) и математическое действия.
Процесс целенаправленного обучения графическому моделированию должен осуществляться постепенно, отражая переход от конкретного к абстрактному в виде: рисунка, условного рисунка, чертежа, схемы (схематизированного чертежа). Модели такого вида выступают как формы отображения структуры задачи, где каждая последующая форма построена в более обобщенном и абстрагированном виде [94]. Использование упрощённых рисунков, объектов условных рисунков, графических чертежей вызывает часто затруднение в процессе поиска решения задач, учащиеся не выбирают необходимое арифметическое действие, потому что для ответа на вопрос задачи достаточно произвести пересчет; данные модели можно использовать только при небольших числовых данных (рисовать большое количество числовых данных - неудобно, т.к. это займет много места в тетради, отнимет много времени на уроке); использовать эти модели невозможно в том случае, если числовые данные заменены буквами, сказочными цифрами, геометрическими фигурами и т.д.; различные рисунки не позволяют ученику отвлечься от несущественных признаков и увидеть то существенное, общее, что объединяет данные задачи. Однако данные виды графических моделей нельзя исключать полностью, они помогают некоторым детям осуществлять переход от реальности (предметной ситуации) к схематизированному чертежу, что очень важно при формировании умения переводить задачу с естественного языка на математический язык символов.
В начальном курсе математики создание моделей может осуществляться по-разному (Л.М.Фридман, М.М.Тоненкова, Ж.Верньё, И.А.Володарская, В.В.Давыдов, Н.Г.Салмина) [17,18,28,30-34,100,102,117].
Вариант 1. Материализация структуры текста задачи путем представления с помощью знаково-символических средств всех составляющих текста в соответствии с последовательностью изложения информации в задаче. Завершением построения модели при этом способе будет символическое изображение вопроса задачи. Созданная модель текста дает возможность выделить отношение между компонентами задачи, на основе которых находятся действия, приводящие к ответу на вопрос задачи. При данном варианте моделирования текста используются различные знаково-символические средства (отрезки, иконические знаки и др.). Каждое данное задачи представляется в виде отдельных конкретных символов. В основе классификации простых задач положено отношение между объектами и их величинами. По данному признаку выделяют четыре типа отношений: целое/часть, разность, кратность, равенство. Здесь уместно сделать замечание об употребляемой терминологии. Хотя учащиеся знакомятся с названиями компонентов действий сложения, вычитания, умножения, деления, но рабочими терминами при описании этих действий являются не они, а названия компонентов отношений. Именно отношения, связывающие величины между собой, и определяют математическую структуру задачи. Эти отношения представлены моделями разного вида: стрелочными схемами, чертежами, обобщающими формулами см. Таблицу 1. Схемы и схематические чертежи, т.е. пространственно - графические модели, представляя собой зримую величину, позволяют производить реальные преобразования, результаты которых можно не только предполагать, но и наблюдать. В этих моделях отражены существенные отношения и связи объекта, выделенные посредством соответствующих преобразований. Именно абстрактный материал связан с освоением общего способа действия при решении задач. Буквенные модели или обобщающие формулы фиксируют результаты реально или мысленно уже произведённых действий с объектами. Появление буквенной символики часто связано с окончанием учебной работы по решению задач, хотя она может служить средством фиксации действий в процессе работы на каком - либо из этапов или средством «схватывания» оснований предметного действия.
Дадим краткую характеристику содержания репрезентации отношений и порядок их изучения. Вначале дети выделяют посредством определённых предметных действий отношения между объектами (целое/часть, разность, кратность, равенство) и уясняют, что практическая ситуация, содержащая эти отношения, может быть преобразована во столько задач, сколько элементов отношения содержится в ситуации. Освоение способов анализа и решения текстовых задач связано вначале с отношением целого и частей. Затем решаются задачи, основанные на отношении разностного сравнения: поиск значения большей величины, меньшей величины или разности. При знакомстве учащихся с новыми арифметическими действиями - умножением и делением рассматривается определённое отношение между величинами. При изучении этих отношений конструируется новый способ измерения и построения величины, в котором помимо основной, или единичной мерки задействована ещё одна - вспомогательная, или промежуточная. Таким образом, способ измерения и построения величины состоит из двух действий: построение (измерение) промежуточной мерки с помощью основной и построение (измерение) самой величины с помощью промежуточной мерки.
Констатирующий эксперимент и его результаты
Констатирующий эксперимент проводился в 2000 - 2001 учебном году с учащимися вторых классов начальной школы МОУ «Гимназия №2», МОУ «СОШ №55», МОУ «СОШ №63» г. Брянска. Цель констатирующего эксперимента состояла в выявлении использования моделирования при решении задач, в установлении исходного уровня оперирования системами знаково-символических средств.
В ходе исследования были проведены две серии констатирующего эксперимента. Целью первой серии исследования являлось выявление у младших школьников уровня овладения умением решать задачи с использованием модельных средств: умение выделять структурные компоненты; умение подбирать способы решения; умение классифицировать задачи по способу решения; умение преобразовывать и составлять задачи. Итоги этого эксперимента отражены в результатах контрольной работы №1 и №2. Целью второй серии исследования являлось выявление у младших школьников уровня умения пользоваться моделями: умение воспроизводить содержание в знаково-символической форме; умение переходить от одних средств изображения к другим; умение строить модели разных типов. Для диагностики символической функции проводилась методика «Пиктограмма» и выполнялось задание под условным названием «Таблица».
В ходе исследования были выделены уровни овладения моделированием и умением решать задачи: низкий - I уровень, средний - II уровень, высокий - III уровень.
В основу выделения уровней овладения моделированием положено различие в степени освоенности компонентов, входящих в её состав, которые в целом совпадают с компонентами деятельности по решению задач.
Низкий уровень - учащиеся не владеют моделированием как способом решения задач, как универсальным учебным действием или выполняют отдельные действия, используя привычные способы построения моделей, т.е. те, которые выполняются по программе под руководством учителя и только по заданному образцу.
Средний уровень - учащиеся выполняют часть действий и операций, входящих в структуру деятельности моделирования, т.е. переводят отдельные компоненты текста на знаково — символический язык, используя привычные способы построения моделей и строя модели для простых задач. При этом выбор, построение и преобразование учебной модели происходит под руководством учителя и в ряде случаев самостоятельно.
Высокий уровень - учащиеся используют моделирование как способ, а модель как средство анализа и решения задач, т.е. переводят компоненты текста на знаково-символический язык и строят модели для разных типов задач. При решении задач школьники выполняют все этапы деятельности моделирования. При этом построение учебной модели, её преобразование происходит самостоятельно, потому что у учащихся сформирован навык построения структурных компонентов задачи на знаково-символическом языке.
В основу выделения уровней владения решением задач положено различие в степени освоенности компонентов, входящих в состав деятельности по решению задач.
Низкий уровень - учащиеся выделяют структурные компоненты текста, составляют план решения и выполняют арифметические операции согласно условию для хорошо отработанных типов задач и под руководством учителя;
Средний уровень - учащиеся выделяют структурные компоненты текста, определяют ход решения и выполняют арифметические операции согласно условию для хорошо отработанных типов задач самостоятельно; могут преобразовывать и находить различные способы решения, составлять обратную задачу; решать задачи по знаково-символическим моделям;
Высокий уровень - учащиеся анализируют и выделяют структурные компоненты текста в задачах, включающих несколько типов разных отношений, преобразовывают и находят различные способы решения с обоснованием оптимального, составляют обратную задачу, классифицируют задачи по способу решения, осознают общий подход при решении; составляют и решают задачи по знаково-символическим и математическим моделям.
Первая серия констатирующего эксперимента. В данном исследовании при выполнении контрольной работы №1 учащиеся были во втором классе (начало учебного года). При выполнении контрольной работы №2 учащиеся были во втором классе (конец учебного года). Всего в эксперименте принимали участие ученики вторых классов (200чел.). Эксперименты проводились фронтально, они занимали время одного урока в первой половине дня. Для проведения эксперимента нами были выбраны следующие задания: Контрольная работа №1.
Цель: проверить умение подбирать способы решения и умение классифицировать задачи по способу решения. 1. Катя выше Пети, а Петя ниже Васи, Катя стоит в строю первая. В каком порядке стоят все дети в строю? 2. Катя живет выше Пети, Петя живет ниже Васи, Вася живет на 2 этаже в трехэтажном доме. Кто на каком этаже живет? 3. Катя старше Пети, а Петя моложе Васи, который в будущем году пойдет в 1 класс. Катя уже заканчивает 3 класс. Кто из ребят старше, а кто моложе? 4. Катя тяжелее Пети, а Петя легче Васи, которого Катя легко перевешивает на качелях. Кто из ребят самый тяжелый и самый легкий? 5. Катя бегает быстрее Пети, а Петя медленнее Васи. В каком порядке ребята преодолеют дистанцию, если Вася прибежит вторым?
Исходное логическое отношение, которое лежит в основе анализа и решения данных пяти задач, представленных в словесно — знаковой форме заключается в том, что даны три объекта и три действия - признака, которые необходимо распределить по объектам, причем объекты остаются те же самые, изменяется только действие или житейская ситуация, предложенная для анализа. Инструкция по решению не содержала указания построить вспомогательную модель, которая поможет проанализировать и найти пути решения задачи.
